UNIVERSITÀ DI ROMA “LA SAPIENZA”
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio
ESAME DI FISICA GENERALE II (DM 270)
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Data: 16/7/2012
1. Un anello carico, di massa m = 500 g e carica Qa = 10 µC viene
mantenuto sospeso da una carica puntiforme qp = −50 µC, posta sul suo
asse, ad una distanza d = 4 cm dalla carica stessa. Determinare il raggio
dell’anello ed il valore che dovrebbe avere qp se si volesse che la distanza di
equilibrio fra carica ed anello fosse la metà del valore indicato nel testo.
d
2. Un alternatore composto da N = 100 spire di lato L = 50 cm che ruota
con velocità angolare ω = 10 rad/s in un campo magnetico B = 0.1 T è
collegato ad un circuito in cui è presente una resistenza R = 10 Ω. Calcolare il momento della forza che si oppone alla rotazione dell’alternatore.
Spiegare il motivo per cui tale momento dipende dal valore della resistenza.
ε
ε
Dr
.S
tef
an
o
3. Nel circuito in figura, ε1 = 5 V, ε2 = 10 V, R1 = 10 Ω, R2 = 15 Ω e
R4 = 20 Ω. Determinare il valore della resistenza R3 e la potenza generata
(o dissipata) dai due generatori sapendo che la corrente che scorre nella
resistenza R3 (dall’alto verso il basso) è pari alla metà di quella che scorre
nella resistenza R4 .
4. Un’onda piana monocromatica di lunghezza d’onda λ = 100 µm e
intensità I0 = 10 W incide su un piano su cui sono praticate tre fenditure.
Determinare il valore dell’intensità dell’onda nel punto P0 ed il valore
del passo reticolare d sapendo che l’intensità nel punto P1 è la metà di
quella misurata in P0 . Si assuma che non ci siano minimi di intensità
fra P0 e P1 , che la distanza fra reticolo e schermo sia L = 1 m d e si
tenga conto dell’identit trigonometrica sin(3α) = (3 − 4 sin2 α) sin α
L
P1
P0
Soluzioni
Esercizio n.1
Il campo elettrico generato da un anello sul suo asse vale, in modulo
Q d
4π0 r3
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|E| =
√
dove d è la distanza del punto in cui si calcola il campo dal centro dell’anello e r = R2 + d2 la
distanza del suddetto punto da un punto generico dell’anello (R è il raggio dell’anello). La forza
Qa qp d
che l’anello esercita sul punto vale quindi qp E = 4π
3 e, per il principio di azione e reazione,
0 r
questa sarà anche la forza che la carica esercita sull’anello. A tale forza si aggiunge la forza
peso F = mg diretta in senso opposto. L’equilibrio si avrà quando le due forze sono in modulo
uguali:
Qa qp d
Qa qp
= mg ⇒
d = mg(d2 + R2 )3/2
3
4π0 r
4π0
Chiamando α =
Qa qp
4π0 mg
si ottiene quindi
αd = (d2 + R2 )3/2 ⇒ (αd)2/3 = d2 + R2 ⇒ R =
q
(αd)2/3 − d2 = 33cm
Per avere una distanza di equilibrio pari alla metà di d, definito α0 =
e
Dr
.S
tef
an
o
α0 (d/2) = ((d/2)2 + R2 )3/2 ⇒ α0 =
Esercizio n.2
qp0 =
Qa qp0
4π0 mg
deve essere
((d/2)2 + R2 )3/2
d/2
4π0 mgα0
= 98 µC
Qa
Il momento delle forze che si oppongono al moto dell’alternatore è dovuto al fatto che, quando
~ ∧B
~ su ciascuno dei lati di
nell’alternatore scorre una corrente i, si esercita una forza F~ = iL
ciascuna spira. Complessivamente, una spira quadrata di lato L in cui scorre una corrente i che
ruota in un campo magnetico B con velocità angolare costante ω subisce un momento meccanico
M = iL2 B sin(θ)
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dove θ è l’angolo fra la normale al piano della spira ed il campo magnetico. Assumendo theta =
ωt, si ottiene quindi, per N spire, M = N iL2 B sin(ωt). Allo stesso tempo, l’alternatore fornisce
al circuito una forza elettormotrice ε(t) = ε0 sin(ωt), con ε0 = N BL2 ω, a seguito della quale nel
circuito (e quindi nell’alternatore) scorre una corrente
i(t) = i0 sin(ωt)
(essendo il circuito puramente resistivo, lo sfasamento fra forza elettromotrice e corrente è identicamente nullo) con
i0 = ε0 /|Z| =
N BL2 ω
R
Inserendo tale espressione nella formula di M si ottiene infine
!
M (t) =
N BL2 ω
(N BL2 )2 ω
sin(ωt) N L2 B sin(ωt) =
sin2 (ωt) = 6.25 sin2 (ωT ) Nm
R
R
Dr
.S
tef
an
o
che corrisponde ad un valor medio sul periodo di 6.25/2 = 3.125 Nm. Il motivo per cui tale
valore dipende da R è che la forza meccanica che agisce sulla spira dipende dalla corrente che
scorre al suo interno, e questa a sua volta dipende dal carico su cui è chiuso l’alternatore. Nel
caso particolare di resistenza infinita, ad esempio, la corrente che scorre nel circuito sarebbe
nulla e quindi sarebbe nullo anche il momento meccanico che agisce sulla spira.
Notare che il problema poteva anche essere risolto ricordando che ad una spira percorsa da
corrente è associato un momento magnetico µ
~ = iL2 n̂, e che un dipolo magnetico di momento
~ =µ
~ Come risultato, per N spire,
µ
~ subisce un momento delle forze pari a M
~ ∧ B.
~ | = N iL2ˆ|n ∧ B|
~ = N iL2 B sin(θ)
|M
dove θ = ωt è l’angolo fra campo magnetico e asse della spira. Ricavando i come indicato sopra,
si sarebbe arrivati alla stessa soluzione.
Esercizio n.3
Il circuito presenta 5 rami e tre nodi. Per ottenere la soluzione complessiva servono quindi cinque
equazioni, di cui due dei nodi e tre delle maglie. Nel caso particolare, una ulteriore incognita è la
resistenza R3 ma l’equazione aggiuntiva necessaria a risolvere il problema èdata dalla relazione
nota fra i3 ed i4 .
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Le equazioni del circuito possono essere scritte nel seguente modo:
ε1 − i1 R1 − i3 R3
ε1 − ε2 − i1 R1 − i2 R2
ε −i R
2
4 4
i
−
i
− i3
1
2
i3 + i4 − i1 − ig2
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
Dalla terza equazione si ricava immediatamente i4 = ε2 /R4 = 0.5 A e di conseguenza i3 =
i4 /2 = 0.25 A. Considerando a questo punto la seconda e la quarta equazione,
(
i1 R1 + i2 R2 = ε1 − ε2
i1 − i2
= i3
dove le incognite sono solo le correnti i1 ed i2 , essendo tutto il resto noto.. Risolvendo il sistema
di due equazioni in due incognite si ottiene i1 = −0.05 A e i2 = −0.3 A. Il valore di R3 si può a
questo punto ricavare dalla prima equazione:
ε1 − i1 R1 − i3 R3 = 0 ⇒ R3 =
ε1 − i1 R1
= 22 Ω
i3
mentre il valore della corrente che scorre nel secondo generatore si ottiene dalla quinta equazione:
Dr
.S
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an
o
ig2 = i3 + i4 − i1 = 0.8 A
Il primo generatore assorbe quindi una potenza W1 = |i1 |ε1 = 0.25 W, mentre il secondo ne
produce W2 = ε2 ig2 = 8 W.
Esercizio n.4
L’intensità della radiazione diffratta da un sistema di N fenditure è pari a
I = I0
sin(N φ/2)
sin(φ/2)
2
dove I0 è l’intensità dell’onda incidente, φ = 2π
λ d sin θ, d è la distanza fra due fenditure successive
e θ è l’angolo fra la direzione in cui si osserva la radiazione diffratta e la direzione del fascio
incidente sul sistema di N fenditure. Nel caso del punto P0 , θ = 0 e quindi φ = 0, e l’espressione
precedente da come risultato
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I(P0 ) = N 2 I0 = 9I0 = 90 W
Ne consegue che l’intensità nel punto P1 vale I(P1 ) = I(P0 )/2 = 45 W= 4.5I0 . Inserendo tale
valore nell’espressione generale di I e considerando che N = 3 si ottiene quindi
sin(3φ/2)
sin(φ/2)
2
= 4.5 ⇒ sin(3φ/2) =
√
4.5 sin(φ/2)
Usando a questo punto l’idenità trigonometrica indicata nel testo, si ottiene
3 − 4 sin2 (φ/2) sin(φ/2) =
√
4.5 sin(φ/2) ⇒ sin2 (φ/2) = (3 −
√
4.5)/4
Dr
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o
da cui φ/2 = 0.4878 rad. Essendo quindi d L, sin θ ' θ ' d/L e quindi φ/2 = (π/λ)(d/L) ⇒
d = L(φ/2)(λ/π) = 3.94 mm.
