elementi di teoria delle misure elementi di teoria delle misure

RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
ELEMENTI DI
TEORIA DELLE MISURE
Prof. C. R. Fichera
Elementi di teoria delle misure - Considerazioni generali
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
CONSIDERAZIONI GENERALI
Nella effettuazione di specifiche misure, lo studio
degli errori riveste un’importanza fondamentale
quando si vuole:
• stabilire dei criteri per raggiungere
una certa approssimazione
• valutare le entità degli errori che
si sono commessi
• determinare i valori numerici da
assegnare alle grandezze misurate
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Considerazioni generali
Nelle misure topografiche lo studio degli errori è di
notevole interesse in quanto la precisione a volte deve
essere spinta a limiti molto elevati e solo una scelta
accurata di metodi e strumenti, unita a particolari
accorgimenti di osservazione, può consentirne
l’ottenimento sicuro
La teoria degli errori non è comunque solo applicata
alle misure di grande precisione bensì a tutte le misure
Prof. C. R. Fichera
Elementi di teoria delle misure - Il problema degli errori nelle misure
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
IL PROBLEMA DEGLI ERRORI NELLE MISURE
Sia G una grandezza da misurare. Dicesi misura della
grandezza G il numero X, espresso nell’unità di misura
u che in maniera univoca viene associato alla
grandezza
Invero, si constata che, se ripetiamo più volte la
misura di una stessa grandezza, i valori ottenuti non
sono generalmente univoci
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Il problema degli errori nelle misure
Ogni misura è quindi affetta da errori, la cui entità ne
definisce l’incertezza. La misura X di una grandezza G
può dunque essere rappresentata dall’espressione:
( X± σ x ) u
X → misura della grandezza
σ x → incertezza della misura
u → unità di misura
Ma quali sono le cause che generano la variabilità di
risultati nella ripetizione della misura
Prof. C. R. Fichera
Elementi di teoria delle misure - Origine della dispersione delle misure
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
ORIGINE DELLA DISPERSIONE DELLE MISURE
Per la misura di una grandezza di norma
si utilizzano specifici strumenti
Le cause della variabilità dei risultati sono da attribuirsi a:
• strumento non buono
• cattiva taratura e rettifica dello strumento
• grandezza non definibile esattamente
• grandezza variabile nel tempo
• altre cause (dovute ad es. all’operatore)
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Origine della dispersione delle misure
Ogni strumento di misura possiede
specifiche caratteristiche, due delle quali
rivestono particolare importanza:
• la sensibilità
• la precisione
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Origine della dispersione delle misure
Sensibilità di uno strumento
La sensibilità di uno strumento è la più piccola quantità di
grandezza misurabile con esso. Ad esempio:
• Per un righello graduato in millimetri è 1 mm
• Per una bilancia graduata in grammi è 1 grammo
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Origine della dispersione delle misure
Precisione di uno strumento
Si definisce precisione di uno strumento il rapporto tra la
sensibilità dello strumento e la massima quantità di grandezza
che lo strumento può misurare. Si tratta quindi di un numero
adimensionale ; la precisione sarà tanto maggiore quanto minore
è il numero che la esprime.
• Una righello di un metro con suddivisione in
1 [mm ]
millimetri avrà una precisione di
= 10 −3
1000 [mm ]
• Una bilancia che può pesare al max 5 kg
e avente una graduazione in grammi
1 [g ]
avrà una precisione di
= 2 ⋅10 − 4
5000 [g ]
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Origine della dispersione delle misure
1
Una delle cause che crea la mancanza di univocità sui valori ottenuti
nel ripetere la misura di una stessa quantità di grandezza, risiede nel
fatto che noi pretendiamo di aumentare con operazioni di stima la
sensibilità, oppure con operazioni ripetitive la precisione dello
strumento utilizzato
Ad esempio, utilizziamo un righello millimetrato e stimiamo in una
grandezza da misurare il decimo di millimetro, oppure misuriamo una
lunghezza di alcuni metri riportando più volte la riga da un metro,
commettendo anche in questo caso delle imprecisioni
Eseguendo le operazioni sopra citate si introducono nelle misure dei
fattori soggettivi, cioè dipendenti dal modo con cui l’operatore esegue
la misura; questi fattori non si mantengono costanti al ripetersi
dell’operazione di misura
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Origine della dispersione delle misure
2
Un altro fattore che genera mancanza di univocità dei valori
numerici ottenuti ripetendo le misure di una stessa quantità di
grandezza è dovuta all’influenza dell’ambiente. (temperatura,
umidità, pressione atmosferica, ecc..)
L’interazione strumento-ambiente è definibile mediante la funzione di
perturbazione; il numero X che rappresenta la misura eseguita può
essere considerato come valore di una funzione di parametri che
dipendono dall’ambiente oltre che della quantità di grandezza da
misurare G e dall’unità di misura u adottata
X = f (G / u , v, w.........t )
Quale potrebbe essere quindi la misura vera di X da
assumere? E’ conveniente assumere quel valore X che si
avrebbe quando tutti i parametri ambientali assumono il loro
valore medio
X = f (G / u , vm , wm .........t m )
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Origine della dispersione delle misure
Errore di una generica misura
Si definisce come errore ε di una generica misura la differenza
tra il valore X che corrisponde a quella misura ed il valore vero X
ε = X − X = f (G / U , u , v, w.........t ) − f (G / U , u m , vm , wm .........t m )
Utilizzando
à si può arrivare a
Utilizzando elementi di calcolo delle probabilit
probabilità
dimostrare
dimostrare che
che gli
gli errori
errori di
di misura
misura hanno
hanno un
un comportamento
comportamento ben
ben
definito
definito e quindi è possibile determinare formule che ci riconducono
ad
à di grandezza
ad un
un valore
valore univoco
univoco da
da attribuire
attribuire alla
alla quantit
quantità
misurata
’accuratezza
misurata ee al
al modo
modo di
di valutarne
valutarne ll’accuratezza
Prof. C. R. Fichera
Elementi di teoria delle misure - Misura di una grandezza
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
MISURA DI UNA GRANDEZZA
CLASSIFICAZIONE DELLE MISURE
1
MISURA DIRETTA
2
MISURA INDIRETTA
3
MISURA DIRETTA CONDIZIONATA
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Misura di una grandezza
MISURA DIRETTA
La misura diretta di una grandezza è definibile nel
modo seguente :
a) si materializzano in numero sufficiente delle quantit
à
quantità
uguali ovvero si definiscono delle unit
à campione
unità
b) si sommano opportunamente le unit
à in modo da
unità
avere una quantit
à uguale a quella da misurare
quantità
c) si conta il numero di
à campione
di unit
unità
campione contenute nella
quantit
à costruita: tale numero si chiama misura
quantità
diretta della grandezza
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Misura di una grandezza
MISURA INDIRETTA
La misura indiretta di una grandezza è definita da un
legame funzionale che lega tale grandezza ad altre
grandezze direttamente misurabili: le misure dirette di
queste ultime determinano, attraverso il legame funzionale
la misura indiretta della prima.
Es : Misura indiretta della distanza D fra due punti
D = k ⋅ S ⋅ sin 2 ϕ
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Misura di una grandezza
MISURA DIRETTA CONDIZIONATA
A volte, le misure dirette che si eseguono sono soggette
a condizioni geometriche; ad esempio la somma degli
angoli interni di un poligono chiuso di n lati deve essere
uguale a (n
-2)∗π
(n-2)∗π
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Misura di una grandezza
B
Si misuri la
distanza AB e se
ne ottenga il valore
A
Ad esempio: AB = 215,45 m
Il valore è esatto
Conosciamo la risposta: NO
Ogni grandezza misurata è affetta da un ERRORE
Prof. C. R. Fichera
Elementi di teoria delle misure - Errori nella misura di una grandezza
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
ERRORI NELLA MISURA DI UNA GRANDEZZA
L’INSIEME DEI CAUSE PERTURBATRICI INTRODUCONO
QUINDI DEGLI ERRORI NELLE MISURE
CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI
• ERRORI GROSSOLANI
• ERRORI SISTEMATICI
• ERRORI ACCIDENTALI
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Errori nella misura di una grandezza
ERRORI GROSSOLANI
Nell'eseguire una misura si può commettere un errore grossolano
grossolano;;
ad esempio, nel misurare una lunghezza, riportando un'asta
graduata può capitare di sbagliare il numero delle volte che è stata
riportata. Tali errori sono da addebitare all
’operatore e sono
all’operatore
generalmente di entit
à tale da potersi palesare nel complesso
entità
delle misure effettuate.
Tenuto presente che nelle operazioni di rilievo sul terreno le
misure eseguite in un giorno possono essere centinaia, si
comprende come un errore grossolano possa verificarsi spesso.
In ogni caso, le misure da sottoporre a trattamento devono esser
e
essere
prive di questa tipologia di errori.
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Errori nella misura di una grandezza
ERRORI SISTEMATICI (O REGOLARI)
Un errore sistematico tipico è quello che deriva da una imperfetta
taratura dello strumento di misura; se ad esempio un
’asta
un’asta
nominalmente lunga un metro è in realt
à lunga un metro pi
ù un
realtà
più
millimetro, misurando una lunghezza con tale asta si commette un
errore di tanti millimetri quante sono le volte che è stata riportata.
Un errore sistematico può anche essere imputato all
’operatore (ad
all’operatore
esempio, difetto di vista non corretto adeguatamente) o ad una
situazione climatica, ecc. Gli errori sistematici presentano una
caratteristica
caratteristica::
• Ripetendo la misura nelle stesse condizioni il risultato non ccambia
ambia
Un tipo di errore sistematico è quindi quello
conserva, al ripetere della misura, valore e segno costanti.
Prof. C. R. Fichera
che
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Errori nella misura di una grandezza
ERRORI ACCIDENTALI (O CASUALI)
Ripetendo
ù volte la misura di una
Ripetendo pi
più
una grandezza
grandezza si
si può
può constatare:
constatare:
a)
a)
b)
b)
c)
c)
Gli
Gli
che
ti
che ii risultati
risultati cambiano
cambiano ad
ad ogni
ogni ripetizione
ripetizione ee sono
sono caratterizza
caratterizzati
da
à casuale, in maniera cio
è che si potrebbe
da una variabilit
variabilità
cioè
definire
definire accidentale;
accidentale;
che
che gli
gli scarti
scarti fra
fra un
un risultato
risultato ee l'altro
l'altro sono
sono piccoli
piccoli ee che
che lo
lo scarto
massimo
ù
massimo è in genere inferiore ad un certo
certo limite,
limite, tanto
tanto pi
più
piccolo,
ù la misura
piccolo, quanto
quanto pi
più
misura è precisa;
che
che ripetendo
ripetendo numerose
numerose determinazioni,
determinazioni, ii valori
valori ottenuti
ottenuti
tendono
à statistica.
tendono ad
ad assumere
assumere una
una stabilit
stabilità
errori
e ee
errori accidentali
accidentali sono
sono dovuti
dovuti alla
alla somma
somma di
di molteplici
molteplici caus
cause
non
non si
si possono
possono eliminare,
eliminare, ma
ma se
se ne
ne può
può limitare
limitare gli
gli effetti.
effetti.
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Errori nella misura di una grandezza
Nel seguito della trattazione si supporr
à:
supporrà:
a) che gli errori grossolani siano stati eliminati;
b) che le cause dei possibili errori sistematici siano note e
quindi sia possibile limitarne gli effetti.
Pertanto, assumeremo come ipotesi fondamentale che le
misure siano affette solo da errori accidentali, che verranno
trattati mediante la teoria degli errori.
quesito
quesito
Occorre
Occorre ricercare
ricercare un
un modello
modello probabilistico
probabilistico che
che descriva
descriva ilil
comportamento
comportamento degli
degli errori
errori accidentali
accidentali
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
TRATTAMENTO STATISTICO
DELLE MISURE DI UNA GRANDEZZA
VARIABILE STATISTICA
•
Consideriamo una popolazione composta da N individui. Attraverso
la statistica siamo in grado di classificare questa popolazione in
relazione ad un suo unico attributo, quello che interessa l'inda
gine.
l'indagine.
•
Assumendo ad esempio gli studenti frequentanti il corso di ““Rilievo
Rilievo e
rappresentazione del territorio
”, pensiamo di classificarli in funzione
territorio”,
della statura.
•
Classificare la popolazione vuole dire determinare la forma e il
valore Xi (valore argomentale) che l'attributo considerato assume
per ognuno degli N individui che la compongono.
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Dopo
Dopo avere
avere censito
censito la
la popolazione
popolazione si
si procede
procede al
al raggruppamento
raggruppamento
degli
è:
degli individui
individui in
in classi
classi cio
cioè:
a)
ù alto e
a) suddividiamo la differenza fra valore argomentale pi
più
pi
ù basso in
più
in rr intervalli,
intervalli,
b)
b) attribuiamo ad ogni intervallo un valore argomentale Xii
scelto
scelto tra
tra quelli
quelli compresi
compresi nell'intervallo
nell'intervallo stesso;
stesso;
c)
c) attribuiamo
attribuiamo aa tutti
tutti gli
gli individui
individui compresi
compresi nell'intervallo
nell'intervallo ilil
valore
valore argomentale
argomentale definito
definito per
per l'intervallo
l'intervallo stesso;
stesso;
d)
(frequenza assoluta)
assoluta) compresi
compresi
d) contiamo
contiamo il numero di individui Fii (frequenza
nell'intervallo,
nell'intervallo, ovvero il rapporto fii == F
Fii/N
/N (frequenza
(frequenza relativa).
relativa).
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Si ottiene così la variabile statistica ad una dimensione,
come di seguito definita:
⎧ X1 , X 2 , X 3 ,... X i ,... X r ⎫
X⎨
⎬ con
⎩ F1 , F2 , F3 ,... Fi , ... Fr ⎭
o anche
⎧ X1 , X 2 , X 3 ,... X i ,... X r ⎫
X⎨
⎬ con
⎩ f1 , f2 , f3 ,... fi , ... fr ⎭
Prof. C. R. Fichera
r
∑F = N
i
i =1
r
∑f
i =1
i
=1
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Si
Si possono
possono calcolare
calcolare dei
dei parametri
parametri che,
che, pur
pur non
non rappresentando
rappresentando
compiutamente
compiutamente la
la variabile,
variabile, danno
danno delle
delle informazioni
informazioni globali
globali sulle
sulle
caratteristiche
caratteristiche della
della distribuzione:
distribuzione: questi
questi parametri
parametri sono
sono ii momenti.
momenti.
r
M k ( X ) = ∑ X ik f i
i =1
Il momento di primo ordine
r
M 1 (X ) = ∑ X i fi
i =1
prende il nome di valore medio o media ed è indicato con M
Il momento di secondo ordine
r
M 2 ( X ) = ∑ X i2 f i
i =1
prende il nome di valore quadratico medio
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Consideriamo
scarto“; questa
Consideriamo ora la variabile statistica
statistica ""scarto“;
questa variabile
variabile si
si
ottiene
ottiene sottraendo
sottraendo ad
ad ogni
ogni argomento
argomento della
della variabile
variabile statistica
statistica ilil
valore
è:
valore della
della media; si ha cio
cioè:
vi = X i − M ( X )
Il momento di secondo ordine
della variabile statistica
"scarto" assume il nome di
varianza ed è indicato con σ2
Alla radice quadrata della
varianza σ2 si dà il nome di
scarto quadratico medio
(σ o s.q.m.)
σ
r
2
(X ) = ∑ν
i =1
σ =±
r
r
2
i
fi =∑ ( X i − M )2 fi
2
ν
∑ i fi = ±
i =1
Prof. C. R. Fichera
i =1
r
2
(
X
−
M
)
fi
∑ i
i =1
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Le notizie globali valide sulla popolazione si
hanno considerando insieme il valore della
media ed il valore della varianza attribuendo
a quest'ultima la possibilit
à di indicare la
possibilità
maggiore o minore dispersione dei valori
argomentali intorno alla media.
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Graficamente una variabile statistica può essere
rappresentata tramite un ISTOGRAMMA
Fi
fi
Xi
Xr
Nel grafico a barre, le misure della variabile statistica sono riportate
sull’asse orizzontale mentre sull’asse verticale sono indicate la frequenza
assoluta oppure la frequenza relativa con cui compaiono i valori di ogni
classe. L’istogramma è una rappresentazione areale, tale che le superfici
dei rettangoli risultano proporzionali alle frequenze corrispondenti
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
VARIABILE CASUALE DISCONTINUA
Consideriamo una popolazione di n individui e consideriamo altresì
che di essi se ne possa esaminare solo uno alla volta.
Ogni individuo di volta in volta deve
popolazione in base ad una estrazione a
che non ha alcun criterio di scelta.
essere enucleato dalla
caso, un’operazione cioè
Ogni individuo, dopo essere stato esaminato, viene reinserito nella
popolazione prima di procedere ad una nuova estrazione.
Esempio: In un’urna ci sono delle sfere contrassegnate da un
numero; si estrae una sfera, se ne esamina il numero e la si
reinserisce nell’urna prima di procedere ad una nuova estrazione.
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Questo tipo di operazione sulla popolazione fa sì che ad essa possa
considerarsi associata una variabile casuale, costituita da una doppia
serie di numeri : i valori argomentali e le probabilità ad essi associate
⎧ X 1 , X 2 , X 3 ,.................. X r
X⎨
⎩ p1 , p2 , p3 ,..................... pr
con ∑ pi = 1
La probabilità pi che si presenti un valore è data dal rapporto tra:
pi =
Numero casi favorevoli
Numero casi possibili
Anche in questo caso si possono definire la media e lo scarto
quadratico medio che varranno:
M = ∑ X i pi
s.q.m. = ±
Prof. C. R. Fichera
2
(
)
X
−
M
pi
∑ i
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
VARIABILE CASUALE CONTINUA
Una variabile casuale anziché essere composta da una
serie di valori argomentali e dalle rispettive probabilità
può essere definita con continuità in un intervallo a-b
aa
bb
Esempio: Una sfera che si
muove con continuità su
una superficie tra due punti
aeb
In questo caso in tutto l’intervallo a-b esisterà una
funzione f(x) (funzione di “densità di probabilità”) in grado
di definire la probabilità che un’estrazione a caso porti ad
un valore compreso in un intervallo interno ad a-b
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure
- Trattamento statistico delle misure di una grandezza
VARIABILE CASUALE CONTINUA
Per
Per una
una variabile
variabile continua
continua si
si avrà:
avrà:
b
pa ,b = ∫ f ( x)dx = 1
f ( x) = p
a
b
M = ∫ x ⋅ f ( x)dx
a
b
s.q.m. = ±
∫ (x − M )
2
a
f ( x)dx
a
Prof. C. R. Fichera
x x + dx
b
x
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
DETERMINAZIONE DELLA
MISURA DIRETTA DI UNA GRANDEZZA
Per ogni grandezza esiste un unico numero che ne
esprime la misura. Ma, dati gli errori accidentali, non
è possibile acquisire tale valore con certezza.
Poiché di una grandezza effettuiamo più
osservazioni occorre stabilire come combinare questi
risultati in modo da ricavare una misura quanto più
possibile prossima alla misura vera
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
Supponiamo di ripetere la misura di una certa di
grandezze (ad esempio un angolo azimutale) per un
numero elevato di volte. Siano:
• n il numero di misure effettuate
• X1,X2…….Xr i valori numerici ottenuti
• M la media aritmetica
• a-b l’intervallo di dispersione delle misure
Prof. C. R. Fichera
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Facciamo
Facciamo variare
variare le
le grandezze
grandezze ee per
per ciascuna
ciascuna di
di esse
esse
ripetiamo
ripetiamo la
la misura
misura più
più volte
volte ricavandone
ricavandone la
la media
media M
M ee
l’intervallo
l’intervallo di
di dispersione
dispersione
Le
Le misure
misure di
di ognuna
ognuna delle
delle grandezze
grandezze possono
possono essere
essere
considerate
considerate come
come una
una variabile
variabile statistica,
statistica, della
della quale
quale si
si
può
può costruire
costruire l’istogramma
l’istogramma
a1
b1
a2
b2
Prof. C. R. Fichera
a3
b3
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
Se
Se per
per ogni
ogni grandezza
grandezza ripetiamo
ripetiamo diverse
diverse serie
serie di
di nn misure
misure si
si
constaterà
constaterà che:
che:
a
Quanto
Quanto èè maggiore
maggiore l’intervallo
l’intervallo a-b
a-b di
di dispersione
dispersione delle
delle misure
misure
tanto
tanto più
più schiacciato
schiacciato risulta
risulta l’istogramma;
l’istogramma; viceversa,
viceversa, tanto
tanto più
più
si
si stringe
stringe l’intervallo
l’intervallo tanto
tanto più
più ripido
ripido risulta
risulta l’istogramma
l’istogramma
b L’andamento
L’andamento dei
dei diversi
diversi istogrammi
istogrammi èè sempre
sempre dello
dello stesso
stesso tipo
tipo
Prof. C. R. Fichera
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
1
2
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
3
a1
b1
a2
Prof. C. R. Fichera
b2
a3
b3
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
Dall’esame degli andamenti degli istogrammi si
possono dedurre alcune considerazioni
II risultati
risultati delle
delle misure
misure possono
possono essere
essere considerati
considerati come
come estrazione
estrazione a
caso
caso da
da una
una popolazione
popolazione di
di misure
misure possibili,
possibili, rappresentabili
rappresentabili come
come
una
una variabile
variabile casuale.
casuale.
Più
Più si
si aumenta
aumenta ilil numero
numero delle
delle misure
misure più
più aumentano
aumentano ii valori
valori
argomentali
argomentali che
che si
si verificano;
verificano; ciò
ciò rende
rende lecito
lecito introdurre
introdurre l’ipotesi
l’ipotesi che
che
la
la variabile
variabile casuale
casuale che
che costituisce
costituisce la
la popolazione
popolazione sia
sia di
di tipo
tipo continuo.
continuo.
L’andamento
L’andamento dell’istogramma
dell’istogramma rimane
rimane lo
lo stesso;
stesso; vi
vi èè quindi
quindi una
una
costante
costante di
di comportamento
comportamento nella
nella popolazione
popolazione delle
delle misure
misure possibili
possibili
che
che ci
ci permette
permette di
di affermare
affermare che
che tutte
tutte le
le popolazioni
popolazioni di
di misure
misure
possibili
possibili sono
sono pensabili
pensabili come
come variabili
variabili casuali,
casuali, in
in cui
cui la
la distribuzione
distribuzione
delle
delle probabilità
probabilità èè definita
definita da
da un
un unico
unico tipo
tipo di
di funzione.
funzione.
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
LA POPOLAZIONE DI MISURE POSSIBILI
COME VARIABILI CASUALI ““NORMALI”
NORMALI”
Ricerchiamo un tipo funzione f(x) di distribuzione di probabilità che
interpoli bene gli istogrammi e che possa essere considerata come la
funzione della distribuzione delle probabilità della variabile casuale di
media e varianza associabile ad una qualsiasi popolazione di misure
possibili.
La
La funzione
funzione di
di distribuzione
distribuzione di
di probabilità
probabilità che
che risulta
risulta più
più idonea
idonea èè la
la curva
curva
di
di Gauss
Gauss (di
(di distribuzione
distribuzione “normale”),
“normale”), la
la quale
quale ha
ha la
la seguente
seguente espressione:
espressione:
f ( x) =
1
e
σ 2π
1 ⎛ x− X
− ⎜⎜
2⎝ σ
⎞
⎟
⎟
⎠
2
Dove
sono rispettivamente
rispettivamente la
la media
media ee la
la varianza
varianza della
della variabile
variabile
Dove X
X ee σσ sono
casuale.
casuale. La
La funzione
funzione rappresenta
rappresenta una
una curva
curva avente
avente la
la forma
forma di
di una
una
campana
campana più
più oo meno
meno schiacciata
schiacciata nell’intervallo
nell’intervallo ± ∞
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
Funzione di distribuzione di probabilità di Gauss
f (x)
−∞
X
Prof. C. R. Fichera
x
+∞
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Si dimostra che:
f (x)
68%
−∞
-σ
X
+σ
x
+∞
x
+∞
f (x)
95,4%
−∞
-2σ
X
+2σ
f (x)
99,7%
−∞
-3σ
X
Prof. C. R. Fichera
+3σ
x
+∞
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
DETERMINAZIONE DELLA MEDIA E DELLA VARIANZA IN UNA
POPOLAZIONE DI MISURE POSSIBILI
Quando eseguiamo un’operazione di misura su una certa quantità di
grandezza non ci troviamo di fronte ad un unico risultato possibile,
ma davanti ad una popolazione di misure possibili; tale popolazione
si distribuisce attorno ad un valore X in un intervallo di ampiezza
compreso sostanzialmente tra -3σ e +3σ
Si è quindi adottato come valore significativo il valore centrale
dell’intervallo di dispersione. Ma il valore della media X non può
essere noto perché non si conosce la popolazione di misure possibili
Non essendo possibile eseguire un infinito numero di
misure per poter calcolare con esattezza il valore di X
si utilizza la media M (media empirica semplice)
essendo dimostrato che M rappresenta il valore che
maggiormente si avvicina al valore centrale X
Prof. C. R. Fichera
n
M=
∑x
i =1
n
i
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
n
M=
∑x
i =1
Media empirica semplice come
stima della media teorica X
i
n
Abbiamo calcolato in questo modo un valore approssimato di X; ora vogliamo
vedere come si può stimare il grado di approssimazione conseguito da M
Diremo allora che così come la media M dà una stima di X, si dimostra che
è possibile ottenere uno s.q.m. σM di M che presenta una variabilità più
ridotta della variabile X in ragione di n . Quindi:
n
σM =
σx
n
=±
2
(
x
−
M
)
∑ i
i =1
(n − 1)n
Il risultato finale della misura è dato da:
Prof. C. R. Fichera
( M ± σ M )u
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
UN ESEMPIO
Per calcolare la distanza topografica tra due
punti sono state effettuate n.6 rilevazioni. Il
valore della media stimata M risulta essere:
M=
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
6
M = (124,55 + 124,59+ 124,61+124,56+124,63+124,57)/6 = 124,585
6
Valore della varianza della media
ν1 = x1 - M = - 0,035
ν2 = x2 - M = + 0,005
ν3 = x3 - M = + 0,025
ν4 = x4 - M = - 0,025
ν5 = x5 - M = + 0,045
ν6 = x6 - M = - 0,015
σ 2M =
∑ (x − M )
i =1
6
2
i
(n − 1) n
v12 = 0,001225
v22 = 0,000025
v32 = 0,000625
v42 = 0,000625
v52 = 0,002025
v62 = 0,000225
=
∑ν
i =1
2
i
(n − 1)n
(n-1) n = 6 x 5 = 30
Σν2 = 0,004750
σ2M = 0,000158
σM = √ 0,000158
σM = 0,012583
La distanza viene assunta pari a Dm= 124,585±0,013
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
DIFFERENZA TRA SCARTO QUADRATICO MEDIO
E TOLLERANZA
Quando si esegue un rilievo molte volte vengono fissati dei limiti di
precisione che devono essere rispettati
La precisione con la quale deve essere eseguito il rilievo è
fissata dallo scarto quadratico medio, oppure assegnando un
limite massimo di errore che non deve essere superato e che
viene indicato con il nome di TOLLERANZA
Quale è il rapporto tra TOLLERANZA e s.q.m.?
Ricordiamo che per errore di stima si intende lo spostamento tra la
misura dal valore della media, che è il valore centrale dell’intervallo
di dispersione delle misure
Prof. C. R. Fichera
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Elementi di teoria delle misure - Determinazione della misura diretta di una grandezza
Fissando una tolleranza si fissa la massima quantità in cui la misura
può discostarsi dal valore della media; in pratica si fissa l’ampiezza
dell’intervallo di dispersione delle misure.
Se pertanto viene richiesto di determinare la quota di un punto con la
tolleranza di ± 2 cm significa che si dovrà operare con una metodologia
tale per cui la popolazione di misure possibili sia tutta contenuta entro
un intervallo che va da +2 cm a –2 cm nell’intorno del valore di M, che
possiamo chiamare quota esatta del punto in questione.
Ma per ottenere questo risultato si dovranno effettuare delle operazioni
che ci portano ad avere degli errori che stiano al di sotto di un terzo di 2
cm.
Generalmente nelle operazioni di misura si assegna uno scarto
quadratico medio a priori.
Ad esempio si dice che un teodolite ha una precisione di ± 2’’,
intendendo con questo che si può sbagliare nella determinazione
dell’angolo anche di 6’’.
Prof. C. R. Fichera