Teoria delle misure

RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Teoria delle misure
Teoria delle misure
Prof. C. R. Fichera
Teoria delle misure
RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Considerazioni generali
Lo studio degli errori riveste una particolare importanza
quando si vogliono effettuare delle misure
e si vogliono stabilire:
• dei criteri per raggiungere una certa approssimazione
• valutare le entità degli errori che si sono commessi
• determinare i valori numerici da assegnare alle grandezze
misurate.
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RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Considerazioni generali
Nelle misure topografiche lo studio degli errori è
importante in quanto la precisione a volte deve essere
spinta a limiti molto elevati e solo una scelta accurata
di strumenti e metodi, unita a particolari accorgimenti
di osservazione, può consentire di ottenere.
La teoria degli errori non è comunque solo applicata
alle misure di grande precisione bensì a tutte le misure
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RILIEVO E RAPPRESENTAZIONE DEL TERRITORIO
Origine della dispersione delle misure
La sensibilità di uno strumento è la più piccola quantità di
grandezza misurabile con esso
• Per un righello millimetrato ad esempio è 1 mm
• Per una bilancia graduata in grammi è 1 grammo
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Origine della dispersione delle misure
Si definisce precisione di uno strumento il rapporto tra la
sensibilità dello strumento e la massima quantità di grandezza
che lo strumento può misurare. Si tratta quindi di un numero
adimensionale ; la precisione sarà tanto maggiore quanto minore
è il numero che la esprime.
• Una riga di un metro con suddivisione in
1mm
millimetri avrà una precisione di
1000 mm
= 10 −3
Una bilancia che può pesare al max 10 kg
e avente una graduazione in grammi
1g
avrà una precisione di
10000 g
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= 10 − 4
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Origine della dispersione delle misure
Una delle cause che crea la mancanza di univocità sui valori ottenuti
nel ripetere la misura di una stessa quantità di grandezza, risiede nel
fatto che noi pretendiamo di aumentare con operazioni di stima la
sensibilità, oppure con operazioni ripetitive la precisione.
Ad esempio utilizziamo un righello millimetrato e stimiamo in una
grandezza da misurare il decimo di millimetro, oppure misuriamo una
lunghezza di alcuni metri riportando più volte la riga da un metro,
commettendo anche in questo caso delle imprecisioni.
Eseguendo le operazioni sopra citate si introducono nelle operazioni
di misura dei fattori soggettivi, cioè dipendenti dal modo di eseguire
la misura da parte dell’operatore; questi fattori non si mantengono
costanti al ripetersi dell’operazione di misura.
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Origine della dispersione delle misure
Un altro fattore che genera dispersione dei valori numerici ottenuti
ripetendo le misure di una stessa quantità di grandezza è dovuta
all’influenza dell’ambiente. (temperatura, umidità, pressione
atmosferica ecc..)
La nostra grandezza X sarà quindi funzione f di parametri che
dipendono dall’ambiente oltre che della quantità di grandezza da
misurare G e dall’unità di misura che si adotta U.
X = f (G / U , u , v, w.........t )
Quale potrebbe essere quindi il valore di X da assumere?
E’ conveniente assumere il valore di X che si avrebbe nel caso
in cui tutti i i parametri ambientali hanno valore medio.
X = f (G / U , u m , vm , wm .........t m )
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Origine della dispersione delle misure
Si definisce inoltre come errore ε di una generica misura la
differenza tra il valore X che corrisponde a quella misura ed il
valore X
ε = X − X = f (G / U , u , v, w.........t ) − f (G / U , u m , vm , wm .........t m )
Utilizzando elementi di calcolo delle probabilità si può arrivare a
dimostrare che gli errori di misura hanno un comportamento ben
definito e quindi è possibile determinare formule che ci riconducono
ad un valore univoco da attribuire alla quantità di grandezza
misurata e al modo di valutarne l’accuratezza.
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Misura di una grandezza
MISURA DIRETTA
La misura diretta di una grandezza è definibile nel
modo seguente :
a) si materializzano in numero sufficiente delle quantità
uguali ovvero si definiscono delle unità campione;
b) si sommano opportunamente le unità in modo da
avere una quantità uguale a quella da misurare
c)
si conta il numero di unità campione contenute nella
quantità costruita: tale numero si chiama misura
diretta della grandezza.
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Misura di una grandezza
MISURA INDIRETTA
La misura indiretta di una grandezza è definita da un
legame funzionale che lega tale grandezza ad altre
grandezze direttamente misurabili: le misure dirette di
queste ultime determinano, attraverso il legame funzionale
la misura indiretta della prima.
Es : Misura indiretta della distanza D fra due punti
D = k ⋅ S ⋅ sin 2 ϕ
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Misura di una grandezza
MISURE DIRETTE CONDIZIONATE
Di norma, le misure dirette che si eseguono sono
soggette a condizioni geometriche; ad esempio la somma
degli angoli interni di un poligono chiuso di n lati deve
essere uguale a (n-2)∗π
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Misura di una grandezza
B
Valore della
distanza AB
A
AB = 234,34 metri
valore esatto ????
NO
ogni grandezza misurata è affetta da un ERRORE
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Errori nella misura di una grandezza
• ERRORI GROSSOLANI
• ERRORI SISTEMATICI
• ERRORI ACCIDENTALI
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Errori nella misura di una grandezza
ERRORI GROSSOLANI
Nell'eseguire una misura si può commettere un errore
grossolano, ad esempio, nel misurare una distanza,
riportando un'asta graduata può capitare di sbagliare il
conteggio delle volte che è stata riportata
Tenuto presente che nelle operazioni di rilievo sul
terreno, le misure eseguite in un giorno possono essere
centinaia, si comprende come un errore grossolano possa
verificarsi spesso.
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Errori nella misura di una grandezza
ERRORI SISTEMATICI
Un errore sistematico tipico è quello che deriva da una
imperfetta taratura dello strumento di misura; ad esempio
si supponga che un’asta nominalmente lunga un metro
sia in realtà lunga un metro più un millimetro: misurando
una lunghezza con tale asta si commette un errore di
tanti millimetri quante sono le volte che è stata riportata.
• Ripetendo la misura il risultato non cambia.
• Un tipo di errore sistematico è quindi quello che
conserva, al ripetere della misura, valore e segno
costanti.
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Errori nella misura di una grandezza
ERRORI ACCIDENTALI
Ripetendo più volte la misura di una grandezza si può
constatare:
a) che i risultati cambiano ad ogni ripetizione in maniera
che si potrebbe definire accidentale;
b) che gli scarti fra un risultato e l'altro sono piccoli e che
lo scarto massimo è in genere inferiore ad un certo
limite, tanto più piccolo, quanto più la misura è
precisa;
c) che ripetendo numerose determinazioni, i valori
ottenuti tendono ad assumere una stabilità statistica.
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
• Consideriamo una popolazione composta da N individui;
attraverso la statistica siamo in grado di classificare
questa popolazione in relazione ad un suo unico aspetto,
quello che interessa l'indagine.
• Assumendo ad esempio gli studenti frequentanti il corso
di “Rilievo e rappresentazione del territorio”, pensiamo di
classificarli in funzione della statura.
• Classificare la popolazione vuole dire determinare la
forma e il valore Xi (valore argomentale) che l'attributo X
assume per ognuno degli N individui che la compongono.
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Dopo avere censito la popolazione si procede al
raggruppamento degli individui in classi cioè:
a)
suddividiamo la differenza fra valore argomentale più
alto e più basso in n intervalli,
b)
attribuiamo ad ogni intervallo un valore argomentale Xi
scelto tra quelli compresi nell'intervallo stesso;
c)
attribuiamo a tutti gli individui compresi nell'intervallo il
valore argomentale definito per l'intervallo stesso;
d)
contiamo il numero di individui Fi compresi nell'intervallo;
si ottiene così la variabile statistica ad una dimensione.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 …………. XN
F1 F2 F3 F4 F5 F6 …………. FN
dove Σ Fi = N
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Si possono calcolare dei parametri che, pur non rappresentando
compiutamente la variabile, danno delle informazioni globali sulle
caratteristiche della distribuzione: questi parametri sono i
momenti.
m k ( X ) = Σ i X ik f i
Il momento di primo ordine
m1 ( X ) = Σ i X i f i
prende il nome di valore medio o media ed è indicato con M.
Il momento di secondo ordine.
m 2 ( X ) = Σ i X i2 f i
prende il nome di valore quadratico medio.
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Consideriamo ora la variabile statistica "scarto", questa variabile si
ottiene sottraendo ad ogni argomento della variabile statistica il valore
della media; si ha cioè:
vi = Xi − M(X )
il momento di secondo ordine della variabile statistica "scarto", assum
nome di varianza, è indicato con σ2 ed è dato da:
σ2(x) = Σi vi2 fi = Σi (Xi-M)2 fi
Alla radice quadrata della varianza σ2 si dà il nome di
scarto quadratico medio (σ o sqm.).
Le notizie globali valide sulla popolazione si hanno considerando
insieme il valore della media ed il valore della varianza attribuendo a
quest'ultimo la possibilità di indicare la maggiore o minore dispersione
dei valori argomentali intorno alla media.
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Graficamente una variabile statistica può essere
rappresentata tramite un ISTOGRAMMA
∑f
i
/N
Xi
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Xn
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
VARIABILE CASUALE DISCONTINUA
Consideriamo una popolazione di individui e consideriamo che di essi
se ne possa esaminare solo uno alla volta.
Ogni individuo deve essere di volta in volta enucleato dalla
popolazione in base ad un’estrazione a caso un’operazione cioè
che non ha nessun criterio di scelta.
Infine ogni individuo dopo essere stato esaminato deve essere
reinserito nella popolazione prima di procedere ad una nuova
estrazione.
Esempio: In un sacchetto ci sono dei dischetti contrassegnati da un
numero, si estrae un dischetto se ne esamina il numero e lo si
reinserisce nel sacchetto prima di procedere ad una nuova
estrazione.
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Questo tipo di operazione sulla popolazione fa sì che ad essa possa
considerarsi associata una variabile casuale, costituita da una doppia
serie di numeri : i valori argomentali e le probabilità ad essi associate.
⎧ X 1 , X 2 , X 3 ,.................. X
⎨
⎩ p1 , p 2 , p3 ,..................... p n
La probabilità che si presenti un valore è data dal rapporto tra:
pi=
Numero casi favorevoli
Numero casi possibili
Anche in questo caso si possono definire la media e lo scarto
quadratico medio che in questo caso varranno:
M = ∑ X i pi
s.q.m = ±
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2
(
)
X
−
M
pi
∑ i
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
VARIABILE CASUALE CONTINUA
Una variabile casuale anziché essere composta da una
serie di valori argomentali e dalle rispettive probabilità
può essere definita con continuità in un intervallo a-b
A
Esempio: Una pallina
che rotola su di un
piano inclinato
B
In questo caso in tutto l’intervallo a-b esisterà una
funzione f(x) in grado di definire la probabilità che
un’estrazione a caso porti ad un valore compreso in un
intervallo interno ad a-b
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
VARIABILE CASUALE CONTINUA
Non potrà invece essere definita la probabilità che l’evento porti ad
uno specifico valore x perché nell’intervallo a-b esistono infiniti valori
e quindi la probabilità (casi possibili/casi favorevoli) risulta nulla.
Per una variabile continua si avrà:
b
pa ,b = ∫ f ( x)dx = 1
a
b
M = ∫ xf ( x)dx
a
b
s.q.m = ±
2
(
x
−
M
)
f ( x)dx
∫
a
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
ANALISI STATISTICA DEI RISULTATI
DI n MISURE RIPETUTE
Supponiamo di ripetere la misura di una certa quantità di
grandezza per un numero elevato di volte siano:
• n il numero di misure effettuate
• X1,X2…….Xn i valori numerici ottenuti
• M la media aritmetica
• a-b l’intervallo di dispersione delle misure
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Le misure effettuate possono essere considerate come una
variabile statistica; di essi si può costruire l’istogramma.
a
b
a
b
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a
b
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
a
b
a
b
a
b
Quanto è maggiore l’intervallo a-b di dispersione delle misure
tanto più schiacciato risulta l’istogramma, viceversa tanto si
stringe l’intervallo tanto più ripido risulta l’istogramma.
Dall’esame degli andamenti degli istogrammi si possono
ricavare le seguenti considerazioni:
I risultati delle misure possono essere considerati come
estrazione a caso da una popolazione di misure possibili,
rappresentabili come una variabile casuale.
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Più si aumenta il numero delle misure più aumentano i
valori argomentali che si verificano; ciò rende lecito
introdurre l’ipotesi che la variabile casuale che
costituisce la popolazione sia di tipo continuo.
L’andamento dell’istogramma rimane lo stesso , vi è quindi
una costante di comportamento nella popolazione delle
misure possibili che ci permette di affermare che tutte le
popolazioni di misure possibili sono pensabili come variabili
casuali, in cui la distribuzione delle probabilità è definita da
un unico tipo di funzione.
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
LA POPOLAZIONE DI MISURE POSSIBILI COME
VARIABILI CASUALI NORMALI
Ricerchiamo un tipo funzione f(x) che interpoli bene gli istogrammi e
che possa essere considerata come la funzione della distribuzione
delle probabilità della variabile casuale di media e varianza associabile
ad una qualsiasi popolazione di misure possibili.
La funzione che risulta più idonea è la curva di Gauss che ha
la seguente espressione:
f ( x) =
1
σ 2π
e
1 ⎛ x− X
− ⎜
2 ⎜⎝ σ
⎞
⎟
⎟
⎠
2
Dove X e σ sono rispettivamente la media e la varianza della variabile
casuale, la funzione rappresenta una curva avente la forma di una
campana più o meno schiacciata tra un intervallo di più o meno infinito.
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−∞
+∞
X
Si dimostra che:
68%
-σ
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+σ
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
DETERMINAZIONE DELLA MEDIA E DELLA VARIANZA
IN UNA POPOLAZIONE DI MISURE POSSIBILI
quando eseguiamo un’operazione di misura su una certa quantità
di grandezza non ci troviamo di fronte ad un unico risultato
possibile, ma davanti ad una popolazione di misure possibili; tale
popolazione si distribuisce attorno ad un valore X in un intervallo
di ampiezza compreso tra -3σ e +3σ
Si è quindi adottato come valore significativo il valore centrale
dell’intervallo di dispersione.
Non essendo possibile eseguire un infinito numero di
misure per poter calcolare con esattezza il valore
centrale della curva si utilizza la media in quanto è
dimostrato che è il valore che maggiormente si
approssima al valore centrale della curva.
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X
∑
M=
N
i
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
X
∑
M =
i
MEDIA
N
Abbiamo in questo modo calcolato un valore approssimato di X
ora vogliamo vedere come si può stimare il grado di
approssimazione conseguito.
Diremo allora che così come la media da una stima di X, si
ottiene una stima di σ in funzione delle n misure effettuate e
della loro media il seguente valore che prende il nome di
scarto quadratico medio.
σ
2
(x
∑
=
σ =
− M )2
i
n −1
∑ (x
i
− M )2
n −1
Momento di secondo
ordine : VARIANZA
SCARTO
QUADRATICO MEDIO
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
DIFFERENZA TRA SCARTO QUADRATICO MEDIO E
TOLLERANZA
Quando si esegue un rilievo molte volte nei capitolati vengono
fissati dei limiti di precisione che devono essere rispettati dalle ditte
esecutrici dei lavori.
La precisione con la quale deve essere eseguito il lavoro è fissata
dallo scarto quadratico medio, oppure assegnando un limite
massimo di errore che non deve essere superato e che viene
indicato con il nome di TOLLERANZA.
Quale è il rapporto tra TOLLERANZA e s.q.m.?
Ricordiamo che per errore di stima si intende lo spostamento tra la
misura dal valore della media, che è il valore centrale dell’intervallo di
dispersione delle misure
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
Fissando una tolleranza si fissa la massima quantità in cui la misura
può discostarsi dal valore della media; in pratica si fissa l’ampiezza
dell’intervallo di dispersione delle misure.
Se pertanto viene richiesto di determinare la quota di un punto con la
tolleranza di ± 2 cm significa che si dovrà operare con una metodologia
tale per cui la popolazione di misure possibili sia tutta contenuta entro un
intervallo che va da +2 cm a –2 cm nell’intorno del valore di M, che
possiamo chiamare quota esatta del punto in questione.
Ma per ottenere questo risultato si dovranno effettuare delle operazioni che
ci portano ad avere degli errori che stiano al di sotto di un terzo di 2 cm.
Generalmente nelle operazioni di misura si assegna uno scarto
quadratico medio a priori.
Ad esempio si dice che un teodolite ha una precisione di ± 2’’,
intendendo con questo che si può sbagliare nella determinazione
dell’angolo anche di 6’’.
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Trattamento statistico delle misure di una grandezza
•
Valore della media stimata :
m=
x1 + x 2 + x 3 + .... x n
n
Dm = (234,54 + 234,59+ 234,62+234,52+234,63)/5 = 234,58 metri
Valore della varianza della media m
Σ i (x i − m )
σ m=
(n − 1) n
2
2
v1 =D1- Dm = - 4 cm
v12 = 16
v2 =D2- Dm = 1 cm
v22 =1
v3=D3- Dm = 4 cm
v32 =16
v4= D4- Dm = - 6 cm v42 =36
v52 = 25
v5 =D5- Dm = 5 cm
ξvi2=94
(n-1) n = 4*5 = 20
σ2m = 4,7 cm
σm = 2 cm
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Dm= 234,58±2