A.A. 2010/2011 - Secondo foglio di esercizi di Algebra 3

A.A. 2010/2011 - Secondo foglio di esercizi di
Algebra 3
£√
¤
√
1. Siano p1 , p2 e p3 tre numeri primi distinti. Dimostrare che Q p1 p2 , p2 p3 è
un’estensione di Galois di Q, calcolarne il gruppo di Galois ed il reticolo dei sottocampi.
¡
¢¡
¢
2. Sia E il campo di spezzamento su Q del polinomio f (X) := X 2 − 3 X 4 + 1 .
(1) Si determini il grado [E : Q] di E su Q.
(2) Si calcoli il gruppo di Galois G := Gal(E/Q) di E su Q.
(3) Si determini il reticolo dei sottogruppi di G e dei sottocampi di E.
£ 1
1¤
3. Sia K il sottocampo Q 2 2 + 3 3 di R.
(1) Dimostrare che K non è normale su Q.
(2) Determinare la chiusura normale L di K su Q.
(3) Calcolare il gruppo di Galois G = Gal(L/Q).
(4) Trovare α ∈ K tale che K = Q[α].
(5)∗ Trovare il reticolo dei sottogruppi di G e dei sottocampi di L.
4. Sia D10 il gruppo diedrale di ordine 10. Sia K ⊂ F un’estensione di Galois
avente gruppo di Galois G isomorfo a D10 . Descrivere il reticolo dei sottogruppi di G e
dei sottocampi di F , specificando quali di essi siano di Galois.
Qk
5. 1) Sia ϕ la funzione di Eulero. Se m = i=1 pai i , dove pi è primo e ai ∈ N,
dimostrare che
k
k
Y
Y
ϕ(m) =
ϕ(pai ) =
(pi − 1)pai −1 .
i=1
i=1
[Suggerimento: applicare il Teorema Cinese del Resto a Z/mZ.]
2) Calcolare l’m-esimo polinomio ciclotomico Φm per m ≤ 21. [Suggerimento:
notare la formula induttiva
xm − 1
d|m,d6=m Φd (x)
Φm (x) = Q
dove il prodotto è effettuato sui divisori
¡ positivi d di
¢ m, con 1 ≤ d < m.]
3) Descrivere la struttura di Gal Q[e2πi/m ]/Q per m ≤ 21.
6. Sia µ la funzione su N definita da
½
(−1)m se n è prodotto di m fattori primi distinti
.
µ(n) =
0
altrimenti
Mostrare che
(i) l’ n-esimo polinomio ciclotomico Φn (T ) soddisfa
Y¡
¢µ(n/d)
Φn (T ) =
Xd − 1
;
d|n
(ii) se Φn (T ) = T m + am−1 T m−1 + · · · allora am−1 = −µ(n).
1
(iii) se Fq è il campo con q = pn elementi, mostrare che ci sono
X
µ(n/d)q d
d|n
elementi ζ ∈ Fq tali che Fq = Fp (ζ).
7. Sia Φn (T ) l’ n-esimo polinomio ciclotomico.
(i) Sia x ∈ Z e sia p è un numero primo che divide Φn (x). Mostrare che allora p
divide n oppure p ≡ 1 modulo n
(ii) Mostrare che esistono infiniti primi p tali
¡ che p ≡¢ 1 modulo n. (Sugg.: se fossero
finiti p1 , . . . , pt , considerare un divisore di Φn np1 · · · pt .
(iii) Usando (ii), mostrare che per ogni N ed a ∈ N non nulli esiste un intero n ed
una suriezione di gruppi abeliani
¡
¢∗
¡
¢a
Z/nZ −→ Z/N Z .
(iv) Mostrare che mostrare che per ogni N ed a ∈ N non nulli esiste una estensione
di Galois F di Q con gruppo di Galois
¡
¢a
Gal(F/Q) ∼
= Z/N Z .
(v) Mostrare che per ogni gruppo abeliano finito A prodotto di gruppi ciclici esiste
una estensione di Galois F di Q con gruppo di Galois A.
8. Sia Fq un campo finito con q elementi. Sia Fq ⊂ K una estensione finita e siano
α e β ∈ K. Mostrare che se Fq (α) ∩ Fq (β) ⊂ Fq (α + β) allora Fq (α + β) = Fq (α, β).
9. Siano H ed N due sottogruppi finiti e sia
Ψ: H −→ Aut(N ),
h 7→ ψh
un omomorfismo di gruppi dove Aut(N ) è il gruppo degli automorfismi di N come
gruppo. Definisco N >/ψ H come l’insieme N × H con moltiplicazione
¡
¢ ¡
¢
¡
¢
¡
¢
N >/ψ H × N >/ψ H −→ N >/ψ H,
(n, h), (n0 , h0 ) 7→ nψh (n0 ), hh0 ,
1 := (1, 1) e inverso
N >/ψ H −→ N >/ψ H,
¡
¢
(n, h) 7→ ψh− 1 (n−1 ), h−1 .
(i) Mostrare che N >/ψ H è un gruppo e le applicazioni
N −→ N >/ψ H,
n 7→ (n, 1),
H −→ N >/ψ H,
h 7→ (1, h)
sono omomorfismi iniettivi di gruppi che idenitificano N >/ψ H con il prodotto semidiretto dell’immagine di N per l’immagine di H.
(ii) Mostare che N >/ψ H è il prodotto diretto N × H se e solo se Ψ è l’applicazione
che manda ogni h ∈ H nell’applicazione identica di N .
2
(iii) Sia G un gruppo prodotto semidiretto dei sottogruppi finiti A per B, con A
normale in G. Sia
ψ: B −→ Aut(A),
ψb (a) = bab−1 ∀a ∈ A, b ∈ B.
Mostrare che ψ è un omomorfismo di gruppi e l’applicazione
A>/ψ B −→ G, (a, b) 7→ a · b
è un isomomorfismo di gruppi.
10. 1) Sia K = Q[21/2 , 31/2 ]. Trovare α ∈ K tale che K = Q[α].
2) Sia K = Q[31/2 , 51/2 , (−7)1/2 ]. Trovare α ∈ K tale che K = Q[α].
11. 1) Osservato che il numero complesso α = (−5)1/2 + 71/2 è un intero algebrico,
calcolare un polinomio monico con coefficienti in Z di cui α è radice.
2) Osservato che il numero reale α = 31/2 + 51/3 è un intero algebrico, calcolare un
polinomio monico con coefficienti in Z di cui α è radice.
3) Calcolare il polinomio minimo di 31/2 · 51/3 .
4) Calcolare il polinomio minimo di 31/2 +(−5)1/2 +111/2 . [Suggerimento: osservare
che 31/2 + (−5)1/2 + 111/2 è un intero algebrico.]
12. Sia K/F un’estensione di campi di numeri e sia (α1 , . . . , αn ) ∈ K n .
1) Dimostrare che gli elementi α1 , . . . , αn sono F -linearmente dipendenti se e solo
se discK/F (α1 , . . . , αn ) = 0.
2) Dimostrare che disc(α1 , . . . , αn ) appartiene a F . [Suggerimento: notare dapprima che il numero complesso disc(α1 , . . . , αn ) appartiene alla chiusura normale L di
K/F in C; mostrare poi che
σ(discK/F (α1 , . . . , αn )) = discK/F (α1 , . . . , αn )
per ogni σ in Gal(L/F ).]
13. Dato d ∈ Z − {0, 1} privo di fattori quadratici, √
si definisca D = d se d ≡ 1
(mod 4) e D = 4d se d ≡ 2, 3 (mod 4). Si dimostri che Q[ d] è contenuto nel D-esimo
campo ciclotomico Q[e2πi/D ]. [Suggerimento: si fattorizzi d (a meno del segno) come
√
prodotto di primi; si osservi poi che Q[ p] è contenuto in Q[e2πi/4p ] se p è un primo
≡ 3 (mod 4) ...]
14. Mostrare che l’insieme (α1 , . . . , αn ) ⊂ OK è una base intera per OK se e solo
se disc(α1 , . . . , αn ) = disc(OK ).
£√ √ ¤
15. Sia K = Q m, n , con m e n interi coprimi tali che m ≡ 1 (mod 4).
Utilizzando il Teorema 4.14 e il Corollario 4.15 degli appunti, calcolare OK .
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