Capitolo I: Complementi di geometria vettoriale

Liceo Lugano 1, 2011-2012
3N (Luca Rovelli)
Capitolo I:
Complementi di geometria vettoriale
1. Vettori geometrici in V3
Dal momento che i concetti fondamentali sono già stati approfonditi nel piano, ci limitiamo a fornire un rapido elenco delle nozioni più importanti.
Una coppia ordinata (P, Q) di punti dello spazio determina un segmento orientato dello
−→
spazio, indicato con P Q.
−→
−→
Di un segmento orientato P Q si definiscono il modulo kP Qk (la distanza tra i punti P
e Q), la direzione (cioè la direzione della retta P Q) e il senso o verso (”dal punto P
−→
verso il punto Q”). Se P = Q, il segmento orientato P P è un segmento nullo.
−→ −→
Due segmenti orientati P Q e RS sono detti equipollenti se possiedono lo stesso modulo
(sono cioè isometrici), la stessa direzione (sono collineari) e lo stesso verso (sono equi−→
−→
orientati). In questo caso, scriveremo semplicemente P Q = RS. L’insieme (o, meglio,
la classe) di tutti i segmenti orientati equipollenti ad un dato segmento è un vettore
geometrico dello spazio. Indichiamo i vettori geometrici con lettere minuscole (~u, ~v , w
~
ecc.) e con V3 l’insieme dei vettori geometrici dello spazio.
La classe contenente tutti i segmenti nulli è detta vettore nullo, e si indica con ~o. Un
−→
segmento orientato P Q nella classe ~v è un rappresentante del vettore geometrico ~v . In
−→
questo caso, scriveremo semplicemente ~v = P Q. Il modulo di un vettore ~v è il modulo di
un suo rappresentante (qualsiasi!); direzione e verso si definiscono in maniera analoga.
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
1
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
L’ addizione vettoriale di due vettori ~u e ~v si definisce
tramite la ”regola della poligonale”: si scelgono innanzi−→
−−→
tutto due rappresentanti AB = ~u e BC = ~v , e si
−→
definisce ~u + ~v = AC.
Per sommare più vettori si procede in maniera analoga:
Se si ottiene una poligonale chiusa, allora la somma è il vettore nullo:
~a + ~b + ~c + d~ + ~e = ~o
L’addizione vettoriale possiede le seguenti proprietà algebriche:
(A1) È associativa: (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c) ∀~a, ~b, ~c ∈ V3
(A2) esiste l’elemento neutro, il vettore nullo ~o: ~a + ~o = ~o + ~a = ~a ∀~a ∈ V3 ;
(A3) esiste l’elemento simmetrico: ∀ ~a ∈ V3 ∃ (−~a) ∈ V3 con ~a + (−~a) = (−~a) + ~a = ~o
−→
−→
(se ~a = P Q, allora si sceglie (−~a) = QP );
(A4) è commutativa: ~a + ~b = ~b + ~a ∀~a, ~b ∈ V3
Dal punto di vista algebrico, l’addizione in V3 si comporta quindi come l’addizione in R:
si dice che (V3 , + ) ha la struttura di gruppo abeliano (o gruppo commutativo).
L’esistenza dell’elemento simmetrico permette di definire anche la sottrazione vettoriale, tramite ~a − ~b := ~a + (−~b).
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
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La moltiplicazione λ·~v (o semplicemente λ~v ) di un vettore ~v con un numero reale λ ∈ R
(o ”moltiplicazione scalare”) si definisce come segue: λ · ~o = ~o , 0 · ~v = ~o
e per ~v 6= ~o, λ 6= 0 :
• (modulo) kλ~v k = |λ| · k~v k;
• (direzione) λ~v ha la direzione di ~v ;
(
se λ > 0, λ~v ha il verso di ~v
• (verso)
se λ < 0, λ~v ha verso opposto a ~v
Proprietà algebriche:
(M1) 1 · ~v = ~v ∀~v ∈ V3 ;
(M2) (λµ) · ~v = λ · (µ~v ) ∀λ, µ ∈ R, ∀~v ∈ V3 ;
(M3) (λ + µ) · ~v = λ~v + µ~v ∀λ, µ ∈ R, ∀~v ∈ V3 ;
(M4) λ(~v + w)
~ = λ~v + λw
~ ∀λ ∈ R, ∀~v , w
~ ∈ V3 .
Le proprietà (A1)-(A4) e (M1)-(M4) si riassumono dicendo che (V3 , + , · ) è uno spazio
vettoriale reale. Esse permettono in particolare di calcolare con i vettori senza dover
ricorrere all’interpretazione geometrica.
2. Dipendenza e indipendenza lineare
Siano ~v1 , ~v2 , . . . ~vn ∈ V3 e λ1 , λ2 , . . . λn ∈ R. Ricorda che il vettore
~v = λ1~v1 + λ2~v2 + . . . + λn~vn
è una combinazione lineare dei vettori ~v1 , ~v2 , . . . ~vn .
Il seguente concetto è di importanza fondamentale nel campo della matematica noto come
algebra lineare:
Definizione 1 (Dipendenza lineare)
I vettori ~v1 , ~v2 , . . . ~vn sono detti linearmente dipendenti se esistono λ1 , λ2 , . . . λn ∈
R non tutti nulli tali che
λ1~v1 + λ2~v2 + . . . + λn~vn = ~o ,
cioè se esiste una combinazione lineare nulla di ~v1 , ~v2 , . . . ~vn con coefficienti non tutti
nulli.
Osservazione: supponendo ad esempio λ1 6= 0, possiamo ”isolare” ~v1 e scrivere
λ2
λ3
λn
· ~v2 + −
· ~v3 + . . . + −
· ~vn .
~v1 = −
λ1
λ1
λ1
Possiamo cioè scrivere ~v1 come combinazione lineare di ~v2 , . . . , ~vn : n vettori ~v1 , ~v2 , . . . ~vn
sono quindi linearmente dipendenti se e soltanto se (almeno) uno di essi è esprimibile
come combinazione lineare degli altri.
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
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Definizione 2 (Indipendenza lineare)
I vettori ~v1 , ~v2 , . . . ~vn sono detti linearmente indipendenti se essi non sono linearmente dipendenti, cioè se dall’affermazione
λ1~v1 + λ2~v2 + . . . + λn~vn = ~o
segue λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 (l’unico modo per scrivere il vettore nullo come
combinazione lineare è porre tutti i coefficienti uguali a zero).
Valgono le seguenti affermazioni:
(i) Se uno dei vettori ~v1 , ~v2 , . . . ~vn è nullo, allora ~v1 , ~v2 , . . . ~vn sono linearmente dipendenti. Infatti, supponendo ad es. che valga ~v1 = ~o,
1 · ~v1 + 0 · ~v2 + . . . + 0 · ~vn = ~o
è una combinazione lineare nulla a coefficienti non tutti nulli!
(ii) Due vettori non nulli sono linearmente dipendenti ⇐⇒ essi sono collineari, cioè
rappresentabili su una stessa retta. Infatti vale
~v2 = λ · ~v1
⇐⇒
λ · ~v1 + (−1) · ~v2 = ~o .
(iii) Tre vettori non nulli sono linearmente dipendenti ⇐⇒ essi sono complanari, cioè
rappresentabili su uno stesso piano;
(iv) Tre o più vettori di V2 oppure quattro o più vettori di V3 sono sempre linearmente
dipendenti.
Il Teorema seguente, di cui tralasciamo la dimostrazione, riveste un’importanza fondamentale nell’ambito dell’algebra lineare.
Teorema 1 (Scomposizione di un vettore)
Sia {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } un sistema massimo di vettori linearmente indipendenti (cioè tale
che l’aggiunta di un ulteriore vettore li rende dipendenti) di uno spazio vettoriale
V . Allora ogni vettore ~v ∈ V è esprimibile in un unico modo come combinazione
lineare
~v = λ1~v1 + λ2~v2 + . . . + λn~vn con λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R.
Nel caso particolare V = V3 segue immediatamente il
Corollario 2 (Scomposizione di un vettore in V3 )
Siano ~a, ~b e ~c tre vettori non complanari di V3 . Allora ogni vettore ~v ∈ V3 è
esprimibile in un unico modo come combinazione lineare
~v = λ~a + µ~b + ν~c con λ, µ, ν ∈ R.
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
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Illustrazione: si tratta di un analogo tridimensionale della regola del parallelogrammo;
basta notare che ogni vettore ~v si lascia rappresentare come diagonale di un parallelepipedo
di spigoli collineari ad ~a, ~b e ~c :
~v = λ~a + µ~b + ν~c
ν~c
µ~b
~c
~b
~a
λ~a
Definizione 3 (Base)
Un sistema massimo {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } di vettori linearmente indipendenti di uno spazio
vettoriale V costituisce una base di V .
Osservazioni:
(i) Ogni elemento di uno spazio vettoriale V è quindi esprimibile in modo univoco
come combinazione lineare degli elementi di una sua base, che rappresenta quindi un
sistema minimo di generatori (cioè tale che la rimozione di un vettore non permette
più di generare l’intero spazio V ).
(ii) Una base di V2 è costituita da una coppia {~a, ~b} di vettori non collineari, e una base
di V3 è costituita da una terna {~a, ~b, ~c} di vettori non complanari.
(iii) In algebra lineare, la dimensione dim(V ) di uno spazio vettoriale è pari al numero
di elementi di una sua base. Vale quindi
dim(V2 ) = 2 e dim(V3 ) = 3 .
Tale definizione1 rende rigoroso il concetto intuitivo di dimensione come ”numero
di gradi di libertà”.
1
per la quale, a dire il vero, occorrerebbe mostrare che ogni base ha lo stesso numero di elementi
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3. Vettori aritmetici dello spazio
Definizione 4 (Base ortonormata)
Una base {~i, ~j, ~k} di V3 è detta base ortonormata orientata positivamente se
vale quanto segue:
(i) k~ik = k~jk = k~kk = 1;
(ii) ~i ⊥ ~j, ~i ⊥ ~k, ~j ⊥ ~k;
(iii) la terna ordinata (~i, ~j, ~k) forma un sistema destro (o terna positiva) di vettori,
cioè l’angolo convesso e orientato tra ~i e ~j è positivo se osservato dal semispazio
indicato da ~k.
La condizione (iii) può essere sostituita dalla seguente, detta regola della mano destra:
(iii)’ la terna ordinata (~i, ~j, ~k) forma un sistema destro (o terna positiva) di vettori,
possiamo cioè sovrapporre ai vettori ~i, ~j e ~k rispettivamente il pollice, l’indice
e il medio della mano destra.
Illustrazione:
sistema sinistro
(terna negativa)
sistema destro
(terna positiva)
Sia quindi {~i, ~j, ~k} una base ortonormata di V3 . Ogni vettore ~v ∈ V3 si lascia scomporre
in un unico modo come combinazione lineare di ~i, ~j, ~k:
~v = v1 ·~i + v2 · ~j + v3 · ~k
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
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Il vettore ~v è determinato in maniera univoca dai numeri reali v1 , v2 , v3 . In particolare,
l’applicazione
 
v1
~
~
~

Ψ : ~v = v1 · i + v2 · j + v3 · k 7−→ ~v = v2 
v3
è una biiezione che permette di identificare l’insieme V3 dei vettori geometrici con l’insieme
(omonimo) dei vettori aritmetici dello spazio
  
 x 


y x, y, z ∈ R
V3 =
.


z È facile mostrare che l’insieme dei vettori aritmetici munito dell’addizione vettoriale
   


v1
w1
v1 + w 1
v2  + w2  := v2 + w2 
v3
w3
v3 + w 3
e della moltiplicazione con un numero reale
 
 
v1
λv1



λ · v2 := λv2 
v3
λv3
possiede una struttura di spazio vettoriale, e che l’applicazione Ψ è compatibile con tale
struttura, cioè
Ψ(~v + w)
~ = Ψ(~v ) + Ψ(w)
~ e Ψ(λ · ~v ) = λ · Ψ(~v ) ;
ciò significa che Ψ non è soltanto una biiezione, ma anche un cosiddetto isomorfismo di
spazi vettoriali (rispetta cioè anche la struttura algebrica). Esso permette quindi di considerare vettori geometrici e vettori aritmetici come oggetti del tutto equivalenti.
Applicazioni:
 
 
v1
w1



~ = w 2 :
a) Condizione di collinearità tra 2 vettori ~v = v2 e w
w3
v3



∃ λ ∈ R con

∃
λ
∈
R
con



  


 w 



w1 = λv1
v1
1
~v k w
~
⇐⇒
⇐⇒
w2  = λ · v2  
w2 = λv2










w3
v3
w3 = λv3
Esempio: i vettori
 √ 
− 2
~v =  0 
3

2
e
w
~ =  0√ 
−3 2
√
sono collineari, dal momento che vale w
~ = − 2 · ~v .
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)

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 
 
 
u1
v1
w1
b) Condizione di complanarità tra 3 vettori ~u = u2 , ~v = v2  e w
~ = w 2 :
u3
v3
w3




∃
λ,
µ
∈
R
con
 ∃ λ, µ ∈ R con



)









~u, ~v , w
~


 
λu1 + µv1 = w1
u1
v1
w1
⇐⇒
⇐⇒
sono
λu2 + µv2 = w2
λ u2  +µ v2  = w2 





complanari




 
u3
v3
w3
λu3 + µv3 = w3
I tre vettori sono quindi complanari (cioè linearmente dipendenti) se e soltanto se il
sistema di 3 equazioni


λu1 + µv1 = w1
λu2 + µv2 = w2


λu3 + µv3 = w3
nelle 2 incognite λ, µ possiede (almeno) una soluzione2 .
 
 
 
3
−1
−2





2
Esempio: i vettori ~u = 3 , ~v =
ew
~ = −3 sono complanari?
2
1
4
Occorre stabilire se il sistema

 
   

3
−1
−2
3λ − µ = −2






λ 3 +µ 2
= −3
⇐⇒
3λ + 2µ = −3


2
1
4
2λ + µ = 4
possiede o meno soluzioni; un modo conveniente di procedere è la risoluzione del
sistema ”parziale” formato da due delle equazioni e la successiva verifica nella terza.
In questo caso, sottraendo la prima equazione dalla seconda otteniamo
3µ = −1 quindi µ = −
1
3
1
7
e λ = (µ − 2) = −
3
9
;
sostituendo λ = − 97 e µ = − 13 nella terza equazione abbiamo
2λ + µ = −
14 1
17
− = − 6= −4 .
9
3
9
Di conseguenza, il sistema non possiede soluzioni e i vettori ~u, ~v e w
~ non sono
complanari. Essi formano quindi una base di V3 .
2
più tardi impareremo a studiare la dipendenza lineare di tre vettori in modo più efficiente grazie al
determinante
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
8
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 
a1
c) Scomposizione di un vettore ~a = a2  come combinazione lineare di tre vettori
a3 
 

 
u1
v1
w1
(non complanari) ~u = u2 , ~v = v2  e w
~ = w2 : dobbiamo ricavare tre
u3
v3
w3
numeri reali λ, µ, ν tali che
~a = λ~u + µ~v + ν w
~
ovvero
 
 
 
 
a1
u1
v1
w1
a2  = λ u2  + µ v2  + ν w2 
a3
u3
v3
w3
,


λu1 + µv1 + νw1 = a1
λu2 + µv2 + νw2 = a2


λu3 + µv3 + νw3 = a3
⇐⇒
Si tratta di un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite λ, µ, ν; se i vettori ~u, ~v e w
~
formano una base di V3 esiste sempre una e una sola soluzione.
 
4
Esempio: scrivi il vettore ~a = −9 come combinazione lineare dei vettori ~u, ~v e
19
w
~ dell’esempio in b).
Dal momento che {~u, w,
~ w}
~ è una base di V3 (v. sopra) l’esercizio possiede certamente un’unica soluzione. Risolviamo quindi il sistema

 
 
 
 

4
3
−1
−2
3λ − µ − 2ν = 4
−9 = λ 3 + µ  2  + ν −3
⇐⇒
3λ + 2µ − 3ν = −9


19
2
1
4
2λ + µ + 4ν = 19
Dalla prima equazione ricaviamo µ = 3λ − 2ν − 4; sostituendo nella seconda e nella
terza
(
(
3λ + 2(3λ − 2ν − 4) − 3ν = −9
9λ − 7ν = −1
⇐⇒
2λ + 3λ − 2ν − 4 + 4ν = 19
5λ + 2ν = 23
Dalla seconda equazione ricaviamo ν = − 25 λ +
9λ +
35
161
λ−
= −1
2
2
⇐⇒
23
,
2
53λ − 161 = −2
e sostituendo nella prima
⇐⇒
⇐⇒
53λ = 159
λ=3
e quindi, sostituendo a ritroso,
5
23
ν =− ·3+
= 4 e µ = 3 · 3 − 2 · 4 − 4 = −3 .
2
2
Vale quindi, com’è facile verificare,
~a = 3~u − 3~v + 4w
~
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9
.
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4. Il prodotto scalare nello spazio
Definizione 5 (Prodotto scalare)
Siano ~v , w
~ due vettori geometrici di V3 ; il loro prodotto scalare ~v · w
~ è il numero
reale definito come segue:
• se ~v = ~o oppure w
~ = ~o, allora ~v · w
~ =0;
• se ~v 6= ~o e w
~ 6= ~o, allora si definisce
~v · w
~ = k~v k · kwk
~ · cos α ,
dove α è l’angolo (solitamente positivo e convesso) tra due rappresentanti di
~v e w
~ uscenti da uno stesso punto.
Osservazione: dal momento che vale cos(α) = cos(−α) = cos(2π − α), la condizione ”α
positivo e convesso” può anche essere tralasciata.
Illustrazione: sia w
~ k la proiezione ortogonale di w
~ su ~v ; allora
kwk
~ · cos α = ±kw
~ kk ;
w
~
w
~
α
α
~v
~v
w
~k
w
~k
in particolare, vale ~v · w
~ = k~v k · kw
~ k k se α è acuto e ~v · w
~ = −k~v k · kw
~ k k se α è ottuso.
Proprietà del prodotto scalare:
(i) ~v · w
~ =w
~ · ~v (e quindi k~v k · kw
~ k k = k~vk k · kwk)
~
∀ ~v , w
~ ∈ V3 .
(ii) Sia λ ∈ R; allora vale (λ~v ) · w
~ = ~v · (λw)
~ = λ · (~v · w)
~ ∀ ~v , w
~ ∈ V3 .
Illustrazione (con λ > 0):
dal momento che le proiezioni ortogonali di w
~ su ~v e
su λ~v coincidono,
w
~
w
~k
~v
(λ~v ) · w
~ = kλ~v k · kw
~ k k = λk~v k · kw
~ k k = λ (~v · w)
~ ,
λ~v
e
(i)
(i)
~v · (λw)
~ = (λw)
~ · ~v = λ · (w
~ · ~v ) = λ · (~v · w)
~ .
Analogamente si mostrano i casi rimanenti (λ < 0, ~v e w
~ k non equiorientati).
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
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LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
(iii) ~u · (~v + w)
~ = ~u · ~v + ~u · w
~ e (~u + ~v ) · w
~ = ~u · w
~ + ~v · w
~
∀ ~u, ~v , w
~ ∈ V3 .
Illustrazione (caso particolare):
nella situazione rappresentata vale
w
~
~u · (~v + w)
~ = k~uk · k(~v + w)
~ kk
~v + w
~v
= k~uk · k~vk + w
~ kk
= k~uk · (k~vk k + kw
~ k k)
~u
= k~uk · k~vk k + k~uk · kw
~ kk
(~v + w)
~ k = ~vk + w
~k
= ~u · ~v + ~u · w
~
.
I casi rimanenti (dove ~u, ~vk e w
~ k non sono equiorientati) si dimostrano in modo
analogo, e la seconda formula segue nuovamente da (i).
(iv) Per due vettori non nulli e collineari ~v e w,
~ vale
• ~v · w
~ = k~v k · kwk
~ · cos 0 = k~v k · kwk,
~ se ~v e w
~ hanno lo stesso verso;
• ~v · w
~ = k~v k · kwk
~ · cos π = −k~v k · kwk,
~ se ~v e w
~ hanno versi opposti.
In particolare, con ~v = w
~ ricaviamo ~v · ~v =
~v 2 = k~v k2 .
|{z}
notazione
(v) Se vale ~v ⊥ w,
~ allora ~v · w
~ = k~v k · kwk
~ · cos
|{z}0 = 0.
0
(vi) Sia {~i, ~j, ~k} una base ortonormata di V3 . Per quanto visto sopra, vale
~i · ~i = ~j · ~j = ~k · ~k = 1
e
~i · ~j = ~i · ~k = ~j · ~k = 0 .
Analogamente a quanto visto in V2 , possiamo ora dimostrare che il prodotto scalare di
due vettori aritmetici è dato da una semplice formula:
Teorema 3 (Prodotto scalare di 2 vettori aritmetici)
   
v1
w1
v2  · w2  = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3
v3
w3
.
Dimostrazione: ricordando che valgono le identificazioni
 
 
v1
w1
v2  = v1~i + v2~j + v3~k e w2  = w1~i + w2~j + w3~k
v3
w3
,
calcoliamo (con l’aiuto di (vi)):
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
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   
v1
w1
v2  · w2  = (v1~i + v2~j + v3~k) · (w1~i + w2~j + w3~k)
v3
w3
~i · ~i +v2 w2 ~j · ~j +v3 w3 ~k · ~k
= v1 w1 |{z}
|{z}
|{z}
1
1
1
+ (v1 w2 + v2 w1 )~i · ~j + (v1 w3 + v3 w1 )~i · ~k + (v2 w3 + v3 w2 ) ~j · ~k
|
{z
}
0
= v1 w1 + v2 w2 + v3 w3
Applicazioni:
a) Modulo di un vett. aritmetico: dal momento che vale ~v · ~v = k~v k2 (vedi (iv)),
 
v1 q
√


k~v k = v2 = ~v · ~v = v12 + v22 + v32 .
v3 b) Angolo tra 2 vettori aritmetici: dalla definizione ricaviamo immediatamente
cos α =
~v · w
~
v1 w1 + v2 w2 + v3 w3
p
=p 2
k~v k · kwk
~
v1 + v22 + v32 · w12 + w22 + w32
.
c) Condizione di ortogonalità tra due vettori: da (v) segue che
~v ⊥ w
~
⇐⇒
~v · w
~ =0
⇐⇒
v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 = 0 .
5. Il prodotto vettoriale
Definizione 6 (Prodotto vettoriale)
Siano ~v e w
~ due vettori in V3 . Il loro prodotto vettoriale ~v × w
~ (leggi ”~v cross
w”)
~ è il vettore in V3 che soddisfa le seguenti condizioni:
• se ~v = ~o oppure w
~ = ~o, allora ~v × w
~ = ~o ;
• siano ~v 6= ~o e w
~ 6= ~o; allora
1) (modulo) k~v × wk
~ = k~v k · kwk
~ · | sin α| ove α è l’angolo tra ~v e w;
~
2) (direzione) ~v × w
~ ⊥ ~v e ~v × w
~ ⊥w
~ ;
3) (verso) la terna ordinata (~v , w,
~ ~v × w)
~ è una terna positiva .
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
12
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
In termini geometrici, ciò significa che
1) il modulo di k~v × wk
~ è uguale all’area di un parallelogrammo avente lati equipollenti
a ~v e w
~ ;
2) ~v × w
~ è perpendicolare a un piano parallelo a due rappresentanti di ~v e w
~ ;
3) i vettori ~v , w,
~ ~v × w
~ (considerati in questo ordine) soddisfano la ”regola della mano
destra”: ~v ↔ pollice, w
~ ↔ indice, ~v × w
~ ↔ medio (della mano destra!).
Illustrazione:
~v × w
~
1) k~v × wk
~ = k~v k · kwk
~ · | sin α| = A
2) ~v × w
~ ⊥ ~v , ~v × w
~ ⊥w
~
w
~
~v
α
3) (~v , w,
~ ~v × w)
~ è una terna positiva.
A
Proprietà del prodotto vettoriale:
(i) ~v × w
~ = −w
~ × ~v ∀ ~v , w
~ ∈ V3 (il prodotto vettoriale è cioè anticommutativo).
~v × w
~
Dimostrazione: i vettori ~v × w
~ ew
~ ×~v hanno la stessa
direzione e lo stesso modulo, ma versi opposti: dal momento che le terne (~v , w,
~ ~v × w)
~ e (w,
~ ~v , w
~ × ~v ) sono
entrambe positive, deve valere w
~ × ~v = −~v × w
~ w
~
~v
w
~ × ~v
(ii) Sia λ ∈ R; allora vale (λ~v ) × w
~ = ~v × (λw)
~ = λ · (~v × w)
~ ∀ ~v , w
~ ∈ V3 .
Illustrazione (con λ > 0):
• l’area viene moltiplicata con il fattore λ, quindi
(λ~v ) × w
~ = λ(~v × w)
~
~v × w
~
k(λ~v ) × wk
~ = λ k~v × wk
~
;
w
~
~v
• la direzione ortogonale a ~v e w
~ coincide con la direzione ortogonale a λ~v e w;
~
λ~v
• λ > 0 preserva l’orientamento, e quindi il verso di w.
~
Con λ < 0, vale k(λ~v ) × wk
~ = |λ| k~v × wk,
~ e il cambio d’orientamento inverte il
verso di ~v × w.
~ Vale inoltre
(i)
(i)
~v × (λw)
~ = − (λw)
~ × ~v = λ(− w
~ × ~v ) = λ · (~v × w)
~
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
13
.
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
(iii) ~u × (~v + w)
~ = ~u × ~v + ~u × w
~ e (~u + ~v ) × w
~ = ~u × w
~ + ~v × w
~
∀ ~u, ~v , w
~ ∈ V3 .
Illustrazione (nel caso particolare3 in cui ~u, ~v e w
~ sono complanari; la dimostrazione
completa si trova nell’Appendice a pagina 22):
~u × ~v + ~u × w
~
~u × (~v + w)
~
~u × w
~
w
~
~u × ~v
~v + w
~
A2
~v + w
~
~v
A3
A1
~u
~u
Da A3 = A1 + A2 segue che k~u × (~v + w)k
~ = k~u × ~v k + k~u × wk;
~ per direzione e
verso si ragiona come sopra. Per i casi rimanenti si procede in modo analogo, e la
seconda formula segue nuovamente da (i).
(iv) Due vettori ~v e w
~ sono collineari ⇐⇒ ~v × w
~ = ~o.
Dimostrazione: Sia α = ∠(~v , w);
~ allora vale
~v k w
~
⇐⇒
⇐⇒
α = 0 oppure α = π
k~v × wk
~ =0
⇐⇒
⇐⇒
(
k~v k · kwk
~ · sin 0
k~v × wk
~ =
k~v k · kwk
~ · sin π
~v × w
~ = ~o
(v) Per due vettori non nulli e ortogonali ~v e w,
~ vale
π
= ±k~v k · kwk
~
.
k~v × wk
~ = k~v k · kwk
~ · sin ±
2
(vi) Sia {~i, ~j, ~k} una base ortonormata di V3 . Per quanto visto sopra, vale
~i × ~i = ~j × ~j = ~k × ~k = ~o
e inoltre
~i × ~j = ~k
,
~j × ~k = ~i ,
~k × ~i = ~j
e
~j × ~i = −~k
,
~k × ~j = −~i , ~i × ~k = −~j
Per il calcolo del prodotto vettoriale vale il
Teorema 4 (Prodotto vettoriale di 2 vettori aritmetici)
Siano ~v , w
~ ∈ V3 ; allora
    

v1
w1
v2 w3 − v3 w2
~v × w
~ = v2  × w2  = −v1 w3 + v3 w1 
v3
w3
v1 w2 − v2 w1
3
.
forse troppo...
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
14
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Dimostrazione: ricordando che valgono le identificazioni
 
 
v1
w1
v2  = v1~i + v2~j + v3~k e w2  = w1~i + w2~j + w3~k
v3
w3
,
calcoliamo (con l’aiuto di (vi)):
   
w1
v1
v2  × w2  = (v1~i + v2~j + v3~k) × (w1~i + w2~j + w3~k)
w3
v3
~
=
v1 w1 ~i|{z}
× ~i +v1 w2 ~i × ~j +v1 w3 ~i| ×
{z k}
| {z }
~
o
−~j
~k
+ v2 w1 ~j × ~i +v2 w2 ~j × ~j +v2 w3 ~j × ~k
| {z }
| {z }
| {z }
−~k
~
o
~i
× ~k}
+ v3 w1 ~k
× ~}i +v3 w2 ~k × ~j +v3 w3 ~k
| {z
| {z
| {z }
~j
~
o
−~i


v 2 w3 − v 3 w2
= (v2 w3 − v3 w2 )~i + (−v1 w3 + v3 w1 )~j + (v1 w2 − v2 w1 )~k = −v1 w3 + v3 w1  v 1 w2 − v 2 w1
a b
Utilizzando l’abbreviazione c d
diventa
= ad − bc (determinante di ordine 2), la formula

 v2 w2 + v3 w3 



    

 v1
w1
 v1 w1 

~v × w
~ = v2  × w2  = 
− v3 w3  .


v3
w3


 
 v1 w 1 
+ v2 w 2  
 
 
1
1
−2





1 . Calcola
Esempi: siano ~u = 2 , ~v = −1 , w
~=
3
2
3
~u × ~v
,
~v × w
~
,
~u × (~v × w)
~
,
(~u × ~v ) × w
~
.
Per il primo prodotto vale
 2
+ 3

    
 1
1
 1




~u × ~v = 2 × −1 = 
 − 3

3
2

  1
+ 2
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)



 
  

2 · 2 − 3 · (−1)
7

1  


−1 · 2 + 3 · 1
1
=
=
2 

1 · (−1) − 2 · 1
−3


1 
−1 −1
2
15
.
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Analogamente:
 
−5

~v × w
~ = −7
−1

,

19
~u × (~v × w)
~ = −14
3

,

6
(~u × ~v ) × w
~ = −15
9
.
Osservazione: come mostra l’esempio, in generale vale ~u × (~v × w)
~ 6= (~u × ~v ) × w.
~ Il
prodotto vettoriale non soddisfa la proprietà associativa; non ha quindi senso scrivere
semplicemente ~u × ~v × w.
~
Applicazioni:
 
 
v1
w1
a) Direzione ortogonale a due vettori ~v = v2  e w
~ = w 2 .
v3
w3
Risulta immediatamente chiaro che qualsiasi vettore collineare a ~v × w
~ soddisfa
questa condizione.
 
 
 
1
1
7
Esempio: se ~v = 2 e w
~ = −1, possiamo utilizzare ~v × w
~ =  1 .
3
2
−3
b) Area A(~v , w)
~ del parallelogrammo definito da ~v e w.
~
È chiaro che vale, per definizione, A(~v , w)
~ = k~v × wk.
~
Esempio: siano ~v e w
~ come sopra; allora vale
 
7 √
√
 
A(~v , w)
~ = k~v × wk
~ =
1 = 49 + 1 + 9 = 59 .
−3 6. Il prodotto misto
Definizione 7 (Prodotto misto)
Siano ~u, ~v , w
~ tre vettori di V3 . Il loro prodotto misto [~u, ~v , w]
~ è il numero reale
[~u, ~v , w]
~ := (~u × ~v ) · w
~
.
Interpretazione geometrica: innanzitutto notiamo che
[~u, ~v , w]
~ = (~u × ~v ) · w
~ = k~u × ~v k · kwk
~ · cos α
ove α è l’angolo convesso e positivo tra ~u × ~v e w.
~
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
16
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
~u × ~v
h
Nota che kwk
~ · cos α = ±h, dove h è l’altezza
del parallelepipedo avente ~u, ~v e w
~ come
spigoli, e k~u × ~v k = A(~u, w)
~ è l’area del parallelogrammo avente per lati ~u e ~v . Nota
inoltre che vale cos α > 0 se e soltanto se α
è acuto, cioè se (~u, ~v , w)
~ è una terna positiva
(soddisfa cioè la ”regola della mano destra”).
w
~
h
α
~v
A
~u
Sia V(~u, ~v , w)
~ il volume del parallelepipedo avente ~u, ~v e w
~ come spigoli; otteniamo
k~u × ~v k · kwk
~ · cos α = ±A · h .
Quindi
• [~u, ~v , w]
~ = V(~u, ~v , w)
~ è il volume del parallelepipedo;
• [~u, ~v , w]
~ > 0 ⇐⇒ (~u, ~v , w)
~ è una terna positiva.
In altre parole: [~u, ~v , w]
~ = ±V(~u, ~v , w)
~ è il volume orientato di un parallelepipedo determinato da ~u, ~v e w.
~
Proprietà del prodotto misto:
(i) Scambiando due vettori di una terna, il suo segno si inverte ma il volume non cambia;
vale quindi
[~u, ~v , w]
~ = − [~v , ~u, w]
~ = − [~u, w,
~ ~v ] = − [w,
~ ~v , ~u] .
Permutando ciclicamente i vettori di una terna, non cambiano né il volume, né
l’orientamento:
[~u, ~v , w]
~ = [~v , w,
~ ~u] = [w,
~ ~u, ~v ] .
(ii) Vale anche [~u, ~v , w]
~ = ~u · (~v × w).
~
Dimostrazione:
[~u, ~v , w]
~ = [~v , w,
~ ~u] = (~v × w)
~ · ~u = ~u · (~v × w)
~ (iii) Sia λ ∈ R; allora [λ~u, ~v , w]
~ = [~u, λ~v , w]
~ = [~u, ~v , λw]
~ = λ[~u, ~v , w]
~ ∀ ~u, ~v , w
~ ∈ V3 .
Dimostrazione: per le proprietà del prodotto scalare vale
[λ~u, ~v , w]
~ = (λ~u) · (~v × w)
~ = λ (~u · (~v × w))
~ = λ[~u, ~v , w]
~ .
Inoltre,
(i)
(i)
[~u, λ~v , w]
~ = [λ~v , w,
~ ~u] = λ[~v , w,
~ ~u] = λ[~u, ~v , w]
~
e analogamente si dimostra [~u, ~v , λw]
~ = λ[~u, ~v , w]
~ Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
17
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
(iv) Siano ~u, ~u0 , ~v , ~v 0 , w,
~ w
~ 0 ∈ V3 . Allora vale
[~u + ~u0 , ~v , w]
~ = [~u, ~v , w]
~ + [~u0 , ~v , w]
~
[~u, ~v + ~v 0 , w]
~ = [~u, ~v , w]
~ + [~u, ~v 0 , w]
~
[~u, ~v , w
~ +w
~ 0 ] = [~u, ~v , w]
~ + [~u, ~v , w
~ 0] .
Dimostrazione: nuovamente per le proprietà del prodotto scalare,
[~u + ~u0 , ~v , w]
~ = (~u + ~u0 ) · (~v × w)
~ = ~u · (~v × w)
~ + ~u0 · (~v × w)
~ = [~u, ~v , w]
~ + [~u0 , ~v , w]
~
e le uguaglianze rimanenti seguono da (i) come al punto precedente.
(v) Tre vettori ~u, ~v , w
~ sono linearmente dipendenti ⇐⇒ [~u, ~v , w]
~ =0.
Dimostrazione:
~u, ~v , w
~ sono lin. dip.
⇐⇒
⇐⇒
~u, ~v , w
~ sono complanari
[~u, ~v , w]
~ =0 ⇐⇒
V(~u, ~v , w)
~ =0
In particolare, se (almeno) due dei vettori ~u, ~v , w
~ coincidono, il loro prodotto vettoriale è nullo.
 
 
 
u1
v1
w1





Per il prodotto misto di tre vettori aritmetici ~u = u2 , ~v = v2 e w
~ = w2 
u3
v3
w3
si utilizza la notazione
u1 v1 w1 [~u, ~v , w]
~ = u2 v2 w2 .
u3 v3 w3 Tale numero è anche detto determinante dei vettori ~u, ~v , w
~ (si parla di determinante di
ordine 3). Invece di [~u, ~v , w]
~ si scrive anche det(~u, ~v , w).
~
Per il calcolo del determinante, sfruttiamo ad es. l’oss. (ii):

 v2 w2 + v3 w3 



 


u1  v2 w2 v1 w1 v1 w1

v
w
1
1

[~u, ~v , w]
~ = ~u·(~v ×w)
~ = u2 ·
− v3 w3  = u1 · v3 w3 −u2 · v3 w3 +u3 · v2 w2


u3 

 
 v1 w1 
+ v2 w2 (la formula ottenuta è detta ”sviluppo di Laplace del determinante rispetto alla prima
colonna”).
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
18
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)


 
 
−1
3
1
Esempio: calcola [~u, ~v , w]
~ con ~u =  2 , ~v =  1 , w
~ = 5.
5
−2
8
Soluzione:
−1 3 1 1 5 3 1 −2·
+5· 3 1
1 5 = (−1) · [~u, ~v , w]
~ = 2
−2 8 1 5
−2 8 5 −2 8 = (−1) · 18 − 2 · 26 + 5 · 14
= −18 − 52 + 70 = 0 .
Un’altra formula utile per il calcolo di un determinante di ordine 3 è la seguente:
Teorema 5
u1 v1
u2 v2
u3 v3
(Regola di Sarrus)
w1 w2 = u1 v2 w3 + v1 w2 u3 + w1 u2 v3 − u3 v2 w1 − v3 w2 u1 − w3 u2 v1
w3 .
3u
2v
1
−
u
w
3v
2w
−
v3 1
w
2
− u1
Dimostrazione: semplice verifica (v. esercizi).
Schema mnemonico:
u1
v1 w1
u1
v1
u2
v2 w2
u2
v2
u3
v3 w3
u3
v3
v3
u2
w1
+ u3
w2
v1
+
w3
v2
u1
+
Esempio:
−1 3
2
1
5 −2
calcoliamo di nuovo il determinante dell’es. precedente.
1 5 = (−1) · 1 · 8 + 3 · 5 · 5 + 1 · 2 · (−2) − 5 · 1 · 1 − (−2) · 5 · (−1) − 8 · 2 · 3
8 = −8 + 75 − 4 − 5 − 10 − 48 = 0 .
Applicazioni del prodotto misto:
a) Volume V(~u, ~v , w)
~ del parallelepipedo avente ~u, ~v , w
~ quali spigoli: come abbiamo
già notato,
V(~u, ~v , w)
~ = [~u, ~v , w]
~ Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
19
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
b) Altezza h del parallelepipedo avente ~u, ~v , w
~ quali spigoli (relativa alla faccia ~u, ~v ):
Dal momento che vale
[~u, ~v , w]
~ = k~u × ~v k · kwk
~ · | cos α| ,
{z
}
|
h
otteniamo
h=
[~u, ~v , w]
~ k~u × ~v k
c) dall’osservazione (v) a pagina 18 segue che il determinante permette una verifica
immediata della dipendenza (o dell’indipendenza) lineare:
Teorema 6 (Criterio per la dipendenza lineare)
     
u1 v1 w1 u1
v1
w1
u2 , v2 , w2  sono linearmente dipendenti ⇐⇒ u2 v2 w2 = 0 .
u3 v3 w3 u3
v3
w3
7. La regola di Cramer
Consideriamo un sistema di equazioni


a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b 2 y + c 2 z = d 2


a3 x + b 3 y + c 3 z = d 3
.
e riscriviamolo nella forma vettoriale x · ~a + y · ~b + z · ~c = d~ , con
 
 
 
 
a1
b1
c1
d1
~a = a2  , ~b = b2  , ~c = c2  , d~ = d2 
a3
b3
c3
d3
Sia
.
a1 b 1 c 1 D = [~a, ~b, ~c] = a2 b2 c2 =
6 0 .
a3 b 3 c 3 Per quanto visto nei paragrafi precedenti, sappiamo già che il sistema possiede un’unica
soluzione per ogni scelta di d~ se e soltanto se {~a, ~b, ~c} è una base di V3 , e che ciò è
equivalente a D 6= 0. In questo caso, grazie al determinante è possibile esprimere x, y e
z per mezzo di formule nei coefficienti del sistema.
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
20
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Teorema 7 (La regola di Cramer)
Se vale
a1 b 1 c 1 D = [~a, ~b, ~c] = a2 b2 c2 =
6 0 ,
a3 b 3 c 3 il sistema possiede l’unica soluzione (x, y, z), con
D2
D
,
a1
~ ~c] = a2
, D2 = [~a, d,
a3
d1
d2
d3
x=
D1
D
,
y=
z=
dove
d1
~
~
D1 = [d, b, ~c] = d2
d3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
c1
c2
c3
D3
D
,
a
1
~ = a2
, D3 = [~a, ~b, d]
a
3
b1 d1 b2 d2 .
b3 d3 ~ ~b, ~c], e semplifichiamo
Dimostrazione: sostituiamo d~ = x~a + y~b + z~c in D1 = [d,
l’espressione ottenuta per mezzo delle proprietà del prodotto misto:
~ ~b, ~c] = [x~a + y~b + z~c, ~b, ~c] = [x~a, ~b, ~c] + [y~b, ~b, ~c] + [z~c, ~b, ~c]
D1 = [d,
= x · [~a, ~b, ~c] +y · [~b, ~b, ~c] +z · [~c, ~b, ~c] = x · D
| {z }
| {z }
| {z }
0
D
0
D1
.
D
D2
D3
Analogamente, dal calcolo di D2 otteniamo y =
e da D3 otteniamo y =
D
D
e quindi x =
Osservazione: se d1 = d2 = d3 = 0 (cioè se il sistema è omogeneo) e D 6= 0, vale
D1 = D2 = D3 = 0 e l’unica soluzione del sistema è (x, y, z) = (0, 0, 0), in accordo con
la definizione di indipendenza lineare (”l’unico modo di esprimere ~o come combinazione
lineare di ~a, ~b e ~c è per mezzo di coefficienti nulli”).
Esempio: risolviamo il sistema di equazioni


3x − y − 2z = −14
3x + 2y − 3z = −9


2x − y + 4z = 11
Calcoliamo dapprima
dal
−14
D1 = −9
11
3 −1 −2 D = 3 2 −3 = 47 ;
2 −1 4 momento che D 6= 0, il sistema ha certamente una soluzione. Con
3 −14 −2 3 −1 −14 −1 −2 2 −3 = −47 , D2 = 3 −9 −3 = 141 , D3 = 3 2 −9 = 188
2 11
2 −1 11 −1 4 4 otteniamo x =
141
188
−47
= −1, y =
= 3, z =
=4 ,
47
47
47
Geometria vettoriale 2, corso scientifico (V1.1)
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S = {(−1, 3, 4)}.
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Appendice: additività del prodotto vettoriale
Completiamo la dimostrazione della relazione
~u × (~v + w)
~ = ~u × ~v + ~u × w
~
,
solo accennata in un caso particolare a pagina 14. Iniziamo con la seguente
Osservazione: siano ~u e ~v vettori di V3 , con k~uk = 1. Allora,
come mostra il disegno a destra, se ~v⊥ indica la proiezione di
~v ortogonale a ~u e complanare a ~u e ~v vale
~u × ~v
~u × ~v
~v
k~u × ~v k = k~uk · k~v k · sin α = k~v⊥ k .
|{z}
~v⊥
1
In particolare (sempre se k~uk = 1), ~v⊥ risulta da una rotazione
di 90◦ di ~u × ~v .
α
~u
Dimostriamo ora che vale ~u × (~v + w)
~ = ~u × ~v + ~u × w
~ (con ~u, ~v e w
~ non nulli).
Supponiamo, senza perdita di generalità, che valga k~uk = 1 (in caso contrario è possibile
riscalare i vettori ~u, ~v e w
~ dividendoli per k~uk). Per semplicità, scriviamo ~v + w
~ = ~a, e
rappresentiamo la situazione come segue:
~a
~a⊥
w
~
~a⊥
w
~⊥
w
~⊥
~v
~v⊥
~v⊥
~u
I vettori ~v⊥ , w
~ ⊥ e ~a⊥ sono rappresentabili sui lati di un triangolo (giacente su un piano
ortogonale a ~u, in grigio nel disegno), e quindi vale
~v⊥ + w
~ ⊥ = ~a⊥
.
Ricordando (vedi Osservazione precedente) che ~v⊥ , w
~ ⊥ e ~a⊥ rappresentano l’immagine
rispetto a una rotazione di 90◦ di
~u × ~v
,
~u × w
~
risp. ~u × ~a = ~u × (~v + w)
~
risulta immediatamente chiaro che deve valere
~u × ~v + ~u × w
~ = ~u × (~v + w)
~
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LiLu1, 3N (Luca Rovelli)