Metodi e modelli per le decisioni

Metodi e modelli per le decisioni
Roberto Cordone
A. A. 2015-16
8.4
Giochi simmetrici a due persone
Definizione 1 Definiamo
gioco simmetrico un gioco nel quale per ogni permuta
zione p = p1 , . . . , p|D| dei giocatori 1, . . . , |D|, le utilità si permutano allo stesso
modo:
f (d) x(1) , . . . , x(|D|) = f (pd ) x(p1 ) , . . . , x(p|D| ) per ogni d ∈ D
Intuitivamente, questo significa che, se i giocatori si scambiano le strategie, si scambiano anche i risultati conseguenti, che non dipendono quindi da chi gioca la strategia stessa. Questo implica necessariamente che tutti i giocatori abbiano lo stesso
numero di strategie pure (n(d) = n per ogni d ∈ D) e che tali strategie siano in qualche modo in corrispondenza biunivoca per ogni coppia di giocatori. Più in dettaglio,
se ognuno dei giocatori ha tre strategie, sarà possibile dire che la prima (seconda,
terza) strategia di ciascun giocatore corrisponde in qualche senso alla prima (seconda, terza) strategia di ciascun altro giocatore. Magari non sono esattamente le
stesse operazioni fisiche, ma sono operazioni che producono gli stessi risultati.
Nel seguito consideriamo il caso dei giochi simmetrici a due persone. In questo
caso, esistono solo due possibili permutazioni, e quindi la definizione si semplifica
molto:
(r)
(c)
fij = fji per ogni i, j = 1, . . . , n
(r)
Se il giocatore di riga ottiene il guadagno fij applicando la strategia i mentre quello
di colonna applica la strategia j, quando i due giocatori si scambiano le strategie e
il giocatore di riga applica j mentre quello di colonna applica i, sarà il giocatore di
colonna a ottenere lo stesso guadagno.
Osservazione 1 In un gioco simmetrico a due persone, la matrice dei guadagni
del secondo giocatore è la trasposta della matrice dei guadagni del primo giocatore:
F2 = F10 .
Contrariamente al caso dei giochi a somma zero, anche se l’informazione associata al secondo giocatore è ridondante, in genere si usa comunque la rappresentazione
completa. Questo perché l’informazione mancante non sarebbe semplicemente l’opposto di quella riportata, ma andrebbe cercata nella casella simmetrica, con un
procedimento molto meno evidente. La Tabella 8.1 riporta un esempio di gioco
simmetrico a due persone.
1
2
3
1
(2,2)
(0,3)
(2,5)
2
(3,0)
(4,4)
(8,-1)
3
(5,2)
(-1,8)
(6,6)
Tabella 8.1: Esempio di gioco simmetrico a due persone: le matrici dei payoff dei
due giocatori sono una la trasposta dell’altra
8.4.1
Tassonomia dei giochi simmetrici a due persone e due
strategie
Un caso estremamente semplificato, ma comunque molto interessante in pratica,
è quello dei giochi a due persone in cui ogni giocatore ha solo due strategie a
disposizione. È possibile classificare tali giochi in base a due diverse metodologie,
una delle quali porta a 4 classi, mentre l’altra porta a 12 classi. Le due metodologie
sono largamente coerenti, nel senso che la seconda aggiunge una determinazione
1
ulteriore alla prima, spezzando ciascuna delle sue 4 classi in tre sottoclassi. Nel
seguito, presenteremo le due classificazioni in termini astratti, e poi discuteremo
alcuni giochi cui la letteratura attribuisce suggestivi nomi simbolici, spiegando le
loro caratteristiche fondamentali nei termini delle due classificazioni.
Classificazione in base agli equilibri di Nash
1
2
1
(f11 , f11 )
(f21 , f12 )
2
(f12 , f21 )
(f22 , f22 )
Tabella 8.2: Esempio di gioco simmetrico a due persone: le matrici dei payoff dei
due giocatori sono una la trasposta dell’altra
Data la generica matrice dei payoff in Tabella 8.2, ed escludendo i casi limite nei
quali alcuni payoff coincidono, sono possibili solo quattro situazioni. Per ciascuna
valutiamo se ammette strategie dominanti e determiniamo gli eventuali equilibri
(per esempio, con il metodo della segnatura dei pagamenti):
1. f11 > f21 e f12 > f22 : la prima strategia domina strettamente la seconda per
entrambi i giocatori; esiste un solo equilibrio di Nash nel punto (1, 1);
2. f11 > f21 e f12 < f22 : non vi sono strategie dominanti, e vi sono due equilibri
di Nash giacenti sulla diagonale principale, nei punti (1, 1) e (2, 2);
3. f11 < f21 e f12 > f22 : non vi sono strategie dominanti, e vi sono due equilibri
di Nash giacenti sulla diagonale secondaria, nei punti (1, 2) e (2, 1);
4. f11 < f21 e f12 < f22 : la seconda strategia domina strettamente la prima per
entrambi i giocatori; esiste un solo equilibrio di Nash nel punto (2, 2).
Come si può notare, i giochi simmetrici a due persone e due strategie hanno sempre almeno un equilibrio. Questa è una caratteristica notevole, dato che in generale
ciò non è vero né per i giochi asimmetrici né per quelli simmetrici con più di due strategie (per esempio, il gioco della morra cinese). Vedremo in seguito, considerando
alcuni esempi notevoli, che significato pratico assumano questi equilibri.
Classificazione in base all’ordinamento dei payoff
Un modo più dettagliato di classificare i giochi simmetrici a due persone e due
strategie si basa sull’ordinamento relativo dei quattro payoff indipendenti, f11 , f12 ,
f21 e f22 . In questa classificazione, vi sono tanti giochi quante sono le permutazioni
di quattro valori, cioè 4! = 24. In realtà, però, è possibile ridurre queste classi a 12
osservando che i nomi delle strategie 1 e 2 sono del tutto convenzionali, per cui non
si lede la generalità della classificazione facendo l’ipotesi aggiuntiva f11 > f22 . Se ci
troviamo di fronte a un gioco che non soddisfa questa condizione, basta scambiare
i nomi delle due strategie per renderla valida.
La Tabella 8.4.1 elenca i 12 possibili giochi secondo questa tassonomia, specificando l’ordinamento dei payoff e l’appartenenza di ogni classe con le quattro classi
della prima tassonomia, nonché alcuni nomi celebri di giochi descritti in letteratura
che ricadono in ciascuna sottoclasse.
Le sezioni seguenti presentano sei giochi notevoli, scelti fra le 12 categorie. Per
rendere la descrizione più concreta, invece di usare payoff simbolici, attribuiremo ai
guadagni i valori convenzionali 0, 1, 2 e 3. Per lo stesso motivo, attribuiremo alle
due strategie i nomi simbolici di cooperazione (C) per la prima e non cooperazione
2
Classe
1
2
3
4
Sottoclasse
a
b
c
d
e
a
b
c
a
b
c
a
f11
f11
f11
f12
f12
f11
f11
f11
f21
f12
f21
f21
Ordinamento
> f12 > f21 > f22
> f12 > f22 > f21
> f21 > f12 > f22
> f11 > f21 > f22
> f11 > f22 > f21
> f21 > f22 > f12
> f22 > f12 > f21
> f22 > f21 > f12
> f11 > f12 > f22
> f21 > f11 > f22
> f12 > f11 > f22
> f11 > f22 > f12
Esempi
Matrimonio perfetto
Caccia al cervo
Coordinamento (1)
Coordinamento (2)
Corsa del coniglio
Guerra dei sessi (1)
Guerra dei sessi (2)
Dilemma del prigioniero
Tabella 8.3: Elenco dei 12 possibili giochi simmetrici a due giocatori con due strategie secondo la classificazione per ordinamento dei payoff e loro relazione con la
classificazione secondo gli equilibri di Nash
(N C) per la seconda. Questo è coerente con l’ipotesi che due strategie cooperanti
abbiano un payoff f11 superiore al payoff f22 di due strategie non cooperanti.
8.4.2
Il matrimonio perfetto (classe 1.c)
Questo gioco corrisponde all’ordinamento
f11 > f21 > f12 > f22
ed è rappresentato nella Tabella 8.4.
C
NC
C
(3̄, 3̄)
(2, 1̄)
NC
(1̄, 2)
(0, 0)
Tabella 8.4: Tabella dei payoff per il matrimonio perfetto: le marcature sui payoff
migliori per ogni riga e colonna indicano che il punto (C, C) è l’unico equilibrio di
Nash
Questo gioco descrive quindi la situazione in cui pi cooperazione c’è, maggiore
è la soddisfazione dei due giocatori, come in un matrimonio ideale. Entrando nei
dettagli, l’ordinamento fra le possibili situazioni è:
1. se entrambi i coniugi/giocatori cooperano (C, C) entrambi guadagnano il miglior risultato possibile;
2. se il primo giocatore non coopera mentre l’altro coopera (N C, C), guadagna
il secondo miglior risultato possibile;
3. se il primo giocatore coopera mentre l’altro non coopera (C, N C), guadagna
il terzo risultato;
4. se entrambi non cooperano (N C, N C), entrambi guadagnano il risultato peggiore.
3
La strategia di non cooperare (N C) è dominata dalla strategia di cooperare (C)
per entrambi i giocatori. Questo significa che è ragionevole per entrambi cooperare, e
infatti il gioco ha un solo equilibrio di Nash, che corrisponde alla mutua cooperazione
(nella figura, entrambi i payoff sono marcati).
Della classe 1 fanno parte altri quattro giochi che non hanno ispirato nomi
immaginosi alla letteratura.
8.4.3
La caccia al cervo (classe 2.a)
Questo gioco corrisponde all’ordinamento
f11 > f21 > f22 > f12
ed è rappresentato nella Tabella 8.5.
C
NC
C
(3̄, 3̄)
(2, 0)
NC
(0, 2)
(1̄, 1̄)
Tabella 8.5: Tabella dei payoff per la caccia al cervo: le marcature sui payoff migliori
per ogni riga e colonna indicano che i punti (C, C) e (N C, N C) sono entrambi
equilibri di Nash
Questo gioco deriva da un passo del Discorso sull’origine delle disuguaglianze tra
gli uomini di J. J. Rousseau (1755), secondo il quale le società umane derivano dalle
alleanze temporanee fra uomini per la caccia a grandi animali, sui quali un individuo
isolato non potrebbe avere la meglio. Supponendo che alla caccia partecipino due
giocatori, l’ordinamento fra le possibili situazioni è:
1. se entrambi cooperano (C, C), è molto probabile che arrivino alla cattura di
un cervo, che è il miglior risultato ottenibile per entrambi;
2. se uno dei due non coopera, mentre l’altro coopera (N C, C), quello che non
coopera può dedicare parte del suo tempo a catturare una preda minore, (una
lepre) e mantenere una piccola speranza di catturare anche il cervo con lo
sforzo residuo, ottenendo quindi il secondo miglior risultato possibile;
3. se entrambi i giocatori non cooperano (N C, N C), entrambi possono catturare
una lepre, ma la probabilità che poi riescano a prendere il cervo è praticamente
nulla, per cui questo è il terzo risultato possibile per entrambi;
4. infine, se uno dei due giocatori coopera, mentre l’altro no (C, N C), quello
che coopera guadagna solo una minima speranza di prendere il cervo, che è il
risultato peggiore possibile.
Come si vede nella Tabella 8.5, nessuna delle due strategie è dominata, e il
gioco ha due equilibri di Nash, che corrispondono alla mutua cooperazione e alla
mutua non cooperazione. Infatti, nel caso in cui si possa essere certi che l’altro
giocatore cooperi, conviene non abbandonare l’equilibrio cooperativo, perché porta
alla cattura del cervo. Invece, nel caso si possa essere certi che l’altro giocatore non
cooperi, conviene non abbandonare l’equilibrio non cooperativo e procurarsi almeno
una lepre. Ci sono dunque due possibilità simmetriche. La mutua cooperazione è
un equilibrio desiderabile perché corrisponde a guadagni più alti per entrambi. La
mutua non cooperazione è anch’essa un equilibrio ed è conservativa, cioè obbedisce al
criterio del caso pessimo. Quindi, entrambe le strategie sono razionali, e si sceglierà
l’una o l’altra strategia in base ad altri fattori non modellati nella forma base del
gioco, come il livello di fiducia verso l’altro giocatore.
4
8.4.4
I giochi di coordinamento puro (classi 2.b e 2.c)
Questi giochi corrispondono agli ordinamenti
f11 > f22 > f12 > f21
e
f11 > f22 > f21 > f12
e sono rappresentati nella Tabella 8.6. Ovviamente, il caso intermedio in cui f12 =
f21 ricade nella stessa categoria, ed è anzi la rappresentazione più comune di questo
genere di gioco. Questi giochi descrivono le situazioni nelle quali i risultati migliori
si ottengono quando entrambi i giocatori scelgono la stessa strategia, mentre le
strategie asimmetriche sono dannose per entrambi. In questo senso, le etichette
cooperare e non cooperare sono poco adeguate, e infatti non vengono usate nella
figura.
1
2
1
(3̄, 3̄)
(1, 0)
2
(0, 1)
(2̄, 2̄)
1
2
1
(3̄, 3̄)
(0, 1)
2
(1, 0)
(2̄, 2̄)
Tabella 8.6: Tabella dei payoff per i giochi di puro coordinamento: le marcature
sui payoff migliori per ogni riga e colonna indicano che i punti (1, 1) e (2, 2) sono
entrambi equilibri di Nash
Un esempio classico è quello di due automobilisti che si incontrano, venendo da
direzioni opposte, su una strada stretta, senza segnaletica orizzontale. Se entrambi
si tengono sul lato destro, oppure sul lato sinistro, passano senza problemi. Si può
pensare che una delle due soluzioni sia leggermente migliore dell’altra (per esempio,
se i due automobilisti sono abituati a guidare sulla destra, sarà leggermente più
comodo che entrambi si tengano a destra). Invece, se uno dei due automobilisti si
tiene sulla destra e l’altro sulla sinistra, il risultato è uno scontro frontale, cioè un
risultato cattivo per entrambi. Anche in questo caso, si può pensare che uno dei
due possa avere un risultato leggermente migliore dell’altro, ma comunque peggiore
che nel caso di strategie coordinate.
I giochi di coordinamento puro non hanno strategie dominate e hanno gli stessi
due punti di equilibrio della caccia al cervo. La differenza sta nel fatto che la
contrapposizione fra l’equilibrio più redditizio e il meno redditizio è meno spiccata
che nella caccia al cervo: sono situazioni meno interessanti.
8.4.5
La corsa del coniglio (classe 3.a)
Questo gioco corrisponde all’ordinamento
f21 > f11 > f12 > f22
ed è rappresentato nella Tabella 8.7.
C
NC
C
(2, 2)
(3̄, 1̄)
NC
(1̄, 3̄)
(0, 0)
Tabella 8.7: Tabella dei payoff per la corsa del coniglio: le marcature sui payoff migliori per ogni riga e colonna indicano che i punti (N C, C) e (C, N C) sono entrambi
equilibri di Nash
5
Questo gioco deriva dal film Gioventù bruciata (1955) con James Dean: due
giovani si sfidano guidando ognuno un’auto rubata a tutta velocità verso un precipizio; quello che salta fuori per primo dall’automobile è un “coniglio”, cioè un
vigliacco (nell’originale inglese, si parla di [i]chicken[/i]), e perde la sfida. Un nome
alternativo per lo stesso gioco è falchi e colombe, ovvero Il senso comune e la guerra nucleare, espressione coniata da Bertrand Russell per descrivere la situazione di
tensione tra USA e URSS. In queste sfide (militari, politiche, economiche, ecc. . . ),
uno dei due contendenti gioca il tutto per tutto nella speranza che l’altro ceda,
rischiando il comune disastro. Esempi storici sono: la crisi di Cuba, la corsa agli
armamenti, lo spiegamento dei missili SS-20 in Europa, la guerra del Golfo. . .
L’ordinamento fra le possibili situazioni è:
• se un giocatore non coopera e l’altro sı̀, cioè il primo insiste e il secondo si ritira
(N C, C), quello che non coopera vince la sfida, e ottiene il miglior risultato
possibile;
• se entrambi i giocatori cooperano, cioè si ritirano (C, C), entrambi guadagnano
il secondo risultato possibile, cioè un pareggio onorevole;
• se un giocatore coopera, cioè si ritira, mentre l’altro non coopera (C, N C),
quello che coopera ottiene il terzo possibile risultato, cioè viene svergognato,
ma salva la vita;
• se entrambi i giocatori non cooperano, cioè insistono (N C, N C), entrambi
perdono la vita, che è il peggior risultato possibile per entrambi.
Come si vede nella Tabella 8.7, nessuna delle due strategie è dominata, e il gioco ha due equilibri di Nash, che corrispondono a strategie complementari, con la
cooperazione di uno e la non cooperazione dell’altro giocatore. Infatti, nel caso in
cui un giocatore potesse essere certo che l’altro coopererà, gli converrebbe non cooperare. Viceversa, se potesse essere certo che l’altro non coopererà, gli converrebbe
cooperare. Il criterio del caso pessimo suggerisce a entrambi i giocatori di cooperare, ma la soluzione risultante non è di equilibrio, e quindi tende a non conservarsi
nel caso di ripetizioni del gioco. Nonostante esistano ben due equilibri di Nash non
esiste alcuna strategia razionale per il gioco.
8.4.6
La guerra dei sessi (classi 3.b e 3.c)
Questo gioco corrisponde agli ordinamenti
f12 > f21 > f11 > f22
e
f21 > f12 > f11 > f22
ed è rappresentato nella Tabella 8.8.
C
NC
C
(1, 1)
(2̄, 3̄)
NC
(3̄, 2̄)
(0, 0)
C
NC
C
(1, 1)
(3̄, 2̄)
NC
(2̄, 3̄)
(0, 0)
Tabella 8.8: Tabella dei payoff per la guerra dei sessi: le marcature sui payoff migliori
per ogni riga e colonna indicano che i punti (N C, C) e (C, N C) sono entrambi
equilibri di Nash
La descrizione del gioco è la seguente: due innamorati hanno deciso di trascorrere la serata insieme. Discutono animatamente al telefono se andare a vedere la
partita di calcio, come vorrebbe lui, o il balletto classico, come vorrebbe lei. La
6
comunicazione si interrompe senza possibilità di ristabilirla, per cui ognuno deve
decidere che cosa fare indipendentemente. Entrambi, preferiscono uscire insieme
piuttosto che rimanere separati, dato che la solitudine renderebbe sgradevole anche
lo spettacolo preferito. C’è un problema a livello di etichette delle strategie: per
rispettare la condizione f11 > f22 , occorre definire “cooperazione” la strategia di andare a vedere il proprio spettacolo preferito e “non cooperazione” quella di andare a
vedere lo spettacolo preferito dall’altro giocatore. In genere la convenzione è quella
opposta, ma nella tabella la manteniamo per coerenza col resto della trattazione.
L’ordinamento delle situazioni possibili è il seguente:
• “cooperare” quando l’altro giocatore non “coopera” (C, N C) è la cosa migliore: si sta insieme guardando il proprio spettacolo preferito;
• “non cooperare” quando l’altro giocatore “non coopera” (N C, C) è il secondo
miglior risultato, perché si sta insieme, anche se lo spettacolo non è gradito;
• “cooperare” entrambi (C, C) significa andare a vedere ciascuno il proprio
spettacolo preferito, ed è il terzo possibile risultato;
• “non cooperare” entrambi (N C, N C), infine, è il risultato peggiore, dato che
consiste nel guardare da soli lo spettacolo meno gradito.
Questo gioco non ha strategie dominate, e ha due punti di equilibrio, corrispondenti alle strategie asimmetriche, come nella corsa del coniglio. La differenza sta
nel fatto che tali equilibri sono fondamentalmente positivi per entrambi i giocatori,
invece di essere positivi per uno e molto negativi per l’altro.
8.4.7
Il dilemma del prigioniero (classe 4.a)
Questo gioco corrisponde all’ordinamento
f21 > f11 > f22 > f21
ed è rappresentato nella Tabella 8.9.
C
NC
C
(2, 2)
(3̄, 0)
NC
(0, 3̄)
(1̄, 1̄)
Tabella 8.9: Tabella dei payoff per il dilemma del prigioniero: le marcature sui
payoff migliori per ogni riga e colonna indicano che il punto (N C, N C) è l’unico
equilibrio di Nash
Questo gioco deriva da una ricerca di Merrill Flood e Melvin Dresher promossa
dalla Rand Corporation (Applicazioni ad una strategia nucleare globale (1950)), ma
il nome si deve ad Albert Tucker, che propose il seguente racconto per illustrarla:
due ladri, arrestati e imprigionati in due celle separate, sono sospettati anche di un
efferato delitto. Il giudice ha prove sufficienti per dimostrare che i due sono colpevoli del reato minore, ma per infliggere una pena pi severa avrebbe bisogno della
confessione del reato maggiore. Il giudice offre quindi ai due ladri, mantenuti rigorosamente isolati, uno sconto di pena a chi accettasse di testimoniare contro l’altro.
In caso di accettazione, chi testimonia subirà una condanna molto lieve, mentre
l’altro ladro andrà in carcere per il massimo della pena. Se entrambi confessano
avranno solo la concessione di alcune attenuanti generiche. Se entrambi tacciono,
scamperanno la condanna per il reato maggiore e saranno imprigionati solo per il
reato minore.
L’ordinamento fra le possibili situazioni è:
7
• se un giocatore non coopera e l’altro sı̀, cioè il primo confessa e il secondo tace
(N C, C), quello che confessa ottiene la riduzione forte di pena, che è il miglior
risultato possibile;
• se entrambi i giocatori cooperano fra loro, cioè tacciono (C, C), entrambi sono
condannati a una pena lieve, che è il secondo miglior risultato possibile;
• se entrambi i giocatori non cooperano fra loro, cioè confessano (N C, N C), entrambi vengono condannati con le attenuanti generiche, che è il terzo risultato
possibile per entrambi;
• se un giocatore coopera e l’altro no (C, N C), quello che coopera, cioè tace,
riceve la condanna maggiore, che è il risultato peggiore possibile.
La strategia di cooperare (C) è dominata dalla strategia di non cooperare (N C)
per entrambi i giocatori. Questo significa che è ragionevole per entrambi confessare,
e infatti il gioco ha un solo equilibrio di Nash, che corrisponde alla mutua non
cooperazione (nella figura, entrambi i payoff sono marcati). Benché la soluzione
sia necessaria, ad essa si accompagna un dilemma. Infatti, la non cooperazione
è la sola alternativa non dominata, e quindi razionale. Dall’altro, però, la mutua
cooperazione sarebbe più desiderabile, perché f22 > f11 ). Il dilemma formalizza
un conflitto fra razionalità e interesse generale, che sembra essere tipico di molte
situazioni concrete. Il dilemma del prigioniero è probabilmente in assoluto il gioco
più studiato.
8.5
Giochi generici
Dei giochi generici (non simmetrici e non a somma zero) diremo poco. Ci limitiamo a descrivere un caso abbastanza curioso di gioco asimmetrico, che dà luogo a
conseguenze paradossali. Tali conseguenze sono però sostenute non solo dalla teoria matematica, ma anche da osservazioni empiriche di situazioni che ricadono nel
modello.
8.5.1
Il gioco dei maiali nel recinto
Questo gioco, detto anche gioco dei piccioni in gabbia, è un gioco non simmetrico e
non a somma zero. La Tabella 8.10 riporta i payoff.
Leva
Attesa
Leva
(4, 2)
(5̄, 0)
Attesa
(3, 3̄)
(1̄, 1̄)
Tabella 8.10: Tabella dei payoff per il gioco dei maiali nel recinto: le marcature sui
payoff migliori per ogni riga e colonna indicano che il punto (N C, N C) è l’unico
equilibrio di Nash
Il gioco contempla un giocatore più forte e uno più debole. Entrambi hanno
a disposizione una leva che consente di accedere a un premio (per esempio, del
cibo). Il premio, però, è accessibile solo da una posizione lontana dalla leva (la
parte opposta del recinto). Ognuno dei due giocatori può decidere se agire sulla
leva o aspettare:
• se entrambi agiscono sulla leva, il giocatore forte raggiunge il cibo prima
dell’altro e se ne accaparra la maggior parte;
8
• se il giocatore forte agisce sulla leva e quello debole aspetta vicino alla posizione dove compare il cibo, entrambi ne acquistano una buona porzione (quello
forte scaccia il debole, ma questo ha il tempo di procurarsene una buona
quantità per primo);
• se il giocatore debole agisce sulla leva e quello forte aspetta vicino alla posizione dove compare il cibo, il giocatore forte acquisisce quasi tutto il cibo;
• se entrambi aspettano vicino alla posizione, il cibo non compare ed entrambi
hanno il guadagno pessimo.
Come si vede, il giocatore forte (di riga) non ha strategie dominate, mentre per
il giocatore debole (di colonna) la strategia di agire sulla leva è dominata da quella
di attendere. Quindi, il giocatore debole attende. A quel punto, per il giocatore
forte è ragionevole agire sulla leva. La conclusione, paradossale, è che il giocatore
forte ha convenienza ha mettersi al servizio del giocatore debole, dato che comunque
riuscirà a procurarsi le briciole, mentre l’altro non ha speranza di riuscirvi se non
attendendo.
8.5.2
Giochi finiti e strategie miste
John Nash estese la teoria di Von Neumann sulle strategie miste dai giochi a somma
zero a tutti i giochi con insiemi finiti di giocatori e strategie. Brevemente, i risultati
degni di nota sono due:
1. ogni gioco finito ammette almeno un equilibrio in strategie miste;
2. non è però possibile usare la Programmazione Lineare per trovare tali equilibri: sono noti algoritmi per determinare un equilibrio di Nash risolvendo una
sequenza di problemi lineari che converge a un equilibrio, ma il numero degli
equilibri può essere esponenziale rispetto al numero di giocatori e strategie e
i diversi equilibri possono avere valori diversi (nei giochi a somma zero ce n’è
uno solo); al momento per enumerare gli equilibri di Nash occorrono algoritmi
di enumerazione implicita esponenziali.
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