Note del corso

1
Note per il corso di Geometria e algebra lineare 2016-17
Laurea in Ing.Inform. e Com., Ing.Info.Gest.Imp., Informatica
1 Vettori geometrici
1.1
I prodotti cartesiani R R = R2 e R R R = R3 , costituiti dalle coppie e terne ordinate
di numeri reali, vengono utilizzati in geometria analitica per rappresentare i punti del piano e
dello spazio, mediante l'introduzione di un sistema di coordinate cartesiane. In R2 e in R3
si possono introdurre due operazioni, la somma e la moltiplicazione per scalare (cioe per un
numero reale k ), denite componente per componente:
(a1 ; a2 ) + (b1 ; b2 ) = (a1 + b1 ; a2 + b2 );
k (a1 ; a2 ) = (ka1 ; ka2 ):
Similmente per le terne (a1 ; a2 ; a3 ) 2 R3 .
Denizione 1. Per ogni coppia
!
vettore
R
avente le componenti (xB xA ; yB yA ) . Analogamente
!
per una coppia di punti dello spazio: AB = (xB xA ; yB yA ; zB zA ) 2 R3 .
geometrico
AB e l'elemento di
A = (xA ; yA ) , B = (xB ; yB ) di punti del piano, il
2
!
D
C
B
!
Due vettori geometrici AB e CD coincidono se e solo se A = B e C = D
oppure A 6= B , C 6= D e i segmenti AB e CD hanno la stessa direzione,
lo stesso verso e la stessa lunghezza.
Nell'insieme dei vettori geometrici e possibile denire due operazioni. La
!
!
somma di due vettori geometrici AB e CD del piano e il vettore geometrico
!
!
AB + CD = (xB
A
xA + xD
xC ; yB
yA + yD
yC )
Similmente per i vettori dello spazio. Per ogni scelta dei punti A; B; C , vale
!
! !
sempre AB + BC =AC .
Nel caso in cui i due vettori geometrici vengano rappresentati da segmenti
con uguale punto iniziale A (vettori applicati in A ), l'operazione di somma corrisponde alla
!
! !
\regola del parallelogramma": AB + AC =AD , con ABDC parallelogramma.
D
C
C
D
C
B
B
B
A
A
A
La somma di vettori geometrici ha alcune proprieta fondamentali:
!
!
!
!
!
!
e associativa: (AB + BC ) + CD = AB + (BC + CD) per ogni A; B; C; D .
1.2
2
Rette
!
!
esiste un elemento neutro : il vettore nullo O =AA (qualunque sia il punto A ) ha la
!
! !
! !
proprieta: AB + O = O + AB =AB per ogni A; B .
per ogni A; B , esiste il vettore
!
! !
! !
AB + BA=BA + AB = O
e commutativa: AB + CD=CD + AB per ogni A; B; C; D .
!
!
opposto
!
!
!
di AB , il vettore
!
AB =BA , tale che
!
Come vedremo, questo signica che l'insieme V 2 dei vettori geometrici del piano e un
3
gruppo commutativo rispetto alla somma di vettori. Vale lo stesso risultato per l'insieme V
dei vettori geometrici dello spazio.
!
Il prodotto del numero reale t per il vettore geometrico AB del piano e il vettore geometrico
!
t AB avente le componenti (txB txA ; tyB tyA ) . Analogamente per i vettori geometrici
dello spazio.
B’
B
B
A
(t>0)
(t<0)
A
B’
!
!
!
Il prodotto t AB ha la seguente interpretazione geometrica: t AB e il vettore AB 0 con
punto nale B 0 sulla semiretta AB se t > 0 , sulla semiretta opposta uscente da A se
t < 0 , e tale che il segmento AB 0 abbia lunghezza jt j volte la lunghezza di AB . Ad esempio,
!
!
!
!
!
!
!
!
( 1) AB = AB . Se t = 0 oppure AB = O , poniamo t AB = O . In particolare, t AB =AB 0
se e solo se i punti A; B; B 0 sono allineati.
I vettori geometrici consentono di rappresentare in forma parametrica le rette nel piano e le
rette e i piani nello spazio.
1.2 Rette
Dati due punti distinti P1 ; P2 di una retta r nel piano, ogni altro punto P della retta r verica
!
!
la condizione P1 P = t P1 P2 , con t 2 R . Posto P1 = (x1 ; y1 ) e P2 = (x2 ; y2 ) , le coordinate
(x ; y ) di P soddisfano quindi le equazioni parametriche:
(
x = x1 + t (x2
x1 )
y = y1 + t (y2
y1 )
Eliminando t dalle equazioni parametriche, si ottiene un'equazione
della forma
ax + by = c:
cartesiana
della retta,
Similmente, le coordinate (x ; y ; z ) di un punto P sulla retta nello spazio passante per
P1 = (x1 ; y1 ; z1 ) e P2 = (x2 ; y2 ; z2 ) , soddisfano le equazioni:


x = x1 + t (x2
x1 )
y = y1 + t (y2
y1 )
z = z1 + t (z2
z1 )


L'eliminazione del parametro t in questo caso porta a due equazioni lineari in x ; y ; z , della
forma ax + by + cz = d : la retta e intersezione di due piani non paralleli (non univocamente
determinati).
1.3
3
Piani
!
La retta per P1 = (1; 3; 1) e P2 = (2; 0; 0) ha vettore direzione P1 P2 = (1; 3; 1)
ed equazioni parametriche


x = 1 + t
y = 3 3t


z =1 t
Esempio.
Eliminando t = x 1 , si ottiene y = 3 3(x 1) , z = 1 (x
dei piani di equazione
3x + y = 6 e x + z = 2:
1) . La retta e intersezione
1.3 Piani
Sia il piano passante per tre punti non allineati P1 ; P2 ; P3 nello spazio. Un punto P
!
!
!
appartiene a se e solo se esistono numeri reali s; t tali che P1 P = s P1 P2 +t P1 P3 (in tal
!
!
!
caso, si dice che il vettore P1 P e combinazione lineare dei vettori P1 P2 e P1 P3 ). Infatti,
P sta sul piano se e solo se e quarto vertice di un parallelogramma con vertice in P1 e lati
paralleli ai segmenti P1 P2 e P1 P3 .
Dunque le coordinate (x ; y ; z ) di P soddisfano le equazioni parametriche:


x = x1 + s (x2
x1 ) + t (x3
x1 )
y = y1 + s (y2
y1 ) + t (y3
y1 )
z = z1 + s (z2
z1 ) + t (z3
z1 )


dove P1 = (x1 ; y1 ; z1 ) , P2 = (x2 ; y2 ; z2 ) , P3 = (x3 ; y3 ; z3 ) .
Esempio. Determiniamo le equazioni parametriche e un'equazione cartesiana del piano passante per i punti P1 = (1; 3; 1) , P2 = (2; 0; 0) e P3 = (0; 1; 1) .
!
!
Essendo P1 P2 = (1; 3; 1) e P1 P3 = ( 1; 2; 0) , otteniamo
r :


x = 1 + s
t
y =3
3s
z =1
s


(s; t; 2 R)
2t
Per ottenere l'equazione cartesiana basta eliminare s e t :


x = 1 + (1
y =3
3(1
s=1


)
2x
z)
t
z)
2t
)


t =
x
z +2
y = 3z
2( x
s=1


z
y + 5z
z
4 = 0:
1.4 Lunghezza e prodotto scalare
Denizione 2. La
z + 2)
!
di un vettore geometrico v = (v1 ; v2 ; v3 ) e la lunghezza di un
!
! !
!
qualunque segmento che rappresenta v : se v =AB , la lunghezza di v e
lunghezza
j !v j = jABj:
Per il Teorema di Pitagora, se il riferimento cartesiano ssato nel piano o nello spazio e
(assi a due a due perpendicolari), vale la formula
ortogonale
!
j j=
v
q
v12
+
v22
nel piano e
!
j j=
v
q
v12 + v22 + v32 nello spazio,
1.4
4
Lunghezza e prodotto scalare
!
dove v1 ; v2 , (e v3 ) sono le componenti di v .
!
!
Dati due vettori non nulli v = (v1 ; v2 ; v3 ) e w = (w1 ; w2 ; w3 ) , diamo una formula per il
coseno dell'angolo convesso formato dai due vettori (compreso tra 0 e radianti). Sia
! ! !
u =v
w . Nel caso dei vettori dello spazio (per il piano la formula e analoga) si ha
j !u j2 = (v1
w1 )2 + (v2
w2 )2 + (v3
j !v j2 + j w! j2
w3 )2 =
2 (v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 ):
u=v−w
w
θ
v
D'altra parte, e anche
j !u j2 = (j w! j sin )2 + (j !v j j w! j cos )2 = j !v j2 + j w! j2
e quindi si ha l'uguaglianza
v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 =
da cui la formula
cos =
L'espressione a numeratore e il
j !v jj w! j
! !
v
jj w j cos j !v jj w! j cos ;
v1 w1 + v2 w2 + v3 w3
prodotto scalare
! !
2jv
!
:
!
di v e w :
w = v1w1 + v2w2 + v3w3;
che si annulla quando i due vettori sono ortogonali ( = =2 ). La stessa formula denisce il
! !
prodotto scalare se (almeno) uno dei due vettori e il vettore nullo. In tal caso v w = 0 .
Per la proprieta distributiva del prodotto rispetto alla somma, il prodotto scalare e lineare
rispetto ad entrambi gli argomenti (si dice che e bilineare ):
!
!
! ! !
! !
( !v + w!) = !u !v + !u w!
! !
! ! !
!
k ( v w ) = (k v ) w = v (k w ) 8k 2 R:
(u + v ) w = u w + v w
e
!
u
!
Si puo anche esprimere la lunghezza di un vettore v mediante il prodotto scalare:
j !v j2 = v12 + v22 + v32 = !v !v
Osservazione.
La formula dell'angolo permette di dare un signicato geometrico ai coecienti
a; b dell'equazione cartesiana ax + by = c di una retta r nel piano. Siano P1 e P2 punti di
r . Si ha
ax1 + by1 = c e ax2 + by2 = c;
da cui, sottraendo, a(x2 x1 ) + b(y2 y1 ) = 0 .
!
!
Quindi il prodotto scalare tra il vettore n = (a; b) e il vettore direzione P1 P2 e nullo. Dunque
!
n e un vettore ortogonale (o normale ) alla retta r .
Analogamente, un piano di equazione cartesiana
ha
vettore normale
!
ax + by + cz = d
n = (a; b; c ) o un qualunque suo multiplo non nullo.
1.5
5
Aree, volumi e prodotto vettoriale
Esercizio. Determinare equazioni della retta passante per l'origine e perpendicolare al piano di
equazione cartesiana 2x 3y + z = 2 .
!
Un vettore direzione della retta richiesta e n = (2; 3; 1) . Dunque la retta ha equazioni
parametriche


x = 2t
y = 3t


z =t
1.5 Aree, volumi e prodotto vettoriale
!
!
!
!
Siano v = (v1 ; v2 ) e w = (w1 ; w2 ) due vettori del piano. Il parallelogramma di lati v e w ha
area A il cui quadrato e uguale a
A2 =
j !v j2j w! j2j sin j2 = j !v j2j w! j2(1
= (v12 + v22 )(w12 + w22 )
Dunque A = jv1 w2
j
!
cos2 ) = j v
(v1 w1 + v2 w2 )2 = (v1 w2
j2j w! j2
! !
( v w )2
v2 w1 )2
v2 w1 .
w
θ
v
!
Nello spazio vale ancora la formula per l'area del parallelogramma denito dai vettori v =
!
(v1 ; v2 ; v3 ) e w = (w1 ; w2 ; w3 ) :
A2 = (v12 + v22 + v32 )(w12 + w22 + w32 )
!
Si ha A = j v
= (v1 w2
w! j , dove
!
v
e il
prodotto vettoriale
v2 w1 )2 + (v1 w3
w!= (v2w3
!
(v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 )2
v3 w1 )2 + (v2 w3
v3 w2 ; v3 w1
v1 w3 ; v1 w2
!
v= v w.
j !v w! j = A area del parallelogramma di lati !v e w! .
! ! ~
! !
v w = 0 se e solo se v e w sono vettori proporzionali (infatti A = 0 , l'angolo tra
! !
1. w
3.
v2 w1 )
di v e w .
Proprieta del prodotto vettoriale
! !
! !
2.
v3 w2 )2 :
v e w e nullo o piatto oppure uno dei due vettori e nullo).
!
!
!
!
4. v w e ortogonale a v e a w .
! ! !
(il prodotto scalare v ( v w ) si annulla. . . )
1.5
6
Aree, volumi e prodotto vettoriale
!
5. Il verso del prodotto vettoriale v
della vite destrorsa).
w! e determinato dalla
!
!
regola della mano destra
(o
!
6. Il valore assoluto del prodotto misto u ( v w ) di tre vettori dello spazio e uguale al
! !!
volume V del parallelepipedo di lati u ; v ; w . Infatti
j !u ( !v w!)j = j !v w! j(j !u jj cos j) = A h = V
!
!
!
!
!
dove e l'angolo tra u e v w , A e l'area della base denita dai vettori v e w e
!
h = j u jj cos j e l'altezza corrispondente.
vxw
φ
u
w
v
Esercizio. Il tetraedro con lati deniti dai vettori
! !!
u ; v ; w ha volume
1
6
j !u ( !v w!)j (infatti
!
!
e una piramide con base di area A=2 ( A area
p2 del parallelogramma denito da v e w )).
Il tetraedro regolare di lato 1 ha volume 12 . Per calcolarlo, possiamo considerare il tetraedro
T di vertici A = (0; 0; 0) , B = (1; 1; 0) , C = (1; 0; 1) , D = (0; 1; 1) , i cui lati
p sono quattro
diagonali di facce di un cubo di lato 1. T e un tetraedro regolare di lato 2 , con volume
1=3 , come si ottiene dalla formula precedente ponendo
!
!
!
!
!
!
u =AB = (1; 1; 0); v =AC = (1; 0; 1); w =AD = (0; 1; 1):
Osservando che se il lato paumenta di un fattore a il volume aumenta di un fattore a3 , si
ottiene il volume 13 (p12)3 = 122 del tetraedro regolare di lato 1.