Sul Teorema di Bachet

SUL TEOREMA DI BACHET SULLE
SOMME DI QUATTRO QUADRATI.
(LE POSSIBILITA’ p DI OGNI NUMERO DI ESSERE
SOMMA DI QUATTRO QUADRATI, p ≈ ½ √n)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli , Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show some tables on natural number n as sum of
four perfect squares
Riassunto
In questo lavoro parleremo del teorema di Bachet sui numeri naturali
N come somme di quattro quadrati, in modo particolare dei modi
o possibilità p per ognuno di essi. Troviamo che il numero p di
modi diversi è stimabile a p ≈ ½ √N . Somma di quattro quadrati
come norma dei quaternioni, con accenno ad una possibile estensione
a otto quadrati ed accenno agli ottonioni.
°°°°°°°°°°°°°°
Iniziamo riportando parzialmente da Wikipedia:
1
“ Teorema dei quattro quadrati
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Il teorema dei quattro quadrati, conosciuto anche come congettura di Bachet, afferma che
ogni intero positivo può essere espresso come somma di (al più) quattro quadrati perfetti.
Ad esempio:
3 = 12 + 12 + 12 + 02
31 = 52 + 22 + 12 + 12
310 = 172 + 42 + 22 + 12.
Più formalmente, per ogni intero positivo n esistono interi non-negativi a, b, c, d tali che n = a2
+ b2 + c2 + d2.
…
Il teorema dei quattro quadrati di Lagrange fornisce una risposta affermativa soltanto per il
caso particolare a=b=c=d=1. La soluzione generale fu data da Ramanujan. Egli provò che se
ipotizziamo, senza nulla perdere in generalità, che a ≤ b ≤ c ≤ d, allora esistono esattamente 54
scelte possibili di a, b, c e d, tali che la (*) (per n qualsiasi) è risolvibile negli interi x1, x2, x3, x4.
(Ramanujan ha riportato anche una 55a possibilità di scelta, con a=1, b=2, c=5, d=5. Tuttavia,
in questo caso, l'equazione non è risolvibile per ogni n, ed in particolare per n=15).
Voci correlate
”
“Quaternione
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
2
Frattale costruito come insieme di Julia, definito con i quaternioni.
In matematica, i quaternioni sono entità introdotte da William Rowan Hamilton nel 1843
come estensioni dei numeri complessi.
L'insieme dei quaternioni è un corpo non commutativo: soddisfa quindi tutte le proprietà
usuali dei campi, quali i numeri reali o complessi, tranne la proprietà commutativa del
prodotto. Tutte le estensioni dei quaternioni, quindi ottetti e sedenioni a loro volta, non hanno
la proprietà associativa.
I quaternioni contengono i numeri complessi, e, sul campo reale, sono anche uno spazio
vettoriale a dimensione 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio sui reali a 2
dimensioni). Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una
struttura di algebra di divisione non commutativa.
I quaternioni hanno importanti applicazioni nello studio del gruppo delle rotazioni dello
spazio tridimensionale, nella fisica (nella teoria della relatività e nella meccanica quantistica).
Impieghi "sorprendenti" dei quaternioni sono la robotica, in cui trovano impiego per
individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi, il controllo d'assetto, in quanto
il calcolo tramite quaternioni è più stabile, e la computer grafica 3
…
Norma
La norma di è il numero reale non negativo
La norma di è sempre positiva, e nulla soltanto se
…”
3
. Valgono le relazioni seguenti:
Per i particolari si rimanda alle relative voci complete di
Wikipedia.
Come vediamo, la radice quadrata della somma di
quattro quadrati è la norma dei quaternioni, così come la
radice quadrata della somma di due quadrati è la norma
dei numeri complessi.
Qui vedremo soprattutto il numero di modi o possibilità
diverse che ha un numero intero naturale di essere
somma di quattro quadrati, compresi 0 = 0^2 e 1 = 1^2.
Tale nostro contributo potrebbe servire in seguito ad una
migliore conoscenza dei quaternioni e delle sue già note
applicazioni in matematica e in fisica (relatività e
meccanica quantistica).
Prima vediamo , con una TABELLA 1, prima colonna,
quante sono realmente le diverse possibilità p per i primi
50 numeri di essere somme di quattro quadrati, per poi
elaborare una semplice formula di stima approssimativa
4
per p, che abbiamo identificata come p(N) ≈ ½ √N , e con
i quattro quadrati Q1, Q2, Q3, Q4 tali che la loro somma
sia N.
Per esempio, per p(50) abbiamo una stima di 7,07/2 =
3,53, valore reale 4.
TABELLA 1
p(N)
1°
1°
1°
1°
2°
1°
1°
1°
1°
1°
2°
1°
2°
1°
1°
2°
1°
2°
1°
1°
N
1
2
3
4
4
5
6
7
8
9
9
10
10
11
12
12
13
13
14
15
Q1
1
1
1
4
1
4
4
4
4
9
4
9
4
9
9
4
9
4
9
9
Q2
0
1
1
0
1
1
1
1
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0
4
1
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4
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4
5
Q3
0
0
1
0
1
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1
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1
1
1
4
0
4
1
1
Q4
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1°
1°
2°
1°
2°
1°
2°
1°
2°
16
17
17
18
18
19
19
20
20
4
9
16
16
9
16
9
16
9
4
4
1
1
9
1
9
4
9
4
4
0
1
0
1
1
0
1
4
0
0
0
0
1
0
0
1
1°
1°
2
1°
…
1°
…
1°
2°
…
1°
…
21
22
22
23
…
31
…
39
39
…
47
…
16
16
9
9
…
25
…
36
25
…
36
..
4
4
9
9
…
4
…
1
9
…
9
…
1
1
4
4
…
1
…
1
4
…
1
…
0
1
0
1
…
1
…
1
1
…
1
…
In lilla i numeri di forma 8n + 7, che se primi, non sono somme di tre
quadrati (e infatti mancano nella colonna S3 della Tabella 4), ma sono
invece somma di quattro quadrati.
Come vediamo, i valori reali p(N) sono molto vicini alla stima 1/2√N
Volendo calcolare p(1000), dobbiamo calcolare la stima in
p(1000) ≈ ½ √1000= 31,62/2 = 15,81 e poi elaborare la apposita
6
Tabella , ottenendo circa 15 possibilità reali.
Ma forse c’è un metodo migliore per stabilire tutte le possibilità per
un dato N, con la Tavola di Addizione delle somme S2 di due quadrati,
della sola forma 4k +1 (poichè i numeri di forma 4k +3 non sono
somme di due quadrati) nelle rispettive prima riga e prima colonna.
All’incrocio tra la n° riga e alla m° colonna numeri S4 somme di
quattro quadrati (tranne che per i numeri in rosso tutti multipli di 3,
con qualche eccezione, per es. 45), che non sono somme di due
quadrati, e vediamo poi l’andamento generale:
TABELLA 2
S2+S2 1 5 9
= S4
1
5
10
9
13
18
17
22
21
25
30
29
34
33
37
42
41
46
45
50
49
53
58
57
13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
18 22
30 34
42 46 50 54 58
26 30
30 34
38 42
42 46
50 54 58
54 58 62
66
70
38 42
42 46
50 54
54 58
62 66 75
66 70 74
78
82
50 54
54 58
58 62
62 66
66 70
75 74
74 78 82
71 82 86
82 86 90
90
94
98
66 70
78 82
90 94 98
106
7
57
Lo schema è simmetrico, e i numeri S4 somme di quattro
quadrati si trovano sulle diagonali da destra a sinistra. Se
sono presenti 2n volte, oppure 2n +1 volte essendo lo schema
simmetrico, il numero di possibilità è 2n/2 = n oppure n -1
volte. Per esempio 66 è presente 6 volte sulla diagonale, le
possibilità proprie sono 6/2 = 3. Mentre 58 è presente 7 volte, e
le possibilità reali è di (7 + 1)/2 = 4, compresa quella sulla
diagonale, che contiene S2 + S2 con S2 = S2, in questo caso 29
poiché 29 + 29 = 58
Poiché √58 = 7,61, e 7,61/2 = 3,80 sono le possibilità del
numero 58 di esser somma di quattro quadrati è 4 , e infatti il
valore reale è 4: eliminando le ripetizioni simmetriche,
abbiamo 58 = 5 + 53 = 13 + 45 =17 + 41 = 29 +29 .
Se alla tabella 2 togliamo righe e colonne in rosso, abbiamo
una tabella più simmetrica
8
TABELLA 3
S2
5
13
17
25
29
37
41
45
53
5
10
18
22
30
34
42
46
50
58
13
18
26
30
38
42
50
54
58
66
17
22
30
34
42
46
54
58
62
70
25
30
38
42
50
54
62
66
75
78
29
34
42
46
54
58
66
70
74
82
37
42
50
54
62
66
74
71
82
90
41
46
54
58
66
70
78
82
86
94
45
50
58
62
75
74
82
86
90
98
53
58
66
70
78
82
90
94
98
106
Questa Tabella si può scrivere anche cancellando la parte
inferiore alla diagonale centrale, che contiene ripetizioni
inutili, per es. 62 = 45+17 , identica a 17 + 45 che si trova
anche nella parte superiore.
9
TABELLA 3 bis
S2+S2 5 13 17 25 29 37 41 45 53
= S4
5
10 18 22 30 34 42 46 50 58
13
26 30 38 42 50 54 58 66
17
34 42 46 54 58 62 70
25
50 54 62 66 75 78
29
58 66 70 74 82
37
74 78 82 90
41
82 86 94
45
90 98
53
106
che non riporta ripetizioni.
Ovviamente in questo caso tutti i numeri somme di quattro
quadrati sono tutti pari, essendo le somme di due quadrati
tutte dispari. Mancano però le potenze di 4, come 16, 64 ecc.
pur essendo somme di quattro quadrati uguali:
16 = 4 + 4 + 4 + 4
64 =16 + 16 + 16 + 16
256 = 64 + 64 + 64 + 64
E quindi bisogna aggiungerli ai numeri pari somme di
quattro quadrati, oltre ai numeri pari della Tabella 3 bis.
10
Il teorema di Bachet dice però che tutti gli interi sono somme
(al più) di quattro quadrati perfetti , quindi somme di due,
tre o al massimo quattro quadrati.
Per tutti i numeri n, vale però la dimostrazione di Ramanujan,
con ammesse ripetizioni: a < b, ecc. vedi voce di Wikipedia
citata all’inizio:
“Il teorema dei quattro quadrati di Lagrange fornisce una risposta affermativa soltanto per
il caso particolare a=b=c=d=1. La soluzione generale fu data da Ramanujan. Egli provò che se
ipotizziamo, senza nulla perdere in generalità, che a ≤ b ≤ c ≤ d, allora esistono esattamente 54
scelte possibili di a, b, c e d, tali che la (*) (per n qualsiasi) è risolvibile negli interi x1, x2, x3, x4.
(Ramanujan ha riportato anche una 55a possibilità di scelta, con a=1, b=2, c=5, d=5. Tuttavia,
in questo caso, l'equazione non è risolvibile per ogni n, ed in particolare per n=15).
Voci correlate
Tra le S4 della TABELLA 3 bis mancano i numeri dispari
come somme di quattro quadrati.
A questa mancanza si può rimediare facendo una tabella dei
numeri somme di tre quadrati , S3, e aggiungere 1, che è il
quadrato di se stesso, 1^2 =1, o un altro quadrato successivo,
S1
11
TABELLA 4
S1 1
S3
1
2
3
4
5
6
8
9
10
2
3
4
5
6
7
9
10
11
4
9
16 25 36 49 64
5
6
7
8
9
10
12
13
14
10
11
12
13
14
15
17
18
19
17
18
19
20
21
22
24
25
26
26
27
28
29
30
31
33
34
35
37
38
39
40
41
42
44
45
46
50
51
52
53
54
55
57
58
59
65
66
67
68
69
70
72
73
74
Per 7 nessuna soluzione per il programma apposito del Prof.
Merlino (vedi Riferimenti).
I numeri in marrone sono anche somma di quattro quadrati,
vedi Tabella 3 bis.
Ora la tabella non è più simmetrica. Ma sono presenti molti
numeri dispari, in rosso, essendo S3 ed S1 sia pari che dispari.
Manca il 23, che, come il 7, non ha soluzione come somma di 3
quadrati. Infatti 7 e 23 sono numeri primi di forma 8n + 7, e
come tali non hanno soluzioni come somme di 3 quadrati . Il
prossimo numero primo di tale forma è 39 = 8*4 +7
Quindi, dai numeri dispari e primi come somme di tre
12
quadrati, occorre eliminare quelli di forma 8n + 7.
Relazioni con i quaternioni
Le somme di quattro quadrati sono connessi con i quaternioni,
essendo la loro radice quadrata (media geometrica) la
“norma” dei quaternioni.
Le somme di otto quadrati, invece, sono la norma degli
ottonioni, anch’essi importanti in fisica, vedi Rif. 4, sul nostro
sito, e dal quale riportiamo qualche pagina sugli ottonioni:
“ Fin qui il Prof. Battiston. Ma il Prof. Ian Stewart, insegnante di
matematica alla Warwich University, e apprezzato divulgatore, è di
tutt’altro avviso, che espone nel suo recente libro “L’eleganza della verità”
(Einaudi), a pag. 295, parlando anche dello stesso gruppo di simmetria a
cui si riferisce anche il prof. Battiston:
“Per molto tempo gli ottonioni rimasero un’innocua curiosità, perchè
contrariamente ai quaternioni non avevano alcuna interpretazione geometrica o
applicazione ad altre scienze: Anche all’interno della matematica caddero nell’oblio.
Fino a quando un giorno si è scoperto che sono all’origine delle più bizzarre
strutture algebriche in circolazione: i cinque gruppi eccezionali di Lie classificati da
Killing, G2, F4, E6, E7 ed E8.. Inoltre, il più grande di questi oggetti, E8 ,
salta fuori non una ma due volte nel gruppo di simmetria alla base della teoria delle
stringhe in dieci dimensioni, che ha molte proprietà utili ed inconsuete ed è una delle
candidate più autorevoli al ruolo di teoria del Tutto.
Se come Dirac pensiamo che l’universo affonda le radici nella matematica,
potremmo azzardarci ad affermare che una Teoria del Tutto plausibile esiste perché
esiste E8, che a sua volta esiste perché esistono gli ottonioni. Dal punto di vista
filosofico, si apre una stuzzicante possibilità: la struttura di base dell’Universo in cui
abitiamo e che sappiamo essere speciale in molti modi, è individuata in modo
particolare nella sua relazione con una sola struttura matematica, cioè gli ottonioni.
13
<< Bellezza e verità, verità bellezza >> (concetto richiamato anche dal prof.
Battiston, n.d.A.A.). I pitagorici e i platonici avrebbero gradito molto questo
possibile ruolo centrale di una struttura matematica nel sistema del mondo. Gli
ottonioni hanno una bellezza conturbante e surreale, che Dirac avrebbe presa come
forte indizio del fatto che la teoria delle stringhe a dieci dimensioni fosse vera. O, se
per un caso sfortunato si fosse rilevata falsa, del fatto che fosse comunque più
interessante della verità, qualunque essa fosse.
Ma abbiamo imparato a nostre spese che ci sono teorie eleganti e non
necessariamente vere; dunque, prima del verdetto finale sulle superstringhe ,
dobbiamo ricordarci di essere nel campo delle pure speculazioni. Qualunque risulterà
essere il suo ruolo in fisica, la cassa in cui sono racchiusi gli ottonioni si è rivelata un
vero tesoro per i matematici.
E poi ancora, a pag. 305:
“Se non ci fossero stati gli ottonioni, la storia dei gruppi di Lie sarebbe stata
più semplice, come Killing sperava all’inizio della sua impresa, ma molto meno
interessante. A noi mortali non è data scelta, visto che ottonioni e compagnia sono lì e
ci restano. Addirittura, forse da loro dipende in qualche misterioso modo l’esistenza
stessa dell’universo…
La nuova candidata di moda, la M-teoria, prevede uno spazio tempo a undici
dimensioni. Per far si che corrispondano alle quattro da noi percepite,dobbiamo
prendere le rimanenti sette ed arrotolarle strettamente. E come si fa dal punto di vista
tecnico questa operazione? Grazie a G2, il gruppo di Lie eccezionale, cioè il gruppo
di simmetria degli ottonioni. Ancora loro: Non più curioso relitto dell’era vittoriana,
ma poderoso indizio verso una probabile Teoria del Tutto: verso un mondo
ottonionico”
“Nota 2.
Perché nelle teorie di stringa è molto importante il numero
8?
a) è strettamente collegato agli ottonioni, numeri complessi
connessi alla somma di 8 quadrati, così come i quaternioni sono
connessi alla somma di quattro quadrati e i numeri complessi alla
somma di due quadrati.
b) è connesso anche ai “Numeri di Grassmann” (vedi
omonima voce di Wikipedia), importanti nella fisica quantistica e
nel modello standard: essi formano uno spazio di Hilbert connesso
ad n fermioni
14
23 = 8 - dimensionale se n = 3.
c) 8 è anche un numero di Fibonacci, connesso a 2 x 8 = 16
= 26 – 10 dimensioni (con 26/2 = 13 e 10/2 = 5 ; e 5, 8 e 13 sono
tutti e tre numeri di Fibonacci.
d) è connesso infine al gruppo di Lie E8 x E8
Dall’articolo di Pergiorgio Odifreddi “Il gruppo delle
stringhe” (Rif. 6)
“…Che cos’è, però, E8? Con questo stesso nome si indicano oggetti diversi,
benchè tutti collegati tra loro e, ovviamente, con il numero 8. Uno di questi oggetti è
l’insieme dei vettori ad otto componenti reali la cui lunghezza al quadrato…
Prendendo tutte le combinazioni lineari di questi vettori si ottiene il reticolo di radici
E8 a 8 dimensioni: E combinando questi due oggetti in un sistema di coordinate a
240 + 8 = 248 dimensioni si ottiene l’algebra di Lie E8 , che dotata di un’opportuna
struttura differenziale diventa il gruppo di Lie”
Una Tabella per trovare numeri S8 come somme di otto
quadrati è costruibile come una Tavola di Addizione di
numeri S4 + S4 , somme di quattro quadrati ( ma, oltre che
come S4 + S4, anche come S7 + S1, S6 + 62, S5 + S3, per
trovare S8 non presenti in tabella S4 + S4, alla quale ci
limitiamo).
Dalla Tabella 4 prendiamo i numeri S4, somme di S3 + S1
(numeri colorati)
15
S1 1
S3
1
2
3
4
5
6
8
9
10
2
3
4
5
6
7
9
10
11
4
9
16 25 36 49 64
5
6
7
8
9
10
12
13
14
10
11
12
13
14
15
17
18
19
17
18
19
20
21
22
24
25
26
26
27
28
29
30
31
33
34
35
37
38
39
40
41
42
44
45
46
50
51
52
53
54
55
57
58
59
65
66
67
68
69
70
72
73
74
TABELLA 5 S4 + S4 = S8
(fino ad S4 = 9)
S4 2
S4
2
3
4
5
6
8
9
… …
4
5
6
7
8
10
11
…
3
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
11
12
…
6
7
8
9
10
12
13
…
7
8
9
10
11
13
14
…
8
9
10
11
12
14
15
…
9
10
11
12
13
15
16
…
10
11
12
13
14
16
17
…
11
12
13
14
15
17
18
…
Ne otteniamo tutti i numeri naturali da 4 in poi, ognuno
somma di 8 quadrati (esclusi gli zeri) , anche in modi diversi.
16
Per esempio 17 è somma di 9 + 8, somme di quattro quadrati:
9= 5 + 4 = 4 + 4 + 1 + 0 somma di quattro quadrati
8 = 4 +4 + 0 + 0 somma di quattro quadrati
Quindi 17 = (4 + 4 + 1+ 0) + (4 + 4 + 0 + 0) = 9 + 8
17 somma di otto quadrati
Il teorema di Bachet, con questa tabella, si potrebbe pertanto
estendere ai numeri n come somme di otto quadrati, tranne 1,
2 , 3 e quindi a partire dal 4. Ma, i numeri 2 e 3 si possono
recuperare dalla Tabella 1, però alcuni termini sono nulli,
0 = 0^2, come quadrati impropri:
p(N)
1°
1°
1°
N
1
2
3
Q1
1
1
1
Q2
0
1
1
Q3
0
0
1
Q4
0
0
0
Poiché :
2 = 1 + 1 = (1 + 0 + 0 + 0) + (1 + 0 + 0 + 0) e
3 = 2 + 1 = (1 + 1 + 0 + 0) + (1 + 0 + 0 + 0)
Entrambi somme di otto quadrati : il teorema di Bachet è
17
quindi estensibile anche a tutti i numeri naturali N come
somma di otto quadrati, considerato anche lo zero.
Man mano che N cresce, i quadrati 0 e 1 vanno scomparendo
gradualmente, lasciando il posto ai quadrati propri, a
cominciare dal 4 = 22
Questa la nostra eventuale novità sull’argomento somma di
quadrati
Conclusioni
Riguardo ai numeri dispari o pari mancanti nelle tabelle,
occorrerebbe elaborare altre tabelle per rintracciarli.
Comunque, sarebbe bene estendere la Tabella 1 all’infinito
o fino ad un numero grande a piacere per verificare che tutti i
numeri n siano effettivamente somme di quattro quadrati.
Comunque, oltre alle connessioni con quaternioni e ottonioni
ed eventuali conseguenze matematiche per la fisica, le tabelle
di questo lavoro, se appositamente modificate, potrebbero
essere utili anche e per la congettura di Beal. Per
18
quest’ultima lo stesso Beal, ha messo in palio un milione di
dollari per chi la risolvesse o confutasse (Rif. 3)
Riferimenti
1) “NUMERI PRIMI CONGRUENTI A 1 MODULO 4 E
TEST DI PRIMALITA’ (PRIME NUMBERS CONGRUENT TO 1
MODULO 4 AND PRIMALITY TEST)”
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
2)
“5
ALTRI
PROGRAMMI
(DEDICATI
SPECIFICATAMENTE ALLA TEORIA DEI NUMERI), SI
TROVANO QUI (NUMBER THEORY PROGRAMS IN
ENGLISH
HERE):
http://numbertheorycalculator.myblog.it/
3)
Congettura di Beal
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
19
La congettura di Beal è una congettura della teoria dei numeri resa popolare dal miliardario
texano e matematico amatoriale Andrew Beal. Analizzando diverse generalizzazioni
dell'ultimo teorema di Fermat, nel 1993 Andrew Beal formulò la seguente congettura:
Se
e
, dove , , , , e sono interi positivi e
hanno un fattore primo in comune.
, allora
Per esempio, la soluzione 33 + 63 = 35 ha tutte le basi divisibile per 3, e la soluzione 76 + 77 = 983
ha le basi con il fattore comune 7. In effetti, ci sono infinite soluzioni le cui basi hanno un
fattore in comune
La congettura non è valida nel più ampio dominio degli interi gaussiani. Dopo che era stato offerto
un premio di $50 per un controesempio, Fred W. Helenius trovò che
.[3]
È stato argomentato il fatto che altri matematici avessero già proposto la stessa congettura prima di
Andrew Beal.
Beal ha offerto un premio di $1,000,000 USD per la dimostrazione o la confutazione della
congettura.[4][5
Sugli interi gaussiani, vedi Rif. 7)
Commento: se si prendono x, y , e z uguali abbiamo l’ultimo
Teorema di Fermat, già dimostrato da Wiles. L’unica
possibilità è di x = y = z = 2
Una nostra proposta di dimostrazione geometrica si trova nel
sito www.Atuttoportale.itom, col titolo
“L’Ultimo teorema di Fermat e le terne Pitagoriche - Aspetto aritmetico e
geometrico” A cura di Francesco Di Noto Eugenio Amitrano.
http://www.atuttoportale.it/, con un’immagine geometrica finale.
4) “Dalle stringhe alla TOE attraverso la Teoria dei Numeri”
Francesco Di Noto – Michele Nardelli
20
,
5) “Terne pitagoriche e somme di quadrati”
Tesi di Laurea in Teoria dei numeri Relatore: Chiar.mo Prof.Calogero Tinaglia
Presentata da: Chimienti Fabrizio-Terza Sessione - Anno Accademico 2009/2010”
6) Il problema di Waring ( parzialmente, da Wikipedia):
Problema di Waring
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, in particolare in teoria dei numeri, il problema di Waring, proposto da
Edward Waring nel 1770, pone la seguente questione: esiste per ogni numero naturale k un
intero positivo tale che ogni numero naturale sia la somma di al più potenze -esime di
numeri naturali?
La risposta affermativa, nota come teorema di Hilbert-Waring, fu fornita da Hilbert nel 1909.
Il problema di Waring ha la sua Classificazione delle ricerche matematiche, 11P05, come
"Waring's problem and variants" …”
7) “I numeri primi interi gaussiani e i numeri primi di
Eisenstein” Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
21
PARTE SECONDA:
La congettura di Beal
Solo nel caso di risultati positivi
Combinando tabelle di cubi con tabelle di altre potenze , con
alla base numeri primi tra loro o con un fattore comune, si
potrebbe verificare (se la congettura di Beal è vera si avrebbe
un fattore comune) o confutare la congettura
Prima possibilità
Tabella dei cubi C successivi con A fino a 11
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A^3
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
22
Tabella delle quinte potenze Q con B fino ad 11
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B^5
1
32
243
1024
3125
7776
16807
32768
59049
100000
161051
Tavole di addizione C + Q con C = A^3 e Q = B^5, quindi
x = 3 e y = 5; in rosso le potenze di numeri primi e le loro
somme
23
C ,Q 1
32
243
1024
3125 7776 16807 32768 59049 100000
1
2
33
244
1025
3126 7777 16808 32769 59050 100001
8
9
40
251
1032
3133 7784 16815 32776 59057 100008
27
28
59
270
11051 3152 7803 16834 32795 59076 100027
64
125
65
126
96
157
407
368
1088
1149
3189 7840 16871 32832 58113 100064
3250 7901 16932 32893 59174 100125
216
217
248
459
1240
3341 7992 17023 32894 59265 100216
343
344
375
586
1367
3468 8119 17150 33111 59392 100343
512
513
544
755
1536
3637 8288 17319 33280 59561 100512
729
730
761
972
1753
3854 8505 17536 33497 59778 100729
1000
1001 1032 1243 2024
4125 8776 17807 33768 60049 101000
1331
1332 1363 1574 2535
4456 9107 18138 34099 60380 101331
Osservazioni circa la congettura di Beal:
Se uno dei numeri C + Q di questa tabella ( incroci tra
colonna C e riga Q) fosse una potenza esatta, sarebbe di tipo
C^z, e si potrebbe verificare se A, B e C hanno un fattore in
comune, come richiede la congettura di Beal.
Da controllare, se possibile, con eventuali appositi algoritmi,
se i numeri C + Q sono anch’esse potenze, ora di tipo C ^y
(C per distinguerli da C, Cubi) e poi controllare se A, B e C
24
hanno un fattore primo in comune, e confermare o meno la
congettura di Beal per questo caso x = 3 e y = 5.
Potrebbe essere utile la seguente tabella
25