MATEMATICA compiti per le vacanze

I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
RECUPERO
LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN Z
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
[(⫺ 3)2]2 ⬊ {[(⫺ 3)2]3 ⭈ [(⫺ 3)2]2 ⬊ [(⫺ 3)4]2}.
[(⫺ 3)2]2 ⬊ {[(⫺ 3)2]3 ⭈ [(⫺ 3)2]2 ⬊ [(⫺ 3)4]2} ⫽
⫽ (⫺3)4 ⬊ {(⫺3)… ⭈ (⫺ 3)… ⬊ (⫺ 3)…} ⫽
⫽ (⫺ 3) ⬊ {(⫺ 3) ⬊ (⫺ 3) } ⫽
4
…
…
⫽ (⫺ 3) ⬊ (⫺ 3) ⫽
4
…
Applica la proprietà della potenza di potenza.
Applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base.
Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base due volte.
⫽ (⫺ 3) ⫽ ⫹ 9.
…
2
Calcola la potenza.
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione, applicando le proprietà delle potenze:
[(⫺ 21)3]2 ⬊ [34 ⭈ (⫺ 3)2] ⬊ (⫺ 7)5.
[(⫺ 21)3]2 ⬊ [34 ⭈ (⫺ 3)2] ⬊ (⫺ 7)5 ⫽
⫽ (⫺ 21)… ⬊ 3… ⬊ (⫺ 7)5 ⫽
⫽ (…)… ⬊ (⫺ 7)5 ⫽
⫽⫺…
Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
3
[(⫺ 12)6 ⬊ (4)6]4 ⬊ (⫺ 3)21
4
[(⫺ 16)4 ⬊ 84]6 ⬊ (⫺ 2)22
5
[214 ⬊ (⫺ 7)4]3 ⬊ (⫺ 3)9
6
{[(64)3 ⬊ (6)4]2 ⭈ 64}0
7
(43 ⬊ 42)2 ⫺ (⫺ 3)3 ⬊ ( ⫺ 1 ⫺ 2)2
8
(⫺ 32)4 ⬊ [(⫺ 12 ⬊ 4)2 ⭈ (⫺ 3)4] ⫺ 30
[⫺ 27]
[4]
[⫺ 27]
[1]
[19]
[8]
9
{[23 ⭈ (10 ⫺ 8)2] ⬊ (6 ⫺ 4)3} ⬊ (⫺ 2)
[⫺ 2]
10 {[(⫺ 4)3]2 ⬊ [(⫺ 4)2]3}0 ⫺ {[(⫺ 6)3 ⬊ (⫺ 3)3]} [⫺ 7]
11 [(⫺ 4)2]3 ⭈ [(⫺ 4)2]2 ⬊ (⫺ 44)2
[16]
12 [(⫺ 2)3 ⭈ (⫺ 2)2 ⬊ (⫺ 2)4]3 ⫺ (32 ⫺ 3 ⫺ 1) [⫺ 13]
13 (6 ⫹ 2)3 ⬊ 43 ⫺ (⫺ 2 ⫺ 1)3 ⬊ (⫺ 3)
[⫺ 1]
14 (4 ⫺ 5)3 ⫺ [(⫺ 3)2 ⭈ (⫺ 2)2 ⬊ 18]4 ⬊ (4 ⫺ 2)3 [ ⫺ 3]
15 [(18 ⫺ 7 ⭈ 2)3 ⬊ 42]3 ⬊ (⫺ 3 ⫺ 1)2 ⫺ 1
[3]
16 (23 ⬊ 22) ⭈ (⫺ 5 ⫺ 5 ⭈ 3 ⫹ 13 ⫹ 3) ⫹ (22 ⭈ 32) ⬊ (⫺ 6)2
[⫺ 7]
17 [(⫺ 4)4 ⭈ (⫺ 4)3 ⬊ (⫺ 4)6]2 ⫺ (23 ⫺ 22 ⫺ 9) ⭈ (44 ⬊ 42 ⫺ 20)
[⫺ 4]
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1
I NUMERI RAZIONALI Recupero
RECUPERO
ESPRESSIONI E PROPRIETÀ DELLE POTENZE
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
冤冢ᎏ54ᎏ ⫺ ᎏ19ᎏ0 ⫹ ᎏ35ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ14ᎏ5 冣冥 ⭈ 冢⫺ ᎏ43ᎏ7 冣 ⫹ ᎏ41ᎏ ⫺ 2.
2
2
冤冢ᎏ54ᎏ ⫺ ᎏ19ᎏ0 ⫹ ᎏ35ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏ14ᎏ5 冣冥 ⭈ 冢⫺ ᎏ43ᎏ7 冣 ⫹ ᎏ41ᎏ ⫺ 2 ⫽
24 ⫺ … ⫹ …
4
3
1
⫽ 冤冢ᎏᎏ冣 ⬊ 冢⫺ ᎏᎏ冣冥 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 ⫽ Esegui le operazioni dentro le parentesi tonde.
30
15
47
4
…
15
3
1
⫽ 冤冢ᎏ ᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣冥 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 ⫽
Trasforma la divisione in moltiplicazione.
30
4
47
4
…
3
1
Esegui la moltiplicazione e applica la proprietà
⫽ 冢ᎏᎏ冣 ⭈ 冢⫺ ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 ⫽
8
47
4
del prodotto di potenze con lo stesso esponente.
…
1
⫽ 冢ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 ⫽
Calcola la potenza ed esegui le operazioni.
…
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
…
1
… ⫹ 16 ⫺ …
103
⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ 2 ⫽ ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ.
64
4
64
64
2
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
冤冢
冣冢
冣冥 冢 冣 冤冢 冣 冢 冣 冥 ⫹ ᎏ49ᎏ.
2
1
5 ⫹ ᎏᎏ ⬊ 9 ⫺ ᎏᎏ
3
2
2
5 2
3 4 3
⭈ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ
2
2
2
2
冤冢5 ⫹ ᎏ32ᎏ冣 ⬊ 冢9 ⫺ ᎏ21ᎏ冣冥 ⭈ 冢ᎏ25ᎏ冣 ⫺ 冤冢ᎏ23ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ23ᎏ冣 冥 ⫹ ᎏ49ᎏ ⫽
…⫹2
…⫺ 1
5
3
9
⫽ 冤冢ᎏᎏ冣 ⬊ 冢ᎏᎏ冣冥 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫺ 冢ᎏᎏ冣 ⫹ ᎏᎏ ⫽
3
2
2
2
4
… …
5
9
9
⫽ 冤ᎏᎏ ⬊ ᎏᎏ冥 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽
3
2
2
4
4
… 2
5
⫽ 冤ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ冥 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫽
3 17
2
…
5
⫽ 冤ᎏᎏ冥 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫽
3
2
… 5
⫽ 冢ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ冣 ⫽
3 2
…
⫽ 冢ᎏᎏ冣 ⫽ …
3
2
2
2
2
2
2
…
2
2
2
4
2
2
2
2
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1
I NUMERI RAZIONALI Recupero
Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
冤冢ᎏ32ᎏ冣 冥 ⬊ 冦冤冢ᎏ32ᎏ冣 冥 ⬊ 冢⫺ 1 ⫹ ᎏ13ᎏ冣 冧
冤冢ᎏ53ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ53ᎏ冣 冥 ⬊ 冤冢1 ⫹ ᎏ23ᎏ冣 冥 ⫺ 1
1
3
1
3
冤冢⫺ ᎏ2ᎏ ⫹ ᎏ4ᎏ ⫺ ᎏ3ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ 1 ⫹ ᎏ4ᎏ冣 冥
1
3
1
3
冦冤ᎏ5ᎏ ⬊ 冢1 ⫺ ᎏ5ᎏ冣 ⫺ ᎏ2ᎏ冥 ⬊ 冢ᎏ4ᎏ冣 冧
冤冢1 ⫺ ᎏ16ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏ56ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ113ᎏ2 ⫺ ᎏ14ᎏ冣 冥
1
1
1
冤冢⫺ ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⬊ 冢⫺ 1 ⫹ ᎏ2ᎏ冣 冥 ⫺ 2
1
1
3
5
1
1
冤冢ᎏ5ᎏ ⫺ ᎏ2ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ8ᎏ ⫺ ᎏ4ᎏ ⫹ ᎏ2ᎏ冣 冥 ⬊ 冢1 ⫺ ᎏ5ᎏ冣
2
4
4
3
3
1
冢ᎏ3ᎏ冣 ⬊ 冤冢ᎏ3ᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ3ᎏ冣冥 ⫹ 冢⫺ ᎏ4ᎏ冣 ⬊ 冤冢⫺ ᎏ4ᎏ冣 冥 ⬊ 冢⫺ 1 ⫹ ᎏ4ᎏ冣
4
3
1
冤冢ᎏ5ᎏ ⫺ 2冣 ⭈ 冢⫺ ᎏ5ᎏ冣 冥 ⬊ 冤( ⫺ 2) ⬊ 冢⫺ ᎏ2ᎏ冣 冥 ⫹ 1
3 2
1⫹
5
2 1
2 2
4
2 6
2
2
2
3
3
2
3
3
3
4
3
⫺4
冤ᎏ196ᎏ冥
冤ᎏ19ᎏ冥
3
3
2
2
2
[2]
⫺4
3 2
⫺4
[1]
冤ᎏ235ᎏ6 冥
1
冤ᎏ4ᎏ冥
冤ᎏ126ᎏ5 冥
冤⫺ ᎏ21ᎏ冥
3 ⫺3
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[⫺ 1]
2
I NUMERI RAZIONALI Esercizi in più
ESERCIZI IN PIÙ
PROBLEMI CON LE PERCENTUALI
Risolvi i seguenti problemi.
1
Ho letto 320 pagine di un romanzo, pari all’80%
del libro. Quante pagine mancano alla fine? [80]
2
Una coppia di sposi acquista un appartamento
che costa € 140 000. Per pagarlo chiedono un
prestito pari al 25% del prezzo di acquisto. Per la
restituzione si impegnano a versare alla fine di
ogni anno € 5000, pagando però un interesse del
6% sul debito di ogni anno. Calcola a quanto ammonta il prestito e quale cifra viene pagata alla
[€ 35 000; € 6500]
fine del terzo anno.
5
3
Un ragazzo acquista uno scooter, il cui prezzo di
listino è di € 1549. Per ottenere uno sconto, paga
subito € 368,65 in contanti e si impegna a portare il resto in due assegni: il primo, dopo una settimana, di € 316 e il secondo, di importo doppio
del primo, dopo due settimane. Quale sconto in
[15%]
percentuale ottiene?
4
Chiedo a un’amica in prestito € 500 per un anno.
Alla fine del periodo riscuoterà la cifra prestata
maggiorata del 4%. Un amico è disponibile a prestarmi la stessa cifra chiedendomi alla fine la cifra, € 10,20 di spese e il 3% del capitale come interessi. Quale proposta è più conveniente? Qual è
il vantaggio in percentuale?
[amica: € 520; amico: € 525,20; ⯝ 1%]
In una classe prima, gli studenti provengono da quattro comuni.
COMUNE A
COMUNE B
COMUNE C
COMUNE D
Femmine
9
3
1
1
Maschi
7
3
2
2
Quale percentuale di studenti proviene dal comune A? E quale percentuale dal comune D? [57,14%; 10,7%]
6
Nella prima fase di un gioco a quiz undici concorrenti realizzano i seguenti punteggi.
Punteggi
n. concorrenti
100
110
120
140
160
2
4
1
3
1
Per poter passare alla fase successiva occorre un
punteggio di almeno 120. Qual è la percentuale di
candidati che supera la prima selezione? [45,45%]
7
8
Riscaldando una sbarra di alluminio, questa si allunga del 3‰ e raggiunge una lunghezza di 2,526
m. Quanto era lunga inizialmente la sbarra?
[2,5184 m]
In una azienda il 15% è costituito da impiegati, il
20% da tecnici specializzati e infine vi sono 273
operai. Quanti sono gli impiegati e quanti i tec[63; 84]
nici?
9
Il prezzo di vendita di un divano è di € 1625.
Calcola quanto è costato al rivenditore sapendo
che ha realizzato un utile del 28%. [€ 1269,53]
10 Un lettore di musica seleziona i brani da un archivio così composto:
GENERE
LINGUA
Rock
Folk
Melodico
Inglese
12
4
4
Italiano
6
4
4
Spagnolo
4
/
2
Calcola la probabilità che venga eseguito un brano:
a) folk;
d) in inglese o in spagnolo;
b) rock in inglese; e) melodico o rock in italiano.
c) in inglese;
[a) 20%; b) 30%; c) 50%; d) 65%; e) 25%]
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1
GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero
RECUPERO
L’INTERSEZIONE E L’UNIONE
1
COMPLETA
Dati gli insiemi A ⫽ {x 冷 x 僆 N e x è divisore di 15} e B ⫽ {x 冷 x 僆 N e x è divisore di 20}, rappresenta
per elencazione gli insiemi A 傽 B e A 傼 B.
A ⫽ {1, 3, ………}
Rappresenta A per elencazione.
B ⫽ {1, 2, 4, …………}
Rappresenta B per elencazione.
A 傽 B ⫽ {1, …}
A 傼 B ⫽ {1, 2, 3, 4, ………………}
2
Scrivi A 傽 B: l’insieme degli elementi
che appartengono sia ad A sia a B.
Scrivi A傼B, cioè l’insieme degli elementi
che appartengono ad A, oppure a B.
PROVA TU
Dati gli insiemi A ⫽ {x⏐x 僆 N e 7 ⱕ x ⬍ 12} e B ⫽ {x⏐x 僆 N, x è dispari e x ⬍ 10}, determina gli insiemi A 傽 B e A 傼 B mediante la rappresentazione per elencazione.
A ⫽ {7, 8, …, …, …}
B ⫽ {1, 3, …, …, …}
A 傽 B ⫽ {…, …}
A 傼 B ⫽ {1, 3, 7, 8, …, …, …, …}.
3
Dati gli insiemi A ⫽ {x 冷 x è una lettera della parola «contadino»} e B ⫽ {x 冷 x è una lettera della parola «appendino»}, determina A 傼 B e A 傽 B. Dai la rappresentazione per elencazione e mediante l’opportuno diagramma di Eulero-Venn.
4
Dati gli insiemi A ⫽ {x, y, z}, B ⫽ {x, y, z, t, v, u} e C ⫽ {z, t, l, m}, determina:
(A 傼 C) 傽 (B 傼 C) e (A 傽 C) 傼 (B 傽 C).
5
Dati gli insiemi A ⫽ {x 冷 x 僆 N e x è divisore di 24} e B ⫽ {x 冷 x 僆 N e 2 ⬍ x ⱕ 12}, determina A 傼 B e A 傽 B
per elencazione.
6
Dati gli insiemi A ⫽ {x 冷 x 僆 Z e ⫺ 2 ⱕ x ⱕ 2} e B ⫽ {x 冷 x 僆 N e x ⬍ 5}, determina A 傼 B e A 傽 B per elencazione e mediante l’opportuno diagramma di Eulero-Venn.
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1
I MONOMI E I POLINOMI Recupero
RECUPERO
LE ESPRESSIONI CON I POLINOMI
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
1
x 4 ⫺ ᎏᎏ x 2 ⫺ y (x 2 ⫹ 3y).
3
冢
冣
冢
冣
1
x 4 ⫺ ᎏᎏ x 2 ⫺ y (x 2 ⫹ 3y) ⫽
3
冢
冢
冣
…
⫽ x 4 ⫺ ᎏᎏ x 4 ⫹ x…y… ⫺ x 2y ⫺ …y… ⫽
…
…
⫽ x 4 ⫺ ᎏᎏ x 4 ⫺ …y 2 ⫽
…
…
⫽ x 4 ⫺ ᎏᎏ x 4 … …y 2 ⫽
…
2 …
⫽ ᎏᎏ x ⫹ …y 2.
3
2
冣
Esegui la moltiplicazione.
Somma i monomi simili.
Elimina le parentesi tonde.
Somma i monomi simili.
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
(2b ⫹ 3b2 ⫺ 1) ⫺ (3b ⫹ 5b2 ⫹ 1) ⫹ 2b(b ⫹ 1).
(2b ⫹ 3b 2 ⫺ 1) ⫺ (3b ⫹ 5b 2 ⫹ 1) ⫹ 2b(b ⫹ 1) ⫽
⫽ 2b ⫹ … ⫺ 1 ⫺ 3b … 5b 2 … 1 ⫹ 2b… ⫹ … ⫽
⫽⫹…b ⫺…
Semplifica le seguenti espressioni.
7
2
a
b
ᎏᎏ a 2 ⫺ 2a 3b ⫺ a ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ
3
3
2
[2a 2]
8
[3a 2 ⫹ (4a ⫺ 1)(a ⫹ 1)] ⫺ 2a(3a ⫹ 1) [a 2 ⫹ a ⫺ 1]
[4ab 2]
9
(y 2 ⫺ 3) ⫺ (5y 2 ⫹ 1) ⫹ 2y (2y ⫺ 2)
3
(a ⫺ 2b 2) ⫺ (4b 2 ⫹ 2a) ⫹ 2b(4 ⫹ 3b) [⫺ 2a ⫹ 8b]
4
2a(a ⫹ b) ⫺ 2b(a ⫺ 3b) ⫺ 6b 2
5
2b[a(a ⫹ b) ⫹ b(a ⫺ b) ⫺ a 2 ⫹ b 2]
6
1
1
1
ab a ⫺ ᎏᎏ b ⫹ ᎏᎏ ab a ⫹ ᎏᎏ b
4
2
2
冢
冣
冢
冣
冤
冥
3
ᎏᎏ a 2b
2
冢
冣
10 (6x ⫺ 2x 2 ⫺ 1) ⫹ (2x ⫺ 1)(x ⫺ 1)
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[2a 2 ⫺ 5ab]
[⫺ 4y ⫺ 4]
[3x]
1
I MONOMI E I POLINOMI Recupero
RECUPERO
I PRODOTTI NOTEVOLI
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
(b ⫹ 2)(b ⫺ 2) ⫺ (b ⫹ 2)2.
(b ⫹ 2)(b ⫺ 2) ⫺ (b ⫹ 2)2 ⫽
⫽ (b… ⫺ …) ⫺ (b… ⫹ 4b ⫹ …) ⫽
⫽…
冫 ⫺ 4 ⫺ 冫b ⫺ 4b ⫺ … ⫽
…
Calcola il prodotto notevole e sviluppa il quadrato.
Togli le parentesi cambiando i segni ai termini del secondo polinomio.
⫽⫺…⫺4….
2
Somma i termini simili o elimina gli opposti.
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
(x ⫺ a)(x ⫹ a) ⫺ (x ⫺ 2a)2.
(x ⫺ a)(x ⫹ a) ⫺ (x ⫺ 2a)2 ⫽
⫽ (x … ⫺ a…) ⫺ (x 2 ⫺ … ⫹ 4a2) ⫽
⫽ x冫… ⫺ a… ⫺ x冫2 ⫹ … ⫺ … ⫽
⫽ ⫺ … a2 ⫹ …
3
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
(2t ⫹ 1)3 ⫺ (t 2 ⫹ 2t ⫺ 1)2.
(2t ⫹ 1)3 ⫺ (t 2 ⫹ 2t ⫺ 1)2 ⫽
⫽ (8t 3 ⫹ 3 ⭈ … ⭈ 1 ⫹ 3 ⭈ 2t ⭈ 1 ⫹ 1) ⫺ [t 4 ⫹ 4t 2 ⫹ … ⫹ 2 ⭈ t 2 ⭈ … ⫹ 2 ⭈ t 2 ⭈ (…) ⫹ 2 ⭈ … ⭈ ( ⫺ 1)] ⫽
⫽ (8t 3 ⫹ … t 2 ⫹ 6t ⫹ …) ⫺ (t 4 ⫹ 4t 2 ⫹ … ⫹ 4t … ⫺ 2t 2 ⫺ 4t) ⫽
⫽ 8t 3 ⫹ … t 2 ⫹ 6t ⫹ …
冫 ⫺ t 4 ⫺ 4t 2 ⫺ …
冫 ⫺ 4t … … 2t 2 … 4t ⫽
⫽ … t 3 ⫺ t 4 ⫹ … t 2 ⫹ 10t.
Semplifica le seguenti espressioni utilizzando i prodotti notevoli.
4
(a ⫺ 2b)(a ⫹ 2b)
5
(a ⫹ 2)(a ⫺ 2) ⫹ 4
6
冢ᎏ12ᎏ a ⫹ 3b冣冢ᎏ12ᎏ a ⫺ 3b冣 ⫹ 3b
[a2 ⫺ 4b 2]
[a2]
2
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冤ᎏ14ᎏ a ⫺ 6b 冥
2
2
1
I MONOMI E I POLINOMI Recupero
7
(3a ⫺ 2b)2
[9a2 ⫺ 12ab ⫹ 4b 2]
8
(a ⫹ 2b)2 ⫺ 4ab
9
冢
[a2 ⫹ 4b 2]
冣
冤ᎏ14ᎏ a ⫺ 3ab ⫹ b 冥
2
1
ᎏᎏ a ⫺ b ⫺ 2ab
2
2
10 (a ⫹ 3)(a ⫺ 3) ⫺ (a ⫹ 3)2
2
[⫺ 6a ⫺ 18]
11 (2a ⫹ 1)2 ⫺ (2a ⫺ 2)(2a ⫹ 2) ⫺ 5
[4a]
12 (a ⫺ 2b 2 ⫹ 3)2
13
14
15
冢
冢
冢
[a2 ⫹ 4b 2 ⫹ 9 ⫺ 4ab 2 ⫹ 6a ⫺ 12b 2]
冣
2
1
a 2 ⫺ ᎏᎏ ab ⫺ b 2
2
1
1 2
ᎏᎏ a ⫺ b ⫹ ᎏᎏ
2
3
1 3
2a ⫺ ᎏᎏ
2
冣
冣
16 (3a ⫹ 2b)3
17
冤a ⫹ ᎏ14ᎏ a b ⫹ b ⫺ a b ⫺ 2a b ⫹ ab 冥
冤ᎏ14ᎏ a ⫹ b ⫹ ᎏ19ᎏ ⫺ ab ⫹ ᎏ13ᎏ a ⫺ ᎏ23ᎏ b冥
冤8a ⫺ ᎏ18ᎏ ⫺ 6a ⫹ ᎏ32ᎏ a冥
4
2 2
2
4
3
2 2
3
2
3
2
[27a3 ⫹ 8b 3 ⫹ 54a2b ⫹ 36ab 2]
冢ᎏ21ᎏ a ⫺ ᎏ32ᎏ b冣
3
18 (a ⫹ b)3 ⫹ (a ⫺ b)3 ⫺ 6ab 2
19 (a 2 ⫺ a ⫺ 3)2 ⫺ (a 2 ⫹ a ⫹ 3)2
20 (t ⫹ 5)2 ⫹ (5 ⫺ 2t)(5 ⫹ 2t) ⫺ 10t
21 (2x ⫹ 1)2 ⫹ (x ⫹ 1)(x ⫺ 1) ⫺ (x ⫹ 2)(x ⫺ 2)
22 (a2 ⫺ a ⫺ 1)2 ⫹ (a ⫺ 1)3 ⫺ a3(a ⫺ 1)
23 (x ⫹ 2)3 ⫺ (x ⫹ 3 ⫹ x 2)2 ⫹ (x3 ⫹ x4 ⫹ 1)
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冤ᎏ81ᎏ a ⫺ ᎏ28ᎏ7 b ⫺ ᎏ21ᎏ a b ⫹ ᎏ32ᎏ ab 冥
3
3
2
2
[2a3]
[⫺ 4a3 ⫺ 12a2]
[⫺ 3t 2 ⫹ 50]
[4x 2 ⫹ 4x ⫹ 4]
[5a ⫺ 4a 2]
[6x ⫺ x 2]
2
I MONOMI E I POLINOMI Recupero
RECUPERO
LA DIVISIONE FRA POLINOMI
CON LA REGOLA DI RUFFINI
1
COMPLETA
Esegui la seguente divisione, applicando la regola di Ruffini:
(2b3 4b2 6b 2) ⬊ (b 1).
(2b3 4b2 6b 2) ⬊ (b 1)
2
4
…
…
2
4
…
…
2
…
…
…
12
10
…
…
2
Q 2b… … b 12,
R….
2
Predisponi lo schema inserendo in alto solo i
coefficienti del polinomio 2b 3 4b 2 6b 2,
dopo aver notato che questo è completo e ordinato. Separa il termine noto. In basso a sinistra
scrivi il termine noto di b 1 cambiato di segno.
Abbassa il primo termine, cioè 2, e moltiplicalo
per 1. Scrivi il risultato sotto al 4. Poi calcola la somma algebrica e scrivila in basso. Ripeti
il procedimento sempre moltiplicando per 1.
La riga in basso rappresenta i coefficienti del quoziente Q.
Il numero in basso a destra rappresenta il resto R della divisione.
PROVA TU
Esegui la seguente divisione, applicando la regola di Ruffini:
(2x 3 5x 2 6x 1) ⬊ (x 2).
(2x 3 5x 2 6x 1) ⬊ (x 2)
Q 2x 9x …;
…
2
…
R….
2
5
…
1
…
18
…
9
…
25
Esegui le seguenti divisioni di polinomi, applicando la regola di Ruffini.
3
(3a 2 2a 5) ⬊ (a 3)
4
(t 4 2t 3 t 1) ⬊ (t 1)
5
(3x 2 5x 7) ⬊ (x 3)
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[Q 3a 7, R 26]
[Q t 3 t 2 t, R 1]
[Q 3x 4, R 5]
1
I MONOMI E I POLINOMI Recupero
6
(2x 3 5x 2 3x 1) ⬊ (x 2)
7
(2x 4 5x 3 2) ⬊ (x 1)
8
(2a4 6a2 2a 1) ⬊ (a 2)
[Q 2a3 4a2 2a 2, R 3]
9
(3b4 7b2 3b 1) ⬊ (b 2)
[Q 3b3 6b2 5b 7, R 13]
10
冢c c 12冣 ⬊ (c 1)
3
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[Q 2x 2 x 1, R 3]
[Q 2x 3 3x 2 3x 3, R 1]
冤Q c c 2, R 32冥
2
2
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
RECUPERO
LA SCOMPOSIZIONE MEDIANTE
RACCOGLIMENTO E PRODOTTI NOTEVOLI
1
COMPLETA
Scomponi il seguente polinomio:
b 3 ⫺ 3b 2 ⫺ 4b ⫹ 12.
b3 ⫺ 3b 2 ⫺ 4b ⫹ 12 ⫽
⫽ b…(… ⫺ 3) ⫺ 4(… ⫺ …) ⫽
Raccogli parzialmente.
⫽ (… ⫺ …)(… ⫺ 4) ⫽
Raccogli il fattore comune fra parentesi.
⫽ (… ⫺ …)(… ⫺ 2)(… ⫹ 2).
2
Utilizza la differenza di quadrati.
PROVA TU
Scomponi il seguente polinomio, raccogliendo a fattor comune:
3a 3b ⫺ 27ab.
3a 3b ⫺ 27ab ⫽
⫽ 3a … (a… ⫺ …) ⫽
⫽ 3a … (a ⫺ …)(a ⫹ …).
3
4
COMPLETA la seguente tabella.
POLINOMIO
SCOMPOSIZIONE
POLINOMIO
SCOMPOSIZIONE
x2 ⫺ 9
(x ⫹ …)(x ⫺ …)
x 2 ⫹ y 2 ⫹ 1 ⫹ 2xy ⫹ 2x ⫹ 2y
(x … y ⫹ 1)…
a2 ⫹ 4a ⫹ 4
(a … 2)…
y3 ⫺ 8
(y ⫺ …)(y 2 ⫹ … ⫹ 4)
x 3 ⫹ 3x 2 ⫹ 3x ⫹ 1
(x ⫹ …)…
x 2 ⫺ 5x ⫹ 6
(x ⫺ …)(x ⫺ …)
COMPLETA la seguente tabella.
POLINOMIO
9x ⫺ 4
2
8 ⫺ 12b ⫹ 6b ⫺ b
2
3
SCOMPOSIZIONE
POLINOMIO
……
1 ⫹ 8a
SCOMPOSIZIONE
(1 ⫹ 2a)……………
3
3
(………)
x ⫺ 4xy ⫹ z ⫹ 4y ⫹ 2xz ⫺ 4yz
2
2
2
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…………
1
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
5
COMPLETA la seguente tabella.
POLINOMIO
SCOMPOSIZIONE
a2 ⫺ 6a ⫹ 9
(a …3)…
x 3 ⫺ 3x 2 ⫹ 3x ⫺ 1
(x … 1)…
a2 ⫹ b2 ⫹ 1 ⫺ 2ab ⫹ 2a ⫺ 2b
(a … b … 1)…
x 3 ⫹ 27
(x ⫹ … )(x 2 … 3x ⫹ …)
x 2 ⫹ 3x ⫹ 2
(x ⫹ … )(x ⫹ … )
x ⫺x⫺6
(x ⫺ … )(x ⫹ …)
2
Scomponi in fattori i seguenti polinomi.
6
4
ᎏᎏ a 2 ⫺ b2
9
7
x 2 ⫹ 10x ⫹ 25
8
9a 2 ⫺ 12ab ⫹ 4b2
9
a 4 ⫹ 2a 2 ⫹ 1
冤冢
冣冢
2
2
ᎏᎏ a ⫺ b ᎏᎏ a ⫹ b
3
3
冣冥
[(x ⫹ 5)2]
[(3a ⫺ 2b)2]
[(a2 ⫹ 1)2]
冤冢
冣冥
3
3
1
1 3
x ⫹ ᎏᎏ
10 x3 ⫹ ᎏᎏ x2 ⫹ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ
2
4
8
2
1 3
1 3
11 ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ y
8
27
1
1
1
1
1
ᎏᎏ x ⫺ ᎏᎏ y ᎏᎏ x2 ⫹ ᎏᎏ xy ⫹ ᎏᎏ y2
2
3
4
6
9
冤冢
冣冢
冣冥
冤冢
冤冢
冣冥
冣冥
冣冥
1
1 2
2a ⫺ ᎏᎏ b
16 4a 2 ⫺ 2ab ⫹ ᎏᎏ b2
4
2
2
4
1
1
2x ⫺ ᎏᎏ y2
17 4x2 ⫺ ᎏᎏ xy2 ⫹ ᎏᎏ y4
3
9
3
8
2
2
4
a ⫹ ᎏᎏ a2 ⫺ ᎏᎏ a ⫹ ᎏᎏ
18 a3 ⫹ ᎏᎏ
27
3
3
9
冤冢
19 ⫺ x3 ⫺ 1
20 3a 2 ⫺ 6a ⫹ 18
21 2x 2 ⫹ xy ⫹ 12x ⫹ 6y
22 12a 3 ⫹ 12a 2 ⫹ 3a
冣冢
[(⫺ x ⫺ 1)(x2 ⫺ x ⫹ 1)]
[3(a 2 ⫺ 2a ⫹ 6)]
[(2x ⫹ y)(x ⫹ 6)]
[3a(2a ⫺ 1)2]
12 4x2 ⫹ 4xy ⫹ 2ay ⫹ y2 ⫹ a2 ⫹ 4xa [(2x ⫹ y ⫹ a)2]
23 a 3 ⫺ a 2b ⫹ 4a 2 ⫺ 4ab ⫹ 4a ⫺ 4b [(a ⫺ b)(a ⫹ 2)2]
13 a 2 ⫺ 36
24 3a 3y ⫺ 3b3y
1
4
14 ᎏᎏ a 2 ⫺ ᎏᎏ b2
25
49
1
15 ᎏᎏ x2 ⫹ xb ⫹ b2
4
[(a ⫹ 6)(a ⫺ 6)]
冤冢ᎏ15ᎏ a ⫹ ᎏ27ᎏ b冣冢ᎏ15ᎏ a ⫺ ᎏ27ᎏ b冣冥
冤冢ᎏ12ᎏ x ⫹ b冣 冥
[3y(a ⫺ b)(a 2 ⫹ ab ⫹ b2)]
25 2a 3 ⫺ 4a 2b ⫹ 6a 2b2
[2a 2(a ⫺ 2b ⫹ 3b2)]
26 2a ⫹ b ⫺ 4a 2 ⫺ 2ab
[(1 ⫺ 2a)(2a ⫹ b)]
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2
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
RECUPERO
LE ESPRESSIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE
1
COMPLETA
Semplifica la seguente espressione:
2x ⫹ 2
x
ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 .
冢x ⫹ 1 ⫹ ᎏ
x⫺1
x ⫹x
2
2x ⫹ 2
x
ᎏ冣 ⭈ 冢ᎏᎏ冣 ⫽
冢x ⫹ 1 ⫹ ᎏ
x⫺1
x ⫹x
2
x⫹1
2x ⫹ 2
x
⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽
…
x⫺1
x(… ⫹ 1)
冢
冣
Scomponi il denominatore x 2 ⫹ x e scrivi x ⫹ 1 come frazione.
Campo di esistenza:
x ⫺ 1 ⫽ 0 → x ⫽ …;
Determina le C.E. delle frazioni che compaiono.
x ⫽ 0;
x⫹1⫽0→x⫽…
(x ⫹ 1)(…) ⫹ 2x ⫹ …
x
⫽ ᎏᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽
x⫺1
x (… ⫹ 1)
冤
冥
x2 ⫺ … ⫹ 2x ⫹ …
x
⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽
x⫺1
x(… ⫹ 1)
x2 ⫹ 2x ⫹ …
x
⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽
x⫺1
x(… ⫹ 1)
(x ⫹ …)…
x
x⫹ …
⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏ ᎏ.
x⫺1
x(… ⫹ 1)
x⫺1
2
Calcola i prodotti indicati ed elimina la parentesi tonda.
Somma i termini simili nella prima frazione.
Scomponi x 2 ⫹ 2x ⫹ 1 e semplifica i numeratori
con i denominatori.
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
a
1
2a
ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏ
ᎏ.
a ⫹1
a⫺1
a2 ⫺ 1
a
1
2a
ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏ
ᎏ⫽
a ⫹1
a⫺1
a2 ⫺ 1
a2 …
冫 a⫹ …
冫 ⫹ 1 ⫹ 2a
⫽ ᎏᎏᎏ ⫽
(a ⫹ 1)(… ⫺ 1)
a
1
2a
⫽ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽
a ⫹1
a⫺1
(a ⫹ …)(a ⫺ …)
a2 ⫹ 2a ⫹ 1
⫽ᎏ
ᎏ⫽
(a ⫹ 1)(… ⫺ 1)
C.E.:
冫
(a ⫹ …)…
⫽ ᎏᎏ ⫽
(a ⫹ 1)(… ⫺ 1)
a⫹1⫽…→a⫽…
a⫺…⫽0→a⫽…
a(a …) ⫹ 1(a … 1) ⫹ 2a
⫽ ᎏᎏᎏ ⫽
(a ⫹ 1)(… ⫺ 1)
a ⫹…
⫽ ᎏᎏ .
…⫺1
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1
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
3
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
5
x2⫺4
x ⫺ 2 ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ .
x⫹2
x⫺3
冢
冣
5
x ⫺4
ᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽
冢x ⫺ 2 ⫺ ᎏ
x⫹2 冣 x⫺3
2
x ⫺2
5
(x ⫹ …)(x ⫺ …)
⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽
1
x ⫹2
x⫺3
冢
冣
C.E.:
x⫹…⫽0→x⫽…
x⫺3⫽0→x⫽…
(x ⫹ …)(x ⫺ …)
(x ⫺ 2)(x ⫹ …) ⫺ 5
⫽ ᎏᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽
x ⫺3
x⫹2
冤
冥
x 2 ⫺ … ⫺ 5 (x ⫹ …)(x ⫺ …)
⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽
x⫹ 2
x ⫺3
x 2 ⫺ … (x ⫹ …)(x ⫺ …)
⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽
x⫹2
x ⫺3
(x ⫹ …)(x ⫺ …)
(x ⫹ …)(x ⫺ …)
⫽ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⫽
x⫹2
x⫺3
⫽ (x ⫹ …)(x ⫺ …).
4
PROVA TU
Semplifica la seguente espressione:
4x 2 ⫺ 4x ⫹ 1 2
ᎏ
ᎏ ⭈ (2x 2 ⫺ x)⫺2 ⭈ (y 3 ⫺ 1)3 .
y2 ⫺ 1
冢
冣
4x 2 ⫺ 4x ⫹ 1
ᎏ冣 ⭈ (2x ⫺ x)
冢ᎏ
y ⫺1
2
2
2
(2x ⫺ 1)
ᎏ
冤ᎏ
(y ⫺ 1)(y ⫹ …) 冥
…
…
(2x ⫺ 1)…
⫽ ᎏᎏ
(y ⫺ 1)(y ⫹ …)
冤
⫺2
⭈ (y 3 ⫺ 1)3 ⫽
1
⭈ᎏ
ᎏ ⭈ [(y ⫺ …)(y 2 ⫹ y ⫹ 1)]… ⫽
(2x 2 ⫺ …)…
冥
…
1
⭈ᎏ
ᎏ ⭈ (y ⫺ …)… (y 2 ⫹ y ⫹ 1)… ⫽
…
x (2x ⫺ 1)…
1
C.E.: y ⫽ ⫾ … ∧ x ⫽ … ∧ x ⫽ ᎏᎏ
…
……
1
(2x ⫺ 1)
⫽ ᎏᎏᎏ
⭈ᎏ
ᎏ ⭈ (y ⫺ …)…… (y 2 ⫹ y ⫹ 1)… ⫽
x …(2x ⫺ 1)…
(y ⫺ 1)… (y ⫹ …)…
(2x ⫺ 1)… (y ⫺ 1)(y 2 ⫹ y ⫹ 1)…
⫽ ᎏᎏᎏᎏ
x …(y ⫹ …)…
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2
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
Semplifica le seguenti espressioni.
冤⫺ ᎏ31bᎏ ; b ⫽ 0冥
5
1
2
1
ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ
4b
3b
12b
6
b⫹1
a⫺1
ᎏᎏ
⫺ ᎏ2ᎏ
ab2
ab
7
1
2
ᎏᎏ
⫹ ᎏᎏ
2a2b
3ab2
8
2x ⫹ 1
x ⫹ ᎏᎏ
x⫺1
9
a
2
1
ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ
a ⫺1
a⫺2
a⫺1
a
ᎏ ; a ⫽ 2 ∧ a ⫽ 1冥
冤ᎏ
a ⫺2
x⫹2
x⫺1
1
10 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ
x⫹1
x⫹2
x⫹1
3
ᎏ ; x ⫽ ⫺ 2 ∧ x ⫽ ⫺ 1冥
冤ᎏ
x⫹2
a⫹b
ᎏ ; a ⫽ 0 ∧ b ⫽ 0冥
冤ᎏ
ab
2 2
3b ⫹ 4a
ᎏ ; a ⫽ 0 ∧ b ⫽ 0冥
冤ᎏ
6a b
2 2
x2 ⫹ x ⫹ 1
ᎏᎏ ; x ⫽ 1
x⫺1
冤
b⫺a
ᎏ ; a ⫽ 0 ∧ b ⫽ 0 ∧ a ⫽ ⫺ b冥
冤ᎏ
2ab
11
冢ᎏ21aᎏ ⫺ ᎏ21bᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ1aᎏ ⫹ ᎏb1ᎏ冣
12
2 ⫺ 2a
1
ᎏ冣 ⭈ ᎏᎏ
冢a ⫹ 1 ⫹ ᎏ
a⫺1
2a
13
冢a ⫺ ᎏaᎏ冣 ⬊ 冢1 ⫺ ᎏaᎏ冣
14
a
2
ᎏ ⬊ ᎏᎏ ⫺ 1冣
冢1 ⫺ ᎏ
4⫺a 冣 冢 a
15
a ⫹4
a⫹4
ᎏ ⫺ a冣 ⭈ ᎏᎏ
冢ᎏ
a⫹4
1⫺a
16
1
a
ᎏ冣 ⭈ 冢1 ⫺ ᎏᎏ冣
冢ᎏ1aᎏ ⫹ ᎏ
a⫹1
2a ⫹ 1
17
a
2a
1
2
ᎏ冣 ⬊ 冢1 ⫺ ᎏᎏ冣 ⭈ 冢ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫹ 1冣
冢a ⫺ ᎏ
a ⫹1
a ⫺1
a
a
18
冢ᎏ41xᎏ ⫺ ᎏ41yᎏ冣 ⬊ 冢ᎏ21ᎏx ⫹ ᎏ21ᎏy 冣 ⭈ 4xy
2
2
a⫺1
ᎏ ; a ⫽ 1 ∧ a ⫽ 0冥
冤ᎏ
2a
b
b2
[a ⫹ b; a ⫽ 0 ∧ a ⫽ b]
2a
ᎏ ; a ⫽ 0 ∧ a ⫽ 4 ∧ a ⫽ 2冥
冤ᎏ
4⫺a
2
[4; a ⫽ ⫺ 4 ∧ a ⫽ 1]
冤ᎏa1ᎏ ; a ⫽ 0 ∧ a ⫽ ⫺ 1 ∧ a ⫽ ⫺ ᎏ12ᎏ冥
2
2
冥
2
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[1 ⫺ a; a ⫽ ⫾ 1 ∧ a ⫽ 0]
[2(y ⫺ x); x ⫽ 0 ∧ y ⫽ 0 ∧ x ⫽ ⫺ y]
3
LE EQUAZIONI LINEARI Recupero
RECUPERO
LE EQUAZIONI NUMERICHE INTERE
1
COMPLETA
Risolvi la seguente equazione numerica intera:
3(x ⫹ 3)
3
6 ⫺ 3x
ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ (x ⫺ 2) ⫽ ᎏᎏ .
4
2
4
3x ⫹…
3
6 ⫺ 3x
ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ … ⫽ ᎏᎏ
4
2
4
Esegui le moltiplicazioni.
m.c.m. (4, 2) ⫽ …
Calcola il m.c.m. tra i denominatori.
3x ⫹ …
3
6 ⫺ 3x
… ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ x ⫹ … ⫽ ᎏᎏ …
4
2
4
冢
冣 冢
冣
Elimina i denominatori moltiplicando
i due membri dell’equazione per il m.c.m.
3x ⫹ … ⫺ … ⫹ … ⫽ 6 ⫺ 3x
Applica la regola del trasporto.
3x ⫺ … ⫹ 3x ⫽ 6 ⫺ … ⫺ …
Riduci i termini simili.
…x ⫽…
equazione …
2
Determina la soluzione.
PROVA TU
Risolvi la seguente equazione numerica intera:
x
1
x 1 ⫹ ᎏᎏ ⫹ (3x ⫺ 2)(3x ⫹ 2) ⫽ (3x ⫹ 1)2 ⫺ ᎏᎏ x (2 ⫺ x).
3
3
冢
冣
x…
2
1
x ⫹ ᎏ ᎏ ⫹ 9x … ⫺ … ⫽ 9x … ⫹ 6x ⫹ … ⫺ ᎏᎏ x ⫹ ᎏᎏ x …
3
3
3
2
x ⫺ … x ⫹ ᎏᎏ x ⫽ ⫹ … ⫹ …
3
3x ⫺ … x ⫹ 2x
⫹…⫹…
3 ⭈ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ 3
3
3
…x
…
⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
⫺…
⫺…
…
x ⫽ ⫺ ᎏᎏ .
…
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1
LE EQUAZIONI LINEARI Recupero
Risolvi le seguenti equazioni.
3
3(x ⫺ 2) ⫹ 9 ⫽ 7(x ⫺ 3)
[x ⫽ 6]
4
1
ᎏᎏ(x ⫺ 2) ⫺ 3(x ⫺ 1) ⫽ 2 ⫺ x
2
(x ⫺ 3)
(2 ⫹ x)
2⫺x
ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
2
4
4
[x ⫽ 0]
5
6
2(3x ⫹ 2) ⫺ 2(4 ⫺ x) ⫽ 4(2x ⫺ 3)
7
(x ⫺ 1)(x ⫹ 1) ⫽ (x ⫹ 1)2
8
3 ⫹ (x ⫺ 2)(x ⫹ 2) ⫽ (x ⫺ 2)2 ⫹ 6x
9
4(3 ⫺ x) ⫺ 4x ⫽ 4(3 ⫺ 2x)
10 [x(x ⫺ 1) ⫺ (x ⫺ 2)2] ⫽ 2(x ⫺ 1)
11 (x ⫹ 2)(x ⫺ 1) ⫺ 2x (x ⫺ 2) ⫽ 1 ⫺ x 2
1
1
12 ᎏᎏ [x (x ⫺ 1) ⫺ (x ⫺ 2)2] ⫽ ᎏᎏ (x ⫹ 2)
4
3
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[x ⫽ 5]
[impossibile]
[x ⫽ ⫺ 1]
冤x ⫽ ⫺ ᎏ52ᎏ冥
[indeterminata]
[x ⫽ 2]
冤x ⫽ ᎏ53ᎏ冥
[x ⫽ 4]
2
LE EQUAZIONI LINEARI Recupero
RECUPERO
LE EQUAZIONI E I PROBLEMI
1
COMPLETA
Un numero è tale che il suo triplo diminuito di 2 è uguale alla somma tra la sua metà e il suo successivo.
Determina il numero.
x ⫽ numero
Indica con x il numero.
3x ⫺ … ⫽ triplo del numero diminuito di 2
Scrivi le relazioni del problema.
1
ᎏᎏ … ⫹ (x ⫹ …) ⫽ somma fra la metà del numero e il suo successivo
2
1
3x ⫺ … ⫽ ᎏᎏ … ⫹ (x ⫹ …)
2
2(3x) ⫺ 2(…) ⫽ … ⫹ 2(x ⫹ …) → 6x ⫺ … ⫽ … ⫹ 2x ⫹ …
6x ⫺ … ⫺ 2x ⫽ … ⫹ …
2
→
…x ⫽…
→
Scrivi l’equazione risolvente.
Risolvi l’equazione.
x ⫽…
PROVA TU
Aggiungendo a un numero il suo triplo e sottraendo alla somma ottenuta la sua metà, si ottiene 21. Trova il
numero.
x ⫽ numero
x ⫹ … x ⫺ … x ⫽ numero a cui hai aggiunto il suo triplo e sottratto la sua metà
⫽ 21
x ⫹ … x ⫺ … x ⫽ 21
… x ⫹ … x ⫺ x ⫽ 42
… x ⫽ 42
x⫽…
Risolvi i seguenti problemi.
3
Un numero è tale che il suo triplo diminuito di 2 è uguale al doppio di 8. Determina il numero.
4
La somma di due numeri è 12 e uno è la terza parte dell’altro. Determina i due numeri.
5
Determina un numero naturale sapendo che il doppio del suo consecutivo è uguale al triplo del numero
stesso.
[2]
6
Un numero è tale che la sua quinta parte, aumentata di 2, è uguale alla sua metà diminuita di 4.
7
Determina due numeri sapendo che la loro differenza è 12 e che il triplo del maggiore è uguale al quadruplo
del minore.
[48; 36]
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[6]
[3; 9]
[20]
1
LE EQUAZIONI LINEARI Recupero
8
In un numero di due cifre la cifra delle decine è il doppio di quella delle unità; scambiando le cifre si ottiene
un nuovo numero che differisce dal primo di 9. Determina il numero.
[21]
9
La somma di due numeri è 48 e la loro differenza è 12. Determina i due numeri.
[18; 30]
10 La differenza tra due numeri è 8. Sapendo che la quarta parte del maggiore è uguale alla terza parte del minore, determina i numeri.
[24; 32]
11 La somma di un numero con la sua metà divisa per il doppio del numero stesso diminuito di 3 è uguale a
5
ᎏᎏ . Determina il numero.
[15]
6
12 In un numero di due cifre la cifra delle decine è 2; scambiando di posto le cifre si ottiene un nuovo numero
che supera il primo di 9. Determina il numero.
[23]
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2
LE EQUAZIONI LINEARI Recupero
RECUPERO
LE EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
1
COMPLETA
Risolvi la seguente equazione fratta:
2
4
2
ᎏ
ᎏ⫽ᎏ
ᎏ⫺ᎏ
ᎏ.
x2 ⫺ 9
x2 ⫺ 5x ⫹ 6
x2 ⫺ 4
2
4
2
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ
Riscrivi l’equazione scomponendo i
(x ⫺ …)(x ⫹ …)
(x ⫺ 3)(x ⫺ …)
(x ⫺ …)(x ⫹ …) denominatori mediante i prodotti notevoli
(differenza di quadrati e trinomio particolare).
C.E. x ⫽ 3 ∧ x ⫽ ⫺ … ∧ x ⫽ ⫹ … ∧ x ⫽ ⫺ …
Poni le C.E.
m.c.m. (x ⫺ 3)(x ⫹ …)(x ⫺ …)(x ⫹ …)
2(x ⫺ …)(x ⫹ …)
(x ⫺ 3)(x ⫹ …)(x ⫺ …)(x ⫹ …) ᎏᎏᎏᎏ ⫽
(x ⫺ 3)(x ⫹ …)(x ⫺ …)(x ⫹ …)
Calcola il m.c.m.
Riduci le frazioni allo stesso
denominatore e moltiplica
per il m.c.m.
4(x ⫹ …)(x ⫹ …) ⫺ 2(x ⫺ 3)(x ⫹ …)
⫽ ᎏᎏᎏᎏ ⭈ (x ⫺ 3)(x ⫹ …)(x ⫺ …)(x ⫹ …)
(x ⫺ 3)(x ⫹ …)(x ⫺ …)(x ⫹ …)
2(x … ⫺ …) ⫽ 4(x … ⫹ … x ⫹ … x ⫹ …) ⫺ 2(x … ⫺ …)
Riconosci i due prodotti notevoli ed esegui
la moltiplicazione tra i due binomi.
2x … ⫺ … ⫽ 4x … ⫹ … x ⫹ … x ⫹ … ⫺ 2x … ⫹ …
Esegui le moltiplicazioni.
2x … ⫺ 4x … ⫺ … x ⫺ … x ⫹ 2x … ⫽ ⫹ … ⫹ … ⫹ …
⫺…x ⫽…
⫺…x
…
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ →
⫺…
⫺…
Soluzione accettabile.
2
Applica la regola del trasporto
e somma i termini simili.
Dividi entrambi i membri per il coefficiente di x.
…
x ⫽ ⫺ ᎏᎏ
…
Ricava x.
Confronta la soluzione con le C.E.
PROVA TU
Risolvi la seguente equazione fratta:
16 x
8
5
ᎏ
ᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ .
2
x ⫺9
x⫺3
x⫹3
16x
8
5
ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
(x ⫺ …) (x ⫹ …)
x⫺3
x⫹3
C.E.:
x ⫽⫹…
x ⫽⫺…
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1
LE EQUAZIONI LINEARI Recupero
m.c.m. (x ⫺ 3)(x ⫹ 3)
16x ⫺ 8(x ⫹ …)
5(x ⫺ … )
(x ⫺ …)(x ⫹ …) ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ ⭈ (x ⫹ 3)(x ⫺ …)
(x ⫺ …) (x ⫹ …)
(x ⫹ 3)(x ⫺ …)
16x ⫺ 8x ⫺ … ⫽ 5x ⫺ …
16x ⫺ 8x ⫺ 5x ⫽ … ⫺ …
3x
…
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
3
3
x ⫽…
soluzione non ………
Risolvi le seguenti equazioni fratte.
2x ⫹ 1
1
ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
x
2
x⫹1
2
1
4 ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
x⫹2
3
2
2
2x ⫺ 5
x ⫺ 3x ⫹ 1
5 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
2
x⫺2
x⫹1
x⫺2
6 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
x
x⫺1
x⫺3
x⫹4
7 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
x⫹1
x⫺2
2
1
⫽ ᎏᎏ
8 ᎏᎏ
2
(x ⫺ 1)
x⫺1
2x ⫺ 1
1⫺x
x⫺3
9 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
x⫹2
1⫹x
x⫹2
2x ⫺ 1
x⫺1
10 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ
4x
2x ⫹ 1
2x
1
ᎏ ⫽ ᎏᎏ
11 ᎏ
2
x ⫺4
x ⫹2
3
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x ⫽ ⫺ ᎏ23ᎏ , accettabile
[x ⫽ ⫺ 8, accettabile]
x ⫽ ᎏ83ᎏ , accettabile
x ⫽ ᎏ12ᎏ , accettabile
x ⫽ ᎏ15ᎏ , accettabile
[x ⫽ 3, accettabile]
[x ⫽ ⫺ 2, non accettabile]
x ⫽ ᎏ14ᎏ , accettabile
[x ⫽ ⫺ 2, non accettabile]
2
LE RELAZIONI E LE FUNZIONI Recupero
RECUPERO
IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
DI PROPORZIONALITÀ
1
COMPLETA
Considera la tabella e stabilisci se i valori di x e y riportati sono direttamente proporzionali.
In caso affermativo scrivi la funzione di proporzionalità diretta che lega x e y e tracciane il grafico.
x
⫺3
y
1
x
⫺3
y
1
y
ᎏᎏ
x
3
2
⫺2
2
2
⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ
3
3
3
⫺2
2
2
2
⫺ 1 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ
3
3
1
⫺ ᎏᎏ
3
…
…
…
0
0
y
Considera il rapporto ᎏᎏ
x
e completa la tabella relativa.
0
0
Ⲑ∃
y
ᎏᎏ ⫽ …
x
y
Hai trovato che ᎏᎏ è costante
x
y
1
tranne per la coppia (0; 0) ed è ᎏᎏ ⫽ ⫺ ᎏᎏ.
x
3
y⫽…x
Scrivi la funzione di proporzionalità diretta.
Traccia il grafico della funzione.
y
1
3
x
–3
–1
2
PROVA TU
Considera la tabella e stabilisci se i valori di x e y riportati sono inversamente proporzionali. In caso
affermativo, scrivi la funzione di proporzionalità inversa che lega x e y e tracciane il grafico.
x
1
y
⫺2
2
4
1
⫺1 ⫺ ᎏᎏ
2
⫺1
⫺2
⫺4
⫹2
1
⫹1 ⫹ ᎏᎏ
2
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1
LE RELAZIONI E LE FUNZIONI Recupero
x
1
2
4
⫺1
⫺2
⫺4
y
⫺2
⫺1
1
⫺ ᎏᎏ
2
⫹2
⫹1
1
ᎏᎏ
2
x ⭈y
⫺2
…
…
…
…
…
4
3
y
xy = ..........
2
1
1
–4 –3 –2 –1
–1
…
x ⭈ y ⫽ … ovvero y ⫽ ᎏᎏ
x
2 3 4
x
–2
–3
–4
3
5
Stabilisci se fra x e y nella tabella riportata c’è
proporzionalità inversa. In caso affermativo scrivi la funzione di proporzionalità inversa e tracciane il grafico.
4
Stabilisci se fra x e y nella tabella riportata c’è
proporzionalità quadratica. In caso affermativo
scrivi la funzione di proporzionalità quadratica e
tracciane il grafico.
x
1
ᎏᎏ
2
1
ᎏᎏ
3
⫺1
2
3
4
x
0
1
ᎏᎏ
2
⫺1
2
⫺2
3
y
14
21
⫺7
7
ᎏᎏ
2
7
ᎏᎏ
3
7
ᎏᎏ
4
y
0
1
ᎏᎏ
2
2
8
8
18
Stabilisci se x e y sono direttamente o inversamente proporzionali. Scrivi la funzione di proporzionalità che
lega x e y.
x
⫺4
⫺2
1
⫺ ᎏᎏ
2
1
ᎏᎏ
16
1
ᎏᎏ
8
1
ᎏᎏ
4
1
y
1
⫺ ᎏᎏ
32
1
⫺ ᎏᎏ
16
1
⫺ ᎏᎏ
4
2
1
1
ᎏᎏ
2
1
ᎏᎏ
8
冤x e y sono inversamente proporzionali; xy ⫽ ᎏ18ᎏ冥
6
7
Stabilisci se fra x e y c’è proporzionalità diretta, inversa o quadratica. Scrivi la funzione di proporzionalità
che lega x e y e tracciane il grafico.
x
0
2
3
4
y
0
1
ᎏᎏ
2
3
ᎏᎏ
4
1
冤x e y sono direttamente proporzionali; y ⫽ ᎏ14ᎏ x冥
Stabilisci se fra x e y c’è proporzionalità diretta, inversa o quadratica. Scrivi la funzione di proporzionalità
che lega x e y e tracciane il grafico.
x
3
2
⫺1
⫺2
y
1
ᎏᎏ
15
1
ᎏᎏ
10
1
⫺ ᎏᎏ
5
1
⫺ ᎏᎏ
10
冤x e y sono inversamente proporzionali; xy ⫽ ᎏ15ᎏ冥
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