Unità 1.5 - Problemi risolubili con metodi goniometrici
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Piano di lavoro di matematica - 4°C Classi IV° C Insegnante: D. Periotto Anno scolastico 2007/2008 Piano di lavoro di matematica Nel corso del triennio l’insegnamento della matematica prosegue ed amplia il processo di preparazione scientifica e culturale già avviato nel biennio e concorre, insieme alle altre discipline, allo sviluppo dello spirito critico e alla loro promozione umana e intellettuale Il programma è suddiviso in sette grandi temi (Tema 1: Geometria, Tema 2: Insiemi numerici e strutture, Tema 3: Funzioni ed equazioni, Tema 4: Probabilità e statistica, Tema 5: Logica, Tema 6: Informatica, Tema 7: Analisi infinitesimale); i vari contenuti sono stati raggruppati in moduli, che rappresentano delle unità di sapere significative, a loro volta suddivisi in unità didattiche. I moduli, così come le unità didattiche, contrassegnati con un asterisco, sono da ritenersi opzionali e/o dedicati all'approfondimento: saranno affrontati in base a quale sarà la risposta della classe e dei singoli discenti o verranno eventualmente ripresi negli anni successivi; i rimanenti sono pertanto da ritenersi fondamentali per il proseguimento degli studi in questa tipologia di indirizzo. Essi non saranno affrontati necessariamente in sequenza ma in modo ciclico, cioè con continui ritorni sugli stessi argomenti che saranno, di volta in volta e nel corso dei tre anni, approfonditi maggiormente. La scansione temporale dell'impostazione che segue ha pertanto un carattere puramente indicativo; in particolare, nel corso del terzo trimestre, saranno ripresi e sistematizzati molti dei punti già precedentemente trattati. Nel corso del primo mese di lezione verranno ripresi i principali contenuti sviluppati nell’anno precedente che sono stati raggruppati in un unico modulo (Modulo 0); questo si concluderà con una verifica scritta che costituirà il primo voto dell’anno in corso e un’altra verifica per recuperare gli eventuali debiti scolastici pregressi. La valutazione avverrà frequentemente sotto varie forme: prove scritte di tipo tradizionale e test oggettivi di varia tipologia, nonché almeno un colloquio orale per trimestre. I criteri di attribuzione dei voti saranno sempre esplicitati a priori. Particolare importanza ed attenzione sarà riservata all'utilizzo del libro di testo e degli appunti presi in classe. L'approccio ai vari argomenti avverrà, in tutti i casi in cui ciò sarà possibile, mediante problemi possibilmente tratti dalla realtà quotidiana. L'attività di laboratorio non coinciderà necessariamente con l'uso dell'elaboratore elettronico: in particolare saranno sviluppate in tali ore le unità didattiche di calcolo numerico (Modulo 14) che prevedono sì l'implementazione di algoritmi, ma anche la conoscenza di precisi elementi di teoria; in generale l'attività di laboratorio, grazie all'utilizzo di software "matematici" e non (Derive, Excel o altri eventualmente conosciuti dai discenti), servirà anche come momento di approfondimento e di esercitazione sui contenuti presentati in aula. a.s. 2007/08 - pag. 1 Piano di lavoro di matematica - 4°C MODULI OBIETTIVI MODULO 0 - Ripasso Unità 0.1 Unità 0.2 Unità 0.3 Unità 0.4 - Funzioni circolari Rette, parabole, circonferenze Coniche Equazioni e disequazioni algebriche Vedi piano di lavoro dell’anno precedente MODULO 1 - Trigonometria Unità 1.1 Unità 1.2 Unità 1.3 Unità 1.4 - Formule goniometriche Equazioni lineari in seno e coseno Disequazioni goniometriche Relazioni nei triangoli e nei quadrilateri Unità 1.5 - Problemi risolubili con metodi goniometrici Mese di Settembre MODULO 2 - Funzioni trascendenti Unità 2.1 Unità 2.2 Unità 2.3 Unità 2.4 - Le funzioni reali Le potenze ad esponente reale La funzione esponenziale La funzione logaritmica Mese di Ottobre MODULO 3 - Equazioni e disequazioni trascendenti e irrazionali Unità 3.1 - Equazioni esponenziali Unità 3.2 - Equazioni logaritmiche Unità 3.3 - Disequazioni esponenziali logaritmiche Riconoscere la non linearità di una funzione goniometrica e valutarne le conseguenze Dimostrare e utilizzare le formule di addizione e sottrazione per il seno, per il coseno, per la tangente Ricavare dalle precedenti le formule di duplicazione e di bisezione Ricavare e utilizzare le formule parametriche Saper applicare le formule di prostaferesi e di Werner Utilizzare le formule viste per verificare identità o per risolvere equazioni goniometriche lineari o riconducibili ad omogenee di grado pari Rappresentare graficamente le soluzioni di un’equazione lineare Risolvere, utilizzando anche rappresentazioni grafiche, disequazioni goniometriche in insiemi di definizione assegnati o sull'intero dominio reale Dimostrare il teorema della corda, dei seni e di Carnet e saperli applicare alla risoluzione di problemi che coinvolgono triangoli qualunque Determinare l’area di un triangolo, noti due lati e l’angolo compreso o i tre lati Determinare il raggio della circonferenza inscritta e quello della circonferenza circoscritta ad un triangolo Discutere un problema trigonometrico in cui compare un parametro Estendere le potenze al caso di esponente reale Definire la funzione esponenziale Analizzare le caratteristiche della funzione esponenziale Disegnare e riconoscere il grafico di una funzione esponenziale Utilizzare il tasto delle potenze della calcolatrice Definire la funzione logaritmica Analizzare le caratteristiche della funzione logaritmica Disegnare e riconoscere il grafico di una funzione logaritmica Calcolare il logaritmo di numeri esprimibili come potenze della base Cambiare la base di un logaritmo Utilizzare la calcolatrice per determinare il logaritmo di un numero Dimostrare e utilizzare le proprietà dei logaritmi Utilizzare i logaritmi per risolvere problemi nelle cui relazioni l'incognita compare all'esponente Risolvere semplici problemi di matematica finanziaria Interpretare rappresentazioni che utilizzino una scala logaritmica Risolvere, algebricamente e con metodi grafici, equazioni e e disequazioni esponenziali del tipo a f x b , a f x a g x , a f x b g x , a 2 f x b f x c0 Risolvere, algebricamente e con metodi grafici, equazioni e disequazioni logaritmiche del tipo log a f x b , log a f x log a g x a.s. 2007/08 - pag. 2 Piano di lavoro di matematica - 4°C Mese di Ottobre MODULO 4 – Geometria solida Unità 4.1 Spazio euclideo Unità 4.2 - Incidenza, parallelismo e Unità 4.3 Unità 4.4 Unità 4.5 Unità 4.6 Unità 4.7 - perpendicolarità Diedri, triedri, prismi ed angoloidi Poliedri Solidi di rotazione La struttura di spazio vettoriale Geometria analitica solida Risolvere disequazioni irrazionali del tipo Mese di Novembre Unità 5.1 - Particolarità del determinante di una matrice MODULO 5– Sistemi lineari Unità 5.2 - Matrici e sistemi lineari Unità 5.3 - Discussione di un sistema lineare Mese di Dicembre MODULO 6 – Statistica Unità 6.1 - Distribuzioni statistiche semplici Unità 6.2 - Dipendenza statistica tra due caratteri Unità 6.3 - *Regressione e correlazione n f x g x Classificare prismi e parallelepipedi Stabilire le proprietà di simmetria di un parallelepipedo Stabilire le relazioni di omotetia in una piramide Dimostrare la relazione di Eulero per i poliedri Dimostrare che esistono esattamente cinque poliedri regolari Definire cilindro, cono e sfera come solidi di rotazione Determinare le posizioni reciproche tra due rette e tra una retta e un piano Definire uno spazio vettoriale e fornirne almeno un modello Individuare se un insieme (con alcune operazioni introdotte) rappresenta un modello di spazio vettoriale Stabilire se, in un dato ambiente, un vettore è combinazione lineare di altri Stabilire quando due o più vettori, sono linearmente dipendenti Definire la dimensione di uno spazio vettoriale Stabilire l’equazione vettoriale e le equazioni parametriche di una retta Rappresentare un punto nello spazio in un riferimento cartesiano tridimensionale Stabilito un riferimento cartesiano tridimensionale, determinare la distanza tra due punti Determinare l’equazione di un piano passante per l’origine e per due punti Determinare l’equazione di un piano passante per tre punti Stabilire la condizione di parallelismo tra piani Determinare analiticamente il vettore giacitura di un piano Interpretare geometricamente i sistemi lineari in tre incognite dstinguedo tra sistemi determinati, indeterminati e impossibili Rappresentare in un riferimento cartesiano tridimensionale una retta di date equazioni Scrivere l’equazione di una retta nello spazio, passante per due punti Calcolare il determinante di una matrice di ordine tre Individuare i casi in cui il determinante di una matrice è nullo Sviluppare il determinante di una matrice quadrata secondo una riga Individuare se un sistema lineare è determinato, indeterminato o impossibile Risolvere per via algoritmica sistemi di equazione lineare Discutere un sistema lineare utilizzando il teorema di Rouchè Capelli Individuare i caratteri di una unità statistica e le modalità con cui si presentano Determinare la frequenza assoluta o relativa di una modalità Rappresentare una distribuzione di frequenze attraverso un diagramma circolare o un istogramma Calcolare media aritmetica, moda, mediana, varianza, scarto quadratico medio di una distribuzione Analizzare una tabella a doppia entrata e studiarne le distribuzioni condizionate e quelle marginali Determinare la retta di regressione di una distribuzione doppia con il metodo dei punti fissi, con quello della mediana o con quello dei minimi quadrati Determinare l’indice di scostamento e valutare il grado di dipendenza statistica fra due distribuzioni. Calcolare l'indice di correlazione lineare con il metodo di BravaisPearson Mese di Gennaio a.s. 2007/08 - pag. 3 Piano di lavoro di matematica - 4°C MODULO 7 – Probabilità Unità 7.1 Unità 7.2 Unità 7.3 Unità 7.4 Unità 7.5 Unità 7.6 Unità 7.7 Unità 7.8 - Calcolo combinatorio Definizioni di probabilità *Assiomi della probabilità Probabilità condizionata Teorema di Bayes Variabili aleatorie Distribuzioni di probabilità Distribuzione di Poisson Mese di Febbraio-Marzo Definire un evento ed analizzare il numero di volte in cui si presenta Definire la probabilità come rapporto tra casi favorevoli e numero dei casi possibili Effettuare una stima frequentista della probabilità di un evento Stabilire se due eventi sono compatibili o incompatibili Stabilire gli assiomi della funzione di probabilità Dimostrare, sulla base degli assiomi, il teorema dell’evento complementare Calcolare la probabilità di eventi aleatori definiti attraverso i connettivi logici Calcolare la probabilità di un evento, condizionata al verificarsi di un altro evento Stabilire quando due eventi sono stocasticamente dipendenti o indipendenti Determinare, anche utilizzando diagrammi ad albero, la probabilità di un evento in una successione di esperimenti Stabilire e dimostrare il teorema di Bayes Applicare il teorema di Bayes per stabilire la probabilità di un evento sia “causa” di un altro Media, moda, varianza di una variabile aleatoria Distribuzione di Bernoulli, ipergeometrica e di Poisson MODULO 8 - Successioni Unità 8.1 Unità 8.2 Unità 8.3 Unità 8.4 Unità 8.5 Unità 8.6 - Le successioni numeriche Progressioni numeriche *Il principio di induzione Il limite di una successione Algoritmi per il calcolo di π La definizione del numero e Mese di Marzo-Aprile MODULO 9 - Funzioni Unità 9.1 - Le funzioni reali Unità 9.2 - Alcuni grafici di funzioni Unità 9.3 - Alcune caratteristiche delle funzioni Costruire i primi termini di una successione numerica data una legge di corrispondenza di dominio N Rappresentare nel piano cartesiano i primi termini di una successione Stabilire se una successione è convergente, divergente, indeterminata Stabilire se una successione è crescente o decrescente Riconoscere una progressione aritmetica Riconoscere una progressione geometrica Costruire i primi termini di una successione geometrica o aritmetica, dato il termine iniziale e la ragione Calcolare l'n-esimo termine di una progressione (geometrica o aritmetica) Calcolare la somma dei primi n termini di una progressione (geometrica o aritmetica) Calcolare la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica di ragione q, con q 1 *Esprimere un numero periodico come somma di infiniti termini di una progressione geometrica *Giustificare il principio di induzione *Dimostrare una proprietà con il principio di induzione *Riconoscere e applicare una regola ricorsiva Riscrivere una disuguaglianza che contiene il valore assoluto come doppia disuguaglianza senza valore assoluto Determinare se un punto appartiene ad un intorno (sia di un numero reale sia dell'infinito) Definire il limite di una successione convergente Stabilire criteri di convergenza basati sulla monotonia e la limitatezza di una successione Enunciare ed applicare il criterio di Cauchy Definire il numero e Stabilire se una corrispondenza è una funzione Stabilire se una linea in un riferimento cartesiano è il grafico di una funzione Determinare l'insieme di definizione di una funzione a.s. 2007/08 - pag. 4 Piano di lavoro di matematica - 4°C Date le espressioni analitiche di due funzioni y f x e y g x , determinare l'espressione analitica delle loro composizioni Disegnare il grafico di funzione di primo e secondo grado composte con le funzioni valore assoluto x , parte intera [x], mantissa E[x] o Durante tutto l’anno diversamente definite per casi Dato il grafico di una funzione y f x , tracciare il grafico delle funzioni y f x k , y f x k , y kf x , y f kx , y f x , y f x , con k R Stabilire se una funzione è invertibile Stabilire alcune caratteristiche di una funzione (zeri, positività, crescenza, continuità, andamenti all'infinito) a partire dal suo grafico e viceversa MODULO 5 – Numeri complessi Unità 5.1 - Il campo dei numeri complessi Unità 5.2 - Rappresentazioni dei numeri complessi Unità 5.3 - Il teorema fondamentale dell'algebra Mese diMaggio MODULO 14 - Laboratorio Unità 14.1 - Soluzione approssimata di una Unità 14.2 Unità 14.3 Unità 14.4 Unità 14.5 - equazione Geometria analitica e Derive Grafici di funzioni e Derive Statistica con il foglio elettronico Algoritmi per il calcolo di π e di e Giustificare l'esigenza dell'ampliamento dei numeri reali Definire l'addizione e la moltiplicazione in C Addizionare e moltiplicare due numeri complessi Stabilire le proprietà algebriche dell'insieme C Rappresentare come vettore un numero complesso Dare un'interpretazione geometrica dell'addizione e della moltiplicazione tra due numeri complessi Dividere due numeri complessi Scrivere in forma trigonometrica un numero complesso Esprimere in forma trigonometrica la potenza di un numero complesso Scrivere in forma esponenziale un numero complesso Determinare le radici di ordine n di un numero complesso Conoscere il teorema fondamentale dell'algebra Saper risolvere equazioni algebriche in C Programmazione in Pascal per la determinazione degli zeri di una funzione.Metodo di bisezione e delle corde Conoscere i principali comandi, grafici e di calcolo, di un foglio elettronico Conoscere i principali comandi, grafici e di calcolo, del software Derive Saper scegliere opportunamente il software più idoneo per risolvere, rappresentare o impostare un problema matematico Conoscere e giustificare i metodi di Archimede, Viète e di Leibniz per il calcolo di π e sapere implementare i relativi algoritmi in un linguaggio di programmazione imperativo conosciuto Saper ricavare un valore approssimato del numero e con l’utilizzo di un linguaggio di programmazione imperativo conosciuto a.s. 2007/08 - pag. 5 Piano di lavoro di matematica - 4°C RIPARTIZIONE DEI CONTENUTI RISPETTO AI TEMI MINISTERIALI Tema 1. Geometria Formule goniometriche. Equazioni lineari in seno e coseno. Disequazioni goniometriche. Relazioni nei triangoli e nei quadrilateri. Problemi risolubili con metodi goniometrici. Trasformazioni di coordinate e di equazioni di curve. Matrici e trasformazioni geometriche. Vettori e trasformazioni geometriche. Le isometrie. Le similitudini. Le affinità. Spazio euclideo. Incidenza, parallelismo e perpendicolarità. Diedri, triedri, prismi ed angoloidi. Poliedri. Solidi di rotazione. La struttura di spazio vettoriale. Geometria analitica solida Tema 2. Insiemi numerici e strutture Il campo dei numeri complessi. Rappresentazioni dei numeri complessi. Il teorema fondamentale dell'algebra. Calcolo matriciale. Tema 3. Funzioni ed equazioni Le funzioni reali. Le potenze ad esponente reale. La funzione esponenziale. La funzione logaritmica. Equazioni esponenziali. Equazioni logaritmiche. Disequazioni esponenziali e logaritmiche. Equazioni e disequazioni irrazionali. Le successioni numeriche. Progressioni numeriche. Il principio di induzione. Il limite di una successione. La definizione del numero e. Le funzioni reali. Grafici di funzioni elementari. Caratteristiche e proprietà di una funzione Tema 4. Probabilità e statistica Distribuzioni statistiche semplici. Dipendenza statistica tra due caratteri. Regressione e correlazione. Calcolo combinatorio. Definizioni di probabilità. Assiomi della probabilità. Probabilità condizionata. Teorema di Bayes. Variabili aleatorie. Distribuzioni di probabilità. Distribuzione di Poisson Tema 5. Logica Logica delle proposizioni. Connettivi logici. Logica dei predicati. Regole di inferenza e derivazioni nella logica dei predicati. Tema 6. Informatica L’ambiente Windows. Software applicativi: Derive, word processor (Word), foglio elettronico (Excel). Stesura e implementazione di semplici programmi in TurboPascal e/o C. Prof. Damiana Periotto a.s. 2007/08 - pag. 6
