Giocare con i numeri naturali
Il mago dei Numeri: Tino Costa
Convegno Chieti 16-17-18 aprile 2015
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Giocare con i numeri naturali è una
delle attività più belle ed appassionanti che
danno delle soddisfazioni e dei piaceri
particolari; scoprire l’armonia dei numeri,
riuscire a scoprire, sentire e gustare la loro
musica ……non si può descrivere!!!
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Compito dell’insegnante è quello di stuzzicare,
stimolare la fantasia, l’immaginazione dei
ragazzi che attraversano il periodo più bello
della loro vita: proprio quello che va dai 4
ai 14 anni: non perdiamo questa occasione!!!
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Dò solo qualche spunto ….
Esercitiamo i ragazzi a lavorare con i numeri
naturali, spezzandoli, ricomponendoli,
facendo fare (ai numeri!) capriole, looping,
atterraggi, decolli più o meno morbidi…..
applicando delle regole a piacere e cercando
di carpirne i segreti, i misteri che in essi si
nascondono….
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I numeri, nel corso degli anni, hanno
conosciuto tante classificazioni; poi,
con l’avvento di Internet, queste sono
aumentate in maniera esponenziale:
dai numeri dispari a quelli pari, dai
numeri composti a quelli primi,
dai numeri gemelli, trigemini, quadrigemini,
dai sexy a quelli cugini, amici e fidanzati,
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dai palindromi a quelli di Fibonacci, a quelli
triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali,
dai numeri vampiri, fortunati, di Kaprekar
a quelli autoreplicanti, ai numeri felici e quelli
infelici, ai numeri spia, a quelli idonei,
ai numeri potenti e superpotenti,
dai numeri abbondanti e difettivi,
dai numeri di Achille a quelli ciclici…
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STOP!!
Partiamo dai mattoni fondamentali:
LE CIFRE
con pan di zenzero,
con listelli di legno
ornamentali e giocherelloni,
stilizzati,
floreali,
da fumetti, ……..
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Pan di zenzero
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° °
°
°
°
°
°
° °
Con listelli di legno
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Ornamentali
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giocherelloni
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Stilizzati
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Floreali (ma anche con frutti diversi)
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Da fumetto (con animali diversi)
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da colorare….(con scene varie)
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Ma qual è la cifra più importante?
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STOP!!
Allora partiamo dai numeri dispari……
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …
Chiediamo ai ragazzi:
Quanti sono???
Molti risponderanno:
tanti, tantissimi, moltissimi,
fate queste domande e registrate le risposte!!
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Allora replichiamo:
ma qual è il più grande?
Se qualcuno lo trova, fate scrivere alla
lavagna questo numero dispari…
e poi dite:
adesso somma due a questo numero:
che succede?
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Torniamo ai simpatici nostri dispari
(non nostri pari!!)
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29,
31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55,
57, 59, 61, 63,… li riscriviamo.
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Prendiamo all’inizio solo il primo, a seguire i
primi due, poi i primi tre, … e li sommiamo:
che succede?
1
→1=?
cosa notate?
1+3→4=?
1+3+5→9=?
1 + 3 + 5 + 7 → 16 = ?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 → 25 = ?
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1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 → 36 = ?
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 → 49 = ?
ripartiamo dai nostri simpatici dispari
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29,
31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55,
57, 59, 61, 63,…
li riscriviamo prendendo prima solo il primo,
poi i due che seguono, poi i tre che seguono,
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poi i quattro che seguono quelli che già
abbiamo preso, …… e li sommiamo:
che succede?
1 →1=?
cosa notate?
3+5→8=?
7 + 9 + 11 → 27 = ?
13 + 15 + 17 + 19 → 64 = ?
21 + 23 + 25 + 27 + 29 → 125 = ?
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31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 → 72 x 3 = 216 ?
43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 → 98 x 3 + 49 = 343 ?
57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71→ 128 x 4 = 512 ?
Continuando di questo passo, i nostri simpatici dispari
ci farebbero scoprire mille altre proprietà. Perciò li
ringraziamo: grazie, numeri dispari, Vi verremo a
trovare quanto prima!!!
(Allegato A)
Ci sono i numeri felici che scalpitano e bussano alla
porta perché loro, pensate, vogliono portare la felicità
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dappertutto, fin dentro le aule scolastiche….dove
dicono stia per arrivare la BUONA SCUOLA…
Prima di dare una definizione, che faremo scoprire
dagli alunni stessi, procediamo passo passo.
Prendiamo un numero naturale a piacere:
per esempio 49.
Da 49 ricaviamo un numero dato dalla somma dei
quadrati delle sue cifre:
49 → 4 x 4 + 9 x 9 = 16 + 81 = 97.
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Ripetiamo lo stesso procedimento con 97
97 → 9 x 9 + 7 x 7 = 81 + 49 = 130;
…e così via
130 → 1 x 1 + 3 x 3 + 0 x 0 = 1 + 9 + 0 = 10 …???
10 → → 1 x 1+ 0 x 0 = 1.
49 è un numero felice perché dopo una serie di queste
iterazioni si arriva ad 1!!!!
Prendiamo un altro numero: per esempio 24
24 → 2 x 2 + 4 x 4 = 4 + 16 = 20
20 → 2 x 2 + 0 x 0 = 4 + 0 = 4
4 → 4 x 4 = 16
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25
16 → 1 x 1 + 6 x 6 = 1 + 36 = 37
37 → 3 x 3 + 7 x 7 = 9 + 49 = 58
58 → 5 x 5 + 8 x 8 = 25 + 64 = 89
89 → 8 x 8 + 9 x 9 = 64 + 81 =145
145 → 1 x 1 + 4 x 4 + 5 x 5 = 1 + 16 + 25 = 42
42 → 4 x 4 + 2 x 2 = 16 + 4 = 20 !!!??? → STOP
24, così docile, generoso, disponibile (si fa dividere per
2, per 3, per 4, per 6, per 8, per 12); riceve, però,
sempre schiaffi dal numero 5; purtroppo è un numero
….. INFELICE
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Sembrava ben vestito, con i capelli ben pettinati. come
un ragazzo che sta per celebrare la prima comunione:
24 non è riuscito ad arrivare al fatidico traguardo → 1.
Ha ottenuto via via i seguenti risultati: 20, 4, 16, 37, 58,
89, 145, 42, 20,…
All’inizio i risultati sembravano aumentare di molto
fino ad arrivare a 145 per poi ritornare a 20 che era
stato il suo primo risultato. A questo punto, ogni sforzo
è inutile 24 sarà infelice in eterno!!!!
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Caratteristica dei numeri infelici è che a un certo
punto essi entrano nella sequenza ciclica 4, 16, 37, 58,
89, 145, 42, 20 che si ripete all’infinito.
Però c’è la magra consolazione (!!???) che, come i
numeri felici, anche quelli infelici sono infiniti!!!!
E’ arrivato a questo punto il momento di far entrare in
scena i numeri ciclici (o circolari).
Il rappresentante più piccolo e più importante,
il vero “BOSS” è
142 857
(numero magico all’ennesima potenza)!!
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Per farlo memorizzare facilmente ai ragazzi si può
procedere in tanti modi: uno potrebbe essere questo:
Si pone agli alunni questa domanda:
Quanti giorni ci sono in 2 settimane?
Nella maggior parte dei casi riceviamo la risposta
corretta: 14.
Scriviamo 14 e lo facciamo seguire dal numero 2 per
ricordarci che 14 (sottinteso giorni)
si riferiscono a 2 settimane.
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Siamo così arrivati a scrivere 142.
Si pone agli alunni questa prima domanda:
La prima cifra è 1. Che numero gli devo aggiungere,
per farlo arrivare a 9? La risposta sarà: otto
Scriviamo l’8 a destra di 142 ottenendo 142 8.
Si pone agli alunni questa seconda domanda:
La seconda cifra è 4. Che numero gli devo aggiungere,
per farlo arrivare a 9? La risposta sarà: cinque
Scriviamo il 5 a destra di 142 8 ottenendo 142 85.
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Si pone agli alunni questa terza domanda:
La terza cifra è 2. Che numero gli devo aggiungere, per
farlo arrivare a 9? La risposta sarà: sette.
Scriviamo il 7 a destra di 142 85 ottenendo 142 857.
Il numero magico è stato “concepito” !!!
142 857 ha 6 cifre. E 6 è un numero perfetto. Perché?
I numeri perfetti sono quelli in cui la somma di tutti i
suoi divisori (escluso il numero stesso) sono uguali a
quel numero.
Esempi: I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6.
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Escludendo 6 la somma dei restanti divisori è proprio
6 = 1 + 2 +3.
Dopo 6 segue il numero perfetto 28.
I divisori di 28 sono 1, 2, 4, 7, 14, 28.
Escludendo 28 la somma dei restanti divisori è proprio
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Quindi 6 e 28 sono i primi due numeri
perfetti.
2
Però, diciamo così, 6 è un (numero perfetto) .
Perchè?
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Anche il prodotto dei suoi divisori minori
di 6 dànno per risultato 6 (1 x 2 x 3).
Il che non vale per 28.
Infatti 1 x 2 x 4 x 7 x 14 = 784 che è diverso
da 28 !!!
Magie di 142857.
Spezziamo questo numero in 6, in 3 e in 2 parti e
sommiamo queste parti:
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 → 2 + 7 = 9; abbiamo un 9;
• 14 +28 + 57 = 99; otteniamo due 9;
• 142 + 857 = 999; otteniamo tre 9.
•
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Ma non è finita qui!!!!
Moltiplichiamo 142857 per 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Che succede?
142857 x 1 = 142857;
142857 x 2 = 285714; → ?? 14 285714;
142857 x 3 = 428571; → ?? 1 428571;
142857 x 4 = 571428; → ?? 1428 571428;
142857 x 5 = 714285; → ?? 14285 714285;
142857 x 6 = 857142; → ?? 142 857142;
e se lo moltiplichiamo per 7 ???
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142857 x 7 = 999999; → ??
Osserviamo i prodotti ottenuti.
1 x 142857 = 142857
2 x 142857 = 285714
3 x 142857 = 428571
4 x 142857 =571428
5 x 142857 =714285
6 x 142857 =857142
7 x 142857 =999999
A parte l'ultimo risultato, tutti gli altri possono essere
ottenuti semplicemente facendo scorrere le cifre del
numero 142857. I numeri che hanno questa proprietà,
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sono detti numeri ciclici.
Le prime ricerche sui numeri ciclici nacquero dallo
studio delle proprietà del numero 1/7
1/7 = 0,142857142857142857142857142857143....
Chi sa trovare qualche altro numero ciclico?
Torniamo ai prodotti precedenti disposti in altro modo
1 x 142857 = 142857
2 x 142857 = 285714
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3 x 142857 = 428571
4 x 142857 =571428
5 x 142857 =714285
6 x 142857 =857142
1 x 142857 = 142857
2 x 142857 = 285714
3 x 142857 = 428571
e
e
e
6 x 142857 =857142;
5 x 142857 =714285;
4 x 142857 =571428.
Che è successo ???
1 x 142857 = 142 857
2 x 142857 = 285714
e
e
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6 x 142857 = 857142;
5 x 142857 =714285;
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3 x 142857 = 428571
e
4 x 142857 =571428.
Nel primo caso 142 e 857 si scambiano di posto.
Nel secondo caso 285 e 714 si scambiano di posto.
Nel terzo caso 428 e 571 si scambiano di posto.
In tutti e tre i casi la somma dei fattori
collegati a 142857 dà SETTE.
Infatti: 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 7 (settettette!!!)
MA NON FINISCE QUI…..
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142857 CONTINUA A SBALORDIRE!!!
Fin qui 142857 è stato MOLTIPLICATO
SOLO per numeri piccoli.
Che succede se lo moltiplichiamo per numeri
più grandi ???
PROVARE
PER
C R E D E R E!!
142 857 x 12 = 1 714284 →
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714284 + 1 = 714285;
142 857 x 123 = 17 571411 →
571411 + 17 = 571428;
142 857 x 1234 = 176 285538 →
285538 + 176 = 285 714;
142 857 x ……. = ……
142 857 x 1234567 = 176366 537919 →
537919 + 176366 = 714285.
Quando il prodotto supera 6 cifre, lo si divide,
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a partire da destra, in gruppi di 6 cifre e si
sommano.
Notate l’armonia di questi risultati:
142857 x 7 = 999999
142857 x 77 = 10999989
142857 x 777 = 110999889
142857 x 7777 = 1110998889
142857 x 77777 = 11110988889
142857 x 777777 = 111110888889
142857 x 7777777 = 1111109888889
142857 x 77777777 = 11111099888889
142857 x 777777777 = 111110999888889
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142857 x 7777777777 = 1111109999888889
142857 x 77777777777 = 11111099999888889
142857 x 777777777777 = 111110999999888889
142857 x 7777…….77777777 = 111110999…….999888889
142857 x 7 …….7 = 111110 … 999999 …
888889
Così se i 7 sono 1012 avremo come risultato:
111110…..seguito da mille 9, per finire con 888889.
Straordinario!!! Vero?
MA NON FINISCE QUI…..
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142857 CONTINUA A SBALORDIRE!!!
Prendiamo le trasformazioni di 142857 in
modo che il numero della prima terna di cifre
sia maggiore del numero della seconda terna.
857 142; 571 428 e 714 285.
A questo punto sottraiamo i quadrati dei due
numeri così ottenuti per i 3 diversi casi.
2
2
857 – 142 = 734 449 – 20164 = 714 285;
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5712 – 4282 = 326 041 – 183 184 = 142 857;
7142 – 2852 = 509 796 – 81 225 = 428 571.
Ecco le scomposizioni: il commento è facile!
142857 = 33 x 11 x 13 x 37;
3
285714 = 2 x 3 x 11 x 13 x 37;
4
428571 = 3 x 11 x 13 x 37;
571428 = 22 x 33 x 11 x 13 x 37;
3
714285 = 3 x 5 x 11 x 13 x 37;
4
857142 = 2 x 3 x 11 x 13 x 37.
142857 CONTINUA A SBALORDIRE!!!
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Se lo dividiamo per 2 e per 5 (i fattori del
nostro sistema di numerazione in base 10),
otteniamo ancora un numero trasformato
ciclico (non bisogna considerare la virgola!!)
142857 : 2 = 71428,5 → 714 285;
142857 : 5 = 28571,4 → 285 714;
Naturalmente lo stesso avviene se partiamo da
un numero ottenuto da questo mediante una
trasformazione ciclica: 285714 : 5 = 57142,8
857142 : 2 = 428571.
Si pensa che i numeri ciclici siano infiniti e si ricavano da
una formula semplicissima:
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(bp-1 − 1)/p dove b indica la base di numerazione (nel nostro
caso 10) e p un numero primo che non sia divisore di b.
Il numero ciclico che abbiamo trattato sopra quindi si
ricava da questa formula ponendo b = 10 e p =7.
(106 - 1) / 7 = (1000000 – 1) : 7 = 999 999 :7 = 142 857.
Il secondo numero ciclico si ricava dal numero primo 17.
(1016 - 1) / 17 = (10 000 000 000 000 000 – 1) : 17 =
9999999999 999999 :17 = 05882352 94117647.
In questo caso il numero ciclico inizia con zero ed è il più
piccolo numero ciclico di 16 cifre: dopo averlo diviso in due
parti notiamo che le cifre del secondo gruppo sono
complemento a 9 rispetto a quelle del primo gruppo!!!
(Allegato B)
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(Allegato C)
(Allegato D)
(Allegato E)
Dopo i numeri ciclici, analizziamo alcune caratteristiche
delle potenze
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CHE NON SONO ALTRO CHE PARTICOLARI
MOLTIPLICAZIONI.
Per iniziare basta osservare attentamente una tabella
numerica in cui siano riportati i quadrati ed i cubi dei
numeri di due cifre. Far scoprire agli alunni le proprietà
con opportuni esercizi di gruppo.
Dò qui solo qualche spunto: la CONSEGNA è:
OSSERVARE
E
PROVARE
Chirurgia con i quadrati
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422 = 1764 → 17 + 64 = 81 = 92; da quadrato a quadrato!
482 = 2304 → 23 + 04 = 27 = 33; da quadrato a cubo!
502 = 2500 → 25 + 00 = 52 (caso un po’ banale!!)
572 = 3249 → 32 + 49 = 81 = 92; da quadrato a quadrato;
Se il quadrato ha un numero di cifre DISPARI allora
prenderemo due gruppi con un numero di cifre diverso.
132 = 169 → 16 + 9 = 25; da quadrato a tre quadrati;
142 = 196 → 19 + 6 = 25; da quadrato a quadrato;
Quesito come passare da 132 = 169 a 142 = 196?
In 169 e 196, inoltre, la somma delle cifre è 16 che a sua
volta è un quadrato (16 = 42).
Capriole con i quadrati
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122 = 144; e se inverto le cifre? 212 = 441;
132 = 169; e se inverto le cifre? 312 = 961;
1022 = 10404; e se inverto le cifre? 2012 = 40401;
1032 = 10609; e se inverto le cifre? 3012 = 90601;
1122 = 12544; e se inverto le cifre? 2112 = 44521;
1132 = 12769; e se inverto le cifre? 3012 = 96721;
1222 = 12884; e se inverto le cifre? 2212 = 48841;
Risultati particolari
452 = 2025 → 20 + 25 = 45; la somma delle 2 parti = base
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552 = 3025 → 30 + 25 = 55; la somma delle 2 parti = base
92 = 81 → 8 + 1 = 9: la somma delle 2 parti = base
992 = 9801 → 98 + 01 = 99; “
“
9992 = 998001 → 998 + 001 = 999;
“
“
99992 = 99980001 → 9998 + 0001 = 9999;
“
“
912 = 82 81; 82 e 81 sono uno successivo all’altro!!!
9012 = 811 801; 811 e 801 differiscono di 10!!!
90012 = 8101 8001; 8101 e 8001 differiscono di 100!!!
900012 = 81001 80001; 81001 e 80001 differiscono di 1000
9000012 = 810001 80001; ……. differiscono di 10000!!!
Quadrati con numeri consecutivi o altro…
4282 = 183 184; → 183, 184 sono consecutivi
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5732 = 328 329; → 328, 329 sono consecutivi
7272 = 528 529; → 528, 529 sono consecutivi
8462 = 715 716; → 715, 716 sono consecutivi
5492 = 301 401; → 301 e 401 differiscono di 100!!!
7252 = 525 625; → 525 e 625 differiscono di 100!!!
7382 = 544 644; → 544 e 644 differiscono di 100!!!
7582 = 574 564; → 574 e 564 differiscono di 10!!!
Questo risultato è STRABILIANTE!!!!!
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892 = 79 21 → 79 + 21 = 100 = 102;
982 = 96 04 → 96 + 04 = 100 = 102;
e se inverto le cifre?
risultati strani
6302 = 396 900 → 396 + 900 = 1296 = 0362 !!???
9582 = 917 764 → 917 + 764 = 16 81 = 412 (ottengo 3 quadr.)
E per finire…..
LA MAGICA DOZZINA
9572 = 915 849 → 915 + 849 = 1764 = 422;
9582 = 917 764 → 917 + 764 = 1681 = 412;
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9592 = 919 681 → 919 + 681 = 1600 = 402;
………………………….
………………………….
9672 = 935 089 → 935 + 089 = 1024 = 322;
9682 = 937 024 → 937 + 024 = 961 = 312;
I quadrati di sinistra sono consecutivi crescenti mentre
i corrispondenti quadrati di destra sono decrescenti.
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Grazie e a presto!!
Se non verrò imprigionato dai
numeri … Pari !!!!
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