Geometria (...continuazione)

Geometria (...continuazione)
Fondamenti della Logica e della Matematica
Dicembre 2013
Geometria
Dicembre 2013
1 / 11
Ragioni trigonometriche
Dati un triangolo rettangolo, e un angolo suo α
formato per la ipotenusa e uno dei cateti, definiamo il seno di α, il coseno di α e la tangente
di α come le frazione:
sen(α) =
b
,
a
cos(α) =
c
,
a
e
tan(α) =
Geometria
b
.
c
C
a
b
α
A
B
c
Dicembre 2013
2 / 11
Ragioni trigonometriche
Dati un triangolo rettangolo, e un angolo suo α
formato per la ipotenusa e uno dei cateti, definiamo il seno di α, il coseno di α e la tangente
di α come le frazione:
sen(α) =
b
,
a
cos(α) =
c
,
a
e
tan(α) =
b
.
c
C
a
b
α
A
B
c
Per il Teorema di Pitagora, sappiamo che a2 = b2 + c2 , e quindi:
b 2 c 2
c2
b2 + c2
a2
b2
cos2 (α) + sen2 (α) =
= 2 = 1.
+
= 2+ 2 =
2
a
a
a
a
a
a
Geometria
Dicembre 2013
2 / 11
Ragioni trigonometriche
Dati un triangolo rettangolo, e un angolo suo α
formato per la ipotenusa e uno dei cateti, definiamo il seno di α, il coseno di α e la tangente
di α come le frazione:
sen(α) =
b
,
a
cos(α) =
c
,
a
e
tan(α) =
b
.
c
C
a
b
α
A
B
c
Per il Teorema di Pitagora, sappiamo che a2 = b2 + c2 , e quindi:
b 2 c 2
c2
b2 + c2
a2
b2
cos2 (α) + sen2 (α) =
= 2 = 1.
+
= 2+ 2 =
2
a
a
a
a
a
a
Notiamo anche che:
b
b
sen(α)
tan(α) =
= ac =
.
c
cos(α)
a
Geometria
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2 / 11
Ragioni trigonometriche
Dati un triangolo rettangolo, e un angolo suo α
formato per la ipotenusa e uno dei cateti, definiamo il seno di α, il coseno di α e la tangente
di α come le frazione:
sen(α) =
b
,
a
cos(α) =
c
,
a
e
tan(α) =
b
.
c
C
a
b
α
A
B
c
Per il Teorema di Pitagora, sappiamo che a2 = b2 + c2 , e quindi:
b 2 c 2
c2
b2 + c2
a2
b2
cos2 (α) + sen2 (α) =
= 2 = 1.
+
= 2+ 2 =
2
a
a
a
a
a
a
Notiamo anche che:
b
b
sen(α)
tan(α) =
= ac =
.
c
cos(α)
a
Quindi, otteniamo così la prima e la seconda relazioni fondamentali:
Geometria
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2 / 11
Ragioni trigonometriche
Dati un triangolo rettangolo, e un angolo suo α
formato per la ipotenusa e uno dei cateti, definiamo il seno di α, il coseno di α e la tangente
di α come le frazione:
sen(α) =
b
,
a
cos(α) =
c
,
a
e
tan(α) =
b
.
c
C
a
b
α
A
B
c
Per il Teorema di Pitagora, sappiamo che a2 = b2 + c2 , e quindi:
b 2 c 2
c2
b2 + c2
a2
b2
cos2 (α) + sen2 (α) =
= 2 = 1.
+
= 2+ 2 =
2
a
a
a
a
a
a
Notiamo anche che:
b
b
sen(α)
tan(α) =
= ac =
.
c
cos(α)
a
Quindi, otteniamo così la prima e la seconda relazioni fondamentali:
cos2 (α) + sen2 (α) = 1
Geometria
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Ragioni trigonometriche
C
Dati un triangolo rettangolo, e un angolo suo α
formato per la ipotenusa e uno dei cateti, definiamo il seno di α, il coseno di α e la tangente
di α come le frazione:
sen(α) =
b
,
a
cos(α) =
c
,
a
e
tan(α) =
a
b
b
.
c
α
A
B
c
Per il Teorema di Pitagora, sappiamo che a2 = b2 + c2 , e quindi:
b 2 c 2
c2
b2 + c2
a2
b2
cos2 (α) + sen2 (α) =
= 2 = 1.
+
= 2+ 2 =
2
a
a
a
a
a
a
Notiamo anche che:
b
b
sen(α)
tan(α) =
= ac =
.
c
cos(α)
a
Quindi, otteniamo così la prima e la seconda relazioni fondamentali:
cos2 (α) + sen2 (α) = 1
tan(α) =
Geometria
sen(α)
cos(α)
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2 / 11
La circonferenza
I
Una circonferenza è la figura dei punti che
equidistano da un punto dato che si chiama
centro della circonferenza.
A
α
raggio
O
β
D
C
corda
B
Geometria
arco
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3 / 11
La circonferenza
I
I
Una circonferenza è la figura dei punti che
equidistano da un punto dato che si chiama
centro della circonferenza.
A
α
raggio
Un raggio è un segmento con uno dei suoi
estremi nella circonferenza e l’altro è il centro.
Si chiama raggio anche al suo valore.
O
β
C
corda
B
Geometria
D
arco
Dicembre 2013
3 / 11
La circonferenza
I
I
I
Una circonferenza è la figura dei punti che
equidistano da un punto dato che si chiama
centro della circonferenza.
A
α
raggio
Un raggio è un segmento con uno dei suoi
estremi nella circonferenza e l’altro è il centro.
Si chiama raggio anche al suo valore.
Una corda è un segmento cui estremi sono
punti della circonferenza.
Geometria
O
β
D
C
corda
B
arco
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3 / 11
La circonferenza
I
I
I
I
Una circonferenza è la figura dei punti che
equidistano da un punto dato che si chiama
centro della circonferenza.
A
α
raggio
Un raggio è un segmento con uno dei suoi
estremi nella circonferenza e l’altro è il centro.
Si chiama raggio anche al suo valore.
Una corda è un segmento cui estremi sono
punti della circonferenza.
O
β
D
C
corda
B
arco
Un diametro è una corda che passa per il centro. Il suo valore è il doppio del
raggio.
Geometria
Dicembre 2013
3 / 11
La circonferenza
I
I
I
Una circonferenza è la figura dei punti che
equidistano da un punto dato che si chiama
centro della circonferenza.
A
α
raggio
Un raggio è un segmento con uno dei suoi
estremi nella circonferenza e l’altro è il centro.
Si chiama raggio anche al suo valore.
Una corda è un segmento cui estremi sono
punti della circonferenza.
O
β
D
C
corda
B
arco
I
Un diametro è una corda che passa per il centro. Il suo valore è il doppio del
raggio.
I
Un arco è ciascuna delle parti di una circonferenza limitate da due punti.
Geometria
Dicembre 2013
3 / 11
La circonferenza
I
I
I
I
Una circonferenza è la figura dei punti che
equidistano da un punto dato che si chiama
centro della circonferenza.
A
α
raggio
Un raggio è un segmento con uno dei suoi
estremi nella circonferenza e l’altro è il centro.
Si chiama raggio anche al suo valore.
Una corda è un segmento cui estremi sono
punti della circonferenza.
O
β
D
C
corda
B
arco
Un diametro è una corda che passa per il centro. Il suo valore è il doppio del
raggio.
I
Un arco è ciascuna delle parti di una circonferenza limitate da due punti.
I
Un angolo è inscritto in una circonferenza se il suo vertice è un punto della
circonferenza e la taglia in altri due punti B e C. Si dice che l’angolo vede la
corda BC.
Geometria
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3 / 11
La circonferenza
I
I
I
I
Una circonferenza è la figura dei punti che
equidistano da un punto dato che si chiama
centro della circonferenza.
A
α
raggio
Un raggio è un segmento con uno dei suoi
estremi nella circonferenza e l’altro è il centro.
Si chiama raggio anche al suo valore.
Una corda è un segmento cui estremi sono
punti della circonferenza.
O
β
D
C
corda
B
arco
Un diametro è una corda che passa per il centro. Il suo valore è il doppio del
raggio.
I
Un arco è ciascuna delle parti di una circonferenza limitate da due punti.
I
Un angolo è inscritto in una circonferenza se il suo vertice è un punto della
circonferenza e la taglia in altri due punti B e C. Si dice che l’angolo vede la
corda BC.
I
Un angolo è centrale in una circonferenza se il suo vertice è il centro della
circonferenza (e quindi la taglia in due punti B e C). Si dice che l’angolo vede la
corda BC.
Geometria
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3 / 11
Angolo inscritto e angolo centrale
Teorema
Se un angolo inscritto α e un angolo centrale β vedono la stessa corda dallo
stesso lato, allora β = 2α, cioè, l’angolo centrale è il doppio dell’angolo
inscritto corrispondente.
Geometria
Dicembre 2013
4 / 11
Angolo inscritto e angolo centrale
Teorema
Se un angolo inscritto α e un angolo centrale β vedono la stessa corda dallo
stesso lato, allora β = 2α, cioè, l’angolo centrale è il doppio dell’angolo
inscritto corrispondente.
Dimostrazione: Ci sono diversi casi: il primo caso, quando β è piatto. Questo
è lo stesso di dire che α vede il diametro BC.
A
δ
B
δ0
γ
O
γ0
C
β
Geometria
Dicembre 2013
4 / 11
Angolo inscritto e angolo centrale
Teorema
Se un angolo inscritto α e un angolo centrale β vedono la stessa corda dallo
stesso lato, allora β = 2α, cioè, l’angolo centrale è il doppio dell’angolo
inscritto corrispondente.
Dimostrazione: Ci sono diversi casi: il primo caso, quando β è piatto. Questo
è lo stesso di dire che α vede il diametro BC.
A
δ
B
δ
0
γ
O
γ0
C
In questo caso, I triangoli 4COA e 4BOA sono
isosceli, perché OB = OC = OA, e quindi γ 0 = γ
e δ 0 = δ.
β
Geometria
Dicembre 2013
4 / 11
Angolo inscritto e angolo centrale
Teorema
Se un angolo inscritto α e un angolo centrale β vedono la stessa corda dallo
stesso lato, allora β = 2α, cioè, l’angolo centrale è il doppio dell’angolo
inscritto corrispondente.
Dimostrazione: Ci sono diversi casi: il primo caso, quando β è piatto. Questo
è lo stesso di dire che α vede il diametro BC.
A
δ
B
δ
0
γ
O
β
γ0
C
In questo caso, I triangoli 4COA e 4BOA sono
isosceli, perché OB = OC = OA, e quindi γ 0 = γ
e δ 0 = δ.
La somma degli angoli del triangolo 4ABC è:
180◦ = δ + δ 0 + γ 0 + γ = 2δ + 2γ = 2(δ + γ),
e quindi 90◦ = δ + γ.
Geometria
Dicembre 2013
4 / 11
Angolo inscritto e angolo centrale
Teorema
Se un angolo inscritto α e un angolo centrale β vedono la stessa corda dallo
stesso lato, allora β = 2α, cioè, l’angolo centrale è il doppio dell’angolo
inscritto corrispondente.
Dimostrazione: Ci sono diversi casi: il primo caso, quando β è piatto. Questo
è lo stesso di dire che α vede il diametro BC.
A
δ
B
δ
0
γ
O
β
γ0
C
In questo caso, I triangoli 4COA e 4BOA sono
isosceli, perché OB = OC = OA, e quindi γ 0 = γ
e δ 0 = δ.
La somma degli angoli del triangolo 4ABC è:
180◦ = δ + δ 0 + γ 0 + γ = 2δ + 2γ = 2(δ + γ),
e quindi 90◦ = δ + γ.
\ = δ + γ = 90◦ , e quindi il teorema è dimostrato in questo caso,
Ma, α = BAC
perché 2α = 2 · 90◦ = 180◦ = β.
Geometria
Dicembre 2013
4 / 11
Il secondo caso è quando O rimane al interno
del triangolo 4ABC.
A
δ γ
O
β
δ0 ε
γ0
ε0
C
B
Geometria
Dicembre 2013
5 / 11
Il secondo caso è quando O rimane al interno
del triangolo 4ABC. In questo caso si formano
tre triangoli isosceli: 4BOA, 4COA, e 4BOC.
A
δ γ
O
β
δ0 ε
γ0
ε0
C
B
Geometria
Dicembre 2013
5 / 11
Il secondo caso è quando O rimane al interno
del triangolo 4ABC. In questo caso si formano
tre triangoli isosceli: 4BOA, 4COA, e 4BOC.
Quindi, otteniamo le uguaglianze tra gli angoli
δ = δ 0 , γ = γ 0 , e ε = ε0 .
A
δ γ
O
β
δ0 ε
γ0
ε0
C
B
Geometria
Dicembre 2013
5 / 11
Il secondo caso è quando O rimane al interno
del triangolo 4ABC. In questo caso si formano
tre triangoli isosceli: 4BOA, 4COA, e 4BOC.
Quindi, otteniamo le uguaglianze tra gli angoli
δ = δ 0 , γ = γ 0 , e ε = ε0 .
A
δ γ
La somma degli angoli del triangolo 4ABC è:
O
180◦ = δ + δ 0 + ε + ε0 + γ + γ 0 = 2δ + 2ε + 2γ.
β
δ0 ε
γ0
ε0
C
B
Geometria
Dicembre 2013
5 / 11
Il secondo caso è quando O rimane al interno
del triangolo 4ABC. In questo caso si formano
tre triangoli isosceli: 4BOA, 4COA, e 4BOC.
Quindi, otteniamo le uguaglianze tra gli angoli
δ = δ 0 , γ = γ 0 , e ε = ε0 .
A
δ γ
La somma degli angoli del triangolo 4ABC è:
O
180◦ = δ + δ 0 + ε + ε0 + γ + γ 0 = 2δ + 2ε + 2γ.
La somma degli angoli del triangolo 4BOC è:
◦
β
δ0 ε
γ0
ε0
C
B
0
180 = ε + ε + β = 2ε + β.
Geometria
Dicembre 2013
5 / 11
Il secondo caso è quando O rimane al interno
del triangolo 4ABC. In questo caso si formano
tre triangoli isosceli: 4BOA, 4COA, e 4BOC.
Quindi, otteniamo le uguaglianze tra gli angoli
δ = δ 0 , γ = γ 0 , e ε = ε0 .
A
δ γ
La somma degli angoli del triangolo 4ABC è:
O
180◦ = δ + δ 0 + ε + ε0 + γ + γ 0 = 2δ + 2ε + 2γ.
La somma degli angoli del triangolo 4BOC è:
◦
β
δ0 ε
γ0
ε0
C
B
0
180 = ε + ε + β = 2ε + β.
E quindi, 2δ + 2ε + 2γ = 180◦ = 2ε + β, e possiamo semplificare 2ε,
ottenendo: 2δ + 2γ = β. Cioè, β = 2(δ + γ) = 2α, come volevamo dimostrare.
Geometria
Dicembre 2013
5 / 11
Il secondo caso è quando O rimane al interno
del triangolo 4ABC. In questo caso si formano
tre triangoli isosceli: 4BOA, 4COA, e 4BOC.
Quindi, otteniamo le uguaglianze tra gli angoli
δ = δ 0 , γ = γ 0 , e ε = ε0 .
A
δ γ
La somma degli angoli del triangolo 4ABC è:
O
180◦ = δ + δ 0 + ε + ε0 + γ + γ 0 = 2δ + 2ε + 2γ.
La somma degli angoli del triangolo 4BOC è:
◦
β
δ0 ε
γ0
ε0
C
B
0
180 = ε + ε + β = 2ε + β.
E quindi, 2δ + 2ε + 2γ = 180◦ = 2ε + β, e possiamo semplificare 2ε,
ottenendo: 2δ + 2γ = β. Cioè, β = 2(δ + γ) = 2α, come volevamo dimostrare.
Il terzo caso è quando O rimane fuori del triangolo 4ABC. La dimostrazione
è analoga, e soltanto si deve considerare che in questo caso α = δ − γ
oppure α = γ − δ.
Geometria
Dicembre 2013
5 / 11
Da questo risultato otteniamo due conclusioni importanti:
A
α
Corollary
C
O
Un angolo inscritto in una circonferenza vede un
diametro se e solo se è un angolo retto.
Geometria
B
β
Dicembre 2013
6 / 11
Da questo risultato otteniamo due conclusioni importanti:
A
α
Corollary
C
O
Un angolo inscritto in una circonferenza vede un
diametro se e solo se è un angolo retto.
B
β
Corollary
A
α
A0
O
Due angoli inscritti in una circonferenza che
vedono la stessa corda dallo stesso lato sono
uguali.
α0
β
C
B
Geometria
Dicembre 2013
6 / 11
Da questo risultato otteniamo due conclusioni importanti:
A
α
Corollary
C
O
Un angolo inscritto in una circonferenza vede un
diametro se e solo se è un angolo retto.
B
β
Corollary
A
α
A0
O
α0
β
B
C
Due angoli inscritti in una circonferenza che
vedono la stessa corda dallo stesso lato sono
uguali.
Dimostrazione: Questo è perché se α e α0 vedono la stessa corda BC dallo stesso lato, e
\ è l’angolo centrale corrispondente,
β = BOC
allora: 2α = β e 2α0 = β,
Geometria
Dicembre 2013
6 / 11
Da questo risultato otteniamo due conclusioni importanti:
A
α
Corollary
C
O
Un angolo inscritto in una circonferenza vede un
diametro se e solo se è un angolo retto.
B
β
Corollary
A
α
A0
O
α0
β
B
C
Due angoli inscritti in una circonferenza che
vedono la stessa corda dallo stesso lato sono
uguali.
Dimostrazione: Questo è perché se α e α0 vedono la stessa corda BC dallo stesso lato, e
\ è l’angolo centrale corrispondente,
β = BOC
allora: 2α = β e 2α0 = β, e pertanto:
α=
Geometria
1
β = α0 .
2
Dicembre 2013
6 / 11
Teorema (dei seni)
b B,
b C,
b sempre si soddisfa:
In un triangolo 4ABC arbitrario, con lati a, b, c, e angoli A,
a
b)
sen(A
=
b
b)
sen(B
=
c
b)
sen(C
= 2R,
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta.
Geometria
Dicembre 2013
7 / 11
Teorema (dei seni)
b B,
b C,
b sempre si soddisfa:
In un triangolo 4ABC arbitrario, con lati a, b, c, e angoli A,
a
b)
sen(A
=
b
b)
sen(B
=
c
b)
sen(C
= 2R,
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta.
Dimostrazione: Prima, disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo 4ABC, e chiamiamo O il suo centro, e
R il suo raggio.
A
A0
α
c
.
B
Geometria
b
α0
O
a
Dicembre 2013
C
7 / 11
Teorema (dei seni)
b B,
b C,
b sempre si soddisfa:
In un triangolo 4ABC arbitrario, con lati a, b, c, e angoli A,
a
b)
sen(A
=
b
b)
sen(B
=
c
b)
sen(C
= 2R,
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta.
Dimostrazione: Prima, disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo 4ABC, e chiamiamo O il suo centro, e
R il suo raggio.
Verremo che
b
golo A.
a
b)
sen(A
A
A0
α
= 2R, dove a e il lato opposto a l’an-
c
B
Geometria
b
α0
O
a
Dicembre 2013
C
7 / 11
Teorema (dei seni)
b B,
b C,
b sempre si soddisfa:
In un triangolo 4ABC arbitrario, con lati a, b, c, e angoli A,
a
b)
sen(A
=
b
b)
sen(B
=
c
b)
sen(C
= 2R,
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta.
Dimostrazione: Prima, disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo 4ABC, e chiamiamo O il suo centro, e
R il suo raggio.
A
A0
α
Verremo che sen(aAb ) = 2R, dove a e il lato opposto a l’anb E quindi, questo sarà vero anche per gli altri angoli,
golo A.
poiché A è un vertice arbitrario del triangolo.
c
B
Geometria
b
α0
O
a
Dicembre 2013
C
7 / 11
Teorema (dei seni)
b B,
b C,
b sempre si soddisfa:
In un triangolo 4ABC arbitrario, con lati a, b, c, e angoli A,
a
b)
sen(A
=
b
b)
sen(B
=
c
b)
sen(C
= 2R,
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta.
Dimostrazione: Prima, disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo 4ABC, e chiamiamo O il suo centro, e
R il suo raggio.
A
A0
α
Verremo che sen(aAb ) = 2R, dove a e il lato opposto a l’anb E quindi, questo sarà vero anche per gli altri angoli,
golo A.
poiché A è un vertice arbitrario del triangolo.
Sia A0 il punto di intersezione della circonferenza e la retta
che passa per B e per O. Allora BA0 è un diametro, e
pertanto il suo valore è 2R.
Geometria
c
B
b
α0
O
a
Dicembre 2013
C
7 / 11
Teorema (dei seni)
b B,
b C,
b sempre si soddisfa:
In un triangolo 4ABC arbitrario, con lati a, b, c, e angoli A,
a
b)
sen(A
=
b
b)
sen(B
=
c
b)
sen(C
= 2R,
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta.
Dimostrazione: Prima, disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo 4ABC, e chiamiamo O il suo centro, e
R il suo raggio.
A
A0
α
Verremo che sen(aAb ) = 2R, dove a e il lato opposto a l’anb E quindi, questo sarà vero anche per gli altri angoli,
golo A.
poiché A è un vertice arbitrario del triangolo.
Sia A0 il punto di intersezione della circonferenza e la retta
che passa per B e per O. Allora BA0 è un diametro, e
pertanto il suo valore è 2R.
c
B
b
α0
O
a
C
Siccome α e α0 vedono la stessa corda BC, allora sono uguali,
Geometria
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7 / 11
Teorema (dei seni)
b B,
b C,
b sempre si soddisfa:
In un triangolo 4ABC arbitrario, con lati a, b, c, e angoli A,
a
b)
sen(A
=
b
b)
sen(B
=
c
b)
sen(C
= 2R,
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta.
Dimostrazione: Prima, disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo 4ABC, e chiamiamo O il suo centro, e
R il suo raggio.
A
A0
α
Verremo che sen(aAb ) = 2R, dove a e il lato opposto a l’anb E quindi, questo sarà vero anche per gli altri angoli,
golo A.
poiché A è un vertice arbitrario del triangolo.
Sia A0 il punto di intersezione della circonferenza e la retta
che passa per B e per O. Allora BA0 è un diametro, e
pertanto il suo valore è 2R.
c
B
b
α0
O
a
C
Siccome α e α0 vedono la stessa corda BC, allora sono uguali, e siccome BA0 è un
b con ipotenusa BA0 ,
diametro, allora 4A0 BC e un triangolo rettangolo in C,
Geometria
Dicembre 2013
7 / 11
Teorema (dei seni)
b B,
b C,
b sempre si soddisfa:
In un triangolo 4ABC arbitrario, con lati a, b, c, e angoli A,
a
b)
sen(A
=
b
b)
sen(B
=
c
b)
sen(C
= 2R,
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta.
Dimostrazione: Prima, disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo 4ABC, e chiamiamo O il suo centro, e
R il suo raggio.
A
A0
α
Verremo che sen(aAb ) = 2R, dove a e il lato opposto a l’anb E quindi, questo sarà vero anche per gli altri angoli,
golo A.
poiché A è un vertice arbitrario del triangolo.
Sia A0 il punto di intersezione della circonferenza e la retta
che passa per B e per O. Allora BA0 è un diametro, e
pertanto il suo valore è 2R.
c
B
b
α0
O
a
C
Siccome α e α0 vedono la stessa corda BC, allora sono uguali, e siccome BA0 è un
b con ipotenusa BA0 , e quindi:
diametro, allora 4A0 BC e un triangolo rettangolo in C,
a
a
b ) = sen(α) = sen(α0 ) =
=
,
sen(A
BA0
2R
Geometria
Dicembre 2013
7 / 11
Teorema (dei seni)
b B,
b C,
b sempre si soddisfa:
In un triangolo 4ABC arbitrario, con lati a, b, c, e angoli A,
a
b)
sen(A
=
b
b)
sen(B
=
c
b)
sen(C
= 2R,
dove R è il raggio della circonferenza circoscritta.
Dimostrazione: Prima, disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo 4ABC, e chiamiamo O il suo centro, e
R il suo raggio.
A
A0
α
Verremo che sen(aAb ) = 2R, dove a e il lato opposto a l’anb E quindi, questo sarà vero anche per gli altri angoli,
golo A.
poiché A è un vertice arbitrario del triangolo.
Sia A0 il punto di intersezione della circonferenza e la retta
che passa per B e per O. Allora BA0 è un diametro, e
pertanto il suo valore è 2R.
c
B
b
α0
O
a
C
Siccome α e α0 vedono la stessa corda BC, allora sono uguali, e siccome BA0 è un
b con ipotenusa BA0 , e quindi:
diametro, allora 4A0 BC e un triangolo rettangolo in C,
a
a
a
b ) = sen(α) = sen(α0 ) =
=
,
sen(A
e pertanto
= 2R.
b)
BA0
2R
sen(A
Geometria
Dicembre 2013
7 / 11
Ragioni trigonometriche di alcuni angoli
Abbiamo definito le ragioni trigonometriche seno e coseno di un angolo acuto
in base a un triangolo rettangolo che lo contenga. Ovviamente, non esiste
nessun triangolo rettangolo con un angolo di 0◦ , né con due angoli di 90◦ , e
quindi la definizione che abbiamo dato non serve per questi angoli estremi.
Osserviamo cosa succede quando gli angoli sono molto piccoli e quando
sono molto prossimi a 90◦ :
Osserviamo che a seconda l’angolo α si
α
cos(α) sen(α)
approssima a 90◦ , il coseno di α si fa prossimo
90◦ ?
?
a 0 e il seno prossimo a 1. Invece, quando
89◦ 0.0175 0.9998
l’angolo α si approssima a 0◦ , il coseno di α si
◦
85
0.0872 0.9962
approssima a 1 e il seno a 0. Quindi,
80◦ 0.1736 0.9848
prendiamo questi valori come definizione delle
... ...
...
ragioni trigonometriche in questi casi estremi:
10◦ 0.9848 0.1736
5◦
0.9962 0.0872
cos(0◦ ) = 1,
sen(0◦ ) = 0,
◦
1
0.9998 0.0175
cos(90◦ ) = 0,
sen(90◦ ) = 1.
0◦
?
?
Geometria
Dicembre 2013
8 / 11
Ragioni trigonometriche di alcuni angoli
Per calcolare il seno e il coseno di un angolo di
45◦ , ci serviamo della seguente figura che
rappresenta un quadrato di lato 1. In un quadrato
ogni angolo interno vale 90◦ e quindi la diagonale
d divide l’angolo in due parti uguali, cioè in due
angoli di 45◦ .
d=
α = 45◦
√
2
1
1
Per il√Teorema di√Pitagora sappiamo che la diagonale d vale
d = 12 + 12 = 2. Ma notiamo che la diagonale del quadrato è la ipotenusa
di un triangolo rettangolo con due angoli di 45◦ .
Quindi,
√
1
2
sen(45 ) = √ =
2
2
◦
e anche
Geometria
√
1
2
cos(45 ) = √ =
.
2
2
◦
Dicembre 2013
9 / 11
Ragioni trigonometriche di alcuni angoli
Per calcolare il seno e il coseno degli angoli di 30◦ e
60◦ , ragioniamo sulla seguente figura che è un
triangolo equilatero di lato 1. Notiamo che la altezza h
è anche la bisettrice di un angolo di 60◦ , e quindi
b in due angoli di 30◦ . La altezza h
divide l’angolo A
divide il lato BC in due parti uguali, e quindi di 1/2.
Usando il teorema di Pitagora possiamo calcolare il
valore della altezza:
2
1
h +
= 12 ,
2
A
30◦
1
h=
60◦
e quindi
1−
h=
3/2
M
B
r
2
√
C
1/2
√
3
1
=
.
4
2
Pertanto,
cos(30 ) =
sen(60◦ ) =
cos(60◦ ) =
2
1
√
√
1
2
1
sen(30 ) =
= ,
1√
2
√
3
◦
=
◦
3
,
2
Geometria
3
2
1
1
2
1
=
=
3
,
2
1
.
2
Dicembre 2013
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Regola nemonica
α
cos(α)
sen(α)
0◦
√
4/2
√
0/2
30◦
√
3/2
√
1/2
45◦
√
2/2
√
2/2
Geometria
60◦
√
1/2
√
3/2
90◦
√
0/2
√
4/2
Dicembre 2013
11 / 11