UN IVERSITÁ d egli STUDI d i FERRARA
SCUOLA DI SPECIALIZZAZION E PER L IN SEGN AMEN TO
SECONDARIO
GRAVITAZION E,
CAMPO GRAVITAZION ALE,
N OZION I IN TRODUTTIVE DI
RELATIVITÁ GEN ERALE
ELABORATO DI FISICA
AN N O 2007/2008
RIEZZO VITTORIO
Prof. Fabiano Minni, L.C. Ariosto , Ferrara
Prof. David e N eri, L.S. Sabin , Bologna
Prof. Lu igi Tom asi, L.S. Galilei , Ad ria
I c om p uter sono inc red ib ilm ente veloc i, a c c ura ti e stup id i.
Gli uomini sono incredibilmente lenti, inaccurati e intelligenti.
Insieme sono una potenza c he sup era l'im m a g ina zione.
Albert Einstein
resta il fa tto c he a lc uni uom ini sono lenti, ina c c ura ti e stup id i.
DESTINATARI
Second o le vigenti d irettive d el Ministero d ella Pu bblica Istru zione qu esto argom ento p u ò
essere introdotto nel corso del quarto o quinto anno dei licei scientifici di ordinamento.
Orario:
MATERIA
Liceo scientifico
I
II
III
IV
V
Lingua e lettere italiane
4
4
4
3
4
Lingua e lettere latine
4
5
4
4
3
Lingua e letteratura straniera
3
4
3
3
4
Storia
3
2
2
2
3
Geografia
2
-
-
-
-
Filosofia
-
-
2
3
3
Scienze naturali, chimica e geografia
-
2
3
3
2
Fisica
-
-
2
3
3
Matematica
5
4
3
3
3
Disegno
1
3
2
2
2
Religione
1
1
1
1
1
Educazione fisica
2
2
2
2
2
Totali
25
27
28
29
30
TEMI P.N .I. (Piano Nazionale per l Informatica)
Proposte dell UMI
Prerequisiti:
È necessario possedere i seguenti requisiti
Moto di un punto
Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali
Nozione di campo e di campo conservativo
Velocità e accelerazione come grandezze vettoriali e scalari
Moto rettilineo uniforme, accelerato, circolare e circolare uniforme
Centro di massa e centro di forze applicate ad un sistema semplice
Equilibrio dei corpi rigidi
Equazioni di Newton
Energia potenziale
Conservazione d ell energia
Obiettivi generali:
Acqu isire le conoscenze, com p etenze e cap acità p reviste d all U.D.
Affinare le capacità logiche e di comprensione dei fenomeni celesti
procedimenti di astrazione
ragionare induttivamente e deduttivamente
com p rend ere l im p ortanza storica che il concetto di forza di gravità ha portato nella
società scientifica e non scientifica
comprensione della legge di gravitazione universale
u tilizzo almeno parziale dei software didattici presentati
Obiettivi trasversali:
Svilu p p are attitu d ine alla com u nicazione e ai rap p orti interp ersonali favorend o lo
scambio di opinioni tra docente e allievo e tra gli allievi.
Prosegu ire ed am p liare il p rocesso d i p rep arazione scientifica e cu ltu rale d egli
studenti
Contribu ire a svilu p p are lo sp irito critico e l attitu d ine a riesam inare criticam ente
ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite.
Contribuire a sviluppare capacità logiche ed argomentative
Acquisire abilità di studio.
Comunicare in modo efficace
Obiettivi specifici:
Conoscenze:
Conoscere la storia d ell evolu zione d el p ensiero scientifico d op o le p rim e
formulazioni delle leggi sulla gravità
Conoscere
com e
qu este
teorie
hanno
rivolu zionato
la
società
antica
e
contemporanea
Conoscere la legge di gravitazione universale
Conoscere le leggi di Keplero
Conoscere le interazioni d ei corp i celesti Terra
Lu na
Sole e loro p rincip ali
fenomeni
Conoscere la storia della nascita della teoria della relatività
Conoscere come questa vanga applicata al mondo reale
Conoscere le ap p licazioni tecnologiche legate alle nozioni che si sono ap p rese in
questa unità didattica
Competenze:
Saper spiegare come nasce la formulazione della legge di gravitazione universale
Saper spiegare la legge di gravitazione universale
Saper enunciare le leggi di Keplero
Saper spiegare di cosa tratta la relatività generale
Capacità:
saper comprendere il perché del moto degli oggetti in un sistema di masse
Saper condurre una osservazione del cielo diurno e notturno
Riu scire a fare u na lezione d inam ica u tilizzand o il softw are StarryN ight ® Pro
spiegand o il m oto d ei p ianeti le forze che interagiscono tra d i essi e la teoria
appresa in questa unità didattica
Contenuti:
Introduzione
Cenni sulla evoluzione d ell astronom ia
Breve storia dello studio della gravità sulla Terra
Newton, una mela e la legge di gravitazione universale
Leggi di Keplero
Energia potenziale gravitazionale
Leggi di Newton e teoria della relatività generale
Cenni sulla teoria della relatività di Einstein e curvatura spazio tempo
Applicazioni al mondo fisico e alla tecnologia
Laboratorio virtuale di fisica (scoprire nuove relazioni)
Strumenti utilizzati:
Libro di testo
Dispense
Lavagna e gesso
Software didattico ( Excel©, Starry Night® Pro , Gravitation)
Au sp icabile visita d istru zione in u n p lanetario od osservatorio astronom ico
Video e documentari (National Geographic, PSSC, Ulisse, SuperQuark, etc)
Tem p i d ell intervento d id attico
Previste 9 ore, qu ind i 3 settim ane. Un p aio d ore p er il laboratorio con esercizi d i calcolo
del valore di g e altro.
Metodologia:
La legge d i gravitazione u niversale è argom ento affascinante e p overo d i form u le e
d im ostrazioni. I calcoli che sfru ttano le p oche relazioni sp iegate qu i si rid u cono a
m oltip licazioni e d ivisioni, ecco p erché cred o si d ebba stim olare p iù che il calcolo, il
ragionamento fisico.
Lo svolgim ento d ell attività d id attica avverrà attraverso lezioni d ialogate e interattive, con
au sp icabili osservazioni, d om and e flash p oste ai singoli alu nni. È fond am entale che ogni
qu al volta si p resenti la necessita d i richiam are concetti che sono stati già sp iegati,
vengano richiesti agli alu nni. N on d are m ai p er scontato ciò che si è sp iegato le volte
precedenti. L ap p roccio storico è u n bu on m od o (sop rattu tto su argom enti che generano
fascino com e qu esto) p er introd u rre l argom ento. L u so d i softw are è au sp icabile p er la
su a grand e cap acità d i interattività ed im m ed iatezza. Inoltre p u ò essere u tile l au silio d i
vid eo o d ocu m entari che hanno u n grand e im p atto scenico, qu ind i stim olano interesse e
curiosità.
Verifica e valutazione:
La fase d i verifica e valutazione è p arte integrante d el p rocesso ed u cativo e p erm ette d i
m onitorare sia il raggiu ngim ento d egli obiettivi p refissati, sia l efficacia d ella strategia
didattica attuata.
Le modalità principali di verifica sono:
domande e risposte dal banco
verifiche scritte
lezione simulata da parte dei ragazzi o tesina su di un particolare aspetto
Attività di recupero:
Recu p ero d a effettu are in classe d u rante le ore cu rricolari, attraverso la rip resa d ei
concetti non ben compresi e lo svolgimento di esercizi riguardanti tali argomenti
Assegnazione a singolo studente di tesine mirate.
CONTENUTI
Introduzione:
La sc ienza c he ind ivid uia m o c on il term ine a stronom ia in rea ltà term ine a b b a sta nza
recente, è una particolare sezione della fisica che si occupa degli oggetti che si evolvono
nell universo .
Pa rtia m o d a q uesta p a rtic ola re sc ienza p er a ffronta re un p erc orso c he ha interessa to
q ua si tutta la storia d ell a ttività um a na p er a rriva re p oi a q uella c he c hia m ia m o : leg g e d i
g ra vita zione universa le. Attenzione p erò , il fa tto c he sia universa le non vuol d ire c he
interessa solo l universo 1 m a c he va le universa lm ente p er tutti g li og g etti d ota ti d i m a ssa
c he si trovino in una q ua lunq ue reg ione d ell universo. Quind i è ra g ionevole p ensa re c he
la Terra , noi c he la a b itia m o e q ua lsia si c osa m a teria le (c om p osta d i m a teria ovvero d i
m a ssa ) visib ile e non 2 è interessa ta d a una forza c he
universale.
seg ue
Per c om od ità oltre c he p er ra g ioni storic he,
la leg g e d i g ra vita zione
q uesta leg g e sulla Terra la
c hia m ia m o sem p lic em ente g ra vità e ne a ttrib uia m o un va lore num eric o p a ri a 9,822 m / s2
con il q ua le si ind ivid ua il va lore d ella a c c elera zione a lla d ista nza m ed ia d i
6300 Km , la
q ua le essend o un vettore ha una d irezione e un verso . Infa tti q uesta a c c elera zione ha
L universo e g li og g etti in esso c ontenuti risp etta no a nc h essi q uesta leg g e m a non ne sono c erto
g li unic i b enefic ia ri .
2 Vedremo più avanti che anche ciò che non vediamo con i nostri occhi è soggetto alla forza di
gravità. Per esempio la radiazione che sappiamo essere visibile ma che invisibile è interessata dal
campo gravitazionale. La relatività generale ha spiegato che la radiazione elettromagnetica dal
radio ai raggi gamma viene deflessa o deviata dalla presenza di un corpo dotato di massa.
1
verso diretto verso il centro di massa del pianeta e direzione ortogonale alla superficie. Per
q ua nto q uesta non sia una d efinizione c orretta né d i forza d i g ra vità né d i leg g e d ella
g ra vita zione, p er a d esso b a sti c a p ire c he il va lore d ell a c c elera zione d i g ra vità sulla Terra
deriva (e poi calcoleremo) direttamente dalla legge di gravitazione universale.
Cenni sulla evoluzione dell a stronomia :
Una b reve introd uzione a lla storia d ella a stronom ia serve p er a vere un q ua d ro un p o p iù
c om p leto e q uind i per c om p rend ere m eg lio l im p a tto c he le va luta zioni d ell uom o ha nno
avuto c irc a lo stud io d ella volta c eleste e d ell universo.
L osserva zione d el c ielo è sta to sem p re d i g ra nd e im p orta nza p er tutte le c iviltà d el
pianeta che in epoche diverse hanno cercato di interpretare quello che accadeva sopra
le loro teste, sfrutta nd o la c ic lic ità d ei fenom eni e interp reta nd one il sig nific a to.
L a stronom ia m od erna ha a vuto uffic ia lm ente inizio 3 nel 1600 c on l im p ulso d a to d a llo
stud ioso e sc ienzia to Ga lileo Ga lilei. In rea ltà non vi è una d em a rc a zione netta tra
un astronomia a ntic a e una m od erna , b a sti p ensa re a d a stronom i c om e Nicolò
Cop ernic o 1473-1543 (c he svilup p a la teoria d el sistem a elioc entric o) c he p orta a lla
c osid d etta rivoluzione c op ernic a na o a nc he Tyc ho Bra he o Giova nni Kep lero . Infa tti a
loro m od o tutti q uesti sc ienzia ti e m olti p rim a d i loro c ontrib uirono c on g li stud i c ond otti a
form ula re teorie nuove e sem p re p iù c orrette p er interp reta re i fenom eni c elesti. Ca p ire
c he g li og g etti c he si vend eva no p roietta ti sulla volta c eleste a vessero una d ista nza
(G a lileo) oltre c he una estensione, e c he si m uovessero c on orb ite ellittic he (Kep lero )
intorno a d una stella (Cop ernic o), p oneva fond a m enta li d om a nd e sul p erc hé si
osserva va no q ueg li og g etti e q ua li era no le forze e le leg g i c he reg ola m enta va no i loro
m oti. In rea ltà p oc hi a nni d op o a lc une d i q ueste d om a nd e trova rono una g iustific a zione
ra g ionevole e a b b a sta nza sod d isfa c ente. La
teoria d ella g ra vita zione universa le fu
form ula ta d a l m a tem a tic o e fisic o ing lese Isa a c New ton c he
Na tura lis Princ ip ia Ma them a tic a
p ub b lic ò
Philosophiae
nel 1687 c he c onteneva no tra l'a ltro le leg g i d ella
dinamica con le quali spiegò le leggi di Keplero sul moto dei pianeti.
Non c red o c he si p ossa c onosc ere la p ersona c he p er la p rim a volta si sia c hiesto o
c hiesta
c om e m a i sono a p p og g ia to sul suolo d ella Terra ? Cosa m i tra ttiene sa ld a m ente
Questa è c erta m ente una c onvenzione, d ovuta a ll utilizzo d el telesc op io d a p a rte d i Ga lileo
Galilei che nei primi anni del 1600 condusse approfondite osservazioni della volta celeste e studi
scientifici sul moto dei pianeti del cielo e sulle proprietà cicliche delle stagioni e delle fasi lunari.
3
lim ita to a l terreno? . Isa a c New ton form ulò una teoria c he p otesse sp ieg a re il p erc hé di
questa d o m a nd a .
L'op era p iù influente d i New ton fu senza d ub b io , p er i suc c essivi
trecento anni valido e attendibile testo scientifico. La loro pubblicazione è considerata da
m olti la na sc ita d ella fisica m od erna . Per la p rim a volta la meccanica viene tra tta ta in
modo sistem a tic o e m a tem a tic o . Nei Principia New ton tra tta lo spazio e il tempo c om e
enti a ssoluti m a , c om e g ià a veva fa tto Galilei, ric onosc e in una c erta m isura la relatività
del moto, intesa c om e rela tivism o risp etto a un sistem a d i riferim ento. Gli stud i c ond otti
p orta no New ton a d efinire la c osid d etta leg g e d ell inverso d el q ua d ra to , c he si p uò
sintetizzare matematicamente in questo modo
C è d a a g g iung ere c he la c osta nte k e le c onsid era zioni sulle m a sse non furo no
im m ed ia te. Le tre leg g i d ella d ina m ic a e la leg g e d ell inverso d el q ua d ra to a p rirono la
strada a quasi tutte le scoperte della fisica moderna.
Questa leg g e c osa c i d ic e? a fferm a c he la forza F c he intera g isc e tra d ue m a sse
q ua lunq ue m 1 ed m 2 è d iretta m ente p rop orziona le a d una c osta nte k, a l p rod otto d elle
d ue m a sse ed è inversa m ente p rop orziona le a l q ua d ra to d ella d ista nza c he interc orre tre
le d ue m a sse. Bisog na fa re una serie op p ortune c onsid era zioni. La forza è a p p lic a ta in
ugual misura a tutti e due i corpi ma in verso opposto lungo la loro congiungente.
La c osta nte k c he p iù c om unem ente è ind ivid ua ta d a lla lettera G non fu trova ta d a
New ton c on p rec isione infa tti si b a sa va p iù su osserva zioni e q ueste nel 1700 non
potevano essere certo accurate come quelle che oggi permettono di verificare che
G= (6,67428±0,0007)x10-11m 3kg-1s-2
Com e d etto q uesto è il va lore sp erim enta le d ella c o sta nte d i g ra vita zione universa le, essa
non d ip end e né d a lle p rop rietà dei c orp i c he si a ttra g g ono , né d a lla lo ro p osizione. Il
valore di questa costante fu misurato per la prima volta dal fisico inglese Henry Cavendish
nel 1798 p er m ezzo d i una b ila nc ia d i torsione 4. Da l p unto d i vista op era tivo , essa si p uò
d efinire c om e l'intensità d ella forza d i intera zione tra d ue c orp i a sim m etria c entra le,
ciascuno di massa pari a 1 kg e posti a distanza di 1 m l'uno dall'altro.
4
L esp erim ento c ond otto d a Ca vend ish è sp ieg a to nell a p p end ic e A
Com e a b b ia m o d etto la forza d i g ra vità c he ind ic hia m o c on la lettera g
deriva
direttam ente d a lla form ula vista p rim a . Infa tti b a sta inserire nella form ula i va lori d ella
m a ssa d ella Terra e il va lore d el ra g g io m ed io p er ottenere p rop rio il noto va lore d i 9,822
m/s2.
Per convincerci di ciò proviamo a fare il calcolo.
Esercizio:
Calcolare il valore medio5 d ell a c c elera zione terrestre sulla sup erfic ie.
Diametro equatoriale medio 12 756,274 km
Diametro polare medio 12 713,504 km
Densità media 5,5153 × 103 kg/m³
Volume 1,083 207 3 × 1021 m³
Con i d a ti in p ossesso q uind i è p ossib ile c a lc ola re la m a ssa d ella Terra e q uind i tra m ite la
form ula d ella g ra vita zione universa le e d el va lore d i G è p ossib ile c a lc ola re il va lore
num eric o d i g . Com e ved ia m o d a i va lori sop ra c ita ti il ra g g io m ed io d ella Terra a i p oli è
c irc a 21 km p iù p ic c olo d i q uello a ll eq ua tore. Questo q uind i vuol d ire c he se si m isura il
va lore d i g a i p oli si otterrà un va lore m a g g iore risp etto a q uello ottenuto a ll eq ua tore, il
c he è c om e d ire c he una m a ssa d i 1 kg p esa to in Ita lia è p iù p esa nte in Groenla nd ia e
più leggero in Mauritania. Infatti è proprio così. Il peso di un oggetto dipende da quanto è
a c c elera to d a lla Terra e q uesto non è d a c onfond ersi c on la m a ssa d ell og g etto c he
ovvia m ente non c a m b ierà . Infa tti c onvenziona lm ente c hia m ia m o p eso la forza c o n c ui
siamo attratti dalla Terra confondendola purtroppo con la massa.
Se il sig nor Ma rio a fferm a d i p esa re 89 kg in rea ltà vuole d ire c he è a ttra tto verso il c entro
d i m a ssa d ella Terra c on una forza p a ri a 9,8 m / s2 x 89 kg = 872,2 N. q uind i p ossia m o d ire
c he se c i p esia m o su una b ila nc ia elettronic a a d esem p io , la b ila nc ia m isurerà la nostra
forza p eso in new ton e la d ivid e a utom a tic a m ente p er 9,8. m a se il sig nor Ma rio si p esa
c on la stessa b ila nc ia a l p olo nord e la sua m a ssa non è c a m b ia ta a llora la b ila nc ia
m isurerà un va lore p a ri a 9,84 x 89 kg = 875,76 N c he d ivid erà (a c a usa d ella sua ta ra tura )
p er il va lore 9,8, sul d isp la y a p p a rirà un
p eso
p a ri a 89,36. Quind i c om e a b b ia m o
verific a to p esa rsi c on una b ila nc ia non sig nific a c onosc ere la p rop ria m a ssa . Il sig nor
Calcoliamo il valore media perché abbiamo a disposizione i valori medi sia per il raggio che della
densità. Bisogna però sapere che la Terra non è una sfera omogenea e che quindi ha densità
diverse che cambiano da regione a regione. Ma per il calcolo che dobbiamo fare queste
approssimazioni sono più che sufficienti.
5
Ma rio non essend o un fisic o sa rà c onvinto c he d i essere ing ra ssa to d i 360 g ra m m i e non
riuscirà a capire perché.
Esercizio
Se il sig nor Ma rio p orta sse la stessa b ila nc ia ta ra ta sulla Terra sulla Luna , c o sa leg g ereb b e
sul display?
Diametro equatoriale 3476,2 km
Diametro polare 3472,0 km
Massa Luna 7,347 673 × 1022 kg
Newton, una mela e la legge di gravitazione universale:
Com e q ua si tutti sa nno , New ton a fferm a in d iversi sa g g i d ivulg a tivi e in a lc uni inc ontri
sc ientific i d i a ver inizia to a p ensa re a lla leg g e d i g ra vita zione isp ira to d a lla c a d uta d i una
m ela d a un a lb ero , m entre p rend eva il tè c on d eg li a m ic i. In rea ltà è ora m a i noto c he
q uesta a ltro non è c he una leg g end a c he si d iffuse e c he lo stesso New ton fec e sua p er
d a re un toc c o d i fa sc ino a lla sua sc o p erta e p er d im ostra re a tutti il suo g ra nd e intuito e
g enio. Sa p p ia m o invec e c he il g iova ne Isa a c la vorò m olto d ura m ente a llo stud io d ei
c orp i e p er m olti a nni p er tenta re d i d a re una form ula zione d ina m ic a m ente c orretta ed
esauriente della teoria della gravitazione universale.
Ci si p otreb b e c hied ere q ua li sia no sta ti g li stud i e g li esp erim enti c ond otti d a l g iova ne
New ton p er a rriva re a d ed urre leg g e d ell inverso d el q ua d ra to. L o sserva zioni d eg li
sp osta m enti p eriod ic i d ella Luna e d ei p ia neti furono fond a m enta li. Infa tti è p ossib ile
c a lc ola re l a c c elera zione d ella Luna risp etto a lla Terra , m isura nd o il p eriod o d i rivoluzione
e la distanza che erano due parametri ben noti. Si ha che a=v2/ r =
si indica il periodo di rivoluzione e con r la distanza media Terra-Luna
Esercizio
Ca lc olo d ell a c c elera zione d ella Luna risp etto a lla Terra .
Periodo di rivoluzione della Luna 27,3 giorni
Ra g g io m ed io d ell orb ita intorno a lla Terra 3,82 x 105 km
2r
= 4 r/ T2 dove con T
Da i seg uenti c a lc oli si ottiene un va lore d i a = 0,0027 m / s2 e se lo si c onfronta c on il va lore
trova to p rim a p er g si p ossono fa re op p ortune c onsid era zioni. New ton osservò c he q uesto
va lore era interp reta b ile c on la leg g e d ell inverso d el q ua d ra to 6. Inoltre fec e una
osserva zione m olto im p orta nte ed innova tiva . Infa tti osservò c he p er un og g etto esteso
con composizione omogenea e simmetria centrale gli effetti gravitazionali (ovvero le forze
tra le p a rtic elle c ostituenti l og g etto) si a nnulla va no p er isotrop ia 7. Quind i si d oveva
c onsid era re la m a ssa d ell og g etto c om e c onc entra ta in un unic o p unto c he c oinc id esse
proprio con il centro di massa del corpo8.
Ec c o p erc hé q ua nd o a b b ia m o c a lc ola to le a c c elera zioni a b b ia m o usa to c om e va lore
del ra g g io la d ista nza tra il c entro d i m a ssa d ell og g etto e la m a ssa d i p rova unita ria . Allo
stesso m od o q uind i noti i p a ra m etri si p ossono c a lc ola re a nc he l a c c elera zione m ed ia
c he la Terra ha risp etto a lla stella p iù vic ina . Insom m a la c osa c he d eve essere c hia ra e
c he la stessa leg g e p uò essere a p p lic a ta a d una m ela , a p ia neti o stelle, c osì c om e a
delle galassie senza che si debbano apportare sostanziali modifiche.
Ci si p uò c hied ere fino a c he d ista nza si p ossa
sp ing ere la forza d i g ra vità o m eg lio a
c he d ista nza l intera zione g ra vita ziona le è im p orta nte.
Inta nto è utile osserva re c he nella sem p lic ità d ella fo rm ula zione d ella leg g e d i
g ra vita zione universa le non a p p a iono lim ita zioni sulla d ista nza , q uesto p erc hé non ve ne
sono . Infa tti l intera zione g ravitazionale d i d ue o p iù c orp i a vviene a nc he q ua nd o la
d ista nza è g ra nd issim a , m a ved rem o d op o c he a l tend ere d ella d ista nza a ll infinito
l intensità d ella forza tend e a zero . Po ssia m o d ire c he d ue stelle a g ra nd issim a d ista nza o
c om unq ue im m ensa m ente g ra nd e risp etto a lle loro d im ensioni, sentono l una la p resenza
d ell a ltra a nc he se non si ved ono . Ovvia m ente b isog na nota re c he l intensità c on la
q ua le un c orp o a ttra e o è a ttra tto d a un a ltro d ip end e, c om e d etto , d a ll inverso d ella
distanza al quadrato e per capire questo facciamo un semplice esperimento numerico.
Esercizio con EXCEL
Ca lc olia m o l a nd a m ento d ell intensità d ella forza g ra vita ziona le tra la Terra e un sa tellite
artificiale valutandone il grafico ottenuto.
I dati ricavati erano ben interpolati da una legge di questo tipo.
Per la legge di Gauss nel caso di una sfera cava si fanno le stesse considerazioni. Bisognerà
ricordare che il campo elettrico generato da una carica puntiforme o da una sfera con densità di
carica uniforme sulla superficie esterna ha un andamento simile al campo gravitazionale e che
a nc h esso è isotrop o.
8 Pic c oli a c c enni a ll eq uilib rio d ei c orp i rig id i
6
7
Com e a b b ia m o visto , g ià a d una d ista nza non trop p o g ra nd e, l intensità d ella forza
g ra vita ziona le c he la Terra eserc ita sul sa tellite è d a vvero infinitesim a le. Infa tti se noi
c a lc olia m o il lim ite p er r
d ella leg g e d i g ra vita zione universa le ottenia m o , c om e
prevedibile, che la forza F tende a zero a prescindere dal valore delle masse.
Osservazione Importante
Si p uò fa re una osserva zione. Sulla m ela , c he a b b ia m o c onsid era to d i m a ssa unita ria ,
a g isc e una forza d iretta verso il c entro d i m a ssa d el sistem a Terra -m ela c he fa sì c he la
mela cada sulla superficie terrestre con una accelerazione pari a g . Notiamo inoltre che il
centro di massa del sistema composto dai due corpi coincide con il centro di massa della
Terra a causa del fatto che la massa della Terra è molto maggiore della massa della mela
ovvero M T >> m m 9. Però d a lla d efinizione sa p p ia m o c he entra m b i i c orp i c onsid erati
c a d ono c o n a c c elera zioni id entic he verso il c entro d i m a ssa d el sistem a , ra g ion p er c ui è
lec ito p ensa re c he a nc he la Terra c a d e sulla m ela c on la stessa a c c elera zione. Questa
affermazione per quanto sconvolgente è assolutamente vera. Infatti la caduta della mela
è un effetto b en visib ile d ell intera zione g ra vita ziona le m entre p rop rio a c a usa d elle
g rosse d ifferenze d i m a ssa , la c a d uta d ella Terra sulla m ela è un fenom eno c he non si
riesce ad osservare e quindi viene trascurato.
Anche nel caso del sistema Sole-Terra o Sole-Venere ad esempio il centro di massa del sistema
coincide praticamente con il centro di massa del Sole.
9
Per convincerci di questo facciamo un esperimento numerico con Excel e vediamo come
c a m b ia il c entro d i m a ssa d i un sistem a in funzione d ella d ista nza e d ella m a ssa d ei
partecipanti.
Esercizio con Excel.
Osservazione Importante
Ab b ia m o d etto c he il p eso d i un og g etto p uò va ria re a sec ond a c he si trovi sul p olo o
sull eq ua tore terreste e si p uò verific a re c on sem p lic i c a lc oli c he la d ifferenza è m inore d el
0,004 %. Detto q uesto p erò ved ia m o un a ltra p a rtic ola rità c he non a b b ia m o c onsid era to :
c ioè la rota zione terrestre. Infa tti l a c c elera zione c entrip eta sub ita d a un c o rp o
a ll eq ua tore è d a ta d a a =
2rT
, m entre a i p oli l a c c elera zione c entrip eta è nulla . È fa c ile
c a lc ola re c om e q uesto influisc a sulla forza d i a ttra zione, e si c a lc ola c he influisc e solo p er
lo 0,35%.
Le Leggi di Keplero e la legge di gravitazione universale.
Kep lero c o m e g ià si è d etto in p rec ed enza ha il m erito d i a ver form ula to tre leg g i p a ssa te
p oi a lla storia c om e le p rim e leg g i sul m oto d ei p ia neti d ed otte p er via m ec c a nic a .
Osservando il moto dei pianeti, le posizioni e la loro periodicità ed interpolando questi dati
con la matematica enunciò le seguenti leggi.
Prima legge di Keplero (forma delle orbite)
Le orbite dei pia neti intorno a l Sole sono degli ellissi di cui il Sole occupa uno dei due
fuochi.
Questa leg g e a fferm a q uind i, c o ntra ria m ente a q ua nto p rim a si c red eva c he i p ia neti nel
loro m od o d i rivoluzione intorno a l Sole c om p iono orb ite ellittic he e non c irc ola ri. L ellisse è
una fig ura p ia na p a rtic ola re e si d efinisc e c om e il luog o g eom etric o d ei p unti ta li c he la
som m a d elle d ista nze d a i fuoc hi è c osta nte. Ag g iung ia m o c he il p a ra m etro d ell ellisse è
la sua ec c entric ità d efinita c om e il ra p p orto tra la sem id ista nza foc a le e il sem ia sse
m a g g iore. L ec c entric ità c i d ic e q ua nto è sc hia c c ia ta l ellisse. C è d a tenere p resente
che le orbite dei pianeti hanno una eccentricità molto piccola dell ord ine d i e = 0,1-0,01 il
ché implica che sono quasi delle circonferenze.
Seconda legge di Keplero (legge delle aree)
Il raggio vettore che congiunge il Sole con il pianeta spazza aree uguali in tempi uguali
Questa leg g e è d i g ra nd e interesse p rop rio p erc hé riferita a lla veloc ità d ei p ia neti c he
q uind i q ua nd o sono p iù vic ini (p erielio)10 a l Sole ha nno una veloc ità m a g g iore risp etto a
quando sono più lontani da esso (afelio).
10
Ricordiamo: periastro, perigeo, etc.
Terza legge di Keplero (legge della costante di rivoluzione)
Il ra pporto tra il cubo del ra ggio dell orbita e il qua dra to del periodo di rivoluzione è
costante per rutti i pianeti.
Questa leg g e è fo rse q uella c he m eno si ric ord a d elle tre, m a c he in rea ltà è d i
g ra nd issim a im p orta nza , infa tti p rop rio d a q uesta è p o ssib ile ric a va re la leg g e d ell inverso
d el q ua d ra to vista p rim a , ed è q uesta c he New ton ha c onferm a to c on la sua teoria d ella
g ra vita zione universa le. Inoltre q uesta leg g e sp ieg a il m oto d ifferenzia le d eg li a nelli d i
Saturno o delle galassie a spirale ed ellittiche11.
R ra p p resenta il d ista nza m ed ia tra il Sole e il p ia neta , m entre T è il p eriod o orb ita le ossia il
tempo necessario al pianeta per percorrere un orbita completa intorno al Sole12.
Esercizio
Quanto vale il periodo orbitale di Giove?
Esercizio
Verific a re la terza leg g e d i Kep lero utilizza nd o i va lori orb ita li e le d ista nze d ei p ia neti d el
sistem a orb ita le, c on l a usilio d i un fog lio d i c a lc olo e d ell a p p end ic e 2.
Bisogna ovviamente apportare alcuni cambiamenti, ma in linea di massima Keplero ha dato un
forte impulso allo studio del moto dei corpi.
12 Per la Terra ad esempio T vale circa 365 giorni. Vedi appendice
11
Calcolo della legge di gravitazione universale dalla terza legge di Keplero.
È p ossib ile ric a va re la leg g e d i g ra vita zione universa le d iretta m ente d a lla terza leg g e d i
Kep lero utilizza nd o la form ula d ell a c c elera zione c entrip eta . Consid eria m o p er sem p lic ità
c he le orb ite d ei p ia neti sia no c irc ola ri (è una a p p rossim a zione g iustific a ta d a l fa tto c he
l ec c entric ità d elle orb ite rea li è p ic c olissim a ) e c he q uind i il ra g g io d ell orb ita (o il ra g g io
m ed io) sia
Rp
e
il p eriod o
d i rivoluzione
sia
Tp
a llora
sc rivia m o
la
form ula
d ell a c c elera zione c entrip eta c om e seg ue
Da lla terza leg g e d i Kep lero ric a via m o il q ua d ra to d el p eriod o orb ita le
d ove
c on K si ind ic a la c osta nte va lid a p er i p ia neti13. Sostituend o la sec ond a esp ressione nella
prima si ha
Se, c om e sa p p ia m o , la forza tra d ue og g etti (in q uesto c a so Sole-Pia neta ) p uò sc riversi
come F=ma, allora sostituendo si ha
È da tener presente che la costante K varia di pochissimo per alcune classi di oggetti, ovvero per
asteroidi di piccole medie dimensioni la costante è lievemente diversa rispetto a quella da usare
per pianeti che sarà diversa da quella che si usa quando si considerano galassie o oggetti più
massivi.
13
Il c oeffic iente 4
2
K ha va lore c osta nte, q uind i c om e si ved e la forza è p ro p orziona le a d
una c o sta nte p er la m a ssa d el p ia neta ed inversa m ente p rop orziona le a l q ua d ra to d ella
distanza14.
Energia potenziale gravitazionale:
Qua nd o si è p a rla to d i energ ia p otenzia le g ra vita ziona le a b b ia m o c onsid era to c a si fisic i
c he si riferiva no a lla Terra e in c ui la va ria zione d i a ltezza tra il p unto d i eleva zione
m a ssim a e q uello in c ui c onsid era va m o l energ ia p otenzia le nulla , era p ic c ola , p ic c ola
a b b a sta nza d a c onsid era re l a c c elera zione d i g ra vità c osta nte. Inoltre si fa nno d elle
valutazioni p relim ina ri c om e a d esem p io , c onsid era re la sup erfic ie terrestre il ground
d ove a p p unto l energ ia p otenzia le è nulla . La form ula c he si usa in q uesti c a si è
U=Ub -
Ua =-Lab ovvero : la va ria zione d i energ ia p otenzia le è ug ua le a l la voro c om p iuto p er
sp osta re un c orp o d ota to d i m a ssa d a l p unto a a l p unto b . Si sa b ene c he il la voro è lo
stesso a ttra verso q ua lsia si p erc orso e c he q uesta p rop rietà è vera nel c a m p o
gravitazionale p erc hé è un c a m p o c onserva tivo. Quind i p er una c onvenzione si sc eg lie
c om e va lore m a ssim o d ell energ ia p otenzia le il va lore d a to d a l p rod otto d ella m a ssa d el
c orp o p er il va lore c osta nte d ell a c c elera zione d i g ra vità p er l a ltezza d ell og g etto d a l
suolo, ovvero : mgh
Si d eve risolvere il p rob lem a d i c onosc ere il va lore d ell energ ia p otenzia le g ra vita ziona le
nel caso più generale, quando cioè, si hanno due corpi di massa Ma ed M b a distanza r.
Consid eria m o q uind i d ue m a sse g eneric he c he si trova no nella c onfig ura zione inizia le a d
una d ista nza c he c hia m ia m o r0 e una fina le c he c hia m erem o r1. Il la voro a nc he in q uesto
c a so sa rà d a to d a ll integ ra le solito
c i d a la form ula g enera le p er c a lc ola re il la voro nec essa rio p er p orta re d ue c orp i, d a una
d ista nza a d un a ltra .
Bisog na fa re a lc une c onsid era zioni. Sa p p ia m o c he il la voro è ug ua le a lla va ria zione d i
energ ia p otenzia le q uind i ved ia m o c he U(r)=-GMa M b / r. Inoltre si nota c he il seg no m eno
indica che il potenziale è sempre negativo e al più uguale a zero se la distanza tra le parti
Fa c c ia m o una osserva zione c ritic a su q ua nto fa tto. La form ula trova ta m a nc a d i un elem ento
ossia d i una d elle d ue m a sse, m a q uesta form ula a ltro non è c he la forza c he un p ia neta o un
oggetto esercita su una massa unitaria.
14
è infinita 15. La form ula non c i d ic e se è il c orp o a c he si a vvic ina a l c orp o b o vic eversa ,
q uesto vuol d ire q uind i c he p uò a c c a d ere c he il p rim o si a vvic ini a l sec ond o o c he si
m uova no entra m b i l uno verso l a ltro se non sono vinc ola ti. Inoltre d eve essere c hia ro c he
sui c orp i non d eve a g ire nessun a ltra forza , q uind i p er d irla
a lla new tonia na
i c orp i
d evono essere in q uiete. Bisog na a nc he sa p ere c he l energ ia p otenzia le g ra vita ziona le
d ip end e d a ll inverso d i r e q uind i se la d ista nza tend e a infinito l energ ia si a nnulla m entre
sa rà m a ssim a (in va lore a ssoluto) q ua nd o i c entri d i m a ssa d ei d ue c orp i sono
sovrapposti16. Il seg no m eno ind ic a c he l energ ia è sem p re neg a tiva , q ua lsia si sia la
d ista nza tra i c orp i e c he d im inuisc e a l d im inuire d ella d ista nza . Rip rend end o l esem p io
fa tto p rim a p er l intensità d ella forza c a lc olia m o l intensità d el p otenzia le g ra vita ziona le
tra Terra e satellite artificiale con un esempio grafo-numerico fatto con Excell.
Si d eve nota re che se i d ue c orp i sono a d esem p io d i m a ssa ug ua le e si trova no a
d ista nza r la loro m a ssa influenza l a ltra e q uind i se lib eri d i m uoversi a c q uistera nno ug ua le
energia c inetic a e si sp ostera nno l uno verso l a ltro inc ontra nd osi c on p a ri veloc ità e nello
Il fa tto c he la forza g ra vita ziona le è sem p re d i tip o a ttra ttivo d ip end e p rop rio d a l fa tto c he il
p otenzia le g ra vita ziona le è sem p re neg a tivo. Nel c a so d el c a m p o elettric o si ved rà c he il
potenziale può essere sia positivo che negativo a seconda del segno delle caric he in g ioc o . Si p uò
infine c he una m a ssa p osta nello sp a zio c rea sem p re una b uc a d i p otenzia le, c he è q uella c he si
d iseg na a rtistic a m ente c on la g rig lia d eform a ta . Nel c a so d el p otenzia le elettric o invec e le
cariche possono creare o buche o barriere di potenziale.
16 Questa ovviamente è una condizione ideale, perché non esistono corpi realmente puntiformi.
15
stesso tem p o nel p unto m ed io d ella loro c ong iung ente c he ra p p resenterà il c entro d i
m a ssa d el sistem a . Pensia m o p erò a d ue situa zioni p a rtic ola ri. Il sistem a m ela -Terra e il
sistem a Terra -Sole. Nel p rim o c a so a b b ia m o d etto c he sia la m ela c he la Terra a vvertono
la p resenza d elle risp ettive m a sse m a l effetto c he o sservia m o e c he la m ela a c q uista
energ ia c inetic a e c a d e sulla sup erfic ie d ella Terra , q uesto a c c a d e p erc hé la massa
inerziale17 d ella Terra è m olto m a g g iore d i q uella d ella m ela . Nel sec ond o la situa zione
non è m olto d iversa , infa tti la m a ssa d el Sole è m olto m a g g iore d i q uella d ella Terra e
q uind i è la Terra c he a c q uistereb b e energ ia c inetic a c a d end o sul Sole p rop rio c om e fa
una m ela sulla Terra . In tutte le c onsid era zioni c he a b b ia m o fa tto non si è p a rla to
volutamente dei moti relativi dei corpi in questione, considerandoli fermi nello spazio.
Esercizio guidato
Quanto impiegherebbe la Terra a cadere sul Sole se questi fossero fermi tra loro?
Ora c he a b b ia m o visto le rela zioni d i energ ia c he interc orrono tra d ue og g etti d ota ti d i
m a ssa , osservia m o c he g li stessi ra g iona m enti p ossono essere fa tti a nc he q ua nd o g li
og g etti d el sistem a sono in num ero m a g g iore d i d ue. I c a lc oli d iventa no m olto p iù
c om p lic a ti ed infa tti p er risolverli si utilizza no c a lc ola tori p otentissim i c he op era no su
a p p rossim a zioni. Infa tti non è p ossib ile c a lc ola re c on p rec isione a ssoluta lo sp osta m ento
di N corpi contemporaneamente18.
Esercizio guidato
Ric ord ia m o c he l inerzia è la tend enza c he ha nno g li og g etti d ota ti d i m a ssa d i rim a nere nel loro
sta to d i m oto. Quind i nel c a so d ella Terra c he c onsid eria m o (in q uesto esem p io) ferm a tend erà a
restare ferma rispetto alla mela che ha una massa molto minore.
18 In astrofisica si utilizzano le cosiddette simulazioni N-Body che consentono di calcolare la
posizione di N corpi massivi quando interagiscono simultaneamente c on altri corpi massivi. Come
detto queste simulazioni operano i calcoli con alcune approssimazioni.
17
Qua le d eve essere la veloc ità m inim a c he un sa tellite a rtific ia le d i m a ssa m d eve
p ossed ere p er resta re in orb ita a d una d ista nza r d a lla Terra ? Qua nto influisc e la m a ssa
d el sa tellite a rtific ia le sulla veloc ità ? Ca lc ola re la veloc ità d i un sa tellite orb ita le (Hub b le
Sp a c e Telesc op e H. 600 km ) e la d ista nza d ell orb ita d i un sa tellite g eosta ziona rio
(COSPAS )19
Le leggi di Newton e la relatività di Einstein nei nostri cellulari e navigatori satellitari20.
Il sistem a GPS21 e q uello p er il sup p orto d elle c om unic a zioni (c ellula ri e non solo ) è b a sa to
su una c o m p lessa rete d i sa telliti c he orb ita no a d una d ista nza d i c irc a 22.000 km d a lla
sup erfic ie d ella Terra . I sa telliti d ed ic a ti a ta le sc op o sono a lc une d ec ine, m a sa p p ia m o
c he p er d eterm ina re la p osizione di un segnale ricevente o emittente sulla superficie della
Terra è nec essa rio c he sia no a lm eno tre. Infa tti tra m ite la tria ng ola zione 22 è p ossib ile
ind ivid ua re univoc a m ente un p unto sulla sup erfic ie c onosc end one q uind i p osizione
(latitudine, long itud ine e a ltitud ine) ed interp ola nd o p iù p osizioni in funzione d el tem p o ,
anche la velocità.
Si ricorda che un satellite geostazionario punta sempre sulla stessa area della Terra.
Questo paragrafo è da intendersi come approfondimento e necessita di conoscenze generiche
di relatività generale e ristretta.
21 Global Positioning System o più precisamente NAVSTAR GPS, acronimo di NAVigation System
Time And Ranging Global Position System. Ricordiamo che esiste il sistema di posizionamento
Galileo che è la risposta europea al GPS ma che purtroppo per una serie di inefficienze e ritardi è
stato superato.
22 La triangolazione è una tecnica usata in diversi campi e settori dalla localizzazione d ell ep ic entro
ed ipocentro di un terremoto alla rilevazione altimetrica di strutture naturali e non. È una tecnica
geometrica che permette, intersecando tre cerchi (nel piano) o quattro sfere (nello spazio 3-D) di
individuare un punto preciso univocamente.
19
20
Tecnica della triangolazione caso bidimensionale
I sa telliti c om e visto si m uovono su orb ite q ua si c irc ola ri c he sono sta te c a lcolate
appositamente utilizza nd o la leg g e d i g ra vita zione universa le. Com e a b b ia m o visto p erò
q uesti sa telliti a rtific ia li p er resta re in orb ita d evono p ossed ere veloc ità enorm i. Gli orolog i
satellitari sono soggetti alle conseguenze della teoria della relatività e alla limitatezza della
veloc ità d ella luc e, Infa tti, a c a usa d eg li effetti c om b ina ti d ella veloc ità rela tiva , c he
ra llenta il tem p o sul sa tellite d i c irc a 7 m ic rosec ond i a l g iorno , e d ella m inore c urva tura
d ello spazio a livello d ell'orb ita d el sa tellite,
il tem p o sul sa tellite sc orre a d un ritm o
leg g erm ente p iù veloc e c he sulla Terra , c a usa nd o un a ntic ip o d i c irc a 38 m ic rosec ond i a l
g iorno , e rend end o nec essa ria una c orrezione a utom a tic a d a p a rte d ell'elettronic a d i
b ord o . Questa osserva zione fornisc e un'ulteriore p rova d ell'esa ttezza d ella teoria in
un'a p p lic a zione d el m ond o rea le. L'effetto rela tivistic o rileva to è infa tti esa tta m ente
c orrisp ond ente a q uello c a lc ola b ile teoric a m ente, a lm eno nei lim iti d i a c c ura tezza fo rniti
d a g li strum enti d i m isura a ttua lm ente d isp onib ili. Si c a lc ola infa tti c he se non si
a p p orta ssero a d eg ua te c orrezioni la p rec isione (o risoluzione) d el sistem a GPS sa reb b e
d ell ord ine d i a lc une c entina ia d i m etri, il c he rend ereb b e d el tutto ineffic a c e tutto il
sistem a . Stessa c osa a c c a d e nelle telec om unic a zioni, infa tti se non si a p p orta ssero le
correzioni relativistiche i cellulari non riuscirebbero ad essere rintracciati con precisione.
Teoria della relatività generale e curvatura dello spazio-tempo
Fino a q uesto m om ento a b b ia m o tra tta to la teoria d ella g ra vita zione utilizza nd o la
m ec c a nic a c la ssic a e osserva nd o c he essa sp ieg a b ene il m oto d eg li og g etti d ota ti d i
massa c he intera g isc ono tra loro . Ab b ia m o visto c he la leg g e d ell inverso d el q ua d ra to è
utile p er il c a lc olo d ina m ic o (forze e sp o sta m ento) su d iversa sc a la , infa tti è p ossib ile
c a lc ola re la forza c he intera g isc e tra una m ela e la Terra , tra la Terra e il Sole, tra Sole e
a ltre stelle, tra stelle e g a la ssia , tra g a la ssie e a m m a ssi d i g a la ssie. Insom m a si riesc e a
sp ieg a re l intera zione g ra vita ziona le da 10-3 fino a 1025 metri23. Al disotto di questo range le
forze elettric he d iventa no trop p o im p orta nti e non p ossono essere tra sc ura te e q uind i si
interviene con calcoli che richiedono teoria elettrostatica e la meccanica quantistica.
Dob b ia m o
fa rc i
una
d om a nd a
fond a m enta le:
Com e
si
g enera
l intera zione
gravitazionale?
La risp osta non è im m ed ia ta ne d i sem p lic e form ula zione, infa tti b a sti p ensa re c he l intera
c om unità sc ientific a m ond ia le ha d ub ita to a lung o p rim a d i a c c etta rla . In q uesto
p a ra g ra fo c erc hia m o d i d a rne una form ula zione sem p lic e, a stenend oc i ovvia m ente d a l
rigore e dal formalismo matematico che sono necessari solo per studi di fisica superiore.
Nel 1916 Alb ert Einstein p rop one un nuovo m od o d i interp reta re il m ond o fisic o sp ieg a nd o
che la materia è legata allo spazio e che la presenza della materia modifica tutto ciò che
le sta intorno , ovvero sia lo sp a zio c he il tem p o . In p a rtic ola re Einstein a fferm a va c he la
materia modifica la geometria dello spazio il quale si incurva. La curvatura dello spazio è il
p unto c entra le d ella rela tività g enera le, la q ua le d etta d elle
reg ole
p er c a lc ola re le
tra iettorie e i m oti d i og g etti m a ssivi nello sp a zio e le c orrezioni d a a p p orta re in loro
presenza. L a na log ia p iù utilizza ta è c erta m ente m a g g iorm ente effic a c e è q uella d i un
og g etto p osto su una m em b ra na ela stic a . L og g etto a p p og g ia to sulla m em b ra na la
d eform a a c a usa d el suo p eso , q uind i q uello c he p ossia m o c onsta ta re e c he lo sp a zio
intono a ll og g etto si è d eform a to e c he q uind i og ni a ltro og g etto intorno a d esso tend erà
a
sc ivola re sulla
m em b ra na , c a d end o sull og g etto c he l ha
d eform a ta . Questa
d eform a zione interessa a nc he g li og g etti stessi c he oc c up a nd o p orzioni d i sp a zio si
deformano.
Il lim ite sup eriore d i q uesto interva llo è d etta to d a lla g ra nd ezza p resunta d ell universo c onosc iuto
che si stima essere di 15 miliardi di anni luce.
23
Nell im m a g ine si ved e una stella d i g ra nd e m a ssa c he si trova in una reg ione d ello sp a zio.
Lo spazio in questa figura è rappresentato con la griglia bianca e si vede che in prossimità
d ella stella m a ssic c ia la g rig lia si d eform a , c urva nd osi m a g g iorm ente nelle im m ed ia te
vic ina nze d ella stella . In effetti p ossia m o d ire c he la c urva tura seg ue la leg g e d ell inverso
d el q ua d ra to. Og ni a ltro og g etto tend erà q uind i a sc ivola re in q uesto im b uto a nd a nd o
a c a d ere sulla stella . Bisog na fa re a q uesto p unto d elle osserva zioni: la c urva tura d ello
spazio è proporzionale alla quantità di massa, quindi maggiore è la massa, maggiore sarà
la c urva tura e q uind i m a g g iore sa rà la fo rza d i a ttra zione tra i c orp i. inoltre, a nc he se
d iffic ile d a a c c etta re si d eve sa p ere c he a nc he la luc e, q uind i la ra d ia zione
elettrom a g netic a , sub isc e g li effetti d ella g ra vità , c o sa c he la m ec c a nic a c la ssic a non
p reved eva a ssoluta m ente. Questo fenom eno è d ovuto p rop rio a lla d eform a zione d ello
sp a zio ,
infa tti
il
ra g g io
lum inoso
a ttra versa nd o
uno
sp a zio
c urvo ,
d esc riverà
necessariamente una traiettoria curva. Nell im m a g ine infa tti è d iseg na to un ra g g io d i luc e
c he viene c urva to d a lla p resenza d ella stella . Questo effetto è sta to utilizza to d a ll eq uip e
diretta da Artur Eddington per provare la teoria della relatività24.
Gli effetti d ella c urva tura d ello sp a zio sono b en visib ili solo nel c a so d i og g etti m olto
m a ssic c i m a è c hia ro c he a nc he p er m a sse p iù p ic c ole va le la stessa leg g e , solo c he g li
effetti sono p iù c he tra sc ura b ili. Alla luc e d i q ua nto d etto p ossia m o esa m ina re il sistem a
mela-Terra in un a ltro m od o . La m ela q ua nd o c a d e sulla Terra è c om e se sc ivola sse
nell inc urva tura sp a zia le g enera ta d a lla m a ssa d ella Terra stessa . Anc he la m ela , c o m e
Infatti, durante una eclissi di sole del 29 maggio 1919, venne misurata la posizione di alcune stelle
proiettate dietro il sole, queste risultavano essere in una posizione differente da dove si dovevano
trovare in realtà. Usando i calcoli relativistici Einstein spiego in modo esauriente la deflessione
provocata dalla massa del sole. Le osservazioni venne ro fatte in due posti distinti , in Brasile a
Sob ra l e nell isola d i Princ ip e.
24
d etto p erò, c urva lo sp a zio intorno a se , m a lo sc ivola m ento d ella Terra nella c urva tura
spaziale generata dalla mela è impossibile da osservare a c a usa d ell effetto infinita m ente
piccolo.
L effetto d ella c urva tura d ello sp a zio è in rea ltà d iffic ile d a osserva re, q uesto p erc hé
l intera zione g ra vita ziona le è una forza a ssa i d eb ole e p er m a nifesta rsi ha b isog no d i
grandi m a sse. Per rend ersi c onto d i q uesto si p uò fa re il fa m oso esp erim ento c he m ette a
c onfronto d ue forze fond a m enta li d ella na tura : la forza g ra vita ziona le e q uella
elettrosta tic a . Ba sta strofina re una b a c c hetta d i p la stic a c on un p a nno d i la na , in m od o
d a p ro d urre un ec c esso d i c a ric a su una estrem ità , d op o d i c he se si a vvic ina la
b a c c hetta a p ic c ola d ista nza d a un p ic c olo p ezzo d i c a rta si ved e c he il p ezzetto d i
c a rta si solleva d a terra e viene a ttra tto d a lla b a c c hetta p oic hé si è c a ric a to p er
induzione. Questo fa tto rend e c hia ra una c osa , ovvero c he il p ic c olo ec c esso d i c a ric a
g enera to d a llo strofinio d ella b a c c hetta è sta to suffic iente a vinc ere la forza d i a ttra zione
gravitazionale c he l intera Terra eserc ita sul p ezzetto d i c a rta . Questo fa c om p rend ere
che la forza gravitazionale è piccolissima rispetto alle altre forze fondamentali.
Nell universo però c i sono m a sse g ig a ntesc he c he rend ono g li effetti d ella g ra vità m olto
im p orta nti e q uind i p ossono essere osserva ti c on un c erta fa c ilità . Le m a sse esistenti
nell universo possono essere miliardi di volte più grandi di quelle del Sole.
Una va rietà d i og g etti c osm ic i m olto esotic i ed a ffa sc ina nti sono i b uc hi neri, i q ua li sono
c osì d ensi d i m a teria c he c urva no lo sp a zio fino a l p unto d i im b rig lia re la ra d ia zione
visibile25. Ac c a d e q uind i c he la luc e viene a ttra tta d a l b uc o nero rend end olo invisib ile: d a
q ui il nom e b uc o (b uc a d i p otenzia le) nero (non em ette ra d ia zione visib ile). Com e d etto
p erò il fa sc io lum inoso non viene a ttra tto p er g ra vità , visto c he la luc e non p ossied e
m a ssa e l intera zione g ra vita ziona le si eserc ita tra m a sse, m a la c urva tura d ello sp a zio è
tale che la traiettoria si avvolge a spirale nella buca di potenziale creata dal buco nero.
Ad esso b isog na fa re un p ic c olo sforzo p er a c c etta re q ua nto seg ue. Noi tutti sia m o
imm ersi in uno sp a zio c urvo , c ioè sia m o a ll interno d ella b uc a d i p otenzia le g enera ta
d a lla Terra , d i q uesto non c i a c c org ia m o se non fa c end o a c c ura tissim i esp erim enti e
ra ffina te interp reta zioni. Allo stesso m od o b isog na c a p ire c he il ra g g io lum inoso d i c ui si
p a rla va p rim a è c onvinto d i p erc orrere una tra iettoria rettilinea e q uind i non si a c c org e
della curvatura dello spazio generata dal buco nero, tanto più perché i fotoni non sono in
grado di interpretare la loro condizione!
25
Ma a nc he la ra d ia zione in a ltre lung hezza d ond a .
Nel titolo d i q uesto p a ra g ra fo è c ontenuto il term ine sp a zio-tem p o , q uesto term ine
indica che nella teoria della relatività einsteiniana lo spazio è legato al tempo e viceversa.
Questo vuol dire che quando una massa curva lo spazio circostante, influenza il tempo
che quindi si modifica. Il fenomeno è di difficile interpretazione come la relatività del resto
e questo è dovuto al fatto che è una teoria contro intuitiva26.
Cosa è un buco nero
Un b uc o nero è un o g g etto estrem a m ente m a ssivo. Si trova no q ua si in tutte le g a la ssie d i
g ra nd i d im ensioni e p iù p rec isa m ente verso il c entro g a la ttic o d etto a nc he b ulg e . Sono
c iò c he rim a ne d i stelle m olto m a ssic c e c he d op o a ver a vuto un c olla sso g ra vita ziona le
violento inizia no a ing lob a re ed a ttra rre tutta la m a teria c he lo c irc ond a . In q uesto m od o
l og g etto a c q uista sem p re p iù m a teria a um enta nd o la sua m a ssa e a um enta nd o d i
c onseg uenza a nc he l intensità d el suo c a m p o g ra vita ziona le. Si p ensa c he q uesto
p roc esso non si a rresti m a i c he il b uc o nero a ttra g g a m a teria senza lim iti. Qua nd o la
m a ssa
d ell og g etto
è
a b b a sta nza
g ra nd e
accade
c he
l intensità
d el c a m p o
g ra vita ziona le è c osì im p orta nte d a non p erm ettere nea nc he a lla ra d ia zione 27 d i usc ire,
q uind i si rend ono invisib ili.
L unic o m od o d i
osserva rli
e q uello d i ved ere c om e
interagiscono con la materia (gas, stelle) circostante.
Ab b ia m o visto c he la m a ssa c urva lo sp a zio e c he p ossia m o im m a g ina re la c urva tura
c om e una m em b ra na ela stic a c he si d eform a in p resenza d i una m a ssa . Bene, p er un
b uc o nero si c red e c he la m a ssa sia c osì g ra nd e c he q uesta d eform a zione a ssum a la
forma di un imbuto. Nella figura possiamo avere una idea di ciò che si vuole dire.
Bisogna accettare che non essendo alla portata della percezione sensoriale non può essere
compresa se non con il mezzo dell interp reta zione ra ziona le. Anc he il m ond o d elle p a rtic elle
elementari, non può essere visto né toccato a causa delle piccolissime dimensioni, ma può essere
interp reta to ra g iona nd o sug li effetti visib ili e m isura b ili. Si ved a a d esem p io l effetto fotoelettrico.
27 In realtà in rarissimi casi si osservano emissioni MASER e di raggi gamma nelle immediate
vic ina nze d i b uc hi neri, q uesto è d ovuto c on tutta p rob a b ilità a ll a vvenuta fa g oc ita zione d i
grandi masse. I buchi neri emetto flussi di antiparticelle che prendono il nome di radiazione di
Hawking.
26
Una p rec isa zione c he b isog na fa re è la seg uente: q ua nd o la luc e c he p roviene
d a ll esterno d el b uc o nero p a ssa nelle sue vic ina nze, viene c a ttura ta e c om inc ia a
p erc orrere orb ite sem p re più fitte intorno a l nuc leo c entra le, m entre se il ra g g io lum inoso
p a ssa a d una d ista nza m a g g iore, esso , verrà solo d eflesso . Il fa sc ino c he c irc ond a q uesti
og g etti d ell universo è leg a to oltre c he a lla loro p ec ulia re p a rtic ola rità d i non em ettere
ra d ia zione a c a usa d ella im m ensa m a ssa , anche p er l im p ossib ilità d a p a rte nostra d i
riusc ire a c om p rend erne la na tura e il loro funziona m ento , q uesto p erc hé la fisic a c he
conosciamo potrebbe non essere più valida nelle sue immediate vicinanze.
Esercizio
Ric a va re la m a ssa m inim a d i un b uc o nero (b la c k hole), sa p end o c he la form ula p er la
velocità di fuga è v=(2GM/R)1/2. Motivare la risposta.
Esercizio
Descrivere cosa possono rappresentare gli oggetti a, c ed ,e nella figura descrivendo le
sostanziali differenze tra loro.
Software per la didattica
I softw a re sono sem p re un ottim o strum ento d id a ttic o e p otente m ezzo p er fa r
c om p rend ere visiva m ente e in m od o o p era tivo q ua li sono i fenom eni c he si sta nno
stud ia nd o. I p rog ra m m i c he si trova no lib era m ente sulla rete e c he q uind i p ossono essere
sc a ric a ti g ra tuita m ente, sono d iversi m a tutti c on una stessa struttura d ina m ic a . Questi
software sono dei simulatori che utilizzando le leggi della dinamica e in particolar modo la
leg g e d i g ra vita zione universa le, restituisc o visiva m ente i m oti d i c orp i a i q ua li si p ossono
a ttrib uire d iversi p a ra m etri, d a lla m a ssa a lla d ista nza e a nc he veloc ità e d irezione. Ho
utilizza to i softw a re Gra vitorium e Gra vity Sim ula tor nella versione Tria l, i q ua li sono d i fa c ile
utilizzo e hanno una buona grafica.
Inoltre ho utilizza to un fog lio d i c a lc olo p referisc o p erc hé m olto versa tile e ra p id o e c o n il
q ua le è p o ssib ile fa re una g ra nd e va rietà i eserc izi a nc he q uesti a ssa i utili. Mi p ia c ereb b e
utilizza re a fine lezione se c i fosse tem p o un softw a re p retta m ente a stronom ic o (Sta rry
Nig ht Pro) c on il q ua le fa re una b reve lezione (una o d ue o re) sul sistem a sola re e sul c ielo
notturno.
Materiale ausiliario
È a usp ic a b ile l uso d i film a ti op p ortuna m ente seleziona ti c om e a d esem p io d oc um enta ri
p er introd urre o a c c om p a g na re la lezione. Ho seleziona to d ue d oc um enta ri uno d ella
BBC e d el Na tiona l Geog ra p hic c he introd uc ono la g ra vita zione universa le c on
spettacolari
e
rec enti
im m a g ini
d el
c osm o ,
inoltre
c è
un
film a to
d el
PSSC
sp ec ific a ta m ente d ed ic a to a q uesto a rg om ento. Quest ultim o vid eo sp ieg a in m od o
orig ina le la leg g e d i g ra vita zione p a rtend o d a c onsid era zioni sp erim enta li e g iung end o
poi alla formulazione della legge.
È a nc he rep erib ile in rete una p unta ta d ella tra sm issione televisiva Sup er Qua rk d ed ic a ta
a lla storia d ella g ra vità : La lotta c ontro la g ra vità
. in m od o sem p lic e e c om e sem p re
esa uriente viene p erc orsa la storia d ell uom o in funzione d ella g ra vità , d a l q uotid ia no fino
ad arrivare alla teoria della relatività generale.
Appendice 1
L esperimento di Ca vendish
Il p rob lem a era a ssa i a rd uo p erc hé si tra tta va d i m isura re forze p ic c olissim e, inferiori a un
m ilionesim o d i new ton, in p resenza d i una notevole forza d i d isturb o , q uella g enera ta
dalla Terra.
Lord Ca vend ish p ossed eva tutta via notevoli d oti d i sp erim enta tore e insiem e d i
m etrolog o , c osì d a riusc ire, c on g li strum enti e le tec nic he d el tem p o , a d ottenere un
va lore d i G c he b en p oc o si d isc osta va d a l va lore og g i a c c etta to. L a p p a rec c hia tura
usa ta d a Ca vend ish era c ostituita d a d ue m a sse id entic he m 1 e m 2 fissa te a lle estrem ità
d i un a sta leg g era , a sua volta sosp esa nel c entro a d un filo d ota to d i rig id ezza torsiona le
p ic c ola m a nota . Le d ue m a sse id entic he M 1 e M 2, p oste a lle estrem ità d i un b ra c c io
rig id o in g ra d o d i ruo ta re a l c entro intorno a d un a p p og g io fisso , p ossono essere
a llonta na te ovvero a c c o sta te a lle m a sse m 1 e m 2. Qua nd o le m a sse sono a c c o sta te, si
ha una rota zione d ell a sta c he sostiene le d ue m a sse m 1 e m 2, rota zione il c ui va lore è
ta nto m a g g iore q ua nto m inore è la rig id ezza torsiona le d el filo d i sosteg no. L a ng olo d i
rota zione
viene
letto
c on
il
c la ssic o m etod o
d ella
leva
ottic a ,
c ioè
c on
la
deflessione d i un ra g g io d i luc e a d op era d i uno sp ec c hietto fissa to in p rossim ità d el
c entro d ell a sta d i sosteg no .
Nella figura si vede lo schema sperimentale utilizzato.
Il valore trovato da Cavendish è stato
G Cavendish= (6,75 ± 0,05) x 10-11 m3 kg-1s-2
Appendice 2
Tabella Pianeti del sistema solare:
Pianeta
Mercurio
Venere
Marte
Giove Saturno
Urano
Nettuno
Massa
0,0553
0,815
0,107
317,8
95,2
14,5
17,1
Diametro
0,383
0,949
0,533
11,21
9,45
4,01
3,88
Densità
0,984
0,951
0,713
0,240
0,125
0,230
0,297
Gravità
0,378
0,907
0,377
2,36
0,916
0,889
1,12
Velocità di fuga
0,384
0,926
0,450
5,32
3,17
1,90
2,10
Rotazione
58,8
-244
1,03
0,415
0,445
-0,720
0,673
Giorno
175,9
116,8
1,03
0,414
0,444
0,718
0,671
Distanza dal Sole
0,387
0,723
1,52
5,20
9,58
19,20
30,05
Perielio
0,313
0,731
1,41
5,03
9,20
18,64
30,22
Afelio
0,459
0,716
1,64
5,37
9,96
19,75
29,89
Periodo orbitale
0,241
0,615
1,88
11,9
29,4
83,7
163,7
Velocità orbitale
1,61
1,18
0,810
0,439
0,325
0,229
0,182
Eccentricità
12,3
0,401
5,60
2,93
3,38
2,74
0,677
Satelliti
0
0
2
63
56
27
13
N.B. - Dati posti in relazione a quelli della Terra, considerati pari ad 1 (fonte NASA/NSSDC)
Tabella dati dei pianeti
Pianeta
Mercurio Venere Marte
Massa (1024 kg)
0,3302
4,8685
Volume (1010 km3)
6,083
Raggio Equatoriale (km)
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
0,64185 1898,6
568,46
86,832
102,43
92,843
16,318
143128
82713
6833
6254
2439,7
6051,8
3397
71492
60268
25559
24764
Raggio Polare (km)
2439,7
6051,8
3375
66854
54364
24973
24341
Densità (kg/m3)
5427
5243
3933
1326
687
1270
1638
Gravità (m/sec2)
3,70
8,87
3,69
23,12
8,96
8,69
11
Velocità di fuga (km/sec)
4,3
10,36
5,03
59,5
35,5
21,3
23,5
Min Distanza Terra (106 km) 77,3
38,2
54,5
588,5
1195,5
2581,9
4305,9
Max Distanza Terra (106
km)
221,9
261
401,3
968,1
1658,5
3157,3
4687,3
Max Diametro apparente
(")
13
66
25,7
49
20,1
4,1
2,4
Min Diametro apparente
(")
4,5
9,7
3,5
29,8
14,5
3,3
2,2
Magnitudine massima
-1,9
-4,6
-2,9
-2,94
0,43
5,32
7,78
Diametro apparente Sole
1°22'
44,3'
21'
6,2'
6,2'
1,7'
1,1'
Semiasse maggiore (106
km)
57,91
108,21
227,92
778,57
1433,53
2872,46 4495,06
Periodo orbitale (giorni)
87,969
224,701 686,980 4332,589 10759,22 30685,4 60189
Perielio (106 km)
46
107,48
206,62
740,52
1352,55
2741,30 4444,45
Afelio (106 km)
69,82
108,94
249,23
816,62
1514,50
3003,62 4545,67
Vel. orbitale media
(km/sec)
47,87
35,02
24,13
13,07
9,69
6,81
5,43
Vel. orbitale max (km/sec) 58,98
35,26
26,50
13,72
10,18
7,11
5,50
Vel. orbitale min (km/sec)
38,86
34,79
21,97
12,44
9,09
6,49
5,37
Inclinazione orbitale (°)
7
3,39
1,85
1,304
2,485
0,772
1,769
Eccentricità
0,2056
0,0067
0,0935
0,0489
0,0565
0,0457
0,0113
Periodo rotazione (ore)
1407,6
-5832,5 24,6229 9,9250
10,656
-17,24
16,11
Lunghezza giorno (ore)
4222,6
2802
24,6597 9,9259
10,656
17,24
16,11
Inclinazione asse (°)
0,01
177,36
25,19
3,13
26,73
97,77
28,32
Temperatura (C°)
400/150 480/-30 -23
-150
-180
-210
-220
Pianeta
Mercurio Venere Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
fonte NASA/NSSDC
Tabella dati dei pianeti nani
Per.
Pianeta Diametro Rotazione
Orbitale
Nano
(km)
(ore)
(anni)
Semiasse
maggiore
(UA)
Eccentricità
Inclinazione
orbitale (°)
Satelliti
Ceres
960x932
9
4,6
2,767
0,078
10,58
-
Plutone 2390
-153
247,9
39,48
0,244
17,2
3
Eris
?
556,7
67,7
0,44
44
1
2400
Laboratorio virtuale di fisica.
Cercare delle possibili cross-relations usando i parametri dei pianeti del sistema solare.
Verifica somma tiva
La verific a som m a tiva verterà sug li a rg om enti tra tta ti c on eserc izi sim ili a q uelli fa tti
d ura nte
il
c orso.
Verra nno
va luta ti
tra m ite
una
g rig lia
di
va luta zione
a p p osita m ente stud ia ta p er la verific a . Ad og ni eserc izio verrà a ttrib uito un
punteggio in base alla difficoltà e alle richieste. Sommando in fine tutti i punteggi si
c onvertirà il tota le in vota zione d ec im a le. Sa rà p erm esso l uso i c a lc ola tric i
sc ientific he e d i una ta b ella ria ssuntiva c on tutti i p a ra m etri fisic i d ei p ia neti d el
sistema solare e di altri oggetti particolari.
Eco un esempio:
Esercizio : Qua le d eve essere la veloc ità 28 m inim a inizia le d i un og g etto d i m a ssa 1 kg
a ffinc hé p ossa sfug g ire a ll a ttra zione g ra vita ziona le d ella Terra ed essere c a ttura ta d a
quella della Luna?
Bibliografia e Sitografia29
Parte della teoria e spunti
Fisic a 1
Ha llyd a y, Resnic k, Kra ne c a sa Ed Am b rosia na 4° ed izione 1993 Mila no
il m ond o d ella fisic a
Ug o Am a ld i c a sa Ed . Za nic helli 1991
La velocità che si sta cercando è chiamata velocità di fuga ed è appunto la minima velocità
iniziale che un corpo deve avere per allontanarsi da un pianeta o una stella o qualsiasi altro
oggetto dotato i massa.
29 I dati presi dai siti citati sono stati confrontati con alcuni testi scolastici.
28
Disp ense d i a strofisic a e c osm olog ia
Del Mona c o
Dati su pianeti e Sole
http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_solare
Fisic a 1
Ha llyd a y, Resnic k, Kra ne c a sa Ed Am b rosia na 4° ed izione 1993 Mila no
Spunti didattici
Film a to PSSC : la leg g e d i g ra vita zione universa le
Dati sistema solare
http://www.astrosurf.com/cosmoweb/sistemasolare/pianeti/tabella.html NASA
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