Solo quello che ti interessa | Il teorema nella storia - Dimostrazioni
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Il teorema nella storia - Dimostrazioni
Il teorema di Pitagora nel trattato Chou Pei Suan Chjing
- Il titolo del trattato corrisponde a Il libro classico dello gnomone e delle orbite
circolari del cielo.
- In Cina il Teorema di Pitagora prende il nome di Kon Ku. Si trova in questo
trattato del III a.C. Come si può notare i triangoli 1,2,3 e 4 sono equivalenti;
spostando questi triangoli come in figura, otteniamo lo stesso quadrato
contenitore che dimostra come l’area al di fuori dei triangoli corrisponde alla
somma delle aree dei quadrati Q1 e Q2.
- Poiché il quadrato Q1 + Q2 è costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo
che ha come lati i lati dei due quadrati Q1 e Q2, il teorema è dimostrato.
Il teorema di Pitagora visto da Euclide - Euclide visse ad Alessandria intorno al 300 a.C. Scrisse gli Elementi di
geometria (conoscenze geometriche della sua epoca esposte con rigore e con
le deduzioni delle proprietà (teoremi) a partire dalle definizioni, postulati e
assiomi). Queste sono le basi della geometria insegnate ancora oggi. E’ l’opera
più diffusa dopo la Bibbia. Il Teorema di Pitagora, si trova nel libro I, ma appare
anche nel libro VI (in associazioni alle proposizioni) e X (dove si parla di radici
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quadrate).
- La dimostrazione del teorema è la seguente: trasforma ogni quadrato costruito
sui cateti in un parallelogrammo avente la stessa area. In pratica l’enunciato di
Euclide è: In un triangolo rettangolo, il quadrato di un cateto è uguale al
prodotto dell’ipotenusa per la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa
Il teorema di Pitagora in un mosaico arabo - Si tratta di una dimostrazione del 900 a.C. trovata in un mosaico arabo
(attribuita ad Annairizi di Arabia). Il mosaico è formato dai quadrati de cateti e,
quello sovrapposto, dai quadrati dell’ipotenusa. Di fianco la dimostrazione
estrapolata dal mosaico. page 2 / 10
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Il teorema di Pitagora visto da Henry Perigal - Henry Perigal è un matematico dilettante dell’800. La spiegazione del
teorema viene fornita sottoforma di rompicapo
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La dimostrazione di un presidente degli USA - Il presidente degli USA James Abram Garfield (1831-1881) trovò e pubblico
la seguente dimostrazione originale
- Sull’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC viene costruito il triangolo
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rettangolo isoscele CBE. Si prolunga la retta AC fino ad incontrare in D la
perpendicolare tracciata da E. Per costruzione (due triangoli rettangoli con la
stesa ipotenusa sono uguali) Il triangolo ABC è uguale al triangolo DCE, perciò:
AB = DC e AC = DE.
- Sia l'altezza che la somma delle basi sono x + y, quindi l’area del trapezio
ABDE è uguale all’area dei 3 triangoli (di cui due uguali):
La dimostrazione di Leonardo da Vinci - Dopo aver costruito i quadrati sui lati del triangolo rettangolo ABC, Leonardo
aggiunse la riga EF, creando il triangolo rettangolo ECF e in basso disegnò una
copia di questo triangolo, A’B’C’. Tracciò poi i segmenti DD’ e CC’ e, per
costruzione, quest’ultimo risultò perpendicolare al primo .
- Si può notare come l’esagono BDEFD’A’ sia simmetricamente diviso in due
parti che possono essere sovrapposte perfettamente (invertendo una parte)
sull’esagono BA’C’B’AC.
- Eliminando l’area dei triangoli BCA e CE’F dal primo esagono e BCA e A’B’C’ dal
secondo, le aree rimanenti risultano uguali, quindi l’area dei due quadrati sui
cateti è uguale all’are del quadrato sull’ipotenusa.
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Altre dimostrazioni e rompicapo - Il matematico cinese Liu Hui (III secolo a.C.) scrisse un libro importante I nove
capitoli sull’arte matematica, in cui parla del Pi Greco e dove è presente
una dimostrazione del Teorema di Pitagora sottoforma di rompicapo.
- In questo rompicapo il quadrato sul cateto più piccolo viene diviso in due metà,
mentre quello sul cateto maggiore in cinque parti, traslando il triangolo
originale ai due vertici opposti del quadrato. Mediante queste sette parti si può
ricomporre il quadrato sull’ipotenusa
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- Johannes Eduard Böttcher (1847-1919) fisico tedesco che si dedicò anche a
lavori di ricerca di matematica pura. Nel 1886 pubblicò in una rivista
specialistica l’articolo “Modello semplice per la dimostrazione del Teorema di
Pitagora”, in cui propose una dimostrazione per mezzo di un puzzle. - Il puzzle consiste nel dividere i quadrati sui cateti in quattro triangoli uguali a
due a due con i quali costruire il quadrato sull’ipotenusa.
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- Il matematico autodidatta inglese Henry Ernest Dudeney (1857-1930)
pubblicò un’enorme quantità di rompicapi (giochi canonici per gli amanti delle
sfide matematiche), tra cui emergono anche quelli basati sul Teorema di
Pitagora
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- Un’altra dimostrazione è quella del divulgatore scientifico Scott Loomis
(1852-1940). Tracciando la parallela all’ipotenusa dal vertice dell’angolo retto
del triangolo rettangolo, si produce una divisione del quadrato minore in due
parti, e una divisione del quadrato maggiore in tre, tracciando la
perpendicolare a questa nel punto in cui incontra il lato.
- Le cinque parti così ottenute compongono il quadrato sull’ipotenusa.
Pitagora e il V postulato di Euclide - Il V postulato dice “Attraverso un punto si può tracciare solo una retta parallela
ad una retta data”.
- Le dimostrazioni sul Teorema di Pitagora riflettono alcune proprietà che si
riferiscono, direttamente o indirettamente al V postulato (parallelogrammi
aventi stessa base e altezza hanno sempre la stessa area, triangoli simili
hanno lati proporzionali, gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono
complementari, ecc.).
- Ammessi gli altri quattro postulati, da queste considerazioni si può affermare
che il Teorema di Pitagora è equivalente al V postulato. page 9 / 10
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Un problema pitagorico - Lewis Carroll (1832-1898) autore di Alice nel paese delle meraviglie, era
un sacerdote anglicano che si dedicò anche alla matematica.
- Nel 1850 ideo e pubblico il seguente problema: in una piazza 21x21, con 4
punti A, B, C e D, disposti come in figura, da quale punto la somma della
distanza dagli altri tre e minima ?
- La risposta è da A. Come dimostrano i calcoli sottostanti
- Da A: 13+21+12,04=46,04
- Da B: 13+20+21,21=54,21
- Da C: 15,81+21+20=58,81
- Da D: 12,04+21,21+15,81=49,06
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