Le equazioni di Maxwell
come si inducono dagli esperimenti
a cura di E. Tonti
Per avere questa presentazione inviare una mail a [email protected]
Dal sito www.discretephysics.org si può scaricare una dispensa intitolata
Udine 2000
relativa ad un semianrio tenuto a Udine per i dottorandi di elettrotecnica.
simboli ufficiali (International Union of Pure and Applied Physics= IUPAP)
http://iupap.org/wp-content/uploads/2014/05/A4.pdf
(from page 31)
1
L’elettromagnetismo nasce da qui:
l’ambra
l’ambra strofinanta
attrae piccoli pezzi di carta
la magnetite
la magnetite, minerale di ferro,
attrae piccoli pezzi di ferro
Ambra (in greco antico ἤλεκτρον, elektron)
donde prendono il nome “elettrico”, “elettricità”, “elettrone”
2
Una meditazione prima di iniziare
Una scienza
parte sempre da una attenta
osservazione dei suoi fenomeni al
fine di metterne in luce le regolarità.
Queste regolarità di comportamento
costituiscono le leggi dei fenomeni.
La fisica gode del privilegio
di aver a che fare con attributi quantitativi.
Ogni grandezza fisica,
una volta scelta una unità di misura,
è descritta da un valore numerico.
Questo porta ad introdurre le
grandezze fisiche.
Con il valore numerico
la matematica
fa il suo ingresso trionfale in fisica.
3
...ma qui occorre fare attenzione
a non dimenticare mai i fatti
sperimentali che sono il punto di
partenza e di arrivo di una scienza
della Natura.
Troppo spesso, invece,
l’insegnamento di una teoria della
fisica si riduce ad una esibizione di
formule, ad una indigestione di
passaggi, di derivazioni, integrazioni,
trasformazioni che fanno perdere il
contatto con la realtà.
In particolare per la fisica, che usa
la matematica, occorre non lasciarsi
prendere la mano dal formalismo
matematico.
Per questa ragione in questo
seminario, prima di parlare di
gradienti, rotori e divergenze
vogliamo richiamare i principali fatti
sperimentali e la nascita delle
grandezze fisiche da utilizzare.
4
Elettrostatica
5
La carica elettrica
All’origine dell’elettromagnetismo vi
è la scoperta della carica elettrica.
Strofinando con una panno di lana
una bacchetta di vetro o di bachelite
Si scopre che la bacchetta ed il
panno sono in grado di attirare
piccoli pezzi di carta.
SI dice che i due corpi sono
elettrizzati o che possiedono una
carica elettrica.
Si scopre che esiste una attrazione
o una repulsione. Questo porta a
considerare due tipi di cariche.
6
Esistono due tipi di cariche
Strofinando una bacchetta di vetro con
un panno di lana questa si carica.
vetro
Anche strofinando una bacchetta di
resina questa si carica.
bachelite
Nel 1778 un fisico tedesco,
Lichtenberg, ha avuto la brillante idea
di denotare le cariche vitree come
quelle resinose con i simboli
matematici ‘’+’’ e ‘’-’’ rispettivamente.
vetro
bachelite
+ +
-
-
+
+
-
-
Carrica ‘’vitrea’’
Carrica ‘’resinosa’’
Si scopre che la carica «vitrea» attira
quella «resinosa» mentre due cariche
resinose si respingono e due cariche
vitree si respingono.
Usando questa notazione, divenuta
comune, possiamo dire che le cariche di
uguale segno si respingono mentre le
cariche di segno opposto si attraggono.
7
La carica elettrica
elettroscopio
Dal momento che la carica elettrica è un
attributo quantitativo, essa può essere
elevata al rango di grandezza fisica.
A questo scopo occorre creare uno strumento
di misura. Questo strumento è l’elettrometro,
evoluzione dell’elettroscopio a foglioline d’oro.
elettrometro
8
Il vettore campo elettrico
Una volta creata la grandezza
carica elettrica si misura la forza
che si esercita su una piccola carica
elettrica positiva q posta in un punto
P del campo.
Qui si fa la prima constatazione: se
a carica q è abbastanza piccola da
non perturbare il campo, la forza F
è proporzionale alla carica q.
Questa proporzionalità invita ad
introdurre il vettore
E( P )
F ( P, q )
q
che che dipende solo dal posto: esso
prende il nome di intensità del campo
elettrico.
Osservazione. Su molti libri si definisce
E( P )
F ( P, q )
q 0
q
lim
invece di dire semplicemente che q deve
essere abbastanza «piccola» da non
perturbare il campo.
Questa definizione si basa sull’evidente
presupposto che l’esattezza si ottiene
passando al limite. Vero.
Ma in fisica ogni misurazione è fatalmente
affetta da una certa imprecisione.
Quello che importa è che la misura di una
grandezza stia entro una tolleranza
stabilita di volta in volta, secondo le
esigenze.
In particolare la minima carica che noi
conosciamo è quella dell’elettrone e
quindi il limite suindicato non ha senso
dal punto di vista fisico.
9
La tensione elettrica
Conoscendo la forza che in ogni
punto del campo agisce su una
carica q si può calcolare il lavoro
che la forza compie ‘’percorrendo’’
una linea L da A a B
W ( A, B, L)
F ( P , q ) dL
Dal momento che la forza è
proporzionale alla carica, lo sarà
anche il lavoro. Questo porta ad
introdurre il lavoro per unità di carica
W ( A, B)
q
E ( A, B)
t
L
L
F
A
B
Ft
La grandezza Ft indica la
componente tangenziale della forza.
cui si dà il nome di tensione elettrica.
Si vede che la forza elettromotrice fra
due punti è la circolazione del vettore
E lungo una linea che congiunge i
due punti:
E L Et ( P) dL
L
Osservazione. Il termine ‘’percorrendo’’ è stato messo fra virgolette perchè non
comporta un moto (meno che mai a velocità costante!) ma soltanto un calcolo fatto
sommando tutti i contributi lungo la linea. Propriamente si tratta di un lavoro virtuale.
10
La prima legge del campo elettrostatico
L’esperienza mostra che:
la forza elettromotrice calcolata fra due punti qualsiasi
non dipende dalla linea che li congiunge.
Questa proprietà costituisce la prima legge del campo elettrostatico.
Percorrendo la linea nel senso opposto la forza elettromotrice muta nella sua
opposta. Ne viene che lungo un circuito, bordo di una superficie, la forza
elettromotrice è nulla.
B
la circolazione del vettore E lungo il bordo di
una generica superficie è nulla.
E S 0
Osservazione. Come vedremo nel
prossimo seminario questo si
esprimerà nella formula
rot E 0
S
A
e si dirà che il campo elettrico
è irrotazionale.
11
L’induzione elettrostatica
Se avviciniamo una carica elettrica
positiva ad un conduttore neutro, su
quest’ultimo le cariche elettriche dei
due tipi presenti sul conduttore
(e che si compensano), si separano.
Le cariche negative (elettroni)
essendo mobili, vengono attratte
verso la carica positiva.
-- --
Questo fenomeno si chiama
induzione elettrostatica.
Una piccola superficie metallica
attaccata ad un bastoncino isolante
costituisce un ‘‘cucchiaino’’ per
caricare elettricità (Pohl)
12
misura del flusso elettrico in un condensatore.
As
amperometro balistico,
misura la carica elettrica.
a
densità di
flusso superficiale.
dischi uniti.
dischi staccati.
La carica raccolta sui dischi NON dipende dal mezzo materiale
che si trova nella regione.
13
Il condensatore
Il dispositivo di largo uso nell’elettrostatica è il
condensatore.
Il campo elettrico E fra le due armature è
pressoché uniforme (non lo è esattamente sui
bordi delle due armature).
All’interno delle armature si depositano le
cariche elettriche in modo pressoché uniforme.
Trattandosi di una carica superficiale è
opportuno indicarla con Y anziché con Q.
La relazione tra la tensione E e il
flusso elettrico Y è
Y
E
A
d
costante
dielettrica
armatura
area A
-
+
-
+
tensione
V
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
d
carica
superficiale Y
14
Introduzione del vettore spostamento elettrico
Con la sonda formata da due dischetti
(two coins probe) possiamo esplorare
localmente un campo elettrico e stabilire
la giacitura per la quale si ha la massima
densità di carica che indicheremo max
N
n
n
Questa direzione privilegiata coincide
con la direzione del vettore E.
Si constata che la densità relativa ad
ogni altra direzione varia con il coseno
dell’angolo formato con la direzione
principale: max cos(f)
Il fatto che esista una direzione
privilegiata, quella della massima
densità di carica superficiale,
suggerisce di istituire un vettore
che abbia quella direzione
ed il cui modulo sia tale densità
massima:
A tale vettore si dà il nome di
spostamento elettrico e lo si indica
con la lettera D.
D max N
Ne viene che la densità relativa ad
una superficie piana di normale n
è data da.
(n) D n
15
Relazione tra induzione e campo
-
++++
E
Y
D
A
E
E
d
D
Se misuriamo quindi il modulo di D e misuriamo E, tensione per unità di
lunghezza, quindi il modulo di E, in una regione dove il campo elettrico è
uniforme,scopriamo che i due vettori, oltre ad avere la stessa direzione
sono anche proporzionali.
La costante di proporzionalità dipende dal mezzo materiale
che si trova nella regione. La relazione è quindi
D E
ed si chiama costante
dielettrica del mezzo.
Questa si chiama equazione costitutiva
(o equazione materiale) dell’elettrostatica.
16
La seconda legge dell’elettrostatica
L’esperienza mostra che, se un
involucro conduttore contiene una
carica Q, allora sulla superficie
esterna dell’involucro si forma, per
induzione elettrostatica, una carica di
uguale valore e di uguale segno.
Questa uguaglianza ha luogo
qualsiasi sia la forma e la dimensione
dell’involucro conduttore (può trattarsi
di un guscio metallico o di carta
stagnola). Inoltre la carica indotta,
che viene chiamata flusso elettrico ed
indicata con la lettera Y, non dipende
da come le cariche siano distribuite
nell’interno del guscio.
17
La seconda legge dell’elettrostatica
Il fatto che la carica Y sia uguale alla
carica Q contenuta qualunque sia la
superficie porta a considerare una
superficie geometrica e ad attribuire
ad essa il flusso Y.
Indicando con V il volume, inteso
come regione di spazio (e non come
misura della sua estensione, ad
esempio in m3), il bordo del volume si
indica con V.
flusso elettrico
carica contenuta
sul
bordo
di
una
regione
entro la regione
Y V Q V
Questa è la seconda legge dell’elettrostatica.
OSSERVAZIONE.
Come vedremo nel prossimo
seminario questo si esprimerà
nella formula
div D
e si chiama teorema di Gauss
(anche se la legge l’ha scoperta
Faraday)
18
Riassunto: le tre leggi dell’elettrostatica
Riassumendo l’elettrostatica è governata da tre leggi:
la prima legge afferma che la forza elettromotrice
lungo il bordo di una generica superficie
(linea chiusa) è nulla:
La seconda legge dice che il flusso elettrico
associato al bordo di una generico volume
uguaglia la carica ivi contenuta:
La terza legge afferma che, in un campo
elettrico uniforme, il flusso elettrico per unità di
area, associato ad una elemento di superficie
piana, è proporzionale alla intensità del campo
elettrico:
E S 0
rot E 0
Y V Q V div D
Y
E
A
d
D E
19
La soperta della corrente elettrica (Volta, 1799)
disco di zinco
feltro imbevuto
di acqua
e acido
solforico.
disco di rame.
20
21
Magnetostatica
22
Magneti permanenti
la magnetite
calamite
il rosso indica il polo sud
la terra è una calamita
la magnetizzazione si può ottenere in tre modi:
per strofinio, per contatto e per induzione.
23
Una analogia tra le cariche e i magneti
attrazìone
repulsione
cariche di opposto
segno si attirano
cariche di uguale segno si respingono
+
-
polarità opposte
si attirano
-
-
+
+
polarità uguali si respingono
24
Relazione tra campo elettrico e campo magnetico
esperimento di Oersted
condensatore
Dopo la scoperta della corrente elettrica, Oersted, nel 1820, ha scoperto
(casualmente!) che attorno ad un filo in cui passa la corrente si genera un
campo magnetico.
E’ stata la prima volta che l’elettricità
si è sposata con il magnetismo.
25
26
Elettro-magneti
Da questa scoperta risulta che facendo passare della corrente in un
solenoide lungo e stretto questo si comporta come un magnete nalurale.
right hand screw
sud
nord
La possibilità di produrre un campo magnetico utilizzando la corrente elettrica
è stata fondamentale per poter fare una analisi quantitativa del campo
magnetico.
27
Intensità del campo magnetico
Disponendo un piccolo ago magnetico nell’interno di un solenoide, se
inizialmente l’asse è disposto ortogonalmente all’asse del solenoide, quando
in quest’uiltimo si fa passare una corrente di intensità i, l’ago ruota cercando
di disporsi parallelamente a tale asse.
La rotazione è contrastata dalla torsione del filo,
Per rimettere l’ago nella posizione iniziale
occorre applicare un momento torcente Mt.
L’entità di tale momento costituisce una misura
della intensità del campo magnetico nell’interno
del solenoide.
Intanto si constata che il momento torcente è
il medesimo qualunque sia la posizione
dell’aghetto nel solenoide, cosa che indica
l’esistenza di un campo uniforme nell’interno
del solenoide.
28
Intensità del campo magnetico
Poi si constata che il momento torcente è proporzionale al numero di spire
per unità di lunghezza che compongono il solenoide e alla intensità della
corrente.
Se N è il numero di spire,
L la lunghezza del solenoide,
i la corrente, si scopre che
Mt
N
i
L
Questa formula porta ad introdurre
la grandezza
H
N
i
L
chiamata intensità del campo magnetico.
29
Intensità del campo magnetico
Dal momento che la rotazione dell’ago magnetico è dovuta ad una coppia
che si esercita su di esso, le due forze della coppia avranno la direzione
dell’asse
F
t
H
F
Questo suggerisce di considerare la grandezza
H come il modulo di un vettore H diretto
secondo l’asse del solenoide. Indicato con t il
versore dell’asse potremo scrivere
H
N
it
L
che si chiama vettore
intensità del campo magnetico.
30
Prima legge del campo magnetico
Il prodotto Ni rappresenta il totale della corrente che avvolge un segmento di
retta di lunghezza L disposto nell’interno del solenoide parallelamente
all’asse dello stesso.
Il prodotto Ni è una nuova grandezza
chiamata forza magnetomotrice relativa
alla line L ed indicata con Fm
Fm L
Ni
Dal momento che un filo percorso da
corrente genera attorno a sè un campo
magnetico (Oersted 1820) possiamo
misurare la forza magnetomotrice lungo
una linea chiusa usando una bobinetta
compensatrice.
31
Prima legge del campo magnetico
La bobinetta compensatrice è un piccolo solenoide stretto che si dispone in
un punto del campo magnetico e si fa passare in esso una corrente tale da
controbilanciare il campo magnetico presente nel luogo, facendo passare
nella bobinetta una opportuna corrente.
Con riferimento al campo creato
da un filo rettilineo indefinito,
disponiamo la bobinetta
compensatrice lungo una
circonferenza coassiale. Nella
bobinetta infiliamo una sonda ad
effetto Hall che registra
l’esistenza o meno del campo
magnetico. Variamo la corrente
fino a compensare il campo
esistente: la sonda di Hall deve
indicare l’annullarsi del campo.
Il prodotto Ni, cambiato di segno, fornisce
la forza elettromotrice relativa al trattino della
linea di campo. Dal momento che si tratta
di una circonferenza basta moltiplicare il
valore trovato per il numero di trattini che
completano la circonferenza.
32
Prima legge del campo magnetico
Si constata che la forza elettromotrice totale è uguale alla corrente I che
passa nel filo.
Passando al campo magnetico
generato da una corrente in
generale, si constata sempre che la
forza elettromotrice lungo una linea
chiusa è uguale alla corrente che
attraversa una qualsiasi superficie
che ha la linea come contorno
Fm S I S
che costituisce la legge della circuitazione di Ampère
Poiché siamo viziati dalla notazione differenziale
solitamente scriviamo questa legge nella forma
H t dL J n dS
S
S
33
Seconda grandezza magnetica
Se posizioniamo una spira connessa ad un amperometro in prossimità del
campo magnetico di un magnete, allontanando il magnete, si constata che la
variazione del campo magnetico genera nella spira una corrente transitoria.
La rilevazione è molto più facile se, invece di una
sola spira consideriamo una bobinetta piatta fatta di
tante spire. Collegando le estremità della bobinetta
un voltmetro integratore (che differisce da un
amperometro balistico solo per la taratura) si scopre
che l’integrale nel tempo della forza elettromotrice
dipende solo dalla posizione della bobinetta rispetto
al magnete e non dal modo e dalla velocità con il
quale il magnete è allontanato.
Vt
Vs
voltmetro
balistico
misura l’integrale della tensione
Seconda grandezza magnetica
Il voltmetro integratore misura l’integrale nel tempo della forza elettromotrice
che, per la legge di Ohm, è proporzionale alla carica che passa nella bobinetta.
E (t ) dt Ri(t ) dt R i(t ) dt RQ
E Ri
Operando in una regione di campo magnetico uniforme, si constata facilmente
che l’impulso della forza elettromotrice non dipende dalla forma della bobinetta
bensì dall’area racchiusa dalla bobinetta.
N
N
S
S
35
Seconda grandezza magnetica
Questa proporzionalità all’area suggerisce di attribuire l’impulso della forza
elettromotrice alla superficie della bobinetta anzichè al suo contorno. In questo
modo la grandezza prende il nome di flusso magnetico associato alla superficie.
Esso viene indicato con F:
F S
E (t ) dt
Volt secondo = Weber (Wb)
S
E’ facile vedere che,in una regione di campo uniforme,
il flusso magnetico relativo ad una superficie piana è
proporzionale all’area della superficie.
Questo porta a considerare la densità di flusso
magnetico
m
F S
A
S
Wb/m 2
36
Orientazione della corrente
Variando il campo magnetico si induce una corrente. Dal momento che la
corrente scorre in un certo senso, la superficie della bobinetta acquista una
orientazione ‘‘interna’’.
Il flusso magnetico dipende dalla
orientazione spaziale della bobinetta
oppure
flusso
intermedio
Approfittando della orientazione
interna della spira (=bobinetta)
associamogli una normale
flusso
usando la regola del cavatappi massimo
(= mano destra)
N
flusso
nullo
S
37
Orientazione della corrente
Il fatto che esista una orientazione per la quale la densità di flusso magnetico è
massima suggerisce di istituire un vettore rappresentativo della direzione, del
verso e del valore della massima densità. Questo vettore si chiama densità di
flusso magnetico o anche induzione magnetica e si indica con B.
B m,max N
La densità magnetica relativa ad una giacitura
generica si ottiene moltiplicando la densità
massima per il coseno dell’angolo formato tra
la normale N del massimo e la normale n della
giacitura.
m
m,max cos( )
B
N
B
N
quindi
m B n
38
prima legge del campo magnetico
Il flusso magnetico, adifferenza del flusso elettrico, viene percepito dalla
circolazione del vettore E, generato dalla variazione del campo magnetico,
lungo una spira e attribuito poi alla faccia della spira.
Ne viene che se consideriamo un poliedro, ad esempio
il tetraedro che è il più semplice poliedro, la somma dei
flussi magnetici relativi alle quattro facce del tetraedro,
è uguale alla somma delle circolazioni del vettore E
lungo i singoli lati.
Ma ogni lato viene percorso due volte in sensi opposti e
quindi la circolazione totale è nulla. Ne viene che la
somma dei flussi relativi alle facce del tetraedro è nulla.
E’ facile capire che questo vale per qualunque poliedro,
qualunque sia il numero delle sue facce.
Quindi il flusso magnetico associato ad una generica
superficie chiusa è nullo.
39
prima legge del campo magnetico
In termini matematici:
B n dS 0
V
ovvero, in termini sintetici
F V 0
Questa proprietà è stata presentata per una regione entro la quale il campo
è uniforme. Ma ogni campo vettoriale è localmente uniforme
(basti pensare al campo gravitazionale terrestre)
e quindi scomponendo un generico volume in tanti volumetti ne viene che
la somma dei flussi di tutti i volumetti è uguale al flusso relativo alle facce
esterne ed è quindi nulla.
40
Equazione costitutiva del magnetismo
In conclusione nell’interno di un solenoide rettilineo lungo e stretto abbiamo
messo in luce due vettori, H e B che hanno la stessa direzione e lo stesso
verso.
B
B
H
F
t
A
H
N
it
L
Facendo misure si trova che i due vettori sono proporzionali
(salvo quando nell’interno del solenoide vi sia un materiale ferromagnetico).
Quindi possiamo scrivere
B mH
essendo m un parametro del mezzo chiamato permeabilità magnetica.
Questa è l’equazione costitutiva del magnetismo.
Una proprietà esenziale è che H non dipende dal mezzo materiale mentre B
dipende dal mezzo.
41
Le tre leggi della magnetostatica
Riassumendo la magnetostatica è governata da tre leggi:
la prima legge afferma che la forza magnetomotrice
lungo il bordo di una generica superficie
Fm
(linea chiusa) è uguale alla corrente che
attraversa la superficie:
S I S
rot H J
La seconda legge afferma che il flusso
magnetico sassociato al bordo di un
generico volume è nullo:
F V 0
div B 0
La terza legge afferma che, in un campo
magnetico uniforme, il flusso magnetico per
unità di area, associato ad una elemento di
superficie piana, è proporzionale alla intensità
del campo magnetico:
F
N
m i
A
L
B mH
42
Riassumiamo le 6 variabili introdotte
electric charge content
Qc V
electrometer
electric charge flow
Q S
magnetic flux
F S
electric flux
Y S
ballistic amperometer
impulse of
electromotive force
E L
ballistic voltmeter
impulse of
magnetomotive force
F L
f
ballistic amperometer
As
Vs
ballistic voltmeter
+
-
+
As
Vs
As
ballistic amperometer
compensating coil
Hence at the birth of every measurable physical variable
there is a space element with which the variable is associated.
43
Le 6 variabili globali dell’elettromagnetismo
intensità del
campo elettrico
E
+
carica di prova
E L
densità di
flusso magnetico
B
bobinetta
larga e piatta
F S
spostamento
elettrico
intensità del
campo magnetico
D
H
dischetto
di induzione
solenoide
lungo e stretto
Y S
Fm L
carica
elettrica
corrente
elettrica
Q V
I S
44
from space-time global variables to field functions
Remark: the global variables of electromagnetism are all scalars
space-time
global variables
magnetic
flux
impulse of
electromotive
force
charge
content
F
E
Qc
charge
flow
Qf
weber
rates
space
global variables
F
field variables
B
Y
Fm
Y
Fm
coulomb
E
Q
electromotive
force
densities
electric
flux
impulse of
magnetomotive
force
E
configuration variables
c
I
magnetomotive
force
electric
current
J
D
H
source variables
Hence we deduce field variables from global variables not viceversa!
45
differiscono per
il periodo
di oscillazione
Quattro strumenti di misura
amperometro
voltmetro
A
V
misura la corrente
misura la tensione
amperometro
balistico
voltmetro
balistico
As
Vs
misura la carica
(integrale della corrente)
misura l’integrale
della tensione
differiscono per
una resistenza
46
Elettrostatica e magnetostatica
Una legge afferma che la forza
elettromotrice lungo il bordo di una
generica superficie (linea chiusa)
è nulla:
E S 0
Un’altra legge dice che il flusso elettrico
associato al bordo di una generico volume
uguaglia la carica ivi contenuta:
Y V Q V
La relazione costitutiva afferma che, in un
campo elettrico uniforme, il flusso elettrico
per unità di area, associato ad una
elemento di superficie piana, è
proporzionale alla intensità del campo
elettrico:
Y
E
A
d
Una legge afferma che la forza
magnetomotrice lungo il bordo di una
generica superficie (linea chiusa) è
uguale alla corrente che attraversa la
superficie:
Fm S I S
Un’altra legge afferma che il flusso
magnetico associato al bordo di un
generico volume è nullo:
F V 0
La relazione costitutiva afferma che, in un
campo magnetico uniforme, il flusso
magnetico per unità di area, associato ad
un elemento di superficie piana, è
proporzionale alla intensità del campo
magnetico:
F
N
m i
A
L
47
http://www.alessandrovolta.info/vita_e_opere_2.html
48
