Probabilità ed Inferenza Statistica compito A (25/02/2010)
Esercizio 7
In un palazzo vivono solo tre famiglie: A, B, C, di 4 componenti ciascuna. La famiglia A è
composta da 4 maschi, la B da 3 maschi e 1 femmina, la C da 2 maschi e 2 femmine. Considerando
equiprobabile l’uscita di un componente di una qualunque delle tre famiglie, si osserva che da
protone esce una persona di sesso maschile. Quale è la probabilità che egli appartenga alla famiglia
B?
SOLUZIONE
Questo esercizio va risolto attraverso il teorema di Bayes. Considerando l’equiprobabilità
dell’uscita dal portone di un componente di una qualunque delle tre famiglie si ha che
P(A)=P(B)=P(C)=1/3.
Indicando con M l’evento “l’individuo è maschio” dobbiamo calcolare
1 1
P( B) P( M / B)
3 4
P( B / M )
0.143
P( A) P(M / A) P( B) P(M / B) P(C ) P(M / C) 1 1 1 1 1 2
3
3 4 3 4
ESERCIZIO 2
Una maglieria industriale, dotata di un sistema di controllo di un processo di produzione del proprio
tessuto, prevede di monitorare ogni 12 ore un campione casuale di 15 campioni di tessuto al fine di
misurarne la resistenza alla trazione:
Campione
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Resistenza 103.5 98.6 106.2 111.4 111.0 113.7 94.1 103.8 110.5 99.6 101.5 96.5 95.8 100.1 101.1
Il processo produttivo è considerato molto soddisfacente se produce tessuto con resistenza almeno
pari a 100. Condurre una verifica di ipotesi (assumendo α = 0.01 ) per testare se la proporzione di
produzione molto soddisfacente è pari a 0.75 (75%) contro l’ipotesi che tale quota sia inferiore a
0.75 (75%).
SOLUZIONE
Z Test d’Ipotesi per la Proporzione
IPOTESI NULLA H0: π= 0.75
Livello di Significatività 0.01
Numero di Successi 10
n=15
Prporzione campionaria p= 0.67
Standard Error 0.11
Z Test Statistica -0.75
Test Unilaterale H1: π< 0.75
Valore Critico -2.33
p-Value 0.228
Non si può rifiutare l’ipotesi nulla
Non vi è sufficiente evidenza per rifiutare l’ipotesi nulla: il processo può essere considerato molto
soddisfacente.
ESERCIZIO 3
Nella seguente sono riportati, per 10 autovetture di marche diverse, i dati relativi al numero di km
percorribili in città con un litro di carburante e alla cilindrata del motore (in cc):
km per litro 13.1 6.7
10.8 8.2
9.6
11
12.4 6.7
11.1 11.3
cilindrata
1590 2835 1590 2474 1950 1590 1393 2835 1590 1868
(a) Si disegni e si commenti il diagramma di dispersione;
(b) Si stimi la retta di regressione del modello lineare che lega i Km percorribili per litro alla
cilindrata delle autovetture e si interpreti i risultati ottenuti;
(c) Si calcoli il coefficiente di determinazione e si commenti il risultato ottenuto;
(d) Si verifichi l’ipotesi H0 : β1 = 0 contro l’alternativa H1 :β1 ≠ 0 (si ponga α = 0.05).
SOLUZIONI
(b)
Km/LITRO Cilindrata
13.1
1590
6.7
2835
0.8
1590
8.2
2474
9.6
1950
11
1590
12.4
1393
6.7
2835
11.1
1590
11.3
1868
Y
13.1
6.7
10.8
8.2
9.6
11.0
12.4
6.7
11.1
11.3
Somma 101
X
1590
2835
1590
2474
1950
1590
1393
2835
1590
1868
19715
Y^2
171.6
44.9
116.6
67.2
92.2
121.0
153.8
44.9
123.2
127.7
1063
X^2
2528100
8037225
2528100
6120676
3802500
2528100
1940449
8037225
2528100
3489424
41539899
XY
20829
18995
17172
20287
18720
17490
17273
18995
17649
21108
188517
Inf. 95%
15.6
-0.005
Sup. 95%
19.9
-0.003
Medie 10 e 1972
Statistiche della regressione
b1 -0.004 ; b0 17.8 ; SQE 4.5 ; SQR 40.5; SQT 45.0
Errore standard 0.75
(c) Osservazioni n=10; R2= 0.901
(d)
ANALISI VARIANZA
gdl
Regressione 1
Residuo
8
Totale
9
SQ
40.5
4.5
45.0
MQ
40.5
0.6
F
72.5
p-value
0.00003
Oppure:
Coefficienti
Intercetta
17.8
Coeff.angolare -0.0039
Errore standard Stat t
0.9
19.1
0.0005
-8.5
p-value
0.00000
0.00003
Si rifiuta l’ipotesi nulla e quindi il coeff. angolare è significativamente diverso da zero.
[va bene una delle 3 soluzioni: test F, test t o intervallo di confidenza di b1]
Esercizio 4
Un istituto scolastico vuole valutare la propria capacità di preparazione dei suoi diplomati
nell’avvio degli studi universitari, in relazione all’indirizzo del corso di studi universitario. A questo
proposito, al termine del primo anno di università, è stato intervistato un campione di 83 diplomati
al quale è stato chiesto se ritengono adeguata preparazione conseguita rispetto agli studi universitari
intrapresi.
INDIRIZZO STUDI UNIV. PREPARAZIONE ADEGUATA
si
no
35
15
Scientifico
28
5
Non scientifico
Totale
63
20
Totale
50
33
83
Applicare un metodo inferenziale per stabilire se l’istituto scolastico è in grado o meno di garantire
una eguale preparazione rispetto ai due indirizzi di studi universitari e commentare i risultati
ottenuti.
Soluzioni
TEST Z per la Differenza tra due Proporzioni
La Differenza ipotizzata è 0; ossia H0: π1= π2
Ipotizzando α = 0.05
Gruppo 1
Numero di “Successi” è 35
n=63
Gruppo 2
Numero di “Successi” è 15
n=20
Gruppo 1 Proporzione p1= 0.56
Gruppo 2 Proporzione p2= 0.75
DIFFERENZA
-0.19
Proporzione Media x p= 0.60
Statistica test
Z = -1.55
Test bidirezionale : H1: π1≠ π2
Valore critico inferiore
-1.96
Valore critico superiore
1.96
p-Value 0.122
Non si può rifiutare l’ipotesi nulla
