Fondamenti e didattica della matematica

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Fondamenti e didattica della matematica Geometria
Contenuti del corso
12 febbraio 2007
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 1
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Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 2
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Bibliografia
Geometria
Definizione e Proprietà delle figure geometriche
enti geometrici fondamentali
figure geometriche piane: alcune definizioni e
proprietà
Misura
cosa significa misurare una grandezza
aree di figure geometriche piane
Trasformazioni geometriche
isometrie e loro proprietà
similitudini e loro proprietà
Fondamenti e didattica della matematica - Geometria – p. 3
Alcuni testi consigliati:
M. Cazzola, Per non perdere la bussola, Ed.
Decibel-Zanichelli, 2001.
M. Dedo’, Trasformazioni geometriche, Ed.
Decibel-Zanichelli, 1996.
Ma spesso è difficile confinare la matematica in un solo
libro di testo. Potrà essere necessario rivedere concetti
che già possedete (magari con uno spirito critico
diverso), e in questo caso potranno venirvi incontro altri
testi che di volta in volta vi suggerirò.
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Enti geometrici fondamentali
Enti geometrici fondamentali
Punto
Quanti piani passano per un punto fissato...?
Retta
e per due punti fissati...? (porta e cardini)
Piano
e per tre punti fissati (non allineati)...? (tavolino a tre
gambe)
Quante rette passano per un punto fissato...?
Postulato: Tre punti distinti e non allineati
determinano uno e un solo piano passante per essi.
Quante rette passano per due punti fissati...?(chiodi
e filo)
Se una retta e un piano hanno due punti in
comune...?
Postulato: Due punti distinti determinano una e una
sola retta passante per essi.
Per quali altre superfici vale questa proprietà?
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Enti geometrici fondamentali
Posizioni reciproche
Quanti piani contengono una retta fissata...?
Come si intersecano due rette in un piano?
Quanti piani contengono una retta fissata e un punto
fuori di essa...?
Come si possono intersecano due rette nello
spazio?
...e un piano e una retta?
Come si possono intersecare due piani nello spazio?
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Proprietà delle figure geometriche
Quando facciamo geometria concentriamo l’attenzione
su particolari proprietà delle figure. Spesso le proprietà
che andiamo a considerare importanti sono diverse a
seconda del contesto.
Consideriamo ad esempio la seguente figura
Proprietà delle figure geometriche
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Proprietà delle figure geometriche
è un quadrato
Definizioni
il lato è lungo 5 quadretti
Spesso il primo passo da compiere è quello di dare delle
definizioni.
ha area 25
Proviamo a dare la definizione di quadrato:
ha quattro lati
Definizione – Chiamiamo quadrato un quadrilatero con
tutti i lati e tutti gli angoli uguali.
ha quattro angoli retti
Quali di queste proprietà
sono riconoscibili anche in
questa figura?
Vi sarete accorti che molti di voi avranno pensato a
qualcosa di diverso.
Non sempre c’è un solo modo per definire qualcosa. . .
può succedere che due definizioni apparentemente
diverse siano in realtà equivalenti.
E quali in questa?
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Quadrati?
figura geometrica piana con 4 lati uguali
è una figura piana che è un quadrilatero con 4 lati
uguali e 4 angoli retti.
Ancora sulle definizioni. . .
quadrilatero avente 4 lati uguali paralleli a 2 a 2, 4
angoli retti, 2 diagonali uguali
poligono regolare con 4 lati uguali
quadrilatero (poligono con 4 lati) regolare
figura geometrica con 4 lati uguali e diagonali uguali
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Diagonali
Proviamo a rispondere al seguente quesito:
Un quadrilatero ha . . . diagonali. Un pentagono ha
. . . diagonali. Un esagono ha . . . diagonali.
Diagonali
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici non
consecutivi.
Un cubo ha . . . facce, . . . vertici, . . . spigoli e . . .
diagonali.
Una piramide a base esagonale ha . . . facce, . . .
vertici, . . . spigoli e . . . diagonali.
Per rispondere è fondamentale concordare su cosa si
voglia chiamare “diagonale”!
Un triangolo non ha diagonali.
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Pentagoni
Quadrilateri
Un quadrilatero ha due diagonali.
Un pentagono ha cinque diagonali
Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici
non consecutivi
Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici
non consecutivi
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Esagoni
Diagonali di un poligono
Se assumiamo come definizione di diagonale
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici non
consecutivi.
allora un poligono di n lati ha esattamente
n · ( n − 3)
2
Quante sono?
diagonali.
Un esagono ha
Se diamo una definizione diversa (cioè non equivalente)
di diagonale, questa formula potrebbe perdere di
significato.
6·3
2
diagonali
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Diagonale ???
Il caso tridimensionale
Consideriamo la seguente definizione
Vorremmo tradurre al caso tridimensionale la definizione
data nel caso bidimensionale
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici.
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici non
consecutivi.
In questo caso anche i lati devono essere
considerati diagonali e quindi un quadrato ha sei
diagonali e un poligono di n lati ha esattamente
n·(n−3)
2
+n =
n·(n−1)
2
traduciamo ‘poligono’ con ‘poliedro’
abbiamo però due modi diversi di tradurre
l’espressione ‘non consecutivi’
che non appartengono allo stesso lato
che non appartengono alla stessa faccia
diagonali.
Queste due possibilità danno origine a due definizioni
non equivalenti. . .
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Diagonali del cubo
Giusto o sbagliato?
Abbiamo quindi due possibili definizioni non equivalenti di
diagonale in un poliedro
un qualsiasi segmento che unisce due vertici non
appartenenti alla stessa faccia
un qualsiasi segmento che unisce due vertici non
appartenenti allo stesso lato
Nessuna delle due definizioni è di per sé quella giusta o
quella sbagliata: ci sono contesti in cui ha senso
utilizzare l’una piuttosto che l’altra.
Per questo prima di porre la domanda “quante sono le
diagonali di un cubo?” occorre specificare qual è il
quadro di riferimento.
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Quiz televisivi
Mi è capitato di sentire la seguente domanda
Qual è il numero massimo di angoli retti che
può avere un trapezio?
Definizioni, Proprietà e Proprietà caratterizzanti
Questa è proprio una domanda a cui non si può dare
risposta se non si risolve l’ambiguità della definizione di
trapezio
un trapezio è un quadrilatero che ha almeno due lati
paralleli
un trapezio è un quadrilatero che ha due e solo due
lati paralleli
Di nuovo, queste definizioni non sono equivalenti e
entrambe sono da considerarsi giuste o sbagliate a
seconda del contesto.
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Quadrilateri
Parallelogrammi
Chiamiamo quadrilatero un poligono (convesso)
con 4 lati.
Chiamiamo parallelogramma un quadrilatero
avente i lati opposti paralleli.
Chiamiamo trapezio un quadrilatero avente due e
solamente due lati paralleli.
Proprietà: In un parallelogramma i lati opposti sono
congruenti.
Chiamiamo trapezio isoscele un trapezio avente i
lati obliqui uguali.
Proprietà: In un parallelogramma gli angoli opposti
sono congruenti.
Proprietà: In un trapezio isoscele le diagonali sono
uguali.
Proprietà: In un parallelogramma le diagonali si
tagliano a metà.
Avere le diagonali uguali è una proprietà
caratterizzante dei trapezi isosceli nell’insieme dei
quadrilateri? e nell’insieme dei trapezi?
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Parallelogrammi
Quadrati
Le tre proprietà elencate sopra sono caratterizzanti
per i parallelogrammi nell’insieme dei quadrilateri.
Infatti vale che:
se un quadrilatero ha i lati opposti congruenti è
un parallelogramma
Proprietà 1: In un quadrato le diagonali sono uguali.
Proprietà 2: In un quadrato le diagonali sono
perpendicolari.
La proprietà 1 è caratterizzante per i quadrati?
No, vale per esempio anche per i rettangoli
se un quadrilatero ha gli angoli opposti
congruenti è un parallelogramma
La proprietà 2 è caratterizzante per i quadrati?
No, vale per esempio anche per i rombi
se un quadrilatero ha le diagonali che si tagliano
a metà è un parallelogramma
Se le considero entrambe contemporaneamente?
Si, infatti un se un parallelogramma ha le
diagonali perpendicolari e congruenti è un
quadrato
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A cosa serve misurare?
Misurare una grandezza è un procedimento che
permette di associare alla grandezza un numero e quindi
di operare con le grandezze in modo preciso e rigoroso.
Misura
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Come facciamo a misurare?
Come facciamo a misurare?
Il modo migliore per introdurre il concetto di misura è
proporre una attività pratica di misurare.
Se vogliamo ad esempio misurare la lunghezza di questa
stanza, l’operazione di misura equivale a valutare il
rapporto tra la lunghezza che vogliamo misurare e la
lunghezza di un campione (quante volte il campione sta
nella stanza).
Immaginiamo di procedere alla misurazione di lunghezza
e larghezza della stanza in cui ci troviamo, utilizzando
vari campioni
Questo procedimento è quello che si effettua sempre
quando si deve misurare una grandezza. Se il campione
un metro
un pezzo di corda
non è contenuto un numero intero di volte (avanza un
pezzettino), suddividiamo il campione in parti uguali più
piccole procediamo con questo nuovo campione.
Procediamo alla stessa maniera, fino a che non
otteniamo un campione contenuto un numero intero di
volte.
Ma è sempre possibile?
Questa procedura ha un termine?
una sciarpa
un foglio di carta
...
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Piano pratico/concreto
Il procedimento ha sempre termine nella pratica
perché quando la misurazione ha una
approssimazione sufficiente ci si ferma;
perché lo strumento di misura non ci permettere di
suddividere ulteriormente il campione.
Piano teorico/astratto
Dal punto di vista teorico
il procedimento ha termine se e solo se la
grandezza da misurare e il campione hanno un
sottomultiplo comune;
in altre parole, il procedimento ha termine se e solo
se la misura è espressa da un numero razionale.
Nel caso in cui il procedimento abbia termine, le due
grandezze (cioè la grandezza da misurare e il campione)
sono dette commensurabili.
ATTENZIONE: esistono coppie di grandezze per cui il
procedimento non ha termine, ad esempio
il lato e la diagonale del quadrato sono grandezze
incommensurabili.
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