Progetto LES
Sceneggiatura circuiti 2 ver. giugno2001
pag.1
La relazione corrente-tensione
Introduzione all'attività
L'attività è centrata sulla relazione corrente - tensione e si sviluppa: - analizzando la relazione esistente
tra la resistenza e la geometria di un conduttore (la geometria più semplice è quella del filo: la resistenza
di un filo conduttore dipende, dal materiale di cui è costituito il filo, dalla sua lunghezza e dalla sua
sezione); - lavorando sulla relazione resistenza - temperatura; - riflettendo sulla interpretazione
microscopica della corrente; - realizzando una pila. E' importante, nell'introdurre gli argomenti citati far
riflettere gli studenti sulla necessità di lavorare con rappresentazioni schematiche di circuiti (anche
semplici nella topologia) adoperando simboli condivisi e con analisi quantitative reinterpretando con un
formalismo più avanzato i circuiti costituiti da batterie e lampadine dell'attività precedente.
L’attività inizia analizzando le risposte alle domande della scheda studente con l'obiettivo di far emergere
le idee presenti e con l'impegno di ritornare sulle stesse risposte via via che si otterranno "evidenze" nel
corso dell'attività stessa.
CURVA CORRENTE – TENSIONE E LEGGE DI OHM.
Discussione collettiva / Elaborazione scheda
Collettivamente si affronta il problema generale della misura indiretta di una grandezza fisica. Si riprende
il tema - già affrontato nell'attività precedente - degli errori di misura legati alla sensibilità dello
strumento e si introduce il problema della propagazione degli errori che si presenta ogni qualvolta si
misura indirettamente una grandezza fisica.
Si prende in esame un semplice circuito resistivo e si presenta la formula che consentirà di calcolare
l’errore relativo associato al rapporto V/I a partire dall’errore di sensibilità associato a I (∆I) e a V (∆V):
∆(V/I ) 1
1
= ∆I + ∆V
V/I
I
V
Quando si dividono o moltiplicano due grandezze l’errore relativo nel risultato è la somma degli errori
relativi sulle singole misure1. I ragazzi rispondono alle domande della scheda studente (2.1 Cosa si
intende per misura diretta di una grandezza fisica, cosa per misura indiretta?; 2.2 Scrivi l'espressione
dell'errore relativo del prodotto e del rapporto di due grandezze fisiche.).
L’analisi degli errori relativi ha degli indubbi vantaggi poiché ci dice non solo la dimensione della
incertezza, ma anche come si deve operare per ridurla, perché risulta chiaro quale misura dà il più grande
contributo all’errore. Quindi se vogliamo un valore più preciso sappiamo quale misura deve essere
migliorata e ciò ci permette di evitare tentativi inutili per migliorare misure che invece forniscono un
contributo all’errore trascurabile.
Piccolo gruppo
I ragazzi lavorano divisi in piccoli gruppi montando sulla basetta (l’uso della basetta non è essenziale per
un circuito così semplice ma può essere opportuno iniziare a familiarizzare con la strumentazione di
laboratorio) un resistore alimentato con tensioni diverse misurando ogni volta la tensione ai suoi capi,
V
1
Se l'argomento non è stato precedentemente introdotto, si suggerisce di approfondirlo traendo indicazioni da: J. Taylor
“Introduzione all’analisi degli errori”, Zanichelli che propone un approccio graduale alla trattazione degli errori sperimentali.
Progetto LES
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pag.2
inserendo il tester in parallelo, e la corrente che fluisce in esso, inserendo il tester in serie. Se si dispone
di due tester per ciascun gruppo la misurazione diventa più agevole.
Ogni gruppo ha una resistenza di diverso valore collegata al generatore di tensione; al variare della
tensione erogata dal generatore si misurano la differenza di potenziale ai capi della resistenza e la
corrente che in essa circola2.
Nella tabella seguente riportiamo i dati raccolti da un gruppo che ha lavorato con una resistenza di valore
nominale pari a 2,1 KΩ con una tolleranza del 5% (valori calcolati con il codice dei colori)
V
V
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
∆V
V
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
∆I
mA
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
I
mA
0,6
1,1
1,6
2,1
2,6
3,0
3,5
4,0
4,5
4,9
R=V/I
kΩ
1,7
1,8
1,9
1,9
1,9
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
∆V/V
∆I/I
∆V/V+ ∆I/I
0,20
0,10
0,07
0,05
0,04
0,03
0,03
0,03
0,02
0,02
0,17
0,09
0,06
0,05
0,04
0,03
0,03
0,03
0,02
0,02
0,37
0,19
0,13
0,10
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,04
∆R
kΩ
0,6
0,3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
Nella prima colonna sono riportati i valori della tensione ai capi del resistore. Con il fondo scala scelto
(10V, che non è stato cambiato nel corso della misura anche per facilitare la lettura della tabella) l’errore
assoluto riportato nella seconda colonna è 0,2 V e da questo errore si è calcolato, nella sesta colonna,
l’errore relativo che varia dal 20% al 2%. Nella terza colonna sono riportati i valori della corrente. Con il
fondo scala scelto (5mA) l’errore assoluto, riportato nella quarta colonna è pari a 0,1 mA e l’errore
relativo, riportato nella settima colonna varia dal 17% al 2%.Nella quinta colonna sono riportati i valori
del rapporto V/I espresso in kiloohm. Nelle ultime due colonne sono calcolati rispettivamente l’errore
relativo (pari alla somma degli errori relativi su V e I e variabile dal 40% al 4%) e l’errore assoluto.
Con le scale scelte, le misure sono state effettuate con un voltmetro con una resistenza pari a 200kΩ e un
amperometro con resistenza interna pari a 64 Ω.
10,0
9,0
y = 2,085x - 0,3171
R2 = 0,9995
8,0
d.d.p. (V)
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0
1
2
3
4
5
I (mA)
2
Con il metodo che abbiamo utilizzato se la resistenza incognita ha un valore comparabile con la resistenza interna del
voltmetro il valore che si ricava dalla relazione non è corretto in quanto la corrente derivata nel voltmetro non è più
trascurabile.
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Grafico Excel con i dati della prima e terza colonna della tabella precedente.
La pendenza della retta di regressione (la cui equazione è stata calcolata con le funzioni del software) è
nei limiti degli errori sperimentali pari al valore nominale della resistenza. L’indice di correlazione
(molto vicino a 1) mostra un buon adattamento dei dati alla retta dei minimi quadrati.
Discussione collettiva / Elaborazione scheda
Dalla discussione collettiva sui dati riportati in tabella e sul loro andamento nel grafico corrente –
tensione, si giunge alla conclusione che, entro l’errore, il rapporto V/I può considerarsi costante. In altre
parole fra la tensione V e la corrente I esiste una relazione di proporzionalità diretta, cioè: V = K × I. Per
acquisire familiarità con questa formula si evocano situazioni equivalenti a loro familiari: costo = prezzo
× quantità, spazio percorso = velocità × tempo.
Alla lavagna si riportano nello stesso grafico, i dati di due gruppi che hanno lavorato con resistenze
abbastanza diverse. Si disegnano le rette che meglio approssimano l’andamento dei dati sperimentali. Si
osserva che le due rette differiscono per la diversa pendenza il che comporta che allo stesso valore della
tensione corrispondano valori diversi della corrente: in particolare maggiore è la pendenza maggiore è la
“difficoltà” delle cariche elettriche di conduzione a percorrere il circuito. Si introduce il concetto di
resistenza elettrica.
La situazione è analoga a quella che si verifica quando si pompa acqua attraverso un tubo entro il quale
sia sistemato del materiale poroso che si oppone al passaggio del liquido. In questo caso l’intensità della
corrente d’acqua aumenta con la pressione esercitata dalla pompa e con la sezione trasversale del tubo,
diminuisce con la lunghezza del tubo e dipende dalla natura e dalla quantità del materiale poroso in esso
contenuto. Si chiede di illustrare una situazione analoga a quella della corrente elettrica che
nell’attraversare un conduttore trova “resistenza”.
I ragazzi rispondono alle domande della scheda studente (a)Esiste un relazione tra la resistenza offerta
dal conduttore e il rapporto tensione - corrente?; La relazione tra la tensione V e la corrente I è di
proporzionalità diretta: V = costante ⋅ I. Descrivi una situazione, a te familiare, regolata da un'analoga
legge (y = cost ⋅ x).; Abbiamo osservato che all'aumentare del coefficiente angolare della retta V = f (I)
aumenta la resistenza, a parità di tensione erogata dal generatore. Condividi l'affermazione?; La
resistenza di un conduttore ci dà una misura della difficoltà che la corrente incontra nell'attraversarlo.
Sapresti descrivere una situazione analoga?; Riporta sotto forma di appunti sintetici i concetti fino ad
ora messi a fuoco.).
Commento
L’esperimento, semplice nella sua esecuzione, richiede una pianificazione attenta da parte dell’insegnante
nel valutare gli errori introdotti dagli strumenti di misura (resistenze interne di voltmetro e amperometro)
e quindi nel dimensionare l’esperimento per i diversi gruppi scegliendo le resistenze da misurare in
relazione a quelle interne ai due strumenti. Si consiglia quindi di leggere il manuale degli strumenti.
Metodi di misura che tengono conto degli errori sistematici sono descritti nei manuali di misure
elettriche. In rete sono disponibili dispense e schede prodotte da scuole e università. Si veda ad esempio:
Misura di una resistenza elettrica con il metodo volt-amperometrico
2. RESISTENZA DI UN CONDUTTORE LINEARE OMOGENEO DI LUNGHEZZA l E SEZIONE s.
Piccolo gruppo
Resistenza-lunghezza
Per individuare i parametri geometrici e fisici dai quali dipende la resistenza di un conduttore cilindrico si
realizza un circuito con il conduttore di lunghezza e sezione note, si alimenta il conduttore e si misurano
la tensione di alimentazione e la corrente. Per tensioni (e correnti) relativamente basse la temperatura del
conduttore non varia apprezzabilmente e all’aumentare della tensione il rapporto tra tensione e corrente è
costante e permette di misurare la resistenza del conduttore. Per la misura si può anche utilizzare il tester
come ohmetro (che con una batteria interna e quindi con una tensione nota alimenta il conduttore),
inserendolo direttamente ai capi del conduttore e quindi non utilizzando un alimentatore. In ogni caso è
bene gli studenti siano consapevoli del principio di funzionamento dell’ohmetro per cogliere il
significato della misura.
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Ciascun gruppo lavora con fili di un stesso metallo (costantana, nichel-cromo, ferro, nichel, rame, ecc.) e
l’insegnante organizza le misure in modo da poter poi disporre di tabelle e grafici che permettono di
lavorare sia con i parametri geometrici dei conduttori sia con la resistività del materiale (confrontando
collettivamente i risultati di gruppi che hanno lavorato con materiali diversi.
In commercio si trovano fili di diverse sezioni. Nell’esempio che segue mostriamo i risultati che è
possibile ottenere lavorando con fili della stessa sezione (0,5mm) di due leghe che hanno una alta
resistività e che sono relativamente semplici da trovare a causa delle numerose applicazioni:la costantana
e il nichelcromo.
lunghezza nichelcromo costantana
filo
l(m)
R1 (Ω)
R2(Ω)
0,500
2,3
1,1
1,000
5,4
2,6
2,000
11
4,7
3,000
16
7,4
4,000
22
9,2
R1 /l
(Ω/m)
4,6
5,4
5,5
5,3
5,5
R2 /l
(Ω/m)
2,2
2,6
2,4
2,5
2,3
Tabella excel della resistenza di fili di nichel-cromo e costantana della stessa sezione (0,5 mm) al variare
della lunghezza. Se due diversi gruppi di studenti hanno lavorato rispettivamente con fili di nichelcromo
e di costantana l’insegnante può poi far operare confronti guidando nella interpretazione della linearità e
della pendenza. Nelle ultime due colonne sono state calcolati i rapporti tra resistenza e lunghezza per i
due conduttori permettendo così di definire la resistenza lineare.
resistenza (ohm)
25
20
nichel-cromo
y = 5,4378x - 0,2994
15
R = 0,9938
2
10
costantana
y = 2,5037x - 0,0177
5
2
R = 0,999
0
0
1
2
3
4
lunghezza (metri)
Grafici Excel realizzati con la tabella precedente. Il nichel-cromo ha una resistività maggiore di quella
della costantana e quindi a parità di sezione la pendenza della retta dei minimi quadrati del nichel-cromo
risulta essere maggiore di quella della costantana. Le pendenze delle due rette (calcolate da Excel) sono
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espresse in ohm/metro e rappresentano la resistenza lineare (da confrontare con i dati delle ultime due
colonne della tabella precedente. L’esperienza in laboratorio può essere organizzata in diversi modi a
seconda del livello e degli obiettivi. Volendo lavorare sul modello lineare può essere ad esempio
interessante far lavorare i diversi gruppi con sezioni anche diverse. ….
Resistenza-sezione
Si passa poi alla misura, da parte di ogni gruppo, della resistenza R di fili di pari lunghezza l, diversa
però da gruppo a gruppo, ma di diametro e quindi sezione s variabile. Nella tabella seguente sono
riportati i valori della resistenza di un filo di nichel - cromo di lunghezza fissata, l = 1m al variare della
sua sezione s.
d(mm)
0,2
0,25
0,35
0,40
0,50
s(mm2)
0,031
0,049
0,096
0,126
0,196
R s (Ω mm2)
1,0
1,0
1,2
1,0
1,2
R(Ω)
33
20
12
8
6
Tabella Excel della resistenza di un filo di nichel-cromo di lunghezza l=1m al variare della sua sezione.
Nell’ultima colonna è stato calcolato il prodotto R s che nei limiti degli errori risulta costante indicando
una inversa proporzionalità. Avendo lavorato con un filo di lunghezza unitaria tale prodotto (moltiplicato
per 10-6, avendo lavorato con mm2) fornisce una stima della resistività del materiale.
40
35
resitenza (W)
30
25
20
y = 1,263x
15
-0,9331
2
R = 0,9907
10
5
0
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
sezione (mm2)
Grafico excel con i dati della tabella precedente. L’equazione della curva che interpola i dati sperimentali
con l’esponente vicino a –1, il coefficiente (moltiplicato per 10-6, avendo lavorato con mm2) vicino alla
resistività del nichelcromo e l’indice di correlazione vicino a 1 mostrano la bontà del modello di inversa
proporzionalità.
Discussione collettiva / Elaborazione scheda
Alla luce di quanto finora osservato per una puntualizzazione ed un controllo delle conoscenze acquisite
sono presenti sulla scheda studente dei quesiti sulla resistenza elettrica, sui parametri geometrici e fisici
dai quali dipende e come vi dipende (a) Osservando l'andamento grafico di R in funzione di l. A parità di
materiale e sezione la resistenza di un conduttore……… al crescere della sua lunghezza.; b) Osservando
l'andamento grafico di R in funzione di s. A parità di materiale e lunghezza la resistenza di un
inversamente. A parità di materiale la resistenza di un conduttore è……… proporzionale alla lunghezza
e…… … proporzionale alla sezione.).
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Si riportano i dati dei singoli gruppi e si analizzano assieme alla classe costruendo delle tabelle
riassuntive. Sono di seguito riportati i dati relativi ad un esperimento eseguito in aula da gruppi di
studenti con fili di nichel-cromo e di costantana.
s
l/s
R N ic-Cr R Cost R N ic-Cr/( l/s) R Cost/( l/s)
l
d
2
-6
-1
-6
[mm]
[m]
[m ⋅10 ]
[m ⋅10 ]
[Ω]
[Ω]
[Ω⋅m⋅10-6] [Ω⋅m⋅10-6]
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
0,2
0,25
0,35
0,40
0,50
0,2
0,25
0,35
0,40
0,50
0,031
0,049
0,096
0,126
0,196
0,031
0,049
0,096
0,126
0,196
31,8
20,4
10,4
8,0
5,1
63,7
40,7
20,8
15,9
10,2
33
20
12
8,1
6,0
65
41
22
17
11
15
10
6,0
4,0
2,1
32
19
11
8,0
5,0
1,0
1,0
1,2
1,0
1,2
1,0
1,0
1,1
1,1
1,1
0,5
0,5
0,6
0,5
0,4
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Tabella Excel che raccoglie dati di due gruppi che hanno lavorato con fili di 1m e 2m di nichel-cromo e
costantana con diametri (e sezioni) variabili tra 0,2 e 0,5 mm (0,031 e 0,196 mm2). Le lunghezze dei fili
sono determinati al millimetro e per i diametri ci si è attenuti ai valori nominali. I valori delle ultime due
colonne costituiscono una stima
•
•
•
R aumenta all’aumentare della lunghezza del filo. Si può osservare che la resistenza di fili di
uguale sezione e lunghezza doppia è circa il doppio. In particolare il rapporto R/l si mantiene
costante; ciò implica che la dipendenza fra R e l è di diretta proporzionalità, cioè: R ∝ l. Si osserva
che l’andamento grafico dei dati è con buona approssimazione lineare con intercetta nulla.
R diminuisce all’aumentare della sezione. Si può osservare che la resistenza di fili di uguale
lunghezza e sezione doppia è circa la metà. In particolare il prodotto R × s si mantiene costante;
ciò implica che la dipendenza fra R e s è di inversa proporzionalità, cioè R ∝ l/s. Si osserva che
l’andamento grafico dei dati è iperbolico.
Per ciascun materiale, avendo lavorato con conduttori cilindrici di sezione costante, si osserva
che, lavorando in condizioni in cui è trascurabile l’incremento di temperatura, nei limiti degli
errori sperimentali, il rapporto R/( l/s) è costante. I valori che si ritrovano costituiscono una stima
della resistività del materiale (alla temperatura in cui si è svolta l’esperienza). Calcolando la
media aritmetica di ciascuna delle due ultime colonne otteniamo:
ρnichel-cromo=1,06 Ω⋅m⋅10-6
e
ρcostantana=0,49 Ω⋅m⋅10-6
valori che risultano in buon accordo con quelli dei data-books. Ricordiamo che il nichelcromo ha
un coefficiente resistivo di temperatura dieci volte più piccolo di quello del rame e che quello della
costantana è tra i più bassi e ciò spiega come sia possibile ottenere, lavorando con molti dati in un
laboratorio, stime attendibili della resistività.
La relazione R=V/I permette di determinare la resistenza di un conduttore indipendentemente dal fatto
che il conduttore segua la legge di Ohm (cioè che R sia indipendente da V e I). Occorre sottolineare che
la legge di Ohm è una legge fenomenologia e non una delle leggi fondamentali per l’elettromagnetismo.
Ciononostante il suo campo di applicazione è molto ampio.
Spunti per un approfondimento
La dipendenza della resistenza dalla sezione s e dalla lunghezza l l’abbiamo ricavata ponendoci in
condizioni geometriche particolarmente semplici, più precisamente con fili di sezione s costante e
lunghezza l molto maggiore del diametro d. In questo caso la relazione che lega la resistenza R alle
caratteristiche geometriche del conduttore diviene particolarmente semplice: R ∝ l/s; ma l’esperienza
mostra che essa vale del tutto in generale, qualunque sia la configurazione geometrica del conduttore
ohmico considerato: essa costituisce quella che si chiama l’espressione locale della legge di Ohm.3
3
“Fisica III” V. Silvestrini – E. Balzano – C. Silvestrini, Liguori Editore
Progetto LES
Sceneggiatura circuiti 2 ver. giugno2001
pag.7
Spunti dai libri di testo
(C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II Elettromagnetismo Ottica, Liguori Editore
E. Burattini C. Sciacca, Misure elettriche e fondamenti di elettronica, Liguori editore 1990)
Un conduttore metallico può essere pensato nella maggior parte dei casi come una struttura reticolare
tridimensionale di atomi fissi con un grandissimo numero di elettroni liberi di muoversi all’interno del
conduttore e, salvo condizioni particolari, impossibilitati ad uscire dal conduttore stesso. Per avere
un’idea del numero di elettroni liberi (elettroni di condizione) presenti in un conduttore, basti pensare che
tipicamente sia dell’ordine di un elettrone libero per atomo. Ad esempio nel rame, di densità ρ = 8.9
g/cm3 e peso atomico A = 63.5 si ottiene immediatamente un valore di circa 8⋅1022 elettroni liberi per
cm3. Un conduttore, in assenza di campi elettrici esterni, può essere dunque assimilato a una scatola
contenete un gran numero di particelle praticamente puntiformi, ciascuna dotata di carica negativa (-e) = 1.6 1022 C, e libere di muoversi in una struttura rigida costituita da ioni fissi ai vertici di un reticolo. In
assenza di campi elettrici esterni, gli elettroni sono animati dalla sola agitazione termica, urtano contro gli
ioni del reticolo e sono in equilibrio termico con il reticolo stesso.
Dal punto di vista microscopico, l’azione del campo elettrico attivo internamente al conduttore è quella di
sovrapporre alla agitazione termica degli elettroni liberi un moto di deriva nella direzione del campo
elettrico. Tale moto di deriva, ordinato, avviene con velocità media vd che è molto minore della velocità
disordinata vT propria dell’agitazione termica: vd è dell’ordine delle frazioni di mm al secondo; mentre vT
è dell’ordine delle centinaia di km al secondo (per esempio vd nel caso di un filo di rame cilindrico di
raggio r = 1 mm percorso dalla corrente di 1 A è circa 2.3 10-5 m/s; mentre in un conduttore a
temperatura ambiente vT = 120 km/s). È possibile dimostrare che vd = E (-e ∆t/2m); nel caso in cui vd « vT,
∆t =∆l/ vT - con ∆l = cammino libero medio è praticamente indipendente da E.
Ë importante osservare che il fatto che la velocità di deriva degli elettroni di conduzione sia molto
piccola, non impedisce ai segnali elettrici di propagarsi nei conduttori con velocità prossima alla velocità
della luce nel vuoto. In realtà ciò che si propaga è il campo elettrico nel conduttore; all’arrivo di questo
campo inizia il moto di deriva degli elettroni di conduzione in tutti i punti del conduttore in cui il campo è
via via presente.
È possibile dare un’interpretazione microscopica della resistività elettrica in base alla quale si ha che per
ρmic vale la seguente relazione:
2 3mKT
ρ mic =
Ne 2 ∆l
dove N è il numero di portatori di carica per unità di volume
è la carica dei portatori
m è la loro massa
K è la costante di Boltzman
T è la temperatura assoluta del conduttore
∆l è il cammino libero medio dei portatori nel conduttore
Tale espressione ci fornisce le seguenti indicazioni:
a) la legge di Ohm vale solo per materiali il cui numero N di portatori di carica sia costante
(indipendente da E). In molti materiali, e in alcune condizioni di campo E, questa ipotesi non è verificata.
b) per la validità della legge di Ohm è necessario che la velocità di deriva vd sia molto minore
della velocità di agitazione termica vT. Questa ipotesi è ampiamente soddisfatta nei conduttori a
temperatura ambiente; ma a temperature molto basse possono instaurarsi regimi di conduzione
profondamente diversi (superconduttori).
c) ci aspettiamo che la resistività aumenti con la temperatura, proporzionalmente alla radice
quadrata della temperatura assoluta. Intorno alla temperatura ambiente, l’andamento di ρ con la
temperatura centigrada t, è ben descritto da uno sviluppo al primo ordine del tipo:
ρ (t) = ρ0 (1 + αt)
Progetto LES
Sceneggiatura circuiti 2 ver. giugno2001
pag.8
dove ρ0 rappresenta la resistività a 0 °C ed α è un coefficiente con le dimensioni dell’inverso della
temperatura detto coefficiente di temperatura. È da osservare che per i metalli α è positivo; al contrario
per gli elettroliti e per alcuni materiali non metallici come il carbonio, il coefficiente di temperatura è
negativo.
Lo stesso accade per i materiali appartenenti alla categoria dei semiconduttori; ciò è dovuto al fatto che in
questi materiali il numero di portatori non è indipendente dalla temperatura, ma aumenta con la
temperatura stessa via via che l’agitazione stessa trasferisce elettroni dallo legato (banda di valenza) allo
stato libero (banda di conduzione).
Sulla scheda studente sono presente alcune domande che mirano a puntualizzare la dipendenza della
resistenza da un parametro non geometrico ma legato al materiale con il quale è realizzato il conduttore, e
ad eliminare la confusione tra i concetti di resistenza e di resistività (a)Abbiamo visto che il rapporto R
/(l/s) rimane pressoché costante ma il valore numerico di tale rapporto dipende dal materiale con il
quale è realizzato il conduttore. Spiega il perché.; b)In riferimento a quanto emerso durante lo
svolgimento di questa attività sapresti definire con maggiore chiarezza il concetto di resistività di un
materiale? Che differenza c’è tra resistività e resistenza?)
A questo punto può essere utile intavolare una discussione riguardante la corrente elettrica nei metalli
come fenomeno di volume e non di superficie, vista la proporzionalità inversa della corrente con il
quadrato delle dimensioni trasversali.
3. INTERPRETAZIONE MICROSCOPICA DELLA CORRENTE ELETTRICA.
Discussione collettiva / Elaborazione scheda
Analizzando dei semplici circuiti resistivi abbiamo classificato i materiali in conduttori e isolanti rispetto
al passaggio della corrente elettrica, ma questo flusso da cosa è formato e come avviene la conduzione
all'interno di un mezzo?
Spunto per un’attività di laboratorio
Introdurremo a livello microscopico soltanto la conduzione elettrica nei solidi conduttori a struttura
cristallina, per la conduzione negli elettroliti cenni saranno fatti nel paragrafo dedicato alla realizzazione
di una pila; tutti gli altri casi, ad esempio l'interessantissimo caso riguardante i semiconduttori, potrà
essere argomento di lezione in classe e/o in laboratorio.
In un corpo solido a struttura cristallina mentre gli atomi oscillano, a causa dell'agitazione termica,
attorno ad una posizione di equilibrio, qualche elettrone per atomo si stacca dal proprio atomo di
appartenenza e diventa libero di muoversi all’interno del conduttore. Nei cavetti di un circuito aperto gli
elettroni liberi, detti di conduzione, si muovono all'interno del conduttore disordinatamente, senza una
direzione privilegiata, per effetto degli urti tra elettroni e ioni del reticolo; ma come avviene la
conduzione? Se pensiamo al cavo come ad un cilindretto di sezione costante, il numero medio di elettroni
che attraversano la sezione del cilindro nell'unità di tempo è uguale a 0.
Progetto LES
Sceneggiatura circuiti 2 ver. giugno2001
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In un circuito chiuso sottoposto ad una differenza di potenziale invece il moto medio degli elettroni si
orienta, nella direzione del conduttore, dal polo negativo verso il polo positivo del generatore. Possiamo
considerare il generatore come un dispositivo capace di orientare il moto medio degli elettroni rifornendo
continuamente di energia le cariche che circolano nel conduttore.
Chiamiamo corrente elettrica il fluire degli elettroni lungo una direzione privilegiata attraverso il
conduttore, in analogia alla corrente di un fluido in un circuito idraulico.
Alla corrente elettrica si attribuisce un verso positivo o un verso negativo che corrispondono ad un verso
di percorrenza storicamente fissato per convenzione dal morsetto + (più) al morsetto – (meno)
nell'utilizzatore; nel generatore invece si assume come positivo il verso della corrente che procede dal
morsetto – (meno) al morsetto + (più).
Discussione collettiva / Elaborazione scheda
I ragazzi rispondono alle domande presenti sulla scheda studente che mirano a far emergere le idee che,
questo breve inciso sull’interpretazione microscopica della corrente elettrica, ha fatto emergere (4.1)
Analizzando dei semplici circuiti resistivi hai classificato i materiali in isolanti e conduttori. Di questi
ultimi hai determinato la dipendenza della resistenza, a parità di materiale, da parametri quali la
lunghezza e la sezione ritrovando sperimentalmente la legge di Ohm sulla resistenza come rapporto tra
tensione e corrente. Ma la corrente elettrica da cosa è formata?; 4.2) Come avviene la conduzione
all'interno di un corpo?).
4. RESISTENZA E TEMPERATURA.
Piccolo gruppo
La corrente elettrica, moto ordinato di cariche attraverso un filo conduttore, è influenzato da vari fattori:
la tensione applicata, la resistività del conduttore, le caratteristiche geometriche del conduttore. Ma la
resistività non è costante e varia con la temperatura.
Posta inizialmente una domanda mirata a far emergere le idee dei ragazzi sulla costanza dei parametri dai
quali dipende la resistenza (5.1) La corrente elettrica che attraversa un filo è influenzata da vari
parametri quali la tensione applicata agli estremi del conduttore, la lunghezza e sezione di questo ultimo
e la resistività che caratterizza il materiale di cui è costituito il filo. Ma la resistenza di un conduttore è
un valore (fissato lunghezza, sezione e tensione) che secondo te può cambiare? E se cambia da quali altri
parametri dipende?), si passa ad indagare come varia la resistività al variare della temperatura eseguendo
delle misure di tensione e corrente per stimare la resistenza “a freddo” e “a caldo” di alcuni apparecchi la
cui temperatura varia molto durante il loro funzionamento: fornellini, lampadine.
Progetto LES
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Analizzando le misure effettuate, riportate nella tabella al punto 3 della scheda studente, si determina che
all’aumentare della temperatura aumenta la resistenza, di un conduttore (e quindi la resistività non
essendo cambiata la “geometria” (b) Commenta i dati riportati in tabella cercando di interpretare ciò che
hai osservato.).
Lampadina
Piastra
Resistenza (Ω)
a freddo
a caldo
2,4
10
7
15
Se all'interno del solido agisce un campo elettrico gli elettroni liberi acquistano una velocità, detta di
trascinamento, che è molto piccola rispetto alla velocità dovuta all'agitazione termica. Per i metalli la
resistività dipende, tra le altre grandezze, vedi Spunti dai libri di testo, dalla densità degli elettroni liberi
e da questa velocità di trascinamento. La resistività per un metallo però cresce al crescere della
temperatura perché aumenta con quest'ultima sì la velocità degli elettroni, ma quella di agitazione termica
responsabile del loro moto disordinato all'interno del solido; ed inoltre questo aumento di temperatura
determina anche un aumento del numero di elettroni di conduzione che fa crescere l'intensità di corrente
ma non in modo significativo.4
Nel grafico seguente è riportato l'andamento della resistività in funzione della temperatura di alcuni
metalli tra i quali il tungsteno (W) utilizzato per i filamenti delle lampadine ad incandescenza.
4
Misure elettriche e fondamenti di elettronica E. Brattini - C. Sciacca, Liguori Editore
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Spunti per un approfondimento.
I trasduttori resistivi
La resistenza di un conduttore o di un semiconduttore può variare per diverse cause, ad esempio perché
varia la sua temperatura o perché investito da radiazione luminosa o perché viene sottoposto a
sollecitazioni meccaniche e quindi deformato, ecc. Nel primo caso si realizzano termometri, nel secondo
fotoconduttori (o fotoresistenze), nel terzo caso estensimetri.
Termoresistenze
La resistenza R dei metalli aumenta con la temperatura T in ampi intervalli di temperatura. Metalli che
realizzano buone termoresistenze sono quelli che presentano una R(T) lineare, che hanno un elevato
coefficiente di temperatura e presentano caratteristiche di robustezza anche in fili sottili. Le
termoresistenze metalliche, ad esempio quelle al platino (al tungsteno) si caratterizzano per la notevole
riproducibilità, con errori di sensibilità anche di 0,01 °C in ampi intervalli di misura.
Termistori
I termistori sono termometri a semiconduttore. La conducibilità dei semiconduttori aumenta con la
temperatura. La relazione resistenza temperatura è non lineare (è un esponenziale decrescente). I
termistori si caratterizzano per la elevata sensibilità in ristretti intervalli di temperatura. Inseriti in
dispositivi che elaborano il segnale la trasduzione resistenza-temperatura può essere lineare anche se la
linearità viene compensata dalla diminuita sensibilità.
Fotoconduttori
I fotoconduttori sono sistemi a semiconduttore la cui resistenza diminuisce quando l’elemento sensibile è
investito da radiazione luminosa. In generale la relazione tra la potenza incidente e la resistenza è di
inversa proporzionalità. Trovano un vasto impiego nei dispositivi automatici e sono tra l’altro utilizzati
per l’accensione automatica delle illuminazioni pubbliche.
Estensimetri
Gli estensimetri sono trasduttori di deformazione. Un filo di nichelcromo, ad esempio, sottoposto a
trazione si allunga e quindi aumenta la resistenza tra due suoi estremi. Gli estensimetri possono essere
realizzati con elementi conduttori (sottili fili o fogliette di metallo) o semiconduttori(ad esempio pellicole
di silicio drogato) che vanno applicati sulle superfici in studio.
Discussione collettiva / Elaborazione scheda
durata
Si discute sui risultati dell’esperienza appena svolta ascoltando le interpretazioni dei ragazzi. Si
proiettano i grafici degli andamenti della resistività di diverse sostanze con la temperatura5. I ragazzi
rispondono alle domande della scheda studente (a) Nel seguente grafico è riportato l'andamento della
resistività del tungsteno (metallo utilizzato per la realizzazione dei filamenti delle lampadine ad
incandescenza) in funzione della temperatura. Commenta il grafico con osservazioni di carattere
qualitativo e quantitativo.; b)"All'interno di un conduttore all'aumentare della temperatura aumenta il
5
Erik Strandgaard Andersen, Paul Jespersgaard, Ove Østergaad, Data Book, Edizioni Studio Tesi
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numero di elettroni liberi ma diminuisce il flusso di corrente. "Sapresti fornire una spiegazione a questo
comportamento che sembra andare contro le premesse?).
Illustrando il modello microscopico per l'interpretazione della resistività elettrica con la temperatura si
accenna all’esistenza di materiali che presentano un andamento opposto a quello dei conduttori.
6. COSTRUIAMO UNA PILA.
Finora la pila è stata considerata come una contenitore chiuso, una scatola nera, capace di rifornire
continuamente di energia le cariche che percorrono un circuito. E' utile però, soffermandoci prima sulle
diverse accezioni del termine e sulle conoscenze, scolastiche e non, dei ragazzi (6.1) Pensa alla parola
pila nelle sue diverse accezioni e costruisci delle frasi con i diversi significati.; 6.2) Che tipi di pile
elettriche conosci? Elenca i nomi di alcune di esse.; 6.3) Sai descrivere, di almeno una, come è realizzata
e cosa accade al suo interno?) far comprendere loro come la batteria opera realizzandone delle semplici
ad acqua salata.
Per costruire una pila da circa 1 V è necessario un contenitore non metallico (ad esempio un bicchiere di
plastica) contenente acqua, aceto, candeggina, del sale disciolto, ed una varietà di materiali diversi,
conduttori e non, da utilizzare come elettrodi. Riempire il bicchiere per 3/4 di acqua, aggiungere un
cucchiaino di aceto, uno di sale e qualche goccia di candeggina. Immergere in questa soluzione due
metalli diversi stando attenti al non farli toccare tra loro. Collegare a questi due oggetti di metallo, i nostri
morsetti, del cavo; ecco realizzata una batteria di bassa potenza.
Se si chiude il circuito su di un amperometro si può rilevare il passaggio di corrente, la pila fatta in casa
funziona.
I ragazzi rispondono alle domande della scheda studente (a)Chiudi la pila casalinga su di un
amperometro, passa corrente?; b) Cosa accade al suo interno?; c) Al variare dei metalli che formano gli
elettrodi cambia l'intensità della corrente che attraversa il circuito? ).
Ma cosa accade all'interno della pila, perché eroga tensione? Nell'acqua le molecole di sale (NaCl) si
spaccano in ioni di sodio carichi positivamente (Na+) e ioni di cloro carichi negativamente(Cl-), anche
una parte delle molecole di acqua subiscono la stessa sorte rompendosi in ioni H+ e OH-. Se utilizziamo
dell'alluminio per realizzare uno dei due elettrodi le cariche negative in eccesso si depositano su di esso,
mentre gli ioni positivi, utilizzando del rame per l'altro elettrodo, andranno su questo ultimo. Chiudendo
il circuito con un filo conduttore esterno alla pila a causa della mutua repulsione degli elettroni si ha un
flusso di questi ultimi lungo il cavo dall'elettrodo di alluminio verso l'elettrodo di rame. Quando gli
elettroni in sovrannumero raggiungono l'elettrodo di rame neutralizzano gli ioni Na+ rendendo così
possibile il perpetrarsi del flusso di ioni nella soluzione con la conseguente reazione chimica
sull'elettrodo di alluminio. Quindi la batteria spinge gli elettroni attraverso il filo del circuito come una
pompa. L'energia che permette alla batteria di pompare gli elettroni lungo il filo è energia elettrica della
batteria rilasciata a causa della reazione chimica che avviene al suo interno. La pila si esaurisce quando i
suoi componenti si sono interamente trasformati nei prodotti della reazione.
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Spunti dai libri di testo
“Fisica” H.C.Ohanian, Editore Zanichelli
L’elettrolita presente in una batteria ha sempre una certa resistenza, la quale determina una caduta di
potenziale ancora prima che la corrente esca dal morsetto esterno della batteria. La forza elettromotrice
nominale f scritta sull’etichetta di una batteria si riferisce alla differenza di potenziale fra i morsetti
quando non fluisce corrente; questa differenza di potenziale è detta “tensione a circuito aperto”. Si può
considerare che la resistenza interna r della batteria sia collegata in serie con la f.e.m. f.
Quando fluisce una corrente di intensità I la tensione cade di ∆V = - I r ai capi della resistenza interna e
quindi la tensione restante ai morsetti esterni della batteria sarà f - I r . La resistenza interna di una buona
batteria è però piccola e quindi può essere trascurata.
La forza elettromotrice f di un generatore è pari alla differenza di potenziale ∆V presente ai suoi morsetti
quando esso è aperto (quando in esso circola alcuna corrente). Questa costituisce una definizione
operativa di f (cioè indica un modo concreto per misurarla); mentre il significato fisico di f , lo
ricordiamo, è il lavoro che il generatore compie sulla carica unitaria che l’attraversa.
Una volta misurato f tramite ∆VI=0 = f sappiamo come varia la differenza di potenziale ∆V ai capi del
generatore al variare della corrente che in esso circola (caratteristica corrente – tensione del generatore
ohmico). Naturalmente, la differenza di potenziale ∆V presente ai capi del generatore è univocamente
determinata solo conosciamo la corrente I da esso erogata; e questa dipende a sua volta , da quale sia il
circuito esterno che viene alimentato dal generatore.
I ragazzi rispondono alle domande della scheda studente che mirano a riepilogare i concetti costruiti
gradualmente, durante questi due incontri del percorso su I Circuiti, partendo dalle loro percezioni e idee,
attraverso discussioni collettive ed esperienze (a)Nell'analizzare l'esperimento sono stati introdotti alcuni
concetti. Riportali sotto forma di appunti.; b)Una pila ha una resistenza interna. Come si può
misurarla?).
BIBLIOGRAFIA
“Introduzione all’analisi degli errori” J. Taylor, Editore Zanichelli
“Misure elettriche e fondamenti di elettronica” E. Brattini - C. Sciacca, Liguori Editore
“Data Book” E. Strandgaard Andersen, P. Jespersgaard, O. Østergaad , Edizioni Studio Tesi
Progetto LES
Sceneggiatura circuiti 2 ver. giugno2001
“Fisica II Elettromagnetismo Ottica” C. Mencuccini - V. Silvestrini, Liguori Editore
“Fisica” H.C.Ohanian, Editore Zanichelli
“Fisica III” V. Silvestrini – E. Balzano – C. Silvestrini , Liguori Editore
" Exploring Electricity" una pubblicazione dell'Exploratorium di San Francisco
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