Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 16 novembre 2011
Osserviamo che il test di primalità di Fermat ha complessità polinomiale di ordine O(x3) se x=L(n):
infatti tratta di calcolare il mcd(a,n) con l’algoritmo Euclideo e la riduzione an-1modn con
l’algoritmo dell’esponenziazione modulare (entrambi di complessità di ordine O(x3)).
Un numero composto n supera (erroneamente) il test quando nello stesso tempo:
- d=mcd(a,n)=1 (ossia se la base casuale a è un numero coprimo con n)
- si ha y=an-1modn=1.
Un input composto n che superi il test di Fermat relativamente alla scelta della base a è detto
pseudoprimo nella base a (perché n “finge” di essere primo, superando il test per quella particolare
scelta di a): per quanto osservato sopra ciò equivale ad affermare che contemporaneamente:
mcd(a,n)=1, an-1modn=1 (sempre con 1 a n-1)
In effetti però affinché un n>1 composto sia pseudoprimo nella base a (con 1 a n-1) basta che
sia an-1modn=1: infatti se ciò è vero allora certamente mcd(a,n)=1 (se per assurdo d= mcd(a,n)>1,
scelto un divisore primo p di d si avrebbe p an-1, p n da cui la contraddizione p 1, tenendo conto
che an-1 1 (mod n)).
Esempio.
Si consideri il numero composto n=341=1131.
Si ha 2340mod341=1 (come già calcolato nell’esempio di applicazione dell’esponenziazione
modulare). Dunque n=341 é pseudoprimo nella base a=2, e supera (erroneamente) il test di Fermat
per tale scelta di a.
Ma con l’esponenziazione modulare si ottiene anche (dopo avere fatto i dovuti calcoli):
3340mod341=561,
Dunque n=341 non è pseudoprimo nella base a=3, e in tale base non supera il test, rivelando di
essere in effetti composto .
Calcoliamo ora un maggiorante per la probabilità che un numero composto n superi il test di
Fermat.
Il numero dei valori possibili per la scelta dell’elemento casuale a nel test è (n-1); vediamo come
possiamo valutare il numero dei valori a per i quali il test è superato, cioè il numero delle possibili
basi in cui l’input n è pseudoprimo:
Teorema.
Sia n un numero naturale composto >1, e supponiamo che esista almeno un numero naturale b, con
1 b n-1, mcd(b,n)=1, tale che bn-1modn1 (notiamo che in tale base n non è pseudoprimo).
Allora il numero delle basi a in cui n è pseudoprimo è (n)/2.
Di questo Teorema daremo in seguito la dimostrazione: prima osserviamo alcune sue conseguenze.
Se n è un naturale composto, e se soddisfa le ipotesi del Teorema precedente, la probabilità che n
superi il test di Fermat (per una scelta casuale della base a) è 1/2. Infatti il numero delle basi a
(comprese fra 1 ed n-1) in cui n è pseudoprimo (cioè supera il test) è (n)/2 (n-1)/2, e la
probabilità che a sia scelto casualmente fra questi valori è allora [(n-1)/2]/(n-1)=1/2.
Ripetendo k volte il test, ogni volta con una scelta casuale indipendente del valore della base a, la
probabilità che un numero composto (che verifica le ipotesi del Teorema) superi tutte le k volte il
test di Fermat è 1/2k, quindi tale probabilità può essere resa piccola a piacere (per k
sufficientemente grande).
Per esempio se k=100 tale probabilità è 1/21001/1030 .
Dunque se l’input n supera k volte il test di Fermat, con k abbastanza grande, possiamo affermare
che n è primo, con una probabilità di errore molto bassa, eccetto che nel caso in cui n sia un
numero composto che non soddisfa le ipotesi del Teorema precedente.
Problema: cosa avviene di tale probabilità di errore nel caso in cui il numero naturale n composto
dato in input non soddisfa le ipotesi del Teorema precedente ? Esistono tali numeri n ?
Per un naturale n composto che non soddisfa le ipotesi del Teorema precedente si ha che per ogni
intero a tale che 1 a n-1, e tale che mcd(a,n)=1, si ha sempre an-1modn=1 (quindi in tutte queste
basi n è pseudoprimo). Dunque il numero delle basi a in cui n è pseudoprimo é =(n).
Si deduce che, per un tale n, la probabilità che n superi il test è =(n)/(n-1) , e se usiamo la formula
per calcolare (n) conoscendo la fattorizzazione di n in potenze di fattori primi distinti p1,p2,…,pr:
(n) = n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pr)
otteniamo che tale probabilità è :
(n)/(n-1) (n)/n =(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pr)
Se i fattori primi pi sono molto “grandi”, tale probabilità è molto vicina ad 1, quindi molto alta:
sottoponendo un tale input n al test di Fermat anche un numero molto grande di volte, è molto
probabile che superi sempre il test.
Definizione. Un numero naturale composto n che soddisfa la condizione:
per ogni intero a tale che 1 a n-1, e tale che mcd(a,n)=1, si ha sempre an-1modn=1
è detto numero di Carmichael.
Esempio: Un numero di Carmichael molto grande è n=225.593.397.919 (si dimostra che è di
Carmichael con il Teorema di Korselt che vedremo in seguito): la sua decomposizione in fattori
primi è 2207661915443 . Per tale input n la probabilità che n superi il test di Fermat è circa:
(1-1/2207)(1-1/6619)(1-1/15443) 0,99933 (molto vicina al 100%).
Diamo ora la dimostrazione del Teorema enunciato sopra:
Dimostrazione: Sia S = {aN / 1 a n-1, an-1modn=1} l’insieme delle basi in cui n è
pseudoprimo, e sia b come nell’enunciato. Ricordiamo, come osservato prima, che se aS si ha
certamente mcd(a,n)=1 , quindi [a],[b] Zn*, ed anche [a][b]=[ab] Zn*.
Al variare di aS, consideriamo l’insieme T delle riduzioni modulo n dei prodotti ab:
T = { (ab)modn / aS }.
Tali elementi in T, al variare di aS, sono distinti: infatti se per assurdo (ab)modn=(cb)modn con
a,cS distinti, si avrebbe nel gruppo moltiplicativo Zn* [a][b]=[c][b], e per la legge di
cancellazione [a]=[c], contraddizione perché a,c sono distinti e compresi fra 1 ed (n-1), quindi le
classi di congruenza [a],[c] sono distinte. Dunque S, T hanno stessa cardinalità.
Gli elementi di T sono coprimi con n : se t=(ab)modnT, si ha [t]= [ab] Zn* (come osservato
sopra).
Inoltre gli elementi di T sono nell’intervallo [1,n-1] (sono non nulli perché sono riduzioni modulo n
di numeri coprimi con n, quindi di numeri che non sono multipli di n).
Infine per ogni t=(ab)modnT, si ha tn-1an-1bn-1bn-1 (mod n) quindi tn-1modn=bn-1modn1, ossia
tS.
Dunque S,T sono insiemi disgiunti della stessa cardinalità, entrambi contenuti nell’insieme dei
numeri naturali dell’intervallo [1,n-1] coprimi con n: si conclude che la cardinalità di S è della
metà del numero di questi numeri naturali cioè è (n)/2, come si voleva dimostrare.
Il matematico Korselt ha caratterizzato i numeri di Carmichael:
Teorema di Korselt.
Un numero naturale composto n è un numero di Carmichael n è prodotto di primi distinti, e per
ogni fattore primo p di n si ha (p-1)(n-1) .
Dimostrazione.
() Per ipotesi n=p1p2….pr , con pi primi distinti tali che (pi-1)(n-1) per ogni i .
La tesi è che per ogni a intero tale che 1 a n-1, mcd(a,n)=1, si ha an-1modn=1 ossia:
an-11 (mod n).
Essendo a,n coprimi, nessun pi è divisore di a, quindi, per il Piccolo Teorema di Fermat:
a pi 1 1 (mod pi)
Se n-1=k(pi-1) si ha an-1= a k(p i 1) 1k=1 (mod pi ), per ogni i=1,….,r .
Ogni pi è divisore di an-1-1, e poiché i pi (primi distinti) sono a 2 a 2 coprimi, il loro prodotto n è
divisore di an-1-1 e si ha la tesi.
() (omettiamo questa parte della dimostrazione, che si basa sulla teoria delle “radici primitive
modulo n”).
Possiamo notare che un numero di Carmichael n è prodotto di almeno 3 fattori primi distinti: se per
assurdo fosse n=pq, con p,q primi distinti, per esempio con p<q, per il Teorema di Korselt si
avrebbe (q-1)(n-1), da cui n-1=pq-1=(q-1)t, con t naturale, (p-1)=(q-1)(t-p), p-1 q-1, p q,
contraddizione.
Il più piccolo numero di Carmichael è n=561 la cui decomposizione in fattori primi è 31117 (e
infatti 2, 20, 16 sono divisori di n-1=560).
Un esempio di numero di Carmichael molto grande (già citato) è n=225.593.397.919 la cui
decomposizione in fattori primi è 2207661915443 (si verifica che 2207, 6619, 15443 sono primi e
che 2207-1, 6619-1, 15443-1 sono divisori di n-1).
Empiricamente si è verificato che i numeri di Carmichael sono abbastanza “rari”: quelli < 25109
sono “soltanto” in numero di 2.163: questo è un fatto positivo, perché la probabilità che l’input n
del test di Fermat sia un numero di Carmichael è relativamente bassa.
D’altra parte è stato dimostrato (1992) che i numeri di Carmichael sono infiniti, e questo è un fatto
negativo, perché per quanto grande sia l’input n del test di Fermat, esiste sempre la possibilità che
sia un numero di Carmichael.
La possibilità di imbattersi in un numero di Carmichael rende il test di Fermat non molto affidabile,
ma si è osservato che nessun naturale composto x3,41014 è pseudoprimo contemporaneamente in
tutte le seguenti basi: 2,3,5,7,11,13,17 (i primi 7 numeri primi); dunque si può trasformare il test di
Fermat in un test di primalità deterministico “efficiente” (valido però solo per un input 3,41014)
eliminando la scelta casuale della base a, e ripetendo invece il test esattamente 7 volte, una per
ognuna delle basi elencate (la complessità resta ovviamente O(x3) se x=L(n)).
Radici primitive modulo n
Torniamo al caso di un gruppo commutativo finito G di cardinalità n, e di un elemento aG di
periodo k=ord(a) (dunque k è il minimo esponente intero positivo tale che ak=1G). Sappiamo allora
che l’insieme delle potenze di base a ad esponente intero 0 è formato dalle k potenze distinte con
esponente i=0,1,2,….,k-1:
a0=1G, a1=a, a2,……, ak-1
Inoltre per ogni esponente intero h0 si ha: ah=1G k=ord(a) è divisore di h.
Infine per ogni coppia di esponenti interi h,s 0 si ha: ah=as hs (mod k).
Ricordiamo anche che il periodo k=ord(a) è sempre divisore della cardinalità n di G.
Se le potenze distinte di base a esauriscono tutti gli elementi del gruppo G, si dice che G è gruppo
ciclico generato da a e l’elemento a è detto generatore di G: in questo caso ogni elemento di G
sarà una potenza di base a ad esponente intero 0 e k-1 (dove k=ord(a)), e la cardinalità di G
coinciderà con il periodo k del generatore a.
Per verificare se un gruppo G commutativo finito di cardinalità n è ciclico basta dunque verificare
l’esistenza di almeno un elemento aG di periodo uguale ad n: infatti, se un tale a esiste, l’insieme
delle potenze distinte di base a ha cardinalità n, dunque necessariamente coincide con G.
Esempio:
Nel gruppo moltiplicativo Z5*= {[1], [2], [3], [4]} degli elementi invertibili di Z5, cioè delle classi
di congruenza modulo 5 con rappresentante coprimo con 5, il periodo dell’elemento a=[2] è 4 (in
quanto [2] 2=[4], [2] 3=[8]=[3], [2] 4=[16]=[1]=elemento neutro), dunque coincide con la
cardinalità di Z5*. Si conclude che Z5* è gruppo ciclico con generatore [2].
Nel gruppo moltiplicativo Z8*= {[1], [3], [5], [7]} degli elementi invertibili di Z8, cioè delle classi
di congruenza modulo 8 con rappresentante coprimo con 8, si verifica che nessun elemento ha
periodo uguale alla cardinalità 4 di Z8* (il quadrato di ogni elemento al quadrato coincide con
l’elemento neutro), dunque Z8* non è gruppo ciclico.
Vedremo in seguito (Teorema di Gauss) per quali valori di n il gruppo moltiplicativo Zn* è ciclico.
Se il gruppo moltiplicativo Zn* (degli elementi invertibili di Zn) è ciclico per un certo valore di n,
chiameremo radice primitiva modulo n ogni intero a tale che 1 a n-1, a,n sono coprimi e tale
che [a] Zn* sia un generatore del gruppo ciclico Zn* (quindi le radici primitive modulo n sono in
numero uguale a quello dei generatori di Zn*). Per esempio, come visto sopra, 2 è una radice
primitiva modulo 5, ma non esistono radici primitive modulo 8.
Se a è una radice primitiva modulo n, in Zn* l’elemento [a] ha periodo uguale a (n) (funzione di
Eulero di n) perché (n) è la cardinalità di Zn*, e le potenze di [a] con esponenti 0,1,….., (n)-1
esauriscono tutti gli elementi di Zn*: dunque le riduzioni modulo n delle potenze di a con esponenti
0,1,….., (n)-1 esauriscono tutti i numeri naturali x<n che sono coprimi con n.
Gauss trovò tutti e soli i valori n>1 per i quali il gruppo moltiplicativo Zn* è ciclico (e per i quali
dunque esiste qualche radice primitiva modulo n):
Teorema di Gauss.
Dato un naturale n>1:
il gruppo moltiplicativo Zn* è ciclico n é uno dei seguenti valori: 2, 4, pk (con p primo >2 , k>0),
2pk (con p primo >2 , k>0).
(poiché la dimostrazione generale di tale risultato è molto complessa, dimostreremo in seguito solo i
casi particolari di p e p2, con p primo).
