funzioni logaritmiche

FUNZIONI LOGARITMICHE
La funzione f: R→R+ dove f(x) = bx b>0, b≠1, è
invertibile. La funzione inversa si chiama logaritmo in
base b logb : R+ →R , essendo la funzione inversa si ha
(bx )
logbx
logb
=x
b
=x
In particolare
logb 1 = logb (b0 ) = 0
logb b = logb (b1 ) = 1
Il grafico della funzione inversa si ottiene da f mediante
una simmetria rispetto alla retta y=x.
FUNZIONI LOGARITMICHE, base >1
FUNZIONI LOGARITMICHE, base <1
FUNZIONI LOGARITMICHE
Proprietà delle funzioni logaritmiche:
Se b>1, logb è strettamente crescente, negativa
nell’intervallo (0, 1), positiva in (1, +∞)
limx→+∞ logb x = +∞
limx→0 + logb x = − ∞
Se b<1, logb è strettamente decrescente, positiva
nell’intervallo (0, 1), negativa in (1, +∞)
limx→+∞ logb x = −∞
limx→0 + logb x = + ∞
FUNZIONI LOGARITMICHE
FUNZIONI LOGARITMICHE
FUNZIONI LOGARITMICHE
Proprietà delle funzioni logaritmiche:
Dall’identità bx by = bx+y si ottiene
logb (bx by ) = logb (bx+y ) = x+y
Poniamo c = bx e d = by allora x= logbc
Per ogni c, d > 0 si ha
logb (c·d) = logbc + logbd
, y= logbd
FUNZIONI LOGARITMICHE
In particolare, se c=d
logb (c2 ) = 2logbc
In generale, si ha logb (cn ) = n·logbc
Essendo 0=logb1 = logb(c·1/c) = logbc + logb1/c
da cui otteniamo
logb1/c = − logbc
Per ogni c, d > 0 si ha
logb(c/d) =logb(c·1/d) = logbc − logbd
FUNZIONI LOGARITMICHE
Dati b,c >0 possiamo scrivere c=blogbc e quindi
cx = b(logbc)x
per ogni x ∈R
quindi
ogni potenza in una data base c può essere scritta
nella forma bkx , dove k = logbc
Applichiamo ad ambo i membri logc ed otteniamo
(*)
logbcx = (logbc)x
FUNZIONI LOGARITMICHE
Vediamo come ottenere il cambiamento di base nei
logaritmi
Possiamo scrivere
x = blogb x
Applichiamo all’identità logc
logc x = logc( blogb x )
da cui, per la proprietà (*)
(vedi slide precedente)
logc x = logc b · logb x
ed infine
logbx = logcx / logcb
FUNZIONI LOGARITMICHE
La relazione logbx = logcx / logcb ci dice che tutti i
logaritmi sono multipli di una stessa funzione, quindi è
sufficiente fissare una base e lavorare con quella.
In ambito matematico viene prevalentemente utilizzata
la base e (costante di Nepero) e si indica semplicemente
log oppure ln, viene anche detto logaritmo naturale.
In ambito applicativo la base più comune è 10, si indica
con Log, viene anche detto logaritmo decimale.
FUNZIONI LOGARITMICHE
Il logaritmo in base 10 funziona molto bene per numeri
scritti in notazione scientifica infatti se x= a·10b con
1≤ a<10 e b∈N , si ha
Logx = Loga + b
Loga è la mantissa di Logx e b è la caratteristica di
Logx
FUNZIONI LOGARITMICHE
Torniamo ai batteri, indichiamo con N0 il numero di
batteri all’inizio delle nostre osservazioni.
Abbiamo visto che se supponiamo uno sdoppiamento
sincrono si ha la relazione Nk = N02k che ci dice quanti
batteri avremo al tempo k. Ci poniamo il problema di
determinare quanto tempo ci vorrà affinchè la
popolazione diventi circa 100 volte il numero iniziale.
Vale dire determinare k tale che
N02k = 100 N0 da cui 2k = 100
Per ricavare k, applichiamo ad ambo i membri Log
kLog2 =2, dunque k=2/Log2 k ≈ 7
FUNZIONI LOGARITMICHE
Nel caso di sdoppiamento asincrono, abbiamo visto che
la popolazione batterica cresce secondo la legge
N(t) = (1+q)t N0
Quanto tempo impiega per diventare circa 100 volte la
popolazione iniziale?
Si deve determinare t tale che (1+q)t N0=100 N0
Applichiamo Log e troviamo tLog(1+q) = 2, da cui
t=2/Log(1+q)
Se q = 20% risulta t ≈ 25.26
FUNZIONI LOGARITMICHE
Ricordate il problema del farmaco somministrato e del
tempo di coagulo? (Vedi esercitaz8). Avevamo indicato
con X la quantità di farmaco somministrata (misurata in
mg) e con Y il tempo di coagulo (in minuti). Ci
domandavamo se fosse ragionevole ipotizzare una legge
a potenza Y=cXp
Come potremmo ricondurci ad una analisi di regressione
“lineare”?
Applicando il log alla relazione Y=cXp otteniamo
logY = logc + plogX
FUNZIONI LOGARITMICHE
logY = logc + p·logX
Dunque prendendo i log dei dati possiamo condurre una
analisi di regressione lineare determinando la retta di
regressione z=mw + q, dove z=logY, w=logX
Il coefficiente angolare m sarà determinato nell’analisi
di regressione da m= Cov(w,z)/Var(w), mentre
q =z* -mw*, dalla conoscenza di q ed m possiamo
stimare i valori c e p della legge a potenza, infatti
m=p e q=logc, quindi c=eq.
A te i calcoli, basandoti sulla tabella seguente:
FUNZIONI LOGARITMICHE
Y
33.1
2.0
11.2
4.0
1.6
5.1
1.9
7.2
1.8
9.1
15.3
3.2
y*
7.96
lnX
4.39
3.04
4.22
3.55
2.7
3.7
2.94
3.88
2.86
4.05
4.28
3.38
lnx*
3.58
(lnX)2
19.27
9.24
17.8
12.6
7.29
13.69
8.64
15.05
8.18
16.4
18.32
11.42
(lnx)2*
13.16
X2
6561
441
4624
1225
225
1640.25
361
2352.25
306.25
3306.25
5184
870.25
x2*
2258.02
lnXlnY
15.36
2.10
10.21
4.93
1.27
6.03
1.88
7.64
1.69
8.95
11.68
3.92
lnxlny)*
6.31
Y2
1095.61
4.0
125.44
16.0
2.56
26.01
3.61
51.84
3.24
82.81
234.09
10.24
y2*
137.95
XY
2681.1
42.0
761.6
140.0
24.0
206.55
36.1
349.2
31.5
523.25
1101.6
94.4
(xy)*
499.275
lnY
3.50
0.69
2.42
1.39
0.47
1.63
0.64
1.97
0.59
2.21
2.73
1.16
lny*
1.62
(lnY)2
12.25
0.48
5.86
1.93
0.22
2.66
0.41
3.88
0.35
4.88
7.45
1.35
(lny)2*
3.48
FUNZIONI LOGARITMICHE
E se avessimo ipotizzato una legge esponenziale, vale a
dire una legge del tipo Y=cekx ?