Un elenco di esercizi per il corso Matematica
docente: Alberto Dolcetti
Ricevo molti messaggi di posta elettronica che suggeriscono varie soluzioni per gli esercizi
proposti. Questo non mi dispiace perchè mostra interesse per il corso. Purtroppo, data
la mole, non mi è possibile prendere in considerazione tutte le soluzioni. D'altra parte
molti messaggi si limitano a proporre delle soluzioni per gli esercizi numerici e a chiedere
se vanno bene. Molto spesso si tratta di veriche alla portata di tutti ottenibili per
confronto diretto con i dati degli esercizi. In caso di incertezza (ma non solo) può essere
istruttivo confrontarsi con qualche collega del corso (oltre che con me, durante l'orario di
ricevimento studenti). Inne il processo (il metodo) é per molti versi più importante del
prodotto (il risultato), semplicando un po': un esercizio condotto con un buon metodo,
ma sbagliato (per futili motivi) nel risultato è largamente preferibile ad una soluzione
numericamente esatta, ma ottenuta per caso con metodi scorretti. Invito a (ri-)leggere
quanto aermato nella sezione Qualche consiglio per lo studio..
• Scrivere la tavola di verità delle proposizioni:
a) ¬P ∨ (P ∧ Q)
b) P ∧ ¬(P ∨ Q)
c) R ∨ ¬R
d) S ∧ ¬S
e) (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)
f) (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q)
g) P ∨ (¬P ∨ Q)
h) P ∧ (¬P ∧ Q)
i) ¬(A ∧ B) ∨ A
j) ¬(¬(A ∧ B) ∨ A)
k) (P ∧ ¬Q) ∨ ¬(P ∧ ¬Q)
l) ¬((P ∧ ¬Q) ∨ ¬(P ∧ ¬Q))
m) P → (Q ∧ ¬P )
n) ¬P → ¬(Q ∨ P )
o) (Q ∧ ¬P ) ↔ (¬Q ∨ P )
p) ¬(P ∨ Q) → ¬Q
q) ¬(P → Q) ∨ (Q → P )
r) ¬(P ↔ Q) ∨ (Q → P )
• Mostrare che le seguenti coppie di proposizioni sono logicamente equivalenti
a) ¬(P ∨ Q), ¬P ∧ ¬Q
b) ¬(P ∧ Q), ¬P ∨ ¬Q
(le precedenti sono note come leggi di De Morgan).
c) P → Q, ¬Q → ¬P
1
• Quando la proposizione (P ∧ Q) ∨ ¬Q è vera, che cosa si può dire di P?
Ossia P può essere solo vera, oppure solo falsa, oppure sia vera che
falsa?
(Suggerimento si scriva, ad esempio, la tavola di verità della proposizione,
si considerino i casi in cui questa è vera e si guardi ai corrispondenti valori
di P . Si prcerchi, se possibile, anche di risolvere l'esercizio senza scrivere
esplicitamente la tavola di verità.
• Dati un insieme arbitrario U e due suoi sottoinsiemi qualsiasi X, Y ⊆
U , mostrare che valgono le seguenti uguaglianze (leggi di De Morgan):
a) U \ (X ∪ Y ) = (U \ X) ∩ (U \ Y )
b) U \ (X ∩ Y ) = (U \ X) ∪ (U \ Y )
• In ciascuna delle situazioni indicate di seguito
determinare esplicitamente lo spazio degli eventi S e i sottoinsiemi
A, B corrispondenti;
determinare i loro complementari S \ A, S \ B ed enunciare gli eventi
corrispondenti;
determinare unione e intersezione A∪B , A∩B ed enunciare gli eventi
corrispondenti;
inne vericare le formule insiemistiche n(A) + n(S \ A) = n(S),
n(B) + n(S \ B) = n(S), n(A ∪ B) + n(A ∩ B) = n(A) + n(B) e
quelle probabilistiche p(A) + p(S \ A) = 1, p(B) + p(S \ B) = 1 e
p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B).
1) Lancio di un dado (non truccato) con
A corrispondente all'evento: esce un numero compreso fra 4 e 6
B corrispondente all'evento: esce un numero pari.
2) Estrazione di una pallina da un'urna contenente palline numerate
da 0 a 20 con
A corrispondente all'evento: esce un numero compreso fra 10 e 20
B corrispondente all'evento: esce un numero dispari.
2
• Date 12 palline bianche indistinguibili al tatto, è possibile, aggiungendo
solo delle palline rosse, ottenere un'urna tale che la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 34 ?
• Date 12 palline bianche indistinguibili al tatto, è possibile, aggiungendo
solo delle palline rosse, ottenere un'urna tale che la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 43 ?
• Date 12 palline bianche indistinguibili al tatto, è possibile, aggiungendo
solo delle palline rosse, ottenere un'urna tale che la probabilità di estrarre una pallina rossa sia 34 ?
• Date 12 palline bianche indistinguibili al tatto, è possibile, aggiungendo
solo delle palline rosse, ottenere un'urna tale che la probabilità di estrarre una pallina rossa sia 27 ?
• Un'urna contiene: 35 palline bianche e 9 rosse indistinguibili al tatto.
Modicando eventualmente solo il numero delle palline bianche è possibile ottenere un'urna con la proprietà che la probabilità di estrazione
di una pallina rossa sia uguale a 3/5 ?
• Un'urna contiene: 35 palline bianche e 10 rosse indistinguibili al tatto.
Modicando eventualmente solo il numero delle palline bianche è possibile ottenere un'urna con la proprietà che la probabilità di estrazione
di una pallina rossa sia uguale a 3/5 ?
• Il problema alle pagine 1920 di [Sciolis Marino] ha creato in diversi
casi qualche dicoltà prevalentemente a livello di visualizzazione della
situazione geometrica. Si provi sulla falsariga di quello a risolvere prima
un problema più semplice, prendendo per esempio un cubo tagliato in
27 o in 64 cubetti.
• Un'urna contiene 6 palline rosse e 7 verdi indistinguibili al tatto. Distinguendo i due casi in cui le estrazioni avvengano con o senza reimbussolamento, determinare la probabilità che
in due successive estrazioni escano nell'ordine
a) due palline rosse
3
b) due palline verdi
c) prima una pallina rossa e poi una verde
d) prima una pallina verde e poi una rossa
e che in tre successive estrazioni escano nell'ordine
f) prima due palline rosse e poi una verde
g) prima due palline verdi e poi una rossa
h) prima una pallina rossa e poi una verde e inne di nuovo una rossa
i) prima una pallina verde e poi due rosse
• Per ciascuna delle seguenti coppie di frazioni trovare quella più grande
e scrivere esplicitamente almeno una frazione compresa fra le due:
5
3
−4
−5
c.
e.
2 4
,
5 5
2
4
, − −5
5
f.
2
, − 45
5
2 −4
, 5
5
h.
8 7
,
9 8
i.
10 11
,
11 12
d.
2
,
3
2
,
5
e.
5 2
,
7 3
j.
n−1
n
, n+1
,
n
a.
b.
dove n è un artitrario numero naturale ≥ 1.
• Svolgere in colonna le seguenti operazioni e argomentare i procedimenti
svolti ricorrendo alle proprietà formali delle operazioni:
a. 1234 + 8741 =
b. 3568 + 2513 =
c. 4794 + 5464 =
d. 143 − 111 =
e. 132 − 29 =
f. 154 − 69 =
g. 237 × 23 =
h. 324 × 221 =
i. 111 × 11 =
j. 111111 × 11 =
k. 1...1
| {z } ×11 =
l. 1111 × 1111 =
32 volte
m. 111111 × 111111 =
n. 1...1
| {z } × 1...1
| {z } =
9 volte
9 volte
o. 1...1
| {z } × 1...1
| {z } =
10 volte
10 volte
• Calcolare (−1)2 , (−1)3 , (−1)4 , (−1)5 , (−1)n , dove n è un numero intero
positivo.
• Se a è un numero relativo intero o razionale arbitrario, è possibile collocare in ordine crescente 0, a, −a? E invece 0, |a|, −|a|?
4
• Riscrivere in ordine crescente le seguenti successioni di numeri:
a. 5; | − 5|; 0; 1; −| − 5|; −1; |5|; | − 5|; −1; −2; 2
b. 34 ; | − 43 |; 0; 1; −| −3
|; −1; − 34 ;
4
3
;
−4
| − 43 |; 43 ; | − 34 |; −| −4
|; − 34 ;
3
4
;
−3
| − 34 |; 2; −2
• Stabilire quali fra le seguenti coppie di frazioni sono equivalenti:
a.
374
, 587 ;
1683 2601
b.
455 552
,
;
364 460
c.
1848 2079
,
;
2079 1848
d.
374
,
1683
587
− 2601
; e. − 3465
, − 3432
3360
3328
• Dimostrare che sono irrazionali tutti i numeri seguenti (si veda anche
Radice di 2 non è razionale, in Esercizi suggeriti e note del docente,
alla Bibliograa del corso):
√
√
√
√
a. 8
b. 18
c. 32
d. 2t2 , con t numero naturale arbitrario t ≥ 1
√
√
√
√
e. 12
f. 27
g. 48
h. 3t2 , con t numero naturale arbitrario t ≥ 1
• Trovare una sviluppo decimale per ciascuno dei seguenti numeri razionali
a. 32
b. 32 c. 14
d. 17
e. 69
f. 23
g. 32
h. 14
i. 17
2
2
k.
35
140
l.
39
75
m.
14
42
n.
256
512
o.
6435
57915
p.
121
1331
q.
143
1573
r.
1
2
s.
1
7
• Dimostrare che se a è un numero naturale divisibile per 5 e b è un
numero naturale divisibile per 7, allora il prodotto a × b è divisibile per
35.
• Dimostrare che la somma di tre numeri naturali consecutivi qualsiasi è
divisibile per 3.
• Esempi di esame scritto di Matematica
1.
Durante l'esame scritto è possibile consultare testi ed appunti. E' inoltre consentito
l'uso di calcolatrici tascabili, purché non incorporate in un telefono cellulare. Il
punteggio degli esercizi 1, 2, 3, 4, 5, 6 è: 3 per ogni risposta esatta, -1 per ogni
5
j.
t.
6
9
81
729
risposta sbagliata o multipla, 0 per ogni risposta lasciata in bianco. Gli esercizi 7
e 8, la cui soluzione deve essere adeguatamente argomentata, valgono di norma al
più 7 punti. Tale limite può essere superato in caso di svolgimento particolarmente
interessante. Tempo massimo: 50'.
1. L'insieme dei numeri primi maggiori di 100.000.000.000.000.000
a è sicuramente un insieme innito
b è sicuramente un insieme nito
c non è noto se sia nito o innito
2. Disporre in ordine crescente le frazioni 12 ,
a
2 1 6 27
; ; ;
7 2 11 26
b
1 2 6 27
; ; ;
2 7 11 26
27 6 2
, , .
26 11 7
c nessuna delle precedenti è corretta
3. Il doppio di
a
18
22
b
36
22
9
11
è
c nessuna delle risposte precedenti è corretta
4. Il numero
6
42
a ha uno sviluppo decimale innito non periodico
b ha uno sviluppo decimale nito
c ha solo uno sviluppo decimale innito periodico
5. La proposizione (¬R ∧ S)
a può essere sia vera che falsa
b è sempre vera
c è sempre falsa
6. Quando la proposizione ¬R ∨ S è vera, che cosa si può dire di S ?
6
a S può essere solo vera
b S può essere solo falsa
c S può essere sia vera che falsa
7. Un'urna contiene 16 palline gialle, è possibile aggiungendo solo
delle palline rosse ottenere un'urna tale che la probabilità di estrarre
una pallina gialla sia 54 ?
8. Dimostrare che
√
2
3
non è un numero razionale.
2.
Durante l'esame scritto è possibile consultare testi ed appunti. E' inoltre consentito l'uso
di calcolatrici tascabili, purché non incorporate in un telefono cellulare. Il punteggio
degli esercizi 1, 2, 3, 4, 5, 6 è: 3 per ogni risposta esatta, -1 per ogni risposta sbagliata
o multipla, 0 per ogni risposta lasciata in bianco. Gli esercizi 7 e 8, la cui soluzione
adeguatamente argomentata deve essere svolta sul retro di questo foglio, valgono di norma
al più 7 punti. Tale limite può essere superato in caso di svolgimento particolarmente
interessante. Tempo massimo: 50'.
1. Dalla relazione 46 = 5 × 8 + 6 si deduce che
a 6 è il resto della divisione 46 : 5
b 6 è il resto della divisione 46 : 8
c 6 è il resto di entrambe le divisioni 46 : 5 e 46 : 8
2. Fra le frazioni
11
17
e
12
17
a non ce ne sono altre
b ce ne sono innite altre
c ce ne sono altre, ma complessivamente solo un numero nito
3. Il doppio di
a
15
11
è vale
30
22
60
22
b
c nessuna delle risposte precedenti è corretta
4. Il numero
200
37
a ha uno sviluppo decimale nito
7
b ha solo uno sviluppo decimale innito periodico
c ha solo uno sviluppo decimale innito non periodico
5. La proposizione (P → P ) → ¬Q
a può essere sia vera che falsa
b è sempre vera
c è sempre falsa
6. Quando la proposizione P ∨ ¬Q è falsa, che cosa si può dire di Q?
a Q può essere solo vera
b Q può essere solo falsa
c Q può essere sia vera che falsa
7. Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi con le facce numerate da
1 a 6, escano due numeri la cui somma sia 9.
8. Dimostrare che se a è un numero naturale divisibile per 5 e b è un numero
naturale divisibile per 7, allora il prodotto ab è divisibile per 35.
8
