Scrivere, leggere ed elaborare espressioni algebriche con DERIVE

SFIDA XIV
La scrittura in algebra
Torino, 5 maggio 2000
Scrivere, leggere ed elaborare espressioni algebriche con DERIVE
Maria Reggiani
Dipartimento di Matematica – Università di Pavia
Introduzione
La padronanza dell’algebra come linguaggio scritto gioca un ruolo essenziale nel corretto uso
dell’algebra stessa come strumento di codifica di situazioni e di soluzione di problemi.
Sono note e sono state oggetto di numerosi studi negli ultimi anni le difficoltà che spesso gli
alunni incontrano nell’acquisire questa padronanza a vari livelli (gestione dei simboli che
identificano numeri, variabili, operazioni, uso delle parentesi e così via). Tali difficoltà
riguardano non solo e non tanto l’aspetto sintattico e formale della scrittura algebrica ma sono
da attribuirsi alla mancata padronanza del simbolismo algebrico a livello semantico. E’ inoltre
quasi superfluo osservare che i problemi connessi alla scrittura investono in modo più o meno
profondo anche l’ambito della decodifica di espressioni algebriche e quello della loro
trasformazione.
Tutti questi problemi permangono ma al tempo stesso si modificano quando la scrittura, la
lettura e l’elaborazione non avvengono in modo diretto ma attraverso uno strumento che fa da
mediatore: in particolare un software di manipolazione simbolica.
In questo intervento mi propongo di discutere alcuni aspetti del problema della scrittura,
lettura e trasformazione di espressioni algebriche attraverso la mediazione del software
DERIVE, focalizzando sulle abilità richieste e promosse da questo tipo di mezzo e sulle
differenze rispetto all’uso di carta e penna e facendo riferimento ad un utente non esperto
nella manipolazione algebrica. La scelta di DERIVE (nella versione 4.09 per Windows) è
dovuta alla sua diffusione e al fatto che il nostro gruppo di ricerca ha utilizzato tale prodotto
in alcune attività didattiche anche se non finalizzate agli obiettivi di ricerca discussi qui.
La scrittura in algebra e i linguaggi di programmazione
Prima di esaminare il software in questione vorrei soffermarmi brevemente su un tema che a
mio parere può fornire utili elementi di confronto: la scrittura di espressioni algebriche
utilizzando un linguaggio di programmazione. Si tratta infatti di una situazione in cui, anche
se con caratteristiche diverse viene usato un mediatore per la scrittura di espressioni
algebriche ed il mezzo è rappresentato anche in questo caso dal computer.
La scrittura di espressioni algebriche utilizzando un linguaggio di programmazione è
certamente più complessa della scrittura immediata con carta e penna in quanto chi scrive un
programma deve usare un linguaggio convenzionale diverso dal linguaggio algebrico, gestire
variabili e simboli dei due linguaggi e, in genere, organizzare un procedimento algoritmico.
L’utilizzo di un linguaggio di programmazione, dunque, richiede in modo esplicito
padronanza delle abilità algebriche di base, riflessione sul significato delle operazioni e analisi
dei procedimenti: la coesistenza di due codici è esplicita e dunque l’eventuale conflitto tra
questi può essere gestito dall’utente, eventualmente con un aiuto esperto (insegnante) e può
dunque favorire il rafforzamento della padronanza a livello sintattico e semantico dei singoli
linguaggi (algebrico e di programmazione). A questo proposito vorrei ricordare i risultati di
un lavoro svolto dal nostro gruppo negli anni ’80 che si proponeva di insegnare a scrivere
semplici programmi che traducessero problemi aritmetici in linguaggio BASIC ad alunni
dagli 11 ai 14 anni. Tale lavoro si rivelò utile per la maggior parte degli alunni proprio perché
li costringeva ad analizzare le operazioni aritmetiche che volevano far eseguire alla macchina,
a scriverle utilizzando variabili e ad inserirle nel programma utilizzando le regole del
linguaggio di programmazione. Gli alunni prendevano coscienza in questo modo del fatto che
l’algebra e il linguaggio di programmazione sono due linguaggi diversi, ognuno con regole
proprie. Per scrivere un programma che contenga espressioni algebriche o anche
semplicemente operazioni bisogna conoscerli entrambi e tradurre da un linguaggio all’altro:
non sempre la traduzione è semplice, immediata, non sempre gli stessi simboli nelle due
lingue hanno lo stesso significato (basti pensare alla scrittura della moltiplicazione fra
variabili o fra numeri e variabili, all’elevamento a potenza e soprattutto al simbolo “uguale”
che nelle versioni BASICA e GWBASIC ha il significato di istruzione di assegnazione).
Negli ultimi anni esperienze di questo tipo non sono più state ripetute con alunni di questa
fascia d'età per motivi di vario tipo legati anche alla trasformazione delle tecnologie e al
modificarsi delle aspettative e delle motivazioni. In molte scuole superiori è invece insegnato
tuttora l’uso del Pascal come linguaggio di programmazione: si tratta come è noto di un
linguaggio strutturato, nel quale non è presente l’ambiguità rilevata sopra rispetto al simbolo
di “uguale”, che tuttavia consente per varie altre caratteristiche di rafforzare la
consapevolezza e la padronanza del linguaggio algebrico.
Un’altra possibile situazione di confronto, più semplice, è la scrittura di espressioni
aritmetiche su una calcolatrice tascabile non programmabile, che pone il problema della
scrittura su una sola riga, della gerarchia delle operazioni, dell’uso delle parentesi. Si tratta
anche in questo caso di una occasione di riflessione sulle regole di scrittura del linguaggio
algebrico.
Scrivere espressioni algebriche con DERIVE
Il problema della scrittura di espressioni algebriche con DERIVE è, a mio parere, solo
apparentemente simile a quello della scrittura su una calcolatrice tascabile o a quello della
traduzione di una espressione algebrica in una istruzione di un linguaggio di programmazione
anche se si tratta anche in questo caso dell’utilizzo di un mediatore e se le regole sintattiche da
utilizzare sono del tutto analoghe a quelle già ricordate nel paragrafo precedente (scrittura in
riga, uso di parentesi, elevamento a potenza indicato con il simbolo ^,…).
La differenza principale sta però nel fatto che il software di manipolazione simbolica
trasforma e riscrive sullo schermo l’espressione introdotta secondo le usuali convenzioni della
scrittura algebrica, provocando la compresenza dei due codici, non facilmente controllabile da
un utente che non è sufficientemente padrone del linguaggio algebrico.
In particolare nel software DERIVE, l’espressione, una volta scritta linearmente nell’apposita
finestra, viene trasformata in due possibili modi a seconda che si “clicchi” sul tasto “OK” o
“semplifica”.
Nel primo caso il risultato è la comparsa sullo schermo dell’espressione introdotta nella forma
usuale con cui la scriveremmo con carta e penna, nel secondo la formula appare trasformata
nel senso che vengono eseguite un primo livello di semplificazioni (esecuzione dei calcoli
aritmetici, semplificazione, somma dei termini simili,…). Quando l’espressione appare sullo
schermo la barra di stato indica se si tratta dell’espressione inserita dall’utente o di una sua
semplificazione.
L’utente esperto nella conoscenza del linguaggio algebrico chiaramente non ha problemi e
inizia già da questa fase ad apprezzare i vantaggi di un software che “lavora per lui”, cioè lo
libera da quella parte di lavoro che non è per lui concettualmente rilevante e lo può distogliere
dall’attenzione al problema che sta risolvendo. Ma chi non padroneggia con sicurezza le
regole del linguaggio algebrico si trova di fronte quasi contemporaneamente tre tipi di
scrittura: quella richiesta dal software per inserire l’espressione (che ha regole formali più
rigide dell’usuale linguaggio algebrico), la sua traduzione nell’usuale scrittura algebrica, la
sua traduzione nell’usuale scrittura algebrica semplificata. Va anche notato che la
trasformazione avviene in modo rapido e quasi “automatico” in quanto gli alunni spesso
usano il mouse con grande rapidità e scarsa consapevolezza e non sempre leggono le
indicazioni della barra di stato. Inoltre, salvo il caso di errori sintattici che rendono
l’espressione introdotta non leggibile, non compare alcuna segnalazione d’errore anche se
l’espressione non è quella che si voleva introdurre.
E’ evidente a questo punto che il ruolo di mediazione di DERIVE nella scrittura in algebra è
molto diverso da quello di un linguaggio di programmazione e che, se non adeguatamente
seguito dall’insegnante, non costringe di per sé alla riflessione sui linguaggi in gioco.
Il suo ruolo è invece abbastanza simile a quello che ormai a tutti i livelli svolgono i tascabili
non programmabili rispetto al calcolo aritmetico: la calcolatrice tascabile fa i conti, ci libera
da questo compito, ma noi dobbiamo saper tener sotto controllo l’approssimazione, l’ordine di
grandezza e così via. Nel caso del manipolatore simbolico è utile poter inserire l’espressione
algebrica senza preoccuparsi di semplificazioni, termini simili, ed anche far svolgere al
software alcune elaborazioni, ma solo se siamo in grado di esercitare qualche forma di
controllo.
E’ dunque un problema didattico rilevante, limitandoci al primo passo, quello della scrittura,
gestire didatticamente l’uso di istruzioni di per sé non trasparenti e la compresenza di due o
tre forme di scrittura della stessa espressione.
Leggere espressioni algebriche in DERIVE
Il problema della scrittura in algebra presenta anche
l’aspetto dell’interpretazione del
linguaggio algebrico in forma scritta. Numerose ricerche mettono in risalto i fraintendimenti
di molti alunni nella interpretazione del linguaggio algebrico. Ne sono la prova errori tipici di
elaborazione quali la lettura di espressioni algebriche indipendente dalle parentesi (a volte gli
alunni vedono parentesi inesistenti, altre volte ignorano quelle esistenti), i fraintendimenti
legati all’omissione del segno di moltiplicazione e così via.
L’uso di DERIVE pone il problema della lettura sia nel controllo della correttezza delle
espressioni introdotte sia soprattutto nell’interpretazione delle espressioni trasformate e dei
risultati. In alcuni casi si tratta semplicemente di imparare simboli o istruzioni che in genere,
nella nostra esperienza, vengono facilmente fatti propri dagli alunni.
Più difficile è invece, ad esempio, l’interpretazione dei risultati della risoluzione di equazioni.
Questi possono essere forniti in forma algebrica (con il comando "risolvi algebricamente")
oppure, se si tratta di risultati numerici, in forma approssimata (con il comando "risolvi
numericamente"). Nel primo caso se l’equazione è di primo, di secondo o di terzo grado
vengono fornite tutte le soluzioni reali e complesse, mentre se l’equazione è di grado
superiore ovviamente le soluzioni vengono fornite solo nei casi in cui ciò è possibile. Nel
secondo caso viene fornita la prima soluzione reale che viene trovata nell’intervallo impostato
(o predefinito). E’ chiaro che questa può essere o no l’unica soluzione reale.
E' evidente che la problematica qui accennata non può essere trattata in poche righe e del resto
sul tema della soluzione di equazioni con i computer algebra systems vi è molta letteratura
con proposte di attività didattiche. Il mio interesse riguardo a questo punto non è però relativo
alla risoluzione di equazioni algebriche ma al problema della lettura dei risultati: per rendersi
conto di quanto può essere disorientante per l'alunno non esperto, si può risolvere ad esempio
l'equazione ( x − 2 )( x − 5)( 2 x − 1) , dopo averla sviluppata, con l'istruzione "risolvi
algebricamente". Le espressioni trovate possono essere "riconosciute" solo richiedendone il
valore approssimato.
Elaborare espressioni algebriche con DERIVE
Nell'elaborazione di espressioni algebriche con DERIVE coesistono, da un lato, i problemi già
discussi nei punti precedenti, e cioè il fatto che l'elaborazione spesso sfugge al controllo
dell'utente inesperto in quanto le istruzioni non sono trasparenti e sia l'interazione con il
mouse che l'uso delle finestre consentono un utilizzo facile anche "per tentativi", dall'altro la
presenza di istruzioni parzialmente analoghe a quelle di un linguaggio di programmazione
(ad esempio per la gestione di vettori e matrici) che richiederebbero maggiore attenzione e
competenza.
In una esperienza con alunni di terzo anno di liceo scientifico (16 anni), che avevano già
acquisito una buona padronanza del linguaggio algebrico con carta e penna, abbiamo
riscontrato da parte degli alunni una rapida acquisizione di un buon uso delle istruzioni base
per l'elaborazione di espressioni, la risoluzione di equazioni e anche la gestione di parametri
mediante vettori, mentre abbiamo riscontrato una resistenza all'utilizzo del software nella
risoluzione di sistemi non lineari per i quali non esiste un'istruzione predefinita. La maggior
parte degli alunni preferiva svolgere una parte della risoluzione a mano ed eventualmente
completarla con DERIVE quando le sostituzioni erano già state effettuate. Questo
atteggiamento può essere motivo di riflessione in quanto presenta aspetti positivi poiché
evidenzia la volontà dei ragazzi di scegliere quale parte del lavoro affidare al computer, ma
pone anche in evidenza il conflitto fra i due linguaggi sia nella loro forma di scrittura che
nelle loro regole di trasformazione.
Osservazioni e spunti di ricerca
Le considerazioni svolte nei paragrafi precedenti si limitano ad esempi semplici e ad un uso
iniziale del software, pensato come si è detto per utenti inesperti sia nell'algebra che nell'uso
del software stesso. E' evidente che le problematiche didattiche legate all'uso dei Computer
Algebra Systems assumono connotazioni e rilevanza diversa man mano che l’alunno-utente
acquista padronanza con il software e con l’algebra o l’analisi e utilizza non solo gli aspetti
algebrici ma anche quelli grafici del software. Sulle potenzialità dei C.A.S., sulle molte ed
interessanti occasioni didattiche che offrono, sulle competenze richieste ed acquisite in un
insegnamento che utilizzi sistematicamente tali software sono in atto, come è noto, numerosi
studi e sperimentazioni.
Tuttavia ritengo che i problemi qui posti richiedano attenzione e offrano spunti di riflessione e
ricerca:
Quali competenze iniziali richiede "fare" algebra con Derive anziché con carta e penna?
Può un software come Derive essere uno degli strumenti di approccio all'algebra?
Quali competenze/abilità può favorire in particolare in riferimento alla padronanza
dell'algebra come linguaggio scritto?
Come può essere gestito l'uso di Derive in una fase iniziale in modo da evitare che si
determinino da parte dell'alunno atteggiamenti di estraniamento e mancanza di controllo?
Come gestire il fatto che gli alunni facilmente "giocano" con software apparentemente facili e
possono facilmente trovarsi ad affrontare trasformazioni, corrette e non, che non capiscono,
senza rendersene conto?
Fino a che punto è utile/necessario per l'alunno/per l'insegnante sapere come lavora il
software nell’elaborazione?
Quale deve essere il ruolo dell'insegnante?
Il software Derive è ampiamente diffuso ed è presente in alcuni calcolatori tascabili
programmabili: questo rende le domande appena poste particolarmente importanti in quanto è
possibile che entro breve tempo molti alunni abbiano a disposizione questi strumenti al di
fuori del controllo dell'insegnante. Ritengo pertanto necessario studiare i problemi posti in
relazione a questo e ad altri software commerciali, anche se una risposta opportuna e
costruttiva ad alcune delle domande poste potrebbe venire dall'uso di software didattico
adeguato che consenta i controlli e i confronti fra scritture e metodi di elaborazione favorendo
così l'acquisizione del linguaggio algebrico e la comprensione dei procedimenti.
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