IL TOPOLINO GENIUS Ciao Il topolino Genius vi saluta e vi dà appuntamento all’anno prossimo. Sai calcolare la somma delle aree delle orecchie e della bocca di Genius sapendo che la faccia è un cerchio di raggio uno? N.B. Le orecchie sono di colore verde chiaro e i due estremi sono diametralmente opposti; faccia, occhi e bocca sono circonferenze tangenti. Soluzione (proponiamo la soluzione che è stata inviata dal vincitore del gioco di questo anno: Emanuele Farotti, classe 4 G) Possiamo individuare un quadrato nella faccia con vertici gli estremi delle orecchie (quelli diametralmente opposti), l’incontro degli orecchi e il suo simmetrico rispetto al centro della faccia. Il lato di questo quadrato è 2 (perché il diametro di un occhio è 1) e quindi metà lato del 2 2 quadrato è . L’area del quadrato è quindi 2 2 . 2 Per calcolare l’area di un orecchio bisogna togliere l’area della parte in verde scuro al semicerchio: 2 questa parte è ¼ di ciò che resta togliendo alla faccia il quadrato individuato prima, ossia 4 2 2 2 2 1 . Allora, l’area di un orecchio equivale a: 2 4 2 Poiché gli orecchi hanno la stessa area, l’area della parte in verde chiaro è il doppio, cioè 1. Ora, per scoprire il raggio della bocca facciamo una considerazione geometrica nel triangolo rettangolo di cui un cateto è il raggio di un occhio (di misura ½), l’ipotenusa è la somma del raggio 1 x , dove x è il raggio della bocca) e l’altro cateto è 2 il segmento che unisce il centro della bocca e il centro della faccia (di misura 1-x) (vedi triangolo rosso in figura). Per il teorema di Pitagora: di un occhio e il raggio della bocca (di misura 2 2 1 1 2 1 x x 2 2 1 1 1 x2 2x x2 x 4 4 1 x 3 Dunque, l’area della bocca è . 9 In conclusione, la somma delle aree delle orecchie e della bocca è C.V.D. 9 1.