Matematica - liceo wiligelmo

COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA
PROBLEMI DI APPLICAZIONE DELL'ALGEBRA ALLA GEOMETRIA
Inscrivere in una semicirconferenza di diametro 2r un rettangolo ABCD avente il lato AB
sul diametro ed avente il perimetro uguale a 4r.
1)
E data la semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r.Determina su AB un punto C
in modo che condotta per C la perpendicolare ad AB fino a incontrare la
semicirconferenza in E,sia verificata la relazione AC^2 +3 CE^2 =72/25 r^2
2)
3) Sul diametro AB = 2r di una semicirconferenza determina due punti C e D in modo che
AD = 2AC e che le semicorde CM e DN perpendicolari al diametro AB soddisfino la
relazione 4MC ^2 + ND ^2= AB^2. Determina l'area del trapezio MCDN.
4)Su di una semicirconferenza di diametro AB = 2r determina un punto P in modo che
detta H la sua proiezione sul diametro AB,sia verificata la relazione AP^2+ AH ^2+4HB^2
= 47/5 r^2.
5)In un trapezio ABCD,rettangolo in A e in D,circoscritto ad una circonferenza di centro
O,la base minore DC è divisa dal punto di tangenza K in due parti tali che DK=4/3 KC.
Sapendo che il perimetro del trapezio è 294a,calcola l'area.
6) In una semicirconferenza di diametro AB =2r inscrivere un triangolo rettangolo ABC in
modo che il rapporto tra il cateto AC e la sua proiezione sull'ipotenusa sia 5/2.
7) Determina su di una semicirconferenza di centro O e diametro AB =2r un punto P in
modo che detta H la sua proiezione sul diametro AB sia verificata la seguente relazione
AH + PH = 4/5 r.
8) Data una semicirconferenza di diametro AB,traccia la tangente nel punto A e prendi su
di essa il segmento AD =cm.18;congiungi D con B ed indica con C il punto di intersezione
di tale congiungente con la semicirconferenza.Sapendo che DC = cm.10.8,determina il
raggio della circonferenza.
9) E' data una semicirconferenza di centro O e diametro AB =2r:Determina su AB un punto
P in modo che detto C il punto di intersezione della perpendicolare condotta da P ad AB
con la semicirconferenza sia verificata la relazione 2AC ^2 +5 CP^2 + CB^2 =8r^2.
Conduci poi dal punto C la tangente alla semicirconferenza che incontra in M la retta del
diametro AB e in N la semiretta tangente in B alla semicirconferenza.Determina il
perimetro dei triangoli OCM e MNB.
10) Determina l'area di un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza di raggio r
sapendo che la somma della base e dell'altezza ad essa relativa è 16/5 r.
11) Determina la misura dei cateti di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa misura 10a e
che è circoscritto ad una circonferenza il cui raggio misura 2a.
12)In un triangolo ABC rettangolo in A,sia M un punto dell'ipotenusa tale che BM =6a.Si
conduca da M la perpendicolare all'ipotenusa stessa che incontra il cateto AC nel punto N
tale cheAN =3a e NC =5a.Determina il perimetro di ABC.
13) La base di un triangolo isoscele è cm.8 e il lato è cm.5,determina il lato del quadrato
inscritto avente un lato sulla base.
14) Nel triangolo rettangolo ABC la proiezione BH del cateto AB sull'ipotenusa BC misura
4a,sapendo che 2HC -AB=HB,determina il perimetro del triangolo ABC:
15) In un trapezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC è perpendicolare al lato
BC.Sapendo che la base CD è di cm.32 e l'altezza AD è di cm.24,calcola il perimetro del
trapezio.
N.B. il simbolo ^2 corrisponde ad elevare al quadrato
EQUAZIONI PARAMETRICHE
1) Data l’equazione parametrica
3x 2  2k  1x  k  2  0
determina per quale valore di k sussistono tra le sue radici le seguenti relazioni:
a) x1  x2
b) x1  0
c) x1  2
d) x1   x2
e) x1 
1
x2
f) x1  
g)
1
x2
1
1

 3
x1 x 2
2) Data l’equazione
kx2  k  1x  1  0 con k  0
determina k in modo che:
a) le radici siano reali
b) le radici siano uguali
c) le radici siano opposte
d) le radici siano concordi
e) la somma dei reciproci delle radici sia 3
f) la somma dei quadrati delle radici sia 6
g) la differenza delle radici sia 3
h) la somma dei reciproci dei quadrati delle radici sia 10.
3) Data l’equazione
2k  1x 2  k  2x  8  6k  0
con k 
1
determinare k in modo che :
2
a) le radici siano reali
b) una radice sia uguale a 2
c) la somma delle soluzioni sia
3
4
d) le due radici siano opposte
e) x1 
4
x2
f) le radici siano reciproche
g) la somma dei quadrati delle radici sia uguale a 5
h) la somma dei reciproci dei quadrati delle radici si uguale a
5
16
i) 3x1  x2  14
x 2  2x  k  3  0
4) Determinare i valori del parametro k per i quali l’equazione:
ammetta
a) radici reali; b) una radice uguale a 0; c) una radice uguale a
2 -1
d) due radici reali tali che la somma dei loro quadrati sia uguale a 3
e) due radici reali tali che il oro prodotto sia uguale a
2
3
f) due radici reali tali che il loro prodotto sia uguale a 10; g) una radice sia uguale a
h) due radici reali tali che x1  x 2 
1
3
x1 x 2
i) due radici reali tali che la somma dei loro cubi sia uguale a 10.
5) Data l’equazione parametrica
k  1x 2  kx  k 2  0
( con k≠ 1 ) determina k in modo che siano soddisfatte le seguenti condizioni :
a) le soluzioni siano reali;
b) le soluzioni siano reali e coincidenti;
c)le soluzioni siano reali e reciproche;
3 -2
d) le soluzioni reali abbiano somma dei reciproci uguale a 3 ;
e)una soluzione reale sia uguale a 2;
f)le soluzioni reali siano tali che il doppio della loro somma sia uguale al triplo del loro
prodotto;
g) reali e opposte;
h) le soluzioni siano reali e discordi.
2
6) Data l’equazione 4 x  2k  2x  2k  0
determina per quali valori di k sono soddisfatte le seguenti condizioni:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
la somma dei reciproci delle radici sia 6
la somma dei quadrati delle radici sia 10
la somma dei reciproci dei quadrati delle radici sia 2
le radici siano reali;
una radice sia uguale a 7;
le radici siano opposte
le radici siano discordi;
le radici siano reciproche
x1  x2  5
i)
j) 8x1  8x2  4
k) la somma dei cubi delle radici sia 2
l) una radice sia 0.
7) Data l’equazione parametrica kx 2 - (2k -1)x + k - 3 = 0 con k ¹ 0 , determina k in
modo che valgano le seguenti condizioni:
a)
Il modulo della somma delle radici è maggiore di 2
b)
Il modulo del prodotto delle radici è minore di 4
Risolvi i seguenti sistemi di equazioni di secondo grado:
 x y20
8)  2
 x  xy  x  y  2
(
)
ìï-x 2 + 2 x - 2 y - 2 = 3x - y 2 + 2 2x
9) í
ïî
3( y - x ) = 3 2
Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali intere:
10) ax 2  4a  1x  4a  0
11)
1  a  x x
2 x1  x 
2
a 1
a
Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali fratte:
12)
2b  1 31  b 
2


xb
x
xb
x 2  7a 2  x  a 
0
x  3a
2
13) x  2a 
RISOLVI LE SEGUENTI DISEQUAZIONI :
2x

30

2

D1) 
x 2 0

8 x 2  2 2 x  2  0
1
x  2
x 3  x  2

D4)  6
6
x 1  x 1


3x  1
 x
 x  6  x  1x  6
D2) 
x2  9

0

x4
5
1

x
 
D5) 
6x  9
3
3
2

6
x

x

11
x

6
0

1
x2 x3

 x 2  5x  6  x  2  x  3

D7)  2 x
3  x2

1

2
3
x

1
9
x

6
x

1


6x 2  7x  2

0
D3)  x 2  x  7
 x 2  x  30  0
 x 2 4x
8


0

D6)  2
3
162
 3x 2  4 x 4  0

 x2 x2
x2



2
 2x  1 x  1 1  x  2x
D8)  x  5 8  x


x

3
3 x


RISOLVI LE SEGUENTI DISEQUAZIONI E EQUAZIONI CON I MODULI:
M1)
M3)
1
x
>1
x -2 x +3
2 - x < x 2 - 3x + 2
M2)
M4)
x2 + x - 2
>1
x 2 - x +1
x 2 + 3x < x 2 + 3x
Teoremi di geometria
1) In un triangolo rettangolo ABC, avente per base l’ipotenusa BC traccia l’altezza AH. Da H
manda le perpendicolari ai cateti indicando con E l’intersezione con AB e con D
l’intersezione con AC. Dimostra che: a) A,E;H,D sono punti di una stessa circonferenza; b) il
quadrilatero EBCD è inscrivibile in una circonferenza.
2) Dimostrare che in ogni triangolo i punti medi dei tre lati e il piede di una qualsiasi delle tre
altezze individuano un trapezio isoscele.
3) Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC è metà dell’ipotenusa BC. Sull’ipotenusa,
esternamente al triangolo, disegna il triangolo equilatero BEC. Prolunga i lati EC e BA
finchè si incontrano in F. Dimostra che: a) ABEC è un trapezio; b) A è punto medio di FB.
4) Da un punto P esterno ad una circonferenza si conducano due secanti. Le intersezioni della
prima retta con la circonferenza siano A e B (A compreso tra P e B), quelle della seconda C
e D (C compreso tra P e D). Dimostrare che i triangoli PBC e PAD hanno gli angoli
ordinatamente congruenti.
5) Dato l’esagono regolare ABCDEF dimostrare che: a) il quadrilatero AEDB è un rettangolo;
b) il quadrilatero ADEF è un trapezio isoscele; c) la diagonale EC è divisa dalle diagonali DF
e DB in tre segmenti congruenti..
6) Sia dato il triangolo ABC con BA>AC. Si conduca la bisettrice AD dell’angolo A e dal punto D
si conduca la semiretta DE che forma con AD un angolo ADE=CDA. Dimostrare che AD è
asse del segmento CE.
7) Nel triangolo ABC le mediane AE e BF sono congruenti. Detto O il punto di intersezione di
AE e BF, dimostrare che: a) AO=OB=; b) BEO=AOF; c) ABC è isoscele.
8) Da un punto P, esterno a una circonferenza, si conducano le tangenti PA e PB. Sul
prolungamento di AP si consideri un punto C tale che sia PC=PA. Se AD è il diametro
condotto per A, dimostrare che i punti C,B D sono allineati.
9) L’angolo AVB è un angolo alla circonferenza che insiste sull’arco AB, M è il punto medio
di AB, BC è una corda parallela a VM. Dimostrare che AM=CV.
10) Siano AB e AC due corde consecutive, M il punto medio dell’arco BA ed N il punto medio
dell’arco AC. Dette D ed E le intersezioni di MN rispettivamente con AB e AC, dimostrare
che AD=AE.
11) In un trapezio ABCD circoscritto a una circonferenza di centro O, AB e CD sono
rispettivamente la base maggiore e la base minore. Dimostrare che gli angolo COB e AOD sono
retti.
12) Il triangolo ABC è rettangolo in A e CA è il cateto maggiore: Detta AH l’altezza relativa
all’ipotenusa BC, si consideri su BC un segmento HE=BH e dal vertice C si conduca la
perpendicolare CF ad AE: Dimostrare che: a) il triangolo ABE è isoscele; b) FCB=BCA; c) il
quadrilatero AHFC è inscittibile in una circonferenza.
13) Si consideri un triangolo equilatero e le rispettive circonferenze inscritta e circoscritta.
Dimostrare che: a) il raggio della circonferenza circoscritta è il doppio del raggio della
circonferenza inscritta; b) l’altezza del triangolo è 3/2 del raggio della circonferenza
circoscritta.