IL PENDOLO DI FOUCAULT
DEL DIPARTIMENTO DI FISICA
Università degli Studi di Milano
Settembre 2009
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Indice
Introduzione
Ringraziamenti
Parte prima
I.1 Breve biografia di Foucault.
I.2 Descrizione dell’esperimento di Foucault e relativa interpretazione.
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Parte seconda
II.1 Analisi della dinamica del pendolo.
II.1.1 Moto di un pendolo semplice ed ideale in un sistema di riferimento inerziale.
II.1.2 Moto del pendolo semplice ed ideale nel sistema di riferimento non inerziale
della Terra.
II.1.3 Moto di un pendolo ideale asimmetrico nel sistema di riferimento non inerziale
della Terra.
II.1.4 Moto di un pendolo reale in presenza delle forze di attrito.
II.1.4.1 Forze e momenti agenti sul filo reale.
II.1.4.2 Forze di attrito.
II.1.4.2a Forza di attrito dell’aria e studio del moto smorzato.
II.1.4.2b Forze di attrito interne al filo di sospensione.
II.1.4.2c Forze di attrito di natura elettromagnetica interne alla massa pendolare.
II.1.5 Moto di un pendolo semplice smorzato dalle forze di attrito e forzato da una
forza impulsiva elettromagnetica.
II.1.6 Cause del moto perturbato di un pendolo reale e metodo di correzione della
asimmetria.
II.1.7 Analisi della azione di smorzamento del moto ellittico prodotta dall’anello
di Charron.
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Parte terza
III.1 Descrizione delle principali caratteristiche del pendolo di Foucault in scala
ridotta realizzato al Dipartimento di Fisica di Milano.
III.1.1 Principali caratteristiche geometriche e fisiche del pendolo.
III.1.2 Soluzioni tecniche adottate.
III.1.2.1 Sistema di rilascio della massa pendolare.
III.1.2.2 Testa di sospensione ed anello di Charron.
III.1.2.3 Bobina per il reintegro dell’energia dissipata dal pendolo a causa degli attriti.
III.1.2.4 Schema logico delle funzioni di controllo dell’elettrocalamita e della bobina
di reintegro dell’energia.
III.2 Risultati delle misure condotte sul prototipo e modifiche apportate.
III.2.1 Misure del coefficiente di smorzamento.
III.2.2 Determinazione del coefficiente di asimmetria.
III.2.3 Sistema di compensazione della asimmetria.
III.2.4 Misure sul moto smorzato e forzato in presenza dell’anello
di Charron e del bilanciere.
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Parte quarta
IV.1 Breve descrizione dell’apparato.
IV.2 Istruzioni per la sperimentazione da parte degli studenti o dei visitatori.
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Appendice A Calcolo delle caratteristiche meccaniche del pendolo.
Appendice B Calcolo della forza magnetica esercitata dall’ elettrocalamita.
Appendice C Calcolo della forza di richiamo esercitata dalla bobina.
Appendice D Calcolo dei momenti di inerzia del bilanciere.
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Introduzione
In occasione del 190esimo anniversario della nascita di Jean Bernard Léon Foucault (18
Settembre 1819) il Dipartimento di Fisica si è proposto di realizzare un pendolo di Foucault di
dimensioni ridotte (lunghezza 1 metro), come modello sperimentale per un futuro pendolo di circa
10 metri di lunghezza da installare nella tromba della scale d’ingresso alla zona degli uffici e degli
studi dei docenti.
La decisione di realizzare questo modello è motivata da molteplici ragioni:
- con questi elegante esperimento, che dimostra in maniera evidente la rotazione della Terra,
si è voluto rendere merito ad un ricercatore sperimentale, che pur essendo privo di una
laurea in scienze naturali, ha dato importanti contributi in diversi campi della fisica;
- si è voluto realizzare un pendolo di Foucault di tipo “intrattenuto”, in cui le perdite di
energia a causa delle varie forme di attrito siano periodicamente reintegrate in maniera che
si possano osservare le oscillazioni del pendolo per periodi abbastanza lunghi;
- si è voluto realizzare un apparato accessibile alla sperimentazione diretta degli studenti di
Fisica e degli studenti delle scuole superiori in visita al Dipartimento;
- esso consente di illustrare da un lato le soluzioni tecniche necessarie al corretto
funzionamento del pendolo di Foucault e dall’altro lato la complessità dei fenomeni che
influenzano il moto del pendolo. In particolare esso consente di osservare il moto
perturbato degenere, un fenomeno che si manifestava frequentemente nei dispositivi
realizzati dai primi sperimentatori e teoricamente non spiegato sino al 1879, quando tale
processo fu analizzato e correttamente interpretato da Kammerling Onnes nella sua tesi di
laurea.
Questa nota è indirizzata essenzialmente agli studenti universitari che frequentano il
Dipartimento ma anche agli studenti delle scuole superiori che, accompagnati dai propri insegnanti,
si interessano alle attività di ricerca svolte nel Dipartimento.
Essa è dedicata nella parte iniziale ad una breve biografia di Foucault a cui fa seguito una
descrizione dell’esperimento in cui viene data una spiegazione intuitiva della rotazione del piano di
oscillazione ed accessibile a qualsiasi lettore in quanto non si fa ricorso ad alcun formalismo
matematico.
Nella parte centrale viene esposta l’analisi della dinamica del pendolo semplice, introducendo
dapprima le sole forze reali (sistema di riferimento inerziale), successivamente anche le forze
apparenti (sistema non inerziale) ed infine le varie forze perturbatrici che condizionano il moto del
pendolo. In questa parte della nota, con il procedere della complessità dei processi esaminati, è
richiesta una certa competenza fisico matematica, a livello del biennio di Fisica, tuttavia le ipotesi
di lavoro ed i risultati sono presentati in forma semplice per essere compresi anche da persone che
non posseggono il bagaglio di conoscenze specifiche.
La nota prosegue con la descrizione delle principali caratteristiche del modello in scala ridotta
del pendolo di Foucault, delle problematiche connesse con la sua realizzazione (in particolare la
messa a punto per consentire l’osservazione del moto perturbato degenere) e con la descrizione
delle osservazioni sperimentali effettuate su questo ultimo.
La parte finale descrive brevemente l’apparato e fornisce le istruzioni per la sperimentazione da
parte degli studenti.
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Ringraziamenti
La sezione di Milano dell’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare ha fornito la disponibilità
dell’officina meccanica del LASA per la realizzazione di alcune parti essenziali e l’assemblaggio
dell’armadio contenente il pendolo in scala ridotta e la disponibilità del laboratorio di elettronica per
la realizzazione dei circuiti di alimentazione, di misura e di controllo degli elettromagneti per il
reintegro dell’energia dissipata dal pendolo a causa degli attriti.
Oltre all’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare è un gradito dovere ringraziare le singole persone
che hanno collaborato fattivamente all’opera. L’ing. Franco Alessandria per le indispensabili
informazioni e suggerimenti per la meccanica dei pendoli, i tecnici di officina Carlo Uva e Luigi
Marchetti per la collaborazione e l’entusiasmo nella costruzione dell’intero dispositivo, il Dr.
Giancesare Rivoltella ed il tecnico elettronico Antonio Paccalini per la progettazione
dell’elettronica di comando e controllo dell’alimentazione, il tecnico di progettazione Maurizio
Todero ed il tecnico di laboratorio Danilo Pedrini.
Un particolare ringraziamento è rivolto anche a tutti i colleghi e ricercatori del LASA che hanno
dato il loro consenso affinché la maggior parte del lavoro di costruzione dei pendoli potesse essere
effettuata all’interno del Laboratorio, anche se ciò ha influenzato in parte i programmi temporali
delle attività di ricerca in corso presso i diversi gruppi operanti al LASA.
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Parte prima
I.1. Breve biografia di Foucault.
Jean Bernard Léon Foucault nacque a Parigi il 18 settembre 1819 da una famiglia agiata. Il
padre, un editore noto per avere pubblicato una serie di volumi prestigiosi sulla storia francese, si
ritirò a Nantes, probabilmente per ragioni di salute, dove morì nel 1829. Dopo la morte del marito la
madre di Léon rientrò a Parigi e si sistemò in una casa molto confortevole tra rue de Vaugirard e rue
d’Assas nella quale trascorse tutta la vita in compagnia del figlio che non si sposò mai.
Léon, iscritto dalla madre al famoso Collège Stanislas di Parigi, non si dimostrò uno studente
brillante e per lunghi periodi fu necessario farlo seguire da precettori privati, dato che il suo
rendimento scolastico era piuttosto mediocre. Poco interessato alle discipline scolastiche manifestò
il suo vero talento nella costruzione di meccanismi particolarmente ingegnosi per i quali era
richiesta una notevole abilità manuale e grande precisione. Mentre era ancora studente liceale
realizzò un telegrafo ed una piccola macchina a vapore, perfettamente funzionanti. Alcuni giocattoli
da lui costruiti in questo periodo e conservati furono esibiti in pubblico, dopo la sua morte, per
attestare il suo precoce talento nella realizzazione di complessi marchingegni.
Nonostante le difficoltà incontrate negli studi liceali Léon riuscì a diplomarsi e la madre,
convinta che l’abilità manuale del figlio ne avrebbe fatto un chirurgo di grande successo lo iscrisse
nel 1839 alla facoltà di medicina. Durante il tirocinio ospedaliero, richiesto a tutti gli studenti di
medicina, la vista del sangue e delle sofferenze dei pazienti produsse in lui un trauma così intenso
che lo costrinse a ritirarsi dalla facoltà di medicina. Tuttavia nel corso degli studi universitari le
capacità di Léon furono talmente apprezzate ed utilizzate dal professore Alfred Donné (docente di
microscopia) che questi gli offrì, quando Léon fu costretto ad abbandonare gli studi di medicina, la
posizione di assistente nel corso di microscopia.
In quel periodo (1839-1840) Léon si occupò assieme ad Armand Hippolyte Louis Fizeau, un
amico di vecchia data conosciuto al Collège Stanislas, di dagherrotipia (un antenato della moderna
fotografia) riuscendo a ridurre drasticamente il tempo di posa necessario ad impressionare la lastra
iodurata (nelle dimostrazioni fornite da Daguerre la posa richiedeva parecchie decine di minuti
mentre con il procedimento messo a punto da Foucault e Fizeau erano sufficienti alcune decine di
secondi). Questo fu il loro primo successo scientifico comune, dal quale però non ricavarono alcun
beneficio economico poiché poco dopo la dagherrotipia fu sostituita da altri metodi fotografici.
Con l’amico Fizeau fece una serie di esperienze confrontando l’intensità della luce del sole con
quella emessa dall’arco elettrico che scocca fra due elettrodi in carbone nella lampada ad arco
(allora largamente utilizzato come fonte di luce elettrica) ed a quella della fiamma ossidrica (anche
questa impiegata diffusamente a quei tempo per l’illuminazione anche di case private). Sempre
negli anni quaranta contribuì ai Comptes Rendus con un articolo in cui descriveva il funzionamento di
un regolatore elettromagnetico per lampade ad arco ed in collaborazione con Jules Regnault,
redasse un articolo sulla visione binoculare.
Dal 1845 scrisse i verbali degli incontri settimanali dell’Académie des sciences per un influente
giornale, il Journal des débats. La sua franchezza gli causò inimicizie che lo allontanarono da gran
parte della comunità scientifica.
Nel 1850 riuscì a dimostrare, per mezzo di uno specchio girevole simile a quello utilizzato da
Sir Charles Wheatstone, che la velocità della luce nell’aria è maggiore che nell’acqua. Stabilì anche
che la velocità della luce varia in maniera inversamente proporzionale all’indice di rifrazione del
mezzo nel quale si propaga.
Nel 1851 egli riuscì a dare dimostrazione diretta della rotazione della Terra attorno al proprio
asse con un esperimento tanto semplice quanto geniale. Egli sfruttò il principio di inerzia in maniera
originale facendo oscillare un pendolo con una massa rilevante e di notevole lunghezza all’interno
5
del Pantheon di Parigi. Per rispettare la legge di inerzia il piano di oscillazione deve rimanere
inalterato ma a causa della rotazione terrestre i parigini videro che il pendolo cambiava lentamente
direzione. Fu per questa dimostrazione e per l’invenzione del giroscopio che ne deriva che nel 1855
ricevette la medaglia Copley della “Royal Society” di Londra. Nello stesso anno divenne assistente in
fisica dell’Osservatorio imperiale di Parigi.
Sempre nel 1855 scoprì che la forza necessaria alla rotazione di un disco di rame aumenta
quando questo si trova all’interno dei poli di un magnete e nel frattempo il disco si scalda per quelle
correnti indotte, oggigiorno note come correnti di Foucault.
Nel 1857 Foucault inventò il polarizzatore che porta il suo nome e l’anno seguente inventò un
metodo per dare agli specchi dei telescopi riflettori la forma di sfera o di paraboloide di rivoluzione.
Con li specchio di Wheatstone nel 1862 stabilì che la velocità della luce era di 298000 km/s, cioè
circa 10000 km/s inferiore al valore comunemente accettato a quell’epoca e lontano soltanto dello
0.6% dal valore attualmente ritenuto corretto.
Nel 1862 fu nominato membro del “Bureau des Longitudes” ed insignito della Legion d’onore.
Nel 1864 divenne membro straniero della Royal Society e l’anno dopo entrò nella sezione di
meccanica di questo istituto.
Nel 1865 pubblicò un articolo sul regolatore di velocità inventato da Watt in cui mostrava alcune
migliorie per stabilizzarne la velocità ed un nuovo apparecchio per la regolazione della luce emessa
da una lampada ad arco. L’anno seguente fece esperimenti per la deposizione di un sottilissimo
strato d’argento sulla faccia esterna della lente da telescopio per permettere di osservare il sole
senza pericolo per gli occhi.
Foucault morì l’11 febbraio 1868 a Parigi, probabilmente per un caso di sclerosi multipla
fulminante e fu sepolto nel cimitero di Montmartre,
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I.2 Descrizione dell’esperimento di Foucault e relativa interpretazione.
Per introdurre l’esperimento di Foucault ci avvaleremo di alcuni brani tratti dal libro “Pendulum
– Léon Foucault e il trionfo della scienza” edito da “ il Saggiatore” e scritto recentemente da Amir
D. Aczel, matematico di fama internazionale che insegna al Bentley College del Massachusetts ed
autore di numerosi testi di divulgazione scientifica.
Nel primo capitolo di questa biografia si legge:
“ Sappiamo dal suo diario che Foucault fece la scoperta esattamente alle due di mattina del 6 gennaio 1851.
Era sceso nella cantina della casa che divideva con la madre all’angolo fra rue de Vaugirard e rue d’Assas, nel
cuore dell’intellettualissima Rive Gauche e a due passi da dove, cent’anni dopo, avrebbero abitato Gertrude Stein
e Ricasso. Ci lavorava febbrilmente da alcune settimane, ma nessuno dei passanti di quelle due strade alla moda
poteva immaginare che in quella cantina si stava preparando un esperimento che avrebbe cambiato pere sempre il
nostro modo di vedere il mondo.
Jean Bernard Léon Foucault (ma per chi lo conosceva semplicemente Léon Foucault) aveva trentadue anni;
non possedeva una laurea in scienze naturali ma poteva già vantare alcuni risultati importanti, compreso un
esperimento molto ingegnoso per misurare la velocità della luce e diverse invenzioni fra cui due sistemi di
illuminazione, uno per microscopi e uno, graduabile, per palcoscenici. Dagli ultimi mesi del 1850, però, stava
concentrando tutti i suoi sforzi su una questione completamente diversa: voleva risolvere il più ostinato problema
scientifico di tutti i tempi, un problema che fra il Cinque e il Settecento aveva ossessionato Copernico, Keplero,
Galilei, Cartesio e Newton ed era sorprendentemente irrisolto fino alla sua epoca.
Aveva preparato l’esperimento con cura, l’aveva perfezionato lavorando per mesi, concentratissimo, nella
cantina di casa sua. I problemi che aveva dovuto affrontare erano di natura tecnica e Foucault era bravissimo nel
lavoro di precisione, che eseguiva manualmente trafficando con fili metallici, seghetti per tagliare l’acciaio,
strumenti di misurazione, pesi. Così, alla fine, riuscì ad assicurare un capo di un filo d’acciaio di due metri al
soffitto, facendo in modo che potesse ruotare senza torsione, e attaccò all’altra estremità una palla di ottone di
cinque chili: ottenne così in pendolo in grado di oscillare liberamente.
Una volta messo in moto il pendolo, il suo piano di oscillazione poteva spostarsi in qualsiasi direzione. La
parte più difficile della fase preparatoria era stata proprio la progettazione di un meccanismo capace di assicurargli
questa proprietà. Inoltre, il pendolo doveva essere perfettamente simmetrico: qualsiasi imperfezione nella forma o
nella distribuzione del peso poteva falsare i risultati dell’esperimento, negando a Foucault la prova che desiderava.
E infine, le oscillazioni andavano avviate in modo da non favorire nessuna direzione rispetto ad un’altra, come
sarebbe accaduto, per esempio, se una mano avesse dato una spinta lievemente asimmetrica: era necessario
controllare in modo perfetto le condizioni iniziali del moto pendolare.
Poiché un pendolo simile non era mai stato costruito, la fabbricazione doveva procedere per prove ed errori.
Foucault sperimentava il meccanismo da un mese quando finalmente riuscì ad ottenere quello che voleva: il suo
pendolo poteva oscillare senza ostacoli in qualsiasi direzione.
Il 3 gennaio 1851 l’apparato era pronto e Foucault lo mise in moto, trattenendo il fiato mentre il pendolo
cominciava ad oscillare;di colpo, però, il filo si ruppe e la palla cadde pesantemente a terra. Tre giorni dopo era
pronto per un nuovo tentativo: con molta attenzione mise il pendolo in moto e attese. La palla iniziò ad oscillare
davanti ai suoi occhi, lentamente.
E finalmente vide: scoprì quel cambiamento, lieve ma chiaramente osservabile, del piano di oscillazione che
stava cercando. Il piano delle oscillazioni del pendolo aveva deviato dalla direzione iniziale, come se una mano
magica fosse intervenuta a spingerlo, leggermente ma costantemente, lontano da lui, e Foucault seppe di avere
appena osservato l’impossibile. I matematici francesi (e fra loro c’erano gli illustri Cauchy, Laplace, Poisson)
sostenevano unanimi che un moto simile non poteva verificarsi e che se si fosse verificato non avrebbe mai potuto
essere rilevato; ma lui, che non era matematico né un fisico, in qualche modo sapeva da sempre che quella forza
misteriosa esisteva, e ora finalmente l’aveva trovata. Lo spostamento del piano di oscillazione del pendolo era ben
visibile: Léon Foucault aveva appena visto la Terra girare.”
Poco meno di un mese dopo (il 3 febbraio 1851) Foucault, coadiuvato dal signor Froment (un
valente artigiano noto per la qualità dei suoi manufatti in ottone ed altri metalli) presentò a tutti gli
7
scienziati più noti della città un pendolo di undici metri, appeso alla volta della Sala del meridiano
dell’Osservatorio di Parigi.
Nello stesso giorno François Arago, direttore dell’Osservatorio, lesse ai membri dell’Académie
des Sciences una comunicazione di Foucault in cui l’autore non solo esponeva il suo primo
esperimento (quello effettuato nella cantina della sua abitazione) e la prova della rotazione della
Terra che ne risultava, ma presentava anche la legge (oggi nota come “legge dei seni”) per
determinare il tempo T impiegato dal piano di oscillazione di un pendolo, ad una qualsiasi latitudine
λ , per compiere un giro completo fino a tornare al punto di partenza:
T = To/sen λ
(1)
Precessione φ (°/ora)
essendo To = 86400 s la durata di un giorno. Ai due poli il ciclo si compie in 24 ore (la precessione
φ del piano di oscillazione del pendolo risulta di 15° ogni ora) mentre all’Equatore il piano di
oscillazione del pendolo non si sposta affatto (T = ∞) ed a Parigi, che si trova alla latitudine λ = 48°
51’ , il ciclo si completa in 114743 s (pari a 31.873 ore) cui corrisponde una precessione del piano
di oscillazione φ = 11° 18’ ogni ora.
Verso la fine di marzo dello stesso anno l’esperimento venne ripetuto per il pubblico parigino
con un pendolo di 67 metri nel Pantheon di Parigi: l’apparato era costituito da una sfera cava di
ottone riempita con piombo fuso (di massa 28 kg) sospesa mediante un filo di acciaio al
sensibilissimo meccanismo ideato da Foucault e fissato alla volta del tempio. Il pendolo veniva
allontanato dalla posizione di equilibrio mediante un nastro passante attorno al peso terminale e
tirato orizzontalmente da uno spago. La partenza del pendolo senza scosse veniva ottenuta
bruciando lo spago di modo che, alla rottura di questo ultimo, il nastro che circondava il peso
terminale in maniera lasca potesse cadere a terra, lasciando libero il pendolo di iniziare la sua
oscillazione. In un articolo apparso sul Journal des débats Foucault stesso scriveva:
“Dopo una doppia oscillazione durata sedici secondi, lo vedemmo ritornare circa 2.5 mm a
sinistra del punto di partenza. Poiché lo stesso effetto continuava a verificarsi a ogni nuova
oscillazione del pendolo, questa deviazione aumentava continuamente in proporzione al passare del
tempo.”
L’esperimento di Foucault fu ben presto ripetuto in diverse località europee [nella cattedrale di
Reims (λ = 49° 19’) – nella cattedrale di Rennes in Bretagna (λ = 48° 4’) – nella biblioteca
Radcliffe di Oxford (λ = 54° 57’) – a Ginevra (λ = 46° 15’) – a Dublino in Irlanda (λ = 53° 26’) – a
Bristol (λ = 51° 23’) – nella cattedrale di York (λ = 53° 58’) – a Londra (λ =51° 30’) - nella chiesa
dei
gesuiti
di
15
Sant’Ignazio in Vaticano
Parigi
(λ = 41° 53’)], negli
10
Stati Uniti d’America [ a
5
New York (λ = 40° 45’),
Colombo
in Brasile [a Rio de
0
Janeiro (λ = - 22° 54’)] e
-5
Rio de Janeiro
nell’isola di Ceylon [a
-10
Colombo (λ = 6° 54’)],
confermando nella mag-15
gior parte dei casi la
-90
-60
-30
0
30
60
90
correttezza della legge
Latitudine λ (°)
dei seni di Foucault.
In Fig. 1 è riportato l’anFig. 1 Dati teorici e sperimentali della precessione φ del piano di
damento della precessiooscillazione del pendolo in funzione della latitudine λ.
ne φ (°/ora) del piano di
8
oscillazione del pendolo in funzione della latitudine λ (°) che si ricava dalla legge (1) (linea
continua) ed i valori sperimentali di φ misurati in alcune delle località sopra citate.
La legge dei seni di Foucault verrà ricavata nella seconda parte di queste note sulla base della
trattazione dinamica del moto del pendolo in un sistema di riferimento (non inerziale) solidale con
la Terra. In questa sede ci si limiterà a
fornire una spiegazione del fatto che il
pendolo ruota in senso orario rispetto ad un
osservatore terrestre a causa della forza di
Coriolis** . Tale forza agisce sui corpi che
vn
R
si muovono su un sistema rotante e può
essere facilmente sperimentata da un
v’n
osservatore che si muove in senso radiale
vr
su una piattaforma girevole (quale può
FCor
essere una giostra). Supponiamo che
l’osservatore si trovi a distanza R dal
Ω
centro di una piattaforma che ruota in senso
antiorario (lo stesso in cui ruota la Terra,
osservata dal Polo Nord), la velocità con
cui viene trascinato dalla piattaforma è data
da vn = RΩ, essendo Ω la velocità angolare
della piattaforma (Fig.2).
Se l’osservatore non si sposta dalla posizione iniziale esso sarà soggetto, a causa
Fig. 2 Schema per illustrare l’origine della forza di
del moto rotatorio, alla forza centrifuga
Coriolis.
(non rappresentata nella figura) diretta in
senso radiale verso l’esterno (Fcf = mRΩ2).
Se invece si sposta con velocità vr verso il centro della piattaforma si accorgerà di essere sottoposto
(oltre alla forza centrifuga) ad una forza diretta ortogonalmente al suo moto. Questa forza nasce per
il fatto che la persona, spostandosi verso il centro della piattaforma, deve diminuire la propria
velocità di trascinamento. Tale forza agisce normalmente alla velocità vr ed è diretta in senso
orario. Essa è tanto più intensa quanto più velocemente si sposta la persona e quanto più elevata è la
velocità di rotazione della piattaforma (si dimostra che FCor = 2 m vr x Ω): essa è facilmente
sperimentabile su una giostra in quanto con una velocità angolare Ω = 1 rad/s la forza di Coriolis
agente su una persona di massa m = 70 kg che si sposta verso il centro con velocità vr = 1 m/s
assume il valore FCor = 140 N (circa 1/5 della forza peso).
Il moto di rotazione della Terra (Ω ≈ 7.27 10-5 rad/s) dà luogo ad una accelerazione di Coriolis
(a Cor =F Cor/m) che varia dal polo all’equatore con una legge del tipo:
a Cor = 2 v x Ω sen λ
(2)
essendo λ la latitudine del luogo. Tale forza è molto debole tuttavia sufficiente a produrre alcuni
effetti riscontrabili in natura. Si deve alla forza di Coriolis la direzione ed il verso di rotazione dei
cicloni e degli uragani nei due emisferi ed in linea di principio il verso di rotazione dell’acqua che
__________
** Gaspard Gustave Coriolis (1792-1843) laureato all’Ecole Polytechnique condusse ricerche nel
campo della meccanica e dell’ingegneria, introducendo in fisica termini quali il “lavoro” e la
“energia cinetica”. Nel 1835 pubblicò un articolo intitolato “Sulle equazioni del moto relativo dei
sistemi di corpi” in cui descriveva la forza che oggi porta il suo nome.
9
scende nello scarico di un lavandino (in senso antiorario nell’emisfero Nord ed in senso orario
nell’emisfero Sud**).
In alcuni dispositivi realizzati al tempo di Foucault il pendolo, dopo un breve intervallo di
tempo (in genere dopo poche decine di minuti) durante il quale tracciava orbite rettilinee, iniziava a
compiere, in maniera inspiegabile, oscillazioni di tipo ellittico con eccentricità sempre più
crescente ed in cui l’asse principale finiva per ruotare molto più rapidamente di quanto previsto
dalla legge dei seni. A quell’epoca si riteneva che in questi esperimenti le osservazioni effettuate
fossero state falsate dalle perturbazioni prodotte dall’eccessivo affollamento della sala in cui veniva
eseguito l’esperimento. Come si vedrà nei paragrafi dedicati allo studio del moto del pendolo questo
comportamento anomalo, osservato in alcuni casi, si deve molto probabilmente attribuire ad
imperfezioni intrinseche del pendolo piuttosto che a perturbazioni esterne prodotte dal pubblico.
Come si vedrà nella trattazione che segue un pendolo perfettamente simmetrico è caratterizzato
da una velocità angolare costante ed indipendente dal piano di oscillazione ω [ω = (g/L)1/2 essendo
g l’accelerazione di gravità locale ed L la lunghezza del pendolo]; mentre un pendolo asimmetrico
presenta velocità angolari diverse lungo due piani tra loro ortogonali [ωx = (g/Lx)1/2 e
ωy = (g/Ly)1/2], indicati come piani principali.
Il grado di asimmetria del pendolo viene misurato dal coefficiente δ = |ωx – ωy|/2 ed il piano di
oscillazione del pendolo precede in senso orario (come nel caso del pendolo perfettamente
simmetrico) se δ << Ω senλ oppure in senso orario o in senso antiorario quando δ ≈ o > Ω senλ
in dipendenza della posizione angolare di partenza rispetto ai due piani principali.
Nel caso di un pendolo perfettamente simmetrico il moto di precessione avviene, con buona
approssimazione, lungo traiettorie rettilinee (come mostrato in Fig. 4), mentre nel caso di un
pendolo asimmetrico il moto, inizialmente rettilineo diventa progressivamente ellittico (con
eccentricità dapprima crescenti e poi decrescenti) per ritornare poi di nuovo rettilineo (come
mostrato nelle Fig. 5-7).
Come mostrato dallo studio condotto da Kammerling Onnes è possibile correggere l’asimmetria
del pendolo aggiungendo ad esso in maniera opportunamente asimmetrica delle masse che
consentono di rendere tra loro uguali le lunghezze Lx ed Ly (annullando cioè il coefficiente di
asimmetria δ).
Nella seconda parte di queste note sarà analizzato in dettaglio il moto di un pendolo semplice,
tenendo progressivamente conto delle forze agenti su di esso .e della eventuale presenza di
asimmetrie che producono un moto di tipo degenere, innescato dalla forza di Coriolis.
Il lettore che non intende approfondire tali argomenti può saltare alla Parte Quarta dove viene
descritto l’apparato ed in particolare il pannello di controllo e comando con le funzioni svolte dagli
interruttori e dai vari componenti mentre per le operazioni da effettuare per osservare i vari tipi di
moto (lo smorzamento delle oscillazioni in assenza di reintegro dell’energia persa per attrito dal
pendolo, la precessione del piano di oscillazione del pendolo dovuto alla sola forza di Coriolis, il
moto degenere di un pendolo asimmetrico) si rimanda al manuale d’uso (allegato a questo testo).
________
** E’ possibile osservare questo processo soltanto se lo scarico del lavandino è esente da
imperfezioni o asimmetrie. Se nella geometria del lavandino è presente anche una piccola
asimmetria questa può indurre un moto vorticoso in uno o nell’altro verso, a prescindere dall’azione
della forza di Coriolis. Questo, come si vedrà in seguito è quanto può succedere anche nel caso del
moto di precessione del pendolo di Foucault: la presenza di una asimmetria può perturbare in
maniera sostanziale il moto di precessione del piano di oscillazione del pendolo.
10
Parte seconda
II.1 Analisi della dinamica del pendolo.
In questo paragrafo viene analizzata la dinamica di un pendolo semplice ideale nelle seguenti
condizioni di lavoro:
1) Moto di un pendolo semplice ed ideale in un sistema di riferimento inerziale, soggetto alla sola
forza peso (trascurando cioè le forze fittizie dovute ai moti di rotazione e rivoluzione della Terra ed
in assenza di forze di attrito) nel caso di oscillazioni isocrone (α ≤ 3°) e di oscillazioni non più
isocrone.
2) Moto di un pendolo semplice ed ideale nel sistema di riferimento non inerziale della Terra (in
presenza cioè delle forze fittizie dovute al moto di rotazione della Terra attorno al proprio asse).
3) Moto di un pendolo ideale asimmetrico nel sistema di riferimento non inerziale della Terra.
4) Moto di un pendolo reale in presenza delle forze di attrito .
5) Moto di un pendolo semplice smorzato dalle forze di attrito e forzato da una forza impulsiva
elettromagnetica.
6) Cause del moto perturbato di un pendolo reale e metodo di correzione della asimmetria.
7) Analisi della azione di smorzamento del moto ellittico prodotta dall’anello di Charron.
II.1.1 Moto di un pendolo semplice ed ideale in un sistema di riferimento inerziale.
Il moto di un pendolo sferico terrestre può essere trattato, in prima approssimazione, come il
moto di un corpo puntiforme in un sistema di riferimento inerziale qualora si trascurino, rispetto alla
forza gravitazionale, le forze fittizie (forza centrifuga e forza di Coriolis dovute al moto di rotazione
della Terra attorno al proprio asse ed al moto di rivoluzione della Terra attorno al Sole).
Tale assunzione è ragionevole se si limita l’analisi del moto su un intervallo di tempo contenuto
(ad esempio poche decine o centinaia di oscillazioni complete del pendolo) in quanto le forze
fittizie, che sono di piccola entità rispetto alla forza gravitazionale, producono. su un breve periodo
temporale, effetti del tutto trascurabili. A titolo d’esempio il rapporto tra la forza centrifuga
massima Fc (all’equatore) e la forza gravitazionale Fg è dato da:
Fc/Fg = Ω2R3t/GMt ≈ 3.5 10-3
(3)
dove Ω, Rt ed Mt sono rispettivamente la velocità angolare di rotazione, il raggio e la massa della
Terra e G la costante di gravitazione. Il rapporto tra la forza di Coriolis massima FC (ai poli) e la
forza gravitazionale Fg agente su un pendolo di lunghezza L è dato da:
FC/Fg = 2vΩRt2/GMt = 2LωΩRt2/GMt = 2(L/g)1/2 Ω ≈ 4.7 10-5 L1/2
(4)
dove v ed ω sono rispettivamente la velocità con cui la massa pendolare transita dal centro
dell’oscillazione e la velocità angolare del pendolo [ω = (g/L)1/2].
Analogamente si trova che i rapporti tra la forza centrifuga F’c e tra la forza di Coriolis F’C
(dovute al moto di rivoluzione della terra attorno al Sole) e la forza gravitazionale terrestre sono dati
rispettivamente da:
F’c/ F’g = Ω’2RsRt2/GMt ≈ 6.1 10-4
(5)
F’C/ F’g = 2LωΩ’Rt2/GMt = 2(L/g)1/2 Ω’ ≈ 1.3 10-7 L1/2
(6)
11
dove Ω’ è la velocità angolare (media) di rivoluzione della Terra attorno al Sole ed Rs la distanza
media tra la Terra ed il Sole.
Pertanto trascurando in prima approssimazione le forze fittizie è possibile ricavare in maniera
semplice alcune delle principali caratteristiche
z
del moto, (tipo di traiettoria, velocità angolare e
periodo del moto).
S
Assumendo che il moto avvenga costantemente
nel piano PSO (Fig. 3) qualora si considerino
α
oscillazioni di piccola ampiezza (cos α = 1 e
sen α = α)
ed il filo di sospensione di
y
lunghezza
L
sia
inestendibile e perfettamente
O
P
flessibile, l’equazione del moto è data da:
mg
x
x
d2α/dt2 = - (g/La) α
y
(7)
dove g è l’accelerazione di gravità locale [in
realtà utilizzando il valore della accelerazione di
Fig. 3 Sistema di riferimento cartesiano
gravità locale non si trascura la forza centrifuga
inerziale.
(forza fittizia dovuta al moto di rotazione della
Terra) che risulta automaticamente inglobata
nella forza peso], La è una lunghezza mediante la quale si tiene conto della spinta archimedea
dell’aria [La = L δm / (δm-δa) essendo δm e δa rispettivamente la densità del materiale del pendolo
e la densità dell’aria], ed α (t) l’angolo formato dal filo con la verticale passante per il punto di
sospensione. La soluzione dell’equazione (7) è data da:
α(t) = αmax cos (ωt+φ)
(8)
dove αmax e φ sono determinate dalle condizioni iniziali.
Qualora le condizioni iniziali producano un moto che non si svolge costantemente in un piano
conviene scrivere le equazioni di moto in coordinate cartesiane:
d2x/dt2 = -(g/La) x
d2y/dt2 = -(g/La) y
z = L(1-cos α(t))
(7bis)
Le prime due equazioni differenziali del sistema (7bis) non sono accoppiate e possono essere
risolte indipendentemente:
x(t) = A cos (ωt + φ)
y(t) = B cos(ωt + ψ)
(9)
Il moto del pendolo è la sovrapposizione di due moti armonici lungo due assi ortogonali, tra loro
indipendenti di ampiezze A e B e costanti di fase φ e ψ che vengono determinati dalle condizioni
iniziali. In generale il moto avviene su un’orbita ellittica con centro in O e periodo di rivoluzione:
τ = 2π/ω = 2π(La/kg)1/2
(10)
che risulta indipendente dall’ampiezza di oscillazione (oscillazioni isocrone purché αmax sia
sufficientemente piccolo).
12
Nel caso che il pendolo parta da fermo da un punto di coordinate xo = cos β ed yo = sen β (cioè
a distanza unitaria dalla verticale passante per il punto di sospensione del pendolo) le equazioni
orarie del moto diventano:
x = cos β cos(ωt)
y = sen β cos (ωt)
(11)
cioè la traiettoria ellittica diventa una traiettoria rettilinea (il moto avviene costantemente nel piano
verticale definito dall’asse z e dal punto di partenza del moto oscillatorio del pendolo).
Lo spostamento della massa del pendolo lungo l’asse z, anch’esso di periodo τ, è di piccola
entità (rispetto agli spostamenti nel piano xy) e pertanto si può in prima approssimazione assumere
che il moto si svolga nel piano xy.
Se il pendolo compie ampie oscillazioni per cui non è più soddisfatta la condizione (cos α =1 e
sen α = α) l’equazione di moto (nel caso che il pendolo parta senza una componente della velocità
trasversale rispetto al piano individuato dal filo di sospensione e dalla verticale nel punto di
sospensione) può essere scritta nella forma:
d2α/dt2 + (g/La) sen α = 0
(12)
dove α rappresenta l’angolo di inclinazione del filo rispetto alla verticale al generico istante t.
Il moto risulta ancora periodico ma le oscillazioni non sono più isocrone. Il periodo di
oscillazione varia con l’ampiezza massima αmax della oscillazione:
τ = 2π (La/g)1/2[1 + s2/4 + 9s4/36+ ….]
(13)
dove s = sen(αmax/2). Come si può ricavare immediatamente dalla relazione (13) il periodo di
oscillazione aumenta soltanto di circa lo 0.17% passando da una oscillazione con αmax = 3° ad una
oscillazione con αmax = 10°. Il problema di una ampiezza di oscillazione superiore a 3°-4° consiste
nel fatto che lo smorzamento diventa più elevato e quindi per un pendolo “intrattenuto” è necessario
fornire maggiore energia.
Per semplificare lo studio del moto del pendolo in presenza delle varie forze (forza di Coriolis,
forze di attrito, forza magnetica, etc.), si adotterà, a seconda dei casi, la descrizione del moto del
pendolo come se avvenisse costantemente in un piano [cioè scrivendo l’equazione del moto in
funzione dell’angolo α(t)] oppure si adotterà la descrizione del moto nel piano xy.
II.1.2 Moto del pendolo semplice ed ideale nel sistema di riferimento non inerziale della
Terra.
Per uno studio più completo del moto del pendolo (in assenza di forze di attrito) occorre
considerare accanto alle forze reali (forza gravitazionale e spinta archimedea) le forze apparenti
(forza centrifuga e forza di Coriolis).
In questa analisi si trascura il moto di rivoluzione della Terra attorno al Sole (in quanto la forza
centrifuga e la forza di Coriolis sono rispettivamente inferiori di un fattore 6 e di un fattore 360
rispetto alle corrispondenti forze dovute al moto di rotazione della Terra).
Poiché la forza centrifuga (dovuta al moto di rotazione della Terra attorno al proprio asse) giace
nello stesso piano della forza gravitazionale (piano definito dal punto materiale del pendolo e
dall’asse terrestre) questa forza fittizia può essere inglobata nella forza peso (in altri termini si tiene
conto di tale forza attraverso il valore dell’accelerazione g che varia passando dal polo
all’equatore).
Le componenti cartesiane secondo gli assi x ed y della forza di Coriolis sono date da:
13
(Fc)x = 2mΩz vy
(Fc)y = - 2mΩz vx
(14)
essendo Ωz la componente verticale del vettore velocità angolare terrestre alla generica latitudine
geografica λ misurata a partire dall’equatore (Ωz = Ω sen λ essendo Ω la velocità angolare della
Terra) e vx, vy sono le componenti della velocità del pendolo.
Nonostante l’esigua entità della forza di Coriolis gli effetti prodotti da questa forza si sommano
ad ogni oscillazione del pendolo dando luogo ad una rotazione del piano di oscillazione di 15° ogni
ora quando il pendolo si trova al polo e di 15°sen λ ogni ora quando il pendolo si trova alla
latitudine λ (come mostrato dall’analisi che segue).
Le equazioni del moto del pendolo in presenza della forza di Coriolis diventano:
d2x/dt2 = -(g/La) x + 2Ωz dy/dt = -ω2 x + 2Ωz dy/dt
(15)
d2y/dt2 = -(g/La) y - 2Ωz dx/dt = -ω2 y - 2Ωz dx/dt
Le due equazioni sono accoppiate e non possono essere risolte indipendentemente. Senza entrare
nel dettaglio di come si può risolvere il problema dell’integrazione delle equazioni (15), sono
riportate le soluzioni nel caso in cui il pendolo venga rilasciato con velocità nulla da un punto di
coordinate xo = cos β yo = sen β (cioè a distanza unitaria dalla verticale passante per il punto di
sospensione del pendolo):
x = cos(Ωz t – β) cos (ωt) + (Ωz/ω) sen(Ωz t –β) sen (ωt)
y = -sen(Ωz t – β) cos (ωt) + (Ωz/ω) cos(Ωz t –β) sen (ωt)
(16)
Il moto risultante è la combinazione di moti periodici con frequenze ω ed Ωz che differiscono per
molti ordini di grandezza:
Ωz << ω
Î
Τ >> τ
pertanto nell'intervallo di tempo (0, τ) il prodotto (Ωz t) rimane praticamente costante. In particolare
se si pone, in prima approssimazione Ωz = 0 si ritrova la soluzione inerziale (11):
x = cos β cos(ωt)
y = sen β cos (ωt)
(11bis)
Dall’analisi delle equazioni (16) si ricava che essendo Ωz/ω dell’ordine di 10-5 ÷ 10-4 si possono
trascurare i secondi termini e riscrivere la soluzione nella forma approssimata:
x = cos(Ωz t – β) cos (ωt)
y = - sen(Ωz t – β) cos (ωt)
(16 bis)
da cui si ricava che al termine della prima oscillazione (al tempo t = τ) il pendolo non torna nel
punto di avvio ma nel punto ruotato di un angolo:
Δφ = Ωz τ
(17)
Tale spostamento angolare (molto piccolo) si accumula ad ogni oscillazione producendo un effetto
visibile. In particolare lo spostamento angolare subito in 1 ora = 3600 s da un pendolo che si trova
alla latitudine λ risulta essere:
14
φ (λ) = Ωz 3600 = Ω sen λ 3600 = 2π/24 sen λ = 15° sen λ
(18)
che rappresenta, sotto altra forma, la legge dei seni di Foucault.
Le relazioni (16) consentono di determinare e riportare nel grafico di Fig. 4 la traiettoria nel piano
xy del pendolo installato da Foucault nel Pantheon di Parigi (La = 67 m) durante le prime tre
oscillazioni complete (si noti che per motivi di rappresentazione gli spostamenti lungo l’asse y
sono stati amplificati di un fattore 1000 rispetto agli spostamenti lungo l’asse x).
In base alla osservazione riportata da
Foucault stesso si deduce che
l’ampiezza angolare massima doveva
essere di circa ±2.5° corrispondente
ad uno spostamento lineare della
massa pendolare di circa ± 2.9 m.
10
y(mm)
6
2
t=0s
-2
-6
t = 16 s
t = 32 s
II.1.3 Moto di un pendolo ideale
asimmetrico
nel
sistema
di
riferimento non inerziale della
Terra.
t = 48 s
Un pendolo ideale può risultare
soggetto, a causa di imperfezioni co-10
struttive, a forze e momenti mec-4
-2
0
2
4
6
canici di piccola intensità ma che a
x(m)
lungo andare possono influenzarne il
moto in maniera così significativa da
Fig. 4 Traiettoria nel piano xy del pendolo di Foucault nel impedire l’osservazione della precesPantheon di Parigi durante le prime tre oscillazioni. sione del piano di oscillazione dovuta
alla forza fittizia di Coriolis.
L’analisi teorica e sperimentale del moto perturbato di un pendolo semplice è stata condotta nel
1879 (cioè quasi trenta anni dopo i primi esperimenti di Foucault) dal fisico olandese Kammerling
Onnes ** durante la sua tesi di dottorato a Groningen, il cui l’argomento era stato suggerito da
Gustav Kirchhoff, uno dei suoi primi insegnanti.
In un pendolo ideale asimmetrico il momento di inerzia può presentare valori differenti in
dipendenza della orientazione del piano di oscillazione e questo fatto fa sì che la pulsazione ω del
pendolo non si mantenga costante come nel caso ideale esaminato nel precedente paragrafo.
Se il pendolo non possiede una perfetta simmetria rotazionale le equazioni di moto (15) del
pendolo semplice introdotte nel precedente paragrafo vengono modificate ed assumono la seguente
forma:
d2x/dt2 = -(g/Lx) x + 2Ωz dy/dt = -ωx2 x + 2Ωz dy/dt
(19)
d2y/dt2 = -(g/Ly) y - 2Ωz dx/dt = -ωy2 y - 2Ωz dx/dt
_________
** Kammerling Onnes professore dell’Università di Leida e premio Nobel nel 1913 per la Fisica
per le sue ricerche sulle proprietà della materia alle basse temperature che portarono, tra le altre
cose, alla produzione dell’elio liquido ed alla scoperta della superconduttività.
15
dove Lx ed Ly sono due lunghezze differenti in due piani ortogonali che tengono conto, come si è
detto poco sopra della differenza tra i momenti principali di inerzia. La direzione degli assi di
riferimento x ed y si identifica con la direzione in cui è rispettivamente massima e minima la
derivata prima della forza gravitazionale.
Per la soluzione delle equazioni differenziali (19) si pone:
(g/Lx)1/2 = ω + δ
(g/Ly)1/2 = ω – δ
x = a cos[(ω+Δ)t +φ]
(20)
y = b sen [(ω+Δ)t +φ]
dove Δ è un parametro che tiene conto della asimmetria del pendolo e dove ( Ωz , δ , Δ) << ω.
Sostituendo le espressioni (20) nelle equazioni differenziali (19) si ottiene:
(Δ – δ) a + Ωz b = 0
Ωz a + (Δ+δ) b = 0
(21)
Il sistema di equazioni (21) ammette una soluzione diversa da a = b = 0 soltanto se il determinante
si annulla cioè se:
(Δ2 – δ2) –Ωz2 = 0
(22)
Questa equazione presenta le due soluzioni:
Δ1 = A
A = (Ωz2 + δ2)1/2
Δ2 = - A
(23)
che mostrano come le equazioni differenziali (19) presentino due coppie di soluzioni
(corrispondenti ai due valori di Δ) e che la soluzione generale è la sovrapposizione di queste due
coppie di soluzioni. Inoltre il duplice valore di Δ mostra come l’innesco del moto perturbato
dipenda in parte dalla rotazione terrestre (Ωz) ed in parte dalla eventuale asimmetria costruttiva del
pendolo (δ).
Viene qui di seguito presentata la soluzione generale del sistema di equazioni differenziali (19)
senza riportare i passaggi di calcolo intermedi:
x(t) = cos β [cos ωt cos At – cos 2α sen ωt sen At] + sen β sen 2α cos ωt sen At
(24)
y(t) = sen β [cos ωt cos At + cos 2α sen ωt sen At] + cos β sen 2α cos ωt sen At
nell’ipotesi che il pendolo parta da fermo da una distanza unitaria dalla verticale passante per il
punto di sospensione:
x(0) = cos β
y(0) = sen β
dx/dt (0) = dy/dt(0) = 0
(25)
ed avendo posto:
cos α = Ωz/[2A(A-δ)]1/2 = (A+δ)1/2/(2A)1/2
sen α = (A-δ)1/2/(2A)1/2 = Ωz/[2A(A+δ)]1/2
(26)
Si può ricavare in maniera relativamente semplice che nel caso che il pendolo non presenti
asimmetrie rotazionali (δ = 0) le equazioni (24) si riducono alle equazioni (16 bis) ricavate nel
precedente paragrafo (cioè al moto di precessione teorico previsto da Foucault).
Una analisi delle equazioni orarie (24) mostra che la traiettoria del pendolo presenta le seguenti
caratteristiche:
16
(a) Un moto oscillatorio lineare nella direzione βo (posizione angolare di avvio del moto) negli
istanti in cui At = 0, π, 2π …;
(b) Un moto ellittico in cui il diametro maggiore è diretto come l’asse y negli istanti in cui At = r/2,
π+r/2, 2π+r/2 … dove r è la radice dell’equazione trascendentale:
tang r = tang 2β /sen 2α
(27)
e il moto del pendolo avviene in senso
antiorario se 0 < βo< π/2;
1,2
(c) Un moto oscillatorio lineare nella direzione
30 h
33 h β o= 60°
– βo si ripresenta quando At = r, π+r, 2π+r … ;
t=0
27 h
0,8
(d) Un moto ellittico in cui il diametro
maggiore è diretto come l’ asse x ogniqualvolta
3h
0,4 24 h
At = (π+r)/2, (2π+r)/2 …. In questo caso il
moto del pendolo avviene in senso orario (per
0
lo stesso valore di βo).
6h
21 h
Se l’asimmetria del pendolo è piccola (cioè δ
-0,4
abbastanza più piccolo di Ωz) il moto di
9h
precessione dell’asse maggiore dell’ellisse
18 h
avviene in senso orario in maniera continua
-0,8
anche se non con velocità perfettamente
12 h
15 h
uniforme.
-1,2
In Fig. 5 è illustrata questa situazione nel caso
-1,2
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
1,2
di un pendolo, alla latitudine di Milano (λ = 45°
Fig. 5 Traiettorie del pendolo quando δ < <Ωz.
28’), che ha un periodo di oscillazione esattamente uguale a 2 s (pari ad una lunghezza
ideale L = 0.9939 m) ed una piccola asimmetria per la quale δ = 7.9 10-6 rad/s, cioè una velocità
angolare addizionale di circa il 15% rispetto ad Ωz (essendo Ωz = 5.18 10-5 rad/s). A tale
asimmetria corrispondono due lunghezze del pendolo nei due piani principali xz ed yz che si
discostano soltanto di ± 5 micron dal valore ideale di L.
Il grafico mostra la traiettoria iniziale (a t = 0 e βo = 60°) che risulta essere rettilinea e le
traiettorie successive (di forma ellittica ed eccentricità variabile) calcolate mediante le relazioni (24)
con passo temporale di 3 ore. Le traiettorie appaiono come orbite chiuse ma in realtà si tratta di
orbite aperte il cui asse maggiore precede in senso orario. Come previsto dall’analisi esposta poco
sopra, il pendolo si muove lungo le ellissi in senso antiorario nella regione angolare compresa tra
βo = 60° e β = -300° (ed in senso orario nella regione compresa tra β = -300° e βo = 60° come
indicato nel grafico dalle frecce apposte sulle ellissi) . A causa della asimmetria il moto di
precessione copre l’angolo giro in 33h e 17’ anziché in 33h e 40’ (come previsto dalla legge dei seni
di Foucault); tale differenza può essere interpretata come se il pendolo si trovasse su un pianeta
uguale alla Terra che ruota, alla latitudine considerata, con una velocità angolare Ω’z = (Ωz2+δ2)1/2 =
5.24 10-5 rad/s anziché con la velocità angolare Ωz = 5.18 10-5 rad/s.
La dinamica del pendolo diventa molto più complessa quando il coefficiente δ legato alla
asimmetria del pendolo risulta maggiore di Ωz (componente della velocità angolare della Terra alla
latitudine λ).
Nel caso in cui δ >> Ωz le traiettorie ellittiche oscillano tra la posizione angolare iniziale βo e la
posizione angolare simmetrica rispetto all’asse più vicino (indicata con - βo) come mostrato nei
grafici di Fig. 6, nei quali sono riportate le orbite dello stesso pendolo sopra considerato nel caso
17
in cui δ = 5.5 10-4 rad/s (corrispondente a δ ≈ 10.6 Ωz e ad una asimmetria della lunghezza del
pendolo nei piani xz ed yz di ± 0.35 mm) e le posizioni angolari di partenza sono rispettivamente
βo = 30° e βo = 60°.
1,2
1,2
β o = 30°
β o = 60°
t = 2924 s
t=0
t=0
0
0
t=2730 s
-1,2
-1,2
0
-1,2
-1,2
1,2
0
1,2
Fig. 6 Traiettorie del pendolo, nel caso di asimmetria pronunciata (δ >> Ωz) per due diversi valori
di βo situati nel primo quadrante (0< βo < 90°) e limitatamente alla sola fase di andata del moto di
precessione da βo a – βo.
La traiettoria negli istanti iniziali è rettilinea, diventa ellittica con eccentricità dapprima
decrescente e poi crescente sino a quando, dopo un intervallo di tempo di circa tre quarti d’ora
(Δt = 45’ 30” quando βo = 30° e Δt = 48’ 44’’ quando βo = 60°) ritorna ad essere rettilinea in - βo
e si completa così la prima fase del ciclo di precessione. In questo intervallo di tempo il senso di
percorrenza è antiorario, come indicato dalle frecce, ed è indipendente dal valore di βo, mentre la
precessione delle orbite avviene in senso orario nel caso di βo = 30 ° ed in senso antiorario nel caso
di βo = 60°. Durante la fase di ritorno sia il senso di percorrenza che il verso della precessione
subiscono una inversione. E’ da notare, come si può ricavare dalle caratteristiche generali del moto
sopra riportate, che mentre il periodo per una oscillazione completa del moto di precessione è
indipendente dal valore di βo ( Δt ≈ 5654 s), il periodo della fase di andata e quello della fase di
ritorno sono leggermente diversi (nel caso di βo = 30° il periodo di andata è di 2730 s ed il periodo
di ritorno di 2924 s; nel caso di βo = 60° il periodo di andata è di circa 2924 s ed il periodo di
ritorno di circa 2730 s).
La dinamica del pendolo risulta ulteriormente complicata quando δ è dello stesso ordine di
grandezza di Ωz (pur essendo sempre maggiore di Ωz). In questo caso il moto non rimane più
confinato tra βo e –βo ma ricopre una ampiezza angolare maggiore (tanto più estesa quanto minore
è il divario tra δ ed Ωz). Nelle Fig. 7 e Fig. 9 sono riportate le orbite dello stesso pendolo sopra
considerato nel caso in cui δ = 1.56 10 -4 rad/s (corrispondente a δ ≈ 3 Ωz e ad una asimmetria
della lunghezza del pendolo nei piani xz ed yz di circa ± 0.1 mm) quando le posizioni angolari di
partenza sono rispettivamente βo = 30° e βo = 60°.
Nel primo grafico di Fig. 7 sono riportate le orbite durante la fase di precessione in senso orario;
nel secondo grafico le orbite nella fase di precessione in senso antiorario.
18
Le traiettorie che precedono in senso orario superano la posizione angolare simmetrica (- βo) e
giungono sino alla posizione angolare β ≈ -33.9°. A questo punto si ha una inversione del moto di
precessione che prosegue sino alla posizione angolare β ≈ + 33.9°.
1,2
1,2
β ο= 30°
0,8
0,4
0,4
0
0
-0,4
-0,4
t =11253 s
-1,2
-1,2
-0,8
-0,4
0
0,4
t = 16280 s
0,8
t=0
-0,8
β ο= 30°
β ≈ -33.9°
-0,8
0,8
-1,2
-1,2
1,2
β ≈ 33.9°
t =11253 s
-0,8
-0,4
0
0,4
β ≈ -33.9°
0,8
1,2
Fig. 7 Traiettorie del pendolo quando δ ≈ 3Ωz e la posizione angolare di avvio si trova a βo = 30°.
β (°)
In Fig. 8 è mostrata l’evoluzione temporale del moto dell’asse maggiore delle orbite ellittiche e gli
istanti in cui le orbite sono rettilinee o sono ellissi con l’asse maggiore che giace sull’asse x.
La velocità di precessione non è
costante ed in media risulta di circa
40
20.4°/h nella prima fase e di circa
30
48.6°/h nella fase di ritorno.
20
Durante la prima fase il pendolo
percorre in senso antiorario le orbite
10
ellittiche sino a quando non superano
0
la posizione angolare β = -βo; nella
-10
seconda fase esso percorre le orbite in
-20
senso orario, come indicato dalle
frecce nei grafici di Fig. 7.
-30
Nel caso in cui βo = 60° (Fig. 9) le
-40
traiettorie inizialmente precedono in
0
5000
10000
15000
20000
senso orario sino a giungere ad una
t (s)
posizione angolare β ≈ 56.3 ° dopo di
Fig. 8 Evoluzione temporale dell’angolo di preche invertono il moto di precessione sicessione nel caso di βo = 30°.
no a raggiungere la posizione angolare
re simmetrica β ≈ -56.3°.
Nel primo grafico sono riportate le orbite durante la fase in cui, partendo da βo = 60°, giungono dapprima a β ≈ 56.3° (precessione in senso orario) ed in seguito raggiungono la posizione
simmetrica (β = -56.3 °) (precessione in senso antiorario). Nel secondo grafico sono riportate le
orbite nella fase di precessione in senso antiorario da β= -56.3° a β = 56.3°.
19
1,2
β ο= 60°
1,2
t=0
β ≈ 56.3°
t = 7965 s
β ο= 60°
β ≈ 56.3°
t = 7965 s
0,8
0,8
t = 2655 s
t = 21600 s
0,4
0,4
0
0
-0,4
-0,4
-0,8
-0,8
β ≈ -56.3°
-1,2
-1,2
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
β ≈ -56.3°
-1,2
-1,2
1,2
-0,8
-0,4
0
0,4
0,8
1,2
Fig. 9 Traiettorie del pendolo quando δ ≈ 3Ωz e la posizione angolare di avvio si trova a βo = 60°.
β (°)
Nel grafico di Fig. 10 è mostrata l’evoluzione temperale dell’angolo β di precessione nel caso in
cui βo = 60° e gli istanti in cui le orbite sono rettilinee o sono ellissi con l’asse maggiore che giace
sull’asse y. Il moto di precessione in senso orario da βo= 60° a β = 56.3° avviene molto lentamente
(con una velocità media di circa 5°/h), mentre il moto di precessione in senso antiorario è molto
rapido (con una velocità media di circa 45.6°/h). Il moto di precessione in senso orario da β= -56.3°
a β = 56.3° avviene con una velocità media di circa 17.8°/h. Il verso di percorrenza delle orbite è
indicato nei grafici di Fig. 9.
Questa analisi del moto perturbato,
120
compiuta per la prima volta da
90
Kammerling Onnes, consente di trarre
60
alcune conclusioni e di formulare
30
alcune considerazioni sia di ordine
particolare (connesse cioè al problema
0
specifico del pendolo di Foucault) sia
-30
di ordine generale (connesse alla teoria
-60
delle perturbazioni degeneri che si
-90
presentano in altri campi della Fisica).
-120
a) Si comprende innanzitutto come i
primi ricercatori, non avendo affrontat (s)
to il problema degli effetti prodotti sulFig. 10 Evoluzione temporale dell’angolo di prela dinamica del pendolo da asimmetrie
cessione nel caso di βo = 60°.
costruttive anche di piccolissima entità,
fossero disorientati quando osservavano le orbite ellittiche, in particolar modo quando esse presentavano una evoluzione temporale
così complicata come quella mostrata nelle Fig. 6-9. Per questa ragione in alcuni casi erano portati
ad attribuire il moto ellittico a perturbazioni esterne, quale l’eccessiva affluenza di pubblico che
partecipava alla dimostrazione.
0
6000
12000
18000
24000
20
b) L’ analisi della dinamica di un pendolo ideale asimmetrico facilita lo studio della dinamica di un
pendolo reale asimmetrico. In particolare nel paragrafo II.1.6 verranno esaminate due cause di
asimmetria (geometria non perfettamente sferica della massa pendolare e sezione non perfettamente
cilindrica del filo di sospensione) e ricavata la dipendenza funzionale delle due lunghezze Lx ed Ly
dai parametri geometrici e fisici della asimmetria.
c) In base alla osservazione ed alla misura delle caratteristiche del moto perturbato è possibile
risalire alla asimmetria globale che provoca tale moto e procedere ad una compensazione che
consenta di realizzare il pendolo “ideale” di Foucault. Anche questo aspetto verrà esaminato nel
paragrafo II.1.6 e nel paragrafo III..2.3.
d) L’analisi del moto perturbato del pendolo è storicamente il primo esempio di teoria della
perturbazione degenere della quale si trovano esempi in diversi campi sia della fisica classica (modi
degeneri nelle cavità a microonde e nell’ottica laser) sia della fisica quantistica . A questo proposito
si può consultare l’articolo di E.O. Schulz-DuBois [American Journal of Physics 173, 38 (1970)].
II.1.4 Moto di un pendolo reale in presenza delle forze di attrito.
Nel caso di un pendolo reale la massa oscillante non è puntiforme, il filo di sospensione non è
perfettamente flessibile ed inestendibile ed il moto avviene in aria: nascono pertanto forze e
momenti meccanici che si sommano vettorialmente alle forze considerate nel caso di un pendolo
ideale.
Per semplificare lo studio degli effetti prodotti sul moto del pendolo da queste forze e momenti
meccanici questi ultimi verranno presi in esame in maniera separata.
II.1.4.1 Forze e momenti agenti sul filo reale.
In primo luogo il filo è sottoposto ad una tensione T che é variabile con la posizione angolare α
del pendolo :
T = m(g cosα + vα2/L) = mg [1 + αmax2 – 3α2/2]
(28)
dove:
α = αmax cos ωt
sen2ωt = 1- α2/αmax2
vα = - L αmax ω sen ωt = - αmax (gL)1/2 sen ωt
La tensione del filo passa da un valore minimo Tmin = mg cos αmax = mg (1- αmax2/2) quando
α = αmax ad un valore massimo Tmax = m (g+v2/L) = mg(3-2cosαmax) = mg (1+ α2max) quando
α = 0. Tale variazione si presenta ad ogni semiperiodo ed il filo subisce periodicamente un
allungamento dato da:
ΔL/L = (Tmax-Tmin)/(E S)
(29)
dove L è la lunghezza del filo (quando è sottoposto alla tensione Tmin), S la sua sezione ed E il
modulo di Young della sostanza con la quale è realizzato il filo.
Nel grafico di Fig. 11 è mostrato lo scostamento del baricentro di un pendolo di massa m = 1.5 kg
dalla traiettoria circolare, quando il filo di sospensione in acciaio (E = 2 10 11 N/m2) ha una
lunghezza L = 1 m ed un diametro D = 0.4 mm e l’ampiezza massima dell’oscillazione è αmax = 9°.
21
0,00
z (mm)
-0,01
-0,01
-0,02
-0,02
-0,03
-10
-5
0
5
10
α (°)
Fig. 11 Scostamento della posizione del centro di
massa del pendolo a causa della variazione
della tensione agente sul filo in funzione
dell’angolo α.
Come si può notare lo scostamento dalla
traiettoria circolare è inferiore a 0.03 mm e
quindi l’effetto prodotto da questa variazione
della tensione sul filo può considerarsi trascurabile: la variazione massima della
velocità angolare è in percentuale di circa 1
parte su 105 ed il periodo aumenta in
percentuale di meno di 1 parte su 105.
Tuttavia, come si vedrà in seguito essa
può produrre uno smorzamento importante
qualora il materiale del filo non lavori in
regione perfettamente elastica.
In secondo luogo il filo subisce una flessione
in prossimità del punto di sospensione che dà
origine ad un momento meccanico M’ la cui
intensità risulta proporzionale alla deflessione angolare α:
M’ =I E/R = I E α /d
(30)
dove E è il modulo di Young, R il raggio di curvatura della regione flessa del filo, d è la lunghezza
dell’arco di raccordo tra il punto di sospensione e la parte rettilinea del filo quando esso è ruotato
dell’angolo α rispetto alla verticale ed I il momento di inerzia che per un filo cilindrico di diametro
D è dato da:
I = π D4/64
(31)
Questo momento di natura elastica si somma al momento meccanico Mg della forza peso, calcolato
rispetto all’asse orizzontale passante per il punto di sospensione e normale al piano di oscillazione:
Mg = (δm-δa) V g L α
(32)
dove m g= δm V g è la forza peso ed ma g = δa V g è la spinta archimedea dell’aria.
Nel caso del pendolo considerato all’inizio di questo paragrafo si trova:
Mg = 2.31 Nm
M’ ≈ 0.8 - 1.3 10-2 Nm ( per d = 5 e 3 mm)
cioè il momento di richiamo dovuto alla flessione del filo rappresenta in genere una correzione
abbastanza piccola del momento meccanico dovuto alla forza peso.
Ne consegue che l’equazione di moto di una massa pendolare perfettamente sferica, nell’ipotesi che
questa oscilli costantemente nello stesso piano, può essere scritta nel seguente modo:
(mL2+(2/5)m R2) d2α/dt2 = -(mLg+I E/d) α
(33)
essendo L la distanza tra il punto di sospensione ed il baricentro del sistema ed R il raggio della
massa sferica.
22
Il periodo τ’ del pendolo diventa:
τ’= 2π/{[g/L[1+(2/5)(R/L)2] + I E/[m L2d+(2/5)mR2d)]} 1/2
(34)
Nel caso del pendolo preso in esame poco sopra e nell’ipotesi che la parte del filo interessata alla
flessione sia di alcuni millimetri (d = 3-5 mm), il periodo di oscillazione τ’ risulta ridotto rispetto al
periodo τ del pendolo ideale di circa 2 parti su 104 (nel caso in cui d = 3 mm) e di 1 parte su 104 (nel
caso in cui d = 5 mm).
II.1.4.2 Forze di attrito.
Le forze di attrito agenti su un pendolo reale sono di diversa natura :
i) forza di attrito dell’aria;
ii) forze di attrito interne al filo dovute ad un comportamento non perfettamente elastico di
quest’ultimo durante le sollecitazioni meccaniche prodotte dal moto del pendolo;
iii) forze dissipative dovute alle correnti indotte dal campo magnetico terrestre nel materiale della
massa pendolare.
Mentre la forza d’attrito dell’aria può essere calcolata con buona precisione, degli altri due tipi
di forze può essere fornita soltanto una valutazione approssimata.
Conviene pertanto analizzare il comportamento dinamico del pendolo semplice ideale nel caso in
cui sia presente soltanto la forza d’attrito dell’aria per poi estendere il risultato al caso generale in
cui sono presenti anche le altre forze di attrito.
II.1.4.2a Forza di attrito dell’aria e studio del moto smorzato.
La forza di attrito dell’aria su una sfera in moto con velocità v (forza di Stokes) è data da:
FS = - 6πRηv = - kS dα/dt
(35)
dove kS = 6πRηL essendo R il raggio della sfera ed η il coefficiente di viscosità dell’aria ( η = 185
μpoise = 18.5 10-6 unità MKS alla temperatura t = 25 C).
L’equazione di moto del pendolo in presenza di tale forza e per piccole oscillazioni (αmax ≤ ± 3°) è
data da:
d2α/dt2 + [ka/(δsV)] dα/dt + [(δs-δa)/δs](g/L) α = 0
(36)
essendo ka = kS/L, δs la densità della sfera, δa la densità dell’aria (δa = 1.293 kg/m3), V il volume
della sfera, L la distanza tra il punto di sospensione ed il centro di massa del pendolo, g
l’accelerazione di gravità locale (g = 9.81 m s-2) . Ponendo:
γ = ka/(2δsV)
ωo2 = [(δs-δa)/δs]g/L
Δ2 = γ 2 – ωo2
δ = (-Δ)1/2
(37)
la soluzione è data in generale da:
α= A e
–γ t
sin (δt + φ)
(38)
e nel caso che le condizioni iniziali siano α(t=0) = αmax e (dα/dt)t=0 = 0, la soluzione è data da:
α= αmax e
–γ t
cos (δt )
23
(39)
La scelta di far comparire il termine ka (anziché l’espressione esplicita ka = 6πrη) è stata fatta in
previsione di includere in questo coefficiente anche le altre forme di attrito (che provengono dagli
attriti interni del filo di sospensione e dagli attriti interni della struttura di supporto non
perfettamente rigida e dagli attriti di natura elettromagnetica).
Il coefficiente di smorzamento dell’aria è tanto più piccolo quanto più elevata è la massa del
pendolo [γ decresce in funzione della densità della sostanza e del raggio della sfera come
γ ÷ 1/(δsR2)].
Lo smorzamento dovuto all’attrito dell’aria è piuttosto piccolo [a titolo di esempio i valori di ka
e di γ per una sfera di ferro di diametro 2R =72 mm (all’incirca uguale al diametro equivalente del
pendolo realizzato al Dipartimento di Fisica) sono rispettivamente:
ka = 1.255 10-5 s-1 kg
γ = 4.22 10-6 s-1
(40)
ed in assenza di altri attriti, consentirebbe al pendolo di oscillare per un periodo di parecchie ore
[circa 7 ore con una riduzione dell’ampiezza iniziale del 10%].
In realtà le altre forme di attrito, in genere possono produrre uno smorzamento più pronunciato che
può essere determinato in maniera sufficientemente precisa soltanto per via sperimentale.
Per quanto riguarda il periodo di oscillazione del moto smorzato τ’ = 2π/δ si trova che esso non
si discosta apprezzabilmente da quello in assenza di attrito poiché in ogni caso γ << ωo .
E’ utile ricavare le espressioni della forza di smorzamento istantanea, della forza di
smorzamento mediata su un periodo e dell’energia sottratta al moto del pendolo durante un periodo
nel caso dell’attrito dell’aria (ka = 6πRη) allo scopo di poter fare un confronto con le altre forme di
attrito e per avere una stima della forza magnetica necessaria per contrastare lo smorzamento
dovuto agli attriti.
La forza di smorzamento Fs istantanea dovuta all’ attrito dell’aria è data da:
Fs = - ka Ldα/dt = kaLαmaxe
-γt
[γ cos(δt) + δ sen(δt)]
(41)
La forza mediata su un periodo di oscillazione (essendo 1/γ >> τ) è data da:
π/2δ
π/2δ
-γt
<Fs> = (δ/2π) kaLαmaxe [4γ ∫ cos(δt)dt+ 4δ ∫sen(δt)dt] =
0
0
= 2 ka L αmax e-γt (γ/δ+1) ≈ 2 kaL αmax e-γt
(42)
L’energia media Earia , dissipata negli istanti iniziali del moto (e-γt = 1) per attrito nell’aria in un
periodo (spostamento uguale a 4 L αmax) , è data da:
Earia = 8 ka L2 αmax2
(43)
Nel caso di un pendolo di lunghezza L = 1 m e costituito da una sfera di diametro 2R = 72 mm la
forza d’attrito mediata su un periodo e la perdita di energia in un periodo assumono i valori:
<Fs> = 3.94 10-6 N
Earia = 2.48 10-6 J
24
(44)
II.1.4.2b Forze di attrito interne al filo di sospensione.
Come si è visto nel paragrafo II.1.4.1 il filo subisce periodicamente degli allungamenti di piccola
entità essendo però sottoposto a sforzi in genere piuttosto elevati (in altri termini il punto di lavoro
nel diagramma sforzi-deformazioni si trova in genere lontano dall’origine ed in una regione non
perfettamente elastica del materiale).
Il lavoro L fatto dalla tensione T del filo durante l’allungamento ΔL del filo (2 volte ad ogni
oscillazione completa) è dato da:
αmax
αmax
2
3
L = (ΔL/αmax)∫ T dα = (mgΔL/ αmax )[ α + αmax α – α /2] = mgΔL[2+αmax2]
(45)
-αmax
-αmax
Se una frazione ε di questo lavoro viene dissipata per attriti interni del filo di sospensione, questa
energia Efilo = ε L viene sottratta al moto del pendolo.
In Tabella I sono riportate in funzione dell’ampiezza massima di oscillazione di un pendolo
costituito da una sfera di ferro di massa m ≈ 1.59 kg le seguenti quantità:
- le tensioni estreme (Tmin, Tmax) cui è sottoposto un sottile filo di acciaio (S = π 10-2 mm2, E
= 2 1011 N/m2);
- gli allungamenti ΔL subiti da questo ultimo;
- le energie dissipate per attrito nell’aria e per attrito nel filo nell’ipotesi che ε = 10-3.
Tabella I
θmax
(°)
3
4
5
6
7
8
9
10
Tmin
(N)
Tmax
(N)
15.561
15.545
15.524
15.498
15.467
15.431
15.391
15.346
15.626
15.659
15.702
15.754
15.815
15.886
15.967
16.057
S = π 10-2 mm2
< σ > ≈ 500N/mm2
ε = 10-3
Earia
Efilo
ΔL
(J)
(J)
(mm)
0.0103
0.0181
0.0283
0.0407
0.0554
0.0724
0.0917
0.1132
2.78 10-7
4.94 10-7
7.72 10-7
1.11 10-6
1.51 10-6
1.98 10-6
2.50 10-6
3.09 10-6
3.21
5.64
8.82
1.27
1.73
2.26
2.86
3.58
10-7
10-7
10-7
10-6
10-6
10-6
10-6
10-6
Dai dati di Tabella I si desume che è sufficiente un comportamento anelastico dello 0.1% del filo di
sospensione per produrre praticamente la stessa perdita di energia (per ogni periodo di oscillazione)
prodotta dall’attrito dell’aria. Non si può escludere a priori che la componente di anelasticità sia un
fattore 2-3 volte più elevato (cioè dell’ordine dello 0.2-0.3%).
Forze di attrito di intensità ancora maggiore si manifestano nella zona di flessione del filo in
prossimità del punto di sospensione. Infatti le fibre esterne del filo sono sottoposte a sforzi elevati
che portano il punto di lavoro (nel diagramma sforzi-deformazione) in una regione plastica del
materiale. A titolo d’esempio nel pendolo in scala ridotta realizzato con un filo di acciaio di 0.4 mm
di diametro, quando l’ampiezza massima di oscillazione è di 9°-10° , gli sforzi nelle fibre esterne
risultano dell’ordine di 1500-2500 N/mm2, abbastanza prossimi al carico di rottura.
In conclusione le perdite di energia a causa degli attriti interni al filo possono risultare
notevolmente superiori a quelle prodotte dall’attrito dell’aria.
25
II.1.4.2c Forze di attrito di natura elettromagnetica interne alla massa pendolare.
Il calcolo esatto delle correnti parassite che si instaurano nel massa metallica del pendolo a
causa del suo moto nel campo magnetico terrestre (flusso tagliato) è un problema complesso,
nonostante la geometria relativamente semplice (sfera metallica), che richiede una trattazione
mediante codici di calcolo tridimensionali. Una stima approssimata per eccesso delle correnti
parassite e delle conseguente forza d’attrito che tende a frenare il pendolo può essere ottenuta
considerando la forza elettromotrice che nasce nella sostanza metallica:
E = - Ldα/dt B
(46)
e la resistenza elettrica R di un cilindro di resistività ρ, avente una altezza h = 2r (pari al diametro
della sfera) ed una sezione S = (2π/3) r2 :
R = 3ρ/(πr)
(47)
Dalle precedenti relazioni si ricava l’intensità Ip(t) delle correnti parassite e l’intensità della forza
d’attrito Fp(t) che risulta proporzionale alla velocità angolare (dα/dt)
Fp(t) = 2r I B = -2πLr2 B2 (dα/dt) /3ρ
Ip(t) = - πLr (dα/dt) B/3ρ
(48)
Per un confronto con la forza di attrito dell’aria possiamo ricavare l’espressione del coefficiente γp:
γp = πr2B2/(3ρδsV)
(49)
Nel caso di una sfera di ferro di diametro equivalente 2R = 72 mm (ρ = 9.7 10-8 Ωm) ed un pendolo
di lunghezza L = 1 m, assumendo che il campo magnetico terrestre sia B = 0.5 10-4 T si ottiene che
il coefficiente di attrito è dato da:
γp = 2.2 10-5 s-1
(50)
cioè circa 5 volte superiore al coefficiente di attrito dell’aria.
Conclusione: Dall’analisi condotta sulle fonti di attrito si ricava che, con buona probabilità, il
coefficiente di attrito dell’aria è il fattore meno importante nello smorzamento del moto pendolare
e che conviene quindi determinare sperimentalmente lo smorzamento del pendolo sia per scegliere
il diametro del filo più adatto sia per dimensionare correttamente l’elettromagnete che deve
restituire l’energia persa a causa degli attriti.
II.1.5 Moto di un pendolo semplice smorzato dalle forze di attrito e forzato da una forza
impulsiva elettromagnetica.
Per impedire il progressivo smorzamento della oscillazione si può restituire l’energia persa
applicando una forza impulsiva con la stessa periodicità del moto del pendolo.
Per piccole oscillazioni (αmax ≤ ± 3°) l’equazione di moto del pendolo semplice in presenza di tale
forza e delle forze di smorzamento è data da:
d2α/dt2 + [ka/(δsV)] dα/dt + [(δs-δa)/δs](g/L) α = kf sin ωf t
26
(51)
dove kf = Fi /(m L) essendo Fi l’intensità della forza impulsiva ed ωf la sua pulsazione.
La soluzione dell’equazione (51), in condizioni stazionarie , è data da:
α =kf [(ω2-ωf2)+ 4 γ2 ωf2]-1/2 sen(ωft + φ)
(52)
Per ωf = ω la soluzione (52) assume la forma:
α = kf/(2γω) sen(ωt + φ)
(53)
La misura del coefficiente di smorzamento γ consente di determinare l’intensità della forza
impulsiva da applicare affinché l’ampiezza di oscillazione massima sia quella prescelta:
kf/(2γω) = αmax
Î Fi = 2 αmax mL γ ω
(54)
Ovviamente se la forza impulsiva viene applicata per una frazione f del periodo di oscillazione la
sua intensità deve essere amplificata del fattore (1/f).
Il modo più semplice per reintegrare l’energia persa a causa degli attriti consiste nell’eccitare
periodicamente una bobina cilindrica posta al di sotto della massa pendolare e centrata sull’asse
verticale passante per il punto di sospensione del pendolo, realizzando la massa pendolare con ferro
dolce (a bassa magnetizzazione residua) oppure fissando ad essa (in genere costruita in ottone) un
magnete permanente. Le componenti del campo magnetico generato dalla bobina e le componenti
delle forza magnetica agente sulla massa pendolare in ferro e sul magnete permanente sono
schematicamente illustrate in Fig. 12 , dove è rappresentata anche la sezione della bobina (in
rosso) e lo strato equivalente di masse magnetiche (positive e negative).
α = -9°
α = -9°
Fn = Fz sen α
-Fr cos α
dBz/dz < 0
Bz
Br
+
+
+
+ + + +
+
-
dBr/dr > 0
- - - -
+
+
+
+
--
+
+ +
+
+
F- r
-
- - -
-
--
Fz
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
------------------------------------------------
------------------------------------------------
I in senso antiorario
I in senso antiorario
Fig. 12 Componenti Bz e Br del campo di induzione magnetica generato dalla bobina e componenti
Fz ed Fr della forza magnetica agente sulla sfera magnetizzata.
Nel caso della massa pendolare in ferro la componente della forza Fn (risultante dalla proiezione
delle componenti Fz ed Fr sulla tangente alla traiettoria del pendolo Fn = Fz sen α – Fr cos α) è
diretta dalla periferia verso il centro della bobina sia per valori negativi che per valori positivi di α,
qualunque sia il verso della corrente nella bobina (infatti la massa di ferro si magnetizza in maniera
da essere sempre attratta verso l’asse della bobina). Il fatto che Fn > 0 per α < 0 ed Fn < 0 per α >
0, pur avendo le componenti del campo di induzione magnetica pressoché la stessa intensità (ad α
= -9°) , è dovuto al fatto che il gradiente di campo lungo l’asse z è circa un fattore 15-20 più elevato
del gradiente di campo lungo l’asse r cosicché il segno della componente Fn è determinato dal
termine Fz sen a . Da questo risultato si ricava che la bobina deve essere eccitata per ¼ di periodo
27
durante la fase discendente del pendolo e spenta durante la fase ascendente del pendolo. Nel caso
della massa pendolare in ferro il reintegro dell’energia può avvenire al massimo durante mezzo
periodo del pendolo.
Nel caso del magnete permanente fissato all’estremità inferiore del pendolo o integrato
all’interno della massa pendolare è possibile il reintegro dell’energia sull’intero periodo di
oscillazione del pendolo con l’avvertenza di invertire la intensità di corrente nella bobina ogni
quarto di periodo.
II.1.6 Cause del moto perturbato di un pendolo reale e metodo di correzione della
asimmetria.
Nel caso di un pendolo reale si possono individuare due cause di asimmetria del sistema che
possono influenzare in maniera drastica il moto di precessione del piano di oscillazione del pendolo
dovuta alla forza fittizia di Coriolis.
Una di queste cause è legata alla presenza di una asimmetria nella massa pendolare (ad esempio
una configurazione ad ellissoide della massa pendolare oppure la presenza di strutture che non
posseggono una simmetria cilindrica, quali i blocchetti di serraggio del filo). Questo tipo di
asimmetria causa un momento di inerzia del pendolo che varia con il piano di oscillazione e quindi,
come si è visto nel paragrafo 3.3, la traiettoria risultante dalla composizione dei moti nel piano xz e
nel piano yz risulta essere ellittica e precede con una velocità molto diversa da quella prevista dalla
legge dei seni di Foucault.
La seconda causa può essere la presenza di una asimmetria nella sezione del filo in
corrispondenza del punto di sospensione (ad esempio una sezione ellittica nella zona in cui il filo
viene flesso, deformazione che può essersi prodotta in fase di estrusione o a causa della
compressione dovuta al serraggio del filo). Questo tipo di asimmetria produce momenti meccanici
di tipo elastico (proporzionali cioè all’angolo α di deflessione) che variano con il piano di
oscillazione del pendolo e si sommano al momento meccanico della forza peso (e della spinta
archimedea).
Se per semplicità di trattazione si prende in esame il caso in cui la
massa pendolare è di forma ellissoidale con semiassi ax, by, cz
(con ax > by) ed il filo di sospensione ha una sezione ellittica del
filo con semiassi a’x e b’y (con a’x > b’x), come mostrato nella
Fig. 13, e si considerano soltanto il momento della forza peso ed
il momento di richiamo del filo quando viene flesso, le equazioni
di moto lungo i due assi x ed y sono date da:
z
y
x
Fig. 13 Schema del pendolo
asimmetrico.
m[L2 + (1/5)(ax2+cz2)]d2α/dt2 + [mgL + (π/4) a’x 3 b’y E/d] α = 0
(55)
2
2
2
2
2
3
m[L + (1/5)(by +cz )]d α/dt + [mgL + (π/4) a’x b’y E/d] α = 0
dove Iy = (m/5) (ax2+cz2) ed Ix = (m/5) (by2+cz2) sono i momenti
di inerzia baricentrali dell’ellissoide rispetto agli assi y ed x,
analogamente I’y = (π/4) a’x 3 b’y e I’x =(π/4) a’x b’y3 sono i
momenti di inerzia del filo quando viene flesso nel piano xz e nel
piano yz.
28
Dalle equazioni (55) si ricavano le espressioni di ωx ed ωy e le espressioni di Lx ed Ly:
ωx = (g/Lx)1/2 = {g [1 +(π/4) a’x 3 b’y E/(mgdL)]/[L+(ax2+cz2)/(5L)]}1/2
ωy = (g/Ly)
1/2
3
2
2
= {g [1 +(π/4) a’x b’y E/(mgdL)]/[L+(by +cz )/(5L)]}
Lx = [L+(ax2+cz2)/(5L)]/ [1 +(π/4) a’x 3 b’y E/(mgLd)]
2
2
(56)
1/2
(57)
3
Ly = [L+(by +cz )/(5L)]/ [1 +(π/4) a’x b’y E/(mgLd)]
Nel caso in cui sia presente soltanto l’asimmetria della massa pendolare le relazioni (57) diventano:
Lx = [L+(ax2+cz2)/(5L)]/ [1 +(π/64) D4 E/(mgLd)]
2
2
(57bis)
4
Ly = [L+(by +cz )/(5L)]/ [1 +(π/64) D E/(mgLd)]
dove D è il diametro del filo di sospensione. Da queste relazioni si ricava immediatamente come
varia il coefficiente di asimmetria δ (δ = |ωx-ωy|/2) in funzione dei due semiassi dell’ellissoide (ax e
by e della lunghezza L del filo di sospensione:
δ =| [(g/Lx)1/2 –(g/Ly)1/2]/2 | ≈ | C1/2 ω{[(1-(ax2+cz2)/(5L2)]1/2 – [1-(by2+cz2)/(5L2)]1/2}| =
≈ C1/2 ω | (by2-ax2)/(10L2) | = (Cg) 1/2 |(by2-ax2)/(10L5/2)|
(58)
δ (rad /s)
avendo posto C = [1 +(π/64) D4 E/(mgLd)] ed ω = (g/L)1/2
ed avendo assunto che i termini
2
2
2
2
2
2
(ax +cz )/(5L ) e (by +cz )/(5L ) siano molto piccoli rispetto ad 1 da consentire cioè le seguenti
approssimazioni:
1/[1+(ax2+cz2)/(5L2)]≈ 1 - (ax2+cz2)/(5L2)
6,0E-05
[(1-(ax2+cz2)/(5L2)]1/2≈1-(ax2+cz2)/(10L2)
Ω z (a Milano)
….
5,0E-05
Dalla espressione (58) si ricava che a
parità di geometria della massa
4,0E-05
pendolare il termine di asimmetria δ
varia con la lunghezza L del pendolo
3,0E-05
L=1m
come L-(5/2) ed aumenta pressoché
2,0E-05
linearmente con il rapporto (ax/by)
anche per differenza importanti tra i due
1,0E-05
semiassi dell’ellissoide , come mostrato
L=2m
in Fig. 14 per il caso di due pendoli con
0,0E+00
lunghezze L = 1m ed L = 2m e di massa
1
1,02
1,04
1,06
1,08
1,1
m ≈ 1.5 kg, dove per confronto è
ax / by
riportata anche la componente Ωz della
velocità di rotazione della Terra alla latiFig. 14 Andamento del coefficiente di asimmetria δ tudine di Milano.
in funzione del rapporto tra i semiassi delDa questa analisi risulta che una asiml’ellissoide nel caso di un filo di sospen- metria nella geometria della massa
sione perfettamente cilindrico.
pendolare difficilmente può produrre
29
un moto perturbato degenere che influenzi in maniera sostanziale il moto di precessione del
piano di oscillazione del pendolo.
Analogamente nel caso in cui sia presente soltanto l’asimmetria del filo le relazioni (57)
diventano:
Lx = [L+ 2R2(5L)]/ [1 +(π/4) a’x 3 b’y E/(mgLd)]
2
(57ter)
3
Ly = [L+ 2R /(5L)]/ [1 +(π/4) a’x b’y E/(mgLd)]
ed il coefficiente di asimmetria δ’ assume la forma:
δ’ ≈ ω’(πEa’xb’y)/(16 mgLd) (a’x2-b’y2)
(59)
avendo posto ω’ =[g/(L+2R2/5L)]1/2.
In questo caso il coefficiente di
asimmetria varia con la lunghezza L del
pendolo come L-(3/2) e varia pressoché
5,0E-04
linearmente in funzione del rapporto
a’x/b’y, come mostrato in Fig. 15 (sempre
4,0E-04
L=1m
nel caso di due pendoli con massa
pendolare m = 1.5 kg e lunghezze L = 1
3,0E-04
m ed L = 2m ed il diametro medio del filo
2,0E-04
di sospensione in acciaio è D = 0.4 mm).
L=2m
Come si può notare il coefficiente di
1,0E-04
asimmetria δ’ è circa un fattore 10 più
Ω z (a Milano)
elevato (a parità del rapporto tra i
0,0E+00
semiassi) del coefficiente δ dovuto alla
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
asimmetria della massa pendolare.
a'x/b'y
Affinché δ’ ≤ Ωz , per il pendolo di
lunghezza L = 1 m, occorre che il
Fig. 15 Andamento del coefficiente di asimmetria δ'
rapporto a’x / b’y ≤ 1.01 (corrispondente
in funzione del rapporto tra i semiassi delad una differenza a’x-b’y ≤ 2micron).
La sezione ellittica del filo nel caso di una
E’ evidente che tale asimmetria, come è
massa pendolare perfettamente sferica.
già stato osservato in precedenza, può
essere presente nel filo sin dall’origine
oppure introdotta nella fase di montaggio, qualunque siano le precauzioni adottate. In secondo
luogo la correzione degli effetti prodotti da tale asimmetria risulta senza dubbio più complicata
rispetto alla correzione della asimmetria della massa pendolare.
La correzione di eventuali asimmetrie presenti nel pendolo (siano esse prodotte da una
asimmetria della massa pendolare o da una asimmetria del filo di sospensione) richiede che venga
determinata l’orientazione degli assi x ed y ed il valore di δ (o δ’).
Per determinare l’orientazione degli assi principali è sufficiente misurare l’angolo tra il piano di
oscillazione iniziale (arbitrariamente scelto e corrispondente ad una orientazione βo incognita
rispetto ai piani xz ed yz ed in cui le orbite sono lineari) ed il piano (che si trova all’angolo – βo) in
cui le orbite tornano ad essere lineari. La bisettrice di tale angolo fornisce la direzione di uno dei
due assi principali.
Per stabilire se si tratta dell’asse x oppure dell’asse y è sufficiente osservare il verso di
percorrenza delle ellissi quando il pendolo viene lasciato libero a partire dal piano β = 0 (contenente
δ' (rad / s)
6,0E-04
30
Δ t [tra 2 oscill. lineare] (s)
la bisettrice sopra nominata) : se le orbite ellittiche sono percorse dal pendolo in senso orario si
tratta dell’asse x, in caso contrario si tratta dell’asse y.
Per determinare il valore di δ si potrebbe far partire il pendolo dal piano xz ed effettuare la
misura dei due diametri dell’orbita ellittica che, dopo un intervallo di tempo At = π/2, si ripresenta
con l’asse principale nel piano xz.
I due diametri dell’orbita, rapportati
60000
al diametro dell’orbita lineare iniziale
-5
(nell’ipotesi che lo smorzamento sia
Ω z = 5,18 10 rad/s
Ν
βo
del tutto trascurabile) risultano ugua50000
li a cos 2α ed a sen 2α e quindi
1
10°
5
mediante le relazioni (26) è possibile
40000
2
20°
risalire al valore di δ.
3
30°
Un’altra procedura consiste nel
30000
4
misurare l’intervallo di tempo Δt che
4
60°
intercorre tra l’istante iniziale (β = βo)
20000
5
80°
3
e l’istante in cui le orbite diventano di
2
nuovo rettilinee (β = - βo), scegliendo
10000
1
un angolo βo di partenza opportuno.
Il grafico di Fig. 16 mostra la
0
dipendenza dell’intervallo di tempo
0,E+00 1,E-04 2,E-04 3,E-04 4,E-04 5,E-04
dal valore di δ nel caso in cui il
δ (rad/s)
valore di Ωz è quello alla latitudine di
Milano.
Fig. 16 Relazione tra δ e l’intervallo di tempo Δt interIn entrambi i casi conviene procecorrente tra βo e- βo alla latitudine di Milano.
dere per approssimazioni successive
nella correzione della asimmetria.
II.1.7 Analisi della azione di smorzamento del moto ellittico prodotta dall’anello di Charron.
E’ possibile mantenere per lungo tempo un’orbita rettilinea in un pendolo reale, smorzando la
componente del moto trasversale al piano di oscillazione mediante attrito tra il filo di sospensione
ed un anello di diametro opportuno (anello di Charron), in genere posizionato in prossimità del
punto di sospensione. Lo scopo dell’ analisi che viene svolta in questo paragrafo è quello di
determinare le caratteristiche dell’anello (raggio R, coefficiente di attrito dinamico κ e profilo
dell’anello) che consentano un efficace smorzamento delle oscillazioni trasversali. Affinché ci sia
dissipazione dell’energia del moto trasversale occorre che l’attrito tra il filo ed il bordo dell’anello
sia tale da consentire lo spostamento del punto di contatto.
Indicate con θ e φ le ampiezze angolari del moto di oscillazione misurate in due piani verticali
passanti per il punto di sospensione del pendolo, il moto della massa pendolare è descritto dalle
seguenti relazioni:
φ(t) = φmax sen(ωt)
α(t) = αmax cos (ωt)
(60)
essendo ω = 2π/τ la pulsazione comune alle due componenti del moto oscillatorio ed avendo
trascurato per ora l’effetto di smorzamento degli attriti. Assumendo che il pendolo compia piccole
oscillazioni (αmax <3-4° e φmax < 0.5 - 1°) ed assumendo un sistema di assi cartesiani con origine nel
baricentro del pendolo (con l’asse z coincidente con la verticale passante per il punto di
sospensione) , le coordinate e le componenti delle velocità del pendolo sono:
31
x (t) = L α max cos(ωt)
y
Bordo interno
dell’anello di
Charron
vx = - L αmax ω sen (ωt)
R
vy =
x
R’
Traiettoria
del filo nel
piano di
Charron
Fig. 17 Schema illustrativo della interazione tra il filo
di sospensione e l’anello di Charron.
(61)
y (t) = L φmax sen (ωt)
(62)
L φmax ω cos(ωt)
Quando il filo del pendolo giunge a
contatto con l’anello di Charron la
componente della velocità vx è
prossima a zero mentre la
componente della velocità vy è
prossima al valore massimo
Lφmaxω. Se indichiamo (Fig. 17)
con R il raggio interno dell’anello e
con R’ l’ascissa massima che raggiungerebbe il filo (nel piano dell’anello) in assenza dell’anello, la
durata Δt del contatto tra filo ed
anello è data da:
Δt = 2 arcos[R /(L’ αmax)]/ω
(63)
dove L’ è la distanza tra il punto di sospensione del pendolo ed il bordo interno dell’anello [si noti
che se indichiamo con h la distanza tra il punto di sospensione ed il piano dell’anello, deve essere
L’ = (h2+R2)1/2]. Supposto che il pendolo parta da αmax con velocità nulla si staccherà dall’anello di
Charron dopo un intervallo di tempo tc0 che con buona approssimazione è dato da :
tc0 = Δt/2
(64)
e toccherà di nuovo l’anello di Charron negli istanti:
tc1 = τ/2-tc0
tc2 = τ – tc0
tc3 = 3τ/2 –tc0 …….
(65)
essendo τ il periodo del pendolo. Pertanto la componente vx della velocità ad ogni contatto
(nell’ipotesi che non ci sia smorzamento perché l’energia persa viene reintegrata) è data da:
vx = vx(tc0)
(66)
E’ possibile ricavare l’intensità media della forza con cui il filo preme sul bordo dell’anello se
teniamo conto che l’impulso I è dato da:
I = m (v’x – vx (tc) )
(67)
essendo v’x la velocità acquistata dalla massa m del pendolo in seguito all’urto. Assumendo che si
conservi il momento della quantità di moto si potrà scrivere:
32
m vx L = m v’x (L-L’)
(68)
da cui si ricava v’x:
v’x = vx L/(L-L’)
(69)
Dalle relazioni (66), (68), (69) si ricava la forza media vincolare Φx :
Φx = mvx[L/(L-L’) -1)/[ 2 arcos[R’ /(L’ αmax)]/ω]
(70)
Con considerazioni analoghe si trova che la componente della forza lungo la direzione y è data da:
Φy = mvy[L/(L-L’) -1)/[ 2 arcos[R’ /(L’ αmax)]/ω]
(71)
Il rapporto tra queste due componenti deve essere maggiore del coefficiente d’attrito tra filo e bordo
dell’anello affinché il filo slitti con attrito nella direzione y. Deve essere:
vy/vx > κ
(72)
In Tabella II sono riportati i valori di αmax, φmax, , R’, R , Δt . tc, vx, vy per un pendolo di lunghezza
L = 1 m (ω = 3.1321 rad s-1) essendo h = 10 cm la distanza tra il punto di sospensione ed il piano
dell’anello di Charron, quando questo delimita la regione angolare senza contatto ad ±(αmax-0.5°).
Tabella II
αmax
(°)
3
3
5
5
7
7
9
9
φmax
(°)
0.5
0.198
0.5
0.243
0.5
0.285
0.5
0.323
R’
(cm)
0.524
0.524
0.875
0.875
1.228
1.228
1.584
1.584
R
(cm)
0.437
0.437
0.787
0.787
1.139
1.139
1.495
1.495
Δt
(s)
0.373
0.373
0.289
0.289
0.247
0.247
0.220
0.220
tc
(s)
0.1865
0.1865
0.1445
0.1445
0.1235
0.1235
0.110
0.110
vx
(cm/s)
- 9.04
- 9.04
- 11.95
- 11.95
- 14.44
- 14.44
- 16.62
- 16.621
vy
(cm/s)
2.28
0.904
2.46
1.195
2.53
1.444
2.57
1.662
vy/vx
0.252
0.100
0.206
0.100
0.175
0.1
0.155
0.1
Dai dati di Tabella si ricava che, nell’ipotesi che il coefficiente di attrito dinamico sia κ = 0.1, lo
smorzamento del moto trasversale (nella direzione y) cessa quando l’ampiezza angolare massima è
dell’ordine di 0.2°-0.3°. Questo comporta una lavorazione meccanica dell’anello di tipo standard
ma occorre prevedere un sistema di centraggio dell’anello sull’asse del pendolo con una precisione
di pochi centesimi di millimetro.
La presenza di un anello di Charron ha l’effetto di smorzare le oscillazioni trasversali rispetto al
piano di oscillazione ma introduce un ulteriore fattore di smorzamento delle ampiezza di
oscillazione che deve essere compensata dal sistema di reintegro dell’energia. Inoltre nel caso di un
pendolo di lunghezza ridotta può perturbare il moto di precessione degenere prodotto da una
asimmetria del pendolo. Sarà quindi importante verificare sperimentalmente come l’azione
dell’anello di Charron modifica tale moto.
33
Parte Terza
III.1. Descrizione delle principali caratteristiche del pendolo di Foucault in scala
ridotta realizzato al Dipartimento di Fisica di Milano.
La scelta di progettare e realizzare un pendolo di Foucault di dimensioni contenute è stata motivata
da un lato dalla necessità di verificare la validità delle soluzioni adottate su un prototipo nel quale il
problema degli attriti e delle varie forze perturbatrici risulta amplificato sia dalle ridotte dimensioni
(L ≈ 1 m) sia dalla ampiezza angolare(αmax = 7-8°) maggiore di quella normalmente impiegata in
questi apparati e dall’altro lato dalla volontà di mettere a disposizione degli studenti del
Dipartimento e di eventuali visitatori un dispositivo con il quale operare personalmente per
osservare e misurare alcune caratteristiche del moto pendolare (quali il periodo del pendolo, lo
smorzamento delle oscillazioni in assenza ed in presenza della forza magnetica impulsiva, la
precessione del piano di oscillazione del pendolo, il moto perturbato degenere dovuto alle
asimmetrie del sistema).
Nel seguito di questo Capitolo vengono trattati i seguenti argomenti:
1. Principali caratteristiche geometriche e fisiche del pendolo.
2. Soluzioni tecniche adottate.
3. Risultati delle misure condotte sul prototipo e le modifiche apportate in fase di messa a
punto dell’apparato.
III.1.1 Principali caratteristiche geometriche e fisiche del pendolo.
d6, h6, d7 h7
h3, L3, s3
d2, h2
d4, h4, d5, h5
d0
z
r
d1
h1
d8
h8
g8
Ferro Armco
Acciaio inox
Fig. 18 Sezione della massa pendolare.
34
La massa pendolare è di forma sferica
di diametro Φs = 70 mm con fascia
cilindrica equatoriale di diametro Φc =
72 mm ed altezza h = 20.5 mm.
Il materiale della sfera è ferro Armco (δ
= 7850 kg/m3) che presenta un basso
tenore
di
Carbonio
ed
una
magnetizzazione residua relativamente
bassa.
La massa totale della sfera e dei
componenti (blocchetto in acciaio per
il fissaggio del filo di sospensione e
punta conica) è di 1.5687 kg ed il
centro di massa si trova a circa + 2.9
mm dal piano mediano della fascia
cilindrica.
Il filo di sospensione in acciaio di
diametro φ = 0.4 mm è lungo circa 1 m
e la sua massa è di circa 1 g.
La geometria della massa pendolare è mostrata nella Fig. 18 e le dimensioni dei vari componenti
sono elencate nella Tabella III sottostante.
Tabella III
Dimensioni della massa pendolare (quote in mm)
d0
70
d1
72
h1
20.5
d2
31.5
h2
10.5
h3
20
L3
18
s3
9
d4
4
d5
7
h5
4
d6
4
h6
12
d7
7
h7
4
d8
10
h8
8
g8
8
h4
≈10
Le masse, i centri di massa (riferiti al piano mediano della fascia centrale) ed i momenti
d’inerzia (rispetto ad un asse orizzontale passante per il punto di sospensione) dei vari componenti
sono calcolati in Appendice A ed i valori sono riportati in Tabella IV.
Tabella IV Masse, centri di massa e momenti d’inerzia dei componenti del pendolo
Componente
Massa
Centro di massa Momento di inerzia
(kg)
(m)
(kg m2)
Fascia centrale
0.6552
0
0.7104
Calotta sferica inferiore
0.4041
-0.01914
0.4544
Calotta sferica superiore
0.3924
+0.01874
0.4103
Base cilindrica del blocchetto di serraggio
0.0613
+0.03651
0.0593
Blocchetto di serraggio
0.0485
+0.05176
0.0475
Punta cilindrica-conica
0.0063
-0.04050
0.0073
Filo di sopensione
0.0009
+0.541
0.0004
M =∑ mi
∑mi zi/M
∑ Ii
1.5687
+ 0.00294
1.6896
Il pendolo realizzato è equivalente ad un pendolo ideale costituito da un corpo perfettamente sferico
avente le seguenti caratteristiche:
Massa : m = 1.5687 kg
Distanza tra il centro di massa ed il punto di sospensione: L = 1.0337 m
Densità della sfera = 7850 kg/m3
Diametro: D = 0.0725 m
Filo di sospensione: massa nulla
Il periodo del pendolo per oscillazioni isocrone e per g = 9.81 m/s2 risulta essere:
τ = 2.0398 s
In Tabella V sono riportati, in funzione dell’ampiezza αmax di oscillazione, le seguenti quantità:
a) il periodo di oscillazione τ,
b) la forza di attrito dell’aria (valore massimo Fmax e valore mediato su un periodo Fmed negli istanti
iniziali),
c) la forza massima di Coriolis FCor alla latitudine di Milano (λ = 45° 28’)
d) la coordinata radiale R e la quota z per α = αmax
e) l’energia meccanica E posseduta inizialmente dal pendolo.
35
Tabella V
αmax
τ (s)
Fmax (N)
Fmed (N)
FCor(N)
R(cm)
z(cm)
E(J)
3°
2.03985
2.271 10-6
1.446 10-6
2.701 10-5
5.23
0.137
0.0213
4°
2.03994
3.028 10-6
1.928 10-6
3.601 10-5
6.97
0.244
0.0380
Parametri del pendolo in funzione di αmax
5°
2.04029
3.785 10-6
2.410 10-6
4.501 10-5
8.72
0.381
0.0594
6°
2.04072
4.542 10-6
2.892 10-6
5.401 10-5
10.45
0.548
0.0854
7°
2.04123
5.299 10-6
3.374 10-6
6.302 10-5
12.19
0.745
0.1161
8°
2.04182
6.056 10-6
3.856 10-6
7.202 10-5
13.92
0.973
0.1516
9°
2.04248
6.813 10-6
4.338 10-6
8.102 10-5
15.64
1.231
0.1918
III.1.2 Soluzioni tecniche adottate.
In questo paragrafo sono brevemente descritti ed illustrati i seguenti componenti del pendolo
in scala ridotta:
a) Sistema di rilascio della massa pendolare.
b) Testa di sospensione orientabile.
c) Bobina per il reintegro dell’energia dissipata dal pendolo a causa degli attriti.
d) Schema logico delle funzioni di controllo dell’elettrocalamita e della bobina di reintegro
dell’energia.
III.1.2.1 Sistema di rilascio della massa pendolare.
Nelle dimostrazioni al pubblico eseguite da Foucault la massa pendolare era mantenuta nella
posizione di partenza da un cappio avvolto in maniera lasca attorno al piano equatoriale della sfera e
trattenuto da un filo che veniva bruciato al momento in cui si dava inizio all’esperimento. Alla
rottura del filo il cappio cadeva ed il pendolo iniziava le sue oscillazioni compiendo orbite di tipo
rettilineo, grazie al fatto che la componente della velocità iniziale normale al piano del pendolo era
nulla.
Per consentire agli studenti ed ai visitatori di sperimentare con il pendolo del Dipartimento
di Fisica non si poteva adottare la
procedura di Foucault e pertanto si è
deciso di utilizzare una elettrocalamita
αmax = 9°
in grado di trattenere la massa pendolare e di rilasciarla istantaneamente
quando viene tolta la corrente di
alimentazione.
Nella Figura 19 è mostrata la sezione
verticale della massa pendolare e
dell’elettrocalamita. I calcoli per il
dimensionamento della elettrocalamita,
riportati nell’Appendice B, indicano
che la massa pendolare viene trattenuta
ad αmax = 9°
quando la forza
magnetomotrice NI del solenoide è
superiore a 100 Aspire.
Fig. 19 Sezione della elettrocalamita e della massa
Il peso collegato al nucleo in ferro della
pendolare nella posizione di avvio.
elettrocalamita fa arretrare quest’ ultimo
quando viene tolta corrente in maniera
che la massa pendolare non possa urtarlo nelle successive oscillazioni.
36
III.1.2.2 Testa di sospensione ed anello di Charron.
Nelle Fig. 20 e Fig. 21 sono mostrate la sezioni
della sospensione del pendolo nella versione
iniziale e nella versione finale. La sospensione
(nella versione iniziale) è costituita da un
cilindro in materiale isolante (la cui posizione è
regolabile per centrare il pendolo rispetto alla
base goniometrica posta immediatamente al di
sotto della massa pendolare), dalla testa di
sospensione del pendolo, e dall’anello di
Charron. Nella versione finale (Fig. 21) è stato
aggiunto un inserto isolante la cui altezza può
essere facilmente modificata per consentire di
variare l’angolo sotteso dall’anello di Charron
tra 8° 32’ e 7° ed un sistema di ingranaggi che
consentono di ruotare la testa di sospensione.
Il cilindro è in materiale isolante allo scopo di
Testa di sospensione
del pendolo
Supporto
isolante
Base
regolabile
Piastra
superiore
dell’armadio
8° 32’
Anello di Charron
Fig. 20 – Sezione della sospensione del pendolo
(versione iniziale).
poter utilizzare il contatto tra il filo di
sospensione e l’anello di Charron come interruttore per l’eccitazione della bobina che
reintegra l’energia persa a causa degli attriti.
Il sistema di rotazione della testa di sospensione
è stato realizzato per due scopi: in primo luogo
per effettuare la misura della asimmetria
presente nell’apparato (si tenga presente che
essendo fissa la posizione di avvio del pendolo è
necessario ruotare le testa per poter variare la
posizione angolare βo del piano di oscillazione
iniziale rispetto agli assi principali x ed y); in
secondo luogo per consentire agli studenti di
osservare le caratteristiche del moto perturbato
degenere esaminato nel paragrafo II.1.3.
Testa di sospensione
del pendolo
Ingranaggi per la
rotazione della testa
Supporto
isolante
Base
regolabile
Piastra
superiore
dell’armadio
Inserto
isolante
7°
Anello di Charron
Fig. 21 Sezione della sospensione del pendolo
(versione finale).
III.1.2.3 Bobina per il reintegro dell’energia dissipata dal pendolo a causa degli attriti.
Il calcolo della configurazione più efficace della bobina (diametro, distanza tra il piano della
bobina ed il centro della massa sferica, forza magnetomotrice e durata dell’impulso di corrente) che
consenta il reintegro dell’energia dissipata dal pendolo è riportato nella Appendice C.
Tenuto conto della ampiezza massima della oscillazione (αmax = 9° corrispondente ad uno
scostamento dall’asse del pendolo ΔR ≈ 0.16 m) e tenuto conto dei limiti imposti dalla lavorazione
meccanica del mandrino su cui avvolgere la bobina, il diametro medio di questa ultima è stato
fissato a Db = 0.38 m ed il numero di spire ad N = 36.
I risultati della analisi condotta nella Appendice C sono illustrati nel grafico di Fig. 22. In esso è
riportato, in funzione della distanza zo tra il centro della massa pendolare ed il piano mediano della
bobina, l’andamento della componente della forza <Fn> mediata su un periodo (per un valore
prefissato della forza magnetomotrice NI = 180 Aspire).
37
Il grafico mostra che l’azione esercitata della forza magnetica è massima quando la distanza tra il
centro della massa pendolare ed il piano mediano della bobina è compresa tra zo =10 cm e zo = 11
cm e che la forza media è al massimo dell’ordine di 1.6 10-4 N (per NI = 180 Asp). Tenuto conto
che la forza media di attrito è di circa 4.5 10-4 N (come risulta dalle misure descritte nel paragrafo
III.2.1) e che occorre un margine di almeno il 20-30% la forza magnetomotrice necessaria che per
contrastare le forze di attrito (eccitando la bobina due volte ad ogni ciclo per una durata di poco
meno di un semiperiodo) è data da:
NI ≈ 360 -400 Asp
<Fn> (N)
Poiché con la bobina a nostra disposizione (N = 36 spire) sarebbe necessaria una corrente ed una
potenza piuttosto elevate (I >10 A P > 125 W) si è deciso di inserire al centro della bobina un
cilindro in ferro Armco (altezza
10 cm e diametro 3.8 cm) che
2,0E-04
consente di contenere la corrente
zo = 10 cm
di alimentazione entro 7-8 A e la
1,6E-04
potenza dissipata nella bobina in
zo = 14 cm
un intervallo di 60-80W.
1,2E-04
La bobina deve essere eccitata
durante le fasi di discesa del
8,0E-05
pendolo verso la posizione
zo = 6 cm
centrale e per mantenere il
4,0E-05
sincronismo l’eccitazione della
NI = 180 Asp
bobina viene comandata dal
0,0E+00
segnale che si ottiene quando, ad
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
ogni semiperiodo, il filo del
α max (°)
pendolo entra in contatto con
l’anello
di
Charron.
La
diseccitazione della bobina può
Fig. 22 Andamento della forza di reintegro dell’energia del
essere comandata dopo un interpendolo (mediata su un periodo e per NI = 180 Asp)
vallo di tempo di poco inferiore
in funzione della distanza zo tra il piano mediano della
ad un quarto di periodo.
bobina ed il centro della sfera in ferro.
In questa maniera si preserva
l’isocronismo tra le oscillazioni
del pendolo e l’eccitazione della bobina per un tempo indefinito, indipendentemente dalle
variazioni del periodo di oscillazione del pendolo.
III.1.2.4 Schema logico delle funzioni di controllo dell’elettrocalamita e della bobina di reintegro dell’energia.
In Fig. 23 è riportato lo schema di principio di funzionamento dell’elettronica di controllo della
elettrocalamita e della bobina che consente di reintegrare l’energia persa per attrito dal pendolo.
I generatori Go e G2 alimentano l’elettrocalamita e la bobina mentre il generatore G1 alimenta
l’elettronica, gli orologi e gli interruttori dei due circuiti A e B. Quando il solenoide è eccitato e
trattiene la massa del pendolo i circuiti A e B ed il circuito dell’orologio sono aperti.
Quando il solenoide viene diseccitato l’interruttore Sw1 chiude il circuito di alimentazione
dell’orologio e nello stesso tempo predispone il circuito A alla chiusura che avviene quando il filo
metallico del pendolo giunge a contatto dell’anello di Charron. Con la chiusura completa del
circuito A si comanda la chiusura dell’interruttore Sw2 e si alimenta la bobina B per un intervallo
di tempo leggermente inferiore a T/4 (essendo T il periodo del pendolo).
38
G2
Anello di
Charron
Orologio
Go
Sw1
So
len
oid
e
Sw2
Circuito B
Circuito A
Bobina
R
G1
Circuito
temporizzatore
Fig. 23 Schema del circuito di controllo della elettrocalamita
e della bobina di reintegro dell’energia del pendolo.
Un circuito temporizzatore riapre
il circuito B dopo l’intervallo di
tempo
T/4
(portando
l’interruttore Sw2 nella posizione
intermedia) e nello stesso tempo
comanda tale interruttore
in
maniera che al successivo
contatto del filo del pendolo con
l’anello di Charron l’interruttore
Sw2 si chiuda sull’altro ramo del
circuito B. In questo modo si
eccita la bobina alternativamente
nei due sensi. Nella versione
attuale il circuito di inversione
della corrente, pur essendo stato
predisposto, non è stato attivato
in quanto si utilizza la magnetizzazione della sfera di ferro che in
linea di principio, come si è visto, non richiede tale funzione.
III.2 Risultati delle misure condotte sul prototipo e modifiche apportate.
Sul pendolo sono state eseguite misure per determinare il coefficiente di smorzamento γ (per
diverse condizioni operative) la posizione angolare degli assi principali della asimmetria ed il
coefficiente di asimmetria δ che causa il moto perturbato degenere. In base a queste misure è stato
possibile da un lato progettare il circuito di alimentazione della bobina che reintegra l’energia persa
dal pendolo a causa degli attriti e l’elettronica di comando e controllo degli impulsi di corrente, e
dall’altro lato valutare se l’asimmetria che ci si deve aspettare in un pendolo di lunghezza L = 10 m
che adotti le stesse soluzioni meccaniche, dia luogo ad un coefficiente di asimmetria δ molto minore
di Ωz.
III.2.1 Misure del coefficiente di smorzamento.
Inizialmente sono state effettuate misure di smorzamento anche con un filo in acciaio di
diametro Φ = 0.2 mm, ma la sua rottura prodottasi dopo poche decine di ore di funzionamento ha
consigliato di impiegare un filo di dimensioni maggiori (Φ = 0.4 mm).
I dati di smorzamento relativi al filo di diametro Φ = 0.2 mm sono riportati in Fig. 24. L’errore
con il quale sono stati determinati gli istanti in cui veniva raggiunta una determinata ampiezza
massima è stato valutato in ± 60 s (come indicato dalle barre di errore lungo l’asse dei tempi).
L’andamento dell’ampiezza di oscillazione αmax indica come il coefficiente di smorzamento complessivo γc (che ingloba cioè tutte le forme di attrito) non sia costante ma decresca
progressivamente nel tempo (al diminuire della ampiezza massima di oscillazione) con una legge
del tipo:
γc = γ1 - γ2 [1-exp(t/τ)]
(73)
dove:
γ1 ≈ 3.8 10-4 s-1
γ2 ≈ 7 10-5 s-1
39
τ ≈ 2000 s
Da questi dati si desume che il
coefficiente γc negli istanti iniziali è
8
circa 95 volte superiore al coefficiente
Curva teorica
di attrito γa dell’aria e si riduce a circa
6
80 γa quando l’ampiezza di
oscillazione si è ridotta a 3°.
4
I dati sulle misure di smorzamento
con
il filo di acciaio di diametro Φ =
2
0.4 mm sono presentati in Fig. 25.
Essi si riferiscono a misure effettuate
0
imponendo una torsione ψ = ± 45° al
0
1000
2000
3000
4000
filo di acciaio quando il pendolo si
t (s)
trova nella posizione iniziale.
Fig. 24 Dati sperimentali e curva teorica dello smorzaNon si nota una sostanziale differenza
mento della ampiezza αmax del pendolo con un tra lo smorzamento misurato con il filo
filo di diametro Φ = 0.2 mm.
di diametro Φ = 0.4 mm e quello misurato con il filo di diametro Φ = 0.2
mm: la curva teorica che meglio approssima la distribuzione dei dati sperimentali è ancora
descritta dalla legge (76) con i seguenti valori:
10
α
max (°)
Dati sperimentali
γ1 ≈ 3.95 10-4 s-1
γ2 ≈ 1.35 10-4 s-1
τ ≈ 2000 s
Il coefficiente di attrito complessivo risulta essere γc =99 γa negli
istanti iniziali e si riduce a γc = 70 γa
8
quando l’ampiezza di oscillazione è
6
diventata αmax = 3°.
Il fatto che γc sia aumentato di circa
4
il 5% (anziché diminuire) passando da
Φ = 0.2 mm a Φ = 0.4 mm può far
2
ritenere che la dissipazione d’energia
sia in prevalenza causata per grandi
0
ampiezze di oscillazione, dalla flessio0
1000
2000
3000
4000
ne del filo in prossimità del punto di
t (s)
sospensione piuttosto che dal processo
di allungamento che il filo subisce duFig 25 Dati sperimentali e curva teorica dello smorzarante la sua oscillazione.
La diminuzione di γc, quando si passa
mento della ampiezza αmax del pendolo con un
filo di diametro Φ = 0.4 mm.
da Φ = 0.2 mm a Φ = 0.4 mm e per
piccole ampiezze di oscillazione, può
essere attribuita al fatto che la dissipazione per allungamento del filo diventa prevalente rispetto alla
dissipazione per flessione ed in piccola parte al fatto che non agisce più l’anello di Charron. In ogni
caso, nell’ipotesi che il coefficiente γc sia dovuto in massima parte al comportamento anelastico del
filo si deve supporre che il coefficiente ε di anelasticità assuma un valore attorno al 3-4%.
Torsione
ψ = - 45°
ψ = - 45°
ψ = + 45°
α
max
(°)
10
40
α max (°)
Per verificare quanto le correnti di Foucault indotte nella massa pendolare possano produrre
effetti di smorzamento del moto è stata
10
effettuata una misura in presenza di un
campo magnetico circa 5 volte
8
superiore
a
quello
terrestre,
I(bob) = 2 A
alimentando la bobina progettata per
6
restituire l’energia persa dal pendolo
con una corrente continua di intensità
4
I = 2 A.
Il risultato della misura riportato nel
2
grafico di Fig. 26 mostra che, entro gli
errori sperimentali, il moto del pendolo
0
non viene significatamene modificato
0
1000
2000
3000
4000
dalle forze di attrito prodotte dalle
t (s)
correnti di Foucault.
L’andamento della curva di smorzaFig. 26 Curva dello smorzamento del pendolo immerso mento viene descritto con buona apnel campo di induzione magnetica B = 2 10-4 T. prossimazione dalla legge (73) nella
quale i vari parametri assumono i
seguenti valori:
γ1 ≈ 3.90 10-4 s-1
γ2 ≈ 1.15 10-4 s-1
τ ≈ 2000 s
α max (°)
Le misure di smorzamento sono state ripetute dopo aver modificato il sistema di fissaggio del filo di
acciaio e la posizione dell’anello di Charron (come mostrato nella Fig. 21). Tali misure sono state
effettuate ruotando in senso orario la testa di sospensione tra β= 0 e β= 80° con passo Δβ = 20°. Le
curve di smorzamento, delle quali in Fig. 27 è mostrato un esemplare, indicano che le modifiche
apportate non hanno avuto praticamente alcun effetto sul processo di
10
smorzamento.
Sulla base dei dati sperimentali si può
Dati sperimentali
8
determinare il coefficiente di viscosità
Curva teorica
effettivo (η eff = 1.85 10-3 MKS) per
6
una ampiezza αmax = 9° e quindi la
forza di attrito mediata su un periodo
4
è data da:
< Feff> ≈ 100 <Faria> = 4.34 10-4 N
2
0
0
1000
2000
3000
4000
t(s)
Fig. 27 Misura di smorzamento dopo le modifiche sul
sistema di bloccaggio del filo di sospensione
e sull’anello di Charron.
41
Come è stato anticipato nel paragrafo
III.1.2.3 il sistema progettato per il
reintegro dell’energia persa per attrito
dal pendolo dovrebbe avere sufficienti
margini anche nell’ipotesi che il cefficiente di magnetizzazione relativa fosse
inferiore a quello ipotizzato
.
Φ (°)
III.2.2 Determinazione del coefficiente di asimmetria.
In base alla procedura illustrata al termine del paragrafo II.1.6 si è proceduto alla
determinazione degli assi principali di
35
asimmetria e del coefficiente di asimmetria δ,
Torsione del filo
posizionando la testa di sospensione a differenti
30
-45°
angoli rispetto al piano di partenza delle
25
-765°
oscillazioni e misurando l’intervallo di tempo
20
che intercorre tra l’istante iniziale (in cui
15
l’orbita percorsa dal pendolo è rettilinea) e
I(sol) = + 1.5 A
10
l’istante in cui l’orbita diventa di nuovo
5
rettilinea. Dato l’elevato valore di δ l’istante in
0
cui l’orbita riassume l’andamento rettilineo
0
1000
2000
3000
4000
coincide con l’istante in cui il moto di
t (s)
precessione del pendolo inverte la sua marcia.
Le misure sono state effettuate in assenza
Fig. 28 Misura dell’angolo Φ di precessione in
del sistema di reintegro dell’energia e quindi
funzione del tempo e dell’angolo di
sono state limitate ad un intervallo di tempo
torsione del filo di sospensione.
in cui l’ampiezza massima di oscillazione era
(Testa del pendolo a β = 0).
compresa nell’intervallo 3° < αmax < 9°.
Si è verificato che l’istante in cui si inverte
il moto di precessione non dipende dalle condizioni di partenza (quali la torsione del filo ed il
verso dell’intensità di
magnetizzazione indotta nella sfera dal campo magnetico della
elettrocalamita).
0
35
Torsione del filo -45°
30
1) I(sol) = -1.5 A
2) I(sol) = +1.5 A
20
-10
Φ (°)
25
Φ (°)
-5
15
10
1
0
0
1000
2000
3000
-20
-25
2
5
-15
Torsione del filo = -45°
I(sol) = +1.5 A
-30
-35
4000
0
t (s)
1000
2000
3000
4000
t (s)
Fig. 29 Misura dell’angolo Φ di precessione in
funzione del tempo e del verso della
corrente nella elettrocalamita.
(Testa del pendolo a β = 0)
Fig. 30 Misura dell’angolo Φ di precessione in
funzione del tempo nelle stesse condizioni della misura 2 di Fig. 28.
(Testa del pendolo a β = -90°)
I risultati delle misure sono riportati nelle Fig. 28-31 e le condizioni di partenza sono indicate
nelle rispettive didascalie. Dall’esame del grafico di Fig. 31 si ricava che uno degli assi principali
si trova a:
θx = β1- ΔΦ1/2 = β2 - ΔΦ2/2 = 80°
rispetto al piano in cui giace il pendolo nella posizione di avvio.
42
Δ t (s)
Φ (°)
E’ ovvio che questa è la situazione al momento della misura, cioè per una prefissata posizione
angolare sia della massa pendolare sia del
40
filo di sospensione. Se per un intervento di
Torsione del filo = 0°
I(sol) = +1.5 A
aggiustaggio o di riparazione del pendolo
20
fosse necessario smontare e rimontare il
β1 =90°
ΔΦ 1 = 20°
filo nei blocchetti di fissaggio, la
0
posizione degli assi principali della
ΔΦ 2 = -25°
asimmetria potrebbero assumere posizioni
-20
angolari diverse da quelle misurate in
β2 =67.5°
questa prima fase di collaudo.
-40
Sempre dal grafico di Fig. 31 si ricava
0
1000
2000
3000
4000
che l’intervallo di tempo Δt in cui avviene
t (s)
l’inversione del moto di precessione è compreso tra 1500 s (curva a β1 = 90°) e 1860 s
Fig. 31 Misura dell’angolo Φ di precessione in
(curva a β2 = 67.5°).
funzione del tempo per due diverse posiSulla base di questi valori dell’intervallo
zioni della testa (β1 = 90° e β2 = 67.5°).
temporale si ricava dal grafico di Fig. 16 che
il valore di δ è elevato (δ > 5 10-4 rad/s) e
4000
questo fatto mostra che la scelta di assumere
come intervallo di tempo intercorrente tra le
3000
orbite rettilinee iniziali e quelle rettilinee che
β 2 = -12.5°
precedono l’inversione del moto di
2000
Δt = 1860 s
precessione è del tutto valida (cioè
Δt = 1500 s
l’asimmetria del pendolo è tale che il moto
1000
β 1 = 10°
è esattamente quello illustrato nella Fig. 6).
Per determinare con maggiore precisione il
0
6,0E-04 8,0E-04 1,0E-03 1,2E-03 1,4E-03
valore di δ è stato ampliato il grafico di Fig.
δ (rad/s)
16, centrandolo sui valori di β desunti dal
grafico di Fig.31:
Fig. 32 Determinazione del valore di δ.
β = θ1-θx = 10° e β2 = θ2-θx= -12.5°
Il valore di δ che si ricava dal grafico di Fig. 32 è compreso nell’intervallo:
9.2 10-4 rad/s < δ < 9.6 10-4 rad/s
150
100
β = 40°
β = 20°
β = 0°
Φ (°)
50
0
-50
β = 80°
-100
β = 60°
-150
0
1000
2000
3000
4000
5000
t(s)
Fig. 33 Misura di Φ dopo le modifiche sul sistema
di bloccaggio del filo di sospensione.
43
(74)
Avendo introdotto, in seguito a queste
prime misure, alcune modifiche sul sistema
di bloccaggio del filo (allo scopo di ridurre
l’asimmetria del dispositivo) sono state
ripetute le misure sul moto di precessione del
pendolo. I risultati di queste misure sono
riportati nella Fig. 33. Essi mostrano che
l’inversione del moto di precessione avviene
dopo un intervallo di tempo pressoché doppio
rispetto alla situazione precedente (cioè 3000
s < Δt < 3500 s). Tenendo conto che
l’andamento delle curve temporali in
funzione di δ è pressoché lineare nella regione in cui δ assume valori elevati si può con-
cludere che nella nuova configurazione il valore di δ dovrebbe situarsi nell’intervallo:
4.5 10-4 rad/s < δ < 5 10-4 rad/s.
III.2.3 Sistema di compensazione della asimmetria.
Riprendendo in esame le equazioni (55) e riscrivendole in maniera più semplice con l’assunzione
che non ci sia asimmetria derivante dalla massa pendolare ma soltanto asimmetria derivante dai
momenti di flessione del filo si ottiene:
mL2 d2α/dt2 +mgLxα = 0
2
2
(75)
2
mL d α/dt + mgLyα = 0
da cui si ricava:
ωx2 = gLx/L2
ωy2 = gLy/L2
(76)
2ω(ωx-ωy) = 4 ω δ = g(Lx-Ly)/L2
(77)
avendo posto (ωx+ωy) = 2ω ≈2(g/L)1/2.
E’ immediato rendersi conto che è possibile rendere uguali le due pulsazioni nelle direzioni x ed y
[annullando quindi il coefficiente di asimmetria che è dato da δ = |ωx-ωy|/2 ] aggiungendo in
maniera opportuna delle masse che abbiano momenti d’inerzia diversi rispetto ai due assi x ed y.
Nell’ipotesi che Lx > Ly per uguagliare le due pulsazioni si possono aggiungere due corpi (supposti
puntiformi) ciascuno di massa m’ e posti a distanza d dall’asse del pendolo lungo la direzione
dell’asse x. In questo caso le equazioni (78) diventano:
[(m+2m’)L2 +2m’d2] d2α/dt2 +(m+2m’)gLxα = 0
2
2
(78)
2
[(m+2m’)L ] d α/dt +(m+2m’)gLyα = 0
Dalle relazioni (78), ponendo 2m’/(m+2m’)
= k ed uguagliando le due pulsazioni si
ottiene la seguente relazione:
(Lx – Ly) L2 = k d2 Ly
≈ 70 mm
(79)
Sostituendo nella relazione (77) il valore
sperimentale di δ si ottiene la quantità (LxLy) e tenendo presente che Ly ≈ L , dalla
relazione (79) si ricava:
Ferro Armco
Acciaio inox
d = 2 (ωδ/gk) 1/2 L3/2
Ottone
(80)
Un calcolo più preciso deve tener conto dei
momenti d’inerzia della coppia di corpi e
dell’albero che li sostiene rispetto a due assi
ortogonali.
Fig. 34 Bilanciere per la compensazione della
asimmetria.
44
Nella Fig. 34 è mostrato lo schema della soluzione adottata , in cui due corpi cilindrici in ottone,
possono scorrere lungo l’albero per consentire una regolazione fine in fase di collaudo.
Il dispositivo è corredato di cilindri di dimensioni e masse diverse per consentire la correzione di
asimmetrie comprese tra δ ≈ 2 10-4 rad/s e δ ≈ 1.2 10- 3 rad/s.
Il calcolo delle dimensioni dei corpi che consentono la correzione dell’asimmetria per
l’intervallo di valori sopra riportato è svolto nella Appendice D ed i principali risultati sono
presentati in Tabella VI.
Il bilanciere può essere facilmente installato grazie ad un taglio praticato nell’anello che sostiene
gli alberi con i due corpi cilindrici.
Materiale dei
cilindri
Ottone
R
(mm)
12.5
Tabella VI
L
Mbil.
Mtot
(mm)
(kg)
(kg)
35
0.577 2.145
δmin - δmax (rad/s)
3 10-4 – 6 10-4
L’introduzione del bilanciere, modificando la distribuzione delle masse e dei momenti di inerzia,
ha l’effetto di produrre una riduzione del periodo di oscillazione dell’ordine dello 0.2-0.3%,
ininfluente dal punto di vista della osservazione sperimentale dei vari processi. Esso causa anche un
incremento dello smorzamento e quindi richiede un sistema di reintegro un po’più potente
(dell’ordine del 10-15%).
In realtà la presenza dell’anello di Charron complica la situazione e pertanto il bilanciere viene
utilizzato per modificare il momento d’inerzia del sistema rispetto agli assi principali di asimmetria
in maniera da mostrare agli sperimentatori che il moto di precessione può avvenire in senso orario o
in senso antiorario (come mostrato dalle misure riportate nel prossimo paragrafo).
Φ (°)
III.2.4 Misure sul moto smorzato e forzato in presenza dell’anello di Charron e del bilanciere.
La condizione stazionaria del moto di oscillazione del pendolo è stata ottenuta alimentando la
bobina con una corrente I = 8 A e con una durata dell’impulso di circa 800 ms a partire dall’istante
in cui il filo entra in contatto con l’anello di Charron. L’ampiezza della oscillazione negli istanti
iniziali è αmax ≈ 9° e si riduce progressivamente ad αmax ≈ 7.5° raggiungendo la condizione di
stazionarietà.
Il collaudo effettuato per una durata di 21 ore
80
ha mostrato che la temperatura di equilibrio
della bobina è ampiamente entro i limiti di
β = 30°
β = 50°
funzionamento dell’isolamento (Tmax = 180
40
C).
β = 70°
Sono state effettuate misure del moto di
β = 90°
precessione, senza installare il bilanciere e
0
ruotando la testa di sospensione come
β = 10°
descritto nel paragrafo III.2.1. Tali misure
hanno mostrato che le traiettorie si
-40
mantengono costantemente rettilinee in ogni
0
2000
4000
6000
8000
10000
fase del processo di precessione. Il moto di
t(s)
precessione, osservato per periodi di 1-2 ore,
è ancora dominato dalla asimmetria, tuttavia
Fig. 35 Precessione in presenza della forzante e del- il pendolo, dopo una fase iniziale in cui può
l’azione dell’anello di Charron.
precedere in senso orario oppure in senso
45
Φ (°)
antiorario, tende ad oscillare costantemente in un piano (piano limite individuato dal valore di Φlim),
come mostrato dati sperimentali riportati in Fig. 35. La separazione tra le posizioni angolari dei
vari piani limite appare (entro gli errori sperimentali) costante ed uguale al passo Δβ con il quale è
stato ruotata la testa di sospensione del pendolo. Questo fatto porta a ritenere che il moto del
pendolo tende ad uno o all’altro dei due piani principali della asimmetria e la presenza dell’anello di
Charron impedisce sia di superare la
posizione dei piani principali sia di invertire
70
il moto di precessione.
60
Dati sperimentali
In particolare nella posizione angolare della
50
Curva teorica
testa corrispondente a β = 30° uno dei due
40
assi principali della asimmetria giace nel
30
piano di lancio del pendolo per cui la
20
velocità di precessione nella prima ora
10
praticamente coincide con la velocità di
0
precessione di un pendolo perfettamente
0
2000
4000
6000
8000
10000
simmetrico, come mostrato dalla Fig. 36. La
t (s)
curva teorica (a tratteggio) rappresenta infatti la precessione di un pendolo ideale alFig. 36 Moto di precessione per β = 30°.
la latitudine di Milano.
Con la testa di sospensione posizionata a β = 30° si è proceduto alla misura del moto di precessione
dopo aver installato sul pendolo il bilanciere nelle due posizioni illustrate nelle Fig. 37a e 37 b.
Fig. 37 Disposizione del bilanciere con l’asse normale (a) o parallelo (b) al piano di lancio.
Nel caso in cui il bilanciere sia disposto con il
suo asse in direzione ortogonale al piano di
oscillazione (Fig. 4a) si ha un incremento
notevole della asimmetria ed il pendolo precede
in senso orario e compie ben presto ampie
traiettorie ellittiche che dopo circa 25 minuti
producono il distacco del filo di sospensione
dall’anello di Charron ponendo termine al
reintegro della energia persa per attrito (Fig.
38).
70
60
Φ ( °)
50
Distacco del filo
dall'anello di Charron
40
30
20
Dati sperimentali
10
0
0
1000
2000
3000
4000
t (s)
Fig. 38 Moto di precessione nel caso 37a.
46
Φ (°)
2
Nell’altro caso l’asimmetria intrinseca del
pendolo, corretta dal bilanciere, provoca un
0
moto di precessione molto lento che evolve in
-2
senso antiorario (Fig. 39).
Queste misure mostrano come l’anello di
-4
Dati sperimentali
Charron, che ha il pregio di mantenere rettilinee
-6
le traiettorie del pendolo, modifichi in maniera
-8
sostanziale il moto di precessione previsto da
0
1000
2000
3000
4000
Kammerling Onnes per i pendoli asimmetrici.
t (s)
D’altro canto le misure sul coefficiente di
asimmetria consentono di prevedere che in un
pendolo di lunghezza L = 10 m, nell’ipotesi di imFig. 39 Moto di precessione nel caso 37b
piegare le stesse soluzioni meccaniche del modello, il valore di δ dovrebbe come minimo ridursi di un fattore 30 e quindi assumere valori da 4 a 5
volte inferiori ad Ωz. Questo fatto congiunto all’impiego dell’anello di Charron dovrebbe consentire
di evitare delicate correzioni sul pendolo.
.
47
Parte quarta
IV.1 Breve descrizione dell’apparato.
Il pendolo è installato nella parte superiore di un armadio
(2x0.65x0.65 m3) ed è visibile da tre lati, inoltre è accessibile
agli eventuali sperimentatori attraverso una porta-finestra
situata nella parte frontale dell’armadio (Fig. 40).
Nella parte superiore dell’armadio è installato il supporto del
pendolo che può essere ruotato rispetto al piano di
oscillazione iniziale del pendolo. Questi dispositivo consente
di osservare le diverse modalità del moto degenere del
pendolo causato da una asimmetria. Per correggere
l’asimmetria del pendolo ad esso è applicato un bilanciere il
cui momento d’inerzia può essere variato facendo scorrere le
due masse lungo il suo asse.
Nella parte inferiore dell’armadio sono installati la bobina di
reintegro dell’energia ed il relativo alimentatore nonché
l’elettronica di comando e controllo degli impulsi di corrente.
Nella parte frontale si trova il pannello (Fig. 41) sul quale
sono disposti:
- gli interruttori generali (On ed Off) dell’apparato;
- l’interruttore di eccitazione e diseccitazione della
elettrocalamita (Start). Questo interruttore comanda
l’avvio dell’orologio (Total time);
- un interruttore (Bobina) che,
quando non è
premuto(condizione On), consente l’alimentazione
della bobina (purché avvenga il contatto tra il filo di
sospensione e l’anello di Charron.), mentre quando è
Fig. 40 Armadio del pendolo
premuto (condizione Off) impedisce l’alimentazione
della bobina. Esso consente (nella condizione Off) di
effettuare le misure di smorzamento delle oscillazioni.
- una spia luminosa lampeggiante(a lato dell’interruttore “Bobina”) che assicura che la bobina
viene periodicamente eccitata (cioè che continua a sussistere il contatto tra il filo e
l’anello di Charron). Questa informazione viene fornita anche da uno dei due aghi magnetici posti a lato della piastra goniometrica;
.
E R GE N
CY
EM
Total time
Reset1
On
ST P
O
Partial time
Off
Interruttore
impulsi
Start
On Reset2
Spia
Up
Bobina
A
B
On
Potenziometro
Down
Off
Fig. 41 Pannello di comando e controllo del pendolo di Foucault.
48
-
-
-
due orologi digitali con i relativi tasti di reset che registrano gli intervalli di tempo in ore
minuti e secondi.. Il primo orologio viene avviato dall’interruttore Start e registra il tempo
di funzionamento del pendolo (Total time) e viene azzerato (Reset1) soltanto in caso di
interventi sul pendolo (ad es. rottura del filo di sospensione del pendolo). Il secondo
orologio (Partial time) viene avviato dall’interruttore On (questo interruttore deve essere
premuto contemporaneamente all’interruttore Start) e misura la durata di ogni singola
sperimentazione effettuata dagli studenti.. Prima dell’avvio di ogni singola misura
conviene azzerare (Reset2) il tempo segnato da questo orologio;
un interruttore (Interruttore impulsi) che consente di alimentare la bobina con corrente
continua (per permettere la misura della intensità attraverso le due boccole A e B) oppure
con corrente impulsata, come richiesto dalla esigenze di reintegro dell’energia del pendolo.
Un potenziometro per regolare l’ intensità di corrente della bobina in maniera che
l’ampiezza massima di oscillazione del pendolo sia tale da produrre sempre il contatto tra il
filo di sospensione e l’anello di Charron. Questi componenti, che non sono a disposizione
degli studenti (per questa ragione sono protetti da una copertura in plexiglass), sono
indispensabili per la ricalibrazione del dispositivo nel caso in cui si renda necessario
cambiare il filo di sospensione del pendolo.
Un interruttore di emergenza per togliere la tensione di alimentazione generale.
Nella Fig. 42 sono mostrate due sezioni dell’apparato (una nel piano diagonale e l’altra nel
piano mediano) con le dimensioni principali del pendolo.
9
89
Anello di
Charron
Ferro Armco
Acciaio inox
Dispositivo per la
rotazione del filo
di sospensione
Acciaio
Anticorodal
Ottone
PVC
L pend = 1033.7 mm
976
993
1033.7
Filo in acciaio
Φ = 0.4 mm
Centro di
massa
161.7
Elettrocalamita
57.7
3.4
Livella
57.3
Bobina di
compensazione
Fig. 42 Sezioni diagonale e sezione mediana dell’armadio del pendolo.
49
Ago
magnetico
21
0
200
190
170
0
15
160
S
22
0
0
14
0
23
13
0
cci
o
0
24
Li
be
cco
iro
Sc
12
0
250
110
260
100
Sul piano è riportata una scala goniometrica (Fig.
43) che consente di misurare l’angolo di
precessione del piano di oscillazione del pendolo.
Al centro di questa scala è riportata, a puro scopo
decorativo, la rosa dei venti. Ai lati della scala
goniometrica si trovano due bussole magnetiche e
due livelle ad acqua.
O
E
280
80
290
70
M
Gr
ec
ra
30
0
ale
st
ae
60
le
31
0
N
0
33
340
350
10
20
30
40
0
32
50
Fig. 43 Vista del piano di base del pendolo con la
scala goniometrica (corona circolare rossa), la
rosa dei venti, le due bussole magnetiche e le due
livelle ad acqua.
IV.2 Istruzioni per la sperimentazione da parte degli studenti o dei visitatori.
L‘apparato non è attrezzato per consentire l’oscillazione del pendolo in qualsiasi piano senza che
avvenga la torsione del filo, come nell’apparato realizzato da Foucault, e pertanto esso dovrebbe
consentire osservazioni della durata di alcune ore (per le quali la torsione del filo è limitata a poche
decine di gradi) senza che siano introdotte perturbazioni troppo elevate. Si è deciso di adottare tale
soluzione per semplificare sia la costruzione sia l’impiego dell’apparato quando si intende osservare
il moto perturbato degenere (in presenza di una asimmetria) che richiede di poter ruotare la
sospensione del pendolo rispetto agli assi principali della asimmetria (in quanto la posizione di
partenza del moto del pendolo, determinata dalla posizione della elettrocalamita, è fissa). Con
l’apparato sono possibili diverse osservazioni sperimentali sul moto del pendolo come descritto
nella Parte seconda e nella Parte terza di queste note. In particolare è possibile osservare e
misurare:
a) lo smorzamento del moto pendolare (senza cioè eccitare la bobina per il reintegro dell’energia
persa dal pendolo a causa degli attriti);
b) la rotazione del piano di oscillazione causata dalla forza di Coriolis;
c) le diverse forme di moto precessionale degenere provocato da una asimmetria opportunamente
introdotta dallo sperimentatore.
Le istruzioni per operare con il pendolo di Foucault ed il tipo di osservazioni consigliate sono
riportate in un manuale allegato a questo testo.
50
Appendice A Calcolo delle caratteristiche meccaniche del pendolo.
In questa appendice si calcolano per le diverse porzioni della massa pendolare le seguenti quantità:
a) la massa m;
b) la coordinata zCM del centro di massa rispetto al piano mediano della fascia cilindrica centrale;
c) la distanza L = Lo –zCM tra il centro di massa ed il punto di sospensione (essendo Lo = 1.0411 m);
d) il momento di inerzia I rispetto ad un asse orizzontale passante per il punto di sospensione.
1) Fascia centrale (ferro Armco)
zo = h1 /2 = 0.01025 m,
r1 = d1/2 = 0.036 m,
ρ = 7850 kg/m3 , si ottiene:
Essendo
z
r1
z= + zo
m1 = π (r12)h1 ρ = 0.6552 kg
r
z= - zo
z1CM = 0
L1 = 1.0411 m
Per il calcolo del momento di inerzia si considera un asse coincidente con l’asse r e pertanto
l’elemento di volume dV = rdrdzdθ centrato sul punto di coordinate cilindriche (r,z,θ) si trova alla
distanza d = (r2sen2θ +z2)1/2 dall’asse r. Inoltre data la simmetria è sufficiente considerare la
porzione compresa tra θ = 0 e θ = π/2. Ne consegue che il momento d’inerzia rispetto ad un asse
passante per il punto di sospensione e parallelo all’asse r è dato da:
π/2 r1 zo
π/2 r1
I1 = m1 L1 + 4ρ ∫ dθ ∫ dr ∫ (r sen θ+z ) rdz = m1 L1 + 4ρ ∫ dθ ∫ (2zor3sen2θ+2rzo3/3) dr =
0 0
0 0 -zo
π/2
2
= m1 L1 + 4ρ ∫(zor14sen2θ/2+r12zo3/3) dθ = m1 L12 + 4ρ [(π/8) zor14+(π/6) r12zo3] =
0
= m1 L12 + π r12(2zo)ρ [r12/4+ zo2/3] = m1 L12 + m1 [r12/4+ zo2/3] =
2
2
2
2
2
= (0.7102 + 2.352 10-4) kg m2
2) Calotta sferica inferiore (ferro Armco)
z
r2
z = -zo
z = -z2
r
Essendo ro = do/2 = 0.035 m,
zo = h1/2 = 0.01025 m,
z2 = -ro = 0.035 m r2 = (ro2-ho2)1/2 = 0.03347 m,
ρ = 7850 kg/m3 , si ottiene:
z2
(ro2-z2)1/2 2π
m2 = ρ ∫dz ∫rdr
zo 0
z2
z2
∫dθ = π ρ ∫ (ro -z ) dz = π ρ [ro z-z /3] =
2
0
2
zo
= π ρ [ro2(z2-zo) +(-z23+zo3)/3] = 0.4041 kg
51
2
3
zo
z2
(ro2-z2)1/2 2π
z2CM = - (ρ/m) ∫zdz ∫rdr
zo 0
∫dθ = - (πρ/m)[ro z /2-z /4]
2 2
z2
4
0
=
zo
= -(πρ/m)[ro2(z22-zo2)/2 +(–z24+zo4)/4]= -0.01914 m
L2 = Lo – z2CM = 1.0411 + 0.01914 = 1.06024 m
Il momento di inerzia di questa porzione viene calcolata rispetto ad un asse giacente nel piano della
sezione della calotta sferica che si trova alla quota z = - zo. In base alle considerazioni svolte per la
fascia centrale e tenendo presente che quando z si sposta da –zo a –z2 gli estremi di integrazione su
r variano da 0 a (ro2-z2)1/2 si potrà scrivere:
-zo
(ro2-z2)1/2 π/2
I2 = m2[L22 –(z2CM-zo)2] + 4ρ∫dz ∫dr
-z2 0
∫ r(r2sen2θ +z2)dθ = m2L22
0
-zo (ro2-z2)1/2
+ (2π ρ)∫ dz ∫(r3/2+rz2) dr =
-z2 0
-zo (ro2-z2)1/2
= m2[L22 –(z2CM-zo)2] + (2π ρ)∫ dz ∫(r3/2+rz2) dr =
-z2 0
- zo
= m2[L22 –(z2CM-zo)2]+ (2π ρ) ∫ [(ro2-z2)2/8 +z2(ro2-z2)/2] dz =
-z2
-zo
2
2
5
2 3
= m2[L2 –(z2CM-zo) ] + (2π ρ) [-3z /40 + ro z /12 + ro4z/8] =
-z2
= m2[L22 –(z2CM-zo)2] + (2π ρ) [-3(z25-zo5)/40 + ro2 (z23-zo3)/12 +ro4(z2-zo)/8] =
= {[0.4542 – 3.194 10-5 ] + 2.453 10-4} kg m2
3) Calotta sferica superiore (ferro Armco)
Essendo:
z
z =+ z3
z =+ zo
ro = do/2 = 0.035 m
ho = h1/2 = 0.01025 m
r3 = d2/2 = 0.01575 m
z3 = (ro2- r32)1/2 = 0.031256 m
ρ = 7850 kg/m3
r3
r
si ottiene:
z3 (ro2-z2)1/2 2π
z3
z3
2 2
2
3
m3 = ρ ∫dz ∫rdr
∫dθ = π ρ ∫ (ro -z ) dz = π ρ [ro z-z /3] =
zo 0
0
zo
zo
52
= π ρ [ro2(z3-zo) –(z33/3- zo3)/3] = 0.3924 kg
z3 (ro2-z2)1/2 2π
z3
2 2
4
z3CM = (ρ/m3) ∫zdz ∫rdr
∫dθ = (πρ/m3)[ro z /2-z /4] =
0
zo
zo 0
= (πρ/m3)[ro2 (z32-zo2)/2 –z34/4+zo4/4]= 0.01874 m
L3 = Lo – z3CM = 1.0411 + 0.01874 = 1.02236 m
z3
(ro2-z2)1/2 π/2
I3 = m3[L32 –(z3CM-zo)2] + 4ρ∫dz ∫dr
∫ r(r2sen2θ +z2)dθ = m3L32 =
zo 0
0
2 2 1/2
z3 (ro -z )
= m3[L32 –(z3CM-zo)2] + (2π ρ) ∫ dz ∫ (r3/2+rz2)dr
zo 0
z3
+ (2π ρ) ∫ [(ro2-z2)2/8 +z2(ro2-z2)/2] dz =
zo
z3
2
2
5
= m3 [L3 –(z3CM-zo) ] + (2π ρ) [-3z /40 + ro2z3/12 + ro4z/8] =
= m3[L32 –(z3CM-zo)2]
zo
= m3[L32 –(z3CM-zo)2] + (2π ρ) [-3(z35-zo5)/40 + ro2 (z33-zo3)/12 +ro4(z3-zo)/8] =
= {[0.4101 – 2.828 10-5] + 2.382 10-4 } kg m2
4) Base cilindrica del blocchetto di serraggio (acciaio inox)
z
z = + z4
Essendo r3 = d2/2 = 0.01575 m,
z4 = z3 + h2 = 0.041756 m,
si ottiene:
r3
z = + z3
r
z3 = 0.031256 m,
ρ = 7488 kg/m3
m4 = ρ π r32(z4-z3) = 0.06127 kg
z4CM = 0.036506 m
L4 = Lo – z4CM = 0.9837 m
I4 = m4 L42 + m4 [r32/4+ (z4-z3)2/12] = (0.05929 + 3.94 10-6) kg m2
53
5) Blocchetto di serraggio con bulloni (acciaio inox)
Essendo a = b = 0.018 m, c = 0.02 m, z4 = 0.041756 m
z5 = z4+c =0.061756 m ρ = 7488 kg/m3 si ottiene:
z
z = z5
m5 = ρ a b c = 0.0485 kg
c
z = z4
b
a
z5CM = z4 +c/2 = 0.051756 m
y
x
L5 = Lo – z5CM = 0.989344 m
Poiché a = b il momento d’inerzia rispetto ad un qualsiasi asse parallelo al
piano xy è costante ed è dato da:
b/2 a/2 c/2
2
I5 = m5 L5 + ρ ∫ dx ∫ dy ∫ (x2+z2)dz = m5 L52 + ρ abc(a2+b2)/12 = m5 L52 + m5 (b2 +c2)/12 =
-b/2 -a/2 -c/2
= (0.0475 + 2.926 10-6) kg m2
6 -7) Punta cilindro-conica (acciaio inox)
Essendo z6 = 0.035 m, a = b = 0.008 m, d = 0.01 m, ρ =7488 kg/m3
z
si ottiene:
r
Porzione cilindrica
m6 = ρ(πd2a/4) = 0.0047 kg
z6CM = -(z6+a/2) = - 0.04 m
d
z = - z6
a
b
L6 = 1.0811 m
I6 = M6L62 + m6 [d2/16+ a2/12]= ( 5.49 10-3 + 5.44 10-8) kg m2
Porzione conica
m7 = ρ(πd2b/12) = 0.00157 kg
z7CM = z6CM-b/4 = -0.042 m
L7 = 1.0831 m
d(1-z/b)/2
-z6
I2 = m7[L7 –(z7CM-z6-a) ] + 4ρ∫dz
∫ dr
-(z6+a) 0
2
-z6
= m7[L72 –(z7CM-z6-a)2] + (2π ρ)∫ dz
-(z6+a)
π/2
∫ r(r2sen2θ +z2)dθ =
2
0
d(1-z/b)/2
∫(r3/2+rz2) dr
0
-(z6+a)
= m7[L7 –(z7CM-z6-a) ] + (2π ρ)∫ [d4(1-z/b)4/128 + d2(1-z/b)2 /8] dz =
-(z6+a+b)
2
2
54
- (z6+a)
= m7[L7 –(z7CM-z6-a) ] + (2π ρ) {d [z+z /5b + 2z /b -z /2b -z /b] /128 + d [z+z /3b -z2/b]/8} =
- (z6+a+b)
2
2
4
5
4
3
= [1.842 10-3 – 1.57 10-9] + 2 10-8} kg m2
8) Filo di sospensione (acciaio)
m8 = 9.41 10-4 kg
z8CM = 0.541 m
L8 = Lo –z8CM = 0.5
I8 = m8L82 + m8Lo2/8 = 3.6 10-4 kgm2
Risultati finali
mtot = ∑ mj= 1.5687 kg
zCM = + 2.94 10-3 m
Itot = 1.6897 kg m2
55
2
4
3
2
2
3
2
Appendice B
Calcolo della forza magnetica esercitata dall’ elettrocalamita.
Un calcolo approssimato della forza magnetomotrice del solenoide in grado di esercitare una
forza di attrazione uguale o superiore alla componente della forza peso ortogonale al filo nella
posizione di avvio del moto (Fn = mg sen αmax) si ottiene assumendo che la parete cilindrica del
nucleo dell’elettrocalamita e la porzione della fascia centrale della massa pendolare che ad essa si
affaccia si comportino come le espansioni polari di un elettromagnete.
Con questa ipotesi e con riferimento alla Fig. B1 si trova che la forza di attrazione è data da:
F = B2S/2μo
(B-1)
L
essendo S l’area della superficie di contatto tra
il nucleo e la sfera.
Il campo di induzione magnetica nel ferro è
dato da:
δ
d
D
B = k μr μo NI cos δ /L
(B-2)
dove NI è la forza magnetomotrice del
Fig. B1 Schema per il calcolo della forza di attra- solenoide, cos δ = L/(L2+D2)1/2 e k è un fattozione esercitata dal nucleo della elettrore (k ≈ d2/D2) che tiene conto del flusso dicalamita sulla sfera del pendolo.
sperso.
Il valore della forza magnetomotrice minima
che consente di trattenere la sfera del pendolo è dato da:
mg sen amax = [k2μr2μo (NI)2 S cos2δ]/(2L2)
(B-3)
Dalla relazione (B-3) si ricava:
NI = [2 m g sen αmax/(μo S)]1/2 L /(kμr cos δ)
(B-4)
Dalla geometria del solenoide (L = 6.5 cm e D = 4.5 cm) e del nucleo di ferro (d = 3 cm ed
S = 3 cm2), assumendo che il ferro del nucleo abbia un coefficiente di permeabilità magnetica non
particolarmente elevato (μr ≈ 200) si ottiene:
NI ≈ 100 Aspire
In altri termini sono sufficienti poche centinaia di mA nel solenoide con N = 350 – 400 spire.
E’ importante poter regolare l’altezza del solenoide in maniera che quando la sfera è a contatto
con il nucleo dell’elettrocalamita il filo di sospensione del pendolo sia in tensione (sopporti cioè la
componente radiale della forza peso). Inoltre è necessario orientare l’asse del solenoide in maniera
che formi l’angolo di 9° rispetto al piano orizzontale e far sì che esso giaccia nel piano di
oscillazione del pendolo passante per il centro del goniometro.
56
Appendice C Calcolo della forza di richiamo esercitata dalla bobina.
C1) Calcolo delle componenti del campo di induzione magnetica e del momento di dipolo della
sfera in ferro.
Per il calcolo delle componenti del campo di induzione magnetica fuori dall’asse della bobina e
dal piano mediano della bobine si è assunto che questa sia equivalente ad una spira circolare
percorsa da una corrente NI (come mostrato in Fig. C1). Le componenti del campo di induzione
maagnetica B nel generico punto di coordinate r = L senα e z =zo +L (1-cosα) sono date da:
Bz(r,z) / (NI)= (μo /2πΔ){ J1 + (R2-r2-z2) J2 /[(R-r)2 +z2]}
2
2
2
2
(C-1)
2
Br(r,z) / (NI) = (μo z/2πrΔ){- J1 + (R +r +z ) J2 /[(R-r) +z ]}
dove:
Δ = [(R+r)2 + z2]1/2
(C-2)
J1 = a1 + a2 δ +a3 δ2 + (a4 +a5 δ +a6δ2) ln(1/δ)
α
2
(C-3)
J2 = 1 + b1 δ + b2 δ + (b3 δ + b4 δ ) ln(1/δ)
L
δ = 1- k2
R
2
zo
Fig. C1 Schema per il calcolo delle componenti Bz e Br del campo magnetico generato dalla bobina.
k2 = 4rR/[(R+r)2+z2]
a1 = 1.3862944
a2 = 0.1119723
a3 = 0.0725296
a4 = 0.5
a5 = 0.1213478
a6 = 0.0288729
(C-4)
b1 = 0.4630151
b2 = 0.1077812
b3 = 0.2452727
b4 = 0.0412496
(C-5)
Le componenti del momento di dipolo lungo z (M z) e lungo r (M r) in una sfera immersa nel
campo di induzione magnetica con componenti Bz e Br sono date da :
M z= [3 Bz (r,z) /μo ](4π/3)Ro3
(C-6)
M r = [3 Br(r,z) /μo ](4π/3)Ro3
dove Ro è il raggio della sfera di ferro ed il fattore 3 è il valore limite per valori di suscettività χ del
ferro molto elevati (si assume che χ > 1000).
C2) Calcolo della forza di attrazione agente sulla sfera
Le componenti della forza magnetica agente sulla sfera di ferro sono date da:
57
Fz = Mz dBz (r,z)/ dz
(C-7)
Fr = Mr dBr (r,z)/ dr
(C-8)
essendo dBz/dz e dBr/dr i gradienti delle componenti assiale e radiale del campo.
La forza che reintegra l’energia persa a causa degli attriti è data dalla componente Fn normale al
filo di sospensione ed è data da:
Fn = Fz sen α – Fr cos α
(C-9)
come mostrato nella Fig. 12 a pag. 25.
E’ importante determinare come la componente Fn e l’intervallo di tempo in cui essa è diretta in
maniera da accelerare la massa pendolare dipenda dalla distanza zo tra il centro della sfera di ferro
ed il piano della bobina.
Nei grafici di Fig. C2 sono riportate in funzione di α le componenti Bz e Br del campo di induzione
magnetica per diversi valori della distanza zo (da zo = 6 cm a zo = 14 cm con passo
Δzo = 2 cm)
per una bobina di raggio medio R = 0.19 m quando la sua forza magnetomotrice è NI = 180 Asp.
6,0
5,0
zo = 6 cm
z = 6 cm
B r (gauss)
B z (gauss)
3,0
4,0
zo = 14 cm
2,0
z = 14 cm
-1,0
-3,0
NI = 180 Asp
NI = 180 Asp
-5,0
0,0
-9
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
-10
9
-5
0
5
10
α (°)
α (°)
Fig. C2
1,0
Componenti del campo di induzione magnetica generato dalla bobina (NI = 180 Asp).
Nel primo grafico di Fig. C3 è riportato l’andamento della forza istantanea Fn in funzione
dell’angolo α (limitato all’intervallo -9° < α < 0) e della distanza zo mentre nel secondo grafico è
riportato l’andamento della forza <Fn> (mediata su un periodo di oscillazione) in funzione della
ampiezza massima αmax e della distanza zo .
Dai dati si ricava che la forza media <Fn> è massima per 10 cm < zo < 11 cm e che per contrastare
le forze di attrito (eccitando la bobina due volte ad ogni ciclo per una durata complessiva pari ad
un semiperiodo) è necessaria una forza magnetomotrice
NI ≈ 320 Asp
La bobina deve essere eccitata durante le fasi di discesa del pendolo verso la posizione centrale e
per mantenere il sincronismo l’eccitazione della bobina può essere comandata dal segnale che si
ottiene quando, ad ogni semiperiodo, il filo del pendolo entra in contatto con l’anello di Charron.
58
2,0E-04
6,E-04
z o =10 cm
4,E-04
z o =14 cm
zo = 10 cm
1,6E-04
<Fn> (N)
Fn (N)
2,E-04
0,E+00
z o = 6 cm
-2,E-04
zo = 14 cm
1,2E-04
8,0E-05
zo = 6 cm
NI =180 Asp
-4,E-04
4,0E-05
-6,E-04
0,0E+00
NI = 180 Asp
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-9
α (°)
-8
-7
-6
-5
α
max
-4
-3
-2
-1
0
(°)
Fig. C3 Andamento della forza Fn e della forza media <Fn> in funzione di α (αmax) e della
quota zo (per NI = 180 Asp).
La diseccitazione della bobina può essere comandata dopo un intervallo di tempo di poco inferiore
ad un quarto di periodo. In questa maniera si preserva l’isocronismo tra le oscillazioni del pendolo e
l’eccitazione della bobina per un tempo indefinito, indipendentemente dalle variazioni del periodo
di oscillazione del pendolo.
Poiché con la bobina a nostra disposizione (N = 36 spire) sarebbe necessaria una corrente piuttosto
elevata si è deciso di inserire al centro della bobina un cilindro in ferro Armco (altezza 10 cm e
diametro 3.8 cm) che consente di contenere la corrente di alimentazione entro 7-8 A.
59
Appendice D Calcolo dei momenti di inerzia del bilanciere.
Il calcolo dei momenti di inerzia rispetto a due assi passanti per il centro di massa e tra loro
ortogonali viene effettuato per un generico cilindro (di altezza h, raggio r e densità ρ) il cui centro
Asse di inerzia
O
O
Asse di inerzia
H
H
D
R
D
R
z
z
C.M.
C.M.
h
h
Fig. D1 Asse di inerzia parallelo all’asse del
cilindro.
Fig. D2 Asse di inerzia normale alleasse del
cilindro.
di massa è posto ad una distanza D dall’asse verticale del pendolo ed una distanza H dal piano
orizzontale contenente il punto O di sospensione del pendolo (Fig. D1 e Fig. D2). Uno dei due
assi rispetto ai quali viene calcolato il momento d’inerzia è parallelo all’asse del cilindro.
D1) Momento di inerzia di un cilindro rispetto ad un asse parallelo all’asse del cilindro.
Adottando un sistema di coordinate cilindriche (r,θ,z) con origine nel centro di massa del
cilindro e ricordando il teorema di Huyghens, il momento di inerzia Ip rispetto all’asse passante per
il punto O di Fig. D1 è dato da:
2π
h/2 R
2
Ip = m H + ρ∫ dθ ∫dz ∫ r3 dr = + ρ (π/2) h R4 = mH2 + mR2/2 = m(H2 + R2/2)
(D1)
0
-h/2 0
essendo dV = rdθdrdz il volume infinitesimo che si trova a distanza r dall’asse baricentrale. Si noti
che per corpi cilindrici di piccole dimensioni (R << H) il termine preponderante nel momento
d’inerzia è rappresentato da mH2.
60
D2) Momento di inerzia di un cilindro rispetto ad un asse normale all’asse del cilindro.
Adottando lo stesso sistema d’assi del caso precedente, tenendo presente le simmetrie e
ricordando che la distanza d dall’ asse baricentrale del volume dV = rdθdrdz è in questo caso data
da d2 = (r2sen2θ + z2), si ottiene che il momento d’inerzia In rispetto all’asse di inerzia di Fig. D2 è
espresso da:
π/2
h/2 R
2
2
In = m ( H +D ) + 8ρ ∫ dθ ∫dz ∫ r (r2sen2θ + z2) dr =
0
0
0
π/2
h/2
2
2
= m ( H +D ) + 8ρ ∫ dθ ∫ [(R4/4)sen2θ +z2R2/2] dz =
0
0
π/2
= m ( H2+D2) + 8ρ ∫ [(hR4/8)sen2θ +h3R2/16] dθ =
0
= m ( H2+D2) + π ρ hR2 [R2/4 + h2/4] = m [H2 + D2 + R2/4 + h2/4]
(D2)
Anche in questo caso il termine m[H2+ D2] è in genere preponderante rispetto agli altri termini.
Utilizzando i risultati (D1) e (D2) si possono determinare i momenti d’inerzia rispetto ai due assi tra
loro ortogonali di qualsiasi corpo cilindrico (incluse le eventuali cavità di forma cilindrica presenti
nel corpo stesso). Si tenga presente che questi momenti si sommano al momento di inerzia della
massa pendolare e di qualsiasi altro componente che abbia simmetria cilindrica rispetto all’asse di
sospensione del pendolo.
61
