Università del Piemonte Orientale Corsi di laurea triennale di area tecnica Corso di Statistica Medica La distribuzione t - student Abbiamo visto nelle lezioni precedenti come il calcolo del valore Z, riferito alla distribuzione normale standard consente di misurare la probabilità di estrarre un campione con il valore dato (o valori più lontani dalla media della popolazione), conoscendo media e deviazione standard della popolazione. Z = ( X - µ)/ (σ/√n). Z = (149,14 - 145) / (2,53/√15) = 6,34 Conclusione: la probabilità di estrarre un campione di 15 valori con media 149,14 da una popolazione con media 145 e deviazione standard 2,53 è inferiore a 0,0005. Spesso non abbiamo informazioni sul parametro (il valore della deviazione standard nella popolazione). Come possiamo procedere? Usiamo la deviazione standard campionaria, che è una stima non distorta della deviazione standard nella popolazione. In questo caso la soluzione adottata è quella di stimare la varianza della popolazione in base alla varianza del campione. Si ricorda infatti che l’atteso della varianza campionaria calcolata con il denominatore (n-1) è una stima non distorta della varianza della popolazione. ‘stima non distorta’ : stima non affetta da errore sistematico. La varianza del campione (s2) però è affetta da variabilità casuale rispetto alla varianza della popolazione (σ2), a causa del campionamento. Pertanto non potremo usare statistiche basate sulla distribuzione normale standardizzata, che risulterebbe troppo poco conservativa. Gosset (che pubblicava con lo pseudonimo di Student) propose di utilizzare una famiglia di distribuzioni, con forma simmetrica e con ampiezza dipendente dal numero di osservazioni del campione: le funzioni di distribuzione t (o t di Student). 14 g.l • Il valore di t dipende dall’ampiezza campionaria (n) e viene determinato dai gradi di libertà della distribuzione (pari a n-1) • Per campioni molto numerosi i valori di t sono molto vicini ai valori di z • Così come per la distribuzione normale, è possibile trasformare un’osservazione in un valore di t quando sono note la media e la deviazione standard del campione: ( x − x) t= s La probabilità corrispondente all’intervallo tra un dato t e ∞ si legge su apposite tabelle, come la seguente. Si noti che i valori di probabilità cumulativa esterni ad un dato valore di t sono maggiori man mano che si riduce il numero di gradi di libertà. La distribuzione t per 30 gradi di libertà è praticamente una distribuzione normale standardizzata. g . l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 ,5 0 0 1 ,0 0 0 0 ,8 1 6 0 ,7 6 5 0 ,7 4 1 0 ,7 2 7 0 ,7 1 8 0 ,7 1 1 0 ,7 0 6 0 ,7 0 3 0 ,7 0 0 0 ,6 9 7 0 ,6 9 5 P r o b a b ilit à c o r r is p o n d e n t e a l v a lo r e t ( a d u e c o d e ) 0 ,4 0 0 0 ,3 0 0 0 ,2 0 0 0 ,1 0 0 0 ,0 5 0 0 ,0 2 0 0 ,0 1 0 1 ,3 7 6 1 ,9 6 3 3 ,0 7 8 6 ,3 1 4 1 2 ,7 0 6 3 1 ,8 2 1 6 3 ,6 5 6 1 ,0 6 1 1 ,3 8 6 1 ,8 8 6 2 ,9 2 0 4 ,3 0 3 6 ,9 6 5 9 ,9 2 5 0 ,9 7 8 1 ,2 5 0 1 ,6 3 8 2 ,3 5 3 3 ,1 8 2 4 ,5 4 1 5 ,8 4 1 0 ,9 4 1 1 ,1 9 0 1 ,5 3 3 2 ,1 3 2 2 ,7 7 6 3 ,7 4 7 4 ,6 0 4 0 ,9 2 0 1 ,1 5 6 1 ,4 7 6 2 ,0 1 5 2 ,5 7 1 3 ,3 6 5 4 ,0 3 2 0 ,9 0 6 1 ,1 3 4 1 ,4 4 0 1 ,9 4 3 2 ,4 4 7 3 ,1 4 3 3 ,7 0 7 0 ,8 9 6 1 ,1 1 9 1 ,4 1 5 1 ,8 9 5 2 ,3 6 5 2 ,9 9 8 3 ,4 9 9 0 ,8 8 9 1 ,1 0 8 1 ,3 9 7 1 ,8 6 0 2 ,3 0 6 2 ,8 9 6 3 ,3 5 5 0 ,8 8 3 1 ,1 0 0 1 ,3 8 3 1 ,8 3 3 2 ,2 6 2 2 ,8 2 1 3 ,2 5 0 0 ,8 7 9 1 ,0 9 3 1 ,3 7 2 1 ,8 1 2 2 ,2 2 8 2 ,7 6 4 3 ,1 6 9 0 ,8 7 6 1 ,0 8 8 1 ,3 6 3 1 ,7 9 6 2 ,2 0 1 2 ,7 1 8 3 ,1 0 6 0 ,8 7 3 1 ,0 8 3 1 ,3 5 6 1 ,7 8 2 2 ,1 7 9 2 ,6 8 1 3 ,0 5 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0 ,6 9 4 0 ,6 9 2 0 ,6 9 1 0 ,6 9 0 0 ,6 8 9 0 ,6 8 8 0 ,6 8 8 0 ,6 8 7 0 ,6 8 6 0 ,6 8 6 0 ,6 8 5 0 ,6 8 5 0 ,6 8 4 0 ,6 8 4 0 ,6 8 4 0 ,6 8 3 0 ,6 8 3 0 ,6 8 3 0 ,6 8 1 0 ,6 7 9 0 ,6 7 9 0 ,6 7 8 0 ,6 7 8 0 ,6 7 7 0 ,6 7 7 0 ,6 7 7 0 ,8 7 0 0 ,8 6 8 0 ,8 6 6 0 ,8 6 5 0 ,8 6 3 0 ,8 6 2 0 ,8 6 1 0 ,8 6 0 0 ,8 5 9 0 ,8 5 8 0 ,8 5 8 0 ,8 5 7 0 ,8 5 6 0 ,8 5 6 0 ,8 5 5 0 ,8 5 5 0 ,8 5 4 0 ,8 5 4 0 ,8 5 1 0 ,8 4 9 0 ,8 4 8 0 ,8 4 7 0 ,8 4 6 0 ,8 4 6 0 ,8 4 5 0 ,8 4 5 1 ,0 7 9 1 ,0 7 6 1 ,0 7 4 1 ,0 7 1 1 ,0 6 9 1 ,0 6 7 1 ,0 6 6 1 ,0 6 4 1 ,0 6 3 1 ,0 6 1 1 ,0 6 0 1 ,0 5 9 1 ,0 5 8 1 ,0 5 8 1 ,0 5 7 1 ,0 5 6 1 ,0 5 5 1 ,0 5 5 1 ,0 5 0 1 ,0 4 7 1 ,0 4 5 1 ,0 4 4 1 ,0 4 3 1 ,0 4 2 1 ,0 4 2 1 ,0 4 1 1 ,3 5 0 1 ,3 4 5 1 ,3 4 1 1 ,3 3 7 1 ,3 3 3 1 ,3 3 0 1 ,3 2 8 1 ,3 2 5 1 ,3 2 3 1 ,3 2 1 1 ,3 1 9 1 ,3 1 8 1 ,3 1 6 1 ,3 1 5 1 ,3 1 4 1 ,3 1 3 1 ,3 1 1 1 ,3 1 0 1 ,3 0 3 1 ,2 9 9 1 ,2 9 6 1 ,2 9 4 1 ,2 9 2 1 ,2 9 1 1 ,2 9 0 1 ,2 8 9 1 ,7 7 1 1 ,7 6 1 1 ,7 5 3 1 ,7 4 6 1 ,7 4 0 1 ,7 3 4 1 ,7 2 9 1 ,7 2 5 1 ,7 2 1 1 ,7 1 7 1 ,7 1 4 1 ,7 1 1 1 ,7 0 8 1 ,7 0 6 1 ,7 0 3 1 ,7 0 1 1 ,6 9 9 1 ,6 9 7 1 ,6 8 4 1 ,6 7 6 1 ,6 7 1 1 ,6 6 7 1 ,6 6 4 1 ,6 6 2 1 ,6 6 0 1 ,6 5 9 2 ,1 6 0 2 ,1 4 5 2 ,1 3 1 2 ,1 2 0 2 ,1 1 0 2 ,1 0 1 2 ,0 9 3 2 ,0 8 6 2 ,0 8 0 2 ,0 7 4 2 ,0 6 9 2 ,0 6 4 2 ,0 6 0 2 ,0 5 6 2 ,0 5 2 2 ,0 4 8 2 ,0 4 5 2 ,0 4 2 2 ,0 2 1 2 ,0 0 9 2 ,0 0 0 1 ,9 9 4 1 ,9 9 0 1 ,9 8 7 1 ,9 8 4 1 ,9 8 2 2 ,6 5 0 2 ,6 2 4 2 ,6 0 2 2 ,5 8 3 2 ,5 6 7 2 ,5 5 2 2 ,5 3 9 2 ,5 2 8 2 ,5 1 8 2 ,5 0 8 2 ,5 0 0 2 ,4 9 2 2 ,4 8 5 2 ,4 7 9 2 ,4 7 3 2 ,4 6 7 2 ,4 6 2 2 ,4 5 7 2 ,4 2 3 2 ,4 0 3 2 ,3 9 0 2 ,3 8 1 2 ,3 7 4 2 ,3 6 8 2 ,3 6 4 2 ,3 6 1 3 ,0 1 2 2 ,9 7 7 2 ,9 4 7 2 ,9 2 1 2 ,8 9 8 2 ,8 7 8 2 ,8 6 1 2 ,8 4 5 2 ,8 3 1 2 ,8 1 9 2 ,8 0 7 2 ,7 9 7 2 ,7 8 7 2 ,7 7 9 2 ,7 7 1 2 ,7 6 3 2 ,7 5 6 2 ,7 5 0 2 ,7 0 4 2 ,6 7 8 2 ,6 6 0 2 ,6 4 8 2 ,6 3 9 2 ,6 3 2 2 ,6 2 6 2 ,6 2 1 0 ,0 0 1 6 3 6 ,5 7 8 3 1 ,6 0 0 1 2 ,9 2 4 8 ,6 1 0 6 ,8 6 9 5 ,9 5 9 5 ,4 0 8 5 ,0 4 1 4 ,7 8 1 4 ,5 8 7 4 ,4 3 7 4 ,3 1 8 4 ,2 2 1 4 ,1 4 0 4 ,0 7 3 4 ,0 1 5 3 ,9 6 5 3 ,9 2 2 3 ,8 8 3 3 ,8 5 0 3 ,8 1 9 3 ,7 9 2 3 ,7 6 8 3 ,7 4 5 3 ,7 2 5 3 ,7 0 7 3 ,6 8 9 3 ,6 7 4 3 ,6 6 0 3 ,6 4 6 3 ,5 5 1 3 ,4 9 6 3 ,4 6 0 3 ,4 3 5 3 ,4 1 6 3 ,4 0 2 3 ,3 9 0 3 ,3 8 1 Esercizi consigliati da: Fowler et al, ed Edises. • Cap 9 (p 225) es 11 • Cap 9 (p 225) es 12