Campo magnetico terrestre lezione 2 Gaetano Festa Osservazioni su B • Principalmente dipolare, di origine interna • Le sorgenti sono (verosimilmente) contenute nel nucleo terrestre • Varia nel tempo su scale comprese tra 1 e 108 yr • Si inverte nel tempo • Presenta escursioni • E’ soggetto ad una deriva occidentale Struttura del nucleo • Il nucleo è costituito da una parte esterna fluida ed una interna solida • La densità del nucleo è prossima a quella del ferro, ma sono presenti materiali leggeri come Si, O (30 % nella parte esterna) • Il nucleo esterno è piuttosto omogeneo, con uno strato limite nei primi 100 km. • Il nucleo interno presenta un’anisotropia e una rotazione differenziata Struttura termica del nucleo Come per il mantello terrestre possiamo assumere che la temperatura aumenta lungo un’adiabatica (in sistemi in cui la convezione è vigorosa, l’entropia è costante) dT αv gT = cP dz S Nucleo interno ed esterno hanno la stessa composizione Fowler, 2005 Nucleo esterno è più ricco di materiale leggero Possibili sorgenti di B (1) Raffreddamento secolare della Terra (2) Energia gravitazionale legata al rilascio di elementi leggeri nel processo di solidificazione del nucleo interno (3) Calore latente rilasciato nel processo di solidificazione del nucleo interno (4) Rilascio di energia dovuta al decadimento radioattivo (K40) (esiste ? debole?) (5) Effetti mareali e precessionali legati all’influenza del sole e della luna (debole?) Alla lavagna Equazione dell’induzione Correnti in un conduttore ohmico (pre-Maxwell) j = σ (E + v × B) Equazione pre-Maxwell di Ampere ∇ × B = µ0 j = µ0σ (E + v × B) 1 µ0σ ∇×B = E + v×B Diffusività magnetica : η= 1 µ0σ Equazione per B η∇ × B = E + v × B E = η∇ × B − v × B Calcoliamo il rotore di questa quantità: ∇ × E = ∇ × (η∇ × B) − ∇ × v × B Assumiamo la diffusività costante ∂B − = η∇(∇ ⋅ B) − η∇ 2 B − ∇ × v × B ∂t ∂B = η∇ 2 B + ∇ × v × B ∂t Campo statico ? Se le sorgenti del campo magnetico fossero statiche, allora v=0 e l’equazione dell’induzione diventa l’equazione del calore ∂B = η∇ 2 B ∂t Tempo caratteristico della diffusione (tempo di Cowling) tdiff = L2 πη 4 = 10 yr Moti attuali del nucleo, possibili nella parte fluida (dinamo) Effetto del moto su B ∂B 2 = η∇ B + ∇ × v × B ∂t Sia U una velocità caratteristica del sistema, L una lunghezza caratteristica e B un valore caratteristico del campo Rm = ∇× v×B 2 η∇ B UB / L UL = = 2 ηB / L η Numero di Raynolds magnetico. Rm = UL η = ULσµ0 = (310−4 )(3106 )(0.5106 )(4π 10−7 ) ∼ 600 Conduttore perfetto La dinamo terrestre converte rapidamente energia cinetica in energia magnetica e viceversa. Essa si auto-sostiene perché questo processo è più efficiente della dispersione ohmica. Ipotesi di un conduttore perfetto: Rm = ∞ ∂B = ∇ × v × B = B ⋅∇v − v ⋅∇B ∂t ∂B + v ⋅∇B = B ⋅∇v ∂t dB = B ⋅∇v dt Flusso congelato (frozen flux) Considera un elemento di linea dl trasportata dal fluido dl r+dl r d ( dl ) = v (r + dl ) − v (r ) = dl ⋅∇v dt dB = B ⋅∇v dt Le linee del campo magnetico evolvono come gli elementi di linea, trasportate dal moto delle particelle. Dinamo Una dinamo usa il moto di un conduttore elettrico attraverso un campo magnetico per produrre corrente elettrica La dinamo terrestre è una dinamo ad autoeccitazione : non necessita di campi esterni per essere sostenuta, ma viene generata da un debole campo magnetico iniziale. Dinamo cinematiche Teorema di Cowling (anti-dinamo) : Un fluido in rotazione intorno ad un asse non può produrre una dinamo ad autoeccitazione a simmetria assiale. Rappresentazione delle linee di campo : poloidale e toroidale Poloidale : meridionale + radiale Toroidale : azimuthale Componente Toroidale Effetto Alpha Trasformazione del campo da toroidale a poloidale Sono causati da flussi poloidali che posseggono vorticità Questi meccanismi possono anche trasformare un campo toroidale in uno poloidale Effetto Omega Trasformazione del campo da poloidale a toroidale Sono causati da moti toroidali differenziali Teoria del campo medio ∂B 2 = η∇ B + ∇ × v × B ∂t Supponiamo che i campi possano separarsi in un contributo medio ed una perturbazione v = v0 + v ' B = B0 + B ' Questo è possibile quando i campi sono caratterizzati da due scale spaziali, una grande L ed una piccola L’, e stiamo investigando il comportamento del campo a lunghezze intermedie : L’ << l << L < v >= v 0 ; < v ' >= 0 < B >= B 0 ; < B ' >= 0 Fluttuazioni casuali Teoria del campo medio Sostituiamo e mediamo ∂B 0 ∂B ' +< >= η∇ 2 B 0 + < η∇ 2 B ' > + ∂t ∂t < ∇ × ( v 0 + v ' ) × (B 0 + B ') > Semplificando ∂B 0 = η∇ 2 B 0 + ∇ × v 0 × B 0 + ∇× < v '× B ' > ∂t Forza elettromotrice derivante dai moti a piccola scala ε Teoria della turbolenza Come rappresentiamo la FEM in funzione del campo medio ? Sviluppo di Taylor ε i = α B0i + β ijk ∂B0 j ∂xk + ... Teoria della turbolenza : ε = α B0 − β ∇ × B0 ∂B 0 2 = ∇ × ( v 0 × B 0 + α B 0 ) + (η + β )∇ B 0 + ∂t α : contributo rigenerativo del campo medio β : diffusività di turbolenza Soluzioni di Beltrami Supponiamo di avere un campo magnetico medio in un fluido fermo a grande scala (v0=0). Cerchiamo una soluzione di Beltrami: ∇ × B 0 = KB 0 ∂B 0 = α KB 0 + η e ∇ 2 B 0 ∂t Calcoliamo l’espressione per il Laplaciano 2 2 ∇ B 0 = −∇ × ∇ × B 0 = − K ∇ × B 0 = − K B 0 Campo crescente Sostituendo otteniamo: ∂B 0 = K (α − ηe K )B 0 ∂t Per separazione di variabili B 0 = Ce K (α −ηe K )t α > ηe K 1 K ∼ L Il campo cresce esponenzialmente Il campo cresce se la scala spaziale del campo medio è sufficientemente grande Dinamo sperimentali - 1 Dinamo di Riga • 3 cilindri coassiali di 3 m • Il sodio liquido è accelerato verso il basso da un propellente, e produce un flusso con elicità • Ha prodotto una dinamo ad autoeccitazione nel 2000 con Rm~20 Dinamo sperimentali - 2 Dinamo di Karlsruhe • 52 array con cilindro interno a flusso verticale ed esterno con elicità • Il sodio è immesso all’interno dei cilindri • Ha prodotto una dinamo ad autoeccitazione nel 2000 che riproduce la teoria del campo medio Dinamo sperimentali - 3 Dinamo 3m Maryland • Sfera di sodio liquido • Ancora in costruzione, ma promette Rm ~ 680! Dinamo dinamiche Equazioni del sistema ∂B = η∇ 2 B + ∇ × v × B ∂t ∂v + v ⋅∇v + 2(Ω × v ) + 2Ω × Ω × r = ∂t ∇P 1 − + α Tg + J × B + ν ∇ 2 v ρ0 Eq. dell’induzione Eq. di Navier-Stokes ρ0 ∇⋅v = 0 Incompressibilità ∇⋅B = 0 Eq. di Maxwell (III) ∂T + v ⋅∇T0 = κ∇ 2T ∂t Eq. di Fourier Numeri adimensionali Rν = VL ν ≈ 108 Numero di Raynolds VL Pe = ≈ 107 kt Numero di Peclet VL Mp = ≈ 1011 Dm Numero di Massa di Peclet Moto del fluido fortemente turbolento ν ∇2 v ν Ec = ≈ 2 ≈ 10−14 ω×v Lω Numero di Eckman v ⋅∇v V Ro = ≈ ≈ 10−8 ω × v Lω Numero di Rossby MAC Waves ∂B = η∇ 2 B + ∇ × v × B ∂t ∂v ∇P 1 + 2(Ω × v ) = − + g + J×B ∂t ρ ρ0 Onde MAC (Magnetiche - Archimedeiche – Coriolis) 2 2 τ MAC = 2Ωµ0 ρ L / B ≈ 4000 yr Dell’ordine di grandezza della deriva occidentale Modelli numerici Nel 1995 Glatzmeier e Roberts produssero il primo modello numerico di una dinamo ad autoeccitazione con campo prevalentemente dipolare e inversioni Cilindro tangente Cartucciere La dinamo è prodotta dalla convezione nelle colonne di fluido esterne al nucleo interno Meccanismi di auto-sostentamento Simulazioni del campo Età del nucleo interno… Un paradosso ? • Le osservazioni in superficie indicano che il campo magnetico ha ca 3.5 Gyr. Senza la presenza del nulceo interno, i modelli attuali non sono in grado di produrre una dinamo ad autoeccitazione Età del nucleo interno > 3.5Gyr • I modelli termici di raffreddamento della Terra indicano che la nascita del nucleo interno è dell’ordine di 1Gyr, assumendo la presenza di potassio radioattivo, si arriva al più a 1.5 Gyr •Età del nucleo interno < 1.5Gyr