Università Federico II di Napoli
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e
Naturali
Corso di laurea in Informatica
Fisica Sperimentale I
Gruppo 1
Docente Prof. Leopoldo Milano
Anno accademico 2003-2004
Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo tempo T
alla velocità di 40 Km/h e poi per lo stesso tempo alla
velocità di 80 km/h. Trovare la velocità media.
Soluzione –
La velocità media si ottiene dalla definizione :
Non è necessario (ma non è neppure sbagliato) trasformare
da Km/h a m/s.
Esercizio – Un’automobile viaggia per un certo
tempo T alla velocità di 40 Km/h, percorrendo un
cammino S, e poi per lo stesso tragitto alla velocità di
80 km/h. Trovare la velocità media.
Soluzione –
La velocità media si ottiene dalla definizione :
NB – 1. È differente dal caso precedente (capire bene !!!);
2. Non occorre trasformare da Km/h a m/s.
Esercizio – Una barca naviga controcorrente dal punto A
al punto B alla velocità costante v1 = 10 Km/h rispetto alla
riva. Successivamente torna indietro alla velocità
v2 = 16 Km/h rispetto alla riva. Sapendo che il motore
della barca ha lavorato al massimo della potenza in
entrambi i percorsi, trovare la velocità della corrente e la
velocità della barca rispetto alla corrente.
Soluzione –
La velocità della barca rispetto alla corrente (chiamata u) è la stessa nei
due casi. Nel primo caso la velocità della corrente (chiamata w) si sottrae
dalla velocità della barca, nel secondo si somma :
NB – Non c’è nessun bisogno di
trasformare da Km/h a m/s, ma non è vietato.
Esercizio – Stessa situazione del caso precedente.
Sono note la velocità della corrente (w=2Km/h) e la
velocità della barca rispetto alla corrente (u=10Km/h).
Calcolare la velocità media della barca.
Soluzione –
Definendo S la distanza tra A e B, la barca compie un tragitto
totale 2S. Il tempo totale è facile da calcolare :
Esercizio – Un’automobile, durante una frenata uniforme,
passa in un minuto dalla velocità di 40 Km/h a quella di
28 Km/h. Trovare il valore della accelerazione e lo spazio
percorso.
Soluzione –
v1 = 40 Km/h = 11.11 m/s; v2 = 28 Km/h = 7.78 m/s;
a = (v2 -v1 ) / ∆ t = (7.78 - 11.11) / 60 = - 0.055 m/s2;
[quale è il significato del segno “-” ???]
s = 1/2 a ∆t2 + v1 ∆t = - 0.5 · 0.055 · 602 + 7.78 · 60 =
= - 100 + 666.6 = 566.6 m.
Esercizio – Un treno si muove tra due stazioni, poste ad
1.5 Km di distanza.Percorre la prima metà del tragitto di
moto uniformemente accelerato e la seconda di moto
uniformemente ritardato. Data la velocità massima
(50Km/h), calcolare il valore dell’accelerazione e il
tempo totale di percorrenza.
Soluzione – È sufficiente mettere a sistema le equazioni dello
spazio e della velocità, e poi risolvere per T ed a;
prima bisogna trasformare la velocità in m/s :
Esercizio– In una gara sui 100 m, due atleti impiegano
lo stesso tempo di 10.2 s. Il primo impiega 2 s in
accelerazione costante, poi mantiene la velocità costante
fino alla fine, mentre il secondo accelera per 3 s, poi
mantiene la velocità costante. Determinare per ciascun
concorrente l’accelerazione e la velocità massima.
Soluzione –
Esercizio [ parte 2] – Nella stessa gara dell’es. precedente,
Quale concorrente si trova in testa dopo un tempo di
6 secondi ?
Soluzione –
È in testa il primo concorrente di una distanza d = 54.3 - 51.7 =
= 2.6 m.
Esercizio – Un’automobile viaggia a 120 Km/h. Visto
un ostacolo, il conducente riesce a fermarsi in 110 m.
Quale è l’accelerazione e quanto tempo impiega ?
Soluzione –
Esercizio – Una palla viene lanciata da terra verso
l’alto con velocità iniziale di 12 m/s.
a) Quanto tempo impiega a raggiungere il punto più alto
della traiettoria ?
b) Quanto vale la distanza da terra del punto più alto ?
c) Dopo quanto tempo ricade a terra ?
d) Con che velocità la palla tocca terra ?
e) Quanto vale lo spazio totale percorso dalla palla ?
Soluzione –
Esercizio – Un oggetto viene lanciato da terra ad
un’altezza di 4 m. Il tragitto dura 1.5 s. Determinare la
velocità dell’oggetto :
a) al momento del lancio;
b) all’istante di arrivo.
Soluzione –
Esercizio – Un uomo lancia un sasso dal tetto di un
palazzo verso l’alto, con una velocità di 12.25 m/s.
Il sasso raggiunge il suolo dopo 4.25 s. Si calcoli :
a) l’altezza del palazzo;
b) la massima altezza raggiunta dal sasso;
c) la velocità con cui il sasso tocca il suolo.
Soluzione –
Esercizio – Una barca naviga in un fiume, che ha una
corrente di 1 m/s. Il suo motore è in grado di produrre
una velocità di 2 m/s rispetto alla corrente.
Trovare la velocità della barca rispetto alla riva in tre casi
a) barca in favore di corrente;
b) barca contro corrente;
c) barca che naviga a 90° rispetto alla corrente.
Soluzione:
Esercizio – Una barca a motore si dirige a 7.2 Km/h, in
Direzione perpendicolare alla riva. Però la corrente la fa
approdare a 150 m più a valle di un fiume largo 500 m.
Trovare la velocità della corrente e il tempo totale di
attraversamento del fiume.
Soluzione:
I moti lungo gli assi sono indipendenti, ma durano lo stesso
tempo totale T. Pertanto :
vy = vmotore = 7.2 Km/h = 2 m/s;
vy = vmotore = s / T ⇒ T = s / vy = 500 / 2 = 250 s = 4 min 10 s;
vx = vcorrente = d/T = 150 / 250 = 0.6 m/s.
Esercizio – Un oggetto viene lanciato da una torre, alta
25 m, in direzione orizzontale, con velocità 15 m/s. A
che distanza cade, rispetto al bordo della torre ?
In quanto tempo ?
Soluzione –
Esercizio – Un cannone spara un proiettile alla velocità
di 100 m/s. Si calcoli l’angolo rispetto al piano
orizzontale che causa la gittata massima e il valore della
gittata. Si calcoli inoltre l’angolo necessario per colpire
un bersaglio a 500 m di distanza.
Soluzione –
Esercizio – Trovare la velocità angolare nei seguenti casi
a) la Terra che ruota attorno al Sole
(assumere moto circolare uniforme);
b) la Terra che ruota attorno a se stessa;
c) la lancetta delle ore;
d) la lancetta dei minuti;
e) la lancetta dei secondi.
Soluzione –
a) ω1 = 2π / T1 = 2π / (365 · 24 · 60 · 60) = 1.99 · 10-7 rad/s;
b) ω2 = 2π / T2 = 2π / (24 · 60 · 60) = 7.27 · 10-5 rad/s;
c) ω3 = 2π / T3 = 2π / (12 · 60 · 60) = 1.45 · 10-4 rad/s;
d) ω4 = 2π / T4 = 2π / (60 · 60) = 1.7 · 10-3 rad/s;
e) ω5 = 2π / T5 = 2π / 60 = 0.104 rad/s.
Esercizio – Determinare la velocità e la velocità angolare
che deve mantenere un aeroplano all’equatore affinché il
sole appaia fisso all’orizzonte.
L’aereo deve volare verso est o verso ovest ?
Soluzione –
ωaereo = - ωTerra = 7.27·10-5 rad/sec (vedi esercizio precedente);
il segno “-” significa che l’aereo deve andare da est verso ovest;
vaereo = ω· rTerra= 7.27·10-5 · 6.37·106 = 463 m/s = 1670 Km/h.
Esercizio – Un treno, affrontando una curva di raggio
150 m, nei 15 s che impiega a percorrere la curva rallenta
da 90 Km/h a 50 Km/h. Calcolare l’accelerazione
tangenziale e normale nel momento in cui la velocità è
50 Km/h, assumendo che il treno continui a decelerare.
Soluzione –
a) trasformiamo da Km/h a m/s :
v1 = 90 Km/h = 25.0 m/s; v2 = 50 Km/h = 13.9 m/s;
b) l’accelerazione tangenziale : aTmedia = (v2 - v1) / T =
=-0.74 m/s 2;
c) accelerazione radiale : aRcentripeta = v22 / r = 1.29 m/s2;
d) accelerazione totale (modulo), poiché aT e aR
sono ortogonali :
NB – se il treno non continuasse a decelerare, aT=0, atot=aR
D
I
N
A
M
I
C
A
P
R
O
B
L
E
M
I
S
T
A
N
D
A
R
D
Singola Massa: Forza agente netta F
F
O
R
Z
A
=0
A
T
T
R
I
T
O
P + N =0
F= FNetta = ma
F
O
R
Z
A
A
T
T
R
I
T
O
Singola Massa: Forza agente netta
FNetta = F - µN
≠0
N = mg
P+N=0
FNetta = F - µN = F - µmg = ma
Singola Massa→ Forza agente ad angolo θ
Forza netta agente → FNetta = F cos θ
F
O
R
Z
A
=0
A
T
T
R
I
T
O
P + N =0
FNetta = F cos θ = ma
F
O
R
Z
A
A
T
T
R
I
T
O
Singola Massa→ Forza agente ad angolo θ
Forza netta agente → FNetta = F cos θ - µN
≠0
P + N =0
FNetta = F cos θ - µN = ma
Doppia Massa → Forza netta agente
FNetta = (m1 + m2 )a
F
O
R
Z
A
=0
A
T
T
R
I
T
O
F2 = m2a
F1 = F- F2 =(m1 + m2 )- m2a = m1a
F
O
R
Z
A
A
T
T
R
I
T
O
Doppia Massa → Forza netta agente
FNetta = F-µ(m1 + m2 )g= (m1 + m2 )a
≠0
Masse connesse da corde : piano liscio
Per esercizio:
sviluppare lo
stesso esempio
con piano scabro:
coeff. attrito µs
Massa appoggiata su un piano inclinato liscio
Scegliamo uno degli gli assi parallelo al piano inclinato e
troviamo le componenti delle forze parallele e ⊥ al piano
Massa appoggiata su un piano inclinato scabro
Scegliamo uno degli gli assi parallelo al piano inclinato e
troviamo le componenti delle forze parallele e ⊥ al piano
NB La massa scende strisciando sul piano inclinato.
Massa appoggiata su piano inclinato liscio e forza esterna
F agente non parallela al piano inclinato
Applicando la 2° legge
di Newton troviamo:
Massa appoggiata su piano inclinato scabro e forza
esterna F agente non parallela al piano inclinato
Applicando la 2° legge
di Newton troviamo:
Masse collegate da puleggia: piano liscio
Applicando la 2° legge
di Newton troviamo:
Masse collegate da puleggia: piano scabro
m 2 g − T = m2 a
T − m1g sin θ − µm1g cosθ = m1a
T = m1g sin θ + µm1g cosθ + m1a
Diagramma di
corpo libero
m 2 g − m 1g sin θ − µ m 1g cos θ
a=
m1 + m 2
Macchina di Atwood
La tensione T è la stessa per le due masse
La puleggia è di massa
trascurabile
Massa sospesa
Diagramma di corpo libero
Il problema dell’ascensore
La forza F esercitata dal pavimento dell’ascensore
sull’uomo viene detta ‘peso apparente’: deve essere > mg
per accelerare la persona verso l’alto. F dà la sensazione di
peso all’uomo nell’ascensore.
Cosa succede se si
rompe il cavo di sostegno?
Analisi delle situazioni: problema dell’ascensore
Masse collegate da puleggia: piano liscio
Masse collegate da puleggia: piano scabro
Applicazioni Numeriche
Esercizio – Un filo di ferro si spezza ad una tensione massima
di 4400 N.
Quale accelerazione massima verso l’alto può imprimere ad un
oggetto di 400 Kg ?
Soluzione:
Per il corpo : ma = T – mg;
pertanto : T = m (a + g) ⇒ Tmax = m (amax + g) ⇒
amax = Tmax /m – g = 4400 / 400 – 9.8 = 1.2 m/s2.
Esercizio – Una fune, collegata ad una carrucola, connette due
Masse identiche, una delle quali è libera di muoversi su un
piano inclinato di angolo ( = 30°), mentre l’altra penzola nel
vuoto. Calcolare l’accelerazione su entrambe le masse.
Soluzione:
L’accelerazione è identica per entrambe le masse. Il bilancio
delle forze dà :
(m1 + m2) a = m2 g – m1 g sinθ ⇒m1 = m2 = m ⇒
a = m g (1 – sinθ ) / (2m) = g (1 – sinθ ) / 2
= 9.8 × (1 - 0.5) / 2 = 2.45 m/s2;
l’accelerazione è diretta verso il basso
Per la massa libera e verso l’alto del
piano per quella sul piano inclinato.
Disegnare il diagramma di corpo libero
Esercizio – Un corpo scivola senza attrito su un piano
inclinato di angolo 30°,lungo 40 m, partendo da fermo.
Determinare il tempo totale del tragitto e la velocità finale.
Soluzione:
a = g sinθ
L = ½ a t2 = ½ g sinθ t2 ⇒ t = [2 L / (g sinθ)]½ = 4.04 s;
v = a t = g sin θ t = 19.8 m/s.
Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente] C’è un attrito
dinamico, di coefficiente kd = 0.5. Determinare il tempo totale
del tragitto e la velocità finale.
ma = m g sin θ - kd m g cos θ ⇒ a = g sin θ - kd g cos θ =
g (sin θ - kdcos θ );
L = ½ a t2 = ½ (g sin θ - kd cos θ ) t2 ⇒
t = [2 L / (gsin θ - kgcos θ )]½ = 11.03 s;
v = a t = g (sin θ - kd cos θ ) t = 7.24 m/s.
Esercizio – [stesso esercizio del caso precedente, senza
attrito] Al termine del piano inclinato [senza attrito] c’è
un tratto piano, con attrito dinamico di coefficiente kd = 0.25.
Determinare la distanza percorsa dal corpo sul tratto
piano del tragitto e il tempo impiegato prima di fermarsi.
Soluzione –
ma = F = - kd m g ⇒ a = - kd g;
v(t) = vo - kd g t ⇒ tfin = vo / kd g = 8.08 s;
Ltot = vo tfin + ½ a tfin2 = vo tfin - ½ kd g tfin2 = 80 m.
Esercizio – Trovare il lavoro necessario per portare
un corpo di massa 2 Kg dalla velocità di 2 m/s a quella
di 5 m/s.
Soluzione –
L = ½ m vfin2 - ½ m vini2 = 0.5 × 2 × (52 -22)= 21 J.
Esercizio – Trovare il lavoro necessario a fermare un corpo
di massa 2 Kg, che procede alla velocità di 8 m/s.
Soluzione –
L = - ½ m vini2 = - 0.5 × 2 × 82 = - 64 J.
[perché “-” ?]
Esercizio – Un carrello di massa 100
Kg compie il percorso indicato in
figura, passando dal punto A al punto
C. Nota la velocità iniziale (vA=0) e
le differenze di quota tra A e B (a=20
m) e tra C e B (c=18m), calcolare il
valore dell’energia potenziale in A e
della velocità in B e in C.
Soluzione –
Scegliamo la costante dell’energia potenziale in modo che
EpotB=0. In tal caso : EpotA=m g a = 100 × 9.8 × 20 = 19600 J;
EpotA + ½ m vA2 = EpotB + ½ m vB2 = mga = ½ m vB2⇒
vB2 = 2 g a ⇒ vB = (2 × 9.8 × 20)½ = 19.8 m/s;
m g a = ½ m vC2 + mgc ⇒ vC2 = 2 g (a - c) ⇒
vC = [2 × 9.8 × (20-18)]½ = 6.26 m/s.
Esercizio – Un corpo di massa 2 Kg cade dall’altezza di 2 m
su una molla di costante elastica 200 N/m. Di quanto si abbassa
la molla ? Dopo un po’, le oscillazioni si smorzano. Dove è il
punto di riposo della molla ?
h
b
d
Soluzione:
mg (h + d) = ½ k d2 ⇒ k d2 - 2mgd - 2mgh = 0 ⇒
[scegliere il segno
‘+‘ perche' ?]
Il punto di riposo si ottiene da : mg = kb ⇒
b = mg/k = 2 ×9.8 / 200 = 9.8 cm.
Esercizio – Un trattore di massa 1200 Kg percorre una
salita di pendenza 30°; il motore eroga una potenza di
9800 W. Calcolare la velocità massima disponibile.
Soluzione –
In un tempo t :
L = W t = m g h=m g s sin θ⇒
s / t = v = W / (m g sinθ) = 9800 / (1200 × 9.8 ×0.5) =
=1.67 m/s = 6 Km/h.
Supponiamo che una persona che faccia attività fisica sia
in grado di esprimere una potenza di 4W per ogni kg di
massa corporea. Supponiamo che essa debba salire i 6
piani di un edificio e che fra un piano e l’altro ci siano 2
rampe di scale con ciascuna 10 gradini, alti ognuno
20cm. In quanto tempo riesce ad effettuare la salita?
Solizione:
20 cm
Spostamento: s = 2*10*6*0.2 m=24 m
Forza : F= mg=(1*9.8) N=9.8 N
Lavoro=F⋅s=(9.8*24) J =235,2 J
Potenza P=L/t
t=L/P=235,2/4=58,8 s
Conto approssimato assumendo g=10m/s2
t=60 s
In una gara di salto con l’asta un atleta, un istante prima di puntare
l’asta a terra, per compiere il salto ha una velocità di 36 Km/h. Di
quanto riesce ad innalzare il suo baricentro nell’ipotesi che
l’energia potenziale gravitazionale derivi solo dalla conversione
dell’energia cinetica e che tale conversione sia totale.
Soluzione:
Epi+Eci=Epf+Ecf
Epf =mgh ; Ecf =0
0+ 1/2mvi2 =mgh+0
Epi =0 ; Eci =1/2mvi2
h=vi2/(2g)=(36*1000/3600)2/(2*9.8)=5.1 m
Un blocco è sospeso ad una corda che scorre senza
attrito attorno ad un piolo ed è collegata ad un altro
blocco, poggiato su un tavolo senza attrito. Si trovi
l’accelerazione di ciascun blocco e la tensione della
corda e calcolarne il valore nel caso in cui m1 =750 g,
m2 = 0.8 kg.
SOLUZIONE
Le forze agenti sul blocco m1 sono la tensione della corda T1,
la forza peso P1 = m1g e la forza di reazione esercitata dal
tavolo Fn; le forze agenti sul blocco m2 sono la tensione della
corda T2 e la forza peso P2 = m2g.
T1= T2 = T e Fn = P1
Le equazioni del moto (seconda legge di Newton) per i due
blocchi sono (assumiamo come positiva la direzione verso il
basso): T = m1a1 e m2g –T = m2a2
Se la corda non si allunga, le due accelerazioni devono
necessariamente essere uguali in modulo:
T = m1a
m2
g
⇒ m 2 g − m1a = m 2a ⇒ a =
m1 + m 2
m 2 g − T = m 2a
T=
m1m 2
g
m1 + m 2
Per il caso numerico proposto:
a = 5.1 m/s2, T = 3.8 N.
Un quadro che esercita una forza peso di 8 N è retto da
due fili aventi tensioni T1 e T2. Si trovi la tensione dei fili.
SOLUZIONE
Poiché il quadro non accelera, deve essere nulla la risultante
delle forze agenti su di esso: il peso mg e le tensioni T1 e T2.
Le componenti orizzontali
Deve essere T1+T2+mg = ma =0 delle forze devono
equilibrarsi tra loro, così
come le componenti
verticali.
Asse x
⇒
T1x + T2x + 0 = T1cos30°- T2cos60° = 0
Asse y ⇒ T1y + T2y + 0 = T1sin30°+ T2sin60°-mg = 0
Dove cos30° = √3/2 = sin60°; sin30°= ½ = cos60°
Si risolve il sistema per T1 e T2:
3 T2
T1 = ⇒ T2 = 3T1
1
3
1
2 2
⇒ T1 + T1 = mg ⇒ T1 = mg = 4N
2
2
2
1
3
T1 + T2 = mg
2
2
3
T2 = 3T1 =
mg = 6.93N
2
Con quale forza orizzontale costante F deve essere spinta
lungo un pavimento di coefficiente di attrito dinamico
µd =2/7 una cassa di massa m = 50 kg, se si vuole che
acquisti una accelerazione a = 5 m/s2?
SOLUZIONE:
Equazione del moto secondo l'asse x:
F-Fattrito= ma
Fattrito= µd mg
⇓
F = ma + µd mg = 390 N
La figura mostra una struttura mobile (scultura di Calder)
costituita da 4 pesi appesi a 3 barre di massa trascurabile. Si
trovi ciascuno dei pesi sconosciuti se la struttura è in
equilibrio.
SOLUZIONE
Cominciamo col determinare il peso P1. Consideriamo pertanto
la sbarretta più in basso e i due pesi ad essa attaccati; poiché il
sistema è in equilibrio deve essere nullo il momento delle forze
rispetto al punto A:
0 = (0.03 m)(2 N)- (0.04 m)(P1)
P1 = (0.03 2)/0.04 = 1.5 N (forza peso esercitata); la massa sarà
pertanto: 1.5 N/ 9.8 m/ s2 = 0.153 kg = 153 g
Analogamente, considerando la seconda sbarretta, a
un'estremità della quale c'è il peso P2, mentre all'altra viene
esercitata una forza peso pari a (2 + 1.5) N = 3.5 N, si ottiene:
P2 = (0.04 3.5)/0.02 = 7 N, la massa corrispondente è
0.714 kg
Infine:
P3 = (0.02 10.5)/0.06 = 3.5 N, la massa corrispondente è
0.357 kg.
Una grande cassa appoggiata su rulli, che pesa 500 N,
deve essere sollevata fino ad una piattaforma di
caricamento situata ad una quota di 3 m rispetto alla
strada. La massima forza disponibile è 180 N. Qual è la
massima inclinazione di un piano inclinato che può
Essere usato per spingere la cassa sulla piattaforma?
Quanto deve essere lungo il piano inclinato?
SOLUZIONE
L?
Occorre esercitare una forza che
può essere diminuita di un fattore
sinθ se θ è l’ inclinazione di un
piano inclinato :
mg
1
500
1
Vantaggio =
=
=
= 2.8 ⇒ sin θ =
⇒ θ ≅ 21°
mg sin θ sin θ 180
2.8
h
3
l = h cot gθ =
=
= 7.9m
tgθ 0.38
Un proiettile viene lanciato da un cannone con un angolo
di 45°rispetto alla direzione orizzontale e con una velocità
iniziale v0 pari a 100 m/s. Se il cannone si trova sul bordo
di un precipizio alto d = 400m, trovare a quale distanza
dal precipizio il proiettile toccherà terra.
Scegliamo il sistema di riferimento
come indicato in figura, in modo da
far coincidere la bocca del cannone
con l’origine O. Le componenti della
velocità iniziale sono:
x) vx=v0 cosα
y) vy=v0 senα
Nella direzione x il moto è uniforme,
nella direzione y è uniformemente accelerato
(accelerazione di gravità g):
x
x) x =vx t = (v0 cosα)t ⇒ t =
v0 cosα
1 2
1 2
y) y =vy t − gt = (v0 sinα)t − gt
2
2 2
x
x
1
y = ( v 0 sin α )
− g
v 0 cos α 2 v 0 cos α
gx
y = xtgα − 2
2
v 0 cos α
2
Ponendo y=-d=-400m si ottiene
il risultato richiesto risolvendo la:
gx
− xtg45° + 400 = 0
2
2
v 0 cos 45°
2
Completare l’esercizio
