Matematica Discreta I - Matematica e Informatica

Matematica Discreta I
Lezione del giorno 28 novembre 2007
Partizioni e numeri di Stirling
Dato un insieme non vuoto A, si chiama partizione di A un qualunque insieme di sottoinsiemi di A
che soddisfano le seguenti proprietà:
1) sono sottoinsiemi non vuoti
2) a 2 a 2 sono disgiunti, cioè non hanno elementi in comune
3) la loro unione coincide con l’insieme A
Esempi:
1) Se A={1,2,3,4,5,6,7}, esempi di partizioni di A sono:
{{1},{2,3,4},{5},{6,7}}
{{1,2,3,7},{6},{4,5}}
{{1,3,5,7}, {2,4,6,}}
(la prima è una partizione in 4 sottoinsiemi, la seconda in 3 sottoinsiemi, la terza in 2 sottoinsiemi)
2) Se A è l’insieme dei numeri naturali, esempi di partizioni di A sono:
{{numeri naturali pari}, {numeri naturali dispari}}
{{1,2},{3,4},{5,6},…….}
(la prima è una partizione in 2 sottoinsiemi, la seconda in un numero infinito di sottoinsiemi)
Sia ora A un insieme finito di cardinalità n, e consideriamo le partizioni di A in m sottoinsiemi
(dove m è un naturale fissato): ovviamente m può avere valore minimo m=1 e valore massimo m=n.
Il numero di tutte le possibili partizioni di A in m sottoinsiemi è chiamato numero di Stirling ed è
indicato con S(n,m) (sempre con 1mn).
Calcoliamo alcuni valori di S(n,m).
Per i valori estremi m=1 ed m=n si ha S(n,1)=1 (vi è una sola partizione di A in 1 sottoinsieme, in
cui questo sottoinsieme è A stesso) e si ha S(n,n)=1 (vi è una sola partizione di A in n sottoinsiemi,
in cui ognuno di questi sottoinsiemi contiene un singolo elemento di A).
Si ha S(3,2)=2: infatti se A={a,b,c} ha cardinalità n=3, le partizioni possibili di A in 2 sottoinsiemi
sono le 3 seguenti:
{{a},{b,c}} , {{b},{a,c}} , {{c},{a,b}}.
Possiamo sistemare i numeri di Stirling S(n,m) nel triangolo di Stirling, in cui in ogni riga vi sono
i valori con n fissato ed m che varia da 1 a d n:
S(1,1)=1
S(2,1)=1
S(2,2)=1
S(3,1)=1
S(3,2)=3
S(3,3)=1
S(4,1)=1
S(4,2)=?
S(4,3)=?
S(4,4)=1
S(5,1)=1
S(5,2)=?
S(5,3)=?
S(5,4)=?
S(5,5)=1
e così via.
Vi è una relazione molto stretta fra i numeri di una riga e quelli della riga precedente, che può
servire per calcolare facilmente i numeri di Stirling, espressa dalla seguente formula:
S(n+1,m) = S(n,m-1)+mS(n,m)
Dimostrazione della formula:
S(n+1,m) é il numero delle partizioni di un insieme di cardinalità n+1 in m sottoinsiemi; sia quindi
A={a1, a2, …. , an, an+1} un insieme di cardinalità n+1. Poniamo poi B=A-{an+1}: B ha cardinalità n.
Le partizioni di A in m sottoinsiemi possono essere suddivise in 2 categorie:
1) le partizioni in cui l’elemento an+1 è da solo in uno dei sottoinsiemi della partizione
2) le partizioni in cui l’elemento an+1 è insieme con altri elementi in uno dei sottoinsiemi della
partizione
Le partizioni della categoria 1) si ottengono scegliendo una partizione di B in m-1 sottoinsiemi (tale
scelta si può effettuare in S(n,m-1) modi diversi) e poi aggiungendo il sottoinsieme {an+1}: quindi le
partizioni della categoria 1) sono in numero di S(n,m-1).
Le partizioni della categoria 2) si ottengono scegliendo una partizione di B in m sottoinsiemi (tale
scelta si può effettuare in S(n,m) modi diversi) e poi inserendo l’elemento an+1 in uno degli m
sottoinsiemi della partizione (questa scelta si può effettuare in m modi diversi): quindi, per il
principio delle scelte multiple, le partizioni della categoria 2) sono in numero di mS(n,m).
Il numero totale S(n+1,m) delle partizioni dell’insieme A di cardinalità n+1 in m sottoinsiemi si
ottiene sommando il numero delle partizioni delle 2 categorie, e si ottiene la formula voluta.
La formula permette di calcolare tutti i numeri di Stirling di una riga, conoscendo quelli della riga
precedente. Per esempio:
S(4,2)=S(3,1)+2S(3,2)=7 , S(4,3)=S(3,2)+3S(3,3)=6 (tali valori completano la riga n. 4).
Conoscendo i valori della riga 4, si possono calcolare quelli della riga 5 e così via.