Matematica Discreta I Lezione del giorno 28 novembre 2007 Partizioni e numeri di Stirling Dato un insieme non vuoto A, si chiama partizione di A un qualunque insieme di sottoinsiemi di A che soddisfano le seguenti proprietà: 1) sono sottoinsiemi non vuoti 2) a 2 a 2 sono disgiunti, cioè non hanno elementi in comune 3) la loro unione coincide con l’insieme A Esempi: 1) Se A={1,2,3,4,5,6,7}, esempi di partizioni di A sono: {{1},{2,3,4},{5},{6,7}} {{1,2,3,7},{6},{4,5}} {{1,3,5,7}, {2,4,6,}} (la prima è una partizione in 4 sottoinsiemi, la seconda in 3 sottoinsiemi, la terza in 2 sottoinsiemi) 2) Se A è l’insieme dei numeri naturali, esempi di partizioni di A sono: {{numeri naturali pari}, {numeri naturali dispari}} {{1,2},{3,4},{5,6},…….} (la prima è una partizione in 2 sottoinsiemi, la seconda in un numero infinito di sottoinsiemi) Sia ora A un insieme finito di cardinalità n, e consideriamo le partizioni di A in m sottoinsiemi (dove m è un naturale fissato): ovviamente m può avere valore minimo m=1 e valore massimo m=n. Il numero di tutte le possibili partizioni di A in m sottoinsiemi è chiamato numero di Stirling ed è indicato con S(n,m) (sempre con 1mn). Calcoliamo alcuni valori di S(n,m). Per i valori estremi m=1 ed m=n si ha S(n,1)=1 (vi è una sola partizione di A in 1 sottoinsieme, in cui questo sottoinsieme è A stesso) e si ha S(n,n)=1 (vi è una sola partizione di A in n sottoinsiemi, in cui ognuno di questi sottoinsiemi contiene un singolo elemento di A). Si ha S(3,2)=2: infatti se A={a,b,c} ha cardinalità n=3, le partizioni possibili di A in 2 sottoinsiemi sono le 3 seguenti: {{a},{b,c}} , {{b},{a,c}} , {{c},{a,b}}. Possiamo sistemare i numeri di Stirling S(n,m) nel triangolo di Stirling, in cui in ogni riga vi sono i valori con n fissato ed m che varia da 1 a d n: S(1,1)=1 S(2,1)=1 S(2,2)=1 S(3,1)=1 S(3,2)=3 S(3,3)=1 S(4,1)=1 S(4,2)=? S(4,3)=? S(4,4)=1 S(5,1)=1 S(5,2)=? S(5,3)=? S(5,4)=? S(5,5)=1 e così via. Vi è una relazione molto stretta fra i numeri di una riga e quelli della riga precedente, che può servire per calcolare facilmente i numeri di Stirling, espressa dalla seguente formula: S(n+1,m) = S(n,m-1)+mS(n,m) Dimostrazione della formula: S(n+1,m) é il numero delle partizioni di un insieme di cardinalità n+1 in m sottoinsiemi; sia quindi A={a1, a2, …. , an, an+1} un insieme di cardinalità n+1. Poniamo poi B=A-{an+1}: B ha cardinalità n. Le partizioni di A in m sottoinsiemi possono essere suddivise in 2 categorie: 1) le partizioni in cui l’elemento an+1 è da solo in uno dei sottoinsiemi della partizione 2) le partizioni in cui l’elemento an+1 è insieme con altri elementi in uno dei sottoinsiemi della partizione Le partizioni della categoria 1) si ottengono scegliendo una partizione di B in m-1 sottoinsiemi (tale scelta si può effettuare in S(n,m-1) modi diversi) e poi aggiungendo il sottoinsieme {an+1}: quindi le partizioni della categoria 1) sono in numero di S(n,m-1). Le partizioni della categoria 2) si ottengono scegliendo una partizione di B in m sottoinsiemi (tale scelta si può effettuare in S(n,m) modi diversi) e poi inserendo l’elemento an+1 in uno degli m sottoinsiemi della partizione (questa scelta si può effettuare in m modi diversi): quindi, per il principio delle scelte multiple, le partizioni della categoria 2) sono in numero di mS(n,m). Il numero totale S(n+1,m) delle partizioni dell’insieme A di cardinalità n+1 in m sottoinsiemi si ottiene sommando il numero delle partizioni delle 2 categorie, e si ottiene la formula voluta. La formula permette di calcolare tutti i numeri di Stirling di una riga, conoscendo quelli della riga precedente. Per esempio: S(4,2)=S(3,1)+2S(3,2)=7 , S(4,3)=S(3,2)+3S(3,3)=6 (tali valori completano la riga n. 4). Conoscendo i valori della riga 4, si possono calcolare quelli della riga 5 e così via.