LA CONVERSIONE
ANALOGICO-DIGITALE
x
conversione
A/D
Y
• La conversione analogico/digitale (A/D) realizza una
trasformazione della grandezza analogica in ingresso
x, solitamente una tensione, in un codice digitale
(numero binario) Y in uscita.
• Il valore numerico in uscita è rappresentato con un
numero finito di cifre (bit).
• La conversione è caratterizzata da una
quantizzazione in ampiezza.
• Il processo di conversione richiede un intervallo di
tempo finito per la sua esecuzione.
1
IL CONVERTITORE
ANALOGICO-DIGITALE
• Il dispositivo elettronico che attua la conversione
A/D prende il nome di convertitore analogicodigitale (ADC).
• Esso è essenzialmente caratterizzato da un ingresso
analogico Vin, da un ingresso per il segnale di clock
per scandire gli istanti di conversione e da una
uscita digitale C.
C
Vin
ADC
clock
2
I CONVERTITORI A/D: DEFINIZIONI
• Numero di bit: è il numero di cifre binarie su cui viene
convertito in forma numerica il valore di tensione di
ingresso. Il convertitore A/D può quindi avere in uscita
solamente un numero finito di valori pari a 2n.
• Tensione di fondo scala Vfs: è il valore di tensione
corrispondente al doppio della tensione in ingresso per cui
ha valore “1” solo il bit più significativo (MSB). Esistono
definizioni leggermente diverse ma equivalenti
– Esempio:
– n = 3 bit
– Vfs = 10 V
– C = 100
– C x 2 = 1000
→
→
Vin = 5 V
Vfs = 10 V
3
I CONVERTITORI A/D: DEFINIZIONI
• Risoluzione del convertitore R o passo di quantizzazione : è
la più piccola variazione nella tensione di ingresso che può
causare una variazione nel codice numerico di uscita:
R=
V fs
2
n
Rappresenta anche la tensione associata al bit meno
significativo (LSB) del codice in uscita : è la “costante” del
convertitore
Vin = R ⋅ C
4
Risoluzione
5
I CONVERTITORI A/D: DEFINIZIONI
• Tempo di conversione tc: è il tempo impiegato dal
convertitore ad eseguire la conversione del valore
di tensione in ingresso nel corrispondente codice
numerico.
6
• Un ADC è in grado
di fornire in uscita un
codice numerico proporzionale al valore
della tensione in
ingresso, a meno
della sua risoluzione.
risoluzione
codici
LA CARATTERISTICA DI
CONVERSIONE
Caratteristica ideale
111
transizione
ideale
1 LSB
banda di
quantizzazione
010
001
000
Vin
7
codici
111
L’errore di quantizzazione
transizione
ideale
1 LSB
banda di
quantizzazione
010
001
000
ε
Vin
• L’incertezza propria
della quantizzazione
è pari a 1 LSB
Vin
-1 LSB
8
codici
111
L’errore di quantizzazione
transizione
ideale
1 LSB
banda di
quantizzazione
010
001
000
ε
+½ LSB
-½ LSB
• L’incertezza propria
Vin della quantizzazione è
sempre pari a 1 LSB,
ma distribuita nella
Vin fascia -½LSB, +½LSB
9
Caratteristica ideale e Retta di trasferimento
• L’incertezza propria della quantizzazione è sempre
pari a 1 LSB, ma distribuita nella fascia -½LSB,
+½LSB
10
• Provoca una traslazione della caratteristica di conversione
parallelamente a se
stessa
• Tutti i codici emessi
sono modificati della
stessa quantità
• E’ recuperabile mediante calibrazione
fino a rientrare nella
fascia: ± ½LSB
codici
LA CARATTERISTICA DI
CONVERSIONE REALE
Errore di offset
111
Errore di offset
caratt. ideale
caratt. reale
010
001
000
Vin
11
• Provoca una rotazione
della caratteristica di
conversione con centro
l’origine degli assi
• Tutti i codici emessi
sono moltiplicati della
stessa quantità
• E’ recuperabile mediante calibrazione fino
a rientrare nella fascia:
± ½LSB
codici
LA CARATTERISTICA DI
CONVERSIONE REALE
Errore di guadagno
111
Errore di guadagno
caratt. ideale
caratt. reale
010
001
000
Vin
12
• Può accadere che
l’ampiezza delle singole bande di quantizzazione non sia costante e pari a 1 LSB.
• La linea che unisce i
punti medi delle bande
di quantizzazione non
è più una retta.
codici
LA CARATTERISTICA DI
CONVERSIONE REALE
Errore di non linearità
111
caratt. ideale
caratt. reale
010
001
000
Vin
13
• E’ la differenza, su
ogni singola banda di
quantizzazione,
tra
l’ampiezza di banda
effettiva e 1 LSB.
codici
LA CARATTERISTICA DI
CONVERSIONE REALE
Non linearità differenziale
111
caratt. ideale
caratt. reale
010
001
000
Vin
14
• Se per una banda
l’errore di non linearità differenziale supera 1 LSB, si perde
un codice.
codici
LA CARATTERISTICA DI
CONVERSIONE REALE
Omissione di codice
111
caratt. ideale
Omissione di codice
caratt. reale
010
001
000
Vin
15
Un esempio di omissione di codice
Tratto da: Nicholas “Nick” Gray “ABCs of ADCs” Rev 2, August 2004,
Copyright © 2003, 2004 National Semiconductor Corporation.
16
• Si ottiene integrando gli errori di non
linearità differenziale sull’intero campo
di misura dell’ADC.
codici
LA CARATTERISTICA DI
CONVERSIONE REALE
Non linearità integrale
111
caratt. ideale
caratt. reale
010
001
000
Vin
17
L’errore di non linearità integrale:
differenti definizioni
1. La massima deviazione della linea caratteristica di
trasferimento (la congiungente i punti centrali dei gradini
reali di quantizzazione) dalla retta ideale;
2. Il massimo scostamento della “migliore retta
interpretativa” (determinata per es. con i minimi quadrati)
da quella ideale;
3. Deviazione della linea caratteristica di trasferimento dalla
retta ideale al termine della caratteristica di trasferimento;
Leggere sempre le specifiche per sapere quel definizione è
stata usata !!
18
L’errore di non linearità
• I due indici visti, quello di non linearità
differenziale e quello di non linearità integrale,
danno un’idea del comportamento dell’ADC.
• Un elevato valore di non linearità integrale indica
che gli errori di non linearità deformano la
caratteristica nella stessa direzione.
• Un basso valore di non linearità integrale,
accompagnato da un elevato valore di non
linearità differenziale, indica che gli errori di non
linearità hanno valore elevato, e verso opposto nei
differenti punti della caratteristica.
19
Il dithering
• Si può, in alcuni casi, ridurre l’effetto delle non linearità e
della quantizzazione sull’incertezza di uscita, adottando
una tecnica detta dithering
dithering.
• Le non linearità sono in genere misurati per mezzo delle
non linearità differenziale (DNL) e integrale (INL).
• Per ridurre le non linearità differenziali si fa variare il
segnale di ingresso su più codici attigui in modo da
mediare l’errore sovrapposto al segnale.
• Il dither è un segnale/rumore non correlato a valore medio
nulla e a densità di probabilità costante nell’intervallo (-½
LSB - +½LSB) che viene sommato al segnale in ingresso
e sottratto in uscita.
20
Il dithering
• Lo scopo del dither è quello di delocalizzare e
rendere casuali gli errori di non linearità
differenziale dei singoli codici.
• Così facendo il DNL finale risulta più uniforme e
non presenterà invece la tipica periodicità dei
convertitori ADC reali.
• Detto Vs il segnale da acquisire e nd il dither, il
segnale in ingresso al convertitore è quindi:
Vin = Vs + nd
• In questo modo il segnale in ingresso al
convertitore copre l’intera banda di quantizzazione.
21
Il dithering
• Si supponga di acquisire N campioni Vinj della
tensione in ingresso, e di farne la media:
1 N
1 N
Vin = ∑ Vin j = ∑ Vs + nd j
N j =1
N j =1
(
)
• Poiché l’incertezza di quantizzazione ha valore
medio nullo, si ha, per N → ∞:
Vin = Vs
• Si è quindi ridotta l’incertezza dovuta alla
quantizzazione.
22
Dither: miglioramento della risoluzione
Per ridurre gli effetti della quantizzazione si è inizialmente pensato di
sommare rumore bianco al segnale di ingresso.
Nel 1960 Widrow scopri che gli effetti della quantizzazione possono essere
diminuiti se l’errore di quantizzazione è indipendente dal segnale.
Successivamente Schuchman determinò quale tipo di segnale di dither deve
essere utilizzato onde avere un errore di quantizzazione indipendente dal
segnale di ingresso da convertire.
In particolare si dimostra che per un ADC ideale il segnale di dither ottimo
è un rumore bianco con valore efficace pari a 1/3 LSB.
Vanderkooy and Lipshitz dimostrarono poi che mediante un segnale di
dither la risoluzione di un ADC può essere migliorata sino al di sotto di 1
LSB.
23
Esempio
Tratto da: Leon Melkonian, “Improving A/D Converter Performance Using
Dither”, National Semiconductor, Application Note 804, February 1992, ©
1995 National Semiconductor Corporation.
Segnale di ingresso
Segnale di uscita distorto
24
Esempio: segnale sinusodiale piccolo
Esempio: segnale sinusoidale di ampiezza picco – picco pari a 1 LSB.
È rappresentato mediante due soli codici. Se il segnale sinusoidale è
centrato sulla soglia di commutazione fra due codici il segnale di uscita
(ricostruito) rappresenta una onda quadra.
È una rappresentazione assai approssimativa di una sinusoide.
Le informazioni al di sotto di 1 LSB non sono rappresentate e quindi non
esistono o, meglio, non sono disponibili.
25
Esempio: segnale sinusodiale piccolo
Aggiungendo allo stesso segnale un segnale di dither (rumore) l’uscita
commuta molto spesso fra un codice e l’altro.
In questo caso informazioni di valore inferiore ad 1 LSB possono essere
ottenute considerando per quanto tempo l’uscita si trova in uno dei due
codici.
L’informazione non è più portata solo dai livelli ma anche dal tempo.
Effettuando una media nel tempo la risoluzione può essere aumentata
significativamente al di sotto di 1 LSB.
26
Esempio: segnale sinusodiale piccolo
È stata linearizzata la caratteristica di trasferimento.
Lo spettro della potenza del segnale di uscita dimostra come la distorsione
armonica dovuta alla quantizzazione è stata ridotta.
Vediamo una interpretazione alternativa.
In assenza di segnale di dither ogni segnale di ingresso è assegnato ad uno
e a solo un codice. Non c’è differenza fra due segnali analogici con
ampiezza riconducibile allo stesso “gradino della caratteristica di
trasferimento” (errore di quantizzazione) .
In presenza di dither ad ogni livello del segnale di ingresso è assegnata una
distribuzione di probabilità di appartenere ad un “gradino della
caratteristica di trasferimento” dei molti codici possibili (per esempio un
dither molto ampio porta il segnale ad invadere più gradini).
Se ne deduce che differenti livelli del segnale di ingresso che però sono
mappabili allo stesso “gradino della caratteristica di trasferimento” sono
assegnati a differenti distribuzioni di probabilità
27
Esempio: segnale sinusodiale piccolo
Se ne deduce che differenti livelli del segnale di ingresso che però sono
mappabili allo stesso “gradino della caratteristica di trasferimento” sono
assegnati a differenti distribuzioni di probabilità.
Ecco perché è possibile affermare che la risoluzione di un ADC con dither
può essere migliorata sino al di sotto di 1 LSB.
Esempio:
1 V FS
⋅ n = 1.6 mV
3 2
Si analizza un segnale da 1 kHz Vpp = 1 LSB
Vrms dither =
con dither
Senza dither
n = 10 bit, VFS = 5 V
28
Altro dithering
Un segnale di dither di tipo bianco è adatto ai seguenti casi:
•
•
Segnali AC con ampia banda;
ADC con caratteristica di trasferimento simile a quella ideale.
Se, invece, l’ADC ha DNL significante il segnael di dither più adatto è a
banda stretta centrata alla frequenza di Nyquist. Per quanto riguarda
l’ampiezza questa dovrebbe essere dell’ordine di alcuni LSB
(tipicamente 4 o 5 LSB).
29
Comportamento in presenza di segnali
variabili
• Le incertezze trattate precedentemente sono
relative ad una situazione di regime statico.
• In regime dinamico, è possibile supporre, in prima
approssimazione, che le incertezze non si
discostino da quelle valutate in regime statico,
purché la variazione del segnale durante la
conversione non esca dalla fascia ±½LSB.
30
Comportamento in presenza di segnali
variabili
• Si supponga di avere un
segnale in ingresso sinusoidale,
di frequenza f e di ampiezza
pari al fondo scala.
• La massima variazione del
segnale in ingresso si ha in
corrispondenza del passaggio
per lo zero.
• La risoluzione dell’ADC vale
Vfs/2n e quindi deve essere:
• Esempio:
1
sin(ωt ) ≅ ωt ≤ n
2
1
ω≤
t ⋅ 2n
1
f ≤
2πt c 2 n
– n = 8; tc = 20 µs
– f ≤ 31 Hz
31
Il Sample & Hold
• Nel caso in cui la variazione del segnale in ingresso
sia superiore a ±½LSB è necessario anteporre al
convertitore A/D un dispositivo di campionamento e
tenuta (o Sample & Hold).
Vusc
Vin
C
Vcontr
32
Il Sample & Hold
• Fase di campionamento (Sample)
– interruttore chiuso
– tensione sul condensatore pari alla tensione Vin
Vusc
Vin
C
Vcontr
33
Il Sample & Hold
• Fase di mantenimento (Hold)
– interruttore aperto
– tensione Vusc pari alla tensione sul condensatore.
Vusc
Vin
C
Vcontr
34
Errore di quantizzazione
• L’errore di quantizzazione può essere schematizzato come
rumore bianco a valor medio nullo, di ampiezza massima pari a 1
LSB (indicato con Q=quantizzazione), uniformemente distribuito
nell’intervallo ± 1/2 LSB con densità di probabilità costante pari
a 1/LSB nello stesso intervallo.
• La varianza è data da:
Q 2
s
2
adc
Q 2
1
2
1
1 3Q2
= ∫ x ⋅ f (x )⋅dx = ∫ x ⋅ ⋅dx =
x
dx
=
x
∫
Q
Q -Q 2
3 Q -Q 2
-Q 2
-Q 2
2
Q 2
2
1 3Q2
1 Q3 Q3
1 Q3 Q2
= x -Q 2 = + = ⋅ =
3Q
3Q 8
8 3Q 4
12
35
Errore di quantizzazione
e, essendo: Q=Vfs/2n,
2
sadc
=
2
Vfs
n
(12 ⋅ 4 )
e il valore efficace del rumore di quantizzazione, pari
alla radice quadrata della varianza risulta:
Q
1 LSB
s adc =
=
12
12
• Fissato il numero di bit n del convertitore, è
quindi fissato l’errore quadratico medio di
quantizzazione.
36
Rumore di quantizzazione
• La quantità
2
sadc
=
2
Vfs
n
(12 ⋅ 4 )
può però essere vista anche come il valore
quadratico medio di un rumore (rumore di
quantizzazione) che, sovrapposto ad un segnale
comunque variabile all’interno di una banda di
quantizzazione, provoca l’emissione dello stesso
codice (corrispondente alla banda).
• Ha quindi senso risolvere rispetto ad n ed ottenere:
Vfs2
- 1.7925
n = log4
2
s
adc
37
Rumore complessivo
• Supposto un segnale in ingresso sinusoidale, con
valore efficace:
V = Vfs 2 2
V2
n = log 4 2 - 0.2925
si ha:
s adc
dove il rapporto V2//s2adc rappresenta un rapporto
segnale rumore.
• Il rumore di quantizzazione può non essere l’unico
rumore presente.
• Si consideri un rumore sa che si sovrappone al
segnale, e lo si supponga scorrelato al rumore si
quantizzazione. Si ha allora un rumore complessivo
il cui valore quadratico medio è:
2
ss2 = sa2 + sadc
38
Bit effettivi
• Sostituendo il valore quadratico medio del rumore
complessivo nella espressione del numero di bit si
ottiene:
V 2
- 0.2925
neff = log4
2
s
s
• V/ss rappresenta il
rapporto
segnale
rumore (SNR) complessivo e neff rappresenta la effettiva
risoluzione (numero
numero
di bit effettivi)
effettivi del
convertitore al variare di SNR.
• Si ha allora:
16
16 bit
12 bit
10 bit
8 bit
6 bit
14
12
10
N. di bit eff.
8
6
4
2
0
120
100
80
60
40
20
SNR [dB]
39
16
Bit effettivi
16 bit
12 bit
10 bit
8 bit
6 bit
14
12
10
N. di bit eff.
8
6
4
2
0
120
100
80
60
40
20
SNR [dB]
• Quando sa è trascurabile rispetto a sadc, la
risoluzione effettiva coincide con la risoluzione
nominale.
• Quando sa aumenta, la risoluzione effettiva
diminuisce e tende asintoticamente allo stesso
valore
• E’ inutile avere convertitori con elevata risoluzione
nominale in presenza di forti rumori (generati
internamente o esternamente al convertitore)!
40
