ProveScritteGeom1 2015/2016

Prima prova scritta di Geometria 1, 1 febbraio 2016
1. i) Dimostrare che autovettori v1 , . . . , vn di autovalori distinti λ1 , . . . , λn di un endomorfismo f : V → V sono linearmente indipendenti.
ii) Dimostrare che ogni famiglia v1 , . . . , vn di genitori di uno spazio vettoriale contiene
una base.
2. Usando vettori e ortogonalità, dimostrare:
i) Le due diagonali di un rombo (parallelogramma equilaterale) sono ortogonali.
ii) Il teorema di Talete che l’angolo opposto al diametro di un triangolo iscritto in una
semicirconferenza è un angolo retto.
3. i) Dimostrare che mg (λ) ≤ ma (λ), per ogni autovalore λ di un endomorfismo f :
V → V di uno spazio vettoriale V di dimensione finita.
ii) Sia f : V → V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione finita e
W un sottospazio di V tale che f (W ) ⊂ W . Se f è triangolarizzabile, dimostrare che
anche la sua restrizione f |W : W → W è triangolarizzabile.
4. Sia V uno spazio vettoriale euclideo. Fissato un vettore v ∈ V , sia φv : V → R
l’applicazione definita da
φv (w) = < v, w >,
per tutti w ∈ V .
i) Dimostrare che φv è lineare (e allora φv ∈ V ∗ ).
ii) Dimostrare che φ : V → V ∗ , φ(v) = φv , è lineare.
iii) Dimostrare che φ è iniettiva e, se la dimensione di V è finita, anche suriettiva e
allora un isomorfismo.
5. i) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Se k > n, dimostrare che ogni
applicazione multilineare alternante f : V × . . . × V = V k → K è banale (costante zero).
ii) Sia v1 , . . . , vn una base di V . Dimostrare che una funzione determinante D : V ×
. . . × V = V n → K con D(v1 , . . . , vn ) = 1 è unica (dedurre la formula di Leibniz).
6. i) Trovare la forma normale di Jordan della matrice

1 a

A= 0 1
0 0
(in dipendenza dei parametri a e b).

1
b
1
ii) Trovare la forma normale di Jordan della matrice
1
0
A=
0
0

a
1
0
0
b
1
1
0

c
d

1
1
(in dipendenza dei parametri a, b, c e d).
Giustificare le risposte (sia in i) che in ii), non è richiesto di trovare le matrici dei
cambiamenti di base).
Seconda prova scritta di Geometria 1, 23 febbraio 2016
1. i) Dare la definizione della matrice MA
B (f ) = (aij ) di un’applicazione lineare f : V →
W , rispetto a basi A = (v1 , . . . , vn ) di V e B = (w1 , . . . , wm ) di W .
ii) Dimostrare che
MA
B : Hom(V, W ) → M(m × n, K)
è un isomorfismo (lineare, iniettivo e suriettivo), dove MA
B associa a un’applicazione
A
lineare f : V → W la sua matrice MB (f ) rispetto alle basi A di V e B di W .
2. Sia V uno spazio vettoriale unitario di dimensione finita e f : V → V un endomorfismo autoaggiunto. Dimostrare che:
i) ogni autovalore λ di f è reale;
ii) autovettori di autovalori distinti sono ortogonali;
iii) la matrice di f rispetto a una base ortonormale di V è hermitiana;
iv) esiste una base ortonormale di V che consiste di autovettori di f .
3. i) Siano f, g : V → V endomorfismi di uno spazio vettoriale V che commutano
(f ◦ g = g ◦ f ). Sia Autf (λ) un autospazio di f . Dimostrare che g(Autf (λ)) ⊂ Autf (λ).
ii) Siano f, g : V → V endomorfismi autoaggiunti di uno spazio unitario V di dimensione
finita che commutano. Utilizzando il teorema spettrale per endomorfismi autoaggiunti,
dimostrare che esiste una base ortonormale di V di autovettori communi di f e g (cioè,
f e g sono diagonalizzabili simultaneamente).
4. Sia A la matrice

1
0
A =  −1 0
0 −1

0
1
1
su un campo K. Trovare se A è diagonalizzabile o triangolarizzabile sui campi K =
R, C, Z2 e Z7 . Se A è diagonalizzabile, indicare la forma diagonale di A.
5. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita, V ∗ = Hom(V, K) lo spazio duale
e V ∗∗ = (V ∗ )∗ = Hom(V ∗ , K) lo spazio biduale di V . Per v ∈ V , sia τv : V ∗ → K
definita da
τv (φ) = φ(v),
per ogni φ : V → K in V ∗ . Dimostrare che:
i) τv : V ∗ → K è lineare (e allora τv è un elemento di V ∗∗ ).
ii) τ : V → V ∗∗ , definita da τ (v) = τv , è lineare.
iii) τ : V → V ∗∗ è un isomorfismo.
6. i) Trovare la forma normale di Jordan della matrice
2
0
A=
0
0

a
2
0
0

1 b
0 1
,
2 c
0 2
in dipendenza dei parametri a, b e c (giustificare la risposta).
ii) In ogni caso, trovare una base di Jordan.
Terza prova scritta di Geometria 1, 22 giugno 2016
1. Sia (vi )i∈I una base di uno spazio vettoriale V , per un insieme di indici I arbitrario,
e siano vi∗ ∈ V ∗ tale che vi∗ (vj ) = δij (simbolo di Kronecker).
i) Dimostrare che i vettori vi∗ , i ∈ I, sono linearmente indipendenti.
ii) Dimostrare che i vettori vi∗ , i ∈ I, non generano V ∗ se V ha dimensione infinita.
2. Sia V uno spazio vettoriale unitario di dimensione finita e f : V → V un endomorfismo unitario. Dimostrare che:
i) ogni autovalore di f ha valore assoluto 1, e dedurre da questo che f è un isomorfismo;
ii) autovettori di autovalori distinti sono ortogonali;
iii) la matrice di f rispetto a una base ortonormale di V è unitaria;
iv) esiste una base ortonormale di autovettori di f .
3. i) Dato un elemento ā 6= 0̄ in Zp , per un numero primo p, dimostrare che l’applicazione
φ : Zp → Zp , φ(x̄) = āx̄, è iniettiva.
ii) Dimostrare che ogni elemento ā 6= 0̄ in Zp ha un elemento inverso rispetto al prodotto.
4. i) Scrivere la formula che definisce i coefficienti della matrice MA
B (f ) = (aij ) di
un’applicazione lineare f : V → W , rispetto a basi A = (v1 , . . . , vn ) di V e B =
(w1 , . . . , wm ) di W .
ii) Sia anche g : W → U lineare e C = (u1 , . . . , uk ) una base di U . Dimostrare che
B
A
MA
C (g ◦ f ) = MC (g)MB (f ).
5. Trovare le forme normali di Jordan delle matrici (senza il



1 a 1
1 a 1
0 1 0
A = 0 1 b e B = 
0 0 1
0 0 1
0 0 0
cambiamento di base)

b
1
,
c
1
in dipendenza dei parametri a, b e c.
6. i) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e f : V → W lineare. Dimostrare
la formula di dimensions per applicazioni lineari:
dim(V ) = dim(Kerf ) + dim(Imf ).
ii) Siano W1 e W2 sottospazi di uno spazio vettoriale W di dimensione finita, e sia f :
W1 × W2 → W l’applicazione lineare f (w1 , w1 ) = w1 − w2 . Determinare (le dimensioni
del) nucleo e immagine di f , poi dedurre da i) la formula di dimensione per sottospazi:
dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ).
Quarta prova scritta di Geometria 1, 6 luglio 2016
1. i) Sia B = (v1 , . . . , vn ) una base dello K-spazio vettoriale V . Dimostrare che
KB : V → K n
è un isomorfismo (lineare, suriettiva e iniettiva), dove KB associa a ogni vettore v ∈ V
il suo vettore delle coordinate KB (v) ∈ K n rispetto alla base B.
2. i) Dare la definizione della matrice MA
B (f ) = (aij ) di un’applicazione lineare f : V →
W , rispetto alle basi A = (v1 , . . . , vn ) di V e B = (w1 , . . . , wm ) di W .
ii) Dimostrare che
MA
B : Hom(V, W ) → M(m × n, K)
è un isomorfismo (lineare, iniettivo e suriettivo), dove MA
B associa a un’applicazione
A
lineare f : V → W la sua matrice MB (f ) rispetto alle basi A di V e B di W . Qual’è la
dimensione di Hom(V, W )?
3. Sia v1 , . . . , vn una base di V e v1∗ , . . . , vn∗ la base duale di V ∗ . Dimostrare che, per
ogni v ∈ V e φ ∈ V ∗ ,
v = v1∗ (v)v1 + . . . + vn∗ (v)vn ,
φ = φ(v1 )v1∗ + . . . + φ(vn )vn∗ .
4. i) Sia V uno spazio vettoriale Euclideo. Dimostrare come il prodotto scalare di V è
determinato dalla norma associata (formula di polarizzazione).
ii) Sia f : V → V un endorfismo che preseva la norma di ogni vettore (||f (v)|| = ||v||,
per ogni v ∈ V ). Dimostrare che f è ortogonale.
5. i) Sia (w1 , . . . , wm ) una base dello sottospazio W di V e (w1 , . . . , wm , v1 , . . . , vr ) un
prolungamento a una base di V . Dimostrare che ([v1 ], . . . , [vr ]) è una base dello spazio
quoziente V /W .
ii) Sia f : V → U lineare e W = Kerf il nucleo di f . Sia f¯ : V /W → U definita da
f¯([v]) = f (v). Dimostrare che f¯ è ben definita, lineare e iniettiva.
6. Sia A la matrice

1 1
A =  −1 0
1 1

−1
1 
0
su un campo K. Trovare se A è diagonalizzabile o triangolarizzabile sui campi K =
R, C, Z2 , Z5 , Z7 .
Quinta prova scritta di Geometria 1, 6 settembre 2016
1. Sia v1 , . . . , vn una base di uno spazio vettoriale V , e siano vi∗ ∈ V ∗ tale che vi∗ (vj ) =
δij (simbolo di Kronecker). Dimostrare che v1∗ , . . . , vn∗ è una base di V ∗ .
2. Sia w1 , . . . , wm una base di W e w1 , . . . , wm , v1 , . . . , vr un prolungamento a una base
di V . Dimostrare che [v1 ], . . . , [vr ] è una base dello spazio quoziente V /W .
a b
su un campo K, con b 6= 0. Determinare se A è triangolarizz3. i) Sia A =
−b a
abile o diagonalizzabile, per i casi K = R, C, Z2 , Z5 e Z7 .
a b
una matrice su un campo arbitrario K, con b 6= 0. Determinare se
ii) Sia B =
b a
B è triangolarizzabile o diagonalizzabile (la risposta dipende dal campo K).
4. i) Dimostrare che mg (λ) ≤ ma (λ), per ogni autovalore λ di un endomorfismo f :
V → V di uno spazio vettoriale V di dimensione finita.
ii) Dati numeri naturali n e m, con 1 ≤ m ≤ n, dare un’esempio di una matrice n × n
con un’autovalore λ tale che ma (λ) = n e mg (λ) = m.
5. i) Sia f : V → W un’applicazione lineare suriettiva di spazi vettoriali V e W di
dimensioni finite. Dimostrare che esiste un’applicazione lineare g : W → V tale che
f ◦ g = idW .
ii) Sia f : V → W un’applicazione lineare iniettiva di spazi vettoriali V e W di dimensioni finite. Dimostrare che esiste un’applicazione lineare g : W → V tale che
g ◦ f = idV .
6. i) Usando la formula di Leibniz, dimostrare che una matrice quadrata A = (aij ) e la
sua trasposta t A hanno lo stesso determinante.
ii) Sia v1 , . . . , vn una base di uno spazio vettoriale V su un campo K. Dimostrare che
una funzione determinante (multilineare, alternante) D : V × . . . × V = V n → K, con
D(v1 , . . . , vn ) = 1, è unica.
Sesta prova scritta di Geometria 1, 21 settembre 2016
1. Usando vettori e ortogonalità, dimostrare:
i) Le due diagonali di un rombo (parallelogramma equilaterale) sonno ortogonali.
i) il teorema di Talete che l’angolo opposto al diametro di un triangolo iscritto in una
semicirconferenza è un angolo retto;
2. i) Dato un elemento ā 6= 0̄ in Zp , per un numero primo p, dimostrare che l’applicazione
φ : Zp → Zp , φ(x̄) = āx̄, è iniettiva.
ii) Dimostrare che ogni elemento ā 6= 0̄ in Zp ha un elemento inverso rispetto al prodotto.
Poi trovare l’inverso di 5̄ in Z13
3. i) Sia A una matrice 3 × 3 triangolare della forma


λ1 a
b
A =  0 λ2 c  .
0
0 λ3
Dire quali dei coefficienti a, b e c devono essere 0 affinché la matrice A sia diagonalizzabile, nei seguenti casi, poi trovare in ogni caso la forma normale di Jordan (in
dipendenza dei coefficienti a, b e c):
i) tutti i λi sono diversi;
ii) tutti i λi sono uguali;
iii) λ1 = λ2 6= λ3 ;
iv) λ1 6= λ2 = λ3 .
4. i) Dimostrare che ogni famiglia v1 , . . . , vn di generatori di uno spazio vettoriale V
contiene una base.
ii) Dimostrare che autovettori v1 , . . . , vn di autovalori distinti λ1 , . . . , λn di un endomorfismo f : V → V sono linearmente indipendenti.
5. Sia f : V → W un’applicazione lineare iniettiva.
i) Sia v1 , . . . , vn una base di V . Dimostrare che f (v1 ), . . . , f (vn ) sono linearmente indipendenti.
ii) Dimostrare che esiste un’applicazione lineare g : W → V tale che g ◦ f = idV . Poi
dimostrare che g è suriettiva.
6. i) Sia v1 , . . . , vn una base di V e v1∗ , . . . , vn∗ la base duale di V ∗ . Dimostrare che, per
ogni v ∈ V e φ ∈ V ∗ ,
v = v1∗ (v)v1 + . . . + vn∗ (v)vn ,
φ = φ(v1 )v1∗ + . . . + φ(vn )vn∗ .
ii) Sia v1 , . . . , vn una base ortonormale di uno spazio unitario V ; dimostrare che, per
ogni v ∈ V ,
v =< v1 , v > v1 + . . . + < vn , v > vn .