15. Antico gioco russo
In un antico gioco russo, attraverso i risultati casuali
ottenuti dall’allacciamento di cordicelle, i giovani cercavano
una previsione sul tipo di legame che si sarebbe instaurata
in una coppia (amore o amicizia). Ecco il gioco che
sperimenterai con i tuoi compagni di classe (anche se le
coppie non saranno maschio-femmina):
.
Si danno a ogni coppia 3 spaghi di circa 30
cm, che un componente della coppia terrà in
un pugno chiuso, in modo che escano le
estremità ai due lati del pugno
La seconda persona deve fare due nodi
sul pugno, unendo gli estremi di spago di
sinistra con quelli di destra, ma lasciando
due estremi non annodati.
Quando si apre il pugno, gli spaghi appaiono secondo una delle tre tipologie:
• 0 anelli, solo 1 spago lungo
• 1 anello + 1 spago:
• 2 anelli + 1 spago
Nell’originale gioco russo,
0 anelli = resteranno sempre amici e basta
1 anello soltanto = uno vorrebbe ma l’altro no
2 anelli = si sposeranno
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1. Fa’ il gioco col tuo compagno di banco e nota i risultati ottenuti.
Assieme al tuo professore raccogli in una prima tabella i risultati di tutta la classe, rilevando
la frequenza dei tre eventi “non si è formato nessun anello”, “si è formato un solo anello”,
“si sono formati due anelli”.
Trovane poi la frequenza relativa (n° di realizzazioni di un evento / n° totale di effettuazioni
del gioco) e traducila in percentuale.
Prima tabella:
evento
numero
percentuale
0 anelli
1 anello
2 anelli
Disegna (a mano o con un foglio di calcolo tipo Excel) l’istogramma che rappresenta la
frequenza relativa di ogni evento.
2. Ricomincia altre 4 volte il gioco, il professore aggiunge questi risultati a quelli precedenti,
quintuplicando così il numero di rilevazioni.
Seconda tabella:
evento
numero
percentuale
0 anelli
1 anello
2 anelli
Disegna di nuovo l’istogramma delle frequenze relative. Cosa osservi sulle frequenze di
ogni evento? Puoi fare una congettura sul comportamento in generale di queste
frequenze ?
3. Prova a prevedere questi risultati tramite un ragionamento basato sui calcoli: con il tuo
compagno di banco (oppure come compito a casa), cerca di individuare teoricamente tutti i
modi di annodare i due spaghi e di contare, fra tutti i casi possibili, quanti danno 0 anelli, 1
anello, 2 anelli (la ricerca può essere fatta con diagramma ad albero, tabella o altro; si
lascia la totale libertà sul metodo). Per facilitare la comprensione dei vari metodi che
saranno proposti da te o i tuoi compagni, chiama gli estremi degli spaghi A-A’, B-B’, C-C’.
Nel calcolo delle probabilità si usa la formula :
probabilità di ottenere n anelli P(n) =
n° casi che danno n anelli
n° tutti i casi possibili
compila quindi la tabella delle probabilità:
evento
P(n)
percentuale
0 anelli
1 anello
2 anelli
Disegna l’istogramma delle probabilità e confrontalo con l’istogramma dei dati statistici.
Più grande sarà il numero di esperimenti che farai, più ti avvicinerai al risultato teorico
trovato con il calcolo delle probabilità. E’ quello che dice la “Legge empirica del caso”:
In una serie di prove ripetute nelle medesime condizioni, al crescere del numero n delle
prove, la frequenza relativa di un evento tende a coincidere con la sua probabilità.
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PER IL DOCENTE
Antico gioco russo
Classe consigliata: 1^ o 2^
Strumenti: eventualmente Excel (per gli istogrammi)
PREREQUISITI
•
•
percentuali
diagrammi ad albero o tabelle
OBIETTIVO DELL’ATTIVITA’
•
•
•
•
capire la differenza fra dati statistici e previsione probabilistica
concetto di frequenza assoluta e relativa
costruzione di istogrammi
approccio alla legge empirica del caso
CONCETTI SOGGIACIENTI (eventualmente sviluppabili)
Prima dell’esperimento, preparare un sufficiente numero di spaghi, di circa 30 cm.
Nella fase di osservazione dei risultati, precisare che produce “un anello” sia l’annodamento di
un unico spago con se stesso che di due annodati assieme.
1. Prima raccolta dati
•
•
Raccogliere alla lavagna i risultati, illustrare i concetti di “frequenza relativa” e “frequenza
assoluta”, di istogramma. Chiedere agli studenti di trasformare le frequenze assolute in
percentuale.
Se gli studenti non ne sono ancora a conoscenza, illustrare la costruzione di istogrammi
con Excel , producendo quello relativo alla prima raccolta dati.
2. Seconda raccolta dati
•
Fare costruire il secondo istogramma dagli
studenti. Si nota che la tendenza ad avere
una frequenza maggiore per 1 anello,
intermedia per 0 anelli e minore per 2
anelli si conferma, lasciando prevedere
che il risultato non è dunque casuale.
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3. Previsione con calcolo delle probabilità
•
Da questa considerazione nasce la curiosità di provare ad analizzare “a tavolino” le varie
situazioni che si possono presentare nell’annodare due spaghi su tre. E’ utile dare agli
studenti una notazione (A-A’, B-B’, C-C’) comune per la rappresentazione degli spaghi al
fine di facilitare la comunicazione e la comprensione delle varie soluzioni individuate dagli
studenti. Il compito può essere svolto in gruppo oppure lasciato come riflessione da
sviluppare con maggior tempo a casa.
•
Illustrare con alcuni semplici esempi (giochi di carte, dadi) la formula:
probabilità di ottenere n anelli : P(n) = n° casi che producono n anelli
n° tutti i casi possibili
•
Metodo con tabella:
la tabella rappresenta le possibilità di annodare A e B, lasciando libero l’estremo C
1°
estremo
A
annodato 2°
2°
2°
2°
2°
2°
con
estremo estremo estremo estremo estremo estremo
A’
A’
B’
C’
C’
B’
→
B
→
C
B’
C’
A’
B’
A’
C’
C’
B’
C’
A’
B’
A’
Tipologia
ottenuta
probabilità di ottenere una tipologia i :
P(i)
=
n° casi favorevoli alla tipologia i
n° casi possibili
quindi P(0 anelli) = 2/6 = 1/3
P(1 anello) = 3/6 = 1/2
P(2 anelli) = 1/6
•
Metodo con diagramma
ad albero
AA’ BB’ CC’ sono i 3
spaghi. Unendo un estremo
(tra A, B, C) di due diversi
spaghi ad altri due estremi
(tra A’, B’, C’), si ottengono i
seguenti risultati:
Anelli:
A
AA’
AB’
BB’
BC’
BC’
2
1
0
AC’
BA’
1
BA’
0
BB’
1
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Quindi su 6 possibilità, si ottengono:
0 anelli : 2 volte
P(0 anelli) = 2/6
1 anello: 3 volte
P(1 anello) = 3/6
2 anelli: 1 volta
P(2 anelli) = 1/6
4. Approfondimento: la legge empirica del caso
•
la legge empirica del caso : " In una serie di prove ripetute nelle medesime condizioni, al
crescere del numero n delle prove, la frequenza relativa di un evento tende a coincidere
con la sua probabilità "
•
La legge empirica del caso merita un'ulteriore riflessione. Infatti l'espressione tende,
contenuta al suo interno, deve essere intesa nel senso che, all'aumentare di n, aumenta la
probabilità che la differenza fra probabilità a priori e frequenza sia nulla, ma non significa
affatto che, ad esempio, dopo 20 teste successive sia maggiore del 50% la probabilità che
esca croce! La probabilità di ogni singolo evento resta sempre la stessa e quindi "il caso
non ha memoria". Questo fatto non è accettato così facilmente dagli studenti, come d'altra
parte neppure dagli adulti, se è vero che le puntate sui "numeri in ritardo" al gioco del lotto
o alla roulette sono sempre molto forti e da molti giustificate proprio citando impropriamente
la legge empirica del caso.
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