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A
La risoluzione dei triangoli
L'applicazione del teorema dei seni e del teorema di Carnot permette di risolvere qualunque triangolo; vediamo
qualche semplice esempio.
I esempio: sono noti due angoli e un lato.
La situazione eÁ rappresentata in figura 1 nella quale abbiamo i seguenti dati:
ˆ 60
ˆ 45
Figura 1
b ˆ 15
Possiamo subito ricavare la misura del terzo angolo:
ˆ 180
…60 ‡ 45 † ˆ 75
Per calcolare le misure dei lati dobbiamo individuare il teorema piuÁ adatto tra
quello dei seni e quello di Carnot; osserviamo che il teorema di Carnot prevede di conoscere le misure di due lati e dell'angolo compreso, quindi non si
puoÁ applicare in questa situazione. Usiamo allora il teorema dei seni per calcolare le misure dei lati a e c:
b
a
ˆ
sin sin !
15
a
ˆ
sin 75
sin 60
!
aˆ
15 sin 60
ˆ 13,45
sin 75
b
c
ˆ
sin sin !
15
c
ˆ
sin 75
sin 45
!
cˆ
15 sin 45
ˆ 10,98
sin 75
II esempio: sono noti due lati e l'angolo tra essi compreso
La situazione eÁ rappresentata in figura 2 nella quale abbiamo i seguenti dati:
aˆ7
c ˆ 14
Ricordiamo che non eÁ possibile risolvere un triangolo se
non eÁ noto almeno un lato.
Figura 2
ˆ 50
Il teorema da usare eÁ quello di Carnot per la determinazione del terzo lato:
b 2 ˆ a2 ‡ c 2
!
b2 ˆ 49 ‡ 196
2ac cos !
p
b ˆ 119,01 ˆ 10,91
2 7 14 cos 50 ˆ 119,01
Per calcolare la misura dell'angolo possiamo applicare ancora il teorema di
Carnot oppure il teorema dei seni; di solito, a meno di conoscere giaÁ la tipologia del triangolo, cioeÁ se si tratta di un triangolo acutangolo oppure ottusangolo, eÁ preferibile usare il teorema di Carnot che permette di individuare subito di che tipo di triangolo si tratta.
Applichiamo quindi ancora il teorema di Carnot:
a2 ˆ b 2 ‡ c 2
!
2bc cos cos ˆ
!
cos ˆ
b 2 ‡ c 2 a2
2bc
!
119,01 ‡ 196 49
ˆ 0,870793::::
2 10,91 14
Usando la calcolatrice troviamo un valore approssimato di :
L'ampiezza dell'angolo si ottiene per differenza:
ˆ 180
…50 ‡ 29 26 0 56 00 † ˆ 100 33 0 4 00
ˆ 29 260 5600 .
Il coseno di un angolo acuto eÁ positivo, quello di un
angolo ottuso eÁ negativo; il
seno di un angolo acuto o
di un angolo ottuso sono invece entrambi positivi. Trovare per esempio che
1
sin ˆ , non permette di
3
sapere se eÁ acuto oppure
ottuso, mentre trovare che
2
consente di afcos ˆ
3
fermare che eÁ ottuso.
Goniometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
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III esempio: sono note le misure dei tre lati
La situazione eÁ rappresentata in figura 3 nella quale abbiamo i seguenti dati:
a ˆ 18
b ˆ 25
Figura 3
c ˆ 20
Osserviamo innanzi tutto che il problema ha soluzione perche le misure dei
lati sono tali da soddisfare le disuguaglianze triangolari.
Per determinare la misura di uno degli angoli del triangolo, ad esempio di ,
dobbiamo ricorrere al teorema di Carnot:
cos ˆ
da cui
0
b 2 ‡ c 2 a2
625 ‡ 400 324
701
ˆ
ˆ
2 25 20
1000
2bc
00
ˆ 45 29 34 .
Per determinare l'angolo , possiamo usare ancora lo stesso teorema, oppure
quello dei seni.
l
Col teorema di Carnot:
cos ˆ
da cui ˆ 82 5 0 48 00
l
Col teorema dei seni:
da cui ˆ 82 5 0 48 00
Disuguaglianze triangolari.
In ogni triangolo, ciascun lato eÁ minore della somma
degli altri due e maggiore
della loro differenza.
a2 ‡ c 2 b 2
324 ‡ 400 625
11
ˆ
ˆ
2 18 20
80
2ac
b
a
ˆ
sin sin sin ˆ
b sin ˆ 0,9905018
a
Il vantaggio che si ha nell'usare il teorema di Carnot eÁ che si possono utilizzare i dati del problema; con il teorema dei seni, invece, si deve usare l'angolo che eÁ necessariamente approssimato.
Calcoliamo poi come supplementare della somma degli altri due:
ˆ 180
… ‡ † ˆ 52 24 0 38 00
ESERCIZI
1 E'
a.
c.
e.
sempre possibile risolvere un triangolo se sono note le misure di:
un lato e l'angolo ad esso opposto
b. tre lati
due lati e un angolo qualsiasi
d. tre angoli
un lato e i due angoli ad esso adiacenti
f. due lati.
[b., c., e.]
Usando anche la calcolatrice scientifica, risolvi i seguenti triangoli dei quali sono note le misure di due
angoli e un lato.
2
a ˆ 300
ˆ 120
ˆ 45
Per risolvere il triangolo dobbiamo trovare l'ampiezza dell'angolo , la lunghezza del lato b e la lunghezza del lato c. PoicheÂ
conosciamo due angoli del triangolo possiamo trovare il terzo
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ˆ 180
… ‡ † ˆ 180
…120 ‡ 45 † ˆ 15
Per calcolare b, applicando il teorema dei seni, possiamo scrivere:
a
b
ˆ
sin sin da cui
bˆ
p
a sin 300 sin 45
ˆ
ˆ 100 6 ˆ 244,95
sin sin 120
Per calcolare c possiamo applicare il teorema dei seni o il teorema di Carnot.
Con il teorema dei seni:
c
a
ˆ
sin sin )
cˆ
a sin 300 sin 15
ˆ 89,66.
ˆ
sin 120
sin Con il teorema di Carnot:
q

p
p2
p
2 300 100 6 cos 15 ˆ 89,66
c ˆ a2 ‡ b 2 2ab cos ˆ 3002 ‡ 100 6
p
aˆ2 2
3 ˆ 45
ˆ 60
4 ˆ 75
ˆ 60
5 ˆ 75
ˆ 45
bˆ4
p
aˆ4 3
6 ˆ 88
ˆ 33 20 0
c ˆ 172,78
7 ˆ 60 58 0
ˆ 82 40 0
a ˆ 7,6
8 ˆ 30 55 0
ˆ 76 20 0
b ˆ 28,6
9 ˆ 7 43 0
ˆ 15 13 0
c ˆ 53,94
10 ˆ 30 42 0
ˆ 113 18 0
c ˆ 13,9
‰ ˆ 75 ; b ˆ 3,46; c ˆ 3,86Š
‰ ˆ 45 ; a ˆ 5,46; c ˆ 4,90Š
‰ ˆ 60 ; b ˆ 9,46; c ˆ 8,49Š
‰ ˆ 58 40 0 ; a ˆ 314,23; b ˆ 268,57Š
‰ ˆ 36 22 0 ; b ˆ 5,2; c ˆ 8,7Š
‰ ˆ 72 45 0 ; a ˆ 15,39; c ˆ 29,10Š
‰ ˆ 157 4 0 ; a ˆ 156,53; b ˆ 105,44Š
‰a ˆ 12,07; b ˆ 21,72; ˆ 36 Š
Usando anche la calcolatrice scientifica, risolvi i seguenti triangoli dei quali sono note le misure di due
lati e dell'angolo fra essi compreso.
11
a ˆ 15
ˆ 72 20 0
b ˆ 18,4
In base al teorema di Carnot puoi scrivere:
c 2 ˆ a2 ‡ b 2
2ab cos cioeÁ
Dal teorema di Carnot puoi ricavare anche la misura dell'angolo : cos ˆ
da cui cos ˆ :::::::::: cioeÁ ˆ :::::::::
Allora ˆ ::::::::::
c ˆ ::::::::::::
a ‡ c 2 b2
2 ac
2
‰c ˆ 19,9; ˆ 45 54 0 20 00 ; ˆ 61 45 0 40 Š
12 b ˆ 14,9
c ˆ 11,1
ˆ 47 10 0
‰a ˆ 10,97; ˆ 84 55 0 38 00 ; ˆ 47 54 0 22 00 Š
13 b ˆ 42,21
c ˆ 18,96
ˆ 28 38 0
‰a ˆ 27,13; ˆ 131 48 0 16 00 ; ˆ 19 33 0 44 00 Š
14 b ˆ 12,9
a ˆ 24,31
ˆ 112 300
‰c ˆ 31,58; ˆ 45 19 0 44 00 ; ˆ 22 10 0 16 00 Š
15 b ˆ 2,85
a ˆ 1,54
ˆ 76 20 0
‰c ˆ 2,90; ˆ 31 2 0 37 00 ; ˆ 72 37 0 23 00 Š
16 a ˆ 15,46
c ˆ 20,45
ˆ 74 270
‰b ˆ 22,08; ˆ 42 24 0 36 00 ; ˆ 63 8 0 24 00 Š
17 a ˆ 8,5
c ˆ 11,2
ˆ 32 16 0
‰b ˆ 6,06; ˆ 48 30 0 53 00 ; ˆ 99 13 0 7 00 Š
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Usando anche la calcolatrice scientifica, risolvi i seguenti triangoli dei quali sono note le misure dei tre
lati.
18
a ˆ 10
b ˆ 15
cˆ8
Conoscendo b e c applicando il teorema di Carnot ricavi che:
cos ˆ ::::::::::
da cui
ˆ ::::::::::
Per determinare la misura di puoi ricorrere ancora al teorema di Carnot oppure usare il teorema dei
seni. Infine ˆ ::::::::::
‰ ˆ 38 2 0 51 00 ; ˆ 112 24 0 40; ˆ 29 32 0 29 Š
19 a ˆ 5,6
b ˆ 3,5
c ˆ 4,7
20 a ˆ 42
p
21 a ˆ 3
b ˆ 31
c ˆ 44,6
bˆ1
cˆ2
22 a ˆ 39,7
b ˆ 159
c ˆ 124,9
‰ ˆ 8 16 0 21 00 ; ˆ 144 48 0 24 00 ; ˆ 26 54 0 54 00 Š
23 a ˆ 91,3
b ˆ 73
c ˆ 89
‰ ˆ 67 46 0 40 00 ; ˆ 47 44 0 47 00 ; ˆ 64 28 0 33 00 Š
‰ ˆ 84 48 0 1100 ; ˆ 38 29 0 38 00 ; ˆ 56 42 0 11 00 Š
‰ ˆ 64 35 0 54 00 ; ˆ 41 48 0 57 00 ; ˆ 73 35 0 9 00 Š
‰ ˆ 60 ; ˆ 30 ; ˆ 90 Š
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