Misura indiretta del tempo di volo di un proiettile: simulazione sperimentale di una catapulta Introduzione Nell’ambito del progetto Scienza ed Arte, presentiamo in queste pagine la trattazione teorica e pratica delle prove di laboratorio effettuate per far conoscere agli studenti quali sono le leggi della fisica che si celano dietro i moti della meccanica classica e come si possa ottenere una misura del tempo a partire dalla rilevazione di altre grandezze più facili da misurare, nel nostro caso le distanze a cui cade un proiettile lanciato da una catapulta, le cui forze sono state simulate in classe utilizzando la forza di gravità. Simulazione della catapulta L’obiettivo della trattazione è quello di apprendere che anche alcuni tempi apparentemente imprevedibili a priori sono in realtà misurabili con semplici calcoli. L’idea è nata in classe quando ci si è posta la domanda: posso anche prevedere il tempo che ci metterà un sasso, un proiettile a cadere quando lo lancio con una catapulta? La risposta è “si”, se so calcolare la velocità con cui il mio proiettile lascia la catapulta. Essendo in questa macchina le reali forze in gioco un po’ complicate da trattare, abbiamo fatto una semplificazione sostituendo alla catapulta un piano inclinato in cui compare la sola forza peso costante che ci dà la possibilità di calcolare con buona approssimazione la velocità che ha una pallina quando arriva alla fine del piano inclinato. Anche per il piano inclinato ci siamo ingegnati a trovare una realizzazione che ci semplifichi un po’ la trattazione: abbiamo optato per un tubo (riciclato da avanzi di una ristrutturazione edile per dimostrare come qualsiasi oggetto apparentemente da buttare possa essere riutilizzato!) di plastica con una curva all’uscita in cui far scivolare una pallina di vetro. Descrizione dell’esperimento L’esperimento è semplice, si tratta di:
posizionare l’ingresso del tubo ad altezze differenti, misurando l’altezza e l’angolo di uscita del tubo con il terreno far scendere nel tubo biglie di differenti masse (vetro e acciaio) misurare la distanza a cui le biglie cadono verificare che l’ipotesi calcolata sulla gittata sia stata corretta ottenere infine il tempo impiegato dalla biglia nel suo volo Trattazione teorica La trattazione va divisa in due parti:
Trasformazione dell’energia potenziale in energia cinetica. Questa teoria ci permette di calcolare la velocità con cui la biglia lascia il tubo Balistica: come si calcolano la gittata e il tempo di volo conoscendo la velocità iniziale Energia cinetica e potenziale Faccio cadere una pallina in un tubo. Qual è la velocità all’uscita dal tubo? Ricordiamo brevemente alcuni concetti fisici: immaginiamo che un corpo sia inizialmente fermo a un'altezza h dal suolo e che venga lasciato cadere nel vuoto; prima che inizi a muoversi, la sua velocità e quindi la sua energia cinetica sono nulle mentre la sua energia potenziale è massima. Quando il corpo cade la sua energia cinetica aumenta e, corrispondentemente, diminuisce la sua energia potenziale; nel momento in cui il corpo tocca il suolo, la sua energia cinetica è massima, mentre la sua energia potenziale è nulla. Ciò che avviene è una trasformazione di energia potenziale in energia cinetica, tale per cui l'energia meccanica totale rimane costante. Il campo gravitazionale è conservativo, il lavoro non dipende dal percorso, quindi la differenza di energia iniziale e finale non dipende dal percorso, ma dalla differenza di quota tra la partenza e l’arrivo dello spostamento. La formula vale anche per il piano inclinato. La conservazione dell’energia meccanica ci dice quindi che: ½ mvfin2 ‐ ½ mvini2 = mgh m = massa pallina h = dislivello ingresso‐uscita tubo g = accelerazione di gravità vfin = velocità all’uscita del tubo vini = velocità all’ingresso del tubo, nulla se la pallina parte da ferma vfin = 2gh (nella seconda parte, la balistica, diventa v0) velocità iniziale proiettile Balistica La “Balistica” (dal verbo greco “ballizo” = “io lancio”, da cui deriva anche il termine balestra) è quella parte della fisica che studia il moto dei proiettili. Il proiettile lascia la canna all’istante t = 0 con una certa velocità v0 e da questo momento in poi, se si trascura la resistenza dell’aria (è il caso di proiettili “lenti”, come i proiettili lanciati dalla fionda o da una catapulta), agisce su esso solo la forza peso diretta come l’asse y e nessuna forza diretta come l’asse x. Quindi ad ogni istante t > 0 uso le formule del moto uniformemente accelerato per la componente in y e del moto rettilineo uniforme per la componente in x. Moto rettilineo uniforme: ∆v = 0, la velocità è costante ∆x = x ‐ x0 = v0∆t Che possiamo scrivere come: x(t) = v0t Moto rettilineo uniformemente accelerato: F = ma = m ∆v/∆t Semplificando la massa e moltiplicando per ∆t: ∆v = v ‐ v0 = a ∆t La stessa equazione possiamo scriverla anche come: v(t)= v0 + at se t=0 (istante iniziale) v(t)= v0 perché ∆t=0, quindi: v(0)= v0 Per la distanza percorsa si usa invece la formula (che per complessità non ricaveremo): ∆x = x ‐ x0 = ½ a ∆t2 + v∆t Scomponiamo la velocità iniziale nelle sue component in x (v0x) e y (v0y): Vy =0 V= V0x
t/2 t Quando la pallina esce dal tubo ha l’inclinazione del tubo e una velocità v0. Sulla pallina uscita agisce solo la forza di gravità che fa variare la componente verticale del vettore v secondo la legge del moto uniformemente accelerato. La componente orizzontale invece, non soggetta ad alcuna forza, segue la legge del moto rettilineo uniforme. Altre forze significative (trascuriamo gli attriti dell’aria) non intervengono. Componente x: ∆x = x ‐ x0 = v0x∆t con x0 = 0 se metto l’origine all’uscita del tubo, t0 = 0 allora ∆t = t. x = v0xt Componente y: ∆y = y ‐ y0 = ½ a ∆t2 + v∆t con a = ‐g, y0 = 0 se metto l’origine all’uscita del tubo, v = v0y , t0 = 0 allora ∆t = t. y = ‐ ½ g t2 + v0yt sostituisco t = x / v0x y = ‐ ½ g (x / v0x)2 + (v0y / v0x) x y = ‐ [g / (2v0x2)] x2 + (v0y / v0x) x Gittata (distanza a cui cade il proiettile): per ottenere y = 0 (la condizione per cui la biglia è al livello del terreno) ci sono due soluzioni x=0 (quando si stacca dal tubo) e x = (v0y / v0x) / [g / (2v0x2)] = 2 v0x v0y / g gittata Tempo di volo: Calcoliamo il tempo di volo fino ad altezza massima: vy (t/2) = v0y ‐ g t/2 ma ad altezza massima vy = 0, allora t = 2 v0y / g siccome le condizioni e le leggi del moto sono le stesse anche quando la pallina inizia a cadere il tempo per arrivare a terra sarà il doppio: t = 4 v0y / g tempo di volo Appendice matematica Per eseguire i calcoli con le formule finali ottenute dobbiamo calcolare v0x e v0y: v0x = v0 cos() v0y = v0 sin() sin() e cos() sono formule mtematiche che per praticità calcoleremo da tabelle pronte o con la calcolatrice una volta misurato l’angolo di uscita del tubo. Ricordiamo anche che g = 9.81 m/s2 Prove effettuate Prove con altezze diverse dell’ingresso del tubo (e quindi con angoli diversi di uscita) Prove con biglia di vetro e biglia di acciaio Prove con il tubo più corto Considerazioni finali LA PALLINA DI VETRO E QUELLA DI ACCIAIO LASCIATE CADERE DALLA STESSA ALTEZZA CADONO NELLO STESSO PUNTO E VOLANO PER LO STESSO TEMPO
