Ricordiamo che
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SULL'INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA Luciana Zuccheri Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste e-mail: [email protected] pagina web: http://www.dmi.units.it/~zuccheri/ PREMESSA Finalità dell'insegnamento della matematica è anche lo sviluppo dei processi di formalizzazione negli alunni, dalla classe prima alla classe quinta della scuola primaria. Dalle Indicazioni Nazionali per i Piani di Studio Personalizzati nella Scuola Primaria: "La Scuola Primaria promuove nei fanciulli e nelle fanciulle l’acquisizione di tutti i tipi di linguaggio e un primo livello di padronanza delle conoscenze e delle abilità, comprese quelle metodologiche di indagine aiutando il passaggio dal «sapere comune» al «sapere scientifico»". Ricordiamo ancora che: - Le Indicazioni Nazionali per i Piani di Studio Personalizzati nella Scuola Primaria esplicitano i livelli essenziali di prestazione a cui tutte le Scuole Primarie del Sistema Nazionale di Istruzione sono tenute per garantire il diritto personale, sociale e civile all’istruzione e alla formazione di qualità. - I docenti devono padroneggiare anche nei dettagli una mappa culturale, semantica e sintattica che essi devono mantenere certamente sempre viva ed aggiornata sul piano scientifico al fine di poterla poi tradurre in azione educativa e organizzazione didattica coerente ed efficace. La geometria è uno dei temi principali dei programmi di matematica del 1985 e rimane uno dei principali argomenti da affrontare nell’insegnamento elementare anche con la recente riforma. - Notare l’indicazione che segue ogni dichiarazione degli obiettivi specifici di apprendimento per le varie discipline: " Trasformare in competenze personali le seguenti conoscenze e abilità disciplinari:" Prof.ssa Luciana Zuccheri, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste/ Dal testo dei lucidi 1 OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO PER LA CLASSE PRIMA RIGUARDANTI LA GEOMETRIA Conoscenze Abilità Geometria - Collocazione di oggetti in un ambiente, - Localizzare oggetti nello spazio fisico, sia avendo come riferimento se stessi, rispetto a se stessi, sia rispetto ad altre persone o oggetti, usando termini adeguati persone, oggetti. - Osservazione ed analisi delle (sopra/sotto, davanti/dietro, dentro/fuori). caratteristiche (proprietà) di oggetti piani o - Eseguire un semplice percorso partendo dalla descrizione verbale o dal disegno e solidi. viceversa. - Mappe, piantine, orientamento. - Ritrovare un luogo attraverso una - Caselle ed incroci sul piano quadrettato. semplice mappa. - Individuare la posizione di caselle o incroci sul piano quadrettato. La misura - Riconoscimento di attributi di oggetti - Osservare oggetti e fenomeni, individuare (grandezze) misurabili (lunghezza, grandezze misurabili. - Compiere confronti diretti di grandezze. superficie, …). - Confronto diretto e indiretto di grandezze. - Effettuare misure (per esempio di passi, monete, quadretti,ecc.), con oggetti e strumenti elementari (ad esempio, la bottiglia, la tazza, ecc.). Introduzione al pensiero razionale (da - In situazioni concrete classificare oggetti coordinare con tutte le altre discipline) - Classificazione e confronto di oggetti fisici e simbolici (figure, numeri,…) in base ad una data proprietà. diversi tra loro. OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO PER LE CLASSI SECONDA E TERZA (I BIENNIO) RIGUARDANTI LA GEOMETRIA Conoscenze Abilità Geometria - Le principali figure geometriche del piano e dello spazio. - Rette incidenti, parallele, perpendicolari. - Introduzione del concetto di angolo a partire da contesti concreti. - Simmetrie di una figura. - Introduzione intuitiva del concetto di perimetro e area di figure piane e del concetto di volume di figure solide. - Concetto di scomponibilità di figure poligonali. - Costruire mediante modelli materiali, disegnare, denominare e descrivere alcune fondamentali figure geometriche del piano e dello spazio. - Descrivere gli elementi significativi di una figura ed identificare, se possibile, gli eventuali elementi di simmetria. - Individuare gli angoli in figure e contesti diversi. - Identificare il perimetro e l’area di una figura assegnata. La Misura - Lessico delle convenzionali. unità di misura più - Associare alle grandezze corrispondenti le unità di misura già note dal contesto Prof.ssa Luciana Zuccheri, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste/ Dal testo dei lucidi 2 - Sistema di misura. - Convenzionalità della misura. extrascolastico. - Effettuare misure dirette ed indirette di grandezze (lunghezze, tempi, …) ed esprimerle secondo unità di misura convenzionali e non convenzionali. - Esprimere misure utilizzando multipli e sottomultipli delle unità di misura. - Risolvere semplici problemi di calcolo con le misure (scelta delle grandezze da misurare, unità di misura, strategie operative). Introduzione al pensiero razionale (da coordinare con tutte le altre discipline) Linguaggio: le terminologie relative a numeri, Raccontare con parole appropriate figure e relazioni. (ancorché non specifiche) le esperienze fatte in diversi contesti, i percorsi di Analisi di analogie e differenze in contesti soluzione, le riflessioni e le conclusioni. diversi. - Acquisire la consapevolezza della diversità di significato tra termini usati nel linguaggio comune e quelli del linguaggio specifico. - In contesti vari individuare, descrivere e costruire relazioni significative, riconoscere analogie e differenze. OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO PER LE CLASSI QUARTA E QUINTA (II BIENNIO) RIGUARDANTI LA GEOMETRIA Conoscenze Geometria - Consolidamento, in maniera operativa, del concetto di angolo. - Analisi degli elementi significativi (lati, angoli, …) delle principali figure geometriche piane. - Denominazione di triangoli e quadrangoli con riferimento alle simmetrie presenti nelle figure, alla lunghezza dei lati e all’ampiezza degli angoli. - Concetto di isoperimetria e di equiestensione in contesti concreti. - Riconoscimento di simmetrie, rotazioni, traslazioni. Abilità - Usare, in contesti concreti, il concetto di angolo. - Esplorare modelli di figure geometriche; costruire e disegnare le principali figure geometriche esplorate. - Partendo da osservazioni materiali, riconoscere significative proprietà di alcune figure geometriche (es. figure isoperimetriche o equiestese) - Individuare simmetrie in oggetti o figure date, evidenziandone le caratteristiche. - Riconoscere figure ruotate o traslate di figure assegnate. - Operare concretamente con le figure effettuando trasformazioni assegnate. La Misura - Identificare vari e diversi attributi misurabili - Misurare lunghezze. di oggetti ed associarvi processi di - Determinare in casi semplici perimetri, aree e volumi delle figure geometriche misurazione, sistemi ed unità di misura. conosciute. - Comprendere la “convenienza” ad Prof.ssa Luciana Zuccheri, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste/ Dal testo dei lucidi 3 utilizzare unità di misura convenzionali e familiarizzare con il sistema metrico decimale. - In contesti significativi attuare semplici conversioni (equivalenze) tra un’unità di misura e un’altra (cm,metri; grammi,kg..). - Comprendere che le misure sono delle modellizzazioni approssimate e intuire come la scelta dell’unità di misura e dello strumento usato influiscano sulla precisione della misura stessa. - Ipotizzare quale unità di misura sia più adatta per misurare realtà diverse (la distanza Roma–NewYork, la circonferenza di un anello, la superficie di un campo da calcio, ecc.). Introduzione al pensiero razionale (da coordinare con tutte le altre discipline) - Lessico ed espressioni matematiche relative a numeri, figure, dati, relazioni, simboli, ecc. - Relazioni tra oggetti (classificare oggetti, figure, numeri, in base ad una/due o più proprietà date e viceversa, ordinare elementi in base ad una determinata caratteristica, riconoscere ordinamenti assegnati) e le loro rappresentazioni. - Utilizzare in modo consapevole i termini della matematica fin qui introdotti. - Verificare, attraverso esempi, una congettura formulata. - Classificare oggetti, figure, numeri, realizzando adeguate rappresentazioni. - In contesti diversi individuare, descrivere e costruire relazioni significative: analogie, differenze, regolarità. - Verificare, attraverso esempi, un’ipotesi formulata. - Partendo dall’analisi del testo di un problema, individuare le informazioni necessarie per raggiungere un obiettivo, organizzare un percorso di soluzione e realizzarlo. - Riflettere sul procedimento risolutivo seguito e confrontarlo con altre possibili soluzioni. Prof.ssa Luciana Zuccheri, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste/ Dal testo dei lucidi 4 IL PROCESSO DI FORMALIZZAZIONE IN GEOMETRIA: UN APPROCCIO STORICO La storia della matematica, e quindi quella della geometria, si perde nella notte dei tempi. Si può però ricordare che lo storico greco Erodoto (V sec. a.C.) afferma che la geometria nasce nell'antico Egitto con la misura dei terreni ("misura della terra") necessaria dopo le piene periodiche del Nilo, anche ai fini di stabilire l'importo dei tributi dovuti. Anche altri popoli si sono occupati di geometria (ad esempio i popoli che abitarono la Mesopotamia, detti genericamente "Babilonesi"). In questa prima fase furono prese in esame le figure geometriche elementari (triangolo, rettangolo, quadrato, poligoni, ... - ma quando nacquero?) e se ne osservarono numerose proprietà (probabilmente verificandole sperimentalmente solo con processi di misura). Pare che gli Egizi sapessero che un triangolo di lati 3,4,5 è rettangolo e che i Babilonesi sapessero trovare in modo generale terne di interi che possono essere usate come lati di triangoli rettangoli. Teorema di Pitagora: “In un qualsiasi triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”. Teorema inverso del Teorema di Pitagora: “Se in un triangolo si ha che il quadrato costruito su uno dei lati è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, allora il triangolo è rettangolo”. Gli Egizi e i Babilonesi conoscevano dunque il Teorema di Pitagora o il suo inverso? No, perché un enunciato diventa un teorema quando è dimostrabile all’interno di una teoria. Cosa vuol dire "dimostrare" (la verità di) una proposizione? Significa dedurla attraverso una catena di argomentazioni che utilizzano altri teoremi e gli assiomi (cioè i principi) della teoria stessa. Pare che, proprio andando alla ricerca di spiegazioni convincenti per dimostrare il Teorema di Pitagora, si sia costruito un po’ alla volta il sistema assiomatico euclideo. La creazione della teoria geometrica è avvenuta infatti in modo inverso a come essa si presenta attualmente: indagando su un problema complesso, i matematici hanno individuato un nucleo di proposizioni e di enti più semplici da prendere come base per il ragionamento (gli assiomi e gli enti fondamentali). La formalizzazione degli enti geometrici e delle loro proprietà è avvenuta nel mondo greco. Ciò che leggiamo negli Elementi di Geometria di Euclide (composti ad Alessandria d'Egitto nel III secolo a.C.) è il punto di arrivo degli studi e del processo di formalizzazione svolto dai matematici greci fino ad allora (ed è il punto di partenza per la matematica seguente...). Negli Elementi di Euclide non si fa riferimento diretto agli strumenti di disegno classici riga e compasso, ma essi pervadono tutta l'opera. Infatti, i postulati posti da Euclide alla base della sua teoria sono nati dalle regole del disegno geometrico. La formalizzazione dei Greci nacque presumibilmente dall'attività del disegno geometrico con riga e compasso e dall'abitudine di ragionare sulle base di tali disegni, ma astraendo sempre di più le proprietà delle figure e ragionando sulle relazioni intercorrenti tra le parti di una figura piuttosto che sulla figura concretamente disegnata. Che conseguenze si possono trarre dal punto di vista didattico? a Il primo approccio alle figure geometriche deve avvenire in modo diretto e solo in seguito se ne osserveranno le proprietà. Prof.ssa Luciana Zuccheri, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste/ Dal testo dei lucidi 5 b La matematica deve essere appresa dai bambini con un processo costruttivo e non attraverso l’applicazione di regole imposte dall’insegnante. c L’attività del disegno geometrico è molto importante per la formazione dei concetti geometrici e per l’apprendimento della geometria. d Il disegno è una forma di rappresentazione e quindi porta l’allievo ad un livello più astratto, rispetto alla manipolazione di oggetti concreti, utile in una fase di primo approccio. e Disegnare figure e ragionare su di esse porta in modo naturale a pensare in modo astratto, ragionando sulle relazioni intercorrenti tra le varie parti della figura e generalizzandole. IMPORTANZA DELLE COSTRUZIONI CON RIGA E COMPASSO L’uso degli strumenti riga e compasso attualmente è stato rilanciato attraverso "software di geometria dinamica”. Prima di passare al computer, però, è necessaria una fase di utilizzo di tali strumenti. Gli antichi Greci utilizzavano la riga e il compasso per fare costruzioni geometriche e, in un certo senso, anche come strumenti di calcolo per risolvere numerosi problemi. Si possono risolvere con riga e compasso tutti i problemi geometrici? La risposta è no. a La spiegazione di ciò si può dare grazie alla stretta correlazione che si può stabilire tra i punti del piano e i numeri reali, ad esempio con un sistema di coordinate cartesiane. b A cominciare dagli antichi Greci, molti matematici tentarono di risolvere con riga e compasso tre problemi famosi: la duplicazione del cubo (=determinare un cubo di volume doppio di un cubo assegnato), la trisezione dell'angolo (=dividere in tre parti uguali qualunque angolo) e la quadratura del cerchio (= trovare un quadrato di area pari a quella di un cerchio dato). c Soltanto nel XIX secolo si dimostrò che è impossibile risolvere questi problemi con riga e compasso. I tentativi effettuati per risolvere questi problemi non furono inutili, anzi contribuirono alla sviluppo della matematica, aprendo nuovi campi di ricerca. Postulati di Euclide (I libro degli Elementi) I. Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. II. E che una retta (=linea rettilinea) terminata (=finita) si possa prolungare continuamente in linea retta. III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza (=raggio). IV. E che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro. V. E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti (= tali che la loro somma sia minore di due retti), le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti (=la cui somma è minore di due retti). Il linguaggio usato è diverso da quello attuale e quindi può risultare difficile. I postulati di Euclide stabiliscono delle regole di disegno geometrico che tutti riteniamo evidenti finchè il disegno rimane all’interno del foglio, e che si vuole estendere nel caso di figure inaccessibili e anche quando si vuole passare dal concreto (le figure geometriche disegnate sul foglio) all’astratto (le figure geometriche astratte). I primi due postulati stabiliscono come si deve usare la riga: solo per congiungere due punti e per prolungare da entrambe le parti in linea retta un qualsiasi segmento. Essi però descrivono anche la retta di Euclide come ente geometrico. Il postulato I afferma Prof.ssa Luciana Zuccheri, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste/ Dal testo dei lucidi 6 in pratica che per due punti distinti passa una e una sola retta (all’epoca di Euclide “una retta” voleva dire ”una sola retta”). Il postulato II afferma che la retta è pensata da Euclide infinita da entrambe le parti, ma in senso potenziale. Il terzo postulato riguarda l’uso del compasso e lo idealizza: con qualunque raggio, anche molto grande, si può immaginare di disegnare un cerchio. Con ciò si intende che, dato un punto O e un punto A, si può tracciare il cerchio di centro O passante per A (quindi di raggio = OA), e che tale cerchio è unico. Definizione di cerchio di Euclide : “Cerchio è una figura piana compresa da un’unica linea (=la circonferenza) tale che tutte le rette (=i raggi) che cadano su tale linea a partire da un punto (=il centro) fra quelli che giacciono internamente alla figura sono uguali tra loro”. Il quarto postulato non sembrerà strano se si pensa ad un altro problema pratico: per innalzare verticalmente un muro, fin dai tempi più antichi i muratori usavano il sistema del “filo a piombo”, col quale si ottiene in modo immediato una direzione perpendicolare a un piano orizzontale. Definizione di angolo retto che dà Euclide: “Quando una retta innalzata su una altra retta forma gli angoli adiacenti tra loro uguali, ciascuno dei due angoli è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata”. Non sembra di vedere il filo a piombo? (Basta mettere il foglio da disegno in verticale, come la lavagna…). Col quarto postulato Euclide sottolinea che dobbiamo ammettere che se cambiamo retta o punto dal quale si innalza la perpendicolare, gli angoli retti così ottenuti saranno uguali a quelli ottenuti prima. Il V postulato è espresso in modo piuttosto contorto, ma esprime un fatto che si capisce molto bene quando si provi a disegnare due rette che, tagliate da una trasversale, formano angoli coniugati interni la cui somma sia, da una parte, minore di un angolo piatto (due angoli retti = un angolo piatto; per Euclide l’angolo che noi chiamiamo angolo piatto non era un angolo) Tali rette si intersecano, proprio da quella parte, e quindi non sono parallele. Definizione di rette parallele di Euclide: “Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti”. Il postulato V ha avuto una lunga storia. Per molti secoli si cercò di dimostrarlo in base agli altri o, per lo meno, di sostituirlo con un altro più breve e più “evidente”. La versione attualmente più in uso è quella dovuta al matematico Playfair (1748-1819, matematico scozzese) : “Per un punto non appartenente ad una retta data non è possibile tracciare più di una parallela alla retta data”. Che conseguenze si possono trarre dal punto di vista didattico? a Risalire alle origini storiche dei concetti serve anche a capire con quali difficoltà essi si siano sviluppati e quali difficoltà di comprensione possano tuttora generare nei bambini. b Anche i bambini partono da esperienze concrete. Per la geometria, partono proprio dalle esperienze spaziali e dal disegno. L’infinito viene compreso facilmente solo in senso potenziale: i numeri sono infiniti perchè non c’è motivo di smettere di contare, la retta è infinita perché possiamo immaginare di aggiungere sempre un pezzo di foglio e di continuare a disegnare… c Attenzione però! Se ci guardiamo attorno con occhi troppo “realistici” rischiamo di fuorviare l’immaginazione matematica. Infatti la geometria euclidea è solo una prima descrizione del mondo fisico: noi viviamo sulla Terra, che è di forma quasi sferica, quindi il piano su cui valgono le considerazioni di Euclide è una piccolissima porzione dello spazio che ci sta intorno… Prof.ssa Luciana Zuccheri, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste/ Dal testo dei lucidi 7 BIBLIOGRAFIA PER APPROFONDIMENTI O CONSULTAZIONE − BARUK S., 1992, ed.it. 1999 (a cura di SPERANZA F. e GRUGNETTI L.), Dizionario di matematica elementare, Zanichelli, Bologna − BOYER C.B., 1968, Storia della matematica, ed. Mondadori − KLINE M., 1972, Storia del pensiero matematico, vol. I (cap. I, II, III) ed. Einaudi − ZUCCHERI L., Corso di Matematica1, Appunti del corso di Matematica 1, a.a. 2003/04, Edizioni Goliardiche Prof.ssa Luciana Zuccheri, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste/ Dal testo dei lucidi 8
