Ricordiamo che

SULL'INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA
Luciana Zuccheri
Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste
e-mail: [email protected]
pagina web: http://www.dmi.units.it/~zuccheri/
PREMESSA
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Finalità dell'insegnamento della matematica è anche lo sviluppo dei processi di
formalizzazione negli alunni, dalla classe prima alla classe quinta della scuola primaria.
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Dalle Indicazioni Nazionali per i Piani di Studio Personalizzati nella Scuola Primaria:
"La Scuola Primaria promuove nei fanciulli e nelle fanciulle l’acquisizione di tutti i tipi di
linguaggio e un primo livello di padronanza delle conoscenze e delle abilità, comprese quelle
metodologiche di indagine aiutando il passaggio dal «sapere comune» al «sapere
scientifico»".
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Ricordiamo ancora che:
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Le Indicazioni Nazionali per i Piani di Studio Personalizzati nella Scuola Primaria
esplicitano i livelli essenziali di prestazione a cui tutte le Scuole Primarie del Sistema
Nazionale di Istruzione sono tenute per garantire il diritto personale, sociale e civile
all’istruzione e alla formazione di qualità.
-
I docenti devono padroneggiare anche nei dettagli una mappa culturale, semantica e
sintattica che essi devono mantenere certamente sempre viva ed aggiornata sul piano
scientifico al fine di poterla poi tradurre in azione educativa e organizzazione didattica
coerente ed efficace.
La geometria è uno dei temi principali dei programmi di matematica del 1985 e rimane
uno dei principali argomenti da affrontare nell’insegnamento elementare anche con la
recente riforma.
-
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Notare l’indicazione che segue ogni dichiarazione degli obiettivi specifici di apprendimento
per le varie discipline:
" Trasformare in competenze personali
le seguenti conoscenze e abilità disciplinari:"
Prof.ssa Luciana Zuccheri, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Trieste/ Dal testo dei lucidi
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OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO PER LA CLASSE PRIMA
RIGUARDANTI LA GEOMETRIA
Conoscenze
Abilità
Geometria
- Collocazione di oggetti in un ambiente, - Localizzare oggetti nello spazio fisico, sia
avendo come riferimento se stessi, rispetto a se stessi, sia rispetto ad altre
persone o oggetti, usando termini adeguati
persone, oggetti.
- Osservazione
ed
analisi
delle (sopra/sotto, davanti/dietro, dentro/fuori).
caratteristiche (proprietà) di oggetti piani o - Eseguire un semplice percorso partendo
dalla descrizione verbale o dal disegno e
solidi.
viceversa.
- Mappe, piantine, orientamento.
- Ritrovare un luogo attraverso una
- Caselle ed incroci sul piano quadrettato.
semplice mappa.
- Individuare la posizione di caselle o incroci
sul piano quadrettato.
La misura
- Riconoscimento di attributi di oggetti - Osservare oggetti e fenomeni, individuare
(grandezze)
misurabili
(lunghezza, grandezze misurabili.
- Compiere confronti diretti di grandezze.
superficie, …).
- Confronto diretto e indiretto di grandezze. - Effettuare misure (per esempio di passi,
monete, quadretti,ecc.), con oggetti e
strumenti elementari (ad esempio, la
bottiglia, la tazza, ecc.).
Introduzione al pensiero razionale (da
- In situazioni concrete classificare oggetti
coordinare con tutte le altre discipline)
- Classificazione e confronto di oggetti fisici e simbolici (figure, numeri,…) in base
ad una data proprietà.
diversi tra loro.
OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO PER LE CLASSI SECONDA E TERZA (I
BIENNIO) RIGUARDANTI LA GEOMETRIA
Conoscenze
Abilità
Geometria
- Le principali figure geometriche del piano e
dello spazio.
- Rette incidenti, parallele, perpendicolari.
- Introduzione del concetto di angolo a partire
da contesti concreti.
- Simmetrie di una figura.
- Introduzione intuitiva del concetto di
perimetro e area di figure piane e del
concetto di volume di figure solide.
- Concetto di scomponibilità di figure
poligonali.
- Costruire
mediante
modelli
materiali,
disegnare, denominare e descrivere alcune
fondamentali figure geometriche del piano e
dello spazio.
- Descrivere gli elementi significativi di una
figura ed identificare, se possibile, gli
eventuali elementi di simmetria.
- Individuare gli angoli in figure e contesti
diversi.
- Identificare il perimetro e l’area di una figura
assegnata.
La Misura
- Lessico delle
convenzionali.
unità
di
misura
più - Associare alle grandezze corrispondenti le
unità di misura già note dal contesto
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- Sistema di misura.
- Convenzionalità della misura.
extrascolastico.
- Effettuare misure dirette ed indirette di
grandezze (lunghezze, tempi, …) ed
esprimerle secondo unità di misura
convenzionali e non convenzionali.
- Esprimere misure utilizzando multipli e
sottomultipli delle unità di misura.
- Risolvere semplici problemi di calcolo con le
misure (scelta delle grandezze da misurare,
unità di misura, strategie operative).
Introduzione al pensiero razionale (da
coordinare con tutte le altre discipline)
ƒ Linguaggio: le terminologie relative a numeri, ƒ Raccontare
con
parole
appropriate
figure e relazioni.
(ancorché non specifiche) le esperienze
fatte in diversi contesti, i percorsi di
ƒ Analisi di analogie e differenze in contesti
soluzione, le riflessioni e le conclusioni.
diversi.
- Acquisire la consapevolezza della diversità
di significato tra termini usati nel linguaggio
comune e quelli del linguaggio specifico.
- In contesti vari individuare, descrivere e
costruire relazioni significative, riconoscere
analogie e differenze.
OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO PER LE CLASSI QUARTA E QUINTA (II
BIENNIO) RIGUARDANTI LA GEOMETRIA
Conoscenze
Geometria
- Consolidamento, in maniera operativa, del
concetto di angolo.
- Analisi degli elementi significativi (lati,
angoli,
…)
delle
principali
figure
geometriche piane.
- Denominazione di triangoli e quadrangoli
con riferimento alle simmetrie presenti
nelle figure, alla lunghezza dei lati e
all’ampiezza degli angoli.
- Concetto
di
isoperimetria
e
di
equiestensione in contesti concreti.
- Riconoscimento di simmetrie, rotazioni,
traslazioni.
Abilità
- Usare, in contesti concreti, il concetto di
angolo.
- Esplorare modelli di figure geometriche;
costruire e disegnare le principali figure
geometriche esplorate.
- Partendo da osservazioni materiali,
riconoscere significative proprietà di
alcune figure geometriche (es. figure
isoperimetriche o equiestese)
- Individuare simmetrie in oggetti o figure
date, evidenziandone le caratteristiche.
- Riconoscere figure ruotate o traslate di
figure assegnate.
- Operare concretamente con le figure
effettuando trasformazioni assegnate.
La Misura
- Identificare vari e diversi attributi misurabili - Misurare lunghezze.
di oggetti ed associarvi processi di - Determinare in casi semplici perimetri,
aree e volumi delle figure geometriche
misurazione, sistemi ed unità di misura.
conosciute.
- Comprendere
la
“convenienza”
ad
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utilizzare unità di misura convenzionali e
familiarizzare con il sistema metrico
decimale.
- In contesti significativi attuare semplici
conversioni (equivalenze) tra un’unità di
misura e un’altra (cm,metri; grammi,kg..).
- Comprendere che le misure sono delle
modellizzazioni approssimate e intuire
come la scelta dell’unità di misura e dello
strumento
usato
influiscano
sulla
precisione della misura stessa.
- Ipotizzare quale unità di misura sia più
adatta per misurare realtà diverse (la
distanza Roma–NewYork, la circonferenza
di un anello, la superficie di un campo da
calcio, ecc.).
Introduzione al pensiero razionale (da
coordinare con tutte le altre discipline)
- Lessico ed espressioni matematiche
relative a numeri, figure, dati, relazioni,
simboli, ecc.
- Relazioni tra oggetti (classificare oggetti,
figure, numeri, in base ad una/due o più
proprietà date e viceversa, ordinare
elementi in base ad una determinata
caratteristica, riconoscere ordinamenti
assegnati) e le loro rappresentazioni.
- Utilizzare in modo consapevole i termini
della matematica fin qui introdotti.
- Verificare,
attraverso
esempi,
una
congettura formulata.
- Classificare oggetti, figure, numeri,
realizzando adeguate rappresentazioni.
- In contesti diversi individuare, descrivere e
costruire relazioni significative: analogie,
differenze, regolarità.
- Verificare, attraverso esempi, un’ipotesi
formulata.
- Partendo dall’analisi del testo di un
problema, individuare le informazioni
necessarie per raggiungere un obiettivo,
organizzare un percorso di soluzione e
realizzarlo.
- Riflettere sul procedimento risolutivo
seguito e confrontarlo con altre possibili
soluzioni.
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IL PROCESSO DI FORMALIZZAZIONE IN GEOMETRIA:
UN APPROCCIO STORICO
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La storia della matematica, e quindi quella della geometria, si perde nella notte dei tempi.
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Si può però ricordare che lo storico greco Erodoto (V sec. a.C.) afferma che la geometria
nasce nell'antico Egitto con la misura dei terreni ("misura della terra") necessaria dopo le
piene periodiche del Nilo, anche ai fini di stabilire l'importo dei tributi dovuti.
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Anche altri popoli si sono occupati di geometria (ad esempio i popoli che abitarono la
Mesopotamia, detti genericamente "Babilonesi").
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In questa prima fase furono prese in esame le figure geometriche elementari (triangolo,
rettangolo, quadrato, poligoni, ... - ma quando nacquero?) e se ne osservarono numerose
proprietà (probabilmente verificandole sperimentalmente solo con processi di misura).
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Pare che gli Egizi sapessero che un triangolo di lati 3,4,5 è rettangolo e che i Babilonesi
sapessero trovare in modo generale terne di interi che possono essere usate come lati di
triangoli rettangoli.
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Teorema di Pitagora: “In un qualsiasi triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa
è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”.
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Teorema inverso del Teorema di Pitagora: “Se in un triangolo si ha che il quadrato costruito
su uno dei lati è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati, allora il
triangolo è rettangolo”.
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Gli Egizi e i Babilonesi conoscevano dunque il Teorema di Pitagora o il suo inverso? No,
perché un enunciato diventa un teorema quando è dimostrabile all’interno di una teoria.
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Cosa vuol dire "dimostrare" (la verità di) una proposizione? Significa dedurla attraverso una
catena di argomentazioni che utilizzano altri teoremi e gli assiomi (cioè i principi) della teoria
stessa.
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Pare che, proprio andando alla ricerca di spiegazioni convincenti per dimostrare il Teorema
di Pitagora, si sia costruito un po’ alla volta il sistema assiomatico euclideo.
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La creazione della teoria geometrica è avvenuta infatti in modo inverso a come essa si
presenta attualmente: indagando su un problema complesso, i matematici hanno individuato
un nucleo di proposizioni e di enti più semplici da prendere come base per il ragionamento
(gli assiomi e gli enti fondamentali).
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La formalizzazione degli enti geometrici e delle loro proprietà è avvenuta nel mondo greco.
Ciò che leggiamo negli Elementi di Geometria di Euclide (composti ad Alessandria d'Egitto
nel III secolo a.C.) è il punto di arrivo degli studi e del processo di formalizzazione svolto dai
matematici greci fino ad allora (ed è il punto di partenza per la matematica seguente...).
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Negli Elementi di Euclide non si fa riferimento diretto agli strumenti di disegno classici riga e
compasso, ma essi pervadono tutta l'opera. Infatti, i postulati posti da Euclide alla base della
sua teoria sono nati dalle regole del disegno geometrico.
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La formalizzazione dei Greci nacque presumibilmente dall'attività del disegno geometrico
con riga e compasso e dall'abitudine di ragionare sulle base di tali disegni, ma astraendo
sempre di più le proprietà delle figure e ragionando sulle relazioni intercorrenti tra le parti di
una figura piuttosto che sulla figura concretamente disegnata.
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Che conseguenze si possono trarre dal punto di vista didattico?
a Il primo approccio alle figure geometriche deve avvenire in modo diretto e solo in seguito
se ne osserveranno le proprietà.
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b La matematica deve essere appresa dai bambini con un processo costruttivo e non
attraverso l’applicazione di regole imposte dall’insegnante.
c
L’attività del disegno geometrico è molto importante per la formazione dei concetti
geometrici e per l’apprendimento della geometria.
d Il disegno è una forma di rappresentazione e quindi porta l’allievo ad un livello più
astratto, rispetto alla manipolazione di oggetti concreti, utile in una fase di primo
approccio.
e Disegnare figure e ragionare su di esse porta in modo naturale a pensare in modo
astratto, ragionando sulle relazioni intercorrenti tra le varie parti della figura e
generalizzandole.
IMPORTANZA DELLE COSTRUZIONI CON RIGA E COMPASSO
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L’uso degli strumenti riga e compasso attualmente è stato rilanciato attraverso "software di
geometria dinamica”. Prima di passare al computer, però, è necessaria una fase di utilizzo di
tali strumenti.
ƒ
Gli antichi Greci utilizzavano la riga e il compasso per fare costruzioni geometriche e, in un
certo senso, anche come strumenti di calcolo per risolvere numerosi problemi.
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Si possono risolvere con riga e compasso tutti i problemi geometrici? La risposta è no.
a La spiegazione di ciò si può dare grazie alla stretta correlazione che si può stabilire tra i
punti del piano e i numeri reali, ad esempio con un sistema di coordinate cartesiane.
b A cominciare dagli antichi Greci, molti matematici tentarono di risolvere con riga e
compasso tre problemi famosi: la duplicazione del cubo (=determinare un cubo di volume
doppio di un cubo assegnato), la trisezione dell'angolo (=dividere in tre parti uguali
qualunque angolo) e la quadratura del cerchio (= trovare un quadrato di area pari a
quella di un cerchio dato).
c Soltanto nel XIX secolo si dimostrò che è impossibile risolvere questi problemi con riga e
compasso. I tentativi effettuati per risolvere questi problemi non furono inutili, anzi
contribuirono alla sviluppo della matematica, aprendo nuovi campi di ricerca.
ƒ
Postulati di Euclide (I libro degli Elementi)
I.
Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni
altro punto.
II.
E che una retta (=linea rettilinea) terminata (=finita) si possa prolungare
continuamente in linea retta.
III.
E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza (=raggio).
IV.
E che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro.
V.
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E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla
stessa parte minori di due retti (= tali che la loro somma sia minore di due retti), le due
rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli
angoli minori di due retti (=la cui somma è minore di due retti).
Il linguaggio usato è diverso da quello attuale e quindi può risultare difficile.
I postulati di Euclide stabiliscono delle regole di disegno geometrico che tutti riteniamo
evidenti finchè il disegno rimane all’interno del foglio, e che si vuole estendere nel caso di
figure inaccessibili e anche quando si vuole passare dal concreto (le figure geometriche
disegnate sul foglio) all’astratto (le figure geometriche astratte).
I primi due postulati stabiliscono come si deve usare la riga: solo per congiungere due punti
e per prolungare da entrambe le parti in linea retta un qualsiasi segmento.
Essi però descrivono anche la retta di Euclide come ente geometrico. Il postulato I afferma
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in pratica che per due punti distinti passa una e una sola retta (all’epoca di Euclide “una
retta” voleva dire ”una sola retta”). Il postulato II afferma che la retta è pensata da Euclide
infinita da entrambe le parti, ma in senso potenziale.
Il terzo postulato riguarda l’uso del compasso e lo idealizza: con qualunque raggio, anche
molto grande, si può immaginare di disegnare un cerchio. Con ciò si intende che, dato un
punto O e un punto A, si può tracciare il cerchio di centro O passante per A (quindi di raggio
= OA), e che tale cerchio è unico.
Definizione di cerchio di Euclide : “Cerchio è una figura piana compresa da un’unica linea
(=la circonferenza) tale che tutte le rette (=i raggi) che cadano su tale linea a partire da un
punto (=il centro) fra quelli che giacciono internamente alla figura sono uguali tra loro”.
Il quarto postulato non sembrerà strano se si pensa ad un altro problema pratico: per
innalzare verticalmente un muro, fin dai tempi più antichi i muratori usavano il sistema del
“filo a piombo”, col quale si ottiene in modo immediato una direzione perpendicolare a un
piano orizzontale.
ƒ
Definizione di angolo retto che dà Euclide: “Quando una retta innalzata su una altra retta
forma gli angoli adiacenti tra loro uguali, ciascuno dei due angoli è retto, e la retta innalzata
si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata”. Non sembra di vedere il filo a piombo?
(Basta mettere il foglio da disegno in verticale, come la lavagna…).
ƒ
Col quarto postulato Euclide sottolinea che dobbiamo ammettere che se cambiamo retta o
punto dal quale si innalza la perpendicolare, gli angoli retti così ottenuti saranno uguali a
quelli ottenuti prima.
Il V postulato è espresso in modo piuttosto contorto, ma esprime un fatto che si capisce
molto bene quando si provi a disegnare due rette che, tagliate da una trasversale, formano
angoli coniugati interni la cui somma sia, da una parte, minore di un angolo piatto (due
angoli retti = un angolo piatto; per Euclide l’angolo che noi chiamiamo angolo piatto non era
un angolo)
Tali rette si intersecano, proprio da quella parte, e quindi non sono parallele.
Definizione di rette parallele di Euclide: “Parallele sono quelle rette che, essendo nello
stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si
incontrano fra loro da nessuna delle due parti”.
Il postulato V ha avuto una lunga storia. Per molti secoli si cercò di dimostrarlo in base agli
altri o, per lo meno, di sostituirlo con un altro più breve e più “evidente”. La versione
attualmente più in uso è quella dovuta al matematico Playfair (1748-1819, matematico
scozzese) : “Per un punto non appartenente ad una retta data non è possibile tracciare più
di una parallela alla retta data”.
ƒ
ƒ
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ƒ
Che conseguenze si possono trarre dal punto di vista didattico?
a Risalire alle origini storiche dei concetti serve anche a capire con quali difficoltà essi si
siano sviluppati e quali difficoltà di comprensione possano tuttora generare nei bambini.
b Anche i bambini partono da esperienze concrete. Per la geometria, partono proprio dalle
esperienze spaziali e dal disegno. L’infinito viene compreso facilmente solo in senso
potenziale: i numeri sono infiniti perchè non c’è motivo di smettere di contare, la retta è
infinita perché possiamo immaginare di aggiungere sempre un pezzo di foglio e di
continuare a disegnare…
c
Attenzione però! Se ci guardiamo attorno con occhi troppo “realistici” rischiamo di
fuorviare l’immaginazione matematica. Infatti la geometria euclidea è solo una prima
descrizione del mondo fisico: noi viviamo sulla Terra, che è di forma quasi sferica, quindi
il piano su cui valgono le considerazioni di Euclide è una piccolissima porzione dello
spazio che ci sta intorno…
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BIBLIOGRAFIA PER APPROFONDIMENTI O CONSULTAZIONE
− BARUK S., 1992, ed.it. 1999 (a cura di SPERANZA F. e GRUGNETTI L.), Dizionario di matematica
elementare, Zanichelli, Bologna
− BOYER C.B., 1968, Storia della matematica, ed. Mondadori
− KLINE M., 1972, Storia del pensiero matematico, vol. I (cap. I, II, III) ed. Einaudi
− ZUCCHERI L., Corso di Matematica1, Appunti del corso di Matematica 1, a.a. 2003/04, Edizioni
Goliardiche
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