L2.mat, punto di formazione per Matematica e Fisica Parallelogrammi e teorema di Talete Problema Si consideri il parallelogramma ABCD e sano E ed F i punti medi rispettivamente dei lati AB, CD. Congiungere A con F e C con E; tracciare la diagonale BD. Siano G ed H rispettivamente i punti di intersezione di AF e CE con BD. 1. Dimostrare che i segmenti DG, GH, HB sono congruenti. 2. Dimostrare che EF taglia GH nel suo punto medio. Dimostrazione 1. Facciamo riferimento alla Figura 1. a) Ricordiamo che in un parallelogramma i lati opposti sono congruenti, quindi ABDC. b) Poiché E ed F sono punti medi dei lati AB, CD, risultano anche congruenti i segmenti AE, EB, CF, FD perché E ed F sono punti medi di AB e CD. c) Il quadrilatero AECF avendo i lati opposti AE, CF paralleli e congruenti è un parallelogramma. Figura 1 d) Consideriamo il fascio di rette parallele individuato dalle rette dei segmenti AF, CE tagliato dalle rette trasversali AB e BD. Poiché AEEB, per il teorema di Talete, saranno congruenti tra loro i segmenti GH, HB sulla seconda trasversale: GHHB. e) Consideriamo ora come trasversali dello stesso fascio di rette parallele la retta della diagonale BD e la retta del lato CD. Poiché sono congruenti i segmenti CF, DF, saranno congruenti, sempre per il teorema di Talete, i segmenti corrispondenti HG, GD sulla seconda trasversale: HG GD. f) Dal confronto delle congruenze GHHB, HG GD deduciamo la congruenza dei tre segmenti DG, GH, HB. 2. Facciamo riferimento alla Figura 2 a) Vogliamo provare che il quadrilatero EHFG è un parallelogramma. b) Nel precedente punto 1.c) abbiamo precisato che AF//EC, dunque GF//EH. Proviamo che risulta anche GFEH, dopo di che potremo affermare che il quadrilatero EHFG è un parallelogramma per avere due lati opposti paralleli e congruenti. Consideriamo la coppia di triangoli Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it Figura 2 Pagina 1 L2.mat, punto di formazione per Matematica e Fisica EBH, DGF ed osserviamo che hanno EBDF, HBDG e gli angoli EBH , GDF congruenti perché coppia di angoli alterni interni rispetto alle parallele AB, DC tagliate dalla trasversale BD. I due triangoli sono congruenti per il primo criterio, perciò risulta anche EHGF. c) Osserviamo ora che nel parallelogramma EHFG le diagonali sono EF e GH ed esse si tagliano scambievolmente nel loro punto medio O. Quindi EF divide GH in due parti congruenti. La tesi è acquisita. Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it Pagina 2