Integrali

Integrali indefiniti
fondamentali
Integrali indefiniti riconducibili a quelli
immediati
 f '( x)dx  f ( x)  c
 f '( x)dx  f ( x)  c
 a dx  ax  c

f ' ( x)
dx  ln f ( x)  c
f ( x)

f n ( x )  f '( x )dx 
x n1
 c con n  -1
n 1
n
 x dx 
x
 a dx 
ax
c
log e a
kx
 e dx 
ekx
c
k
x
 e dx  e
x
 f '( x)  sen f ( x)dx   cos f ( x)  c
 f ' ( x)  cos f ( x)dx  senf ( x)  c
f ' ( x)
dx  tgf ( x )  c
2
f ( x)
 cos
c
f ' ( x)
dx  ctgf ( x)  c
2
f ( x)
1
 x dx  log x  c
 sen
 senxdx   cos x  c

 cos xdx  senx  c
f ' ( x)
1   f ( x) 
2
f ' ( x)
 senhxdx  cosh x  c
 1   f ( x )
 cosh xdx  senhx  c

2
1
 1  tg x  dx   cos
2
2
x


dx
1  x2
dx
 1 x
2

 arcsenx  c
 arctgx  c
dx  arcsenf ( x)  c
dx  arctgf ( x)  c
arcsen f ( x )  c
dx  
1  f 2 ( x)
 arccos f ( x )  c
f '( x )
dx  tgx  c
1
1  ctg x dx  
dx  ctgx  c
sen 2 x
2
f n1 ( x )
c
n 1
 f ' ( x)  e
a
f ( x)
f ( x)
dx  e f ( x )  c
 f '( x )dx 
1 f (x)
a
c
ln a
Integrali notevoli
L’Integrale indefinito e METODI
Il concetto di integrale
Il problema che conduce all’introduzione del concetto di integrale nasce dal seguente
quesito: se conosciamo la derivata di una certa funzione f, come possiamo trovare
l’espressione analitica di f ?
Consideriamo, a tal fine, una funzione f (x ) che in ogni punto di un intervallo [a, b] sia
la derivata di una certa funzione F (x) .
Si dice che F (x) è una funzione primitiva di f (x ) .
Per esempio:

La funzione F ( x )  senx è una primitiva di f ( x )  cos x , poiché è: Dsenx  cos x ;

La funzione F ( x )  x è una primitiva di f ( x ) 

La funzione F ( x)  ln x è una primitiva di f ( x) 
1
2 x
, poiché è: D x 
1
2 x
;
1
1
, poiché è: D ln x  .
x
x
Si dimostra che:
Tutte le funzioni che hanno per derivata f (x ) si ottengono dalla formula:
F ( x)  c ,
attribuendo alla costante c un qualunque valore reale.
L’insieme di tutte le primitive di una data funzione f (x ) (che, come è facile intuire,
sono infinite) si chiama integrale indefinito e si indica con il simbolo:
 f ( x)dx ,
che si legge “integrale indefinito di f (x ) in dx ”.
Il simbolo  indica l’operazione di integrazione, cioè l’operazione che data una
funzione f (x ) consente di determinare la sua primitiva; la funzione f (x ) si dice funzione
integranda ed il simbolo dx indica la variabile rispetto alla quale si esegue l’operazione di
integrazione.
Da quanto detto sopra segue che l’integrazione indefinita è l’operazione inversa
della derivazione.
Pertanto, le regole di derivazione, lette da sinistra vero destra, forniscono le regole di
integrazione indefinita immediate.
Per esempio:
1 n1
x c,
n 1

x
n

x
1

 senxdx   cos x  c ;

 cos xdx  senx  c ;

 cos

 sen x  ctgx  c ;



 1 x

a
dx 
se n  1 ;
1
dx   dx  ln x  c
x
1
2
 tgx  c ;
x
1
2
1
dx  arcsenx  c ;
1 x2
1
x
2
dx  arctgx  c ;
dx 
1 x
a c
ln a
in particolare
x
 e dx  e
x
c;
e così via …
Le proprietà degli integrali indefiniti
Per l’operazione di integrazione, valgono le seguenti proprietà:

L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto
della costante per l’integrale della funzione:
 k  f ( x)dx k  f ( x)dx

con
k .
L’integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma
algebrica degli integrali delle singole funzioni:
  f ( x)  f
1

2
( x)  ... f n ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx  ...   f n ( x)dx .
Come conseguenza delle prime due proprietà si ha che: L’integrale della
combinazione lineare di funzioni è uguale alla stessa combinazione lineare degli
integrali delle funzioni date:
 k
f ( x )  k 2 f 2 ( x)  ... k n f n ( x)dx  k1  f1 ( x )dx  k 2  f 2 ( x)dx  ...  k n  f n ( x )dx .
1 1
Esempi:

3
1
3
 3x dx  3 x dx  3 3  1 x
1
2



 1 x

x

 2senx dx  

 12 x
1
x dx   x dx 
3
6
4
dx  3
2
dx  6 
sen 2 x
3
1
1
2
x
31
1
1
2
c 
3 4
x c;
4
3
2
2 3
 c  x2  c 
x c;
3
3
1
dx  3arctgx  c ;
1 x2
1
6
2
dx  6 x  4 dx 
x  41  c  2 x 3  c   3  c ;
4
 4 1
x
x
2 senx cos x
dx   cos xdx  senx  c ;
2 senx

 7 x 2  1 dx  12 x 3 dx  7  x 2 dx   dx 
12 4 7 3
7
x  x  x  c  3x 4  x 3  x  c .
4
3
3
Il metodo di scomposizione
Come abbiamo visto nell’ultimo esempio, quando la funzione integranda è somma
algebrica di altre funzioni elementari, l’integrale si calcola scomponendo la funzione di
partenza. Questo procedimento è noto anche come metodo di scomposizione. Osserva gli
esempi seguenti:

3x 2  2 x  1
3x 2
2x
1
1
3
dx  
dx   dx   dx  3 xdx  2  dx   dx  x 2  2 x  ln x  c ;

x
x
x
x
x
2

 sen

2
 tg xdx  
2
x
1  cos x
1
1
1
1
dx  
dx   dx   cos xdx  x  senx  c
2
2
2
2
2
2
[formula bisezione];
sen 2 x
1  cos 2 x
1
dx

dx  
dx   dx  tgx  x  c
2
2

cos x
cos x
cos 2 x
[relaz. fondamentale].
Altre regole di integrazione
Supponiamo di voler calcolare il seguente integrale:
5
 3x  1 dx .
Le possibilità che abbiamo davanti sono due:
1) sviluppare la potenza del binomio e poi applicare il metodo di scomposizione;
2) applicare la regola seguente:
  f ( x )
n
f ' ( x)dx 
1
 f ( x)n1 dx
n 1
con n  1 .
Ciò significa che per integrare una funzione che è la potenza di una funzione f (x )
[quindi una funzione composta] si può procedere in modo del tutto simile a quello per
integrare la funzione potenza x n , a patto però di avere come fattore moltiplicativo la
derivata f ' ( x ) di f (x ) .
Nel nostro caso il fattore moltiplicativo f ' ( x ) cioè 3 non c’è; tuttavia, dato che tale
derivata è una costante, possiamo moltiplicare e dividere la funzione integranda per tale
valore, in modo da ottenere:
1
5
1
5
5
1
1
51
 3x  1 dx   3  3  3x  1 dx  3  33x  1 dx  3  5  1  3x  1
c 
1
3x  16  c .
18
Le altre regole di derivazione sono le seguenti:
f ' ( x)
dx  ln f ( x)  c ;
f ( x)



 f ' ( x)  senf ( x)dx   cos f ( x)  c ;

 f ' ( x)  cos f ( x)dx  senf ( x)  c ;

 cos

 sen

 f ' ( x)  a



 1   f ( x )
f ' ( x)
dx  tgf ( x )  c ;
2
f ( x)
f ' ( x)
dx  ctgf ( x)  c ;
2
f ( x)
f ( x)
dx 
f ' ( x)
1   f ( x) 
2
f ' ( x)
2
1 f (x)
a
c
ln a
in particolare
 f ' ( x)  e
f ( x)
dx  e f ( x )  c ;
dx  arcsenf ( x)  c ;
dx  arctgf ( x)  c .
Esempio:
2x  6
 1 x
2
dx  
2x
6
2x
1
dx  
dx  
dx  6 
dx 
2
2
2
1 x
1 x
1 x
1 x2
Il secondo integrale è immediato, ma il primo non lo è. Si osserva, tuttavia, che il
numeratore della frazione è uguale alla derivata del denominatore, per cui rientriamo in
una delle regole di integrazione enunciate nel paragrafo precedente. Per cui si ha:


 ln 1  x 2  6arctgx  c .
Integrazione per sostituzione
Molto spesso, durante gli studi di matematica, ci si accorge di come un cambiamento
di variabile porta spesso a semplificazioni di calcolo; si pensi ad esempio al metodo usato
per la risoluzione delle equazioni biquadratiche o ad altri casi analoghi.
Anche nel calcolo di un integrale, assai spesso, un’analoga sostituzione della
variabile di integrazione porta a facilitare l’individuazione dell’insieme delle primitive.
Vediamo il tutto con un esempio:
Supponiamo di voler calcolare l’integrale del paragrafo precedente:
5
 3x  1 dx
ma senza applicare le regole enunciate.
Per far ciò operiamo la seguente sostituzione di variabile:
t  3x  1
L’integrale diventerà:
t
5
dx
ma questa scrittura non è corretta, perché adesso la funzione integranda è espressa
nella variabile t ma l’integrale è in dx. Pertanto, bisogna in qualche modo convertire il dx in
dt. Per far ciò, dalla:
si ha
t  3x  1
1
t  1
3
x
1
dx  dt .
3
e quindi:
Quindi, l’integrale scritto in forma corretta diventa:
1 5
t dt
3
facilmente calcolabile in quanto immediato. Si ha perciò:
1 5
1 1
1
t dt   t 6  c  t 6  c .

3
3 6
18
Ma t  3x  1 , per cui risostituendo:
1
5
6
 3x  1 dx  18 3x  1
Vediamo ora un altro esempio:
Si calcoli:
1
 4 x  5
7
Effettuando la sostituzione si ha:
dx .
c.
t  4x  5
da cui
x
1
t  5
4
e quindi
L’integrale, pertanto, diventa:
1
 4 x  5
7
dx 
1 7
t dt ,
4
facilmente calcolabile in quanto immediato. Si ottiene:
1 7
1
1
1
t dt  
t  71  c   t 6  c ,

4
4  7 1
24
da cui risostituendo:
1
 4 x  5
7
dx  
1
c.
6
244 x  5
dx 
1
dt .
4
Integrazione per parti
L’integrazione per parti è un metodo di integrazione utilizzabile quando è possibile
vedere la funzione integranda come prodotto di due funzioni tali che una di esse si possa
interpretare come la derivata di una funzione nota.
La formula di integrazione è la seguente:
 f ' ( x)  g ( x)dx  f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ' ( x)dx
e il metodo prende il nome di integrazione per parti proprio perché la funzione integranda
appare composta da due parti distinte: g (x) , che non essendo vista come la derivata di
una funzione nota, prende il nome di fattore finito ed f ' ( x ) che è detto, invece, fattore
differenziale.
Analizziamo il tutto con un esempio:
Supponiamo di voler calcolare il seguente integrale:
 x cos xdx .
La funzione integranda può essere vista come il prodotto di due funzioni. Possiamo
porre g ( x )  x come fattore finito e f ' ( x )  cos x come fattore differenziale. Sia avrà:
g ' ( x)  1
e
f ( x)  senx
[primitiva di f ' ( x )  cos x ]
Applicando la formula di integrazione per parti si ha:
 x cos xdx  senx  x   senx  1dx  xsenx  cos x  c ,
che è l’integrale cercato.
INTEGRALI PARTICOLARI
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo
sin
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo
cos
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo
tan
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo
cot
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo
sec
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti solo
csc
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti
anche:
sin e cos
anche:
anche:
anche:
anche:
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti
sin e tan
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti
cos e tan
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti
sin e cot
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti
cos
Integrali di funzioni trigonometriche contenenti
tan e cot
e
cot