Parte 3

23
CAPITOLO 3 - CATENA BIATOMICA FINITA
In questo caso entrano in gioco due diverse masse M1 e M2 relative ai due diversi tipi di
ioni presenti nella catena. Poniamo M 2  M1 . Questa volta la periodicità nel reticolo vale 2a
come è possibili vedere in figura 11.
Come già fatto nel capitolo 1, poniamo l’attenzione su di un singolo atomo. Questa volta
però dobbiamo occuparci di due tipi di atomi. Ogni tipo di atomo occupa i siti dispari
(2s + 1) o i siti pari (2s). Poniamo che gli ioni di massa M1 occupino i siti dispari e gli ioni di
massa M2 i siti pari.
Soffermiamoci inizialmente a considerare lo ione in 2s + 1. Supponiamo che anche in
questo caso l’interazione riguardi esclusivamente i primi vicini. Allora scriviamo le forze
agenti sullo ione 2s + 1 dovute al primo vicino di destra e al primo vicino di sinistra:
F2 s 1, 2 s  2  C u 2 s  2  u 2 s 1 
F2 s 1, 2 s  C u 2 s  u 2 s 1 
L’equazione del moto è
d 2u 2 s 1
M1
 C u 2 s 2  u 2 s  2u 2 s 1  .
dt 2
Facciamo la stessa cosa ma per lo ione posto in 2s, che è di tipo diverso del precedente:
F2 s , 2 s 1  C u 2 s 1  u 2 s 
F2 s1, 2 s 1  C u 2 s 1  u 2 s 
d 2u2 s
 M2
 C u 2 s 1  u 2 s 1  2u 2 s 
dt 2
Abbiamo così trovato un sistema di due equazioni:
 d 2 u 2 s 1
M
 C u 2 s  2  u 2 s  2u 2 s 1 
 1 dt 2
(3.1)

2
d
u
2
s
 M2
 C u 2 s 1  u 2 s 1  2u 2 s 

dt 2
Cerchiamo delle soluzioni u 2 s 1 t  e u 2 s1 t  che differiscano in ampiezza ma abbiano la
stessa pulsazione  e lo stesso numero d’onda k:
u 2 s 1 t   e i k 2 s 1a t 

u 2 s t   e i k 2 sat 
Ora inseriamo le (3.2) nelle (3.1)
(3.2)
24





M 1   2 e i k 2 s 1at   C e i k 2 s  2 a t   e i k 2 sat   2e i k 2 s 1at 

M 2   2 e i k 2 sat   C e i k 2 s 1at   e i k 2 s 1a t   2e i k 2 sat 



semplifichiamo l’esponenziale con dipendenza temporale che compare da tutte le parti e
dividiamo la prima per e i k 2 s 1at  e la seconda per e i k 2 sat 






M 1   2   C e i ka   e ika  2

M 2   2   C e ika  e ika  2









M 1   2   C  e i ka   e ika  2

M 2   2   C  e ika  e ika  2



Le incognite di questo sistema sono le due ampiezze  e , quindi raggruppiamo i termini
in modo conveniente e facciamo comparire la funzione coseno al posto degli esponenziali


 2C  M 1 2   2C coska  0

 2C coska  2C  M 2 2   0


Si tratta di un sistema omogeneo lineare in due incognite. Se il sistema non è degenere,
ovvero se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero, le uniche
soluzioni ammesse sono  = 0 e  = 0. Imponiamo allora la condizione che il determinante
sia diverso da zero, cioè che il sistema sia degenere
2C  M  
2
1
 2C coska

 2C coska
2C  M  
2
0
2


 2C  M 1 2 2C  M 2 2  2C coska  0
2
 4C 2  2CM 2 2  2CM 1 2  M 1 M 2 4  4C 2 cos 2 ka  0


 M 1M 2 4  2C M 1  M 2  2  4C 2 1  cos 2 ka  0
(3.3)
Dalla (3.3) è possibile ricavare l’espressione di 2 usando la solita formula risolutiva:
 
2
2C M 1  M 2  
4C
2
M 1  M 2 2  16C 2 M 1M 2 sen 2 ka
2M 1M 2
Semplificando un po’…
C M 1  M 2 
 

M 1M 2
2
C M
1

 M 2   4C 2 M 1M 2 sen 2 ka
M 1M 2 2
2
2
A questo punto viene naturale introdurre la massa ridotta  definita come:
25
1


M  M2
1
1

 1
M1 M 2
M 1M 2
In questo modo si ottiene un’espressione più semplice che è una relazione di dispersione
in quanto lega tra loro le due grandezze  e k:
2 
C


C2
2

1
4C 2 sen 2 ka
1 4sen 2 ka 
 C 


M 1M 2
M 1 M 2 
2
 
(3.4)
Dalla (3.4) è chiaro come ad ogni valore del numero d’onda k corrispondano due diversi
valori di 2. Per questo motivo diciamo che esistono due branche diverse associate alle
due possibilità per 2: il ramo acustico (-) e il ramo ottico (+). La periodicità della
relazione (3.4) è diversa dalla periodicità che si era trovata per la relazione di dispersione
nel caso monoatomico, come si vede confrontando con la (1.5). In particolare la relazione
(3.4) ha periodo ka =  cioè  2 ka   2 ka  n  . Si potrebbe verificare che la periodicità è
la stessa del vettore del reticolo reciproco, ma non la stessa della spaziatura (che è 2a in
questo caso). Allora come abbiamo fatto per il caso monoatomico, definiamo la prima zona
di Brillouin, zona che contiene al suo interno tutta la fisica ed è ampia quanto la
periodicità:



k
 Ith Brillouin zone.
2a
2a
Soffermiamoci a considerare separatamente i due rami.
1
1 4sen 2 ka 
3.1 – RAMO ACUSTICO    C  


M 1 M 2 
2
 
Vogliamo vedere cosa capita nei punti “speciali” della 1th Brillouin zone.
Per prima cosa ci occupiamo del centro zona, quindi guardiamo il tutto nel limite k0
(ka<<1).
Quello che capita è che il seno che compare nella (3.4) può essere sviluppato in serie
nell’intorno dell’origine, allora
2


 1
1
1 
1 
4k 2 a 2 
2

  
 
   C 


 M 1 M 2 
M 1 M 2  M 1 M 2 



2

 1
1 

 C 

 M 1 M 2 

 1
1 



M
M
2 
 1
2
 4k 2 a 2  M M  2  
1
2
1 

 
 M 1M 2  M 1  M 2   

 
1


2 2


 1

1   4k a M 1 M 2  2 
 1  1 
 C 

 
M
M
M 1  M 2 2  
2 
 1
 

Possiamo ancora semplificare un po’ le cose infatti nella precedente vi è un termine del
tipo 1  x 2 con x  0 . Come noto
1
1
1  x 2 
1  x
x 0
2
1
26
Allora
 1
 M 1  M 2  2k 2 a 2 M 1 M 2
2k 2 a 2 M 1 M 2 
1 
 1  1 

  C 

 C
M 1  M 2 2   M 1M 2  M 1  M 2 2
 M 1 M 2 
2
 2  C
2k 2 a 2
M1  M 2
da cui

2Ca 2
k
M1  M 2
(3.5)
cioè per valori di k vicini al centro zona il mezzo si comporta in maniera non dispersiva,
tra  e k vi è una dipendenza lineare. La pendenza della funzione (3.5) rappresenta la
velocità del suono nel materiale, infatti nel caso non dispersivo la velocità v dell’onda è
una costante, non dipende da  e vale   kv (da cui la meglio nota   2 )
A questo punto potremmo confrontare la (3.5) e la (1.5) sempre nel limite k 0 :
 k  
4C ka
Ca 2

k
M 2
M
catena monoatomica
 k  
2Ca 2
k
M1  M 2
catena biatomica
dal confronto si può notare come nel caso della catena biatomica al posto della massa M
(che compare nel caso monoatomico) bisogna mettere la media delle due masse M1 e M2.
Occupiamoci ora del bordo zona, cioè guardiamo la (3.4) per k 

2a

  
2
2
4sen 2  a   


 1
 1
 1
1 
1 
1 
1 
4 
2a    1

2

  
 
  
 
  C 


 


 M 1 M 2 
  M 1 M 2 
M 1M 2
 M1 M 2 
 M 1 M 2  M 1 M 2 

 


2

 1
 1
1
1 
1  
1    1
1   1
1   1
1 

  
  
   
  
  

 






 M 1 M 2 
M1 M 2  
M 1 M 2    M 1 M 2   M 1 M 2   M 2 M 1 




____________
  2C

 2k   
2a  M 1

Il passaggio più sopra sottolineato deriva dall’aver scelto
2
 1
 1
1 
1 

  
 e la scelta è stata fatta per avere una situazione fisica


 M1 M 2 
 M1 M 2 
1
1

consistente, si ricordi che avevamo posto M 2  M1 , quindi
è una quantità
M 2 M1
positiva. Possiamo dunque tracciare un andamento della funzione  k 
27
1
1 4sen 2 ka 
3.2 – RAMO OTTICO   2  C  


M 1 M 2 
2
 
Come fatto in precedenza valutiamo l’espressione di  2 a centro e bordo zona.
Iniziamo col considerare il centro zona, ka<<1
2





1
1
1
1
4k 2 a 2 
2





 C 

 


 M 1 M 2 
M 1 M 2  M 1M 2 




 1
1 

 C 

 M 1 M 2 

2
2 
 1
1   4k 2 a 2  M 1 M 2   

 1 



 M 1 M 2   M 1 M 2  M 1  M 2   

1


2 2


 1
1    4k a M 1 M 2  2 
 1  1 
 C 

 
M 1  M 2 2  
 M 1 M 2  


 1
 M 1  M 2  k 2 a 2 M 1 M 2 
2k 2 a 2 M 1 M 2 
1 

 1  1 
1 
  C 

 2C 
2 
 M  M 2 
M
M
M
M


M

M
2 
1
2 
 1

1
2
1
2


2
E poiché ka<<1 il secondo termine della precedente può essere trascurato (lo sviluppo al
prim’ordine non contiene k) così che
 1
1 
  0
 2 ka

1 2C 

M
M
2 
 1
e non dipende da k. Quindi il mezzo si comporta in maniera non dispersiva e vi saranno
una velocità di fase e una velocità di gruppo differenti tra loro:

v fase  ka
1
 
k
28
v gruppo 
d
0
dk
k 
Occupiamoci ora del bordo zona:

1
1 

  C 

 M 1 M 2 

2
2

a
 1
1 
4

 

 M 1 M 2  M 1M 2

  C  1  1   C
M M 

2 
 1

 1
1 



M
M
2
1


2
(come già fatto)
 1
 1
1 
1  2C
  C
 
  2  C


M
M
M
M
M2
2 
1 
 1
 2
In figura 13 è illustrata la rappresentazione ridotta, nella quale compaiono sia il ramo
acustico che il ramo ottico. Si può notare come tra i due rami vi sia una zona di frequenze
non permesse, una gap proibita
Per capire meglio la differenza tra il caso monoatomico e quello biatomico, ci si può
aiutare graficamente.
29
La figura 14 è ottenuta dalla figura 13 disegnando il ramo ottico invertito nell’intervallo
 
 ,  . Altrimenti detto il ramo ottico nella nuove rappresentazione è simmetrico
 2a a 

rispetto alla retta k 
del ramo ottico nella rappresentazione ridotta. Con questa nuove
2a
rappresentazione si nota come nel passaggio al caso monoatomico ( M1  M 2 ) il gap
proibito di valori di  tende a sparire (figura 15) e inoltre cambia anche la periodicità
M1  M 2  M 
2C
2C

M1
M2
M1  M 2  M 
2C


2C
2C

M
M 2M
2
Ma allora è anche possibile fare il lavoro inverso, cioè poniamo il caso di avere una catena
di tre tipi differenti di atomi. In questo modo la periodicità nella posizione degli atomi è
30
3a. Quindi la periodicità del reticolo reciproco che coincide con l’ampiezza della prima
zona di Brillouin vale 2 3a . Partiamo allora dal caso monoatomico:
Per ottenere l’andamento nel caso tri-atomico facciamo l’inverso di quanto fatto in
precedenza. Dunque facciamo una prima riflessione del tratto di curva al di là di k 
attorno alla retta verticale che passa per lo stesso punto:
Facciamo poi una seconda riflessione attorno alla retta k = 0:
E infine andiamo ad inserire le gap e a modificare la curvatura dei tre rami
!!Ovviamente questi disegni sono del tutto qualitativi!!

3a
31
___________________________________
3.3 – RIGUARDO AL NUMERO DI MODI INDIPENDENTI
Consideriamo un cristallo biatomico finito lungo L = 2Na dove a è la distanza tra due ioni
successivi e N è il numero di celle di lato 2a, vedi figura 16.
Soffermiamoci prima sul caso unidimensionale. Imponendo ad esempio condizioni al
contorno di estremi fissi, otteniamo una quanzizzazione di k dovuta al porre uguale a zero
lo spostamento dell’ultimo atomo della catena (vedi par. 2.1). In questo caso però abbiamo
2N atomi cui sono associate 2N coordinate indipendenti, allora la condizione sull’ultimo
atomo della catena sarà
u 2 N t   senk 2 Na e it  0 da cui
kn 
n
2 Na
con n = -N, -N+1, …,0, 1, …, N (affinché kn rimanga all’interno della 1th
Berillouin zone)
Ma come sappiamo con condizioni al contorno di estremi fissi i modi corrispondenti a
valori di k opposti in segno sono equivalenti, dunque ci si sofferma solo sui valori positivi
di k. Ne risulta che abbiamo N valori di k indipendenti. Riassumendo abbiamo N k
indipendenti ma allo stesso tempo abbiamo bisogno di 2N modi di oscillazione indipendenti
perché tante sono le coordinate indipendenti ed il numero di gradi di libertà del sistema.
Per questo motivo nel caso biatomico vi sono due branche, ad ogni valore indipendente di
32
k sono associati due modi di oscillazione indipendenti, uno appartenente al ramo acustico
ed uno al ramo ottico.
Nel caso tridimensionale le cose sono un po’ differenti. Intanto sono possibili diversi tipi
di polarizzazione dell’onda di materia che dipendono dalla direzione di oscillazione degli
ioni che compongono il reticolo, come è possibile vedere in figura 17.
Inoltre modi longitudinali e trasversali implicano movimenti diversi, in particolare le forze
che governano le oscillazioni longitudinali sono più intense.
Facciamo un raffronto del numero di gradi di libertà e quindi di modi di oscillazione
indipendenti nel caso 1D e 3D. Per fare questo consideriamo un reticolo cristallino formato
da N celle, ognuna delle quali composta da Z atomi:
 1D. Nel caso unidimensionale si lavora con una sola coordinata, poiché una è
sufficiente per determinare la posizione di qualunque ione del reticolo. Ne
consegue che il numero di gradi di libertà del sistema vale D.F.  NZ .
 3D. Nel caso tridimensionale le coordinate necessarie ad individuare la posizione di
un atomo sono 3, tante quanti sono i gradi di libertà del singolo atomo. Allora
l’intero sistema ha D.F.  3NZ gradi di libertà e ciascuna branca ne contiene N.
3.4 – CRISTALLI REALI
I modi longitudinali e trasversali sono governati da costanti di forza diverse, e quindi non
sono modi degeneri.
I modi longitudinali funzionano al prim’ordine come l’allungamento di una molla. Per i
modi trasversali le forze al prim’ordine sono dovute agli atomi che stanno su altri piani.
Supponiamo di avere un cristallo con N celle e z atomi per cella. In questo caso il nostro
sistema avrà 3zN gradi di libertà (in 3D). Ogni branca contiene solamente i gradi di libertà
traslazionali, cioè gli N valori permessi per k. Ma questo implica che ci sono 3z branche in
ogni direzione di k.
ESEMPI
 z=1: caso monoatomico
1 branca longitudinale acustica
2 branche trasversali acustiche
 z=2: caso biatomico
1 branca longitudinale acustica
2 branche trasversali acustiche
1 branca longitudinale ottica
2 branche trasversali ottiche
33

in generale:
3 branche acustiche
3z-3 branche ottiche
3.5 – ECCITAZIONE DI UN MODO OTTICO DA PARTE DI UN’ONDA
ELETTROMAGNETICA
Consideriamo un cristallo ionico formato dunque da una catena biatomica dove i due
atomi della cella hanno carica opposta.
Per prima cosa vediamo quale effetto può avere un campo elettrico statico su tale
struttura, ovvero quale è la risposta del cristallo ionico ad un campo elettrico statico:
-e
-e
-e
a
+e
+e
+e
quello che succede è che i due ioni di diversa massa si spostano in direzione opposta a
causa del campo elettrico.
Consideriamo adesso la risposta del cristallo ad un’onda elettromagnetica.
Se la lunghezza d’onda dell’onda è
  a
Le cose necessarie per l’interazione dell’onda con il reticolo sono:
   a (   a , a parte la diffrazione, implica spostamenti concordi delle due cariche
e quindi modi a bassa energia
 MODO OTTICO (il modo acustico prevede spostamenti concordi delle due cariche
e quindi modi a bassa energia)
 l’energia del modo dev’essere paragonabile all’energia del fotone (cioè devono
avere la stessa velocità di fase, ovvero la stessa ).
Supponendo trascurabile l’effetto del campo magnetico, essendo la velocità degli ioni
relativamente piccola, la forza esercitata sugli ioni sarà dovuta esclusivamente al campo
elettrico:
F  qEeit con q  e
allora le equazioni del moto saranno:
d 2u 2 s 1
M1
 C u 2 s 2  u 2 s  2u 2 s 1   eEe it
2
dt
d 2u2 s
M2
 C u 2 s 1  u 2 s 1  2u 2 s   eEe it
2
dt
Le soluzioni sono di tipo ondulatorio:
u 2 s 1  e i kx t   e i k ( 2 s 1) a t 
34
u2 s  ei kxt   ei k ( 2 s ) at 
Inserendo le soluzioni nelle equazioni del moto e facendo il limite per k0 si ottiene
2C   2 M 1   2C  eE

 2C  2C   2 M 2   eE
Si tratta di un sistema di due equazioni in due incognite non omogeneo. E’ risolubile ad
esempio con il metodo di Cramer. Definiamo
 1
1 

0 2  2C

 M1 M 2 
In questo modo le soluzioni del sistema possono essere scritte:
e
E
M1
 2
0   2
e

E
M2
 2
0   2
Dalle precedenti si vede che le due ampiezze hanno segno opposto, masse continue hanno
movimenti sfasati di 180°.
Si ha una risonanza (le ampiezze delle oscillazioni tendono a diventare infinite) per
  0 . Poiché in un’onda elettromagnetica il campo elettrico è ortogonale al numero
d’onda k, il fonone da essa prodotto è trasversale.
L’evidenza sperimentale mostra che su film sottili (di spessore d<) si ha sempre
trasmissione, tranne dove l’interazione è forte.
Inoltre per frequenze della radiazione incidente comprese all’interno del gap di frequenze
che sta tra le varie branche non si ha propagazione all’interno del materiale. Il cristallo ha
un alto potere riflettente in tali regioni di .
Riprendiamo il sistema che compare a pagina 24:


 2C  M 1 2   2C coska  0

 2C coska  2C  M 2 2   0


Se lo si risolve per il modo acustico e k0 (0) si ottiene    , cioè gli atomi nei siti pari
e dispari si muovono nello stesso modo, si ha una modulazione lenta degli spostamenti.
 1
1 
 ) si ottiene
Se lo si risolve invece per il modo ottico e k0 (   2C 

 M1 M 2 
M
   1  , cioè come già visto con la presenza di un campo elettrico esterno, masse
M2
contigue hanno movimenti sfasati di 180°; vi è modulazione nulla delle masse pesanti o
leggere.