Esercizi di Algebra II

Esercizi di Algebra II
2 Dicembre 2016 – # 8
Proposizione 1. Siano n ∈ N, a0 , . . . , an ∈ Q (a0 e an diversi da 0) e
f (x) := an xn + · · · + a0 . Sia inoltre f¯ il polinomio a coefficienti in Q
definito ponendo f¯(x) := a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an . Provare che
f è irriducibile se e solo se f¯ è irriducibile.
Dimostrazione. (cenni) Supponiamo f irriducibile. Se per assurdo f¯ è riducibile, allora esistono r, s ∈ N, b0 , . . . , br , c0 , . . . , cs ∈ Q con b0 , br , c0 , cs 6=
0 tali che:
ḡ(x) := br xr + · · · + b0
h̄(x) := cs xs + · · · + c0
f¯ = ḡ h̄
A questo punto, si prova che, posti g(x) := b0 xr + b1 xr−1 + · · · + br−1 x + b0
e h(x) := c0 xs + c1 xs−1 + · · · + cs−1 x + cs , vale che f = gh, contro l’ipotesi
che f sia irriducibile. Analogamente si prova il viceversa.
Esercizio 2. Dimostrare che sono irriducibili in Q[x] i seguenti polinomi:
1) 4x4 + 5x + 10;
2) x4 − 2x2 + 8x + 1;
3) x4 − 10x2 + 1;
4) x4 + 3x + 5;
5) −3x4 + 27x3 − 3x2 + 9x + 1;
6) x5 + 12x3 + 6x + 30;
7) x5 + 14x4 + 21x + 42.
Soluzione. Idea generale di risoluzione. Prima di tutto si vede
se c’è qualche criterio che ci aiuta a dire se il polinomio è irriducibile (di
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solito si usa il criterio di Eisenstein o, se il polinomio è di secondo o di
terzo grado, si vede che non ha radici). Quando non si ha un criterio per
dire direttamente che il polinomio è irriducibile, si prova che il polinomio
è irriducibile in Z[x] esaminando tutti i modi in cui esso si può scomporre.
Ad esempio, se il polinomio è di quarto grado, basta far vedere che non si
può scomporre come prodotto di un polinomio di terzo grado per uno di
primo e come prodotto di due polinomi di secondo grado (e, nel secondo
caso, bisogna impostare il ”sistema” dei coefficienti e trovare in qualche
modo che il sistema non ha soluzioni in Z). A quel punto, essendo il
polinomio irriducibile in Z[x] ed avendo grado maggiore di zero, si può
concludere, per una proposizione vista nel corso, che è irriducibile in Q[x].
1), 6) e 7) sono irriducibili per il criterio di Eisenstein (applicato rispettivamente con i primi 5, 3 e 7).
3) Proviamo prima di tutto che il polinomio è irriducibile in Z[x]. Essendo f (x) := x4 − 10x2 + 1 di quarto grado, esso si può scomporre nei
seguenti modi:
a) f = hg con h, g ∈ Z[x], deg(h) = 3 e deg(g) = 1;
b) f = hg con h, g ∈ Z[x] e deg(h) = deg(g) = 2.
Le possibili radici di f sono 1 e −1, e poiché f (1) = f (−1) 6= 0, ricaviamo
che non si può scomporre come in a).
Proviamo ora che non si può scomporre come in b). Supponiamo che
esistono due polinomi h(x) := x2 + ax + b e g(x) := x2 + cx + d (con
a, b, c, d ∈ Z) di secondo grado tali che x4 − 10x2 + 1 = h(x)g(x). Allora
si ottiene
x4 − 10x2 + 1 = x4 + cx3 + dx2 + ax3 + acx2 + adx + bx2 + bcx + bd.
da cui si ricava il sistema:


a+c=0



ac + b + d = −10

ad + bc = 0




bd = 1
Dall’ultima equazione, ricordando che i coefficienti sono numeri interi,
otteniamo che necessariamente b = d = 1 o b = d = −1. Se b = d = 1
allora
2


a+c=0



−c2 = −12

b=1




d=1
√
√
e quindi c ∈ { 12, − 12}, ma questo è impossibile perché c ∈ Z. Se
invece b = d = −1 allora


a+c=0



−c2 = −8

b = −1




d = −1
√
√
e quindi c ∈ { 8, − 8}, ma anche questo è impossibile perché c ∈ Z.
Cosı̀ f non si può scomporre come in b), da cui si ricava che il polinomio f
è irriducibile in Z[x]. Poiché def (f ) > 0 e f ∈ Z[x], per una proposizione
vista nel corso di Algebra II si ha che f è irriducibile in Q[x].
5) Se f (x) := −3x4 + 27x3 − 3x2 + 9x + 1, il polinomio f¯, ottenuto
procedendo come nella proposizione 1, è f¯(x) = x4 + 9x3 − 3x2 + 27x + 3.
Poiché f¯ è irriducibile per il criterio di Eisenstein (applicato con p = 3),
allora, per la proposizione 1, anche f è irriducibile.
I restanti polinomi si risolvono in modo analogo a quanto visto per il
polinomio 3).
Esercizio 3. Siano f (x) := x3 +x+1 e I l’ideale di Q[x] definito ponendo
I := (f ).
1) Provare che Q[x]/I è un campo;
2) Trovare un inverso di x + I in Q[x]/I.
Soluzione. 1) Poiché f è di terzo grado, esso è irriducibile in Q[x]
se e solo se non ha radici in Q. Per una proposizione vista nel corso, le
possibili radici razionali di f sono 1 e −1. Ma f (1) = 3 e f (−1) = −1,
pertanto f è irriducibile. Allora, utilizzando quanto visto nel corso di
Algebra II
f irriducibile
=⇒
I = (f ) massimale
=⇒
Q[x]/I campo.
P rop. corso
P rop. corso
3
2) Essendo Q[x]/I un campo, sicuramente esiste un inverso di x + I, cioè
una classe A ∈ Q[x]/I tale che (x + I)· A = 1 + I (ricordiamoci che siamo
nell’insieme quoziente Q[x]/I, quindi il nostro ”1” è una classe, cioè la
casse 1 + I).
Idea per trovare l’inverso. Poiché f è irriducibile, per una proposizione vista nel corso si ha che m.c.d.(x, f ) = 1 o f divide x. Poiché x ha
grado minore di f , quest’ultimo non può dividerlo, quindi m.c.d.(x, f ) =
1. Per una proposizione vista nel corso si ottiene quindi che esistono
a, b ∈ Q[x] tali che xa + bf = 1 e quindi xa = 1 − bf . Allora, sfruttando
l’operazione · in Q[x]/I, si ottiene
(x + I)· (a + I) = xa + I
=
xa=1−bf
1 − bf + I.
e, ricordando che 1 − bf + I = 1 + I (convincetevi di questo fatto prima
di andare avanti), si ottiene cosı̀ (x + I)· (a + I) = 1 + I. Quindi a + I
sarà l’inverso cercato.
Troviamo quindi i polinomi a, b tali che ax + f b = 1. Di solito si
procede applicando l’agoritmo di Euclide e andando ”a ritroso” come
visto per gli interi di Gauss nel Foglio 6 del 18 Novembre, ma in questo
caso si nota subito che f (x) = x(x2 + 1) + 1 e quindi che
x[−(x2 + 1)] + f (x) = 1
(spesso si vedono quali sono i polinomi a e b che cerchiamo senza fare
conti). Pertanto, ragionando come detto prima, si ottiene che la classe
−(x2 + 1) + I è l’inverso di x + I in Q[x]/I.
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