Appunti di Matematica per le Scienze Sociali

2014
Appunti di
Matematica per le
Scienze Sociali
Quello che avete imparato a scuola (o almeno una parte) …
ma che non vi ricordate.
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contenuto del documento. [Digitare qui il sunto del documento. Di norma è una
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Clelia Cascella
Università Sapienza
30/10/2014
Appunti di Matematica per le Scienze Sociali 2014
Premessa
I temi trattati in questa piccola dispensa sono oggetto del programma delle scuole superiori, senza
distinzioni in funzione dell’indirizzo prescelto dallo studente. Lo scopo di questi appunti non è quindi
quello di fornire dettagliata trattazione di questi temi (per il cui approfondimento si rinvia ad un
qualsiasi testo delle medie superiori, o anche delle medie inferiori) ma è piuttosto quello di “rinfrescare”
nella mente degli studenti quei concetti (fondamentali) che sono strumentali ad una più completa
fruizione tanto dei contenuti previsti per l’insegnamento di Matematica per le Scienze Sociali, quanto
per alcuni altri dei corsi che caratterizzano il percorso di formazione in Sociologia.
In particolare, in coerenza con quanto già visto nel corso delle lezioni precedenti, saranno trattati i
seguenti argomenti:
-
Radicali
-
Potenze
-
Logaritmi.
Altre note di integrazione al libro di testo saranno pubblicate sul sito dove, durante le lezioni insieme,
dovesse ravvisarsene la necessità.
Buona lettura e buono studio a tutti.
Potenze e logaritmi.
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I radicali
Definizione di radicali.
La radice n-esima o radicale di un numero reale a , indicata con il simbolo
n
a è un numero b tale che
bn  a b = a . Il numero b si dice radice, il numero n si dice indice, il numero a si dice radicando.
n
a  b  bn  a .
n
Quando l’indice è pari a due (radice quadrata) non viene esplicitato e si indica semplicemente con
a.
Lo studente abbia sempre a mente che
-
se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero;
-
se la radice ha indice dispari, il radicando può essere anche negativo.
Si invita il lettore a verificare empiricamente quanto appena asserito, anche con l’uso di un calcolatore.
Proprietà:
Vediamo ora le proprietà dei radicali
dati a, b  0, m, n 
n
a n b  n ab
n
a na

b
b
n
 a
a 
n
m
 
n
am
n
h
an  a
kn
a km  n a m
n
a nb  a n b
n m
a  nm a
m1
n1 m2
m1
a n1
m2
n2
a
a
m
n
 n a mh
n
a
m
a
n2
a
a
n1 n2

m1 m2
n1 n2

m1 m2


m1m2
m1m2
a n1m2  n2m2
a n1m2 m1n2
Razionalizzazione del denominatore
Come abbiamo detto a lezione, può essere utile (talvolta necessario) scrivere in modo diverso una certa
formulazione matematica. Quando lavoriamo con i radicali, ad esempio, potremmo avere la necessità di
semplificare le frazioni che rechino al proprio denominatore dei radicali. Questa operazione si chiama
razionalizzazione. Vediamo in cosa consiste: grazie alla razionalizzazione, possiamo riscrivere un rapporto
di frazioni eliminando i radicali al denominatore in modo da trasferirli al numeratore. Questa procedura ci
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consente quindi di riscrivere un rapporto di radicali come frazione equivalente al cui denominatore non
compaiano dei radicali.
Radicali doppi
Con scopo analogo al primo (riscrivere in forma più semplice “espressioni” complesse), presentiamo ora
brevemente i radicali doppi ( a  b ).
Il primo modo di procedere alla semplificazione, è quello di riscrivere un radicale dobbio come somma di
radicali semplici. Vediamo come:
a b 
a  a2  b
a  a2  b

2
2
I corsisti ricorderanno l’interpretazione del simbolo  . Come abbiamo detto, può essere interpretato
(praticamente) in modo molto semplice:
-
se c'è + allora considero  come più;
-
se invece c'è - considero  come meno.
Come si è detto, è solo un modo sintetico per raggruppare casi distinti. Alla fine di questi appunti, in
appendice, viene riproposta la tavola di sintesi della simbologia con indicazione del modo in cui deve essere
letto, delle sue possibili interpretazioni e con un breve elenco di esempi pratici.
Appendice 1 – La simbologia
Proponiamo di seguito alcuni simboli di uso frequente nel linguaggio della matematica.
Si noti che questo elenco costituisce un piccolo sottoinsieme della complessa simbologia matematica. Il suo
pregio non è quindi quello della completezza ma è piuttosto quello di fornire una sistematizzazione dei
simboli di più frequente utilizzo nel mio corso di Matematica per le Scienze Sociali, segnalando anche tutti i
possibili significati di simboli noti (come ad esempio + o -).
simbolo
+
come si legge
descrizione
esempio
Più
Addizione tra numeri reali o complessi
4+2=6
Più
Operatore unitario che indica i numeri
interi positivi
+a
And
Operatore logico nell’Algebra di Boole
A + B = 0 ˂=> B + A =0
Da destra
Limite destro di una funzione
lim x  0
x 0
Meno
Da sinistra
±
Più o meno
Meno più
.
x
Sottrazione aritmetica
4-2=2
Operatore unitario che indica i numeri
relativi negativi
- A + (- b) + (- 2 a) = - 3a + (b)
Differenza insiemistica (o insieme
complemento)
{1, 2, 3, 4, 5} - {1, 3} = {2, 4,
5}
Limite sinistro di una funzione
(simbolo posto a sinistra
lim x  0
x 0
Più o meno indica un valore positivo
oppure negativo con lo stesso valore
assoluto (indica approssimazione)
Se a=100± 1mm, allora
Si usa in coppia con il precedente per
stabilire le concordanze con i risultati
6  (3 5) significa sia 6+(3-
99 ≤ a ≤ 101
5) che 6-(3+5)
Per
Moltiplicazione (simbolo spesso
omesso)
per
Moltiplicazione fra numeri complessi
3 x 5 x 2 = 30
Prodotto vettoriale
a b
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Prodotto cartesiano di insiemi
:
|
a


2
And
Operatore logico dell’Algebra di Boole
A B  1  A  B  1
Diviso
Divisione aritmetica
10 : 5 = 2
Tale che
Operatore logico tale che
x  : x  0 allora x 
Tale che
Il valore di sinistra è divisore dell’altro
7|42
Tale che
Operatore logico tale che
x  : x  0 allora x 
Dato
Pone una condizione
Pr  X ni  1|  n ,  i 
Coniugato di
Coniugato di un numero complesso
3+2i=3-2i
Chiusura algebrica
di
Chiusura algebrica ci un insieme
se A è insieme dei numeri
algebrici
Chiusura
topologica di
Chiusura topologica di un insieme
Se A  [0,1]: A  [0,1]
Media
Media aritmetica di un set di dati
a  2, 4, 6,8,10 : a  6
Segmento
Segmento di una retta
A e B punti distinti
Not (non)
Operatore logico dell’algebra di Boole
(negazione logica).
Se A è vero, allora A è falso
2
2
I contenuti di questa pagina saranno aggiornati poco alla volta, in parallelo con lo svolgimento del
programma. Si invitano gli studenti a imparare il significato dei simboli presentati nella tabella precedente
man mano che questa verrà aggiornata.