Polinomi - melfiweb, Melfi

Corso di Potenziamento a.a. 2009/2010
1
I polinomi
1.1
Terminologia sui polinomi
Un polinomio è un’ espressione algebrica data dalla somma di più monomi.
• I termini di un polinomio sono i monomi che compaiono come addendi
nel polinomio.
• Il termine noto è l’eventuale termine di grado zero.
• Il grado di un polinomio è il massimo dei gradi dei suoi termini.
Esempio 1 Consideriamo il polinomio
I termini del polinomio sono:
3xy 4 − 2x3 y 2 z + x3 y 3 z + 3.
3xy 4 ,
Il polinomio ha termine noto uguale a
−2x3 y 2 z,
x3 y 3 z,
+3;
+3;
Il polinomio ha grado 7;
Definizione 1 Un polinomio si dice omogeneo quando tutti i suoi termini
hanno lo stesso grado.
5ab2 + 3a2 b + 3a3 + b3 è un polinomio omogeneo perchè tutti i termini
hanno grado 3;
2ab2 + 4a2 b + 5a3 + b3 + 2 non è omogeneo perchè il termine noto ha
grado 0, mentre tutti gli altri termini hanno grado 3.
Definizione 2 Un polinomio si dice ordinato rispetto ad una lettera
se i suoi termini sono disposti con esponenti di quella lettera in ordine decrescente o crescente.
2x3 y − 12 x2 + 3xy 2 è ordinato rispetto ad x ma non rispetto ad y.
Definizione 3 Un polinomio si dice completo rispetto ad una lettera quando
compaiono tutte le potenze di quella lettera, da quella di grado massimo a
quella di grado zero.
−2x2 y 2 + 3x + 1 è completo rispetto alla lettera x, ma non rispetto alla
lettera y in quanto manca il termine di primo grado in y.
Dott.ssa Rosanna Caira
Dott.ssa Federica Bisignano
1
I polinomi
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1.2
1.2.1
Operazione fra polinomi
Somma e differenza
Per eseguire la somma o la differenza di due o più polinomi si procede
come segue:
- si tolgono le parentesi ricordando che si lasciano inalterati i segni dei
termini all’interno di una parentesi preceduta dal segno più, mentre si
cambiano i segni dei termini all’interno di una parentesi preceduta dal
segno meno;
- si riducono gli eventuali termini simili.
Esempio 2 Semplificare l’espressione: (−2x+5y −1)−(x+y −2)+(x−2y)
(−2x + 5y − 1) − (x + y − 2) + (x − 2y) =
= −2x + 5y − 1 − x − y + 2 + x − 2y =
= −2x + 2y + 1
1.2.2
Moltiplicazione
Per eseguire la moltiplicazione tra due polinomi:
- si moltiplica ciascun termine dell’uno per tutti i termini dell’altro;
- si riducono gli eventuali termini simili.
Esempio 3
a)
2x2 (x3 − 3x2 + 1) =
= 2x2 · x3 + 2x2 (−3x2 ) + 2x2 · 1 =
= 2x5 − 6x4 + 2x2
b)
(2x + 3)(x − 3) = 2x · x + 2x · (−3) + 3 · x + 3 · (−3) =
= 2x2 − 6x + 3x − 9
= 2x2 − 3x − 9
c)
(x2 + 2x − 2)(x − 3) = x2 · x + x2 (−3) + 2x · x + 2x(−3) − 2 · x − 2(−3) =
= x3 − 3x2 + 2x2 − 6x − 2x + 6 =
= x3 − x2 − 8x + 6
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Dott.ssa Federica Bisignano
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1.2.3
Prodotti notevoli
- Somma di due monomi per la loro differenza
(A + B)(A − B) = A2 − B 2
a) (x + 3y)(x − 3y) = (x)2 − (3y)2 = x2 − 9y 2
b) (4y − 2x)(−4y − 2x) = (−2x)2 − (4y)2 = 4x2 − 16y 2
- Quadrato di un binomio
(A + B)2 = A2 + 2 · A · B + B 2
a) (2x + y)2 = (2x)2 + 2 · (2x) · (y) + (y)2 = 4x2 + 4xy + y 2
b) (x−3y)2 = [x+(−3y)]2 = x2 +2·x·(−3y)+(−3y)2 = x2 −6xy+9y 2
- Cubo di un binomio
(A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3
a) (−2x + 3)3 = (−2x)3 + 3 · (−2x)2 · 3 + 3 · (−2x) · 32 + 33 =
= 8x3 + 36x2 − 54x + 27
b) (x−3)3 = [x+(−3)]3 = (x)3 +3·x2 ·(−3)+3·(x)·(−3)2 +(−3)3 =
= x3 − 9x2 + 27x − 27
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- Potenza n-esima di un binomio
Lo sviluppo della potenza n-esima di (A + B) è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato secondo le potenze decrescenti di A (a
partire da quella di grado n) e crescenti di B (a partire da quella di
grado 0), i cui coefficienti sono quelli della n-esima riga del triangolo
di Tartaglia. Il triangolo di Tartaglia è il seguente:
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
4
5
6
1
3
1
6
4
10
15
10
20
1
5
15
1
6
1
←−riga
←−riga
←−riga
←−riga
←−riga
←−riga
←−riga
0
1
2
3
4
5
6
Il procedimento per costruirlo è molto semplice. Ogni riga inizia e termina con 1. Se indichiamo con x e y due numeri successivi posti su di
una stessa riga, l’elemento posto tra di essi, nella riga immediatamente
successiva, è la loro somma. Per esempio, la riga 5 può essere dedotta
dalla riga 4 come segue:
1
∧
.
1
4
∧
1+4
↓
5
6
∧
4+6
↓
10
4
∧
6+4
↓
10
1
∧
4+1
↓
5
riga 4
&
1
riga 5
Continuando con questo procedimento si possono costruire tante righe
quante si vogliono del triangolo di Tartaglia. Confrontiamo i coefficienti
delle potenze di A + B con esponente uno, due e tre, con i numeri che
compaiono nelle corrispondenti tre righe del triangolo:
Come possiamo notare:
(A + B)1 = 1 · A + 1 · B
(A + B)2 = 1 · A2 + 2 · AB + 1 · B 2
(A + B)3 = 1 · A3 + 3 · A2 B + 3 · AB 2 + 1 · B 3
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Dott.ssa Federica Bisignano
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– i coefficienti di (A + B)1 coincidono con i numeri della riga 1 del
triangolo di Tartaglia;
– i coefficienti di (A + B)2 coincidono con i numeri della riga 2 del
triangolo di Tartaglia;
– i coefficienti di (A + B)3 coincidono con i numeri della riga 3 del
triangolo di Tartaglia. In generale, i numeri della n-esima riga del
triangolo di Tartaglia coincidono con i coefficienti dello sviluppo
di (A + B)n .
Esempio 4 a) Calcolare (a + b)4 .
Lo sviluppo della potenza sarà un polinomio omogeneo, ordinato
secondo le potenze decrescenti di a(iniziando da quella di grado 4)
e crescenti di b(a partire da quella di grado 0); si tratterà quindi
di un polinomio del tipo:
· · · a4 b0 + · · · a3 b1 + · · · a2 b2 + · · · a1 b3 + · · · a0 b4
Restano da determinare i coefficienti. In base alle osservazioni
precedenti, essi coincidono con i numeri della quarta riga del triangolo di Tartaglia:
1
4
6
4
1
Possiamo dunque completare il polinomio scrivendo anche i coefficienti:
1 · a4 b0 + 4 · a3 b1 + 6 · a2 b2 + 4 · a1 b3 + 1 · a0 b4
In definitiva:
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
b) Calcolare (x2 + 3)4 .
Utilizziamo lo sviluppo che abbiamo ricavato nell’esempio precedente:
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .
Sostituendo x2 al posto di a e 3 al posto di b otteniamo che:
(x2 +3)4 = (x2 )4 +4(x2 )3 ·3+6(x2 )2 ·32 +4(x2 )·33 +34 = x8 +12x6 +54x4 +108x2 +81
Dott.ssa Rosanna Caira
Dott.ssa Federica Bisignano
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1.2.4
Divisione
Teorema 1 (Teorema della divisione)
Dati due polinomi nella variabile x, A(x) di grado n e B(x) di grado m(m 6=
0) con n ≥ m, esistono sempre e sono unici due polinomi Q(x) ed R(x) tali
che
A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)
dove il grado di Q(x) è n − m e il grado di R(x) è minore del grado di B(x).
Q(x)è detto polinomio quoziente
R(x)è detto polinomio resto
Teorema 2 (Algoritmo della divisione)
1. Si ordinano i due polinomi secondo le potenze decrescenti delle variabili
e, se il dividendo non è completo, lo si riscrive completando i termini
mancanti con termini aventi coefficienti nulli;
2. si divide il termine di grado massimo del dividendo per il termine di
grado massimo del divisore: il risultato ottenuto è il primo termine del
quoziente;
3. si moltiplica il primo termine del quoziente per tutti i termini del divisore e si cambia il segno ad ogni termine. Si somma il polinomio
ottenuto con il dividendo ed il risultato è il primo resto parziale;
4. se il resto parziale ha grado minore di quello del divisore, la divisione
è terminata, altrimenti si ripetono i passi 2 e 3, assumendo come
dividendo il primo resto parziale. Si continua il procedimento finché
non si trova un resto parziale con grado minore di quello del divisore:
quest’ultimo resto parziale è il resto della divisione.
Esempio 5 Eseguire la divisione: (2x2 + 4x3 − 2x − 1) : (2x2 + 1).
Si osservi che il polinomio dividendo è completo, ma non è ordinato secondo
le potenze decrescenti di x. Perciò va prima ordinato per poi costruire lo
schema della divisione.
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4x3
−4x3
+2x2
−2x
−2x
−4x
+2x2
−2x2
−4x
−1 2x2
2x
−1
−1
−2
+1
+1
Si conclude che:
- il quoziente è Q(x) = 2x + 1
- il resto è R(x) = −4x − 2
Esempio 6 Eseguire la divisione: (x3 − 12 x2 + 3x + 1) : (2x − 1).
Secondo lo schema della divisione, si ha:
x3
−x3
− 21 x2
+ 12 x2
+3x
3x
−3x
- il quoziente è Q(x) = 21 x2 +
- il resto è R =
+1
+1
+ 32
+ 52
2x
1 2
x
2
−1
+ 32
3
2
5
2
Dato un polinomio P (x) di grado n è possibile stabilire, senza eseguire la
divisione, se è divisibile per un binomio del tipo (x − c), con c numero qualsiasi.
Si osservi infatti che se P (x) si divide per il binomio (x − c) di grado 1, si
ottiene un quoziente di grado n − 1 ed un resto di grado zero (una costante)
P (x) = Q(x)(x − c) + R.
Sostituendo c al posto di x si ha
P (c) = Q(c)(c − c) + R
ossia
P (c) = R.
Si ha il seguente importante risultato.
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Teorema 3 (Teorema del resto)
Se un polinomio P (x), di grado maggiore o uguale a 1, viene diviso per (x−c),
il resto della divisione è costante ed è uguale a P (c).
Esempio 7 Utilizzando il Teorema del Resto, calcolare il resto R della divisione (2x3 + x2 − 5) : (x + 2).
R= P (−2) = 2 · (−2)3 + (−2)2 − 5 = −17
Esempio 8 Determinare il valore di r per cui la divisione (x2 − 2x − 1) :
(x − r), abbia resto 2.
Dal Teorema del resto, il valore di r cercato è quel valore per cui P (r) = 2.
P (r) = r2 − 2r − 1 = 2 ⇒ r2 − 2r − 3 = 0,
da cui
√
4 + 12
⇒ r1 = 3, r2 = 1.
2
Abbiamo trovato due valori di r che soddisfano la condizione richiesta.
r1,2 =
Esempio 9
2±
1. Verificare che (x − 2) è un fattore di x8 − 256.
È sufficiente verificare che x8 − 256 è divisibile per (x − 2), cioè che il
resto nella divisione di P (x) = x8 − 256 per (x − 2) è zero. Applicando
il Teorema del Resto, ciò equivale a dimostrare che P (2) = 0.
Risulta infatti P (2) = 28 − 256 = 0.
2. Scrivere x8 − 256 come prodotto di due polinomi.
Dal punto precedente si ha che x8 − 256 si può scrivere come prodotto
fra x − 2 e un polinomio di grado 7. Per determinare tale polinomio è
possibile applicare il
Principio di identità dei polinomi
Due polinomi P1 (x) e P2 (x) nella stessa variabile x si dicono identici
se e solo se assumono valori uguali per ogni valore attribuito ad x.
Corollario 1 Condizione necessaria e sufficiente affinchè due polinomi siano identici è che siano uguali i coefficienti delle potenze delle
variabili aventi lo stesso esponente.
Risulta dunque
x8 − 256 = (x − 2)(x7 + ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + f x + g)
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da cui svolgendo il prodotto al secondo membro e ordinando secondo le
potenze decrescenti di x si ha
x8 −256 = x8 +(a−2)x7 +(b−2a)x6 +(c−2b)x5 +(d−2c)x4 +(e−2d)x3 +
+(f − 2e)x2 + (g − 2f )x − 2g.
Per il principio di identità dei polinomi deve essere
a−2=0⇒
b − 2a = 0 ⇒
c − 2b = 0 ⇒
d − 2c = 0 ⇒
e − 2d = 0 ⇒
f − 2e = 0 ⇒
−2g = −256 ⇒
a=2
b=4
c=8
d = 16
e = 32
f = 64
g = 128
Possiamo allora concludere che
x8 − 256 = (x − 2)(x7 + 2x6 + 4x5 + 8x4 + 16x3 + 32x2 + 64x + 128)
Teorema 4 (Teorema di Ruffini)
Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio P (x) sia divisibile
per il binomio (x − c) è che P (c) = 0.
Esempio 10 (Applicazione del Teorema di Ruffini) La somma di due
potenze di uguale grado non è mai divisibile per la differenza delle basi
ed è divisibile per la somma delle basi soltanto se l’esponente è dispari.

è divisibile per (x + a) se n è dispari.





Inf atti P (−a) = (−a)n + an = 0 solo se n è dispari.



(xn + an ) 
non è mai divisibile per (x − a).





Inf atti P (a) = (a)n + an = 2an qualunque sia n.


1. (x2 +a2 ) non è divisibile per (x−a). Infatti, P (a) = (a)2 +a2 = 2a2 6= 0.
2. (x3 +a3 ) non è divisibile per (x−a). Infatti, P (a) = (a)3 +a3 = 2a3 6= 0.
3. (x2 + a2 ) non è divisibile per (x + a). Infatti, P (−a) = (−a)2 + a2 =
2a2 6= 0.
Dott.ssa Rosanna Caira
Dott.ssa Federica Bisignano
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4. (x3 + a3 ) è divisibile per (x + a). Infatti, P (−a) = (−a)3 + a3 =
−a3 + a3 = 0.
Esempio 11 La differenza di due potenze di uguale grado è sempre
divisibile per la differenza delle basi ed è divisibile per la somma delle basi
soltanto se l’esponente è pari.

è divisibile per (x + a) se n è pari.





Inf atti P (−a) = (−a)n − an = an − an = 0 solo se n è pari.



(xn − an ) 
è sempre divisibile per (x − a).





Inf atti P (a) = (a)n − an = 0 qualunque sia n.


1. (x2 − a2 ) è divisibile per (x − a). Infatti, P (a) = (a)2 − a2 = 0.
2. (x3 − a3 ) è divisibile per (x − a). Infatti, P (a) = (a)3 − a3 = 0.
3. (x2 − a2 ) è divisibile per (x + a). Infatti, P (−a) = (−a)2 − a2 = 0.
4. (x3 − a3 ) non è divisibile per (x + a). Infatti, P (−a) = (−a)3 − a3 =
−a3 − a3 = −2a3 6= 0.
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Dott.ssa Federica Bisignano
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Teorema 5 (Regola di Ruffini)
Si può applicare quando il divisore è un binomio del tipo (x−c). Il dividendo,
se non lo è già, va ordinato secondo le potenze decrescenti di x e completato.
I passaggi da eseguire, nel caso della divisione del polinomio a3 x3 + a2 x2 +
a1 x + a0 per (x − c), sono:
a3
a2
a1
a0
c
a3
a2
a1
a3
a3 c
a2 + a3 c
···
···
a3
a2
···
···
a3
a3 c
a2 + a3 c
···
···
···
R
c
c
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a0
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Esempio 12 Fattorizzare (x3 − a3 ).
Dal Teorema di Ruffini si ha che (x3 − a3 ) è divisibile per (x − a). Infatti
risulta P (a) = (a)3 − a3 = 0. Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini
+1
+a
+1
0
0
+a +a2
+a +a2
−a3
+a3
0
x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2 )
Esempio 13 Fattorizzare (x3 + a3 ).
Poichè abbiamo la somma di due potenze di ugual grado, e poichè l’esponente
è dispari, per quanto osservato in precedenza si ha che (x3 + a3 ) è divisibile
per (x + a). Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini
+1
0
0
+a3
+1
−a
−a
+a2
+a2
−a3
0
−a
x3 + a3 = (x + a)(x2 − ax + a2 )
Osservazione 1 Poichè capita frequentemente di dover scomporre somme o
differenze di cubi, è bene ricordare queste scomposizioni:
x3 + a3 = (x + a)(x2 − ax + a2 )
x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2 )
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Dott.ssa Federica Bisignano
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Dovendo dividere il polinomio P (x) per un binomio del tipo ax−b oppure
ax + b si opera nel seguente modo:
- si divide P (x) ed il binomio ax − b (oppure ax + b) per il coefficiente a;
- si trovano i coefficienti del quoziente applicando la Regola di Ruffini;
- il resto trovato si moltiplica per a(da una nota proprietà della divisione
risulta infatti che dividendo o moltiplicando il dividendo ed il divisore
per uno stesso numero il quoziente non cambia, il resto però rimane
moltiplicato o diviso per quel numero).
Esempio 14 Eseguire la divisione (4x3 − 7x2 + 5x − 2) : (2x − 1).
Dividendo per 2 il dividendo ed il divisore si ottiene:
7
5
1
(2x3 − x2 + x − 1) : (x − )
2
2
2
da cui applicando la Regola di Ruffini si ha:
1
2
2 − 27
5
2
−1
1
2 − 25
− 45
5
8
5
4
− 38
Q(x) = 2x2 − 52 x + 54
R(x) = − 83 · 2 = − 34 .
Nel caso in cui occorre soltanto verificare che un certo polinomio intero in x,
P (x), è divisibile, oppure no, per il binomio ax − b (oppure ax + b), basta
calcolare il resto che è dato da
à !
P
b
a
Ã
Ã
b
oppure P −
a
!!
.
Esempio 15 Stabilire se il polinomio 2x3 + 3x2 − 8x + 3 è divisibile per
(2x − 1).
È sufficiente calcolare il resto della divisione:
R=P
³1´
2
=2
³ 1 ´3
2
+3
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Dott.ssa Federica Bisignano
³ 1 ´2
2
³1´
−8
13
2
+3=
1 3
+ − 4 + 3 = 0.
4 4
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1.3
Scomposizione di un polinomio in fattori
Definizione 4 Si definisce irriducibile qualsiasi polinomio che non può
essere scomposto come prodotto di polinomi di grado minore.
Scomporre un polinomio vuol dire ridurlo a prodotti di polinomi che sono
irriducibili.
Per scomporre un polinomio non esiste una regola generale da seguire. Verranno indicati di seguito alcuni metodi da utilizzare nei diversi casi di scomposizione.
1.4
Raccoglimento a fattore comune
Se i termini di un polinomio hanno tutti in comune uno o più fattori, questi
possono, per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, essere
raccolti(o messi in evidenza). Il polinomio risulterà allora scomposto nel
prodotto tra il monomio formato da tutti i fattori comuni(cioè il monomio
M.C.D. dei termini del polinomio) ed il polinomio quoziente tra il polinomio
dato ed il monomio raccolto. In altri casi si può mettere in evidenza un
polinomio.
Esempio 16 Scomporre in fattori i seguenti polinomi:
1. 15x6 − 25x4 + 5x3
Essendo il M.C.D.{15x6 , −25x4 , 5x3 } = 5x3 , risulta:
15x6 − 25x4 + 5x3 = 5x3 · (3x3 − 5x + 1)
2. 6a4 b − 8a2 b3 + 2a3 b2
Essendo il M.C.D.{6a4 b, −8a2 b3 , 2a3 b2 } = 2a2 b, risulta:
6a4 b − 8a2 b3 + 2a3 b2 = 2a2 b · (3a2 − 4b2 + ab)
3. 5a(a + b) + 3b(a + b) − a2 (a + b)
Mettendo in evidenza il fattore polinomiale (a + b),comune a tutti i
termini del polinomio,si ha:
5a(a + b) + 3b(a + b) − a2 (a + b) = (a + b)(5a + 3b − a2 )
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14
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1.5
Raccoglimento a fattore parziale
Se il polinomio è del tipo:
ax + bx + ay + by
è possibile mettere in evidenza, nei primi due termini, il fattore comune x e,
negli ultimi due, il fattore comune y:
ax + bx + ay + by = x · (a + b) + y · (a + b)
mettendo poi in evidenza il fattore (a + b) si ha:
ax + bx + ay + by = x · (a + b) + y · (a + b) = (a + b) · (x + y)
Esempio 17 Scomporre in fattori i seguenti polinomi:
1. 3x + 6y − 2x2 − 4xy
3x + 6y − 2x2 − 4xy = 3 · (x + 2y) − 2x · (x + 2y) = (x + 2y) · (3 − 2x)
2.
1 2
x
3
− 2xy + 13 xy 2 − 2y 3
1 2
1
1
1
x − 2xy + xy 2 − 2y 3 = x2 + xy 2 − 2xy − 2y 3 =
3
3
3
3
µ
¶
1
1
2
2
2
= x · (x + y ) − 2y · (x + y ) = (x + y ) ·
x − 2y
3
3
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I polinomi
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1.6
Scomposizione mediante prodotti notevoli
Dato un polinomio da scomporre:
- qualunque sia il numero di termini si verifica la possibilità di effettuare
il raccoglimento totale;
- si conta il numero di termini del polinomio e, se possibile, si segue la
seguente tabella:
Se il polinomio ha:
2 termini
3 termini
4 termini
Può essere riconducibile a:
¦ differenza o somma
di potenze di uguale grado
¦ quadrato di un binomio
¦ trinomio del tipo x2 + (x1 + x2 )x + x1 · x2
¦ cubo del binomio
¦ raccoglimento parziale a fattore comune
¦ differenza tra quadrato del binomio e
quadrato di monomio e viceversa
Esempio 18 (Differenza di quadrati) Scomporre in fattori i seguenti binomi:
• 4a2 − 25b2 = (2a)2 − (5b)2 = (2a + 5b)(2a − 5b)
• 16x4 − 1 = (4x2 )2 − (1)2 = (4x2 + 1)(4x2 − 1) = (4x2 + 1)[(2x)2 − (1)2 ] =
(4x2 + 1)(2x − 1)(2x + 1)
Esempio 19 (Somma e differenza di cubi) Scomporre in fattori i seguenti
binomi:
• 125x3 + 1 = (5x)3 + (1)3 = (5x + 1)(25x2 − 5x + 1)
• 8a3 − 27b3 = (2a)3 − (3b)3 = (2a − 3b)(4a2 + 6ab + 9b2 )
Esempio 20 (Quadrato di binomio) Scomporre in fattori il seguente trinomio:
4x2 + 20x + 25 = (+2x)2 + 2(+2x)(+5) + (+5)2 = (2x + 5)2
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Esempio 21 (Fattorizzazione di un trinomio del tipo x2 + sx + p ) Si
supponga di dover fattorizzare un trinomio di secondo grado del tipo
x2 + sx + p
con s e p numeri razionali.
È semplice vedere che se esistono due numeri x1 e x2 tali che
x1 + x2 = s
x1 · x2 = p
il trinomio si può scomporre nel prodotto di due binomi, ossia
x2 + sx + p = (x + x1 )(x + x2 ).
Consideriamo ad esempio il trinomio x2 − 17x + 30. Si cercano x1 e x2 tali
che
x1 + x2 = −17
x1 · x2 = 30
Si osserva che poichè il prodotto fra x1 e x2 è positivo, i due numeri cercati
saranno concordi e poichè la somma fra x1 e x2 è negativa, è facile vedere
che i due numeri cercati sono: x1 = −15 e x2 = −2. Per cui risulta
x2 − 17x + 30 = (x − 15)(x − 2)
Esempio 22 (Cubo di binomio) Scomporre in fattori i seguenti quadrinomi:
• a3 + 6a2 b + 12ab2 + 8b3 = (a)3 + 3(a)2 (2b) + 3(a)(2b)2 + (2b)3 = (a + 2b)3
• 1 − 9x + 27x2 − 27x3 = (1)3 + 3(1)2 (−3x) + 3(1)(−3x)2 + (−3x)3 =
(1 − 3x)3
Esempio 23 (Raccoglimento parziale a fattore comune) Scomporre in
fattori il seguente quadrinomio:
2x2 + 4x + 3xy + 6y = 2x(x + 2) + 3y(x + 2) = (x + 2)(2x + 3y)
Esempio 24 (Differenza tra quadrato del binomio e quadrato di monomio)
Se il polinomio si presenta nella forma
a2 + 2ab + b2 − c2
si può vedere come
(a + b)2 − c2 = [(a + b) + c][(a + b) − c].
Scomponiamo il seguente quadrinomio:
4x2 + 4x + 1 − 25y 4 = (2x + 1)2 − (5y)2 = (2x + 1 + 5y 2 )(2x + 1 − 5y 2 )
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1.7
Fattorizzazione mediante la Regola di Ruffini
Per determinare una fattorizzazione di un dato polinomio Pn (x) di grado n,
si ricorre, quanto possibile, alla Regola di Ruffini illustrata in precedenza.
Per determinare un fattore del tipo (x − a) della scomposizione di Pn (x), può
essere utilizzato il seguente risultato:
Teorema 6 Le radici razionali di un polinomio Pn (x), ossia i valori che sostituiti alla variabile x annullano il polinomio, sono da ricercare fra i rapporti
dei divisori del termine noto e quelli del coefficiente del termine di grado
massimo, presi sia con il segno positivo che con il segno negativo.
Esempio 25 Fattorizzare il polinomio P4 (x) = x4 + 3x3 − 11x2 − 3x + 10.
I divisori del termine noto di P4 (x) sono: ±1, ±2, ±5, ±10.
Si trova che P4 (1) = 0 P4 (−1) = 0 P4 (2) = 0 P4 (−5) = 0. Il polinomio
P4 (x) è divisibile dunque per (x−1), (x+1), (x−2), (x+5). La fattorizzazione
cercata è data da:
P4 (x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 5)
.
Esempio 26 Fattorizzare il polinomio P3 (x) = 3x3 + 2x2 − 3x − 2.
I divisori di 2 sono: ±1, ±2;
I divisori di 3 sono: ±1, ±3;
Quindi i possibili valori razionali che annullano P3 (x) sono da ricercare tra:
±1, ±2, ± 31 , ± 23 .
P (1) = 3 + 2 − 3 − 2 = 0
P3 (x) è quindi divisibile per (x − 1). Calcoliamo il quoziente della divisione
fra P3 (x) e (x − 1) utilizzando la Regola di Ruffini
1
3 2
−3 −2
3
3 5
+5
2
+2
0
3x3 + 2x2 − 3x − 2 = (3x2 + 5x + 2)(x − 1).
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Consideriamo ora il polinomio P2 (x) = 3x2 + 5x + 2 e fattorizziamolo utilizzando lo stesso metodo.
P (1) = 3 + 5 + 2 6= 0
P (−1) = 3 − 5 + 2 = 0
P2 (x) è quindi divisibile per (x + 1).
3
−1
5
2
−3 −2
3 +2 0
Da cui 3x2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2).
Il polinomio iniziale P3 (x) può quindi essere scomposto come
3x3 + 2x2 − 3x − 3x − 2 = (x − 1)(x + 1)(3x + 2)
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