KANT
e la
MATEMATICA
1
• Definizione di cerchio:
cerchio: linea
curva in cui tutti gli angoli
vengono tagliati in due parti
uguali dalla stessa linea
perpendicolare che divide in
due parti uguali la sua corda.
1. Se traccio due linee ed una
terza forma un angolo retto solo
con una delle due, allora non
sono parallele
2. Se la distanza tra il punto P di una
delle linee e il punto di intersezione
tra la sua perpendicolare e l’altra linea
è diversa a seconda del punto iniziale
preso, esse non sono parallele.
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• Definizione di distanza
• Reciprocità delle distanze
Linee parallele
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un’analisi critica dei fondamenti del sapere
-
“criticare”: interrogarsi circa il fondamento di determinate esperienze
umane, chiarendone le possibilità, le condizioni che ne permettono
l’esistenza, la validità ossia la sua legittimità, e i limiti, i confini di
validità.
-
Confronto tra Matematica e Filosofia
o Analogia: Conoscenze universali a priori
o Differenza: il Metodo
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Le definizioni
Gli assiomi
Le dimostrazioni
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Parte da conoscenze valide e certe per
costruire su di esse tutta la metafisica
o La matematica è valida e necessaria, cioè
razionale:
il Principio Matematico
o Importanza degli assiomi e dei postulati
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Senso
Intelletto
Ragione
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Le critiche di Couturat
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• Contraddizione
• Impossibilità di infierire dal carattere sintetico
delle definizioni il carattere sintetico dei
giudizi.
• Non ha senso distinguere tra definizioni
analitiche e sintetiche
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5 + 7 = 12
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Kant
“I corpi sono estesi”
“l’oro è giallo”
sono giudizi analitici, quindi giallo ed esteso sono
impliciti nella definizione
Couturat
Anche 5+7 contiene per definizione
il concetto di 12 !!!
Tannery La distinzione dei giudizi si basa
sullo stato di conoscenza dello spirito
Nuova classificazione
Giudizi analitici
Giudizi sintetici
Immediati
Mediati
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1. “La linea retta è la più
breve tra due punti”
non è un assioma
né un principio
ma un teorema dimostrabile
la retta non è una quantità né una qualità né una
grandezza ma è il supporto di lunghezze
L’esempio non è un giudizio sintetico!
2. “in un triangolo la
somma di due lati è
maggiore del terzo”
a
b
c
a+b>c, b+c>a, a+c>b
Prendere 3 linee
prop. Analitica
Due di esse devono essere maggiori della terza
prop. Sintetica
l’esempio è effettivamente
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3. “ogni figura composta da tre lati
è triangolare”
Concetto di angolo
Kant: rette che
si intersecano
Couturat : due definizioni di triangolo
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Per Kant riposano sull’intuizione
mentre il filosofo non ne
trae niente di nuovo,
il geometra ne ricava:
“la somma dei tre angoli di un
triangolo è uguale a due
retti”
Nelle dimostrazioni non bisogna mai evocare le proprietà
apparenti della figura
Bisogna prima dimostrare che un punto o una linea
esistono e giacciono proprio là dove li si è rappresentati
le dimostrazioni geometriche sono
deduzioni puramente logiche
14
=
L’intuizione
si rapporta immediatamente agli oggetti
Per Couturat essa interviene come mezzo ausiliario solo nella
Geometria sintetica
Mentre non interviente
- Nella Geometria analitica
- Nella Geometria proiettiva
- Nei calcoli geometrici
l’uguaglianza geometrica
Consiste nella sovrapposizione, che non è un fenomeno
intuitivo ma deve essere dimostrato
Due rette che hanno due punti
In comune coincidono
Paradosso degli oggetti simmetrici
ci sono figure simili o uguali ma incongruenti
queste hanno le stesse relazioni di grandezza ma
inverse relazioni d’ordine
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Ogni geometria è un sistema ipotetico-deduttivo, un
insieme di proposizioni che dipendono da ipotesi
Scelta fra tutte le geometrie cioè fra i postulati:
• data dall’esperienza
i giudizi geometrici sono
sintetici a posteriori
• data da comodità intellettuali
i giudizi sono
sintetici a priori
Origine dei postulati
intuitiva
intellettuale
L’esistenza di più geometrie possibili è un
argomento a favore della tesi kantiana.
È la ricostruzione logica dell’analisi che ha
rovinato la filosofia kantiana della
matematica
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4
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,6- 7- 6
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