+b - UNISA

Elementi di Algebra Matriciale
(richiami)
• Definizione di matrice
• Matrice quadrata, diagonale, identità, triangolare,
simmetrica
• Matrice trasposta
• Principali operazioni su matrici e vettori: somma,
sottrazione, prodotto
• Il determinante e la matrice inversa
• Il rango di una matrice
• Forme quadratiche e matrici definite positive
1
DEFINIZIONE DI MATRICE
→ INSIEME ORDINATO DI NUMERI DISPOSTI IN RIGHE
E COLONNE
A=
(N x M)
a11
a12
...
a1M
a21
a22
...
a2M
...
...
...
...
...
...
...
...
aN1
aN2
...
aNM
aij = elemento generico
della matrice
Ogni elemento aij è individuato
dall’indice di riga i e dall’indice
di colonna j.
i = 1, 2, … N
j = 1, 2, … M
LA MATRICE A E’ DI DIMENSIONI N, NUMERO DI RIGHE, PER M,
NUMERO DELLE COLONNE
NELL’INDICARE L’ORDINE DI UNA MATRICE, IL NUMERO DELLE
RIGHE PRECEDE SEMPRE IL NUMERO DELLE COLONNE
2
DUE CASI LIMITE
VETTORE RIGA → è semplicemente una matrice
con solo una riga
A = [a11, a12, …, a1M]
(1 x M)
VETTORE COLONNA → è semplicemente una
matrice con solo una colonna
(N x 1)
…
A=
a11
a21
aN1
3
MATRICE QUADRATA
→ è una matrice con un uguale numero di righe e di colonne
→
M=N
→
A=
(N x N)
a11
a12
...
a1N
a21
a22
...
a2N
...
...
...
...
aN1
aN2
...
aNN
In questo caso, A si dice quadrata di ordine N.
• per i = j → gli elementi aii (per i = 1, 2, . . . , N) si dicono
elementi diagonali o appartenenti alla diagonale principale di A
• per i ≠ j → gli elementi aij si dicono elementi extradiagonale
4
MATRICE DIAGONALE
→ è una matrice quadrata con gli elementi diagonali diversi
da zero e gli elementi extradiagonali nulli
a11
0
...
0
0
a22
...
0
...
...
...
...
0
0
...
aNN
• per i = j → aii ≠ 0
per
i = 1, 2, . . . , N
• per i ≠ j → aij = 0
per
i,j = 1, 2, . . . , N
A=
(N x N)
5
MATRICE IDENTITA’ o UNITA’
→ è una matrice quadrata con gli elementi diagonali uguali
a 1 e gli elementi extradiagonali nulli.
→ generalmente si indica con la lettera I
I=
(N x N)
1
0
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1
• per i = j → aii = 1
per
i = 1, 2, . . . , N
• per i ≠ j → aij = 0
per
i,j = 1, 2, . . . , N
6
MATRICE TRIANGOLARE
→ è una matrice quadrata con gli elementi della diagonale
principale e quelli sopra/sotto la diagonale non nulli
U=
(N x N)
L=
(N x N)
a11
a12
...
a1N
0
a22
...
a2N
...
...
...
...
0
0
...
aNN
a11
0
...
0
a21
a22
...
0
...
...
...
...
aN1
aN2
...
aNN
U si dice
triangolare superiore
L si dice
triangolare inferiore
7
MATRICE SIMMETRICA
→
è una matrice quadrata con gli elementi simmetrici
rispetto alla diagonale principale uguali
A=
(N x N)
aij = aji
per
a11
a12
...
a1N
a21
a22
...
a2N
...
...
...
...
aN1
aN2
...
aNN
i, j = 1, 2, …, N
Ogni matrice diagonale è simmetrica, in quanto tutti gli elementi
all'esterno della diagonale principale sono zero.
8
MATRICE TRASPOSTA
→
si dice trasposta di una matrice, la matrice ottenuta
scambiando ordinatamente le righe con le colonne.
A=
(N x M)
a11
a12
...
a1M
a11
a21
...
aN1
a21
a22
...
a2M
a12
a22
...
aN2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
aN1
aN2
...
aNM
a1M
a2M
...
aMN
B=
(M x N)
Data una matrice A, la matrice B = A’ (o AT) i cui elementi
sono bij = aji per i = 1, 2, …, N e j = 1, 2, …, M si dice
matrice trasposta della matrice A
9
PROPRIETA’ DELL’OPERAZIONE DI
TRASPOZIONE
• L’operazione di trasposizione è applicabile qualsiasi siano le
dimensioni della matrice (sia rettangolare che quadrata)
• Se A ha dimensioni 1 x N allora A’ è N x 1 → il trasposto di
un vettore riga è un vettore colonna (e viceversa)
• Se A è una matrice simmetrica → A’ = A
• La trasposta di una matrice trasposta è uguale alla matrice
originaria → (A’)’ = A
• Trasposta di una somma di matrici → (A + B)’ = A’ + B’
• Trasposta di un prodotto di matrici → (AB)’ = B’A’ e, per
estensione, (ABC)’ = C’B’A’
10
UGUAGLIANZA DI DUE MATRICI
Due matrici, A e B, si dicono UGUALI se
aij = bij per ogni i = 1, 2, …, N e j = 1, 2, …, M.
Quindi l’operazione di uguaglianza tra due matrici
richiede che esse siano delle stesso ordine, in altri
termini che abbiano le stesse dimensioni, N x M.
11
L’OPERAZIONE DI ADDIZIONE
La somma di due o più matrici è definita se e solo se tutte
le matrici hanno lo stesso ordine → devono avere lo stesso
numero di righe, m, e lo stesso numero di colonne, n.
Definiamo due matrici (quadrate, ma non è necessario),
A e B entrambe di dimensioni 2 x 2, e calcoliamo la
matrice C sommando A e B
C=A+B=
a11
a12
a21
a22
+
b11
b21
b12
b22
=
c11=a11+b11
c12=a12+b12
c21=a21+b21
c22=a22+b22
→ La matrice C è ottenuta semplicemente sommando gli
12
elementi corrispondenti delle matrici A e B
PROPRIETA’ DELL’OPERATORE ADDIZIONE
1.
PROPRIETA’ ASSOCIATIVA
A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)
2.
PROPRIETA’ COMMUTATIVA
A+B=B+A
3.
ESISTENZA DELL’ELEMENTO NEUTRO RISPETTO
ALLA SOMMA → data la matrice A, esiste una matrice 0
delle stesse dimensioni di A, detta matrice nulla, tale che
A+0=A
4.
ESISTENZA DELL’OPPOSTO → per ogni matrice A,
esiste una matrice -A, detta matrice opposta, tale che
A + (-A) = 0. La matrice –A si ottiene cambiando
ordinatamente di segno gli elementi di A.
13
L’OPERAZIONE DI SOTTRAZIONE
La sottrazione di due o più matrici è definita se e solo se tutte
le matrici hanno lo stesso ordine → devono avere lo stesso
numero di righe, m, e lo stesso numero di colonne, n.
Utilizziamo le matrici definite nella slide precedente,
A e B di dimensioni 2 x 2, e otteniamo la matrice D
sottraendo B ad A
D=A-B=
a11
a12
a21
a22
-
b11
b21
b12
b22
=
d11=a11-b11
d12=a12-b12
d21=a21-b21
d22=a22-b22
→ Come per la somma, la matrice D è ottenuta semplicemente
14 B
sottraendo agli elementi di A gli elementi corrispondenti di
PRODOTTO TRA VETTORI – 1
• PRODOTTO INTERNO o SCALARE:
dati due vettori colonna A e B entrambi (N x 1), si definisce
prodotto interno o scalare, che si indica con A’·B, il prodotto
A ' B = [a11
a12
! b11 "
#b $
K a1N ]% # 21 $ = [a11b11 + a12b21 + K + a1N bN 1 ]
# M $
# $
&bN 1 '
Il risultato del prodotto interno è quindi uno scalare.
Il prodotto interno o scalare gode della proprietà commutativa:
nel nostro esempio, A’·B = B’·A
15
PRODOTTO TRA VETTORI – 2
• PRODOTTO ESTERNO:
dati due vettori colonna A e B entrambi (N x 1), si definisce
prodotto interno o scalare, che si indica con A·B’, il prodotto
! a11 "
! a11b11
#a $
#a b
AB ' = # 21 $ % [b11 b12 K b1N ] = # 21 11
# M $
#
# $
#
a
& N1 '
& aN 1b11
a11b12
a21b12
aN 1b12
a11b1N "
a21b1N $$
$
$
aN 1b1N '
Il risultato del prodotto esterno è quindi una matrice.
Il prodotto esterno non gode della proprietà commutativa:
nel nostro esempio, A·B’ ≠ B·A’
16
PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UNO
SCALARE
Dato un numero reale k (detto scalare) ed una matrice A,
si definisce prodotto della matrice A per lo scalare k
la matrice B = k·A il cui generico elemento è k·aij
" a11
B = k ! A = k !$
& a21
a12 # " b11 = k ! a11 b12 = k ! a12 #
=$
%
%
a22 ' &b21 = k ! a21 b22 = k ! a22 '
17
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO DI UNA
MATRICE PER UNO SCALARE
•
(k + h) A = k A + h A
•
k (A + B) = k A + k B
•
(k h) A = k (h A)
•
1A=A
18
PRODOTTO TRA MATRICI – 1
Sia A una matrice M x N e B una matrice N x K, si definisce
prodotto tra le matrici A e B la matrice C = A·B che ha
• tante righe quante sono le righe di A
• tante colonne quante sono le colonne di B
→
la matrice prodotto C = A·B è una matrice M x K
IMPORTANTE: per calcolare il prodotto tra due matrici
esse devono avere gli indici di dimensione interni uguali
[M x N] e [N x K]
In questo caso, le due matrici si dicono CONFORMI o
DI ORDINE APPROPRIATO
19
PRODOTTO TRA MATRICI – 2
Il generico elemento della matrice prodotto C, cij, è ottenuto
dalla somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di A
per i corrispondenti elementi della j-esima colonna di B
N
cij = ! aik bkj
K =1
→ l’elemento di posizione ij di C è uguale al prodotto interno
della riga i della matrice A e della colonna j della matrice B
Il prodotto tra matrici è detto anche prodotto riga per colonna
20
ESEMPIO DI PRODOTTO TRA MATRICI
! a11
#a
# 21
#% a31
a12 "
! c11 = a11b11 + a12b21 c12 = a11b12 + a12b22 "
! b11 b12 " #
$
$
a22 $ #
=
c
=
a
b
+
a
b
c
=
a
b
+
a
b
21
21 11
22 21
22
21 12
22 22 $
$
#
b21 b22 &
%
#% c31 = a31b11 + a32b21 c32 = a31b12 + a32b22 $&
a32 $& (2 x 2)
(3 x 2)
(3 x 2)
ESEMPIO NUMERICO
!7 10 "
! (1 # 7 ) + (2 # 8 ) + (3 # 9 ) (1 #10 ) + (2 #11) + (3 #12 )"
!1 2 3" $
%
%
$ 4 5 6 % $8 11% = $ 4 # 7 + 5 # 8 + 6 # 9
4
#
10
+
5
#
11
+
6
#
12
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
&
' $9 12 % &
'
(2 x 3)
(2 x 2)
&
'
(3 x 2)
21
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO TRA MATRICI
• il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa
→ l’ordine nel quale le matrici sono moltiplicate è importante
→A·B≠B·A
→ A · B indica che A è post-moltiplicata per B o
equivalentemente che B è pre-moltiplicata per A
• nel caso A sia M x N e B N x K → il prodotto A · B esiste,
mentre B · A esiste solo se K = M
• anche nel caso in cui K = M, A · B ≠ B · A
→ se due matrici sono quadrate e dello stesso ordine si può
eseguire sia il prodotto A B che il prodotto B A ottenendo
una matrice quadrata dello stesso ordine (anche in questo
22
caso però il prodotto non è in generale commutativo).
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO TRA MATRICI
QUADRATE
• Proprietà Associativa:
A (B C) = (A B) C
• Proprietà Distributiva:
A (B + C) = (A B) + (A C)
• Esistenza dell’elemento neutro rispetto al prodotto
A I = I A = A dove I è la matrice identità
23
PRODOTTO DI KRONECKER
Siano date due matrici A di ordine (N x M) e B di ordine
(P x Q) → il prodotto di Kronecker è definito come
! a11 B L a1M B "
#
$
A% B = # M
O
M $
#& aN 1 B L aNM B $'
Ogni elemento della matrice A è moltiplicato per tutti gli
elementi della matrice B → la matrice risultante ha
dimensioni (NP x MQ)
24
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO DI KRONECKER
1.
PROPRIETA’ ASSOCIATIVA
•
A
(B + C) = A
B+A
C (se B e C sono
conformabili alla somma)
•
(k A)
•
(A
B=A
B)
(k B) = k (A
C=A
(B
B) con k scalare
C)
2.
PRODOTTO MISTO: se A, B, C e D sono matrici tali
che esiste il prodotto righe per colonne tra A e C e
tra B e D → esiste anche (A B) (C D) e vale che
(A B) (C D) = (A C) (B D)
3.
INVERSIONE: A B è invertibile se e solo se lo sono
anche A e B e l’inversa è data da (A B)-1 = A-1 B-1
25
POTENZA DI UNA MATRICE
Definizione:
Ar = A·A·A … A
(r volte)
Proprietà:
1. A0 = I
2. Ar+s = Ar + As
3. (Ar)s = Ars
Matrice IDEMPOTENTE
→
A2 = A
Matrice IDEMPOTENTE di ORDINE r
→
Ar = A
26
TRACCIA DI UNA MATRICE
Data una matrice quadrata A di dimensioni N x N, si
definisce traccia la somma dei suoi elementi diagonali
→
tr(A) = a11 + a22 + a33 + … + aNN
Proprietà:
1. data una matrice A → tr(A) = tr(A’)
2. date due matrici A e B quadrate dello stesso ordine e
due scalari h e k → tr(hA+kB) = h·tr(A)+k·tr(B)
3. date due matrici A (NxM) e B (MxN)
→ tr(AB) = tr(BA)
27
→ tr(AA’) = tr(A’A)
DETERMINANTE – 1
Ad ogni matrice quadrata si associa uno scalare detto
determinante, indicato generalmente con det(A) o
|A|.
Nel caso più semplice di una matrice quadrata A (2x2) il
determinante è dato da
det(A) = a11a22 – a12a21
cioè dalla differenza tra il prodotto degli elementi sulla
diagonale principale e quello degli elementi sulla
diagonale secondaria.
28
DETERMINANTE – 2
Nel caso di matrici di ordine superiore, il determinante si
ottiene sommando i prodotti degli elementi di una riga o di una
colonna qualsiasi della matrice per i rispettivi cofattori
nel caso di una matrice di ordine (3x3), considerando la prima
riga della matrice si ha
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
dove Cij = (-1)i+j Mij è detto cofattore o minore segnato
Mij è il determinante (chiamato minore) della sottomatrice
ottenuta dalla matrice A eliminando la riga i-esima e la
colonna j-esima.
29
DETERMINANTE – 3
! a11
#
data A = a21
#
#% a31
a12
a22
a32
a13 "
$
a23 $ → det ( A ) = a11C11 + a12C12 + a13C13
a33 $&
! a22 a23 "
C11 = (#1) det $
% = a22 a33 # a32 a23
& a32 a33 '
! a21 a23 "
1+ 2
C12 = (#1) det $
% = #(a21a33 # a31a23 )
& a31 a33 '
! a21 a22 "
1+ 3
C13 = (#1) det $
% = a21a32 # a31a22
& a31 a32 '
1+1
det ( A ) = a11 (a22 a33 ! a32 a23 ) + a12 (!a21a33 + a31a23 ) + a13 (a21a32 ! a31a22 )
30
DETERMINANTE – 4: REGOLA DI SARRUS
Data una matrice quadrata A (3x3)
! a11
A = ## a21
#% a31
a12
a22
a32
a13 "
a23 $$
a33 $&
il suo determinante può essere calcolato facilmente ricorrendo
alla regola di Sarrus (dal nome del matematico francese Pierre
Frederic Sarrus)
! a11
A = ## a21
#% a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12 "
a22 $$
a32 $&
Il det(A) è la somma degli
elementi sulle 3 diagonali
“principali” meno la somma
degli elementi sulle 3
diagonali “secondarie”
det( A) = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 ! a13 a22 a31 ! a11a23 a32 ! a12 a21a33
31
DETERMINANTE – 5
In generale, considerando la riga i-esima il deterimante
è
det(A) = Σj aij Cij
→
Se il determinante di una matrice è non nullo,
la matrice è detta non singolare
→
Se il determinante di una matrice è nullo,
la matrice è detta singolare
32
PROPRIETA’ DEL DETERMINANTE
1. il determinante di una matrice triangolare superiore,
inferiore o diagonale è pari al prodotto degli elementi
sulla diagonale principale
2. il determinante di una matrice identità è pari a 1
3. data una matrice A, det(A) = det(A’)
4. se una matrice ha una riga/colonna di elementi tutti nulli,
il determinante sarà nullo
5. se si scambiano due righe/colonne in A, cambia il segno
del determinante di A
6. moltiplicando per una costante k ogni elemento di una
riga/colonna di A, il det(A) che ne risulta è pari a k·det(A)
7. data una matrice A e uno scalare k, det(kA) = kndet(A)
8. date due matrici A e B, det(A+B) ≠ det(A) + det(B)
33
9. date due matrici A e B, det(A·B) = det(A) · det(B)
MATRICE INVERSA
L’inversa di una matrice quadrata A è una matrice A-1 che
pre- o post-moltiplicata per A produce la matrice identità
A·A-1 = A-1·A = I
Condizione necessaria e sufficiente perché la matrice A
abbia l’inversa è che A sia non singolare, ossia che
det(A) ≠ 0
L’inversa di A si ottiene da:
1
A =
adj ( A)
det( A)
!1
dove adj(A) è la matrice aggiunta della matrice A
34
MATRICE AGGIUNTA
La matrice aggiunta della matrice A è la matrice trasposta
della matrice dei cofattori.
T
! C11 C12 LL C1N "
! C11
#C
$
#C
C
C
22
2N $
adj A = # 21
= # 12
# MOMMOM
$
#
#
$
#
%CN 1 CN 2 LL CNN &
%C1N
C21
C22
C2 N
CN 1 "
CN 2 $$
$
$
CNN &
dove Cij = (-1)i+j Mij rappresenta il cofattore definito
poco sopra
35
MATRICE INVERSA: ESEMPIO NUMERICO
Data la matrice quadrata A (2x2)
calcoliamo i quattro cofattori
!1 2 "
A=#
$
%3 4 &
C11 = 4; C12 = !3; C21 = !2; C22 = 1
T
quindi l’aggiunta di A
" 4 !3#
" 4 !2 #
adj A = $
=$
%
%
& !2 1 '
& !3 1 '
ed infine l’inversa, A-1
A
!1
1 "4
=
4 ! 6 $& !3
!2 #
"4
= !0, 5 $
%
1'
& !3
!2 # " !2
=$
%
1 ' &1, 5
1 #
!0, 5%'36
L’INVERSA DI UNA MATRICE (2 x 2)
Data una matrice A (2 x 2) come nella slide precedente,
l’inversa può essere calcolata con pochi semplici passaggi:
1. calcolo del determinante (differenza tra il prodotto degli
elementi sulla diagonale principale e quelli sulla diagonale
secondaria)
2. inversione di posto tra gli elementi sulla diagonale
principale, a11 e a22
3. cambio di segno degli elementi sulla diagonale secondaria,
a12 e a21
4. divisione di ogni elemento per il determinante
Attenzione: questa procedura per il calcolo della
matrice inversa è valida solo per le matrici (2 x 2)
37
PROPRIETA’ DELL’INVERSA
•
•
•
•
•
•
se esiste, A-1 è unica
(AB)-1 = B-1 A-1
(A-1)-1 = A
(A’)-1 = (A-1)’
det(A-1) = 1/det(A)
se A è una matrice ortogonale (ovvero AA’ = I)
allora A’= A-1
• se A è una matrice diagonale, A-1 è una matrice
diagonale di elementi aii-1, per ogni i =1, 2, …, N
• se A è una matrice simmetrica, lo è anche la sua
inversa
38
DIPENDENZA e INDIPENDENZA LINEARE
Dati due vettori X1 e X2, essi si dicono linearmente indipendenti
se e solo se l’unica soluzione di
!1 X 1 + !2 X 2 = 0
è data da λ1 = λ2 = 0. Non è possibile quindi esprimere
nessuno dei due vettori come combinazione lineare dell’altro
In generale, dati p vettori, si dice che essi sono linearmente
dipendenti se è possibile determinare p costanti non tutte
nulle tali che
!1 X 1 + !2 X 2 + ... + ! p X p = 0
In tal caso, almeno uno dei vettori Xi è combinazione lineare
39
degli altri.
RANGO DI UNA MATRICE – 1
DEFINIZIONE 1
→
data una matrice A di ordine (N x P) si definisce
rango di colonna il numero massimo di vettori
colonna linearmente indipendenti contenuti nella
matrice
→
analogamente, si definisce rango di riga il numero
massimo di vettori riga linearmente indipendenti
→
il rango di riga e il rango di colonna coincidono
Si ha quindi che
0 ≤ rango(A) ≤ min(N,P)
Se: rango(A) = N → si dice che A ha rango pieno di riga
rango(A) = P → si dice che A ha rango pieno di colonna
40
RANGO DI UNA MATRICE – 2
DEFINIZIONE 2
data una matrice A di ordine (N x P) si definisce rango
della matrice l’ordine massimo dei minori non nulli
in altre parole, il rango di una matrice A è l’ordine
massimo delle sottomatrici in A contenute a determinante
non nullo
41
PROPRIETA’ DEL RANGO
1. rango(A) = rango(A’)
2. rango(A·A’) = rango(A)
3. se A è una matrice quadrata e non singolare
→ rango(A) = rango(A-1)
4. se A ha rango pieno di colonna e B ha rango pieno di
riga → rango(AB) = min (rango(A), rango(B))
5. rango(A+B) ≤ rango(A) + rango(B)
6. se una matrice quadrata A di ordine N è idempotente
(ovvero, A2 = A) → rango(IN – A) = N – rango(A)
42
FORME QUADRATICHE
Se:
A è una matrice quadrata di ordine (N x N) e
X è un vettore colonna (N x 1)
→
il prodotto X’AX prende il nome di forma quadratica
Possiamo distinguere 4 diversi casi:
1. se X’AX > 0
2. se X’AX ≥ 0
3. se X’AX < 0
4. se X’AX ≤ 0
→
→
→
→
A è definita positiva
A è semidefinita positiva
A è definita negativa
A è semidefinita negativa
43
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
• Capitolo 4 di Johnston, J. (2003), Econometrica,
Franco Angeli, Milano;
• Appendice 16.1 di Stock, J.H. e Watson M.W.
(2005), Introduzione all’Econometria, a cura di
Peracchi F., Pearson, Milano
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