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1 Amplificatori Ottici
3
1.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Assorbimento, emissione stimolata e spontanea . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Caratteristiche degli Amplificatori Ottici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.1
Amplificatori Ottici a Semiconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.2
Amplificatori in Fibra Drogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
EDFAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.1
Livelli energetici dell’erbio e lunghezze d’onda di pompa . . . . . . .
9
1.4.2
Equazioni di un EDFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4
2
Capitolo 1
Amplificatori Ottici
1.1
Introduzione
Sebbene un segnale ottico possa propagarsi su distanze molto lunghe senza la necessità di
essere amplificato, sia i sistemi a lunga distanza che le reti ottiche locali possono trarre
molti vantaggi dalla disponibilità di amplificatori ottici.
L’amplificazione ottica differisce notevolmente da quella optoelettronica in quanto ha come
unico scopo quello di innalzare la potenza del segnale. Questo tipo di amplificazione è detto
1R (regeneration) ed è totalmente trasparente al tipo di dati, cioè il processo di amplificazione è indipendente dal formato di modulazione dei segnali. Nel caso di ampificazione
optoelettronica, invece, si parla di amplificazione 3R (regenartion, reshaping e reclocking);
la fibra ottica è impiegata solo come mezzo trasmissivo mentre i segnali ottici sono amplificati a livello elettrico dapprima convertendo il segnale ottico in segnale elettronico e poi di
nuovo il segnale elettronico in segnale ottico.
Grazie agli elevati guadagni e alle alte potenze di uscita, la distanza tipica tra due amplificatori ottici è almeno due o tre volte maggiore di quella tra due ripetitori elettronici, con
una conseguente notevole riduzione dei costi dei sistemi di trasmissione. Tuttavia, questi
vantaggi vengono a spese della necessità di dovere gestire la degradazione del rapporto
segnale-rumore dovuta all’accumulo sia del rumore degli amplificatori sia della distorsione
dovuta alla dispersione su tutto il collegamento.
L’amplificazione ottica si basa sul principio dell’emissione stimolata in modo del tutto simile
a quanto avviene nei laser. I due tipi principali di amplificatori ottici sono gli amplificatori
ottici a semiconduttore (SOA) e quelli in fibra ottica (OFA).
3
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
1.2
4
Assorbimento, emissione stimolata e spontanea
Al fine di comprendere il funzionamento sia degli amplificatori ottici che dei laser è neccessario un breve richiamo dei principali effetti di interazione tra un’onda elettromagnetica e
un mezzo materiale. I meccanismi con i quali la materia interagisce con la radiazione sono
l’assorbimento, l’emissione stimolata e l’emissione spontanea.
Il mezzo materiale, in generale, è costituto da atomi o ioni caratterizzati dai loro livelli
energetici che rappresentano gli stati in cui tali atomi o ioni possono trovarsi. Si indica
solitamente con Ni il numero di atomi per unità di volume che si trovano nelle stato di energia Ei . La radiazione elettromagnetica è caratterizzata dalla frequenza ν o dalla lughezza
d’onda λ, nel caso di una descrizione in termini di onde. In alternativa, se si preferisce una
descrizione in termini di fotoni, ogni fotone è caratterizzato dalla propria energia E = hν.
Per semplicità, consideriamo che un atomo possa assumere solo due stati energetici, si parla
Figura 1.1: Assorbimento, emissione stimolata e spontanea in un sistema a due livelli.
in questo caso di sistema a due livelli. Sia N1 la popolazione del livello con energia E1
più bassa, detto anche livello fondamentale e N2 quella del livello eccitato, avente energia
E2 . Si consideri un’onda elettromagnetica avente frequenza ν, tale che E = hν = E2 − E1 ,
cioè ogni fotone associato all’onda elettromagnetica abbia un’energia esattamente uguale al
salto di energia tra i due livelli caratteristici del mezzo materiale in considerazione. Allora
l’onda elettromagnetica può interagire con il mezzo materiale attraverso tre fenomeni: l’assorbimento, l’emissione stimolata e l’emissione spontanea.
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
5
Si ha assorbimento quando il fotone incide su un atomo che si trova nello stato fondamentale e come risultato di tale interazione il fotone viene assorbito dall’atomo che, in virtù di
questo assorbimento, passa dallo stato fondamentale allo stato eccitato. Il numero di atomi che, nell’unità di tempo, susbiscono una transizione di questo tipo dipenderà sia dalla
popolazione N1 del livello fondamentale, sia dall’intensità I dell’onda incidente. Si definisce
frequenza di assorbimento W12 :
I
.
(1.1)
hν
è detta sezione d’urto di assorbimento ed ha le dimensioni fisiche di una
W12 = σ12
La grandezza σ12
superficie. Il rapporto
I
hν
rappresenta il numero di fotoni incidenti nell’unità di tempo e
per unità di superficie. Quindi la variazione della popolazione N1 del livello fondamentale
nell’unità di tempo è data da
I
dN1
= −W12 N1 = − σ12
N1 .
dt
hν
(1.2)
Si supponga ora che l’atomo di trovi nel livello eccitato di energia E2 e che su di esso incida
un fotone. In questo caso, il fotone può stimolare l’emissione di un altro fotone avente la
stessa frequenza e fase. Come conseguenza di questa emissione stimolata, l’atomo compie
una transizione dal livello eccitato al livello fondamentale. Il numero di atomi che nell’unità di tempo subiscono l’emissione stimolata dipende sia dalla popolazione N2 del livello
eccitato, sia dall’intensità I dell’onda. Analogamento a quanto fatto per l’assorbimento, si
definisce frequenza di emissione W21
W21 = σ21
I
hν
(1.3)
dove σ21 è la sezione d’urto di emissione.
Per effetto dell’emissione stimolata la variazione della popolazione N2 è data da:
dN2
I
= −W21 N2 = − σ21
N2 .
dt
hν
(1.4)
Infine, per quanto riguarda l’emissione spontanea, questo è un fenomeno spontaneo che può
avvenire ogniqualvolta un atomo che si trova in uno stato ecciato decade verso uno stato
avente energia inferiore e la corrispondente differenza di energia è emessa sotto forma di un
fotone. Questo fenomeno è caratterizzato attraverso una grandezza detta tempo di vita τ
del livello eccitato. La probabilità di emissione spontanea A21 è inversamente proporzionale
al tempo di vita:
A21 =
1
.
τ
(1.5)
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
6
La variazione della popolazione del livello 2 dovuta alla sola emissione spontanea è:
dN2
N2
= −A21 N2 = − .
dt
τ
1.3
(1.6)
Caratteristiche degli Amplificatori Ottici
I parametri fondamentali che sono di interesse in un amplificatore ottico sono il guadagno,
la banda di guadagno, la saturazione del guadagno, la sensibilità alla polarizzazione e il
rumore.
Il guadagno misura il rapporto tra la potenza di uscita di un segnale e la sua potenza in
ingresso. Gli amplificatori sono anche spesso caratterizzati in termini efficienza del guadagno, che misura il guadagno in funzione della potenza di ingresso in dB/mW .
La banda di guadagno di un amplificatore si riferisce all’intervallo di frequenze o di lunghezze
d’onda su cui l’amplificatore è efficace. La banda di guadagno, una volta fissata la spaziatura tra i canali, limita il numero di lunghezze d’onda disponibili.
Il punto di saturazione del guadagno di un amplificatore è il valore di potenza di uscita
per cui la potenza di uscita stessa non aumenta ulteriormente aumentando la potenza in
ingresso. Tipicamente la potenza di saturazione è definita come la potenza di uscita per cui
si ha una riduzione di 3 dB nel rapporto potenza in uscita - potenza in ingresso (small-signal
gain).
La sensibilità alla polarizzazione si riferisce alla dipendenza del guadagno dalla polarizzazione del segnale. La sensibilità è misurata in dB e rappresenta la differenza di guadagno
tra la polarizzazione TE e quella TM.
Negli amplificatori ottici la principale sorgente di rumore è l’emissione spontanea amplificata (ASE), che deriva dall’emissione spontanea nella regione attiva dell’amplificatore. La
quantità di rumore generata dall’amplificatore dipende da fattori come lo spettro di guadagno dell’amplificatore, la banda di rumore e il parametro di inversione di popolazione, che
specifica il grado di inversione di popolazione tra due livelli. Il rumore dell’amplificatore
può costituire un problema specialmente quando più amplificatori sono messi in cascata.
1.3.1
Amplificatori Ottici a Semiconduttore
Un amplificatore a semiconduttore è essenzialmente un laser a semiconduttore modificato.
Un debole segnale è inviato in ingresso alla regione attiva del semiconduttore e, grazie all’emissione stimolata, in uscita si ha un segnale di maggiore intensità.
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
7
I due principali tipi di amplificatori a semiconduttore sono quello Fabry-Perot e quello
travelling-wave (TWA). La principale differenza tra i due è la riflettività degli specchi. Gli
amplificatori Fabry-Perot hanno una riflettività di circa il 30%, mentre quelli travelling-wave
hanno una riflettività di circa lo 0.01%. Al fine di impedire l’emissione laser nell’amplificatore Fabry-Perot, la corrente è mantenuta al di sotto della corrente di soglia per cui si
avrebbe l’innesco dell’emissione laser. Gli amplificatori Fabry-Perot hanno una banda passante stretta, tipicamente di circa 5 GHz. Questo li rende non adatti a sistemi WDM, per
i quali sono più adatti i TWA.
Attualmente i SOA permettono di ottenere guadagni di circa 25 dB con una potenza di
saturazione di 10 dBm, sensibilità alla polarizzazione di 1 dB e una larghezza di banda di
40 nm.
Di particolare interesse sono, inoltre, i SOA con struttura a Multi Quautum Well. Questi
amplificatori hanno bande maggiori, potenza di saturazione più elevata e tempi di switching
inferiori rispetto ai dispositivi bulk. L’unico svataggio è la maggiore sensibilità alla polarizzazione.
In generale, i pricipali vantaggi offerti dai SOA sono la compatezza e la possibilità di integrarli con altri componenti. Ad esempio, essi possono essere integrati con i trasmettitori o
i ricevitori o possono essere usati come elementi di gate negli switch. Spegnendo e accendendo la corrente di drive, il SOA si comporta come un gate, bloccando o amplificando il
segnale.
Il maggiore limite dei SOA è rappresentato dal comportamento non lineare del guadagno
in funzione del numero di canali di input, ciò risulta in una forte dipendenza del guadagno
dal numero di canali attivi. Tuttavia, recentemente è stato proposto un SOA di tipo TWA
combinato con un oscillatore integrato che permette di mantenere uniforme il guadagno.
1.3.2
Amplificatori in Fibra Drogata
Gli amplificatori ottici in fibra drogata sono costituiti da una fibra ottica drogata con un
elemento appartenente al gruppo delle Terre Rare. L’elemento più utilizzato è l’erbio, che
permette di avere gudagno sia in banda C (1530−1565 nm) che in banda L (1565−1625 nm).
Per quanto riguarda la banda S (1460−1530 nm) come drogante viene usato principalmente
il tulio. Infine, nella regione attorno ai 1300 nm, sono impiegati prevalentemente gli amplificatori in fibra florurata drogata con praseodimio. In Fig.1.2 è mostato lo spettro di
attenuazione di una fibra silicata tradizionale e quello di una fibra in cui sono stati elimi-
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
8
nati gli ioni OH− . Sono indicati i diversi tipi di amplificatori in fibra drogata e le rispettive
bande di guadagno. Gli EDFAs (Erbium Doped Fiber Amplifiers) rivestono un ruolo parti-
Figura 1.2: Andamento spettrale del coefficiente di attenuazione di una fibra ottica e relativi
amplificatori ottici in fibra drogata.
colarmente importante. Essi hanno reso possibile un drammatico incremento della capacità
di trasmissione dei sistemi ottici e contemporaneamente una notevole riduzione dei costi.
Lo realizzazione del primo EDFA risale al 1987 e, grazie alla crescente richiesta di servizi
di rete, in soli 5 hanni si passò dalle prime dimostrazioni in laboratorio allo sviluppo commerciale.
Uno dei principali limiti degli amplificatori ottici risiede nel fatto che mentre un amplificatore è in grado di fornire guadagno in un certo intervallo di lunghezze d’onda, tuttavia esso
non amplifica tutte le lunghezze d’onda nello stesso modo. Un altro limite è rappresentato
dal rumore, infatti l’amplificatore amplifica non solo i segnali ma anche il rumore generato
dai fotoni emessi per emissione spontanea.
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
9
Numerosi approcci sono stati proposti per equalizzare il guadagno degli amplificatori in
fibra. Tra questi si possono ricordare l’utilizzo di filtri noth centrati attorno al picco di
guadagno e l’uso di filtri basati su reticoli di Bragg a passo lungo.
1.4
EDFAs
Gli EDFAs permettono di avere guadagno nella regione dove le fibre in silice hanno il minimo di attenuazione, cioè attorno a 1550 nm. L’erbio ha eccellenti proprietà spettroscopiche,
sia per quanto riguarda i tempi di vita, sia per quanto riguarda i livelli energetici. Di conseguenza, è stato possibile realizzare degli amplificatori che hanno basse figure di rumore
ed elevate efficienze di conversione della potenza di pompa.
Nella sua forma base, un EDFA consiste di uno spezzone di fibra drogata con erbio, un
laser di pompa, l’elettronica di controllo e un accoppiatore WDM per combinare il segnale
e la potenza di pompa. La fibra drogata con erbio è una fibra ottica nel cui core sono state
aggiunte alcune centinaia di parti per milione di erbio, in modo da avere come risultato finale una densità di erbio dell’ordine di 1025 ioni/m3 . L’elettronica di pilotaggio tipicamente
consiste di un generatore di corrente per il laser di pompa e di un controllore di temperatura avente il duplice scopo di evitare che il laser di pompa si dannegi e di controllare la
lunghezza di emissione del laser, la quale dipende dalla temperatura.
Come mostato in Fig.1.3, in un EDFA si possono trovare anche altri componenti come isolatori ottici e tap couplers. Gli isolatori ottici sono dispositivi non reciproci, basati sull’effetto
Faraday, che presentano basse perdite per segnali che si propagano in una direzione e perdite
molto elevate per segnali che si propagano in direzione opposta. Sono quindi usati per sopprimere le onde riflesse. I tap coupler sono usati per monitorare il guadagno o la potenza
di uscita dell’amplificatore in modo da potere aggiustare la potenza di pompa al fine di
mantenere il guadagno dell’amplificatore esattamente pari all’attenuazione del precedente
tratto di fibra.
1.4.1
Livelli energetici dell’erbio e lunghezze d’onda di pompa
Quando è inserito in una matrice vetrosa, come ad esempio nella silice, l’erbio forma dei
legami fortemente polari e assume lo stato di ione trivalente Er3+ . Il diagramma dei livelli
energetici dell’Er3+ è rappresentato in Fig.1.4. Si ha amplificazione ottica nella fibra drogata
quando è applicata una potenza di pompa sufficiente per creare l’inversione di popolazione
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
10
Figura 1.3: Componenti base di un EDFA.
degli ioni erbio nello stato metastabile
4I
2
15/2 .
1 4I
13/2
rispetto a quella dello stato fondamentale
Nei sistemi di comunicazione, gli EDFAs sono pompati a 980 nm, per mezzo di
diodi laser a semiconduttore del tipo InGaAs, oppure a 1480 nm utilizzando diodi laser del
tipo InGaAsP. Il pompaggio a 980 nm comporta un’assorbimeto dal livello 4 I15/2 a livello
4I
11/2
e un rapido decadimento non radiativo dal livello 4 I11/2 a 4 I13/2 ; quello a 1480 nm un
assorbimento dal livello 4 I15/2 direttamente al livello 4 I13/2 . In linea di principio, sarebbe
possibile anche usare diodi laser di pompa a 800 nm oppure 665 nm, ma questi schemi di
pompaggio sono poco efficienti a causa dell’assorbimento da stato eccitato dal livello 4 I13/2
verso livelli di energia superiore che si ha sia a 800 nm che a 665 nm.
La degenerazione dei livelli che si avrebbe nel caso di uno ione Er3+ isolato, in fibra è
risolta per la presenza del campo cristallino che circonda lo ione all’interno della matrice
vetrosa. Questo effetto si chiama effetto Stark e comporta che si abbia amplificazione su
un’ampia banda di frequenze dal momento che si hanno ben 56 diverse transizioni tra gli 8
sottolivelli dello stato fondamentale e i 7 sottolivelli dello stato metastabile. La distribuzione
della popolazione, all’interno di ciascun livello, segue la distribuzione di Boltzmann, e la
1
Si dice metastabile un particolare stato eccitato, di un atomo o di uno ione, che ha un tempo di vita
più lungo di quello degli stati eccitati ordinari e che, in genere, ha un tempo di vita più corto di quello dello
stato fondamentale. Uno stato metastabile può essere visto come uno stato temporaneamente stabile.
2
Per la nomenclatura dei livelli energetici, vale la seguente regola: il momento angolare L è indicato con
una lettera, in accordo con il codice spettroscopico L = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 → X = S, P, D, F, G, H, I; lo spin S
è specificato dal numero 2S + 1 come apice; il momento angolare totale J è indicato a destra come pedice.
Quindi si ha 2S+1 LJ .
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
11
Figura 1.4: (a) Livelli energetici dell’Er3+ . (b) Livelli energetici utilizzati negli EDFA. Ogni
singolo livello è splittato in più sottolivelli per effetto Stark.
condizione di equilibrio è raggiunta in un tempo molto breve rispetto ai 10 ms del tempo
di vita del livello metastabile.
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
1.4.2
12
Equazioni di un EDFA
Le caratteristiche di guadagno e rumore di un EDFA possono essere descritte mediante un
sistema di equazioni differenziali accoppiate che descrivono l’inversione della popolazione
nella fibra drogata e la propagazione della potenza ottica nell’amplificatore. Nel seguito
si farà l’ipotesi semplificativa di poter considerare l’EDFA come un sistema a due livelli.
Infatti, poichè le lunghezze d’onda di pompa a 980 nm e 1480 nm non generano assorbimento
da stato eccitato e il tempo di vita di 10 µs del livello 4 I11/2 è significativamente inferiore
di quello del livello metastabile 4 I13/2 , si può trascurare la popolazione del livello 4 I11/2 e
assumere che tutti gli ioni si trovino nello stato 4 I13/2 o 4 I15/2 .
La densità di ioni erbio nello stato fondamentale, N1 , e quella nello stato metastabile, N2 ,
sono legate tra loro mediante l’equazione di conservazione del numero di ioni N1 (r, φ, z) +
N2 (r, φ, z) = NT (r, φ, z) dove NT è la densità totale di ioni nel punto di coordinate (r, φ, z).
Si noti che è stata fatta l’assunzione che la densità di popolazione di tutti gli altri livelli
energetici, ad esempio il livello di pompa 4 I11/2 , sia nulla.
Assumendo che lo spettro ottico sia discretizzato in N intervalli di ampiezza ∆νk e intensità
Ik (r, φ, z), le population rate equations possono essere scritte come segue:
N
N
k=1
k=1
X
Ik
Ik
N2 (r, φ, z)
dN2 X
N1 (r, φ, z)σak
N2 (r, φ, z)σek
=
−
−
.
dt
hνk
hνk
τ
(1.7)
Il termine a primo membro rappresenta la variazione nel tempo nella popolazione del livello metastabile. A secondo membro, il primo termine descrive l’assorbimento di fotoni a
frequenza νk ed è proporzionale all’intensità Ik e alla sezione d’urto di assorbimento σak ;
il secondo termine rappresenta lo svuotamento del livello metastabile dovuto all’emissione
stimolata ed è proporzionale all’intensità Ik e alla sezione d’urto di emissione σek . Infine,
l’ultimo termine descrive l’emissione spontanea di fotoni da parte degli ioni che si trovano
nel livello 4 I13/2 il quale ha tempo di vita τ .
In pratica, le principali caratteristiche degli EDFAs possono essere studiate in condizioni
di stato stazionario in quanto il tempo di vita del livello metastabile (∼ 10 ms) è molti
ordini di grandezza superiore al tempo di transizione di un impulso digitale ad alta velocità
(< 1 ns) o di un segnale analogico (< 100 ns). Quindi, sebbene il tempo di risposta di un
amplificatore possa essere 100 o più volte veloce del tempo di vita del livello metastabile, le
equazioni allo stato stazionario possono essere usate per calcolare la popolazione dei livelli
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
13
di energia rilevanti. Risolvendo la (1.7), in regime stazionario, si ha:
PN
Ik
k=1 τ σak hνk
N2 (r, φ, z) = NT
,
P
Ik
1+ N
k=1 τ (σak + σek ) hνk
(1.8)
a cui va associata l’equazione di conservazione del numero di ioni
N1 (r, φ, z) + N2 (r, φ, z) = NT (r, φ, z).
(1.9)
Per quanto riguarda le potenze, la potenza ottica del fascio alla lunghezza d’onda λk = c/νk
alla posizione z lungo la fibra è data da:
Z 2π Z
Pk (z) =
0
∞
0
Ik (r, φ, z)r dr dφ
(1.10)
dove Ik (r, φ, z) è l’intensità. Supponendo che Ik (r, φ, z) sia separabile, cioè che la distribuzione del modo nella fibra sia indipendente da z, si ha Ik (r, φ, z) = Pk (z) ik (r, φ), con ik
intensità ottica normalizzata. La (1.10) diviene
Z
Z 2π Z ∞
Pk (z)ik (r, φ)r dr dφ = Pk (z)
Pk (z) =
0
con
R 2π R ∞
0
0
0
0
2π
Z
0
∞
ik (r, φ)r dr dφ
(1.11)
ik (r, φ)r dr dφ = 1.
La variazione della potenza ottica alla lunghezza d’onda λk su un tratto dz di fibra drogata
soddisfa l’equazione differenziale:
dPk
= ±σek Pk (z)
dz
∓σak Pk (z)
Z
2π
0
±σek 2hνk ∆νk
∞
ik (r, φ)N2 (r, φ, z) r dr dφ +
0
0
Z
Z
2π
Z
Z
ik (r, φ)N1 (r, φ, z) r dr dφ
0
2π Z ∞
0
∞
0
+
(1.12)
ik (r, φ)N2 (r, φ, z) r dr dφ
dove il segno ± si riferisce rispettivamente a fasci co-propaganti o contro-propaganti, rispetto
alla direzione del segnale; σek , σak sono le cross-sections di emissione e di assorbimento
alla lunghezza d’onda λk . Il primo termine a secondo membro nella (1.12) descrive il
guadagno che si ha per emissione stimolata; il secondo termine descrive l’assorbimento,
mentre l’ultimo descrive l’emissione spontanea che si ha sulla sezione z della fibra e che
verrà amplificata nel tratto z + dz con la conseguente generazione di emissione spontanea
amplificata (ASE). In linea di principio la risoluzione delle equazioni (1.12) associtate alle
(1.8) e (1.9) permette di calcolare il guadagno dell’amplificatore. Tuttavia, per semplificare
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
14
i calcoli e per una maggiore comprensione delle caratteristiche di un EDFA, è possibile fare
alcune semplificazioni.
Nelle fibre drogate con erbio, solitamente, il drogante è uniformemente distribuito in un
raggio b concentrico al raggio di core a. Questo permette di semplificare gli integrali che
compaiono nella (1.12). Inoltre, poichè l’erbio è confinato internamente al core, il grado
di inversione della popolazione è solitamente uniforme sulla sezione trasversa della fibra,
quindi N1 e N2 dipendono solo da z per cui possono essere portati fuori dagli integrali nella
(1.12), si ha allora:
Z
dPk
= ±σek N2 (z)Pk (z)
dz
2π
0
Z
∓σak N1 (z)Pk (z)
0
Z
b
ik (r, φ) r dr dφ +
0
2π
Z
Z
ik (r, φ) r dr dφ
0
2π Z b
±σek N2 (z)2hνk ∆νk
0
b
0
+
(1.13)
ik (r, φ) r dr dφ
Si definisce integrale di overlap, Γk , tra il modo alla frequenza νk e il drogante:
Z
Γk =
2π
0
Z
0
b
ik (r, φ) r dr dφ.
(1.14)
Valori tipici di Γk sono compresi tra 0.4 e 0.7.
Le (1.13) possono allora essere riscritte:
dPk
= ±σek N2 (z)Pk (z)Γk ∓ σak N1 (z)Pk (z)Γk ± σek N2 (z)2hνk ∆νk Γk .
dz
(1.15)
A questo punto risulta conveniente definire due nuovi parametri, il coefficiente di assorbimento αk e il cofficiente di guadagno gk :
αk = Γk σak NT
gk = Γk σek NT
Questi parametri sono funzioni della lunghezza d’onda, hanno le unità di misura
inverso di una lunghezza
(m−1 )
(1.16)
3
di un
e descrivono le caratteristiche spettrali di una fibra drogata.
Essi possono essere misurati direttamente o possono essere calcolati una volta noti l’integrale
3
I coefficienti α e g, per come sono definiti dalla (1.16), hanno come unità di misura m−1 . Per avere il
10
valore di α e g in dB/m, vale la seguente relazione X[ dB
] = ln10
x[m−1 ] = 4.34 x[m−1 ]. Analogamente per
m
−1
−1
X[ dB
] = 0.23 X[ dB
].
la trasformazione da m a dB/m, vale la relazione inversa: x[m ] = ln10
10
m
m
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
15
Figura 1.5: Cofficienti di guadagno e di assorbimento di fibre 3M drogate con erbio per
amplificazione in banda C e L.
di overlap, le sezioni d’urto di assorbimento e di emissione e la concentrazione di drogante.
Le propagation rate equations diventano allora:
dPk
N2 (z)
N1 (z)
N2 (z)
= ±gk
Pk (z) ∓ αk
Pk (z) ± gk
2hνk ∆νk .
dz
NT
NT
NT
(1.17)
Analogamente le (1.8) diventano:
P
Pk
N2
k τ αk hνk π b2 NT
=
.
P
NT
1 + k τ (αk + gk ) hνk πPbk2 NT
(1.18)
Alle (1.17) vanno associate le condizioni al contorno per le potenze di segnale, potenze di
pompa e ASE. Le potenze dei fasci co-propaganti sono assegnate in z = 0, quelle dei fasci
contro-propaganti sono assegnate in z = L. In particolare, l’ASE co-propagante è nulla in
z = 0, l’ASE contro-propagante è nulla in z = L.
Può essere istruttivo considerare la (1.17) nei due casi limite N2 = 0 e N2 = NT , su tutta la
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
16
lunghezza della fibra. Nel primo caso tutti gli ioni Er3+ si trovano nello stato fondamentale,
N1 = NT , non si ha quindi nè emissione stimolata, nè emissione spontanea. In particolare,
ponendo N2 = 0 nella (1.17) e considerando, per semplicità solo segnali co-propaganti, si
ha
dPk
= − αk Pk (z),
dz
(1.19)
integrando questa semplice equazione differenziale da z = 0 a z = L, si ha
Pk (z = L) = Pk (z = 0) e−αk L .
(1.20)
Quindi, in questo caso, i segnali subiscono un’attenuazione di tipo esponenziale, con coefficiente di assorbimento pari a αk . Si può, quindi, concludere che se non vi è inversione
di popolazione, come, ad esempio, nel caso di pompa spenta, la fibra drogata si comporta
come un mezzo fortemente assorbente.
Completamente diversa è la situazione se si fa l’ipotesi di avere completa inversione di popolazione, cioè N2 = NT , su tutta la lunghezza della fibra drogata. In questo caso, la (1.17)
diviene:
dPk
= +gk Pk (z) + gk 2hνk ∆νk Γk
dz
(1.21)
dove il primo termine a secondo membro descrive l’emissione stimolata, il secondo termine l’emissione spontanea amplificata co-propagante (ASE+ ). Facendo l’ipotesi di poter
trascurare l’ASE+ , si ha:
Pk (z = L) = Pk (z = 0) egk L .
(1.22)
Poichè gk è per definizione una quantità positiva, si ha un guadagno esponenziale con
coefficiente pari a gk .
Negli EDFA questi due casi limite non sono mai verificati, in quanto N1 e N2 variano con
z. Tuttavia, i due esempi sopra ripotati, hanno la funzione di mettere in evidenza che
il comportamento di una fibra drogata dipende, essenzialmente, dal grado di inversione
della popolazione. Ne consegue che il comportamento della fibra attiva varia tra quello
di un mezzo fortemente assorbente a quello di un mezzo con guadagno esponenziale e si
ha amplificazione ottica quando il guadagno è superiore alle perdite. Si consideri la (1.17)
nell’ipotesi di trascurare l’ASE:
dPk
N2 (z)
N1 (z)
(gk N2 (z) − αk N1 (z))
= ±gk
Pk (z) ∓ αk
Pk (z) = ±
Pk (z).
dz
NT
NT
NT
(1.23)
Capitolo 1. Amplificatori Ottici
17
Dalla (1.23) si comprende che, in una certa sezione di fibra attiva, un segnale è amplificato
solo se [ gk N2 (z)−αk N1 (z)] è una quantità positiva. La (1.23) può essere riscritta in termini
di sezioni d’urto ottenendo:
dPk
= ± (σek N2 (z) − σak N1 (z))Γk Pk (z).
dz
(1.24)
La condizione per avere guadagno diviene allora:
(σek N2 (z) − σak N1 (z)) > 0.
(1.25)
Si noti che le cross-sections di emissione e di assorbimento hanno solitamente lo stesso
ordine di grandezza, dipendono solo dalla lunghezza d’onda e non variano con z; mentre le
popolazioni N2 e N1 dipendono dalle potenze di pompa e di segnale e quindi variano con la
coordinata z.