Appunti di Elettromagnetismo

Elettromagnetismo
Dispense per il Corso di Principi di Ingegneria Elettrica
a.a. 2011-2012
Prof. Giovanni Miano
-2-
1. Concetti Fondamentali
L’elettricità ed il magnetismo sono l’insieme di tutti quei fenomeni fisici
“macroscopici” e “microscopici” che coinvolgono cariche elettriche, ferme e in moto, le
loro interazioni, nonché gli effetti delle loro interazioni.
L’interazione elettromagnetica è una delle quattro interazioni fondamentali della
natura attualmente conosciute. Essa si manifesta in svariati modi tra cariche elettriche
ferme e/o in moto, su distanze che vanno da quelle atomiche fino a quelle
intergalattiche. La struttura atomica, i legami chimici, la struttura della materia, la
trasmissione degli impulsi nervosi, i fulmini, i pezzi di carta attratti da un astuccio di
plastica dopo che è stato strofinato, i chiodi di ferro attratti da una calamita, la luce
emessa da una lampadina, da un laser, dal sole o da una stella sono solo alcune delle
tante manifestazioni di questa interazione.
Si presume che lo studente che segue questo corso abbia già acquisite e maturate le
conoscenze di base di fisica, e in particolare, di elettromagnetismo che vengono
insegnate durante il primo anno di un corso di laurea in Ingegneria di primo livello.
Comunque, in questa prima parte del Corso vengono rivisti, partendo da un punto di
vista diverso da quello che generalmente si adotta in un corso di Fisica introduttivo
all’elettromagnetismo, concetti e leggi che sono alla base delle applicazioni
dell’elettromagnetismo nell’ingegneria. Dare allo studente anche la possibilità di
avvicinarsi ad un argomento partendo da differenti punti di vista è fondamentale per la
sua formazione.
1.1 Carica elettrica
La carica elettrica è una proprietà fisica fondamentale della materia che si assume per
acquisita. Le correnti elettriche sono cariche elettriche in moto. Le cariche e le correnti
elettriche 1 sono le grandezze fisiche che determinano l’interazione elettromagnetica 2.
L’elettromagnetismo studia l’interazione tra le cariche e le correnti elettriche.
1
Le cariche e le correnti elettriche sono grandezze fisiche scalari. Una grandezza fisica scalare è definita
da un numero reale indipendente dal sistema di coordinate scelto.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
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La forza di Lorentz è la forza che agisce sulle cariche elettriche, sia ferme che in
moto, in un campo elettromagnetico. Le equazioni di Maxwell esprimono le leggi che
legano il campo elettromagnetico alle cariche ed alle correnti elettriche, che sono le
“sorgenti” del campo.
Le cariche elettriche possono essere positive o negative. Il segno della carica è
distinguibile grazie alla forza di Coulomb, per cui cariche (ferme) dello stesso segno si
respingono e cariche di segno opposto si attraggono. Nel Sistema Internazionale l’unità
di misura della carica elettrica è il “coulomb” (C).
Le cariche elettriche sono aggregati di cariche elettriche elementari. La carica del
protone
q p = +e
(1.1)
qe = !e
(1.2)
e la carica dell’elettrone
sono le cariche elettriche elementari, dove
e = 1.6021689 !10 "19 C .
(1.3)
L’elettromagnetismo macroscopico si occupa dell’interazione elettromagnetica tra
aggregati di cariche di dimensioni macroscopiche 3, che contengono un numero
elevatissimo di cariche elementari. Bisogna distinguere tra l’interazione
elettromagnetica nel vuoto e l’interazione elettromagnetica in presenza di materiali
2
Ciascuna particella elementare (elettrone, protone, neutrone) si comporta, dal punto di vista magnetico,
come se fosse un magnete elementare. Di conseguenza gli elettroni e protoni, oltre ad avere una carica
elettrica, hanno anche un momento magnetico proprio, detto momento magnetico intrinseco. Il ruolo del
momento magnetico intrinseco degli elettroni è fondamentale nei materiali magnetici.
3
La scala macroscopica è la scala di lunghezze su cui un oggetto, un fenomeno sono “visibili ad occhio
nudo”. L’opposto della scala macroscopica è la scala microscopica: oggetti e fenomeni con dimensioni
lineari caratteristiche più piccole di quelle di oggetti e fenomeni che possono essere facilmente visibili ad
occhio nudo. Un pallone su scala macroscopica è una sfera, mentre su scala microscopica esso si rivela
come una superficie spessa composta da fessure e screpolature. Su una scala ancora più piccola, la
cosiddetta scala nanometrica, il pallone si rivela come una collezione di molecole dislocate in un guscio
sferico.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
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(conduttori, semiconduttori, superconduttori, isolanti, dielettrici, materiali
ferromagnetici,...).
L’interazione elettromagnetica nel vuoto è descritta attraverso il campo elettrico
E = E( P; t) e il campo magnetico B = B( P; t) (detto anche induzione magnetica); t
indica l’istante di tempo e P il punto dello spazio in cui si considerano i campi. In
presenza di materiali bisogna introdurre altri due campi vettoriali per sviluppare una
teoria macroscopica: il campo di spostamento elettrico D = D( P;t) e l’intensità di
campo magnetico H = H( P; t) . Il concetto di campo è tra i concetti più importanti della
fisica e costituisce il fondamento dell’intera teoria dell’elettromagnetismo.
1.2 Forza di Lorentz: definizione di campo elettrico e campo magnetico
Quale è il significato fisico del campo elettrico e del campo magnetico? Le forze con le
quali le cariche “puntiformi” interagiscono tra di loro nel vuoto (in un riferimento
inerziale) dipendono, oltre che dalla loro posizione reciproca, anche dalle rispettive
velocità.
Si consideri l’interazione tra una carica di “prova” puntiforme q in moto con velocità
v e una generica distribuzione di cariche “sorgenti”, Figura 1.1. Nelle condizioni in cui
la carica di prova non modifichi le posizioni e il moto delle sorgenti dei campi,
l’espressione della forza che agisce sulla carica di prova al generico istante t quando si
trova nel punto P è (forza di Lorentz) 4:
f = q "# E ( P;t ) + v ! B ( P;t ) $% ;
(1.4)
(il simbolo “ ! ” sta ad indicare il prodotto vettoriale tra i due vettori v e B ). Il
campo elettrico nel punto P , all’istante t è la forza che agisce su una carica positiva di
valore unitario, ferma, che all’istante t si trova nel punto P 5
4
La forza e la velocità sono due grandezze fisiche vettoriali. Mentre le grandezze fisiche scalari sono
definite da numeri reali, un vettore è caratterizzato da un modulo, da una direzione e da un verso. Anche
le grandezze fisiche vettoriali, come quelle scalari, hanno un loro significato intrinseco indipendente dal
sistema di coordinate. In coordinate cartesiane ortogonali le componenti di un vettore si trasformano a
seguito di una traslazione e rotazione del sistema di coordinate alle stesso modo delle coordinate di un
punto. Inoltre, nella trasformazione di coordinate consistente nell’inversione degli assi, tutte le
componenti del vettore cambiano segno.
5
Il campo elettrico è un vettore.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
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E=
1
f
q
v=0
.
(1.5)
Se la carica di prova si muove con velocità v su di essa agisce, oltre alla forza elettrica
qE , la forza di origine magnetica qv ! B data dalla differenza tra la forza totale agente
sulla carica di prova e la sola forza elettrica
v ! B ( P;t ) = f " qE ( P;t ) .
(1.6)
Questa relazione definisce il campo magnetico B al generico istante t e nel punto P 6.
v
(P,t)
cariche
“sorgenti”
Figura 1.1
Nel Sistema Internazionale il modulo della forza si misura in “newton” (N), il
modulo del campo elettrico si misura in “volt/metro” (V/m) e il modulo del campo
magnetico in “tesla” (T). Il “volt” è l’unità di misura della tensione elettrica. Il
“volt/metro” è, dunque, il valore del campo elettrico che, agendo su una carica unitaria
ferma, esercita una forza di 1 N. Analogamente, il tesla è l’intensità di un campo
magnetico, diretto ortogonalmente alla velocità della carica, che agendo su una carica
6
Dato che la forza, il campo elettrico e la velocità sono vettori, il campo magnetico definito attraverso la
(1.6) non può essere considerato un vero e proprio vettore. Infatti, il risultato del prodotto vettoriale
c = a ! b è legato alla scelta del sistema di coordinate: il verso di c è dato dalla “regola del cavatappi”,
con a che, rotando di un angolo ! , si sovrappone a b se la terna di assi coordinati è destrogira, oppure
verso opposto se la terna è levogira. Siccome né il verso di v né il verso di f ! qE ( P; t ) dipendono dalla
scelta della terna, il verso di B è dunque legato alla scelta della terna. Per questa ragione si dice che il
campo magnetico è uno pseudovettore (vettore assiale). Le componenti cartesiane di uno pseudovettore
non cambiano segno in una trasformazione degli assi per inversione spaziale. Ciò è conseguenza del fatto
che una trasformazione degli assi per inversione spaziale trasforma una terna destrogira in una terna
levogira (o viceversa).
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
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unitaria con velocità di 1m / s , esercita una forza di 1 N. Dalla relazione (1.5) si ottiene
1T = 1V !1s / 1m 2 .
(
)
1.3 Le sorgenti del campo elettromagnetico
Le sorgenti del campo elettromagnetico sono le cariche e le correnti.
1.3.1 Carica elettrica
Le cariche elettriche possono essere rappresentate come aggregati di particelle
elementari o composte di specie diversa: elettroni, nuclei atomici dotati di uno o più
protoni, ioni positivi o negativi dotati di una o più cariche elementari. Ciascuna specie è
caratterizzata da una carica elettrica che è, in valore assoluto, uguale a un multiplo
intero della carica elettrica elementare e . La carica elettrica totale (netta) contenuta in
una data regione di spazio ! è la somma delle cariche di tutte le specie di particelle
contenute in essa: ciascuna carica deve essere sommata con il proprio segno. Si ha cioè:
Qt = Q+ + Q!
(1.7)
dove Q+ e Q! indicano, rispettivamente, la carica positiva totale e la carica negativa
totale contenute in ! . Se Qt = 0 si dice che la regione ! è globalmente neutra (si può
avere Qt = 0 con Q+ e Q! diverse da zero).
1.3.2 Densità volumetrica di carica
Si assuma che in una regione macroscopica ! dello spazio sia distribuita una carica
elettrica. Si consideri un generico punto P di questa regione, e sia dV un volume
“fisicamente infinitesimo” centrato in P , Figura 1.2. Con volume fisicamente
infinitesimo si intende un volume “microscopico”, quindi molto più piccolo del volume
della regione macroscopica in cui la carica è distribuita, sufficientemente grande, però,
da contenere un numero elevatissimo di cariche elementari.
Sia dQ la quantità di carica elettrica contenuta nel volume fisicamente infinitesimo
dV . La densità di carica volumetrica nel punto P è il rapporto tra la carica dQ
contenuta nel volume fisicamente infinitesimo dV centrato in P e il volume dV 7,
7
La (1.8) rappresenta il limite lim ( !Q / !V ) : si divide la carica !Q contenuta nella regione di volume
!V "# V
!V e centrata in P per lo stesso volume !V e si fa tendere !V al volume elementare infinitesimo fisico
! V . Partendo da una regione di dimensioni macroscopiche, ad esempio, con volume dell’ordine del
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
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! (P) =
dQ
dV
(1.8)
Al variare di P varia la carica dQ contenuta in dV (in generale, in alcune zone di ! la
carica è più densa, in altre è più diradata). Dunque, la densità di carica è una funzione
del punto P , quindi è un campo scalare, vedi Appendice A1. Se dQ varia anche nel
tempo si ha che ! = !( P;t) . Nel Sistema Internazionale la densità volumetrica di carica
3
3
si misura in “ coulomb / metro ” ( C/m ).
Ω
dV
P
Figura 1.2
Una volta assegnata la densità volumetrica ! = !( P;t) della distribuzione di carica è
possibile determinare la carica totale contenuta all’interno di una regione assegnata
dello spazio. La carica contenuta all’istante t in un volume fisicamente infinitesimo dV
baricentrato nel punto P è data da
dQ(t) = ! ( P;t ) dV
(1.9)
La carica totale contenuta in una regione finita di spazio V è data dall’integrale di
volume 8
centimetro cubo, si passa a considerare regioni con sempre volumi più piccoli e si constata che il rapporto
!Q / !V in generale varia. Si vede pure, però, che quando !V diviene abbastanza piccolo (dimensioni
microscopiciche) il valore di !Q / !V tende a stabilizzarsi. La situazione non muta fino a quando !V
non si riduce a valori tanto piccoli da far apparire in maniera significativa la granularità della materia.
Affinché il limite sia calcolabile e la funzione ! = !( P) così definita abbia il grado di regolarità richiesta
dalla matematica, è necessario non spingersi oltre il livello precedentemente considerato, che è quello del
cosiddetto volume elementare “infinitesimo fisico”, ovvero non giungere al livello in cui la materia
manifesta la sua natura granulare.
8
Sia f = f ( P) una funzione definita in una regione di spazio ! . Si divida ! in un numero N di parti e
siano !V1 , !V2 ,..., !VN i loro volumi. Consideriamo per ogni regione il baricentro M i . Poniamo
I N = " i=1 f ( M i ) !Vi . Consideriamo, infine, la successione dei valori di I N che si ottengono aumentando
N
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
-8-
QV ( t ) =
""" ! ( P;t ) dV
V
(1.10)
Nell’ambito dell’elettromagnetismo macroscopico è possibile concepire la presenza
contemporanea, in una stessa regione spaziale, di due distribuzioni volumetriche di
cariche di segno opposto: una, positiva di densità ! + = ! + ( P; t) , l’altra, negativa di
densità ! " = ! " ( P; t) . In tale caso, è ovvio che la densità di carica totale (o “netta”)
risulta pari a
! = !+ ( P;t ) + !" ( P;t ) .
(1.11)
Quando accade che !" = !+ , risulta ! = 0 e si dice che la regione è localmente neutra.
Le densità ! + e ! " possono essere espresse in funzione delle densità numeriche delle
cariche elementari positive e negative delle due distribuzioni. Le densità numeriche di
cariche elementari positive n+ e negative n! sono definite come,
n+ (P; t ) =
dN +
dN !
, n! ( P; t) =
dV
dV
(1.12)
dove dN + e dN ! sono, rispettivamente, il numero di cariche elementari positive e
negative presenti all’istante t all’interno del volume fisicamente infinitesimo dV ,
centrato nel punto P . Nel Sistema Internazionale la densità numerica si misura in
3
3
“1/ metri ” (1/ m ). Allora si ha che
! + (P;t ) = en + (P;t ) , ! " ( P;t) = "en" ( P; t)
(1.13)
il numero N di regioni in cui ! è suddiviso. Sotto opportune ipotesi sul volume ! e sulla funzione f ,
che non sono affatto molto restrittive, la successione I N tende a un limite finito per N ! " (quando
N ! " il volume di ciascuna parte tende a zero). Tale limite si dice integrale di volume del campo
scalare f sulla regione ! e si scrive
"""
!
fdV = lim I N . Se l’integrale di volume non può essere
N#$
determinato analiticamente lo si può determinare numericamente in modo approssimato. Si suddivida la
regione ! in M parti “infinitesime” tali che su ciascuna parte la funzione f si possa ritenere
praticamente uniforme, e siano dV1 , dV2 ,..., dVM i volumi di tali parti. Allora si ha con buona
approssimazione
"""
fdV # $ i=1 f ( M i ) dVi dove M i è il baricentro di dVi . Se si aumenta il numero di
M
!
parti infinitesime della partizione di ! tale somma cambia in modo trascurabile.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
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quindi
! = e ( n+ " n" ) .
(1.14)
Quando la densità numerica di cariche elementari positive e uguale alla densità
numerica di cariche elementari negative, la densità di carica netta è uguale a zero e,
quindi, si ha la neutralità locale. Questo è lo stato ordinario della materia.
1.3.3 Intensità di corrente elettrica
Si consideri in una regione in cui sono presenti correnti elettriche una generica
superficie (immateriale) S (aperta o chiusa), orientata arbitrariamente. In Figura 1.3 le
due possibili orientazioni della superficie sono indicate attraverso i due possibili versi
della normale: in Figura 1.3a la superficie è orientata con la normale che va dal basso
verso l’alto, invece in Figura 1.3b la stessa superficie è orientata con la normale che va
dall’alto verso il basso. Si “contino” le cariche elementari che attraversano la superficie
S concordemente con il verso prescelto per la normale. La carica elettrica netta dqS che
attraversa la superficie S orientata, ad esempio, come in Figura 1.3a, nell’intervallo di
tempo “fisicamente infinitesimo” (t,t + dt) è la somma di tutte le cariche elementari che
attraversano S nell’intervallo (t,t + dt)
dqS = ! i ( ± ) qi ,
(1.15)
sommando con il segno “ + ” le cariche che attraversano S concordemente con il verso
prescelto per la normale e con il segno “ ! ” le cariche che attraversano S nel verso
opposto9. Con l’espressione intervallo di tempo “fisicamente infinitesimo” vogliamo
intendere un intervallo di tempo molto piccolo rispetto alla scala dei tempi su cui le
grandezze macroscopiche variano apprezzabilmente, e tuttavia abbastanza grande di
modo che S sia attraversata da un numero elevatissimo di cariche elementari. Il
rapporto
iS ( t ) =
dqS
dt
(1.16)
9
Gli esperimenti mostrano che gli effetti di una carica positiva in moto sono equivalenti a quelli di una
carica negativa in moto in verso opposto.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 10 -
è l’intensità di corrente elettrica che attraversa la superficie orientata S 10.
Nel Sistema Internazionale l’intensità della corrente elettrica si misura in “ampere”
(A) 11. Di conseguenza si ha che 1C = 1A !1s : la carica di 1 C è la carica netta che
attraversa una superficie durante l’intervallo di tempo di 1 s quando la superficie è
attraversata da una intensità di corrente di 1 A.
S
S
n̂
n̂∗
(a)
(b)
Figura 1.3
Indichiamo iS! l’intensità di corrente attraverso la superficie S orientata così come
illustrato in Figura 1.3b. E’ immediato che
iS! ( t ) = "iS ( t ) .
10
(1.17)
La (1.16) rappresenta il limite lim ( !qS / !t ) : si divide la carica !qS che attraversa la superficie S
!t"# t
nell’intervallo di tempo !t , centrato all’istante t , per lo stesso intervallo !t e si fa tendere !t
all’intervallo di tempo elementare infinitesimo fisico ! t . Partendo da un intervallo di tempo lungo, ad
esempio, di durata dell’ordine dei secondi, si passa a considerare intervalli di tempo di durata sempre più
piccoli e si constata che il rapporto !qS / !t in generale varia. Si vede pure, però, che quando !t diviene
abbastanza piccolo il valore di !qS / !t tende a stabilizzarsi. La situazione non muta fino a quando !t
non si riduce a valori tanto piccoli da far apparire in maniera significativa la granularità della materia.
Affinché il limite sia calcolabile e la funzione iS = i S ( t ) così definita abbia il grado di regolarità richiesta
dalla matematica, è necessario non spingersi oltre il livello precedentemente considerato, che è quello
dell’intervallo di tempo elementare “infinitesimo fisico”, ovvero non giungere al livello in cui la materia
manifesta la sua natura granulare.
11
Questa è una delle sei unità di misura fondamentali del Sistema Internazionale: il metro, il secondo, il
kilogrammo, l’ampere, il Kelvin e la candela. Il metro è l’unità di misura della lunghezza, il secondo è
l’unità di misura dell’intervallo di tempo, il kilogrammo è l’unità di misura della massa, il Kelvin è l’unità
di misura della temperatura termodinamica e la candela è l’unità di misura dell’intensità luminosa.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
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Una volta assegnata l’intensità di corrente iS = iS (t ) che attraversa la superficie
orientata S è possibile determinare la quantità di carica netta che attraversa S in un
generico intervallo di tempo. La quantità di carica (netta) che attraversa S in un
intervallo di tempo fisicamente infinitesimo dt centrato all’istante t è, ovviamente,
dqS = iS ( t ) dt
(1.18)
La quantità di carica (netta) che attraversa la superficie orientata S in un generico
intervallo di tempo (t1 ,t2 ) è data dall’integrale definito
qS ( t1 ,t 2 ) =
! i (t ) dt .
t2
(1.19)
t1
1.4 Densità volumetrica di corrente
Si vuole ora definire il campo di densità di corrente elettrica J = J( P;t) e metterlo in
relazione con l’intensità di corrente elettrica iS = iS (t ) . A tale scopo, si consideri una
situazione particolarmente semplice in cui i portatori di cariche siano tutti della stessa
specie e abbiano pressoché tutti la stessa velocità v nel punto P all’istante t ; sia,
inoltre, ! il valore della densità volumetrica di carica netta all’istante t nel punto P .
Questo tipo di corrente prende il nome di corrente di convezione 12.
dS
v dt
P
v
θ
n̂
v
Figura 1.4
12
È, ad esempio, il caso dei fasci elettronici nei tubi a raggi catodici o dei fasci di particelle negli
acceleratori di particelle. Tipiche correnti di questo tipo sono quelle legate rigidamente al moto di corpi
carichi (come, ad esempio, quelle associate ai movimenti di masse d’aria durante i temporali).
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 12 -
Con riferimento alla Figura 1.4, le cariche che attraversano la superficie “fisicamente
infinitesima”13, orientata, dS , nell’intervallo di tempo (t,t + dt) sono tutte e sole quelle
contenute nel cilindro obliquo di base dS , superficie laterale di direttrice parallela a v e
di lunghezza v dt . Infatti, le cariche esterne a questo volume o non incontrano mai dS o
non riescono a raggiungerla nell’intervallo (t,t + dt) . La quantità di carica che attraversa
dS nell’intervallo di tempo (t,t + dt) è allora:
dqdS = !d"
(1.20)
dove d! è il volume del cilindro obliquo. Il volume del cilindro obliquo è uguale al
prodotto della sua lunghezza, per l’area della base, per il valore assoluto del coseno
dell’angolo che la normale alla base forma con la sua direttrice. Pertanto, nel nostro
caso si ha:
d! = v " n̂ dSdt ;
(1.21)
il simbolo “ ! ” sta ad indicare il prodotto scalare tra due vettori. Combinando le (1.20)
e (1.21) si ottiene che
dqdS = ( !v ) " n̂dSdt .
(1.22)
J ! "v
(1.23)
Posto
si ha che l’intensità di corrente che attraversa la superficie “fisicamente infinitesima” dS
all’istante t è data da
dqdS
= J ! n̂dS
dt
13
(1.24)
Come al solito, con l’espressione “superficie fisicamente infinitesima” intendiamo una superficie
microscopica, quindi con dimensioni lineari molto più piccole delle dimensioni della regione
macroscopica in cui è presente la corrente, però sufficientemente grandi da garantire che la superficie sia
attraversata, istante per istante, da un numero elevatissimo di cariche elementari.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 13 -
Data ora una generica superficie orientata S si ha l’integrale di superficie 14:
dqS
=
dt
"" J ( P;t ) ! n̂ ( P ) dS .
S
(1.25)
Combinando le (1.16) e (1.25) otteniamo finalmente
iS ( t ) =
"" J ( P;t ) ! n̂ ( P ) dS .
S
(1.26)
Il vettore J definito dalla (1.23) è detto densità volumetrica di corrente nel punto P
all’istante t . Esso è un campo vettoriale. Nel Sistema Internazionale l’unità di misura
2
della densità volumetrica di corrente è “ ampere/metro 2 ” ( A / m ). Dunque, l’intensità di
corrente elettrica che attraversa una data superficie orientata è il flusso 15attraverso di
essa del campo di densità di corrente elettrica. Si noti come il segno di iS dipende dal
verso scelto arbitrariamente per la normale nˆ a S .
La (1.23) esprime la densità di corrente nel caso in cui i portatori di cariche siano
tutti della stessa specie e avessero tutti la stessa velocità. In caso contrario si ha
J = !+ v + + !" v "
(1.27)
Sia f = f ( P) una funzione definita su di una superficie S . Si divida S in un numero N di parti e
siano !S1 ,!S2 ,..., !S N le aree di tali superfici parziali. Consideriamo per ogni superficie il baricentro M i .
14
Poniamo I N = " i =1 f (M i ) !Si . Consideriamo, infine, la successione dei valori di I N che si ottengono
N
aumentando il numero N di parti in cui S è suddivisa. Sotto opportune ipotesi sulla superficie S e sulla
funzione f , che non sono affatto molto restrittive, la successione I N tende a un limite finito per N ! "
(quando N ! " le aree delle parti !Si tendono a zero). Tale limite si dice integrale di superficie del
campo scalare f sulla superficie S e si scrive
!! fdS = lim I
S
N "#
N
. Se l’integrale di superficie non può essere
calcolato analiticamente lo si può calcolare numericamente in modo approssimato. Si suddivida la
superficie S in M parti “infinitesime” (su ciascuna parte infinitesima si può ritenere la funzione f
sostanzialmente uniforme), e siano dS1 ,dS2 ,..., dSM le aree di tali parti. Allora si ha con buona
approssimazione
!!
S
fdS " # i =1 f (M i ) dSi dove M i è il baricentro di dSi . Se si aumenta il numero di
M
parti infinitesime della partizione di S tale somma cambia in modo trascurabile.
15
Il flusso di un campo vettoriale A attraverso la superficie (aperta o chiusa) orientata S è l’integrale di
superficie esteso ad S della funzione scalare A ! n̂ dove n̂ è il versore normale alla superficie orientata
S.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 14 -
dove con v+ e v! indichiamo la velocità media 16 (cosiddetta di migrazione) dei
portatori di carica positiva e negativa, rispettivamente (per semplicità ci si è limitati a
due soli tipi di portatori).
Osserviamo che la (1.26) rende conto di come si possa aversi una corrente elettrica in
una situazione in cui vi sia una neutralità locale, cioè ! = ! + + ! " = 0 . Il campo di
densità di corrente è in questo caso
J = !" ( v " " v +
)
(1.28)
per cui basterà che v! " v+ per avere J ! 0 . È quanto si verifica nei metalli e negli
elettroliti dove la corrente (detta di conduzione) è dovuta allo scorrimento relativo tra i
due portatori sostenuto, come poi vedremo, da campi di forze.
Conduttori metallici
Consideriamo un conduttore metallico, ad esempio, un conduttore di rame. In un cm di
23
rame ci sono circa 10 atomi che costituiscono il reticolo cristallino. Ciascun atomo
contiene 29 protoni (cariche positive del nucleo) e 29 elettroni (cariche negative
“attorno” al nucleo). Per ogni atomo vi è, mediamente, all’incirca un elettrone libero di
3
23
muoversi nel reticolo cristallino, quindi in un cm di rame ci sono circa 10 elettroni
liberi. Con elettroni liberi intendiamo gli elettroni che possano risentire dell’azione di
un campo elettrico esterno e quindi migrare nel reticolo del metallo su lunghezze
macroscopiche senza risentire del legame con i rispettivi atomi. Le altre particelle
cariche del materiale, gli ioni e i restanti elettroni, non sono in grado di migrare perché
legate al reticolo e, quindi, la loro velocità media è uguale a zero. In conseguenza di ciò
possiamo rappresentare il metallo come un reticolo di ioni positivi immobili in cui c’è
un “mare” di elettroni liberi in grado di migrare su lunghezze macroscopiche sotto
l’azione di un campo elettrico esterno 17.
3
16
Si consideri un elemento di volume fisicamente infinitesimo dV centrato nel punto P e i portatori di
carica, che supporremo tutti eguali, che nel generico istante t si trovano nell’elemento; si indichi con
N dV il loro numero. La velocità media dei portatori v ± è data da
v±
!
=
N dV
i=1
v (i ± )
N dV
(±)
dove v i è la velocità dello i-esimo portatore di carica positiva che all’istante t si trova nell’elemento
dV .
17
In assenza di un campo elettrico esterno, gli elettroni liberi si muovono in maniera completamente
disordinata a causa dell’agitazione termica (con velocità dell’ordine di 100 km/s a temperature ordinarie).
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 15 -
Nei conduttori metallici solo gli elettroni liberi contribuiscono, dunque, alle correnti,
i portatori di carica positiva hanno velocità media uguale a zero. Di conseguenza si ha
J = !enel v el
dove nel è la densità numerica di elettroni liberi e
( nel ! 1023 / cm3 ) .
(1.29)
vel
I0
è la loro velocità media
S
z
Figura 1.5
2
Si consideri un filo conduttore di rame con una sezione trasversale di S = 1 cm ,
percorso da una corrente uniformemente distribuita nella sezione, di intensità I0 = 1A ,
diretta parallelamente all’asse, Figura 1.5. Si determini la velocità media degli elettroni
liberi. In questo caso si ha
I0 = JzS
(1.30)
J z = !en0 vz ,
(1.31)
dove
23
3
n0 = 10 / cm e v z è la velocità media degli elettroni liberi lungo la direzione z .
Combinando queste due equazioni otteniamo
vz = !
I0
= !10 !6 m / s .
en0 S
(1.32)
!6
La velocità è negativa ed è in modulo uguale a 10 m / s. La velocità associata
all’agitazione termica, a temperatura ambiente, è dell’ordine di 100 km/s .
♦
In conseguenza di ciò, il numero di ioni positivi e il numero di elettroni liberi che si trovano, mediamente,
3
in un cm sono uguali, la carica netta nel volume è zero e il campo elettrico macroscopico risulta essere
praticamente zero.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 16 -
La relazione (1.25) è generale, essa vale indipendentemente dal tipo di corrente
elettrica: l’intensità di corrente iS attraverso la superficie orientata S può essere
espressa, dunque, come il flusso, attraverso S , del campo vettoriale densità di corrente
J . L’intensità di corrente di che attraversa la superficie “fisicamente infinitesima”
orientata di area dS , centrata in un generico punto P (Figura 1.7) è data da
diS = J ( P;t ) ! n̂dS
(1.33)
La (1.31) può essere allora riscritta come
Jn =
diS
dS
(1.34)
dove J n = J ! ˆn è la componente secondo la direzione nˆ della densità di corrente nel
punto P .
dS
P
n̂
Figura 1.7
Osservazione
La relazione (1.32) potrebbe essere considerata come la stessa definizione della densità
volumetrica di corrente: il rapporto tra l’intensità di corrente che attraversa la superficie
“fisicamente infinitesima” orientata di area dS centrata in P e l’area dS 18 varia al
variare della normale nˆ come la componente, secondo nˆ , di un vettore univocamente
individuato, la densità volumetrica di corrente J . Se la normale è parallela alla
direzione di migrazione delle cariche elettriche nell’intorno del punto P e ha lo stesso
verso, diS è positiva ed assume il valore massimo (se nˆ ha verso opposto alla direzione
di migrazione, diS è negativo e assume il valore minimo). Invece, se nˆ è ortogonale alla
direzione di migrazione, allora diS è uguale a zero. Siccome diS varia al variare del
punto P , J è un campo vettoriale.
♦
18
L’operazione di limite lim !i / !S attorno al punto P va effettuata facendo contrarre !S mantenendo
!S" 0
fissa la normale ˆn .
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 17 -
1.5 Le sorgenti puntiformi, filiformi e superficiali
In molte applicazioni può essere particolarmente conveniente descrivere le distribuzioni
di carica e di corrente attraverso distribuzioni spazialmente “singolari” che, pur non
avendo alcun significato fisico, consentono si semplificare notevolmente la trattazione.
Esse sono le cariche puntiformi, le distribuzioni di carica con densità lineare, le
distribuzioni di carica con densità superficiale, le correnti filiformi e le distribuzioni di
corrente con densità superficiale.
1.5.1 Carica puntiforme
La carica puntiforme è un’astrazione matematica attraverso cui rappresentare una carica
elettrica finita concentrata in una regione con dimensioni lineari talmente piccole
rispetto alle lunghezze caratteristiche del problema in esame da poterle considerare, al
limite, come se fossero nulle (un esempio di lunghezza caratteristica è la distanza dalla
carica a cui bisogna valutare il campo elettrico). Allo scopo di esemplificare si consideri
una carica q uniformemente distribuita in una regione sferica SR di raggio R , centrata
in un punto P0 , Figura 1.8. La distribuzione della densità di carica volumetrica è
# !0
! (P) = $
%0
se P "SR ,
all’esterno di SR ,
(1.35)
dove
!0 =
3 q
4" R 3
(1.36)
3
(il volume della sfera di raggio R è uguale a 4!R /3 ).
SR
P0
R
q>0
⇒
R→0
P0 +
Figura 1.8
La carica puntiforme q definita nel punto P0 rappresenta la distribuzione di volume
(1.35) nel limite R ! 0 : in questo limite abbiamo una densità di carica “infinita” che
occupa una regione di “volume zero”, tuttavia la carica totale presente in SR ,
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 18 -
q = 4!R 3 " 0 /3 , resta finita! E’ come se avessimo concentrato tutta la carica q nel punto
P0 .
Questo risultato si estende immediatamente a situazioni più generali nelle quali la
forma della regione in cui è concentrata la carica q non è sferica e la carica non è
distribuita uniformemente se si osserva che nel limite in cui il volume V della regione
tende a zero, la distribuzione di carica tende ad essere uniforme, con densità
!0 =
q
per V ! 0 .
V
(1.37)
In generale, la carica puntiforme q nel punto P0 rappresenta il limite di una
distribuzione di densità di carica di volume definita in una regione centrata nel punto P0
quando il volume della regione tende a zero: si ha che la densità di carica di volume è
infinita nel punto P0 , uguale a zero altrove e
q = lim $$$ !dv
! "#
V "0
V
(1.38)
resta finito.
La carica puntiforme può variare nel tempo se una parte di essa (o l’intera carica) si
muove. Una carica puntiforme in moto dà origine a una corrente “puntiforme”. Il campo
di densità di corrente corrispondente è, ad un dato istante di tempo, ovunque diverso da
zero, ad eccezione del punto in cui la carica si trova in quell’istante, dove il campo di
densità di corrente ha modulo infinito; la direzione e il verso del campo sono quelli
della velocità della carica in quell’istante.
1.5.2 Distribuzioni di cariche con densità lineare e correnti elettriche filiformi
Anche la distribuzione di carica con densità lineare è una astrazione matematica
attraverso cui rappresentare cariche distribuite in regioni filiformi con dimensioni
trasversali talmente piccole se confrontate con le altre dimensioni caratteristiche del
problema da poterle ritenere, al limite, uguali a zero. Solo allo scopo di esemplificare
consideriamo una carica distribuita in una regione filiforme con densità volumetrica
uniforme su qualsiasi sezione trasversale del filo, Figura 1.9. Indichiamo con A l’area
della sezione trasversale del filo che, solo per semplicità, assumiamo uniforme lungo
l’asse, e con ! l’asse del filo.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 19 -
+
+
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+P
A
+ + + ++
+ + + + +Γ
dl
⇒
A→0
+
+
+
+
P
+
+ + + + Γ+
γ
Figura 1.9 Distribuzione di carica con densità lineare.
Si consideri, ora, un tratto elementare del filo di cariche di lunghezza dl centrato nel
generico punto P dell’asse ! , Figura 1.9. La carica elettrica contenuta nel tratto
elementare di filo è data da
dQ = ! ( P ) ( Adl )
(1.39)
Adl è il volume del tratto elementare. Posto
! ( P ) " A# ( P )
(1.40)
dQ = ! ( P ) dl
(1.41)
la (1.39) può essere così riscritta
La grandezza ! , in generale, varia da punto a punto lungo ! e ha le dimensioni di una
carica per unità di lunghezza. Si consideri, ora, assegnata la funzione ! = !( P ) lungo
l’asse del filo. La corrispondente distribuzione di densità di carica volumetrica vale
!0 ( P ) =
" (P)
A
(1.42)
all’interno filo e zero altrove. La distribuzione di carica con densità lineare ! definita
lungo la linea ! (l’asse del filo di carica) rappresenta questa distribuzione di densità di
carica volumetrica nel limite A ! 0 : in questo limite abbiamo una densità di carica
volumetrica “infinita” che occupa una regione di “volume zero” lungo l’asse del filo,
tuttavia la densità di carica lineare ! = " 0 A (la carica netta per unità di lunghezza) resta
finita !!! E’ come se avessimo compresso tutta la carica lungo l’asse del filo.
Nel Sistema internazionale la densità di carica lineare viene misurata in
“coulomb/metro” (C/m).
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 20 -
Per determinare la carica netta di un generico tratto del filo di cariche con assegnata
densità lineare non è necessario ricorrere all’integrale di volume della corrispondente
densità di carica volumetrica sul tratto in esame, è sufficiente considerare l’integrale di
linea della densità lineare lungo il corrispondente tratto dell’asse del filo (Figura 1.9).
Dalla (1.39) si ha che la carica elettrica netta lungo il tratto ! ( ! è una parte di ! o tutta
! ) è dato dall’integrale di linea19
Q! =
# " ( P ) dl
(1.43)
!
Questo risultato si estende immediatamente a situazioni più generali nelle quali la carica
non è distribuita uniformemente nella sezione trasversale e la stessa sezione trasversale
non è uniforme lungo l’asse del filo se si osserva che nel limite in cui l’area A( P ) della
generica sezione trasversale tende a zero, la distribuzione di carica tende ad essere
uniforme su di essa, con densità
!0( P ) =
"( P )
per A ! 0 .
A (P )
(1.44)
In generale, la distribuzione di densità di carica lineare ! definita lungo la linea !
rappresenta il limite di una distribuzione di densità di carica di volume definita in un
filo che ha come asse la linea ! quando l’area della sezione trasversale del filo tende a
19
Sia f = f ( P) una funzione definita su di una linea (chiusa o aperta) ! . Si divida ! in un numero N
tratti e siano !l1 , !l2 ,..., !lN le loro lunghezze. Consideriamo per ogni tratto il baricentro M i . Poniamo
I N = " i=1 f ( M i ) !li . Consideriamo, infine, la successione dei valori di I N che si ottengono aumentando
N
il numero N di tratti in cui ! è suddiviso. Sotto opportune ipotesi sulla linea ! e sulla funzione f , che
non sono affatto molto restrittive, la successione I N tende a un limite finito per N ! " (quando N ! "
la lunghezza di ciascun tratto tende a zero). Tale limite si dice integrale di linea del campo scalare f sulla
regione ! e si scrive
"
!
fdl = lim I N .
N#$
Se l’integrale di linea non può essere determinato analiticamente lo si può determinare numericamente in
modo approssimato. Si suddivida la linea ! in M parti con lunghezze “infinitesime” tali che su
ciascuna parte la funzione f si possa ritenere praticamente uniforme, e siano dl1 , dl2 ,..., dlM le lunghezze
di tali parti. Allora si ha con buona approssimazione
"
!
fdl # $ i=1 f ( M i ) dli dove M i è il baricentro di
M
dli . Se si aumenta il numero di tratti infinitesimi della partizione di ! tale somma cambia in modo
trascurabile.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 21 -
zero: si ha che la densità di carica di volume è infinita sull’asse ! del filo, è uguale a
zero fuori dall’asse del filo e l’integrale
! ( P ) = lim
" #$
A ( P )#0
%% ( ) "dS
(1.45)
A P
resta finito. La densità di carica lineare può variare nel tempo se le cariche distribuite
nella regione filiforme si muovono.
Quando le cariche di una distribuzione con densità lineare si muovono si ha una
corrente elettrica, che può essere rappresentata attraverso un’altra astrazione
matematica, la corrente filiforme (lineare). Come al solito, solo allo scopo di
esemplificare, consideriamo una corrente uniformemente distribuita su qualsiasi sezione
trasversale del filo, Figura 1.10. E’ evidente che in questi casi la direzione del campo di
densità di corrente è determinata dal fatto che le cariche possono muoversi solo lungo il
filo e quindi essa deve coincidere punto per punto con la direzione della tangente
all’asse del filo. Indichiamo con tˆ(P ) il versore tangente a ! nel generico punto P ,
orientato, ad esempio, come illustrato in Figura 1.10.
A
J
t̂
i( P )
Γ
⇒
P
Γ
P
A→0
Figura 1.10 Corrente filiforme (lineare).
Si consideri la sezione trasversale del filo centrata nel generico punto P e la si
orienti concordemente con il verso di tˆ . L’intensità di corrente che attraversa la sezione
trasversale è data da (si noti che tˆ è normale alla generica sezione trasversale del filo)
i ( P ) = J ( P ) ! t̂ ( P ) A
(1.46)
Si consideri, ora, assegnata l’intensità di corrente i che attraversa la sezione trasversale
del filo. La corrispondente distribuzione di densità di corrente vale
J(P) =
i (P)
t̂ ( P )
A
(1.47)
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 22 -
all’interno del filo e zero altrove. La corrente filiforme di intensità i definita lungo !
rappresenta questa distribuzione di densità di corrente volumetrica nel limite A ! 0 : in
questo limite abbiamo una densità di corrente volumetrica “infinita” che occupa una
regione di “volume zero” lungo l’asse del filo, tuttavia l’intensità di corrente i = J ! t̂A
resta finita! E’ come se avessimo compresso tutta la corrente lungo l’asse del filo.
Questo risultato si estende immediatamente a situazioni più generali nelle quali la
corrente non è uniformemente distribuita nella sezione trasversale del filo e la sezione
stessa non è uniforme lungo l’asse.
In generale, una corrente filiforme definita lungo ! rappresenta il limite di una
distribuzione di densità di corrente di volume definita in un filo che ha come asse la
linea ! , diretta lungo l’asse del filo, quando l’area della sezione trasversale del filo
tende a zero: si ha che il modulo della densità di corrente di volume è infinita sull’asse
! del filo, è uguale a zero fuori dall’asse del filo e
i ( P ) = lim
J !"
S ( P )!0
$$ ( ) J # n̂dS
S P
(1.48)
resta finito. L’intensità di corrente i può variare nel tempo.
1.5.3 Distribuzioni di cariche con densità superficiale e di correnti superficiali
Anche la distribuzione di carica con densità superficiale è un’astrazione matematica
attraverso cui rappresentare cariche distribuite in strati sottili con spessori talmente
piccoli se confrontati con le altre dimensioni caratteristiche del problema da poterli
ritenere, al limite, uguali a zero. Solo allo scopo di esemplificare consideriamo una
carica distribuita in uno strato con densità volumetrica uniforme nello spessore, Figura
1.11. Indichiamo con h lo spessore dello strato che, solo per semplicità, assumiamo
uniforme in tutto lo strato e con ! la superficie mediana.
Si consideri, ora, una regione elementare dello strato di carica di area dS centrata nel
generico punto P della superficie mediana ! , Figura 1.11. La carica elettrica contenuta
nello strato elementare è data da
dQ = ! ( P ) ( hdS )
(1.49)
hdS è il volume della regione elementare. Posto
! ( P ) " h# ( P )
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
(1.50)
- 23 -
la (1.49) può essere così riscritta
dQ = ! ( P ) dS .
(1.51)
ξ
dS
+h /2
P
h
−h /2
Σ
+
+
+
+
h
+
+
+
+
+
+
⇒
+
Σ
+ ++ ++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + ++ + P + + + + + + + +
+
+
+
S
+
++ +
++
+
+
h →0
Figura 1.11 Distribuzione di carica con densità superficiale.
La grandezza ! , in generale, varia da punto a punto sulla superficie mediana ! dello
strato e ha le dimensioni di una carica per unità di superficie. Si consideri, ora,
assegnata la funzione ! = !( P ) su ! . La corrispondente distribuzione di densità di
carica volumetrica vale
!0 ( P ) =
" (P)
h
(1.52)
all’interno dello strato e zero altrove. La distribuzione di carica con densità superficiale
! definita sulla superficie ! rappresenta questa distribuzione di densità di carica
volumetrica nel limite h ! 0 : in questo limite abbiamo una densità di carica
volumetrica “infinita” che occupa una regione di “volume zero” lungo la superficie
mediana ! dello strato, tuttavia la densità di carica superficiale ! = " 0 h (la carica netta
per unità di superficie) resta finita ! E’ come se in questo caso avessimo spalmato tutta
la carica sulla superficie mediana ! dello strato di cariche. Nel Sistema internazionale
2
2
la densità di carica superficiale è misurata in “ coulomb/metro ” ( C/m ).
Per determinare la carica netta in una generica parte dello strato per assegnata densità
superficiale ! sulla superficie mediana non è necessario ricorrere all’integrale di
volume della corrispondente densità di carica volumetrica, è sufficiente considerare solo
l’integrale di superficie della densità superficiale sulla corrispondente parte della
superficie mediana (Figura 1.11). Dalla (1.49) si ha chela carica elettrica netta sulla
superficie S ( S è una parte o tutta la superficie mediana ! ) è
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 24 -
QS =
"" ! ( P ) dS .
S
(1.53)
Questo risultato si estende immediatamente alle situazioni più generali nelle quali la
carica non è distribuita uniformemente nello spessore dello strato e lo strato non ha
spessore uniforme se si osserva che nel limite in cui lo spessore h(P ) tende a zero la
distribuzione di carica tende ad essere uniforme nello spessore,
!0( P ) =
" (P )
per h ! 0 .
h (P )
(1.54)
In generale, la distribuzione di densità di carica superficiale ! definita sulla superficie
! rappresenta il limite di una distribuzione di densità di carica di volume definita in uno
strato sottile che ha come superficie mediana la superficie ! quando lo spessore dello
strato tende a zero: si ha che la densità di carica di volume è infinita su ! , è uguale a
zero fuori da ! e l’integrale
! ( P ) = lim
'
+ h /2
& h /2
" #$
h ( P )#0
"d%
(1.55)
resta finito; ! è la coordinata lungo l’asse parallelo alla normale alla superficie ! nel
punto P con l’origine nello stesso punto P , Figura 1.11.
Quando le cariche di una distribuzione con densità superficiale si muovono si ha una
corrente elettrica, che può essere rappresentata attraverso un’altra astrazione
matematica, la distribuzione di corrente con densità superficiale. Come al solito, solo
allo scopo di esemplificare, consideriamo una corrente uniformemente distribuita nello
spessore dello strato, Figura 1.12. E’ evidente che anche in questo caso la direzione del
campo di densità di corrente è vincolata dal fatto che le cariche possono muoversi solo
lungo lo strato e quindi deve essere tangente alla superficie mediana ! dello strato.
Si consideri una sezione trasversale elementare dello strato di corrente di lunghezza
dl e centrata nel punto P della superficie ! ; l’altro lato è proprio lo spessore h , Figura
1.12. Si orienti questa superficie elementare, ad esempio, come riportato in Figura 1.12.
L’intensità di corrente che attraversa la superficie elementare è
i ( P ) = J ( P ) ! n̂ ( P ) ( hdl )
hdl è l’area della sezione trasversale elementare. Posto
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
(1.56)
- 25 -
K(P) = J(P)h
(1.57)
i ( P ) = K ( P ) ! n̂ ( P ) dl
(1.58)
la (1.56) diventa
La grandezza K , in generale, varia da punto a punto lungo la superficie mediana !
dello strato e ha le dimensioni di una corrente per unità di lunghezza. Si consideri, ora,
assegnata la funzione K = K ( P ) su ! . La corrispondente distribuzione di densità di
corrente volumetrica vale
J(P) =
K(P)
h
(1.59)
all’interno dello strato e zero altrove. La distribuzione di corrente con densità
superficiale K definita sulla superficie ! rappresenta questa distribuzione di densità di
corrente volumetrica nel limite h ! 0 : in questo limite abbiamo una densità di corrente
volumetrica con modulo “infinito” che occupa una regione di “volume zero” lungo la
superficie mediana ! dello strato, tuttavia la densità di corrente superficiale K = Jh
resta finita ! E’ come se in questo caso avessimo spalmato tutta la corrente lungo la
superficie mediana ! dello strato di cariche.
Nel Sistema internazionale la densità di corrente superficiale è misurata in
“ ampere/metro ” ( A/m ).
ξ
dl
+h /2
−h /2
P
n̂
h
Σ
+
+
+
+
h
+
+
+
+
+
+
⇒
h →0
γ
n̂
Σ
P
Figura 1.12 Distribuzione di corrente con densità superficiale.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 26 -
Per determinare l’intensità di corrente che attraversa una generica sezione trasversale
orientata dello strato per assegnata densità di corrente superficiale K sulla superficie
mediana ! dello strato non è necessario ricorrere al flusso attraverso la sezione in
esame della corrispondente densità di corrente volumetrica, è sufficiente considerare
solo il flusso attraverso la linea che si ottiene dall’intersezione della sezione trasversale
con la superficie ! , orientata concordemente con l’orientazione della sezione
trasversale (Figura 1.12). Dalla (1.58) si ha che l’intensità di corrente netta che
attraversa la linea ! orientata, ad esempio, così come riportata in Figura 1.12 è
i! =
#
!
K " n̂dl
(1.60)
Si noti che nˆ è il versore normale alla linea ! giacente sulla superficie ! .
Questo risultato si estende immediatamente a situazioni più generali nelle quali la
corrente non è uniformemente distribuita nello spessore dello strato e la spessore stesso
non sia uniforme nello strato.
In generale, una distribuzione di corrente con densità superficiale definita sulla
superficie ! rappresenta il limite di una distribuzione di densità di corrente di volume
definita in uno strato sottile che ha come superficie mediana la superficie ! , diretta
tangenzialmente a ! , quando lo spessore dello strato tende a zero: si ha che il modulo
della densità di corrente di volume è infinita sulla superficie ! , è uguale a zero fuori da
!e
K ( P ) = lim
J !"
h ( P )!0
%
+ h /2
$ h /2
Jd#
(1.61)
resta finito. Il campo di densità di corrente superficiale K può variare nel tempo, Figura
1.12.
1.6 Rappresentazione dei campi vettoriali
Prima di descrivere la legge della conservazione della carica e le equazioni di Maxwell
è opportuno fare qualche considerazione sul modo in cui un campo vettoriale può essere
rappresentato, visto che le equazioni di Maxwell sono relazioni tra campi vettoriali.
Un generico campo vettoriale C può essere rappresentato attraverso tre funzioni
matematiche delle tre coordinate spaziali e del tempo. Ad esempio, in un sistema di
coordinate cartesiane rettangolari (O, x, y, z ) si ha
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 27 -
C = x̂C x + ŷC y + ẑCz ,
(1.62)
dove O è l’origine del sistema, x̂, ŷ, ẑ sono i versori della terna di assi del sistema di
riferimento e
Cx = Cx ( x, y,z;t ) , Cy = Cy ( x, y,z;t ) , Cz = Cz ( x, y,z;t )
(1.63)
sono le componenti del campo vettoriale C .
Un campo vettoriale può essere anche rappresentato graficamente disegnando un
insieme di frecce le cui lunghezze e direzioni rappresentano i valori del campo
vettoriale nei punti dai quali le frecce partono, Figura 1.13a.
Un altro modo di rappresentare graficamente un campo vettoriale consiste nel
disegnare le linee orientate che sono tangenti ovunque ai vettori definiti dal campo,
Figura 1.13b. A queste linee si dà il nome di linee del campo vettoriale. Questo modo di
rappresentare il campo non consente, però, di rappresentarne il modulo in maniera
naturale. Un modo per ovviare a questo problema c’è. Si può adottare la seguente
convenzione nel tracciare le linee di campo: le linee sono più fitte dove l’intensità
(modulo) del campo è più elevato e più rade, invece, dove l’intensità del campo è più
bassa, Figura 1.13.
(a)
(b)
Figura 1.13
Le equazioni di Maxwell e la legge della conservazione della carica in forma
integrale esprimono relazioni tra i flussi e le circuitazioni del campo elettrico e del
campo magnetico, mentre quelle in forma locale coinvolgono gli operatori divergenza e
rotore.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 28 -
1.6.1 Flusso di un campo vettoriale e divergenza
Si consideri una superficie orientata S , in generale aperta, nella regione di spazio in cui
è definito un generico campo vettoriale C ; il verso della normale nˆ è scelto in modo
arbitrario, Figura 1.14a. Il flusso del campo C attraverso un generico elemento
(superficie elementare) dS della superficie, d! , è uguale alla componente di C lungo
la normale alla superficie nel punto in cui essa è centrata, C ! nˆ , per l’area dS
dell’elemento,
d! = C ( P ) " n̂ ( P ) dS
(1.64)
Il flusso attraverso l’intera superficie S , ! S , è la somma dei contributi di tutte le
superfici elementari che compongono S , quindi
!S =
## C ( P ) " n̂ ( P ) dS .
(1.65)
S
In particolare, la superficie S può essere una chiusa. In questo caso si usa indicare
l’integrale di superficie con il simbolo ""S C(P ) ! nˆ (P ) dS (Figura 1.15).
C
P
dS
C
P
dS
n̂
C
Cn
n̂
S
S
(a)
(b)
Figura 1.14
Il flusso ! S è, dunque, l’integrale di superficie esteso a S della funzione scalare
Cn = C(P ) ! nˆ ( P ) , che rappresenta la componente normale di C a S nel generico punto
P . Attraverso il flusso ! S è possibile introdurre un concetto fondamentale, quello di
valore medio su S della componente normale di C (figura 1.14b)
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 29 -
Cn
S
=
!S
.
AS
(1.66)
dove AS è l’area della superficie S . Allora, il flusso di C attraverso la superficie
orientata S non è altro che il prodotto del valor medio su S della componente normale
di C per l’area della superficie.
superficie
chiusa Σ
C
dS n̂
Figura 1.15
Può accadere che, pur essendo il campo C diverso da zero, il suo flusso attraverso
una qualsiasi superficie chiusa sia uguale a zero. Un campo vettoriale C si dice
conservativo rispetto al flusso se per ogni superficie chiusa ! (Figura 1.15), si ha che
!
## C ! n̂dS = 0 .
"
(1.67)
Il flusso è una grandezza globale del campo vettoriale che dipende, oltre che dal
campo, anche dalla particolare superficie orientata scelta. Esiste una grandezza locale,
sempre legata al flusso, che non dipende dalla particolare superficie scelta, essa è la
divergenza del campo vettoriale. La divergenza di un campo vettoriale C , che si indica
con il simbolo ! " C , è un campo scalare così definito. Si consideri nella regione Ω in
cui il campo C è definito, una regione elementare di volume !" centrata in P e
limitata da una superficie chiusa regolare !" orientata con la normale rivolta verso
l’esterno. Si faccia contrarre la regione di volume !" attorno al punto P . Se il campo
vettoriale C è regolare nell’intorno del punto P il limite del rapporto
1
%% !$ C # ndS
!" !
(1.68)
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 30 -
per !" # 0 esiste ed è indipendente dalla particolare forma di !" . Per definizione
tale limite è la divergenza del campo vettoriale C nel punto P
1
'' #& C " ndS .
#$%0 #$ !
! " C = lim
(1.69)
Partendo dalla definizione (1.69) si ottiene che in coordinate cartesiane rettangolari
!"C =
#C x #C y #Cz
+
+
.
#x
#y
#z
(1.70)
La divergenza di un campo vettoriale è un flusso per unità di volume. In particolare
dalla conoscenza della divergenza del campo vettoriale C nel punto P possiamo
risalire al flusso del campo stesso attraverso una superficie elementare chiusa d!
orientata con la normale verso l’esterno che delimita la regione elementare di volume
d! centrata in P
!" = !
%% C # ndS = & # C P d' .
d$
(1.71)
La divergenza di un campo vettoriale conservativo rispetto al flusso è uguale a zero
nella regione in cui il campo è definito (campo vettoriale indivergente). Il flusso di un
campo vettoriale conservativo rispetto al flusso attraverso una superficie aperta dipende
solo dalla curva chiusa che delimita la superficie aperta.
1.6.2 Integrale di linea, circuitazione di un campo vettoriale e rotore
Si consideri una curva orientata ! , in generale aperta, nella regione di spazio in cui è
definito un campo vettoriale C ; il verso del versore tangente tˆ è scelto in modo
arbitrario, Figura 1.16a.
L’integrale di linea del campo C lungo un generico elemento dl della linea, du , è
uguale alla componente di C lungo la tangente alla linea nel punto in cui essa è
centrata, C ! tˆ , per la lunghezza dl dell’elemento,
du = C ( P ) ! t̂ ( P ) dl .
(1.72)
L’integrale di linea u! lungo l’intera curva ! è la somma dei contributi di tutte le linee
elementari che compongono ! ,
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 31 -
u! =
C
# C ( P ) " t̂ ( P ) dl .
B
γ
t̂
P
(1.73)
!
B
C
γ
C
dl
t̂
P
Ct
dl
A
A
(a)
(b)
Figura 1.16
In particolare, la curva può essere una linea chiusa ! , Figura 1.17. In questo caso
l’integrale di linea prende il nome di circuitazione del campo C lungo ! e si usa
indicarlo con il simbolo !
# C ! t̂dl .
"
C
t̂
Γ
dl
Figura 1.17
L’integrale di linea del campo vettoriale C è, dunque, l’integrale di linea esteso a !
della funzione scalare Ct = C( P ) ! ˆt( P ) , che rappresenta la componente tangente di C a
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 32 -
! nel generico punto P . Attraverso l’integrale di linea u! è possibile introdurre il
concetto di valore medio lungo ! della componente tangente di C , Figura 1.16 b,
Ct
!
=
u!
l!
(1.74)
dove l! è la lunghezza della curva ! . Allora, l’integrale di linea di C lungo la linea
orientata ! non è altro che il prodotto del valor medio lungo ! della componente
tangente di C per la lunghezza della curva.
Può accadere che, pur essendo il campo C diverso da zero, la sua circuitazione lungo
una qualsiasi linea (chiusa) sia uguale a zero. Un campo vettoriale C si dice
conservativo rispetto alla circuitazione se per ogni linea chiusa ! , si ha che
!# C ! t̂dl = 0 .
"
(1.75)
La circuitazione di un campo vettoriale è una grandezza globale che dipende, oltre
che dal campo, anche dalla particolare linea chiusa orientata scelta. Esiste una
grandezza locale, sempre legata alla circuitazione, che non dipende dalla particolare
linea scelta, essa è il rotore del campo vettoriale. Il rotore di un campo vettoriale C , che
si indica con il simbolo ! " C , è un campo vettoriale così definito. Si consideri nella
regione Ω in cui il campo C è definito, una superficie elementare aperta, di area !S ,
centrata in P , orientata con normale n̂ . La superficie è delimitata da una linea chiusa
regolare che orientiamo con il versore tangente t̂ concorde con la normale n̂ secondo la
regola del cavatappi. Si faccia contrarre la superficie di area !S attorno al punto P
lasciando inalterata la normale n̂ . Se il campo vettoriale C è regolare nell’intorno del
punto P il limite del rapporto
1
$ !# C " t̂dl
!S !
(1.76)
per !S " 0 esiste ed è indipendente dalla particolare forma di !S , esso dipende solo
dal campo C e dalla normale n̂ . Si dimostra che tale limite varia al variare di n̂ come
la componente lungo la stessa normale di un campo vettoriale che per definizione è il
rotore di C nel punto P
lim
(! " C ) # n̂ = $S%0
1
' $& C # t̂dl .
$S !
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
(1.77)
- 33 -
Partendo dalla definizione (1.77) si ottiene che in coordinate cartesiane rettangolari
% #C #C y (
% #C y #C x (
#C (
% #C
.
! " C = x̂ ' z $
+ ŷ ' x $ z * + ẑ '
$
*
& #z
& #y
& #x
#z )
#x )
#y *)
(1.78)
Il modulo del rotore di un campo vettoriale è una circuitazione per unità di area. In
particolare dalla conoscenza del rotore del campo vettoriale C nel punto P possiamo
risalire alla circuitazione del campo stesso lungo una linea elementare chiusa d!
orientata che delimita la superficie elementare di area dS , centrata in P , orientata
secondo la normale n̂ concorde con il versore tangente t̂ secondo la regola del
cavatappi
!u = !
$ C " t̂dl = % & C P "n̂ dS .
!#
(1.79)
Il rotore di un campo vettoriale conservativo rispetto alla circuitazione è uguale a
zero nella regione in cui il campo è definito. L’integrale di linea lungo una linea aperta
di un campo conservativo rispetto alla circuitazione dipende solo dagli estremi della
linea.
1.6.3 Gradiente e potenziale scalare
Dato un campo scalare U , definito in una regione di spazio ! , e un punto P0 di ! ,
studiamo il comportamento del campo in un generico intorno di P0 . A tale scopo si
consideri una retta orientata secondo il versore ŝ , passante per il punto P0 . Il gradiente
del campo scalare U nel punto P0 , che si indica con !U , è un campo vettoriale così
definito. Si consideri lungo la retta un altro punto P , a destra20 di P0 , e si indichi con
d ( P, P0 ) la distanza tra il punto P . Si faccia tendere P a P0 . Se il campo scalare U è
regolare nell’intorno del punto P il limite per d ( P, P0 ) ! 0 del rapporto incrementale
U ( P ) ! U ( P0 )
d ( P, P0 )
20
(1.80)
La destra di P0 è definita dal verso di ŝ .
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 34 -
esiste e dipende solo dal campo scalare U e dalla direzione ŝ . Si dimostra che tale
limite varia al variare di ŝ come la componente lungo ŝ di un campo vettoriale che per
definizione è il gradiente di U nel punto P
(!U ) " n̂ = d ( P,lim
P )#0
0
U ( P ) $ U ( P0 )
.
d ( P, P0 )
(1.81)
Partendo dalla definizione (1.81) si ottiene che in coordinate cartesiane rettangolari
!U = x̂
"U
"U
"U
+ ŷ
+ ẑ
.
"x
"y
"z
(1.82)
Dalla conoscenza del gradiente del campo scalare U nel punto P possiamo risalire
alla variazione del campo stesso lungo la linea elementare di lunghezza dl , centrata in
P , orientata secondo il versore tangente t̂
dU = !U P "t̂ dl .
(1.83)
Dalla (1.83) si ha che l’integrale di linea del gradiente di U lungo la linea orientata
A! B (orientata dal punto estremo A al punto estremo B ) è dato da
U ( B) ! U ( A) =
$
A# B
"U % t̂dl .
(1.84)
Dunque l’integrale di linea di un campo vettoriale che è il gradiente di un campo scalare
dipende solo dai valori del campo scalare nei punti estremi della curva e non dipende
dalla sua particolare forma. Una importante conseguenza di questa proprietà è che il
gradiente di un campo scalare è un campo vettoriale conservativo rispetto alla
circuitazione
!$ !U " t̂dl = 0 .
#
(1.85)
Inoltre, il gradiente di un campo scalare è un campo irrotazionale, ovvero
! " !U = 0
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
(1.86)
- 35 -
per ogni campo scalare U . Da questa proprietà discende che un campo irrotazionale C
in tutto lo spazio può essere sempre espresso come il gradiente di un campo scalare
! = ! ( P ) (la scelta di inserire il segno meno è solo una convenzione), che prende il
nome di potenziale scalare del campo C ,
C = !"# .
(1.87)
L’integrale di linea di C lungo la linea orientata A! B è dato da
"
A! B
C # t̂dl = $ ( A ) % $ ( B ) .
(1.88)
Il potenziale scalare di un campo vettoriale irrotazionale è univocamente determinato
a partire dal campo C a ameno di una costante additiva arbitraria. Infatti se al posto del
potenziale ! ( P ) consideriamo il potenziale
" ! = " (P) + "0
(1.89)
dove ! 0 è una costante arbitraria, si ha !# " = !# . La costante arbitraria ! 0 può essere
scelta in modo tale che il potenziale scalare sia uguale a zero all’infinito.
1.6.4 Potenziale vettore
Così come il gradiente di un potenziale scalare dà un campo vettoriale irrotazionale, il
rotore di un campo vettoriale dà un campo vettoriale a divergenza uguale a zero,
! " (! # A ) = 0 .
(1.90)
Si lascia al lettore la verifica di questa proprietà utilizzando le espressioni del rotore e
della divergenza in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari.
Per imporre automaticamente che il campo vettoriale C abbia divergenza uguale a
zero lo esprimiamo come il rotore di un campo vettoriale ausiliario, che denominiamo
potenziale vettore ed indichiamo con A ,
C=!"A.
(1.91)
Così come il potenziale scalare di un campo irrotazionale non è unicamente definito,
anche il potenziale vettore di un campo a divergenza nulla non è univocamente definito.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 36 -
Il potenziale vettore del campo a divergenza uguale a zero C è definito univocamente a
meno del gradiente del gradiente di un campo scalare. Infatti, si consideri il campo
vettoriale
A! = A + "# ,
(1.92)
dove ! = ! ( P ) è un generico campo scalare, si ha ! " A# = ! " A . Il campo scalare !
può essere scelto in modo tale da avere ! " A# = 0 .
Si consideri il flusso del campo vettoriale indivergente C attraverso la superficie
aperta orientata S secondo la normale n̂
!S =
## C " n̂dS .
(1.93)
S
Sostituendo nella (1.93) l’espressione di C in termine del potenziale vettore (1.91)
abbiamo
!S =
%% " # C $ n̂dS .
(1.94)
S
Applicando il teorema di Stokes21 abbiamo
!S = !$ C " tdl
(1.95)
#S
dove !S è la linea chiusa che orla la superficie S orientata con il versore tangente t̂
concorde con il versore normale n̂ secondo la regola del cavatappi. Dunque, come già
osservato, il flusso attraverso una superficie aperta di un campo conservativo rispetto al
flusso dipende solo dalla linea chiusa che delimita la superficie stessa. Per questa
ragione con riferimento a un campo conservativo rispetto al flusso si parla di flusso
concatenato con una linea chiusa.
21
Il teorema di Stokes (teorema del rotore) afferma che
!#
"S
A ! t̂dl =
## ($ % A ) ! n̂dS
S
dove ! S è la
frontiera della superficie aperta S , orientata secondo la normale nˆ , e t̂ è il versore tangente a ! S
orientato concordemente con il versore nˆ secondo la regola del cavatappi: la circuitazione del campo
vettoriale A lungo la linea chiusa ! S è uguale al flusso del suo rotore attraverso una qualsiasi superficie
aperta S che ha come orlo la linea chiusa ! S .
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 37 -
1.6.5 Teorema di Helmholtz
Il teorema di Helmholtz afferma che, se di un campo vettoriale “regolare all’infinito 22”
sono noti il rotore e la divergenza in tutti i punti dello spazio, il campo vettoriale è
univocamente determinato. Dunque, per determinare un campo vettoriale regolare
all’infinito è sufficiente conoscere la sua divergenza e il suo rotore in ogni punto dello
spazio.
1.7 Principio della conservazione della carica per sistemi elettricamente chiusi
Indipendentemente dalla posizione e dalla velocità delle cariche, la densità di carica e il
campo di densità di corrente devono verificare un’equazione che discende direttamente
dalla conservazione della carica.
La carica elettrica netta contenuta in una data regione di spazio è la somma delle
cariche positive e negative contenute in essa:
Qt = Q+ + Q!
(1.96)
Q+ e Q! indicano, rispettivamente, la carica totale positiva e la carica totale negativa
contenute nella regione di spazio in considerazione. In generale, Q+ e Q! , e quindi Qt ,
variano nel tempo. Ciò è dovuto al fatto che le cariche si muovono sotto l’azione sia di
campi elettromagnetici che di altri tipi di campi di forza, e quindi, migrano, da una
regione all’altra dello spazio.
Si dice che un sistema è elettricamente chiuso se la superficie che lo delimita non è
attraversata da cariche.
Legge della conservazione della carica per un sistema elettricamente chiuso
In un sistema elettricamente chiuso la carica elettrica totale non varia nel tempo.
♦
Questa è una delle leggi basilari dell’elettromagnetismo. La cariche elettriche
possono muoversi e, quindi, spostarsi da una parte all’altra della regione di spazio
elettricamente chiusa, ma non possono essere né “create” né “distrutte”.
22
Un campo vettoriale è regolare all’infinito se tende a zero all’infinito in modo adeguatamente veloce.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 38 -
Se si esclude la possibilità che uguali quantità di carica positiva e negativa possano
essere simultaneamente create o distrutte23, come immediata conseguenza della
conservazione della carica abbiamo che sia il numero di cariche elementari positive, sia
il numero di cariche elementari negative contenute in un sistema elettricamente chiuso
non variano nel tempo.
Consideriamo un sistema elettromagnetico chiuso che occupa la regione di spazio ! 0
delimitata dalla superficie S0 (Figura 1.18). Consideriamo ora una parte di questo
sistema, indichiamo con !1 la regione di spazio che essa occupa e con S1 la superficie
che delimita !1 ; indichiamo con ! 2 la restante parte della regione ! 0 . Inoltre,
indichiamo con Q1(t ) la carica totale contenuta in !1 e con Q2 ( t) la carica totale
contenuta in ! 2 ad un generico istante di tempo t . Allora, per la legge della
conservazione della carica si ha che
Q1 ( t ) + Q2 ( t ) = Q0
(1.97)
dove Q0 è la carica totale contenuta nel sistema chiuso, che è costante nel tempo.
S0
S1
Ω1
Ω2
Figura 1.18 Sistema elettromagnetico chiuso: la superficie S0 non è attraversata da
cariche elettriche.
In conseguenza della (1.97) si ha che, se la carica Q1 diminuisce nel tempo, invece la
carica Q2 aumenta, e viceversa. La carica Q1 diminuisce (aumenta) nel tempo, in senso
23
Ciò, in realtà, può accadere negli acceleratori di particelle dove le particelle elementari vengono
accelerate fino a velocità prossime a quelle della luce nel vuoto.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 39 -
relativo, se cariche positive (negative) si spostano dalla regione !1 alla regione ! 2 e/o
cariche negative (positive) si spostano dalla regione ! 2 alla regione !1 , attraversando la
superficie S1 . In conclusione, la carica Q1, e di conseguenza la carica Q2 , variano
quando c’è una flusso netto di carica elettrica attraverso la superficie S1 , cioè, quando
c’è una corrente elettrica attraverso S1 .
Può anche accadere che, pur essendovi particelle cariche che attraversano la
superficie S1 , le cariche Q1 e Q2 non variano nel tempo. Il lettore cerchi di descrivere
una situazione in cui ciò si verifica.
1.8 Legge della conservazione della carica per sistemi elettricamente aperti.
Equazione di continuità
Nel precedente paragrafo è stata enunciata la legge della conservazione della carica
elettrica per sistemi elettricamente chiusi: la carica contenuta entro una data regione è
costante nel tempo se l’intensità di corrente che attraversa la superficie che la delimita è
uguale a zero. Quando, invece, la superficie è attraversata da corrente elettrica, la carica
elettrica, in generale, varia nel tempo (Figura 2.8).
1.8.1 Legge della conservazione della carica per regioni elettricamente aperte
Sia assegnata una distribuzione di cariche elettriche in moto nello spazio libero, con
densità volumetrica di carica ! = !( P;t) e densità volumetrica di corrente J = J( P;t) . Si
consideri una regione ! dello spazio, invariabile nel tempo, e si indichi con ! la
superficie chiusa che rappresenta la sua frontiera, orientata con la normale nˆ diretta
verso l’esterno, Figura 1.19.
L’intensità di corrente che attraversa la superficie orientata ! al generico istante t è
data da
i! ( t ) = !
## J " n̂dS
!
(1.98)
La carica elettrica totale che al generico istante t si trova nella regione ! è data da:
Q! ( t ) =
### " ( P;t ) dV
!
(1.99)
C’è una relazione tra i! e Q! ? La risposta è si.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 40 -
n̂
Ω
Σ
Figura 1.19 La carica totale contenuta nella regione ! varia nel tempo in presenza di
una corrente elettrica attraverso la superficie chiusa ! .
La quantità di carica netta che attraversa la superficie orientata ! nell’intervallo di
tempo elementare24 (t,t + dt ) è data da
dq! = i! ( t ) dt
(1.100)
dq! è la quantità di carica che effettivamente abbandona la regione ! nell’intervallo
(t,t + dt ) se dq! > 0 ; se, invece, dq! < 0 , dq! è la quantità di carica che effettivamente
entra nella regione ! nell’intervallo (t,t + dt ) .
Si indichi con dQ! la variazione della carica elettrica contenuta nella regione !
durante l’intervallo di tempo (t,t + dt ) ,
dQ! = Q! ( t + dt ) " Q! ( t )
(1.101)
Per la conservazione della carica si ha che: la somma della variazione della carica
contenuta nella regione ! durante l’intervallo (t,t + dt ) , dQ! , e della quantità di carica
che attraversa la superficie orientata ! che delimita ! , dq! , è uguale a zero,
dQ! + dq" = 0
(1.102)
Sostituendo nella (1.102) l’espressione di dq! data dalla (1.100) si ha l’equazione
24
Con intervallo di tempo elementare intendiamo un intervallo “fisicamente infinitesimo”.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 41 -
i! ( t ) = "
dQ#
dt
(1.103)
Il segno “-” esprime il fatto che, nel caso di cariche positive uscenti da ! ( i! > 0 ) si
riscontra una diminuzione di Q! e cioè dQ! /dt < 0 . Infine, sostituendo nella (1.103) le
espressioni di i! e Q! in termini di ! e J date dalle (1.98) e (1.99) si ha
d
!
## J ( P;t ) ! n̂ ( P ) dS = $ dt ### % ( P;t ) dV
"
&
(1.104)
L’equazione (1.103) esprime la legge della conservazione della carica per un
generico sistema non elettricamente isolato: data una qualsiasi superficie chiusa !
invariabile nel tempo, orientata con la normale uscente, la quantità di carica che
l’attraversa in un dato intervallo di tempo corrisponde alla variazione della carica Q!
contenuta nel volume racchiuso da ! , con il segno cambiato, nello stesso intervallo di
tempo.
Osservazione
In condizioni stazionarie si ha che il flusso del campo di densità di corrente attraverso
qualsiasi superficie chiusa è uguale a zero. Pertanto, il campo di densità di corrente
stazionario è conservativo rispetto al flusso.
♦
Si noti che la (1.103) vale anche quando sono presenti distribuzioni singolari: densità
lineari e superficiali di cariche, correnti filiformi e densità superficiali di corrente.
1.7.2 Equazione di continuità
L’equazione (1.104) deve essere verificata per ogni superficie ! e quindi per ogni !.
E’ necessario che la (1.104) sia effettivamente imposta per ogni superficie chiusa?
Siccome una qualsiasi regione finita dello spazio può essere sempre decomposta in
regioni elementari, basta imporre che la (1.104) sia verificata per ogni possibile regione
elementare affinché essa sia verificata per una generica regione finita. Come
verificheremo tra poco bisogna distinguere tra le regioni in cui le distribuzioni di carica
e di corrente sono regolari e le regioni in cui abbiamo distribuzioni singolari.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 42 -
Applichiamo la (1.104) a una regione elementare d! centrata in nel punto P della
regione di spazio in cui le distribuzioni di carica e di corrente sono regolari, Figura 1.20,
%&
dV
d' % t
!
##
J ! n̂dS = $ ###
d"
(1.105)
!" è la superficie chiusa che delimita d! .
n̂
P
dΣ
dΩ
Figura 1.20
Siccome per un volume elementare si ha
!"
!"
dV =
d# ! t
!t
$$$
(1.106)
( P;t ) d#
dalla (1.105) si ottiene
1
&'
J " n̂dS = % .
!
$
$
d! d#
&t
(1.107)
Dalla definizione di divergenza si ha
1
$$ d# J " n̂dS = % " J
d! !
( P;t )
.
(1.108)
Sostituendo la (1.108) nella (1.107) si ha che in ogni punto P e per ogni t
!"
= #$ % J .
!t
(1.109)
Questa relazione, detta equazione di continuità della corrente, esprime il principio della
conservazione della carica in forma locale, mentre la (1.104) esprime in forma integrale.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 43 -
La (1.109) mette in relazione i valori di J e !" /!t nel generico punto P e i valori di J
nei punti vicini a P .
Quale è il significato fisico della (1.109)? Per definizione di ! " J , (! " J) d#
rappresenta proprio il flusso di J attraverso la superficie !" che delimita la regione
elementare d! centrata nel punto P . Se moltiplichiamo ambo i membri della (1.109)
per d! si ottiene proprio la legge della conservazione della carica per la regione
elementare d! delimitata dalla superficie elementare !" .
Osservazione
Integrando ambo i membri della (1.109) su un volume finito ! variabile nel tempo e
applicando il teorema di Gauss 25 (teorema della divergenza) si ottiene di nuovo
l’equazione (1.104).
♦
L’equazione di continuità (1.109) vale solo nelle regioni in cui il campo di densità di
corrente è regolare. Come tra poco vedremo in presenza di una distribuzione di carica
con densità superficiale la componente normale del campo di densità di corrente è
discontinua.
Si assuma che su una superficie S! sia definita una densità di carica superficiale ! .
Si imponga la conservazione della carica per una superficie chiusa elementare !" di
tipo cilindrica, con la superficie laterale dSL di area trascurabile rispetto26 alla area dS
di ciascuna base e con le due basi poste rispettivamente da ambo i lati della superficie
S! , Figura 2.10a. La superficie !" è centrata nel generico punto P della superficie S! .
In altre parole, consideriamo una “monetina” tagliata longitudinalmente a metà da S! 27.
Le normali nˆ 1 e nˆ 2 alle due basi dS1 e dS2 della monetina sono orientate come indicato
in Figura 2.10a, cioè in modo che risultino uscenti dalla superficie chiusa !" . Inoltre,
indichiamo con dS! la parte di S! che taglia la monetina. Le superfici dS1 , dS2 e dS!
sono superfici fisicamente infinitesime di area dS .
Il teorema di Gauss (teorema della divergenza) afferma che ##
! "V A ! n̂dS = ###V $ ! Adv dove !V è la
frontiera della regione V con la normale nˆ rivolta verso l’esterno: il flusso di un generico campo
vettoriale A attraverso la superficie chiusa !V è uguale all’integrale di volume della divergenza di A
esteso alla regione V .
26
L’area della superficie laterale dSL è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dS .
25
27
Nel seguito ci riferiremo a una superficie elementare di questo tipo come a una “superficie di tipo M”.
Il ricorso a questo tipo di superfici elementari è suggerito dalla necessità di studiare il comportamento del
campo nelle immediate vicinanze di S! , da entrambi i lati.
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 44 -
n̂1
dS1
1
n̂
P
P
2
dS2
n̂ 2
Sσ
Sσ
dSσ
(a)
(b)
Figura 1.21 Superficie elementare di tipo “M”
Applicando la legge della conservazione della carica si ha
!
##
d"
J ! n̂dS = $
dQd"
dt
(1.110)
dove Qd! è la carica elettrica contenuta nella superficie d! . L’unica distribuzione di
carica che contribuisce a Qd! è, per ipotesi, la distribuzione di carica con densità
superficiale definita sulla superficie S! . Allora Qd! è la carica superficiale contenuta
sulla superficie elementare dS! ed è data da
Qd! = " ( P;t ) dS
(1.111)
Il flusso attraverso d! può essere espresso, utilizzando la proprietà di additività degli
integrali, come:
!
##
d"
J ! n̂dS =
##
dS1
J ! n̂1dS + ##
dS2
J ! n̂ 2 dS + ##
dSL
J ! n̂ L dS .
(1.112)
Essendo per ipotesi dS1 e dS2 due superfici elementari, si ha
""
dS1
J ! n̂1dS = J1 ! n̂1dS ,
""
dS2
J ! n̂ 2 dS = J 2 ! n̂ 2 dS
(1.113)
avendo indicato con J1 e J2 i valori dei campi rispettivamente sulle due basi. Essendo
l’altezza del cilindro !" un infinitesimo, J1 e J2 sono, rispettivamente, i valori del
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
- 45 -
campo di densità corrente in corrispondenza del punto P , dall’uno e dall’altro lato di
S! .
Trascurando il contributo del flusso attraverso la superficie laterale della monetina
"" J ! n̂ L dS perché per ipotesi infinitesimo di ordine superiore rispetto agli altri due
dSL
termini, combinando le (1.112) e (1.113) si ottiene
!
##
d"
J ! n̂dS = ( J1 ! n̂1 + J 2 ! n̂ 2 ) dS
(1.114)
Sostituendo le (1.111) e (1.114) nell’equazione (1.110) si ha
J1 ! n̂1 + J 2 ! n̂ 2 = "
#$
#t
(1.115)
La derivata totale rispetto al tempo diventa derivata parziale perché ! e quindi Qd!
dipendono anche dal punto. Scelta ora la normale nˆ ad S! nel punto P coincidente con
nˆ 1 (Figura 1.21b) si ha nˆ 1 = nˆ e nˆ 2 = !nˆ e quindi, dalla (1.115)
(J1 ! J2 ) " nˆ = !
#$
#t
(1.116)
Indicando con J n1 = J1 ! nˆ e J n2 = J 2 ! nˆ le componenti di J1 e J2 lungo la normale nˆ la
(1.116) può essere anche scritta in questo modo,
J n1 ! J n2 = !
"#
.
"t
(1.117)
Questo risultato costituisce un nuovo enunciato, in forma locale, della legge della
conservazione della carica in corrispondenza di distribuzioni di cariche con densità
superficiale e afferma: in corrispondenza delle superfici su cui è distribuita una carica
superficiale con densità ! , il campo di densità di corrente presenta una discontinuità
nella componente normale alla superfici; la differenza tra i valori della componente
normale di J , considerati dall’uno e dall’altro lato delle superfici, è uguale (a meno del
segno) alla derivata parziale rispetto al tempo di ! nel punto considerato.
Nelle regioni prive di cariche superficiali la componente normale di J è continua. E’
appena il caso di notare che, a causa della discontinuità, la divergenza del campo J non
è definita in corrispondenza dei punti di S! .
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali
- 46 -
Osservazione
In condizioni stazionarie la divergenza del campo di densità di corrente è in tutti i punti
in cui è definita uguale a zero e la componente normale è ovunque continua. Un campo
vettoriale si dice che è solenoidale in una certa regione dello spazio se in quella regione
è continuo e la sua divergenza è ovunque uguale a zero. In condizioni stazionarie il
campo di densità di corrente è ovunque solenoidale. Un campo conservativo rispetto al
flusso è ovunque solenoidale; un campo ovunque solenoidale è conservativo rispetto al
flusso.
♦
G. Miano, Elettromagnetismo: Concetti Fondamentali.
2. Equazioni di Maxwell nel Vuoto
La forza di Lorentz determina il moto delle particelle cariche nel campo
elettromagnetico. A loro volta le particelle cariche determinano la distribuzione della
densità volumetrica di carica e di corrente, e così via. Le sorgenti del campo
elettromagnetico sono le cariche e le correnti elettriche. Le equazioni di Maxwell
esprimono le leggi che governano il campo elettromagnetico: esse legano il campo
elettrico e il campo magnetico alle cariche ed alle correnti. Così come schematizzato in
Figura 2.1, l’interazione elettromagnetica è, dunque, un’interazione complessa: il campo
elettromagnetico agisce sulle cariche determinandone il moto, a loro volta le cariche,
attraverso la loro posizione e velocità determinano il campo elettromagnetico. Sia le
sorgenti del campo, che il campo sono, pertanto, grandezze incognite. In questo
Capitolo descriveremo le equazioni di Maxwell nel vuoto, nel prossimo considereremo
le equazioni di Maxwell in presenza di materiali.
E, B
Equazioni di
Maxwell
Equazioni del moto:
forza di Lorentz
ρ, J
Figura 2.1
2.1 Equazioni di Maxwell in Forma Integrale
Un campo vettoriale è definito univocamente se il flusso attraverso qualsiasi superficie
chiusa e l’integrale di linea lungo qualsiasi linea chiusa (la circuitazione) sono assegnati
1
. Le leggi che governano il campo elettromagnetico, infatti, sono espresse utilizzando i
1
Un campo vettoriale, tendente a zero all’infinito, è completamente determinato quando sono noti, in
ogni punto dello spazio, la sua divergenza e il suo rotore (teorema di Helmholtz).
- 48 -
flussi attraverso superfici chiuse e le circuitazioni del campo elettrico e del campo
magnetico.
2.1.1 Legge di Gauss per il campo elettrico
La legge di Gauss per il campo elettrico governa il flusso del campo elettrico attraverso
una qualsiasi superficie chiusa ! . Si ha che per ogni superficie chiusa !
!
$$ ! E " n̂dS = Q
#
0
(2.1)
%
dove ! è la regione di spazio delimitata dalla superficie chiusa ! (Figura 2.2a), nˆ è il
versore normale alla superficie orientato verso l’esterno,
!0 " 8.854 #10$12 F/m
(2.2)
è la costante dielettrica del vuoto e Q! è la carica elettrica totale contenuta in !. Il
“farad” (F) è l’unità di misura della capacità nel Sistema Internazionale. La dimensione
del flusso del campo elettrico è quella di un campo elettrico per una superficie: [ E ][ S] .
La sua unità di misura nel Sistema Internazionale è V ! m .
superficie
chiusa Σ
regione Ω
racchiusa da Σ
ρ = ρ(P;t )
C
n̂
ρ=0
dS n̂
(a)
(b)
Figura 2.2
La “sorgente” per il flusso del campo elettrico attraverso la superficie chiusa ! è la
carica elettrica totale contenuta all’interno di ! . Se non ci sono cariche all’interno di !
il flusso è uguale a zero anche in presenza di cariche vicine a ! situate, però, all’esterno
di essa: il flusso di E entrante attraverso una parte di ! è uguale al flusso di E uscente
attraverso la restante parte, Figura 2.2b ed il valore medio della componente normale
del campo sulla superficie ! è uguale a zero.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
- 49 -
2.1.2 Legge di Gauss per il campo magnetico
Il flusso del campo magnetico attraverso una generica superficie chiusa ! è uguale a
zero
!
## B ! n̂dS = 0
(2.3)
"
Il campo magnetico è conservativo rispetto al flusso. Non esistono “monopoli”
magnetici. La dimensione del flusso del campo magnetico è quella di un campo
magnetico per quella di una superficie: [! ] = [ B][ S] . La sua unità di misura nel Sistema
Internazionale è data da T ! m 2 , a cui si dà il nome di “weber” (Wb).
Osservazione
C’è una conseguenza molto importante della legge (2.3). Si considerino due superfici
aperte S1 e S2 che abbiano lo stesso orlo ! , e le si orientino come illustrato in Figura
2.3; il verso della normale a S1 , nˆ 1, e il verso della normale a S2 , nˆ 2 , sono scelti in
modo concorde. Indichiamo con !1 e ! 2 il flusso del campo magnetico attraverso le
superfici S1 e S2 , rispettivamente,
!1 =
##
S1
B " n̂1dS , !2 =
##
S2
B " n̂ 2 dS
(2.4)
n̂1
n̂
S1
Γ
S2
Figura 2.3
G. Miano, Appunti di Elettrotecnica, Ottobre 2010
- 50 -
L’unione delle due superfici aperte S1 e S2 forma una superficie chiusa che indichiamo
con ! ; orientiamo la superficie ! scegliendo come verso per la normale nˆ quello
uscente. Consideriamo, ora, il flusso del campo magnetico attraverso la superficie ! .
Per la proprietà additiva dell’integrale di superficie si ha che
!
##
"
B ! n̂dS = ## B ! n̂dS + ## B ! n̂dS
S1
S2
(2.5)
Essendo su S1 nˆ = nˆ 1 e su S2 nˆ = !nˆ 2 , dalla (2.3) si ottiene immediatamente
!
##
"
B ! n̂dS = ## B ! n̂1dS $ ## B ! n̂ 2 dS =%1 $ %2 = 0
S1
S2
(2.6)
quindi !1 = ! 2 . In conclusione, i flussi del campo magnetico attraverso due superfici
aperte distinte che hanno lo stesso orlo sono uguali (con un’opportuna scelta del verso
delle normali): il flusso del campo magnetico dipende solo da ciò che le due superfici
hanno in comune, cioè l’orlo. Per questa ragione si è soliti parlare nel caso del campo
magnetico di “flusso concatenato con una linea chiusa”, senza specificare la superficie.
♦
n̂
S
Γ
Figura 2.4
2.1.3 Legge di Faraday-Neumann
La terza legge dell’elettromagnetismo governa la circuitazione del campo elettrico
lungo una qualsiasi linea (chiusa) ! , anche variabile nel tempo. Si ha che
!#
"
%B
! n̂dS
S %t
E ! t̂dl = $ ##
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
(2.7)
- 51 -
dove S è una generica superficie aperta che ha come orlo la linea chiusa ! , nˆ è il
versore normale alla superficie orientato concordemente con il verso di percorrenza
scelto per ! secondo la regola della “mano destra”, Figura 2.4. La “sorgente” per la
circuitazione del campo elettrico lungo ! è il flusso attraverso una superficie aperta che
ha come orlo ! della derivata parziale rispetto al tempo, con il segno cambiato, del
campo magnetico. Se la linea ! è invariabile nel tempo, lo è anche la superficie S , e la
legge (2.7) si può scrivere come
!#
"
d% "
dt
(2.8)
$$ B # n̂dS
(2.9)
E ! t̂dl = $
dove
!" =
S
è il flusso del campo magnetico concatenato con la linea ! .
In condizioni stazionarie la circuitazione del campo elettrico lungo una generica linea
chiusa è uguale a zero. In condizioni stazionarie il campo elettrico è, dunque,
conservativo rispetto alla circuitazione ed il valor medio della componente tangente del
campo elettrico lungo la linea chiusa è uguale a zero.
Osservazione
Si considerino due superfici aperte S1 e S2 che abbiano come orlo la curva chiusa ! , e
le si orientino concordemente con il verso di ! , Figura 2.3. Dalla legge di FaradayNeumann si ha che
d
(2.10)
!# " E ! t̂dl = $ dt ##S1 B ! n̂1dS
e
d
(2.11)
!# " E ! t̂dl = $ dt ##S2 B ! n̂2 dS
Sottraendo membro queste due equazioni si ottiene
0=!
d
dt
##
S1
B " n̂1dS +
d
dt
##
S2
B " n̂ 2 dS = !
d
## $ B " n̂dS
dt !
(2.12)
quindi
!
##
"
B ! n̂dS = costante .
(2.13)
Dunque, la legge di Faraday-Neumann implica che il flusso del campo magnetico
attraverso una generica superficie è costante nel tempo. La costante deve essere
G. Miano, Appunti di Elettrotecnica, Ottobre 2010
- 52 -
necessariamente uguale a zero perché c’è almeno un istante in cui il campo magnetico è
stato uguale a zero.
♦
2.1.4 Legge di Ampere-Maxwell
La legge di Ampere-Maxwell governa la circuitazione del campo magnetico lungo una
generica linea (chiusa) ! , anche variabile nel tempo. Si ha che
!#
"
B
$
! t̂dl = iS ( t ) + ## ( % 0 E ) ! n̂dS
S
µ0
$t
(2.14)
dove S è una generica superficie aperta che ha come orlo la linea chiusa ! (Figura 2.4),
e nˆ è il versore normale alla superficie orientato concordemente con il verso di
percorrenza scelto per ! secondo la regola della “mano destra”, iS è l’intensità di
corrente elettrica che attraversa la superficie S e
µ0 = 4! " 10 #7 H/m
(2.15)
è la permeabilità magnetica del vuoto. L’“henry” (H) è l’unità di misura del coefficiente
di autoinduzione nel Sistema Internazionale. La velocità c0 di propagazione della luce
nel vuoto nel Sistema SI è data da c0 = 1 / ! 0 µ0 " 2.9979 # 10 8 m/s . Se la linea ! è
invariabile nel tempo, lo è anche la superficie S , e la legge (2.7) si può scrivere come
!#
"
B
d
! t̂dl = iS ( t ) +
µ0
dt
## $ E ! n̂dS
S
0
(2.16)
In condizioni stazionarie la (2.14) diventa
!#
"
B
! t̂dl = I "
µ0
(2.17)
dove I! è l’intensità di corrente concatenata con la linea chiusa ! . In condizioni
stazionarie il campo di densità di corrente è conservativo rispetto al flusso, quindi il suo
flusso attraverso una generica superficie aperta dipende solo dal bordo della superficie.
Per tale ragione in condizioni stazionarie ha senso parlare di “intensità di corrente
elettrica concatenata” con la linea chiusa ! . L’equazione (2.17) è la legge di Ampere in
forma integrale.
Osservazione
La grandezza ! 0E è il campo di spostamento elettrico per il vuoto e !(" 0E) /!t è il
cosiddetto campo di densità di corrente di spostamento per il vuoto. La “sorgente” per
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
- 53 -
la circuitazione del campo magnetico lungo ! è, dunque, la somma di due termini: i)
l’intensità di corrente elettrica attraverso una generica superficie S che ha come orlo la
linea ! ; ii) l’intensità di corrente di spostamento attraverso la stessa superficie S . E’
evidente, allora, che il flusso del campo di densità di corrente totale
JT ! J +
"
(# 0 E)
"t
(2.18)
attraverso la superficie aperta S dipende solo dall’orlo ! della superficie e non dalla
sua particolare forma. Questo implica che il campo di densità di corrente JT è
necessariamente conservativo rispetto al flusso, cioè per ogni superficie chiusa ! deve
essere
(2.19)
!
## JT ! n̂dS = 0 .
"
Questa equazione può essere ottenuta facilmente combinando la legge della
conservazione della carica e la legge di Gauss (2.1) assumendo che le superfici e le
regioni volumetriche siano invariabili nel tempo. Lasciamo al lettore la verifica.
♦
Tabella 2.1 Equazioni di Maxwell nel vuoto e legge della conservazione della carica in forma integrale
per distribuzioni di cariche e correnti volumetriche.
1
!
## E ! n̂dS = $ ###
"
!#
0
&
%dV per ogni superficie chiusa !
%B
! n̂dS per ogni linea chiusa !
%t
B ! n̂dS = 0 per ogni superficie chiusa !
E ! t̂dl = $ ##
"
S
!
##
"
%E )
&
B ! t̂dl = µ0 ## ( j + $ 0
+ ! n̂dS per ogni linea chiusa !
S'
%t *
%&
!
## " j ! n̂dS = $ ###' % t dV per ogni superficie chiusa !
!#
"
Nella Tabella 2.1 le equazioni di Maxwell in forma integrale per distribuzioni
volumetriche di cariche e correnti sono riassunte insieme alla legge di conservazione
della carica. A differenza del campo elettromagnetico per il campo di densità di corrente
non c’è nessuna indicazione sulla circuitazione. Le equazioni che governano il campo
elettrico sono accoppiate a quelle che governano il campo elettrico attraverso le
variazioni nel tempo del campo magnetico e del campo elettrico. In condizioni
stazionarie i due insiemi di equazioni si disaccoppiano.
G. Miano, Appunti di Elettrotecnica, Ottobre 2010
- 54 -
2.2 Le equazioni di Maxwell nel vuoto in forma locale
Anche se il campo elettromagnetico è generato dalle cariche e dalle correnti secondo
leggi estremamente complesse, esso ha una caratteristica fondamentale: le relazioni tra i
valori dei campi in un generico punto P e i valori in un intorno di P sono
estremamente semplici.
Si assuma che, oltre distribuzioni volumetriche di cariche e di correnti con densità !
e j , vi siano anche distribuzioni superficiali di cariche ! e di correnti k . I campi E , B ,
analogamente a quanto abbiamo già visto per il campo j , non sono continui in
corrispondenza delle distribuzioni superficiali, come poi vedremo. In generale, quindi,
bisogna distinguere le regioni in cui i campi sono continui dalle regioni in cui non lo
sono.
2.2.1 Forma locale nelle regioni in cui i campi sono regolari
Consideriamo dapprima le regioni in cui sono assenti distribuzioni di carica e di correnti
singolari. Come poi vedremo, in queste regioni i campi E e B sono ovunque continui.
2.2.1.1 Legge di Gauss in forma locale
La legge di Gauss in forma integrale (2.1) deve essere verificata per ogni superficie
chiusa ! . E’ evidente che possiamo procedere in modo analogo a come abbiamo
proceduto con la legge della conservazione della carica, § 1.7.2. Siccome una qualsiasi
regione finita dello spazio può essere sempre decomposta in regioni elementari, è
sufficiente imporre che la (2.36) sia verificata per la superficie chiusa d! che delimita
la generica regione di spazio elementare d! centrata nel generico punto P , affinché sia
verificata per una generica superficie chiusa (Figura 1.20). Allora, applicando la (2.36)
alla regione elementare, si ottiene
!
##
d"
E ! n̂dS =
1
$0
###
d&
%dV .
(2.20)
Essendo
###
d"
!dV = ! ( P ) d"
e (definizione di divergenza)
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
(2.21)
- 55 -
!
##
d"
E ! n̂dS
d$
= %!E
P
(2.22)
dalla (2.20) si ha immediatamente
1
(2.23)
%.
$0
Questa è la legge di Gauss in forma locale nelle regioni in cui il campo elettrico è
continuo. La continuità delle componenti del campo elettrico è necessaria, altrimenti
perde di significato l’operazione di divergenza. Ricordiamo che la divergenza coinvolge
le derivate parziali delle componenti del campo rispetto alle coordinate (in un assegnato
sistema di coordinate). Quale è il significato fisico della (2.23)? Per definizione di
divergenza ( ! " E ) d# rappresenta proprio il flusso di E attraverso la superficie chiusa
d! che delimita d! con la normale nˆ rivolta verso l’esterno. Se moltiplichiamo
scalarmente ambo i membri della (2.30) per nˆ dS si ottiene proprio la legge di Gauss
applicata alla superficie elementare chiusa d! .
Nelle regioni in cui è assente carica elettrica le densità di carica è zero e la
divergenza del campo elettrico è zero, quindi in queste regioni il campo elettrico è
solenoidale. Si noti che il fatto che il campo elettrico sia solenoidale in alcune regioni
non implica affatto che esso sia conservativo rispetto al flusso. Affinché un campo sia
conservativo rispetto al flusso deve essere solenoidale in tutto lo spazio.
!"E = #
2.2.1.2 Legge di Gauss per il campo magnetico in forma locale
Possiamo ripetere il ragionamento appena svolto applicandolo alla legge (2.3). Nelle
regioni in cui il campo magnetico è continuo si ha
!"B = 0
(2.24)
Il campo magnetico è un campo solenoidale ovunque nello spazio.
Un campo conservativo rispetto al flusso è solenoidale ovunque nello spazio; un
campo solenoidale ovunque nello spazio è conservativo rispetto al flusso. Ovviamente,
se il campo è solenoidale solo in una parte dello spazio non è conservativo rispetto al
flusso.
2.2.1.3 Legge di Faraday-Neumann in forma locale
Consideriamo, ora, la legge di Faraday-Neumann (2.7). Essa deve essere verificata per
ogni linea chiusa. Quindi, ripetendo il ragionamento svolto per la legge di Gauss, basta
imporre la (2.7) per la linea chiusa !"n che orla la generica superficie aperta elementare
dSn centrata in un generico punto P (Figura 2.6) affinché essa sia verificata per una
G. Miano, Appunti di Elettrotecnica, Ottobre 2010
- 56 -
generica linea chiusa. Si noti che una volta fissato il punto P in cui la superficie è
centrata, la forma e la dimensione della superficie elementare non abbiamo ancora
individuato unicamente tale superficie, bisogna assegnare anche la direzione e il verso
della sua normale. Per questa ragione abbiamo utilizzato il pedice “ n ” nel simbolo
“ dSn ” usato per indicare l’elemento di superficie.
Applichiamo la (2.7) alla superficie chiusa elementare dSn ,
!#
E ! t̂dl = $ #
d" n
dSn
%B
! n̂dS
%t
(2.25)
ΔΓ
P
n̂
dS
Figura 2.5
Essendo dSn una superficie elementare si ha 2
!B
!B
" n̂dS =
" n̂dSn
dSn ! t
!t
(2.26)
%B
! n̂ .
%t
(2.27)
##
dalla (2.25) si ha
1
dSn
!#
d" n
E ! t̂dl = $
Dalla definizione di rotore del campo elettrico si ha anche
1
dSn
!#
d" n
E ! t̂dl = ( $ % E
P
) ! n̂ .
(2.28)
Sostituendo la (2.28) nella (2.27) si ha
#B '
$
&% ! " E +
) * n̂ = 0
#t (
(2.29)
Siccome la (2.83) è verificata per ogni nˆ deve essere necessariamente
!"E=#
2
$B
$t
Per definizione di superficie elementare (!B / !t) " nˆ è sostanzialmente uniforme su dSn .
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
(2.30)
- 57 -
Questa è la legge di Faraday-Neumann in forma locale nelle regioni in cui il campo
elettrico è continuo. Quale è il significato fisico della (2.30)? Per definizione di rotore
(! " E) # nˆ dS rappresenta proprio la circuitazione di E lungo il bordo della superficie
elementare aperta dS di normale nˆ . Se moltiplichiamo scalarmente ambo i membri
della (2.30) per nˆ dS si ottiene proprio la legge di Faraday-Neumann applicata al
contorno della superficie elementare dS .
In condizioni stazionarie il rotore del campo elettrico è ovunque uguale a zero
! " E = 0.
(2.31)
Il campo elettrostatico è, dunque, conservativo rispetto alla circuitazione e, quindi, può
essere espresso come il gradiente del potenziale elettrico scalare U = U ( P )
E = !"U .
(2.32)
2.2.1.4 Legge Ampere-Maxwell in forma locale
Consideriamo, ora, la legge di Ampere-Maxwell (2.14). Essa deve essere verificata per
ogni linea chiusa. Quindi, ripetendo il ragionamento appena svolto per la legge FaradayNeumann si ha
#
%
(
! " B = µ0 ' j + ( $ 0 E) * .
& #t
)
(2.33)
Questa è la legge di Ampere-Maxwell in forma locale nelle regioni in cui il campo
magnetico è continuo. Quale è il significato fisico della (2.33)? Per definizione di
rotore, (! " B) # nˆ dS rappresenta proprio la circuitazione di B lungo il bordo della
superficie elementare aperta dS di normale nˆ . Se moltiplichiamo scalarmente ambo i
membri della (2.33) per nˆ dS si ottiene proprio la legge di Ampere-Maxwell applicata al
contorno della superficie elementare dS .
In condizioni stazionarie la (2.33) diventa
! " B = µ0 j .
(2.34)
Questa è la legge di Ampere in forma locale nelle regioni in cui il campo magnetico è
continuo.
2.2.2 Forma locale in corrispondenza di distribuzioni con densità superficiale
Ora analizzeremo cosa accade in corrispondenza di distribuzioni di carica e di corrente
con densità superficiali.
G. Miano, Appunti di Elettrotecnica, Ottobre 2010
- 58 -
2.2.2.1 Legge di Gauss per il campo elettrico
L’equazione (2.23) vale solo nelle regioni in cui il campo elettrico è continuo. In
presenza di una distribuzione di carica con densità superficiale la componente normale
del campo elettrico è discontinua.
1
2
n̂
P
Sσ
Figura 2.6
Si assuma che su una superficie S! sia definita una densità di carica superficiale ! .
Si imponga la legge di Gauss (2.1) per una superficie elementare di tipo “M”, vedi la
Figura 1.21. Ragionando come per la conservazione della carica, § 1.7.2 si ottiene
( E1 ! E2 ) " n̂ =
#
$0
(2.35)
dove nˆ è la normale alla superficie S! orientata in modo tale che va dalla parte “2”
verso la parte “1”, Figura 2.6. Indicando con E n1 = E1 ! nˆ e E n 2 = E2 ! nˆ le componenti di
ˆ , la (2.87) può essere anche scritta in questo modo,
E1 e E 2 lungo la normale n
En1 ! En2 =
"
#0
(2.36)
Questo risultato costituisce un nuovo enunciato, in forma locale, della legge di Gauss in
corrispondenza di distribuzioni di cariche con densità superficiale e afferma: nei punti
del campo elettrico in cui sia presente una carica distribuita con densità superficiale ! ,
il campo elettrico presenta una discontinuità nella componente normale alla superficie
su cui è distribuita la carica; la differenza tra i valori della componente normale di E ,
considerati dall’uno e dall’altro lato di questa superficie, è uguale, a meno del fattore
1/!0 , ! nel punto considerato.
Nelle regioni prive di cariche superficiali la componente normale di E è continua. E’
appena il caso di notare che, a causa della discontinuità, la divergenza del campo E non
è definita in corrispondenza dei punti di S! .
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
- 59 -
2.2.2.2 Legge di Gauss per il campo magnetico
L’equazione (2.24) vale solo nelle regioni in cui il campo magnetico è continuo. Ora
faremo vedere che la componente normale del campo magnetico a una generica
superficie è sempre continua.
1
n̂
P
2
S
Figura 2.7
Sia S una generica superficie. Si imponga la legge di Gauss per il campo magnetico
(2.3) ad una superficie elementare di tipo “M”, vedi la Figura 2.10. Ragionando come
per la legge di Gauss per il campo elettrico, si ottiene immediatamente
( B1 ! B2 ) " n̂ = 0
(2.37)
dove nˆ è la normale alla superficie S , Figura 2.7. Indicando con Bn1 = B1 ! nˆ e
Bn2 = B 2 ! nˆ le componenti di B1 e B 2 lungo la normale nˆ la (2.37) può essere anche
scritta in questo modo,
Bn1 = Bn2
(2.38)
Questo risultato costituisce un nuovo enunciato, in forma locale, della legge di Gauss
per il campo magnetico in corrispondenza di una generica superficie e afferma: la
componente normale del campo magnetico è continua in corrispondenza di qualsiasi
superficie.
2.2.2.3 Legge di Faraday-Neumann
La legge (2.30) vale solo nei punti in cui il campo elettrico è continuo. Ora faremo
vedere che la componente tangente del campo elettrico a una generica superficie è
sempre continua.
Consideriamo una generica superficie S e una linea rettangolare elementare !"
orientata (ad esempio, in verso orario), come del tipo indicato in Figura 2.8a, centrata
nel generico punto P , tale che l’altezza dh sia trascurabile rispetto alla lunghezza dl
delle basi3; indichiamo con dl1 e dl2 i tratti elementari di base e con dh1 e dh2 i tratti
elementari di altezza. D’ora in poi, chiameremo queste curve “linee T”. Indichiamo con
3
L’altezza è un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza.
G. Miano, Appunti di Elettrotecnica, Ottobre 2010
- 60 -
dS la superficie piana elementare che ha come orlo la linea !" , orientata
concordemente con il verso di percorrenza di !" secondo la regola della mano destra.
Applichiamo alla linea a “T” la legge di Faraday-Neumann,
!#
d"
E ! t̂dl = $ ##
dS
%B
! ndS .
%t
(2.39)
Per il termine a secondo membro si ha
##
dS
!B
!
" m̂dS = B ( P;t ) " m̂ ( P ) dS
!t
!t
(2.40)
perché dS è una superficie elementare. Applicando la proprietà di additività
dell’integrale di linea si ha
!#
d"
E ! t̂dl =
#
dl1
E ! t̂dl + # E ! t̂dl + # E ! t̂dl + # E ! t̂dl
dh1
dl2
(2.41)
dh2
Essendo, per ipotesi, dl1 e dl2 tratti elementari di lunghezza dl , si ha che
"
dl1
E ! t̂dl = E1 ! t̂1dl ,
"
dl2
E ! t̂dl = E2 ! t̂ 2 dl ,
(2.42)
dove tˆ1 e tˆ2 sono, rispettivamente, i versori tangenti i tratti elementari dl1 e dl2 , avendo
indicato con E1 e E 2 i valori del campo elettrico lungo le due basi elementari. Essendo
l’altezza del rettangolo un infinitesimo, E1 e E 2 sono, rispettivamente, i valori del
campo elettrico in corrispondenza del punto P , dall’uno e dall’altro lato della superficie
S.
dS
n̂
dh1
t̂ 1
P
dl1
t̂ 2
t̂
dh2 ΔΓ
dl2
m̂
1
n̂
t̂
P
2
m̂
S
(a)
Figura 2.8 Linee di tipo “T”.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
(b)
S
- 61 -
"
Trascurando il contributo dell’integrale di linea lungo le due altezze
E ! t̂dl + " E ! t̂dl perché per ipotesi infinitesimi di ordine superiore rispetto agli
dh1
dh2
altri due termini, combinando le (2.41) e (2.42) si ottiene
!#
d"
(
)
E ! t̂dl = E1 ! t̂1 + E2 ! t̂ 2 dl
(2.43)
Sostituendo le (2.43) e (2.40) nella (2.39) si ottiene
( E ! t̂
1
1
)
+ E2 ! t̂ 2 dl = "
#
( B ! m̂) dS
#t
(2.44)
Essendo dS = dl ! dh , dalla (2.44) si ottiene
E1 ! t̂1 + E2 ! t̂ 2 = "
#
( B ! m̂) dh
#t
(2.45)
E’ evidente allora che, essendo dh un infinitesimo (nel limite di dh ! 0 la linea !"
viene schiacciata in modo da far tendere a zero i lati corti) e il modulo della derivata
ˆ ) / ! t]#0 , quindi:
parziale di B rispetto al tempo finito risulta dh[! (B"m
E1 ! t̂1 + E2 ! t̂ 2 = 0
(2.46)
t̂ ! ( E1 " E2 ) = 0
(2.47)
La (2.46) può essere così riscritta
dove tˆ è la tangente alla superficie S nel punto P orientata concordemente con il
versore tˆ1, Figura 2.8b. Indicando con E t1 = E1 ! ˆt e E t 2 = E2 ! ˆt le componenti di E1 e
E 2 lungo la tangente tˆ , la (2.47) può essere anche scritta in questo modo,
Et1 = Et 2 .
(2.48)
Riassumendo, possiamo affermare che in corrispondenza dei punti di una generica
superficie le componenti del campo elettrico tangenziali ad essa si mantengono continue
nel passaggio da un lato all’altro della superficie stessa (anche in corrispondenza di
distribuzioni con densità superficiali).
Questo risultato costituisce un nuovo enunciato, in forma locale, della legge di
Faraday-Neumann in corrispondenza di una generica superficie e afferma: la
componente tangenziale del campo elettrico a qualsiasi superficie è continua.
In condizioni stazionarie il campo elettrico è esprimibile, a meno del segno, come il
gradiente del potenziale elettrico scalare. Dalla (2.47) segue, allora, che
G. Miano, Appunti di Elettrotecnica, Ottobre 2010
- 62 -
t̂ ! ( "U1 # "U 2 ) = 0 .
(2.49)
Indicando con !U / !t la derivata del potenziale lungo la direzione tangente t̂ ,
!U / !t = t̂ " #U1 , la (2.49) dà
!U1 !U 2
su S ,
(2.50)
=
!t
!t
ovvero
U1 ! U 2 = u0 =costante su S .
(2.51)
Se si esclude la presenza di doppi strati di carica (vedi Capitolo 3) la costante u0 è
uguale a zero. Questo risultato costituisce un nuovo enunciato, in forma locale, della
legge di Faraday-Neumann in condizioni stazionarie in corrispondenza di una generica
superficie e afferma: il potenziale elettrostatico è continuo attraverso qualsiasi
superficie.
Osservazione
ˆ,
Sia nˆ il versore normale alla superficie S nel punto P orientato in modo tale nˆ = tˆ ! m
Figura 2.8. E’ evidente, allora, che
t̂ = m̂ ! n̂
(2.52)
Sostituendo la (2.52) nella (2.47) si ha
( m̂ ! n̂ ) " ( E1 # E2 ) = 0
ˆ ! nˆ ) " (E # E ) = m
ˆ " [nˆ ! (E
Essendo per una nota identità vettoriale4 (m
1
2
1
(2.53)
# E 2 )] , la (2.53)
diventa
m̂ ! $% n̂ " ( E1 # E2 ) &' = 0
(2.54)
Siccome la (2.47) deve essere verificata per ogni versore tangente tˆ , la relazione (2.54)
ˆ . Ciò è possibile se e solo se
deve essere verificata per qualsiasi versore m
n̂ ! ( E1 " E2 ) = 0 .
(2.55)
L’utilità della forma (2.55) è nel fatto che si fa di nuovo riferimento al versore
normale alla superficie, così come nei casi precedenti. Moltiplicando vettorialmente il
campo E1 per nˆ si ottiene la componente tangente di E1 ruotata di 90 gradi in senso
antiorario attorno alla normale; analogamente per il campo E 2 . Allora, la (2.55) dice che
4
A! B "C = A " B ! C .
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
- 63 -
la componente tangente di E1 ruotata di 90 gradi in verso antiorario attorno alla normale
è uguale alla componente tangente di E 2 ruotata sempre di 90 gradi in verso antiorario
attorno alla normale. Di conseguenza, le componenti tangenti di E1 e E 2 devono essere
uguali.
♦
2.2.2.4 Legge di Ampere-Maxwell
La legge (2.33) vale solo nei punti in cui il campo magnetico è continuo. Ora
determineremo la legge che governa la componente tangenziale del campo magnetico in
prossimità di una distribuzione di densità superficiale di corrente.
dS
n̂
dl1
dh2
dh1
t̂ 1
dl2
t̂
t̂ 2
ΔΓ
m̂
P
JS
n̂
1
t̂
P
2
m̂
S
Sσ
(a)
(b)
Figura 2.9 Linee di tipo “T”.
Sulla superficie S! è definita una distribuzione di densità superficiale di corrente k .
Come nel caso appena trattato, consideriamo sulla superficie S! una linea di tipo “T”
centrata nel generico punto P, Figura 2.9. Applichiamo alla linea di tipo “T” la legge di
Ampere-Maxwell,
%E
! m̂dS .
dS %t
!#
B ! t̂dl = µ0idS + µ0$ 0 ##
d"
(2.56)
Essendo dS è una superficie elementare si ha
##
dS
!E
!
" m̂dS = E ( P;t ) " m̂ ( P ) dS .
!t
!t
(2.57)
Solo il campo di densità di corrente superficiale contribuisce all’intensità di corrente idS :
idS è il flusso di k attraverso la curva di lunghezza dl che si ottiene dall’intersezione
G. Miano, Appunti di Elettrotecnica, Ottobre 2010
- 64 -
ˆ .
della superficie elementare dS con la superficie S! , orientata con normale m
immediato, allora, che
idS = k ( P;t ) ! m̂ ( P ) dl .
E’
(2.58)
Ragionando come nel caso precedente si ha, inoltre,
!$
"#
(
)
B ! t̂dl = B1 ! t̂1 + B2 ! t̂ 2 dl
(2.59)
I contributi dei lati dh1 e dh1 sono trascurabili perché infinitesimi di ordine superiore.
Sostituendo le (2.57)-(2.59) nella (2.56) e ricordando che dS = dh ! dl si ottiene
B1 ! t̂1 + B2 ! t̂ 2 = µ0 ( k + dhE ) ! m̂
(2.60)
E’ evidente allora che dhE , in modulo, è infinitesimo rispetto a k e quindi, dhE è
trascurabile rispetto a k . Allora dalla (2.60) si ottiene:
B1 ! t̂1 + B2 ! t̂ 2 = µ0 k ! m̂
(2.61)
La (2.61) può essere così riscritta
t̂ ! ( B1 " B2 ) = µ0 k ! m̂
(2.62)
dove tˆ è la tangente alla superficie S! nel punto P orientata concordemente con il
versore tˆ1, Figura 2.19. Indicando con Bt1 = B1 ! ˆt e Bt2 = B 2 ! ˆt le componenti di B1 e
B 2 lungo la tangente tˆ , la (2.62) può essere anche riscritta in questo modo,
Bt1 ! Bt 2 = µ0 k " m̂
(2.63)
Questo risultato costituisce un nuovo enunciato, in forma locale, della legge di
Ampere-Maxwell in corrispondenza di una superficie S! su cui è definita una
distribuzione con densità superficiale di corrente k e afferma: la variazione nel
passaggio dall’una all’altra faccia di S! della componente di B secondo una generica
direzione tangente a S! è uguale, a meno del fattore µ0 , alla componente di k lungo la
direzione ortogonale alla direzione tangente considerata.
Nelle regioni prive di distribuzioni con densità superficiale la componente tangenziale
del campo magnetico ad una generica superficie è continua.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
- 65 -
Tabella II: Equazioni di Maxwell nel vuoto in forma locale ed equazione di continuità
n̂
1
Regione in cui i campi sono continui
2
S
Superfici con distribuzioni superficiali
$
%0
$B
!"E=#
$t
!"B =0
nˆ ! (E1 " E2 ) =
!"E=#
! " B = µ0 j + µ0# 0
!"J=#
$%
$t
#
$0
nˆ ! (E1 " E2 ) = 0
nˆ ! (B1 " B2 ) = 0
$E
$t
n̂ ! ( B1 " B2 ) = µ0 k
nˆ ! (J1 " J2 ) = "
#$
#t
Osservazione
La condizione (2.62) può essere riscritta nel modo equivalente,
n̂ ! ( B1 " B2 ) = µ0 k
(2.64)
ˆ ! nˆ dalla (2.62) si ottiene
Infatti, essendo tˆ = m
( m̂ ! n̂ ) " ( B1 # B2 ) = µ0 k " m̂
ˆ ! nˆ ) " (B # B ) = m
ˆ " [nˆ ! (B # B )] , la
Utilizzando l’identità (m
1
2
1
2
m̂ ! $% n̂ " ( B1 # B2 ) &' = µ0 k ! m̂
(2.65)
diventa ((2.65)
(2.66)
Siccome la (2.66) deve essere verificata per ogni versore tangente tˆ , la relazione (2.66)
ˆ . Ciò è possibile se e solo se è verificata la
deve essere verificata per qualsiasi versore m
(2.64).
La (2.64) dice, allora, che la differenza tra la componente tangente di B1 ruotata di
90 gradi in verso antiorario attorno alla normale nel generico punto P di S! e la
componente tangente di B 2 ruotata sempre di 90 gradi in verso antiorario attorno alla
G. Miano, Appunti di Elettrotecnica, Ottobre 2010
- 66 -
normale nello stesso punto è uguale, a meno del fattore µ0 , al valore del campo di
densità di corrente superficiale in quel punto.
♦
Nella Tabella 2.2 le equazioni di Maxwell in forma locale per distribuzioni
volumetriche e superficiali di cariche e correnti sono riassunte insieme alla legge di
continuità della carica. A differenza del campo elettromagnetico per il campo di densità
di corrente non c’è nessuna indicazione sul rotore nelle regioni regolari e sulla
componente tangente in corrispondenza di distribuzioni superficiali di cariche e
correnti. Come per le equazioni in forma integrale, le equazioni che governano il campo
elettrico sono accoppiate a quelle che governano il campo elettrico nelle regioni regolari
attraverso le derivate parziali rispetto al tempo del campo magnetico e del campo
elettrico. In condizioni stazionarie i due insiemi di equazioni si disaccoppiano.
2.3 Tensione elettrica e forza elettromotrice
L’integrale di linea del campo elettrico lungo una generica curva orientata ! è, per
definizione, la tensione elettrica lungo ! , Figura 2.5a,
v! =
#
!
E " t̂dl
(2.67)
La tensione elettrica lungo ! rappresenta il lavoro che il campo elettrico compierebbe
su una carica elettrica puntiforme unitaria se si muovesse da un estremo all’altro di !
concordemente con il verso con cui la curva è orientata.. Nel Sistema Internazionale la
tensione elettrica si misura in “volt” (V).
Si considerino due curve, !1 e !2 , che abbiano gli stessi punti estremi A e B , Figura
2.14b; si orientino entrambe le curve concordemente con il verso che va dal punto A al
punto B , e si indichino con tˆ1 e tˆ2 i rispettivi versori tangenti. L’unione delle due curve
!1 e !2 forma una curva chiusa ! ; si orienti la linea ! in modo concorde con il verso di
!1. Indichiamo con v1 e v 2 la tensione elettrica lungo !1 e !2 , rispettivamente,
v! 1 =
#
!1
E " t̂1dl , v! 2 =
#
!2
E " t̂ 2 dl .
(2.68)
Per la proprietà additiva dell’integrale di linea si ha che
!#
"
E ! t̂dl =
#
$1
E ! t̂dl + # E ! t̂dl
$2
Essendo lungo !1 tˆ = ˆt1 e lungo !2 tˆ = !ˆt 2 si ottiene immediatamente
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
(2.69)
- 67 -
!#
"
E ! t̂dl =
#
$1
E ! t̂1dl % # E ! t̂ 2 dl = v$ 1 % v$ 2 .
(2.70)
$2
Applicando la legge (2.8) dalla (2.70) si ha che
v! 2 " v! 1 =
d# $
.
dt
(2.71)
In generale, quindi, i valori delle tensioni del campo elettrico lungo due curve che hanno
gli stessi estremi sono diversi, v 2 ! v1 .
B
B
t̂
γ1
γ
t̂ 1
t̂
A
γ2
A
(a)
t̂ 2
(b)
Figura 2.5
In condizioni stazionarie (quando le grandezze sono costanti nel tempo) si ha che
v! 2 = v! 1 .
(2.72)
In condizioni stazionarie la tensione elettrica dipende solo dai due punti estremi della
curva lungo cui è definita e non dalla sua particolare forma. Esprimendo il campo
elettrico attraversi il potenziale elettrico scalare otteniamo
v! = U ( A ) " U ( B ) .
(2.73)
In condizioni stazionarie la tensione lungo la linea A! B , dove A è il punto di partenza
e B è il punto di arrivo della linea orientata, è uguale alla differenza tra il valore del
potenziale elettrostatico nel punto A e il valore del potenziale nel punto B .
La tensione elettrica lungo una generica linea chiusa
E! = !
# E " t̂dl
!
(2.74)
G. Miano, Appunti di Elettrotecnica, Ottobre 2010
- 68 -
la si indica con E ! e viene comunemente chiamata “forza elettromotrice” (f.e.m.) agente
lungo la linea ! . Si fa notare che il termine “forza” è improprio dato che le forze e le
tensioni hanno dimensioni fisiche diverse. Utilizzando la f.e.m. E ! la legge di FaradayNeumann può essere così espressa,
E! = "
d# !
dt
(2.75)
La (2.75) esprime il fatto che la f.e.m. agente lungo una linea chiusa è pari (a meno del
segno) alla derivata rispetto al tempo del flusso magnetico concatenato con la linea
stessa. Il fenomeno prende il nome di induzione elettromagnetica e la f.e.m. E ! viene
indicata come f.e.m. indotta dalla variazione del campo magnetico nel tempo.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nel Vuoto
3. Equazioni di Maxwell nella Materia
In questo Capitolo descriveremo le equazioni di Maxwell in presenza di materiali. Esse
consentono di analizzare e progettare sistemi ed apparati elettromagnetici alla base di
tante applicazioni dell’ingegneria.
Le equazioni che esprimono le leggi dell’elettromagnetismo assumono una forma
più complessa in presenza di materiali (conduttori, dielettrici, materiali magnetici, …),
poiché le sorgenti del campo non si limitano più soltanto alle cariche e correnti
elettriche presenti nel vuoto (delle quali si assumono note a priori le distribuzioni), ma
comprendono anche quelle che si generano nei materiali per effetto dell’interazione con
il campo elettromagnetico ivi presente (e delle quali non sono note le distribuzioni a
priori). Ne deriva che le cariche e correnti indotte nei materiali svolgono allo stesso
tempo il ruolo di sorgente (e quindi - se si vuole – di “causa”) del campo e quello di
“effetto” (in quanto determinate dal campo stesso). Di qui, la maggiore complessità
richiesta dalla descrizione dei fenomeni elettromagnetici in presenza di materiali. Nella
maggior parte delle applicazioni le sorgenti del campo elettromagnetico sono situate
solo all’intermo di materiali.
Le cariche e le correnti elettriche indotte nei materiali, che contribuiscono al campo
elettromagnetico macroscopico, sono classificate in “libere” e “legate” (o molecolari).
Con cariche elettriche libere si intendono quelle cariche che sono in grado di
muoversi all’interno del materiale su lunghezze macroscopiche. Le correnti elettriche
libere sono le correnti prodotte da cariche libere in moto. Ad esempio, in un filo di rame
un elettrone per ogni nucleo di rame è libero di muoversi su lunghezze macroscopiche.
Con cariche elettriche legate si intendono, invece, quelle cariche che, pur
contribuendo al campo elettromagnetico macroscopico, non sono libere di spostarsi su
lunghezze macroscopiche, ma possono solo muoversi attorno a posizioni ben precise su
dimensioni caratteristiche dell’ordine delle dimensioni molecolari o atomiche. Le
correnti prodotte dal moto delle cariche legate prendono il nome di correnti elettriche
legate (o molecolari).
Va detto con chiarezza che, ove mai fosse possibile conoscere a-priori la
distribuzione delle sorgenti legate ai materiali presenti, oltre che di quelle libere, le leggi
del campo elettromagnetico potrebbero ancora essere utilizzate nella forma relativa al
vuoto (come se i materiali non esistessero), a patto, naturalmente, di fare figurare fra le
sorgenti anche quelle legate (oltre che quelle libere). Analoga situazione si ha quando i
-70-
materiali presenti siano completamente trasparenti al campo elettromagnetico: ciò si
verifica quando nel materiale non vengono indotte sorgenti significative per effetto della
presenza del campo elettromagnetico (è il caso, ad esempio, dell’aria in condizioni
usuali, nonché di altri gas).
Nelle situazioni reali le cose stanno, come si è detto, in modo più complicato: le
distribuzione delle sorgenti libere e legate non sono note a priori perché non è noto il
campo elettromagnetico complessivo. Occorre, quindi, trovare il modo di riuscire a
determinare insieme sia queste, sia il campo elettromagnetico che esse contribuiscono a
produrre.
I fenomeni che si manifestano nei materiali, quando sono immersi in un campo
elettromagnetico, sono così classificabili: conduzione elettrica, polarizzazione elettrica
e polarizzazione magnetica. Può riscontrarsi la presenza significativa di più d’uno di tali
fenomeni, la prevalenza di uno solo (ad esempio, in un pezzo di ferro sono significativi
sia il fenomeno della conduzione che quello della polarizzazione magnetica, mentre in
uno di rame è significativo soltanto quello della conduzione e in uno di plastica quello
della polarizzazione elettrica) o l’assenza di tutti e tre. I conduttori sono i materiali in
cui è prevalente il fenomeno della conduzione elettrica, i dielettrici sono i materiali in
cui è prevalente la polarizzazione elettrica e i materiali magnetici sono quei materiali in
cui sono prevalenti il fenomeno della polarizzazione magnetica. Un materiale è
elettromagneticamente inerte se si comporta come il vuoto.
3.1 Conduttori
I conduttori sono materiali che contengono un numero elevato di cariche elettriche
libere per unità di volume; ad esempio, nel rame la densità numerica di elettroni liberi è
23
!3
dell’ordine di 10 cm .
Il fenomeno della conduzione elettrica è l’azione del campo elettromagnetico sulle
cariche elettriche libere presenti nei conduttori: esso è caratterizzato dalle distribuzioni
di cariche e correnti (superficiali e volumetriche), risultanti dall’azione del campo
elettromagnetico sulle cariche libere.
Il campo di densità di corrente in un conduttore, in un qualsiasi punto e istante,
dipende, oltre che dal valore campo elettrico nello stesso punto e istante, anche dal
campo magnetico (effetto Hall), dalla velocità del conduttore (come nelle dinamo e
negli alternatori) e da campi di forze di natura non elettrica (come, ad esempio, il campo
elettromotore di natura chimica in una pila o in una cella a combustibile, o il campo
elettromotore di natura fotoelettrica nelle celle solari).
Il tipo di corrente che nasce in un conduttore e il meccanismo di conduzione
dipendono dalla struttura fisico-chimica del materiale. La relazione tra il campo elettrico
(la causa) e il campo densità di corrente nei conduttori (l’effetto) dipende,
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
- 71 -
essenzialmente, solo dalla costituzione fisico-chimica del materiale conduttore (e non,
ad esempio, dalla loro forma) per i conduttori di dimensioni macroscopiche; per questa
ragione le chiameremo relazioni costitutive del conduttore. Noi qui faremo riferimento
solo ai cosiddetti conduttori metallici, perché sono i più comuni (ed anche i più semplici
da descrivere).
Un conduttore metallico si può immaginare costituito da una struttura di cariche
positive, fisse nei vertici di un reticolo1, e da un “mare” di elettroni liberi che si
muovono in maniera disordinata a causa dell’agitazione termica, urtando continuamente
tra loro e contro le cariche positive fisse del reticolo. Sotto l’azione di un campo
elettromagnetico macroscopico su ciascun elettrone libero del conduttore agisce una
forza che dà origine ad un moto ordinato che si sovrappone al moto disordinato dovuto
all’agitazione termica.
3.1.1 Legge di Ohm in forma locale
E’ possibile prevedere l’azione del campo elettromagnetico sulle cariche libere di un
conduttore metallico studiando il moto degli elettroni liberi sotto l’azione della forza di
Lorentz e degli urti anelastici con il reticolo del conduttore.
conduttore
Em
E
J
(a)
J
B
(b)
J
(c)
Figura 3.1
Si consideri un conduttore metallico fermo, in presenza di un campo
elettromagnetico (il campo può variare anche nel tempo, purché non troppo
velocemente), Figura 4.1a. Se la velocità macroscopica associata al moto ordinato
prodotto dal campo elettrico è molto più piccola confrontata con la velocità associata al
moto disordinato (la cosiddetta velocità termica, che ricordiamo, è dell’ordine di
centinaia di km al secondo a temperatura ambiente), la relazione tra il campo di densità
di corrente volumetrica j f (che descrive la corrente macroscopica nel conduttore) e il
campo elettrico E (che produce la corrente macroscopica) è
jf = ! E
(3.1)
1
Ciascuna carica positiva è composta da un nucleo atomico e dagli elettroni legati al nucleo. La carica
netta risultante è positiva perché mancano alla struttura atomica gli elettroni liberi, che sono proprio quelli
in grado di muoversi su dimensioni macroscopiche all’interno del reticolo.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-72-
dove il coefficiente ! è la conducibilità elettrica del conduttore. Il termine di forza del
campo magnetico è stato ignorato nella (3.1). Esso dà origine all’effetto Hall, effetto
che è poco significativo nei metalli a causa delle basse velocità macroscopiche degli
elettroni liberi.
L’inverso della conducibilità elettrica è la resistività elettrica ! , ! = 1/" . E’ evidente
che la dimensione fisica della resistività è (V / A) ! m . Nel Sistema Internazionale
1V /1A = 1! , dove “ohm” (Ω) è l’unità di misura della resistenza elettrica. Quindi
l’unità di misura della resistività nel Sistema Internazionale è “ ohm ! metro ” ( ! " m ). Di
conseguenza l’unità di misura della conducibilità elettrica è “1/(ohm! metro) ”
"1
"1
"1
( ! # m ). Nel Sistema Internazionale “1/ohm = siemens ” ( ! = S ): il “siemens” è
l’unità di misura della conduttanza elettrica.
Tabella 3.1 Resistività, conducibilità e coefficiente di temperatura di alcuni materiali.
Materiale
Argento
Rame
Alluminio
Zinco
Ottone
Ferro
Rame-nichel-manganese
(nichelina, manganina, costantana)
Nichel - cromo
Carbone per lampade ad arco
Acqua di mare
Acqua dolce
Acqua distillata
Terreni
Resistività
(µ! " m)
Conducibilità
(!"1 # m"1 )
0,0159 ÷ 0,017
0,0170 ÷ 0,0178
0,028 ÷ 0,03
0,063
0,07 ÷ 0,09
0,09 ÷ 0,15
7
5,9 ÷ 6,3 !10
7
5,6 ÷ 5,9 !10
7
3,3 ÷ 3,6 !10
7
1,6 !10
7
1,1 ÷ 1,4 !10
7
0,67 ÷ 1,1 !10
0,43 ÷ 0,5
2,2 !10
1,1
60 ÷ 80
0.33 !10 6
10 8
10
1 ÷ 4 !10
10 8 ÷ 1010
0,8 !10
4
1,70 !10
3
10! 2
"4
0,2 ÷ 1 !10
10! 4 ÷ 10! 2
6
6
Coefficiente
di temperatura
a 20 °C (1/°C)
"3
3,8 !10
"3
3,9 !10
"3
3,7 !10
"3
3,7 !10
"3
1,5 !10
"4
4,5 !10
0,05 ÷ 0,1 !10
"3
0,02 !10
"3
-0,2 ÷ 0,8 !10
"3
Studiando il moto degli elettroni liberi sotto l’azione della forze di Lorentz e degli
urti anelastici si ottiene l’espressione della conducibilità elettrica in funzione delle
caratteristiche fisiche del materiale,
! = e2
nel
"
me
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
(3.2)
- 73 -
dove e il valore della carica dell’elettrone (in valore assoluto), me è la massa
dell’elettrone, nel è la densità di elettroni liberi nel conduttore e ! il tempo medio tra
due urti successivi di un elettrone libero con le cariche positive fisse del reticolo del
conduttore. Il tempo caratteristico ! descrive, appunto, l’effetto degli urti anelastici con
il reticolo. Gli urti sono sostanzialmente dovuti al moto disordinato, quindi !
diminuisce al crescere della velocità termica. Essendo la velocità termica direttamente
proporzionale alla radice quadrata della temperatura, si ha che la conducibilità elettrica
di un conduttore metallico diminuisce al crescere della temperatura del conduttore.
La (3.1) è una relazione lineare ed isotropa2 tra il campo elettrico e il campo di
densità di corrente. Essa prende il nome di legge di Ohm in forma locale e vale anche
per conduttori diversi da quelli metallici (gas ionizzati, liquidi, …), sotto opportune
condizioni. I conduttori descritti dalla relazione (3.1) prendono il nome di conduttori
ohmici.
Il limite ! " 0 descrive il comportamento di un materiale isolante, come il
dielettrico ideale: in questi materiali non si ha corrente elettrica macroscopica pur in
presenza di un campo elettrico. Invece, il limite ! " # , ovvero ! " 0 descrive il
comportamento di materiali con elevatissima conducibilità, cioè dei conduttori ideali: in
questo caso pur in presenza di correnti nel conduttore l’intensità del campo elettrico è
arbitrariamente piccola.
Si rileva sperimentalmente che, per un’ampia classe di conduttori e in un largo
campo di temperature, la resistività varia pressoché linearmente, secondo la legge
! = !0 $%1 + " (T # T0 ) &'
(3.3)
dove T0 è la temperatura di riferimento, assunta pari a quella dell’ambiente T0 = 20°C ,
!0 è la resistività alla temperatura T0 e ! è il cosiddetto coefficiente di temperatura del
conduttore. La Tabella 4.1 riporta i valori tipici di !0 , !0 e ! .
3.1.2 Legge di Ohm generalizzata in forma locale
Se il conduttore è in moto con velocità V ed è immerso in un campo magnetico (Figura
2.1b), all’azione del campo elettrico bisogna aggiungere l’azione del campo V ! B :
questo contributo è dovuto al termine della forza di Lorentz dipendente dal campo
magnetico. In un conduttore in moto con velocità V , la velocità macroscopica del
generico elettrone libero è data dalla somma della velocità dovuta all’azione della forza
di Lorentz e della velocità di trascinamento V dovuta al moto del reticolo in cui
l’elettrone, pur essendo libero, è obbligato a muoversi. Essendo la velocità dovuta
2
Il campo di densità di corrente e il campo elettrico sono paralleli.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-74-
all’azione della forza di Lorentz trascurabile (dell’ordine dei µm /s ), resta solo il
contributo dovuto alla velocità di “trascinamento” V .
Nelle pile, nelle celle solari o nelle celle a combustibile, oltre al campo elettrico
macroscopico, sulle cariche libere presenti nel materiale (che è un materiale conduttore)
agisce anche un campo, di natura diverso da quello elettrico macroscopico (di natura
chimica nelle pile e nelle celle a combustibile, di natura fotovoltaica nelle celle solari),
denominato campo elettromotore , che indichiamo con il simbolo E m , Figura 2.1c.
La relazione costitutiva di un conduttore ohmico in moto in un campo magnetico e in
presenza di un campo elettromotore è, allora,
j f = ! ( E + V " B + Em )
(3.4)
dove V e E m sono grandezze che possono essere considerate assegnate. Le “sorgenti”
del campo elettromagnetico che noi siamo in grado di controllare effettivamente, ad
esempio, attraverso “manopole” o “interruttori”, sono proprio i termini V ! B e E m che
compaiono nella (3.4). Le sorgenti elementari del campo elettromagnetico, cioè le
cariche e le correnti, sono esse stesse incognite del problema: esse non possono essere
controllate in modo diretto.
In conclusione la presenza di materiali conduttori non altera la struttura delle
equazioni di Maxwell così come è stata descritta nel precedente paragrafo. In realtà,
attraverso i conduttori è possibile produrre proprio le cariche e le correnti che
compaiono come sorgenti elementari nelle equazioni di Maxwell, solo che queste
cariche e queste correnti non sono note ma sono esse stesse incognite del problema. Le
sole grandezze note (nell’ambito del modello elettromagnetico) sono le velocità con cui
ruotano i rotori nelle dinamo o negli alternatori e i campi elettromotori che agiscono
nelle pile, nelle celle a combustibile o nelle celle solari.
3.2 Dielettrici
Gli atomi e le molecole di un dielettrico, pur essendo globalmente neutre, sono formate
da portatori di cariche dei due segni, legate a posizioni di equilibrio da intense forze di
richiamo che permettono loro solo piccoli spostamenti.
In un dielettrico ideale sono assenti cariche e correnti elettriche libere. Nei
conduttori, le cariche elettriche libere possono compiere spostamenti macroscopici ed
essere quindi separate macroscopicamente; nei dielettrici i portatori restano legati alle
rispettive posizioni di equilibrio (a meno di piccoli spostamenti) e la separazione
macroscopica è impossibile (a meno che non siano presenti intensi campi elettrici in
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
- 75 -
grado di rompere i forti legami tra i portatori di carica come, ad esempio, si verifica
nelle scariche elettriche).
In condizioni di equilibrio, in assenza di cause che influiscano sulla distribuzione
delle cariche macroscopiche, il campo elettrico macroscopico prodotto da un dielettrico
è uguale a zero, poiché i contributi delle distribuzioni di carica opposte si bilanciano tra
loro. Se il corpo viene immerso in un campo elettrico, i portatori positivi sono sollecitati
da forze dirette nel senso del campo, quelli negativi da forze dirette in senso opposto.
Gli spostamenti risultanti sono piccoli, dell’ordine delle dimensioni atomiche o
molecolari, ma la distribuzione di carica viene alterata rispetto a quella di equilibrio,
contribuendo così a modificare in modo apprezzabile il campo elettrico che l’ha
generata. In queste condizioni, il dielettrico si dice polarizzato elettricamente.
3.2.1 Dipolo elettrico
Tra gli aggregati di cariche elementari particolarmente importante è il dipolo elettrico
costituito da due portatori di carica con carica elettrica, rispettivamente, +q e !q , posti
a distanza h l’una dall’altra, Figura 3.2a. Diremo che il dipolo è elementare quando la
distanza h è molto piccola, non solo in relazione alla scala macroscopica, ma anche
rispetto alle distanze dagli altri dipoli.
qE
+q
C=0
E
C
d
p
E
−q
−qE
(a)
(b)
(c)
Figura 3.2 Dipolo elettrico
Un dipolo elettrico è caratterizzato dal suo momento: il vettore p di modulo qd , la
cui direzione coincide con quella del segmento di lunghezza d che congiunge le due
cariche e il cui verso va dalla carica negativa alla carica positiva,
p = qd
(3.5)
Nel Sistema Internazionale il momento di dipolo elettrico ha le dimensioni fisiche di
“ coulomb! metro ” ( C ! m ).
Cosa accade a un dipolo elettrico elementare quando interagisce con un campo
elettrico uniforme (Figura 3.2b)? La risultante delle forze che agiscono sul dipolo
elettrico è uguale a zero, perché la forza che agisce sulla carica positiva è uguale in
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-76-
modulo e ha verso opposto alla forza che agisce sulla carica negativa 3. Pur essendo il
risultante del sistema di forze che agiscono sul dipolo uguale a zero, il momento di
questo sistema di forze è diverso da zero, Figura 3.2b. La coppia del momento del
sistema di forze che agiscono sul dipolo è data da
C=p!E
(3.6)
Dunque, il dipolo elettrico immerso in un campo elettrico uniforme non si sposta ma
ruota, se libero da ulteriori vincoli, fino ad allinearsi con il campo elettrico: quando il
momento di dipolo è allineato con il campo elettrico la coppia è uguale a zero, Figura
3.2c. Esistono due configurazioni di equilibrio con coppia nulla: una con p ed E
equiversi (paralleli) e una con p ed E in verso opposto (antiparalleli). Solo la prima
posizione di equilibrio è stabile: se infatti si sposta, con una piccola frazione, il dipolo
dalla sua posizione di equilibrio, è facile vedere che nel primo caso tende a tornare nella
posizione iniziale, mentre nel secondo tende ad allontanarsene.
baricentro delle
cariche positive e negative
−
−
− +8e − − +8e−
−× −
−
−
−
− −
−
−
−
p0
−
baricentro
− +8e −
cariche negative
− −
− −
+1e − × − +1e
× − −
− −
−
−
−
(a)
baricentro
cariche positive
(b)
Figura 3.3 (a) Una molecola di ossigeno con momento di dipolo uguale a zero; (b) una molecola d’acqua
con momento di dipolo permanente p 0 .
3.2.2 Polarizzazione elettrica
Le sostanze possono essere classificate in sostanze a comportamento polare o non
polare, Figura 3.3. Nel primo caso (ad esempio, l’ammoniaca, l’acqua, l’acido
cloridrico) ciascuna molecola costituisce un dipolo elettrico “permanente”
indipendentemente da azioni esterne, Figura 3.3b. Nel secondo caso (Figura 3.3a),
invece, la caratteristica dipolare dell’atomo o della molecola insorge come effetto,
appunto, di una sollecitazione applicata dall’esterno come, ad esempio, attraverso un
3
La forza risultante su un dipolo elettrico elementare in un campo elettrico non uniforme è diversa da
zero: infatti, a causa della non uniformità del campo la forza che agisce sulla carica positiva è diversa sia
in modulo che in direzione da quella che agisce sulla carica negativa.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
- 77 -
campo elettrico (è il caso, ad esempio, della molecola di ossigeno, della mica, della
paraffina, dell’idrogeno, dei gas nobili). L’ordine di grandezza del momento dei dipoli
permanenti corrisponde al prodotto della carica dell’elettrone per una frazione del
“raggio” atomico (10! 10 m) .
−
+1e
−
E=0
−
−
E≠0
Figura 3.4 Atomo apolare: un campo elettrico induce un momento di dipolo elettrico.
Si consideri un elemento di volume fisicamente infinitesimo di dielettrico. Esso
contiene un elevatissimo numero di atomi o di molecole. Si può indurre un momento di
dipolo netto diverso da zero (polarizzazione elettrica) nell’elemento di volume
utilizzando due diversi meccanismi.
Supponiamo, dapprima, che gli atomi o le molecole siano apolari, Figura 3.4. Con un
campo elettrico esterno è possibile indurre in ciascun atomo o molecola un momento di
dipolo elementare deformando l’atomo o la molecola. E’ evidente, allora, che se il
campo applicato è uniforme nell’elemento di volume in esame tutti i dipoli elementari
indotti risulteranno praticamente allineati tra loro, dando così luogo a un momento di
dipolo netto diverso da zero, Figura 3.5. Questo meccanismo di polarizzazione prende il
nome di polarizzazione per deformazione.
pi
E=0
p
E≠0
Figura 3.5
Consideriamo, ora, il caso di molecole o atomi polari. In assenza di cause esterne che
influiscano sulla orientazione dei singoli dipoli, il momento di dipolo netto nel volume
elementare è mediamente uguale a zero a causa dell’agitazione termica dovuta alla
temperatura (assoluta) diversa da zero del materiale. Solo in presenza di un’agente
“esterno” come, ad esempio, un campo elettrico è possibile fare assumere ai singoli
dipoli permanenti una stessa direzione e, quindi, avere un momento di dipolo netto per
l’elemento di volume diverso da zero, Figura 3.5. Questo meccanismo di polarizzazione
prende il nome di polarizzazione per orientazione.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-78-
Si assuma che nell’elemento di volume siano presenti dN atomi o molecole con
momenti di dipolo p1,p2 ,...,pdN (Figura 3.6) al generico istante t . Si definisce il valor
medio del momento di dipolo nel punto P come
p =
1 dN
! pi
dN i =1
p
p1
+q
p
d
p2
(a)
(3.7)
−q
(b)
(c)
Figura 3.6
Il momento di dipolo medio è uguale a zero se i singoli dipoli, che si trovano nella
regione elementare, sono orientati in modo casuale. Il modello macroscopico del
fenomeno della polarizzazione di un dielettrico consiste nel rappresentare il dielettrico
attraverso un continuo di dipoli elettrici elementari eguali, di momento p , Figura
3.6b, distribuiti con densità numerica
dN
.
(3.8)
nd =
dV
Posto
d =
1
p
q
(3.9)
il momento di dipolo medio p è il momento del dipolo elettrico equivalente composto
dalle due cariche elettriche +q e !q , poste a distanza d lungo la retta orientata
secondo la direzione e il verso di d , Figura 3.6c.
Il continuo di dipoli elementari con densità numerica c e momento elementare p
può essere descritto attraverso il vettore di polarizzazione P (detto anche intensità di
polarizzazione), definito come momento di dipolo elettrico per unità di volume. Si
consideri una regione fisicamente infinitesima centrata nel punto P di volume dV . La
polarizzazione nel punto P all’istante t è, per definizione, il rapporto tra il momento di
dipolo risultante della regione elementare all’istante t e il volume dV ,
P=
dN
p
dV
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
(3.10)
- 79 -
ovvero
P = nd p .
(3.11)
Il fenomeno della polarizzazione elettrica è caratterizzato dal campo di intensità di
polarizzazione elettrica P, che descrive la distribuzione macroscopica del momento di
dipolo elettrico per unità di volume risultante dall’azione del campo elettromagnetico
complessivo sul materiale. Nel Sistema Internazionale le dimensioni della
2
2
polarizzazione sono “ coulomb/metro ” ( C /m ).
n̂
Σ
P
Ω
Figura 3.7
3.2.3 Cariche e correnti di polarizzazione
L’importanza fisica della polarizzazione sta in una notevole proprietà che ora
brevemente illustreremo. Si assuma che sia nota la distribuzione della polarizzazione nel
dielettrico. La carica elettrica netta contenuta all’interno di una generica regione !
racchiusa dalla superficie chiusa ! , orientata con la normale verso l’esterno, è uguale al
flusso attraverso ! della polarizzazione, cambiato di segno (Figura 3.7),
Q!( pol ) = " !
%% P # n̂dS
$
(3.12)
A questa carica elettrica legata si dà il nome di carica elettrica di polarizzazione, per
distinguerla dalle cariche libere presenti nei conduttori. Essa contribuisce al flusso del
campo elettrico attraverso la superficie chiusa ! allo stesso modo della carica elettrica
libera.
La (3.12) può essere così spiegata. Alla carica di polarizzazione contenuta nel
volume ! contribuiscono solo i dipoli elementari “tagliati in due parti” dalla superficie
chiusa ! che delimita ! : i dipoli interni a ! , non tagliati da ! , contribuiscono con una
carica netta identicamente nulla.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-80-
Si consideri, ora, un generico punto P di ! e una superficie elementare dS centrata
in P appartenente a ! ; sia nˆ la normale a ! in P diretta verso l’esterno. Si costruisca
il cilindro obliquo, centrato in P , con superfici di base dS! e dS+ di area uguale all’area
dS , superficie laterale di direttrice parallela a d e lunghezza d , Figura 3.8. E’
evidente che tutti i dipoli elementari il cui centro si trova in questo cilindro sono tagliati
dalla superficie elementare dS . Se d ! nˆ > 0 i portatori di carica negativa si trovano in
! e il volume del cilindro è uguale a d ! nˆ dS ; invece, se d ! nˆ < 0 i portatori di carica
positiva si trovano in ! e il volume del cilindro è uguale a ! d " nˆ dS . Si consideri il
caso in cui d ! nˆ > 0 . Il contributo alla carica di polarizzazione dell’elemento di
superficie dS è uguale, in questo caso, al prodotto tra il numero di dipoli elementari,
dNC , situati nel cilindro e la carica !q ,
dQ!( pol ) = "qdN C .
(3.13)
dS+
n̂
d
P
dS
dS−
Figura 3.8
Il numero di dipoli elementari situati nel cilindro è uguale al prodotto tra la densità
numerica di dipoli elementari e il volume del cilindro obliquo,
dN C = nd d ! n̂dS
(3.14)
Sostituendo la (3.14) nella (3.13), si ottiene
dQ!( pol ) = "qnd d # n̂dS
(3.15)
dQ!( pol ) = "P # n̂dS .
(3.16)
quindi
E’ immediato verificare che nel caso d ! nˆ < 0 si ottiene la stessa espressione. La
relazione (3.16) dà il contributo della superficie elementare dS alla carica elettrica di
polarizzazione contenuta in ! . Allora, la carica elettrica di polarizzazione contenuta
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
- 81 -
nella regione ! delimitata dalla superficie chiusa ! è data dal flusso della
polarizzazione P attraverso ! , con il segno cambiato.
Se applichiamo la (3.16) a una superficie chiusa !0 che racchiude il dielettrico si ha
( )
Q! 0 = 0 , perché all’esterno del dielettrico la polarizzazione è uguale a zero, Figura
3.9a. Ciò è in accordo con il fatto che la carica elettrica netta associata a una qualsiasi
distribuzione di dipoli è sempre uguale a zero.
pol
dielettrico
Σ
n̂
Σ
Σ
Ω
Σ
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 3.9
Si consideri, ora, una distribuzione uniforme di polarizzazione all’interno della
regione di spazio ! . E’ evidente che il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa che
si trova completamente in ! è uguale a zero 4, Figura 3.9bb. Invece, la carica netta di
polarizzazione all’interno di qualsiasi superficie chiusa che si trova a cavallo della
frontiera di ! può essere diversa da zero, Figura 3.9c. In corrispondenza della
superficie del dielettrico c’è una distribuzione con densità superficiale di carica di
polarizzazione.
Si consideri, infine, in ! una distribuzione di polarizzazione non uniforme, Figura
3.9d. In queste situazioni, la carica di polarizzazione all’interno di una generica
superficie chiusa situata completamente in ! può essere diversa da zero. Come
abbiamo già anticipato, le cariche di polarizzazione non possono che contribuire allo
stesso modo delle cariche libere al flusso del campo elettrico attraverso una generica
superficie chiusa. Di conseguenza, in presenza di materiali dielettrici la legge di Gauss
(per il campo elettrico) diventa:
!
$$ (! E) " n̂dS =Q
#
4
0
(lib )
%
+ Q%( pol )
(3.17)
Il flusso attraverso una superficie chiusa di un campo vettoriale uniforme è sempre uguale a zero.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-82-
dove Q!( ) e Q!( ) sono, rispettivamente, la carica libera netta e la carica di
polarizzazione netta contenute nella regione ! delimitata dalla superficie ! .
pol
Sostituendo nella (2.132) l’espressione di Q!( ) data dalla (2.126) si ha
lib
pol
!
$$ (! E) " n̂dS =Q
#
(lib )
%
0
&!
$$ P " n̂dS .
#
(3.18)
E’ utile riscrivere questa relazione raggruppando i due termini espressi attraverso flussi.
Così facendo si ottiene la seguente equazione,
!
$$ (! E + P) " n̂dS =Q
#
(lib )
%
0
(3.19)
Introducendo, allora, il campo di spostamento elettrico D , così definito
D = !0E + P
(3.20)
la legge di Gauss per il campo elettrico assume la forma, più generale,
(lib )
$
!
## D ! n̂dS =Q
"
.
(3.21)
In assenza di dielettrici si ha P = 0 , quindi D = ! 0E e la (3.21) si riduce alla legge di
Gauss per il vuoto. Nel Sistema Internazionale le dimensioni fisiche del campo di
2
2
spostamento elettrico sono il “ coulomb/metro ” ( C /m ).
Così come la carica elettrica libera, anche la carica elettrica legata deve verificare la
legge della conservazione della carica. Ciò implica che, se la carica di polarizzazione
netta contenuta all’interno di una data regione ! varia nel tempo, deve esserci una
corrente elettrica di polarizzazione che attraversa la frontiera ! di ! . Il campo di
densità di corrente di polarizzazione J pol è dato da 5
J pol =
!P
!t
(3.22)
E’ immediato verificare che il campo J pol dato dalla (2.137) verifica l’equazione di
conservazione della carica di polarizzazione,
!
##
"
J pol ! n̂dS = $
dQ%( pol )
.
dt
(3.23)
La quantità di carica elettrica di polarizzazione netta che nell’intervallo di tempo ( t ,t + dt) attraversa la
superficie elementare dS , contando con il proprio segno le cariche che l’attraversano nel verso definito da
ˆn e con il segno cambiato le cariche che l’attraversano nel verso opposto è data da [( !P /!t ) dt] " nˆ dS .
5
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
- 83 -
Infatti, sostituendo la (2.126) nella (2.137) si ottiene ( ! è supposta essere invariabile
nel tempo):
d
$P
(3.24)
!
## " J pol ! n̂dS = dt !
## " P ! n̂dS = !
## " $ t ! n̂dS .
Le correnti elettriche di polarizzazione non possono che contribuire allo stesso modo
delle correnti elettriche libere alla circuitazione del campo magnetico nella legge di
Ampere-Maxwell. Di conseguenza, in presenza di materiali dielettrici la legge di
Ampere-Maxwell diventa:
B
(
! t̂dl = $%iS(lib ) ( t ) + iS( pol ) ( t ) &' + ##
() 0 E) ! n̂dS
" µ
S (t
0
!#
(3.25)
dove iS( ) e iS( ) sono, rispettivamente, l’intensità di corrente elettrica libera e l’intensità
di corrente elettrica di polarizzazione che attraversano la superficie aperta S delimitata
dalla linea chiusa ! . Essendo
lib
pol
iS( pol ) =
"" J
iS( pol ) =
##
! n̂dS
(3.26)
!P
" n̂dS .
S !t
(3.27)
S
pol
dalla (3.22) si ha
Sostituendo la (3.27) nella (3.25) si ottiene finalmente la legge di Ampere-Maxwell in
presenza di dielettrici,
B
$D
! t̂dl = iS(lib ) ( t ) + ##
! n̂dS .
" µ
S $t
0
!#
(3.28)
Il vantaggio nell’introdurre il campo di spostamento elettrico D come un’ulteriore
variabile sta proprio nel fatto che nella legge di Gauss (3.21) compare come “sorgente”
solo la carica elettrica libera, e nella legge di Ampere-Maxwell (3.28) compare solo
l’intensità di corrente elettrica libera, cioè le sorgenti che possiamo “controllare”
attraverso i conduttori: il contributo delle cariche e delle correnti di polarizzazione è
portato in conto, in entrambe le leggi, dal campo di spostamento elettrico.
Sotto ipotesi non affatto molto restrittive il campo di spostamento elettrico D (in un
dielettrico) può essere espresso in funzione del campo elettrico E che agisce nel
dielettrico, attraverso una relazione che dipende solo dalla costituzione fisico-chimica
del dielettrico e non, ad esempio, dalla sua forma. A questa relazione si dà il nome di
relazione costitutiva del dielettrico.
Nei materiali dielettrici più comuni il campo D in un generico punto del dielettrico e
in un generico istante dipende solo dal valore del campo elettrico E in quel punto e in
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-84-
quell’istante (non dipende ne dai valori del campo elettrico negli altri punti, ne dalla
storia passata). Allora, D è una funzione non lineare di E ,
D = D ( E) .
(3.29)
Tabella 4.2 Costante dielettrica relativa di alcuni dielettrici lineari.
! / !0
Materiale
3.7÷5.5
Nylon
Carta
2÷2.5
Porcellana
5÷7
Aria
1.00059
Vetro ordinario
5÷7.6
Mica
5.7÷6.5
Olio per trasformatori
2.2
Acqua distillata
80.1
Per i dielettrici lineari e isotropi esiste una relazione lineare tra il campo E e il
campo D
D = !E .
(3.30)
Il coefficiente ε prende il nome di costante dielettrica e si ha in ogni caso ! " !0 . Nella
Tabella 3.2 sono riportati i valori della costante dielettrica relativa ! r " ! /! 0 , per alcuni
materiali di uso comune. E’ immediato verificare che tra la polarizzazione P e il campo
elettrico, in questi casi, esiste la relazione
P = !0 "E
(3.31)
dove il coefficiente ! , detto suscettività dielettrica, è data da ! = " r # 1; in qualsiasi
condizioni è ! " 1.
In realtà, un materiale non può essere considerato lineare per ogni valore del campo
elettrico applicato: generalmente, una relazione lineare tra polarizzazione e campo
elettrico applicato sussiste per campi di intensità non troppe elevate.
Nei dielettrici non lineari e isotropi, la polarizzazione è sempre parallela al campo
elettrico, ma satura a un valore caratteristico del materiale per valori elevati del campo
elettrico. I dielettrici non lineari hanno, dal punto di vista applicativo, importanza
minore di quella dei dielettrici lineari.
Per tutti i dielettrici si ha un valore (in genere assai elevato) del campo elettrico
(caratteristico del materiale e dipendente dalle condizioni fisiche in cui si trova)
raggiunto il quale avviene la scarica nel dielettrico, cioè un violento fenomeno di
conduzione. Ricordiamo che un dielettrico (ideale) è un isolante perfetto. Quando ciò
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
- 85 -
accade si parla di “rottura” del dielettrico, e il valore Emax del campo elettrico, al di sopra
del quale si ha la rottura del dielettrico, prende il nome di rigidità dielettrica.
Tabella 3.3 Rigidità dielettrica.
E max (V / m)
Materiale
Aria (1atm)
3! 106
Nylon
5 ÷ 20 !10 6
Olio per trasformatori 5 ÷ 30 ! 106
Vetro e mica
40 ÷ 60 ! 106
3.3 Materiali magnetici
In questo paragrafo descriveremo il comportamento magnetico dei materiali seguendo
una via simile a quella adottata per i dielettrici.
Mentre i dielettrici lineari hanno un comportamento molto diverso da quello del
vuoto o dell’aria, i materiali aventi un comportamento magnetico lineare si comportano
praticamente come il vuoto, per cui nella maggior parte delle applicazioni non se ne
tiene conto. Invece, i materiali magnetici non lineari (materiali ferromagnetici) hanno la
massima importanza dal punto di vista applicativo: basti pensare che lo studio che lo
studio dei fenomeni magnetici ha avuto origine dalle comuni calamite, che sono
costituite da materiale ferromagnetico.
momento
angolare intrinseco
(spin)
−e
+ Me
moto
orbitale
Figura 3.10
Gli elettroni che circondano il nucleo di un atomo sono caratterizzati, oltre che dal
moto orbitale attorno al nucleo dell’atomo, anche da un momento angolare meccanico
intrinseco (spin), Figura 3.10 (è analogo alla Terra che, oltre a ruotare attorno al Sole,
ruota anche su stessa). Una molecola o atomo può interagire con un campo magnetico
macroscopico in due modi: attraverso le correnti microscopiche associate al moto
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-86-
orbitale degli elettroni “legati”; attraverso il momento magnetico intrinseco associato
allo spin degli elettroni. A loro volta, sia le correnti microscopiche associate al moto
orbitale degli elettroni che i momenti magnetici intrinseci contribuiscono al campo
magnetico macroscopico complessivo.
3.3.1 Dipolo Magnetico
L’interazione di un materiale con un campo magnetico può essere descritta attraverso un
concetto analogo a quello di dipolo elettrico, il dipolo magnetico. Il dipolo magnetico,
così come il dipolo elettrico, è caratterizzato da un momento di dipolo.
ĥ
ĥ
I
m
A
C≠0
B
A
B
A
ĥ
(a)
I
I
(b)
(c)
C=0
Figura 3.11
Il dipolo magnetico elementare può essere rappresentato attraverso una spira
filiforme elementare piana, di forma circolare, percorsa da corrente. Esso è
caratterizzato dall’intensità di corrente I che attraversa la spira, dall’area della spira A
e dal versore hˆ normale alla superficie della spira, orientato concordemente con il verso
di riferimento per l’intensità di corrente, secondo la “regola della mano destra”, Figura
2.30a. Il momento m del dipolo magnetico elementare è definito come
m = IAĥ
(3.32)
La dimensione fisica del momento di dipolo magnetico nel Sistema Internazionale è
2
“ ampere ! metro2 ” ( A/m ).
Cosa accade a un dipolo magnetico elementare quando interagisce con un campo
magnetico uniforme (Figura 3.11b) ? Come nell’interazione di un dipolo elettrico con
un campo elettrico uniforme, la risultante delle forze che agiscono sul dipolo magnetico
è uguale a zero. Pur essendo il risultante del sistema di forze che agiscono sul dipolo
uguale a zero, il momento di questo sistema di forze è diverso da zero, Figura 3.11b. La
coppia del momento del sistema di forze che agiscono sul dipolo è data da,
C = m! B.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
(3.33)
- 87 -
Dunque, il dipolo magnetico immerso in un campo magnetico uniforme non si sposta
ma ruota, se libero da ulteriori vincoli, fino ad allinearsi con il campo magnetico, Figura
3.11c. Come per i dipoli elettrici in un campo elettrico, esistono due configurazioni di
equilibrio con coppia nulla: una con m ed B equiversi (paralleli) e una con m ed B in
verso opposto (antiparalleli). Solo la prima posizione di equilibrio è stabile, l’altra è
instabile.
Anche dal punto di vista magnetico le sostanze possono essere distinte in polari e
non polari. Nel primo caso (ad esempio, ) ciascuna molecola o atomo costituisce un
dipolo magnetico “permanente” indipendentemente da azioni esterne. Nel secondo caso,
invece, la caratteristica dipolare magnetica dell’atomo o della molecola insorge come
effetto, appunto, di una sollecitazione applicata da un campo magnetico esterno (è il
caso, ad esempio, della mica, della paraffina, dell’idrogeno, dei gas nobili).
3.3.2 Polarizzazione magnetica
Si consideri un elemento di volume fisicamente infinitesimo di materiale magnetico,
contenente un elevatissimo numero di atomi o di molecole. Questo volume può essere
magnetizzato utilizzando due diversi meccanismi. Supponiamo, dapprima, che gli atomi
o le molecole siano magneticamente apolari. Con un campo magnetico esterno è
possibile indurre in ciascun atomo o molecola un momento di dipolo elementare
parallelo e di verso opposto al campo inducente, attraverso il meccanismo fisico che
prende il nome di precessione di Larmor. E’ evidente, allora, che se il campo applicato è
uniforme nell’elemento di volume in esame tutti i dipoli elementari indotti risulteranno
praticamente allineati tra loro, dando così luogo a un momento di dipolo netto diverso
da zero, parallelo e con verso opposto al campo inducente. Questo meccanismo di
polarizzazione prende il nome di polarizzazione diamagnetica. I materiali in cui questo
meccanismo di magnetizzazione è prevalente sono detti diamagnetici.
Consideriamo, ora, il caso di molecole o atomi che hanno un momento di dipolo
magnetico permanente. Abbiamo già accennato al fatto che il momento magnetico
permanente di un atomo o di una molecola ha due possibili origini (molto diverse tra
loro): il moto orbitale degli elettroni legati attorno ai nuclei atomici; il momento
magnetico intrinseco degli elettroni. Nel primo caso parliamo di dipolo magnetico
“orbitale”, nel secondo di dipolo magnetico di “spin”. In assenza di forze che
contrastino il disordine prodotto dall’agitazione termica, il momento di dipolo netto nel
volume elementare è mediamente uguale a zero a causa dell’agitazione termica dovuta
alla temperatura (assoluta) diversa da zero del materiale, analogamente a quanto accade
nei dielettrici composti da sostanze polari. Solo in presenza di una particolare
costituzione fisica della materia e/o di un’agente “esterno” come, ad esempio, un campo
magnetico è possibile fare assumere ai singoli dipoli permanenti una stessa direzione e,
quindi, avere un momento di dipolo netto per l’elemento di volume diverso da zero.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-88-
Questo meccanismo di polarizzazione prende il nome di polarizzazione per
orientazione.
Esistono due meccanismi di polarizzazione per orientazione. I dipoli magnetici di
tipo orbitale possono essere costretti ad allinearsi tra loro, contro l’azione disorientatrice
dell’agitazione termica, solo attraverso la coppia che nasce dall’interazione con un
campo magnetico esterno. Tuttavia, a differenza di quanto si osserva nei dielettrici, la
percentuale di dipoli che si riesce in questo modo ad allineare è relativamente bassa, a
meno che non si abbiano a disposizione campi magnetici intensissimi, praticamente
impossibili da realizzare. Questo è il meccanismo della polarizzazione paramagnetica. I
materiali in cui è prevalente il fenomeno della polarizzazione paramagnetica sono detti
paramagnetici.
Invece, sui dipoli magnetici di spin agisce, oltre alla coppia dovuta all’interazione
con un eventuale campo magnetico esterno, un’altra forza, molto intensa, di natura
quantistica, che tende a far allineare i dipoli, contrastando, così, l’azione disorientatrice
dell’agitazione termica. Questa forza è talmente intensa, da poter dar luogo in regioni
macroscopiche a una magnetizzazione “spontanea”, cioè a un momento di dipolo
magnetico netto diverso da zero anche in assenza di un campo magnetico esterno (se la
temperatura del materiale è al di sotto di un valore caratteristico, che prende il nome di
temperatura di Curie). Le calamite sono un esempio di magnetizzazione spontanea.
Questo è il meccanismo della polarizzazione ferromagnetica. I materiali in cui, invece, è
prevalente il fenomeno della polarizzazione ferromagnetica sono detti ferromagnetici.
Si assuma che nell’elemento di volume siano presenti dN atomi o molecole con
momenti di dipolo magnetico (sia indotti che permanenti) m1,m2 ,...,mdN al generico
istante t . Si definisce il valor medio del momento di dipolo magnetico nel punto P
come
1 dN
m =
! mi .
dN i =1
(3.34)
Il momento di dipolo magnetico medio è uguale a zero se i singoli dipoli che si trovano
nella regione elementare sono orientati in modo casuale.
Come per i dielettrici, un modello macroscopico del fenomeno della magnetizzazione
di un materiale magnetico consiste nel rappresentare il materiale attraverso un continuo
di dipoli magnetici elementari eguali, di momento m , distribuiti con densità numerica
nm =
dN
.
dV
Posto
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
(3.35)
- 89 -
A ĥ =
1
m
I
(3.36)
il momento di dipolo medio m è il momento del dipolo magnetico equivalente
costituito da una spira piana di corrente, di intensità I , di area A e di normale hˆ ; hˆ
è un vettore unitario.
Il continuo di dipoli magnetici elementari con densità numerica c e momento
elementare m può essere descritto attraverso il vettore di magnetizzazione M (detto
anche intensità di magnetizzazione), definito come momento di dipolo magnetico per
unità di volume. Si consideri una regione fisicamente infinitesima centrata nel punto P
di volume dV . La magnetizzazione nel punto P all’istante t è, per definizione, il
rapporto tra il momento di dipolo magnetico risultante della regione elementare
all’istante t e il volume,
M=
dN
m
dV
(3.37)
ovvero
M = nm m .
(3.38)
Il fenomeno della polarizzazione magnetica è caratterizzato dal campo di intensità di
magnetizzazione M , che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo
magnetico per unità di volume risultante dall’azione del campo elettromagnetico
complessivo. Nel Sistema Internazionale le dimensioni della polarizzazione sono
“ ampere /metro ” ( A /m ).
S
n̂
Γ
Figura 3.12
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-90-
3.3.2 Correnti di magnetizzazione
L’importanza fisica della magnetizzazione sta in una notevole proprietà, analoga a
quella della polarizzazione, che ora brevemente illustreremo. Si assuma che sia nota la
distribuzione della magnetizzazione M . L’intensità della corrente elettrica di origine
“molecolare” che attraversa una generica superficie aperta S , orientata attraverso il
verso della normale nˆ , è uguale alla circuitazione della magnetizzazione M lungo la
sua frontiera ! , orientata concordemente con il verso della normale nˆ secondo la regola
della mano destra (Figura 3.12),
iS( mag ) = !
# M ! t̂dl .
(3.39)
"
A questa corrente elettrica legata si dà il nome di corrente di magnetizzazione, per
distinguerla dalle correnti elettriche libere presenti nei conduttori e di polarizzazione
presenti nei dielettrici. Essa contribuisce alla circuitazione del campo magnetico allo
stesso modo delle correnti libere e di quelle di polarizzazione.
La (3.39) può essere così spiegata allo stesso modo dell’analoga relazione per la
carica di polarizzazione.
Ciascun dipolo elementare può essere rappresentato attraverso una spira piana
circolare di corrente, ortogonale alla direzione del momento. Di conseguenza,
all’intensità di corrente di magnetizzazione attraverso S contribuiscono solo i dipoli
magnetici elementari che si concatenano con il bordo ! di S : per tutte le altre spire,
“tagliate” da S , la corrente associata è nulla perché somma di due contributi eguali in
modulo e di segno opposto (in corrispondenza dei due punti in cui la spira è tagliata).
A
ĥ
P
t̂
dl
Γ
Figura 3.13
Si consideri, ora, un generico punto P di ! e una linea elementare dl centrata in P
appartenente a ! ; sia tˆ il versore tangente a ! in P diretta concordemente con il verso
della normale nˆ a S . Si costruisca il cilindro obliquo, centrato in P , con superficie di
base A orientata concordemente con il versore hˆ , superficie laterale di direttrice
parallela a tˆ e lunghezza dl , Figura 3.13. E’ evidente che tutti le spire di corrente
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
- 91 -
elementari, il cui centro si trova in questo cilindro obliquo, si concatenano con il tratto
dl di ! . Se hˆ ! ˆt > 0 il verso di riferimento dell’intensità di corrente della spira è
concorde con la normale nˆ e il volume del cilindro è uguale a
( hˆ A ) ! (ˆtdl) ; invece, se
hˆ ! ˆt < 0 il verso di riferimento dell’intensità di corrente della spira è discorde con la
(
)
normale nˆ e il volume del cilindro è uguale a ! hˆ A " (tˆdl ) . Si consideri il caso in cui
hˆ ! ˆt > 0 . Il contributo all’intensità di corrente di magnetizzazione dell’elemento di
linea dl è uguale, in questo caso, al prodotto tra il numero di dipoli elementari, dNC ,
situati nel cilindro e l’intensità di corrente I ,
diS( mag ) = IdN C
(3.40)
Il numero di dipoli elementari situati nel cilindro è uguale al prodotto tra la densità
numerica di dipoli elementari e il volume del cilindro obliquo,
(
)( )
dN C = nm ĥ A ! t̂dl .
(3.41)
Sostituendo la (3.41) nella (3.40), si ottiene
(
)( )
diS( mag ) = nm I ĥ A ! t̂dl
(3.42)
diS( mag ) = M ! t̂dl .
(3.43)
quindi
E’ immediato verificare che nel caso hˆ ! ˆt < 0 si ottiene la stessa espressione. La
relazione (3.43) dà il contributo del tratto elementare dl di ! all’intensità di corrente di
magnetizzazione attraverso la superficie S che ha come bordo la linea chiusa ! . Allora,
l’intensità di corrente di magnetizzazione attraverso l’intera superficie S è data dalla
circuitazione della magnetizzazione M lungo la curva ! .
Γ
n̂
(a)
Γ
n̂
n̂
(b)
Γ
(c)
Figura 3.14
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-92-
Se applichiamo la (3.43) a una superficie chiusa si ottiene che l’intensità di corrente
di magnetizzazione è identicamente nulla. Ciò concorda con il fatto che, in questo caso,
tutte le spire elementari sono tagliate due volte dalla superficie chiusa e, quindi, il
contributo netto di ciascuna spira è sempre zero.
Si consideri, ora, una distribuzione uniforme di magnetizzazione all’interno della
regione di spazio ! , Figura 3.14a.
E’ evidente che la circuitazione della
magnetizzazione lungo qualsiasi linea chiusa all’interno di ! è sempre uguale a zero 6,
quindi l’intensità di corrente di magnetizzazione attraverso qualsiasi superficie aperta
che ha come orlo una linea chiusa che si trova interamente in ! è uguale a zero. Invece,
l’intensità di corrente attraverso un nastrino che si trova a cavallo della frontiera di !
può essere diversa da zero, Figura 3.14b. In corrispondenza della superficie del
materiale magnetico c’è una distribuzione con densità superficiale di corrente di
magnetizzazione.
Si consideri, infine, in ! una distribuzione di polarizzazione non uniforme, Figura
3.14c. In queste situazioni, la circuitazione della magnetizzazione lungo qualsiasi linea
chiusa che si svolge in ! può essere diversa da zero.
Come abbiamo già anticipato, le correnti di magnetizzazione non possono che
contribuire allo stesso modo delle correnti libere e di polarizzazione alla circuitazione
del campo magnetico nella legge di Ampere-Maxwell. Di conseguenza, in presenza di
materiali dielettrici la legge Ampere-Maxwell (2.143) diventa:
!#
"
B
(D
! t̂dl = $%iS(lib ) ( t ) + iS( mag ) ( t ) &' + ##
! n̂dS
S
µ0
(t
(3.44)
dove iS( ) e iS( ) sono, rispettivamente, l’intensità di corrente elettrica libera e l’intensità
di corrente di magnetizzazione che attraversano la superficie aperta S delimitata dalla
mag
linea chiusa ! . Sostituendo nella (3.44) l’espressione di iS( ) data dalla nella (3.39) si
ha
lib
mag
B
$D
! t̂dl = iS(lib ) ( t ) + !
M ! t̂dl + ##
! n̂dS .
#
" µ
"
S $t
0
!#
(3.45)
E’ utile riscrivere questa relazione raggruppando i due termini espressi attraverso la
circuitazione. Così facendo si ottiene la seguente equazione,
" B
!* $# µ
)
6
0
%
+D
! M ' ( t̂dl = iS(lib ) ( t ) + **
( n̂dS .
S +t
&
La circuitazione di un campo vettoriale uniforme è sempre uguale a zero.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
(3.46)
- 93 -
Introducendo, allora, il campo intensità campo magnetica H , così definito
H=
B
!M
µ0
(3.47)
la legge di Ampere-Maxwell assume la forma, più generale,
!#
"
H ! t̂dl = iS(lib ) ( t ) + ##
S
$D
! n̂dS .
$t
(3.48)
In assenza di materiali magnetici si ha M = 0 , quindi H = B /µ 0 e la (3.48) si riduce alla
legge di Ampere-Maxwell per il vuoto. Nel Sistema Internazionale le dimensioni fisiche
del campo di intensità magnetica sono il “ ampere /metro ” ( A /m ).
Il vantaggio nell’introdurre l’intensità del campo magnetico H come un’ulteriore
variabile è analogo a quello che si ha nell’introdurre il campo di spostamento elettrico
D : sta proprio nel fatto che nella legge di Ampere-Maxwell (3.48) compare come
“sorgente” solo l’intensità di corrente elettrica libera, cioè le correnti che possiamo
“controllare” attraverso conduttori: il contributo delle correnti di magnetizzazione
situate nel materiale magnetico è portato in conto dalla presenza dell’intensità del
campo magnetico.
Sotto ipotesi non affatto molto restrittive il campo magnetico B (in un materiale
magnetico) può essere espresso in funzione dell’intensità del campo magnetico H che
agisce nel materiale, attraverso una relazione che dipende solo dalla costituzione fisicochimica del materiale magnetico. Alla relazione tra il campo B e il campo H in un
materiale magnetico si dà il nome di relazione costitutiva del materiale magnetico.
I materiali diamagnetici e paramagnetici sono, sostanzialmente, materiali senza
memoria, lineari e isotropi, quindi si ha
B = µH .
(3.49)
Il coefficiente µ prende il nome di permeabilità magnetica del materiale. Per i materiali
diamagnetici si ha 0 < µ < µ 0 in accordo con le considerazioni precedentemente svolte,
invece per i materiali diamagnetici si ha µ > µ0 . E’ immediato verificare che tra la
magnetizzazione M e l’intensità del campo magnetico H , in questi casi, esiste la
relazione
M = !mH .
(3.50)
Il coefficiente ! m , detto suscettività magnetica, è dato da ! = µr " 1, dove µr = µ /µ 0 è la
permeabilità magnetica relativa.
Per i materiali diamagnetici la suscettività magnetica è negativa ed è molto piccola in
!5
valore assoluto, dell’ordine di 10 nella maggior parte dei casi; ad esempio, per il rame
"5
si ha ! m = "0.9 #10 . Fa eccezione il bismuto per il quale si ha ! m = "1.6 #10 " 4 .
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-94-
Per i materiali paramagnetici la suscettività magnetica è positiva ed è circa 100 volte
maggiore di quella dei materiali diamagnetici (in valore assoluto). I materiali
paramagnetici sono tutti quegli atomi, ioni e molecole che hanno gusci elettronici
incompleti, il che si verifica per la massima parte delle sostanze. Un ulteriore contributo
alla magnetizzazione nei metalli paramagnetici può venire dal momento magnetico
intrinseco degli elettroni liberi come, ad esempio, nel sodio, platino, alluminio,
tungsteno, metalli alcalini e alcalino-terrosi.
H = Hx̂
B = Bx̂
x
Figura 3.15
B
A
Bmax
ΔB = µ0 ΔH
Br
HC
0
HM
H
Figura 3.16 Ciclo di isteresi di un materiale ferromagnetico.
I materiali ferromagnetici, invece, hanno memoria e il loro comportamento è
fortemente non lineare a causa del fenomeno di isteresi magnetica. Si consideri un
provino cilindrico di materiale ferromagnetico, molto lungo e sottile, e si assuma che sia
inizialmente smagnetizzato, cioè al suo interno sia M = 0 . Si applichi un’intensità di
campo magnetico H lungo l’asse del provino e si misuri la componente del campo
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
- 95 -
magnetico, B , indotta lungo la stessa direzione, Figura 3.15. Si riporti su di un piano il
grafico dell’andamento del campo magnetico B in funzione dell’intensità H . In Figura
3.16 è riportata una vicenda tipica di magnetizzazione: si distinguono una curva di
prima magnetizzazione (tratto OA) e, a partire dal punto A, un processo ciclico che,
come si vede, può non richiudersi esattamente. Se l’intensità del campo magnetico viene
invertito tra i valori ±H M , l’evoluzione si assesta su cicli simmetrici di isteresi. Al
variare di HM varia l’ampiezza e, quindi, l’area dei cicli. Il raggiungimento della
saturazione è evidenziato dal fatto che, per campi sufficientemente intensi, l’incremento
!B corrispondente ad un incremento !H è lo stesso che si avrebbe nel vuoto e cioè
!B = µ0 !H : in queste condizioni tutti i dipoli elementari sono allineati parallelamente
al campo magnetico. Il ciclo di isteresi che viene assunto come termine di paragone è
quello descritto a partire dalla saturazione.
Tabella 3.4 Caratteristiche dei materiali ferromagnetici
Materiali “dolci”
Cobalto
Nichel
Ferro puro
Ferro commerciale
Ghisa
Ferro-Silicio (4%)
µr
10
400
10 4
200
70
500
(i )
µr
175
1100
2 !105
5000
600
7000
Bmax (T )
1.79
0.61
2.16
2.16
2.1
2.14
Br ( T)
0.31
0.33
1.2
1.2
1.4
0.8
Hc (A/m)
10
1.3
4 !10"2
0.8
5
0.4
Permalloy
(Ni-Fe 22%)
Superpermalloy
(Ni-Fe 15%, Mo 5%, Mn 0,5%)
Mumetal
(Ni-Cu 5%-Cr 2%)
Isoperm
(Fe-Ni 40%-Cu 10%)
Materiali “duri”
10 4
5 !105
1.08
0.6
4 !10"2
10 5
3!105
0.78
0.6
4 !10"3
2.5 !104
1.5 !105
0.75
0.6
1.2 !10"2
50
50
1.0
4 !10"2
4 !10"2
-
BH max Br ( T)
J/m3
2640
1.05
42400
1.25
Acciaio al tungsteno
Alnico V
(Fe, Al 8%, Ni 14%, Co 24%, CU
3%)
(max)
Hc (A/m)
5600
50000
I principali parametri usualmente considerati per la caratterizzazione dei legami
B ! H sono:
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-96-
-
-
le permeabilità relative differenziali valutate lungo la curva di prima
1 dB
magnetizzazione secondo la µr ( d ) =
, in particolare quella iniziale
µ 0 dH
(B = 0,H = 0) e quella massima;
il valore della magnetizzazione di saturazione M s = Bmax /µ 0 ;
il campo magnetico residuo che si ha quando l’intensità del campo magnetico è
portata a zero;
il campo coercitivo HC che è necessario applicare nel verso opposto a xˆ per
ridurre a zero il campo magnetico residuo;
l’area del ciclo massimo che è uguale al lavoro elettrico che bisogna spendere per
dar luogo al ciclo, lavoro che è tutto dissipato in calore; oppure il valore massimo
del prodotto BH valutato lungo il ciclo, di particolare interesse nelle
applicazioni che sfruttano il magnetismo permanente.
Le varietà dei comportamenti, sensibilissimi alle variazioni delle composizioni e dei
trattamenti, è tale da rendere impossibile la presentazione di un quadro esauriente. In
Tabella 3.4 vengono riportati i parametri caratteristici dei materiali più comuni nelle
applicazioni.
Vengono elencati anzitutto i tre elementi che allo stato puro sono ferromagnetici; li
affianchiamo con alcune leghe. Indice di qualità di queste materiali sono gli elevati
valori della permeabilità e il basso valore del campo coercitivo, cui si collega il basso
valore dell’area del ciclo. Questi materiali ferromagnetici sono detti dolci e vengono
impiegati in tutte quelle applicazioni in cui interessa limitare al massimo le correnti
necessarie per produrre e controllare il flusso del campo magnetico necessari per
l’applicazione specifica (nuclei di elettromagneti in continua o in alternata, rotori e
statori di macchine elettriche rotanti, nuclei dei trasformatori e di induttori con alto
coefficiente di autoinduzione, …), ovvero per canalizzarli e distribuirli in modo
particolare (schermi magnetici, magneti di deflessione per particelle cariche, …).
Un secondo gruppo è costituito da materiali che hanno un elevato campo coercitivo e
un elevato prodotto BH . Questi materiali ferromagnetici, detti duri, vengono impiegati
per realizzare flussi magnetici costanti nel tempo (magneti permanenti, calamite, …).
3.4 Le equazioni di Maxwell nella materia
A questo punto possiamo scrivere le equazioni di Maxwell in presenza di mezzi
materiali. In base a quanto abbiamo appena visto è evidente che la legge di FaradayNeumann, la legge della conservazione del flusso del campo magnetico e la legge della
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
- 97 -
conservazione della carica libera restano invariate. In presenza di mezzi materiali
devono essere modificate solo la legge di Gauss e la legge di Ampere-Maxwell.
3.4.1 Forma integrale
Le equazioni di Maxwell in forma integrale in presenza di mezzi materiali sono (solo
per non appesantire la notazione omettiamo i contributi dovuti a eventuali distribuzioni
singolari di cariche e correnti libere):
!
##
"
D ! n̂dS =
###
%
$ f dv per ogni superficie chiusa ! ,
!
## B ! n̂dS = 0
"
per ogni superficie chiusa ! ,
$B
! n̂dS per ogni linea chiusa ! ,
$t
$D (
%
!# " H ! t̂dl = ##S '& j f + $ t *) ! n̂dS per ogni linea chiusa ! ,
!#
"
E ! t̂dl =
##
S
(3.51)
(3.52)
(3.53)
(3.54)
dove ! f e j f sono, rispettivamente, la distribuzione della densità di carica libera e della
densità di corrente libera. La legge della conservazione della carica libera è
!
##
"
J f ! n̂dS = $ ###
%& f
'
%t
dv .
(3.55)
Come si vede, nella legge di Gauss figura a primo membro un nuovo campo
vettoriale, il vettore “spostamento” elettrico D (detto anche “induzione elettrica”) e, a
secondo membro sono presenti le sole sorgenti libere, caratterizzate dalla densità
volumetrica di carica ! f . Il campo D è legato al campo E ed al campo P tramite la
relazione
D = !0E + P .
(3.56)
Analogamente, nella legge di Ampère-Maxwell, figura a primo membro un nuovo
campo vettoriale H (l’intensità di campo magnetico), mentre, a secondo membro, sono
presenti la densità di corrente libera j f e la densità di corrente di spostamento !D / !t . Il
campo H è legato al campo B e al campo M tramite la relazione
B = µ0 (H + M)
(3.57)
La circuitazione di H lungo una qualsiasi curva chiusa orientata è detta forza
magnetomotrice (f.m.m.); essa ha le stesse dimensioni della corrente elettrica. Nella
legge di conservazione della carica, infine, figurano le sole sorgenti libere.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-98-
Le leggi generali del campo elettromagnetico (3.51)÷(3.55) sono indipendenti dalla
costituzione fisica dei mezzi materiali presenti. Esse non sono, di per sé, sufficienti a
descrivere il campo elettromagnetico: occorrono altre relazioni, dette “costitutive”, che
dipendono univocamente dalla costituzione fisica dei mezzi materiali, capaci di definire
le caratteristiche fisiche di tipo elettromagnetico dei mezzi materiali presenti. Esse sono
state brevemente descritte nel paragrafo precedente.
3.4.1 Forma locale
Le equazioni di Maxwell per i mezzi materiali (3.51)÷(3.55) possono essere espresse in
forma locale, così come è stato fatto per il caso del vuoto. In presenza di corpi materiali
occorre, però, distinguere i punti in cui le proprietà dei mezzi materiali sono continue da
quelli in cui sono discontinue (ciò accade in genere in corrispondenza di superfici di
discontinuità dei parametri fisici caratteristici dei materiali, come, ad esempio, la
costante dielettrica, la conducibilità, etc). Operando questa distinzione abbiamo:
n̂
1
Regione in cui i campi sono continui
2
S
Superfici con distribuzioni superficiali
! " D = #f
!"E=#
!"B =0
$B
$t
! " H = jf +
!"Jf = #
$% f
$t
#D
#t
(3.58)
n̂ ! ( D1 " D 2 ) = # f
(3.59)
(3.60)
nˆ ! (E1 " E2 ) = 0
(3.61)
(3.62)
nˆ ! (B1 " B2 ) = 0
(3.63)
(3.64)
n̂ ! ( H1 " H 2 ) = k f
(3.65)
(3.66)
n̂ ! J f 1 " J f 2 = "
(
)
#$ f
#t
.
(3.67)
Nelle (3.59), (3.65) e (3.67) k f e ! f sono, rispettivamente, le distribuzioni superficiali
di cariche e di correnti libere; come poi vedremo esse possono nascere sulle superfici
dei conduttori.
Il quadro completo della teoria dell’elettromagnetismo in presenza di mezzi materiali
lineari, isotropi e senza “memoria” è dunque costituito dalle equazioni di Maxwell in
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
- 99 -
forma locale (o equivalentemente da quelle in forma integrale), dalla relazione
costitutiva per i conduttori ohmici, dalla relazione costitutiva per i dielettrici lineari ed
isotropi e dalla relazione costitutiva per i materiali magnetici lineari ed isotropi, unite
alle condizioni iniziali e alle condizioni di “regolarità” all’infinito. Così come accade
per le equazioni del campo elettromagnetico nel vuoto, le equazioni (3.51)-(3.55) (o le
equivalenti (3.58)-(3.67)), non sono tutte “indipendenti”.
L’equazione (3.53) (o l’equivalente (3.60)) descrive il fenomeno dell’induzione
elettromagnetica secondo il quale, in presenza di campi magnetici variabili nel tempo,
la circuitazione del campo elettrico è, in generale, diversa da zero. È, questo, uno dei
fenomeni più importanti dell’elettromagnetismo: conseguenza immediata è che
l’integrale di linea di E, esteso a una linea ! AB , (la tensione elettrica lungo ! AB ), in
presenza di un campo magnetico variabile nel tempo, dipende, oltre che dagli estremi A
e B, anche dal cammino di integrazione. Quando in una regione dello spazio esiste un
campo magnetico variabile nel tempo, ad esso è associato sempre un campo elettrico
rotazionale.
Il termine della densità di corrente di spostamento !D / !t nell’equazione di AmpèreMaxwell (3.54) (o l’equivalente (3.64)) descrive il fenomeno dell’induzione
magnetoelettrica, secondo il quale la circuitazione del campo magnetico lungo una linea
chiusa γ non dipende soltanto dal flusso di j f , ma anche dal flusso della derivata di D
rispetto al tempo.
L’accoppiamento tra E e H, prodotto dai fenomeni di induzione elettromagnetica e
magnetoelettrica, è all'origine del fenomeno della propagazione del campo
elettromagnetico. In presenza di mezzi conduttori c'è un altro meccanismo che accoppia
il campo elettrico al campo magnetico: un campo elettrico variabile nel tempo produce
nei conduttori correnti che generano un campo magnetico, il quale a sua volta, essendo
variabile nel tempo, contribuisce al campo elettrico. Questo accoppiamento è all’origine
del fenomeno della diffusione del campo elettromagnetico nei conduttori (correnti di
Foucault).
Osservazione
In tutti i sistemi elettromagnetici “artificiali”, cioè quelli che l'uomo costruisce, le
sorgenti “reali” (cioè quelle che è possibile fissare a piacere attraverso “manopole”),
non sono né le cariche libere, né le correnti libere, ma i campi elettromotori, oppure le
tensioni del campo elettrico tra determinate coppie di punti e lungo certi cammini (si
pensi, ad esempio, alle prese di corrente nelle nostre abitazioni, nei laboratori, etc; in
questo ultimo caso le sorgenti entrano in gioco tramite le condizioni al contorno). Le
cariche e le correnti libere che nascono nei corpi conduttori e sulle loro superfici sono
incognite del problema, assieme al campo elettromagnetico. La progettazione di un
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
-100-
sistema elettromagnetico si riduce, in ultima analisi, proprio alla determinazione della
struttura fisica del sistema e delle “sorgenti reali” che realizzino determinate
configurazioni di cariche, correnti e campo elettromagnetico.
G. Miano, Elettromagnetismo: Equazioni di Maxwell nella Materia
4. Proprietà del Campo Elettromagnetico
In questo Capitolo descriveremo le proprietà del campo elettromagnetico che
utilizzeremo per formulare il modello circuitale (detto anche modello a “parametri
concentrati”) di un sistema elettromagnetico complesso, deducendole direttamente dalle
equazioni di Maxwell.
4.1 Introduzione
Le equazioni di Maxwell in forma locale sono (per non appesantire la trattazione
ignoriamo le superfici di discontinuità e le distribuzioni superficiali di cariche e correnti
libere)
$B
,
$t
#D
!"H=
+ jf .
#t
!"E=#
(4.1)
(4.2)
La densità di carica ! f libera è esprimibile in funzione della densità di corrente libera
j f attraverso l’equazione di continuità
!" f
!t
= #$ % j f .
(4.3)
Per completare il modello bisogna aggiungere le relazioni costituire dei materiali, le
condizioni iniziali per i campi B e D ,
B ( r;t = t 0 ) = B0 ( r ) ,
D ( r;t = t 0 ) = D 0 ( r ) ,
(4.4)
(4.5)
che devono essere compatibili con le equazioni alle divergenze (il campo B0 deve
essere solenoidale, ! " B0 = 0 , e il campo D 0 deve verificare la legge di Gauss,
! " D 0 = # f 0 , avendo posto ! f 0 = ! f ( r;t = t 0 ) ) e le condizioni al contorno all’infinito.
- 102 -
Le equazioni per le divergenze di D e B , per t > t 0 ,
! " D = #f ,
(4.6)
!"B = 0,
(4.7)
sono contenute nelle equazion1 (4.1)- (4.3). Da queste equazioni si ha, infatti1
$ #B '
!"& ) = 0,
% #t (
$ #D ' #* f
!"&
=
,
% #t )(
#t
(4.8)
(4.9)
quindi
! " B = ! " B0 = 0 ,
(! " D # $ ) = (! " D
f
0
)
# $f 0 = 0 .
(4.10)
(4.11)
L’evoluzione del campo elettromagnetico è governata, essenzialmente, da tre
meccanismi di natura diversa: l’interazione Coulombiana, l’interazione Amperiana e la
radiazione elettromagnetica. L’interazione Coulombiana e l’interazione Amperiana
governano, rispettivamente, l’interazione tra le cariche e le correnti in condizioni
stazionarie. Appena che le grandezze iniziano a variare nel tempo a queste due
interazioni si aggiunge la radiazione elettromagnetica, che nasce proprio
dall’interazione tra il campo di induzione magnetica e il campo di spostamento elettrico
attraverso l’accoppiamento tra la l’induzione elettromagnetica, governata dalla legge di
Farday-Neumann, e l’induzione magnetoelettrica, governata dalla legge di AmpereMaxwell. Nella precedente Nota abbiamo illustrato le proprietà fondamentali
dell’interazione Coulombiana e dell’interazione Amperiana, nel prossimo paragrafo
illustreremo la proprietà fondamentale della radiazione elettromagnetica.
4.2 Dinamica del Campo Elettromagnetico in un Mezzo Lineare ed Omogeneo
Si consideri un materiale con comportamento dielettrico e magnetico lineare, isotropo,
non dispersivo (temporalmente e spazialmente), tempo-invariante e spazialmente
omogeneo, caratterizzato dalla costante dielettrica ! e dalla permeabilità magnetica µ ,
1
Utilizziamo l’identità vettoriale ! " ( ! # A ) = 0 .
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 103 -
D = !E ,
B = µH .
(4.12)
(4.13)
Inoltre sia assuma noto il campo di densità di corrente libera. Combinando le relazioni
costitutive (4.12), (4.13) con le equazioni di Maxwell (4.1), (4.2), otteniamo
!B
= "# $ E ,
!t
!E
1
= c 2" # B $ j f ,
!t
%
(4.14)
(4.15)
dove
c=
1
!µ
(4.16)
è una grandezza omogenea dimensionalmente con una velocità. Essa è la velocità di
propagazione della luce nel materiale considerato. Nel vuoto la velocità della luce è
circa 3 ! 10 8 m/s , in un dielettrico o in un materiale paramagnetico (ferromagnetico) è
inferiore a questo valore dato che ! > ! 0 e µ > µ0 .
Assegnate le distribuzioni del campo elettrico e magnetico all’istante t = t 0 ,
E = E ( r;t 0 ) , B = B ( r;t 0 ) , attraverso le equazioni (4.14) e (4.15) si determinano le
distribuzioni per ogni t > t 0 . Dalla definizione di derivata parziale rispetto al tempo
abbiamo che
#E
#t
#B
B ( r;t 0 + !t ) " B ( r;t 0 ) + dt
#t
E ( r;t 0 + !t ) " E ( r;t 0 ) + dt
t =t 0
,
(4.17)
t =t 0
,
(4.18)
dove dt è un intervallo di tempo elementare. Combinando queste equazioni con le
equazioni di Maxwell (4.14) e (4.15) otteniamo un’approssimazione per la distribuzione
del campo elettromagnetico all’istante t 0 + dt
1
'
*
E ( r;t 0 + !t ) " E ( r;t 0 ) + dt ) c 2# $ B ( r;t 0 ) % j f ( r;t 0 ) , ,
&
(
+
B ( r;t 0 + !t ) " B ( r;t 0 ) # dt$ % E ( r;t 0 ) .
(4.19)
(4.20)
Reiterando questo ragionamento possiamo calcolare la distribuzione del campo
elettromagnetico in qualsiasi istante di tempo successivo.
G. Miano, 103Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 104 -
Il campo elettrico ed il campo magnetico sono accoppiati. L’evoluzione temporale
del campo elettrico dipende dal rotore del campo magnetico e l’evoluzione temporale
del campo magnetico dipende dal rotore del campo elettrico. L’evoluzione del campo
elettromagnetico è governata dall’interazione tra l’induzione magnetica e la corrente di
spostamento.
4.3 Propagazione Elettromagnetica per Onde Piane
In questo paragrafo introdurremo alcuni aspetti fondamentali della propagazione
elettromagnetica in un mezzo omogeneo. Pur essendo di grande rilevanza il problema
dell’accoppiamento dell’onda elettromagnetica con la sorgente che la genera, qui
affronteremo solo il problema della propagazione nelle regioni prive di sorgenti (in cui
j f = 0 ).
Il ruolo dell’accoppiamento tra l’induzione magnetica e la corrente di spostamento
nella propagazione del campo elettromagnetico può essere compreso attraverso un
problema modello monodimensionale risolvibile analiticamente. Si consideri un sistema
di coordinate Cartesiane rettangolari (O, x, y, z ) e una distribuzione iniziale del campo
elettromagnetico del tipo:
E ( r;t = 0 ) = E0 ( z ) x̂ per !" < z < +" ,
1
H ( r;t = 0 ) =
E0 ( z ) ŷ per !" < z < +" ,
Zc
(4.21)
(4.22)
dove
Zc =
µ
.
!
(4.23)
Il parametro Z c ha le dimensioni fisiche di una resistenza elettrica e prende il nome di
impedenza caratteristica del mezzo. Per il vuoto si ha Z c ! 376.7 " . Cerchiamo la
soluzione delle equazioni di Maxwell con le condizioni iniziali (4.21), (4.22) e j f = 0 ,
nella forma
E ( r;t ) = E ( z;t ) x̂ ,
1
H ( r;t ) =
E ( z;t ) ŷ .
Zc
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
(4.24)
(4.25)
- 105 -
Sostituendo queste espressioni nelle equazioni (4.14), (4.15) con j f = 0 otteniamo2:
1 !E
!E
,
="
c !t
!z
!E
!E
.
=c
!t
!z
(4.26)
(4.27)
Derivando ambo i membri della prima equazione rispetto al tempo t ed ambo i membri
della seconda equazione rispetto alla coordinata spaziale z e combinando le equazioni
così ottenute abbiamo l’equazione di propagazione
2
!2 E
2 ! E
"c
= 0.
!t 2
!z 2
(4.28)
Questa equazione deve essere risolta con la condizione iniziale
E ( z;t = 0 ) = E0 ( z ) per !" < z < +" ,
!E
!E
= "c 0 per !" < z < +" .
!t
!z
(4.29)
(4.30)
(La condizioni al contorno all’infinito è in qualche modo già contenuta nella condizione
iniziale.) La soluzione di questa equazione che verifica le due condizioni iniziali (4.21),
(4.22) è
E ( z;t ) = E0 ( z ! ct ) .
(4.31)
La soluzione è un’onda che viaggia nella direzione positiva dell’asse z con velocità c
proveniente da z = !" . Si osservi che il campo elettrico ed il campo magnetico sono
ortogonali tra loro e sono ortogonali alla direzione di propagazione. Questo è un
esempio di onda elettromagnetica piana. Si consideri, ad esempio, la condizione
iniziale
E0 ( z ) = Asin ( k0 z ) .
(4.32)
Essa è una funzione sinusoidale nello spazio caratterizzata dal periodo spaziale
(lunghezza d’onda)
2
! " E = ŷ#E / #z e ! " H = # (1 / Z c ) x̂$E / $z .
G. Miano, 105Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 106 -
!0 =
2"
.
k0
(4.33)
In questo caso la soluzione è
E ( z;t ) = Asin ( k0 z ! " 0t ) .
(4.34)
dove la pulsazione ! 0 è data da
! 0 = ck0 .
(4.35)
Essa è una funzione sinusoidale anche del tempo con frequenza f0 data da
f0 =
c
.
!0
(4.36)
Un’onda elettromagnetica piana è un’onda in cui il campo elettrico ed il campo
magnetico sono ortogonali e la direzione di propagazione è ortogonale al piano in cui
giacciono il campo elettrico ed il campo magnetico, Figura 4.1. In questo caso il modulo
del campo elettrico E ed il modulo del campo di intensità magnetica H sono legati
dalla relazione
E = Zc H .
(4.37)
La frequenza e la lunghezza d’onda di un’onda piana sinusoidale sono legate dalla
relazione (4.36).
4.4 Proprietà Energetiche del Campo Elettromagnetico
Introdurremo ora, deducendola dalle equazioni di Maxwell, un’importante proprietà del
campo elettromagnetico. Consideriamo materiali meccanicamente rigidi in cui possono
esserci correnti elettriche libere, fenomeni di polarizzazione elettrica e fenomeni di
polarizzazione magnetica.
4.4.1 Teorema di Poynting
Si considerino le equazioni di Maxwell in forma locale (per semplificare la trattazione
supponiamo che non vi siano superfici di discontinuità e distribuzioni superficiali di
cariche e correnti libere)
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 107 -
$B
,
$t
#D
.
! " H = jf +
#t
!"E=#
(4.38)
(4.39)
Moltiplichiamo scalarmente la prima equazione per H e la seconda per E e si sottragga
la seconda espressione così ottenuta dalla prima. Utilizzando l'identità vettoriale
! " (E # H) = H " ! # E $ E " ! # H
(4.40)
si ottiene (teorema di Poynting in forma locale)
H!
dove
"B
"D
+ E!
+ E ! j f = #$ ! S
"t
"t
S= E!H
(4.41)
(4.42)
è il vettore di Poynting. Integrando la (4.41) sul volume Ω e utilizzando il teorema di
Gauss si ha anche
"B
"D &
#
H!
+ E!
%
( d) + ***) E ! j f d) = + !
** , S ! n̂dS
)$
"t
"t '
***
(4.43)
dove Σ è la superficie chiusa che delimita Ω e n̂ è la normale con il verso uscente da Σ.
Questa è l'espressione del teorema di Poynting in forma integrale.
La grandezza E ! j f è dimensionalmente omogenea con un lavoro per unità di tempo
e per unità di volume, pertanto il vettore di Poynting è dimensionalmente omogeneo con
una potenza per unità di superficie. Nel Sistema Internazionale la potenza si misura in
watt (W), quindi il vettore di Poynting si misura in watt / metro2 , [ S ] = 1W / 1m 2 ed il
flusso del vettore di Poynting attraverso Σ, !
## S ! n̂dS , si misura in watt.
"
4.4.2 Energia del campo elettromagnetico
Quale è il significato fisico del vettore di Poynting? La risposta a questa domanda può
essere ottenuta applicando contestualmente il teorema di Poynting ed il primo principio
della termodinamica ad un volume elementare di materiale !" centrato nel punto P ;
!" è la frontiera di !" con la normale n̂ orientata verso l’esterno. Si consideri un
intervallo di tempo elementare ( t,t + dt ) , si particolarizzi la (4.43) nel punto P ,
G. Miano, 107Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 108 -
all’istante t e si moltiplichino ambo i membri per !" e dt . Utilizzando la definizione
di divergenza si ottiene
dove
! ( "L ) + ! ( "We ) + ! ( "Wm ) = #"$dt
(4.44)
! ( "L ) = E ( rP ;t ) # j f ( rP ;t ) "$dt ,
$
! ( "We ) = E ( rP ;t ) # D ( rP ;t ) "%dt ,
$t
$
! ( "Wm ) = H ( rP ;t ) # B ( rP ;t ) "%dt ,
$t
!" = !
%% S # n̂dS ,
(4.45)
!$
(4.46)
(4.47)
(4.48)
e rP è il vettore posizione del baricentro P del volume elementare.
Il primo termine a sinistra del segno uguale, ! ( "L ) , è il lavoro compiuto dal campo
elettrico nell’intervallo di tempo dt sulle cariche elettriche libere in moto nella regione
di spazio !" .
La grandezza !" è il flusso del vettore di Poynting uscente dalla superficie !" ;
l’aggettivo “uscente” sta solo ad indicare che il verso della normale esce dalla regione.
Per evidenziare il significato fisico degli altri due termini esprimiamo il campo di
spostamento elettrico ed il campo di induzione magnetica attraverso il campo di densità
di polarizzazione P ed il campo di densità di magnetizzazione M ,
D = !0E + P ,
B = µ0 ( H + M ) .
(4.49)
(4.50)
Sostituendo queste espressioni in quelle di ! ( "We ) e ! ( "Wm ) otteniamo:
! ( "We ) = d ( "U e ) + E ( rP ;t ) # d ( "p ) ,
! ( "Wm ) = d ( "U m ) dt + µ0 H ( rP ;t ) # d ( "m ) ,
(4.51)
(4.52)
dove
1
" 0 E2 ( rP ;t ) !# ,
2
1
!U m = µ0 H 2 ( rP ;t ) !" ,
2
!p = P ( rP ;t ) !" ,
!U e =
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
(4.53)
(4.54)
(4.55)
- 109 -
!m = M ( rP ;t ) !" .
(4.56)
Le grandezze !p e !m sono, rispettivamente, il momento di dipolo elettrico ed il
momento di dipolo magnetico della materia contenuta nella regione elementare !" .
Nelle (4.51) e (4.52) d ( !p ) e d ( !m ) indicano, rispettivamente, la variazione
nell’intervallo di tempo dt del momento di dipolo elettrico e del momento di dipolo
magnetico della materia contenuta in !" dovute alla variazione della densità di
polarizzazione e della densità di magnetizzazione. La grandezza !U e è l’energia interna
del “vuoto” associata al campo elettrico nella regione di spazio !" e !U m è l’energia
interna del “vuoto” associata al campo magnetico nella regione di spazio !" . La
grandezza E ! d ( "p ) è il lavoro compiuto dal campo elettrico per modificare il
momento di dipolo elettrico della materia contenuta in !" (lavoro di polarizzazione).
Analogamente, la grandezza µ0 H ! d ( "m ) è il lavoro compiuto dal campo magnetico
per modificare il momento di dipolo magnetico della materia contenuta in !" (lavoro
di magnetizzazione). Nel Sistema Internazionale l’energia si misura in “joule” (J).
Riassumendo, il termine ! ( "We ) è la somma della variazione di energia interna del
vuoto associata al campo elettrico nella regione dello spazio !" e del lavoro di
polarizzazione del campo elettrico sulla materia contenuta in !" durante l’intervallo
elementare dt ; il termine ! ( "Wm ) è la somma della variazione di energia interna del
vuoto associata al campo magnetico nella regione dello spazio !" e del lavoro di
magnetizzazione del campo magnetico sulla materia contenuta in !" durante
l’intervallo elementare dt . A questo punto conviene riscrivere l’equazione (4.44) nella
forma
! ( "Lem ) + dU em = #"$dt
(4.57)
! ( "Lem ) = E ( rP ;t ) # %& j f ( rP ;t ) "$ + d ( "p ) '( + µ0 H ( rP ;t ) d ( "m )
(4.58)
dove
è il lavoro totale compiuto dal campo elettromagnetico sulla materia in !"
nell’intervallo di tempo dt (lavoro sulle cariche libere in moto + lavoro di
polarizzazione + lavoro di magnetizzazione) e
1
#1
&
!U em = % " 0 E2 ( rP ;t ) + µ0 H 2 ( rP ;t ) ( !)
2
2
$
'
(4.59)
G. Miano, 109Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 110 -
è l’energia interna del vuoto associata al campo elettromagnetico nella regione dello
spazio !" .
D’altra parte, applicando il primo principio della termodinamica alla materia
contenuta in !" (ipotizzata meccanicamente rigida) si può scrivere
( )
! ( "Lem ) + ! "Lg = d ( "U M ) + ! ( "Q )
(4.60)
dove ! ( "Lem ) è il lavoro totale compiuto dal campo elettromagnetico sulla materia in
(
)
!" nell’intervallo di tempo dt , ! "Lg è il lavoro compiuto nello stesso intervallo di
tempo dai campi elettromotori presenti in !" (per ciò sono lavori di natura diversa da
quello elettromagnetico), d ( !U M ) è la variazione di energia interna !U M della materia
contenuta in !" e ! ( "Q ) è la quantità di calore uscente da !" nell’intervallo di
tempo dt ; l’aggettivo “uscente” sta ad indicare che è effettivamente uscente se positiva,
altrimenti è effettivamente entrante. L’energia interna della materia !U M , oltre a
dipendere dalla temperatura, dipende anche dallo stato di polarizzazione e
magnetizzazione e, quindi, dal campo elettromagnetico. Combinando le equazioni
(4.57), (4.60) otteniamo
( )
! "Lg = ! ( "Q ) + d ( "U M ) + d ( "U em ) + "#dt .
(4.61)
Tale relazione mostra che il lavoro compiuto nell’intervallo di tempo dt dai campi
elettromotori agenti sui portatori di carica presenti in !" è uguale alla somma:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
della quantità di calore uscente da !" durante l’intervallo di tempo
considerato;
della variazione dell’energia interna della materia !U M associata al campo
elettromagnetico nella regione !" ;
della variazione dell’energia interna del vuoto !U em associata al campo
elettromagnetico nella regione !" ;
un termine proporzionale secondo il coefficiente dt al flusso uscente del
vettore di Poynting !"dt . Il flusso del vettore di Poynting corrisponde,
pertanto, a un vero e proprio termine di energia di natura elettromagnetica
che nell’unità di tempo attraversa la superficie che delimita la regione !" .
Se !"dt > 0 il flusso di energia elettromagnetica è effettivamente uscente
dalla regione !" , invece se !"dt > 0 il flusso di energia elettromagnetica è
effettivamente entrante.
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 111 -
Consideriamo, ora, una regione finita ! . Se le proprietà dielettriche e magnetiche
del mezzo sono lineari, isotrope, non dispersive (spazialmente e temporalmente) e
tempo-invarianti e la regione contiene un materiale conduttore lineare, isotropo, nondispersivo, in cui è presente un campo elettromotore E m si ha
D = !E ,
B = µH ,
(4.62)
(4.63)
(4.64)
j f = ! ( E + Em ) ,
(la costante dielettrica ! , la permeabilità magnetica µ e la conducibilità ! sono
grandezze scalari, che possono dipendere dal punto dello spazio) e la (4.43) dà:
dove
Pj ( t ) dt ! Pg ( t ) dt + dWe + dWm = !P" ( t ) dt
(4.65)
P! ( t ) = !
## S " ndS
(4.66)
!
è la potenza (energia per unità di tempo) elettromagnetica uscente dalla regione !
all’istante t ;
Pg ( t ) =
###
"
j f ! E m d" ,
(4.67)
è la potenza (energia per unità di tempo) elettromagnetica generata dai campi
elettromotori presenti nella regione ! all’istante t ;
Pj ( t ) =
###
"
! j2f d"
(4.68)
è la potenza elettromagnetica dissipata per effetto Joule nella regione ! all’istante t ;
We ( t ) =
1
! E2 d"
###
"
2
(4.69)
è l’energia immagazzinata nel vuoto e nella materia associata al campo elettrico;
Wm ( t ) =
(
)
1
B2 / µ d!
"""
!
2
(4.70)
è l’energia immagazzinata nel vuoto e nella materia associata al campo magnetico. Il
contributo della materia all’energia interna We è data da
G. Miano, 111Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 112 -
1
! 0 " d E2 d#
$$$
#
2
(4.71)
dove ! d è la suscettività dielettrica della materia ed il contributo della materia
all’energia interna Wm è data da
1
µ0 ! m B2 / µ 2 d"
2 ###"
(4.72)
dove ! m è la suscettività magnetica della materia.
Esempio 1
La Figura 4.1 illustra un circuito elettrico per generare calore. Una resistenza elettrica è
collegata ad una pila attraverso un interruttore e conduttori ideali.
Figura 4.1 Una resistenza elettrica è collegata ad una pila attraverso un interruttore.
Prima della chiusura dell’interruttore (Figura 4.1a) non è presente corrente elettrica e
la resistenza elettrica è spenta. Tuttavia l’intensità del campo elettrico è diversa da zero
in prossimità della pila. Il campo elettrico di tipo Coulombiano è generato dalle cariche
elettriche libere ferme presenti sulle superfici delle parti metalliche della pila. Esso si
contrappone all’azione del campo elettromotore di natura chimica. Il lavoro del campo
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 113 -
elettromotore è zero per l’assenza di correnti. L’energia associata al campo elettrico è
diversa da zero, mentre è uguale a zero l’energia associata al campo magnetico. Il
contributo più importante all’energia immagazzinata viene dalla regione prossima alla
pila. Il vettore di Poynting è zero ovunque in quanto l’intensità del campo magnetico è
nulla ovunque.
Dopo la chiusura dell’interruttore (Figura 4.1b) nasce una corrente elettrica nel
circuito e la resistenza elettrica inizia a generare calore per effetto Joule. In regime
stazionario il modulo dell’intensità della corrente è I = E / R , dove E è il valore
assoluto della tensione impressa dalla pila e R è la resistenza elettrica. La potenza
elettrica dissipata in calore è uguale alla potenza elettrica generata dal campo
elettromotore della pila ed è data da E 2 / R .
A causa della presenza di correnti elettriche anche il campo magnetico è diverso da
zero, quindi, anche l’energia immagazzinata nel campo magnetico è diversa da zero. Il
contributo più rilevante a questa energia viene dalla regione prossima ai conduttori ed
alla resistenza. In realtà il valore dell’intensità della corrente elettrica parte da zero
all’istante in cui l’interruttore viene chiuso e raggiunge il valore di regime stazionario in
un intervallo di tempo praticamente finito e diverso da zero. In questo intervallo di
tempo il flusso del vettore di Poynting attraverso una superficie chiusa che racchiude
tutto il sistema, come, ad esempio, quella riportata in Figura 4.1c, è diverso da zero:
tiene conto sia dell’energia che ritroviamo sotto forma di energia del campo magnetico
nella regione esterna alla superficie S che dell’energia elettromagnetica irradiata verso
l’infinito. Una volta raggiunto il regime stazionario il flusso del vettore di Poynting
attraverso la superficie S è uguale a zero pur essendo sia il campo elettrico che il campo
magnetico diversi da zero in quanto la distribuzione del campo magnetico non cambia
più nel tempo e non c’è più energia irradiata verso l’infinito3. Tuttavia in condizioni
stazionarie il flusso uscente del vettore di Poynting attraverso S1 è diverso da zero, così
come è diverso da zero il flusso entrante del vettore di Poynting attraverso S2 . In
particolare, il flusso uscente da S1 , PS(1u ) , è uguale al flusso entrante attraverso S2 , PS(1e) :
PS(1u ) = PS(2e) . Il flusso uscente da S1 è uguale alla potenza elettrica generata dalla pila in
regime stazionario, mentre il flusso entrante in S2 è uguale alla potenza elettrica
trasformata in potenza termica per effetto Joule nella resistenza. In regime stazionario il
flusso del vettore di Poynting attraverso una superficie chiusa tagliata dalla coppia di
conduttori che collega la resistenza elettrica alla pila rappresenta la potenza elettrica
trasportata dalla pila verso la resistenza elettrica dalla stessa coppia di conduttori.
3
Dal punto di vista matematico ciò è conseguenza del fatto che il campo elettrico in condizioni
stazionarie è conservativo rispetto alla circuitazione e, quindi, esprimibile come !"# , dove ! è il
potenziale elettrico scalare. Dato che ! " H = j f si ha immediatamente
!
## ( E ! H ) " ndS = 0 .
S
G. Miano, 113Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 114 -
Il dispositivo analizzato è progettato e realizzato in modo tale che l’energia
immagazzinata associata al campo elettromagnetico e l’energia irradiata sia molto più
piccola dell’energia elettrica trasformata in calore.
Esempio 2
Esaminiamo altri esempi di sistemi elettromagnetici allo scopo di evidenziarne le
proprietà energetiche.
Figura 4.2 (a) dispositivo per generare un campo elettrico in una regione limitata di spazio (esempio di
camera per elettroforesi); (b) elettromagnete; (c) antenna radio; (d) lampada ad incandescenza è
alimentata da una pila.
In Figura 4.2a un circuito in regime stazionario è riportato: la pila alimenta due
elettrodi di un dispositivo per elettroforesi. L’obiettivo è generare un campo elettrico
nella regione di spazio compresa tra i due piatti. Nella camera per elettroforesi in
condizioni stazionarie l’intensità del campo magnetico è praticamente trascurabile,
mentre l’intensità del campo elettrico è diversa da zero. Dopo l’accensione la pila eroga
in un intervallo di tempo finito l’energia immagazzinata associata al campo elettrico. In
realtà una parte dell’energia erogata viene anche irradiata, tuttavia il dispositivo è
realizzato in modo tale che essa sia trascurabile se confrontata con quella
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 115 -
immagazzinata. Il contributo prevalente all’energia immagazzinata è dovuta alla regione
interna ai due elettrodi.
In Figura 4.2b la pila alimenta un elettromagnete, l’obiettivo è generare un campo
magnetico stazionario nella regione vuota tra le espansioni polari (traferro). In
prossimità dell’elettromagnete, invece, l’intensità del campo elettrico è praticamente
trascurabile, mentre l’intensità del campo magnetico è diversa da zero. Dopo
l’accensione la pila eroga in un intervallo di tempo finito l’energia immagazzinata
associata al campo magnetico. In realtà una parte dell’energia erogata viene irradiata,
tuttavia anche questo dispositivo è realizzato in modo tale che essa sia trascurabile se
confrontata con quella immagazzinata. Inoltre, a causa della conducibilità finita dei
conduttori con cui è realizzato l’avvolgimento la pila deve sopperire anche all’energia
dissipata per effetto Joule ed a causa dell’isteresi del materiale magnetico la pila deve
sopperire anche alle perdite nel nucleo su cui è realizzato l’avvolgimento. Il contributo
prevalente all’energia immagazzinata è dovuta alla regione che contiene
l’elettromagnete.
In Figura 4.2c un generatore di segnale variabile nel tempo è collegato ad una
antenna filiforme, l’obiettivo è irradiarlo nello spazio. Il flusso del vettore di Poynting
attraverso una qualsiasi superficie che racchiude l’intero sistema è diverso da zero. In
particolare, il flusso del vettore di Poynting attraverso una superficie chiusa molto
distante dall’antenna dà praticamente la potenza elettromagnetica irradiata nello spazio
circostante. Il contributo più importante all’energia immagazzinata è dovuto alla regione
in prossimità dell’antenna.
Infine, in Figura 4.2d si riporta una lampadina ad incandescenza in condizioni
stazionarie alimentata da una pila. La pila fornisce l’energia elettrica che in parte viene
trasformata in energia del flusso luminoso ed in parte in calore. Il flusso luminoso
generato da una lampada ad incandescenza non è altro che radiazione elettromagnetica
incoerente data dalla sovrapposizione di tante frequenze diverse (colori), pertanto la
potenza irradiata da una lampadina potrebbe essere ancora ricondotta al flusso del
vettore di Poynting del campo elettromagnetico irradiato.
4.5 Approssimazioni delle equazioni di Maxwell: Modelli Quasi-Stazionari
Consideriamo un sistema elettromagnetico che occupi una regione finita !0 dello
spazio delimitata dalla superficie ! 0 orientata con la normale rivolta verso l’esterno.
Ipotizziamo solo per semplicità che ciascuna parte del sistema sia descrivibile attraverso
relazioni costitutive lineari, tempo-invarianti e non dispersive. Indichiamo, inoltre, con
! una parte di !0 e con ! la frontiera orientata con la normale rivolta verso l’esterno.
Dal teorema di Poynting segue che
G. Miano, 115Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 116 -
P! ( t ) dt + dW!( e) + dW!( m ) = " p# ( t ) dt
(4.73)
dove P! = P! ( t ) rappresenta il lavoro per unità di tempo compiuto dal campo elettrico
sulle correnti elettriche in ! , W!( e) = W!( e) ( t ) è l’energia immagazzinata in ! associata
al campo elettrico, W!( m ) = W!( m ) ( t ) è l’energia immagazzinata in ! associata al campo
magnetico e p! = p! ( t ) rappresenta il flusso uscente del vettore di Poynting attraverso
!.
Figura 4.3 La regione
!0 è suddivisa in nove regioni.
Molti sistemi elettromagnetici sono progettati in modo tale che in condizioni
nominali di funzionamento l’energia elettromagnetica che essi irradiano sotto forma di
radiazione elettromagnetica coerente sia talmente piccola confrontata con le altre
energie caratteristiche del sistema da poter essere considerata trascurabile (ad esempio, i
sistemi riportati nelle Figure 4.1, 4.2a, 4.2b e 4.2d), p! 0 " 0 . Ciò accade se la
dimensione lineare massima della regione !0 è molto più piccola della più piccola
lunghezza d’onda caratteristica del campo elettromagnetico. In molti di questi sistemi,
inoltre, può accadere anche che lo spazio possa essere suddiviso in modo tale che in
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 117 -
ciascuna parte prevalga uno solo dei termini a sinistra dell’equazione (4.73) rispetto agli
altri due, oppure siano tutti trascurabili.
Assumiamo, ad esempio, che il sistema di interesse sia tale da poter separare lo
spazio !0 in quattro regioni !G ,! R ,! E ,! M , in quattro regioni !c1 ,!c2 ,!c 3 ,!c 4 e la
regione vuota !v , così come riportato in Figura 4.3. Sia nella regione !G che nella
regione ! R sono trascurabili le variazioni delle energie immagazzinate, associate al
campo elettrico ed al campo magnetico, se confrontate con il lavoro compiuto dal
campo elettrico. Nella regione ! E è trascurabile la variazione dell’energia
immagazzinata associata al campo elettrico se confrontata con gli agli altri due termini a
sinistra dell’equazione (4.73). Nella regione ! M è trascurabile la variazione
dell’energia immagazzinata associata al campo elettrico se confrontata con gli agli altri
due termini a sinistra dell’equazione (4.73). Nelle quattro regioni !c1 ,!c2 ,!c 3 ,!c 4 che
connettono le regioni !G ,! R ,! E ,! M e nella regione vuota !v tutti e tre i termini della
(4.73) sono trascurabili. In Figura 4.4 un esempio di sistema elettromagnetico
descrivibile in questo modo è riportato. Nella regione !G c’è un generatore, nella
regione ! R c’è un resistore, nella regione ! M c’è un induttore e nella regione ! E c’è
un condensatore. Nelle quattro regioni !c1 ,!c2 ,!c 3 ,!c 4 ci sono quattro fili di
conduttore perfetto, che collegano i terminali dei quattro componenti.
Figura 4.4 Esempio di sistema elettromagnetico.
Da quanto detto segue che possiamo catalogare le regioni dello spazio in tre
categorie. Nel prossimo paragrafo descriveremo tre modelli approssimati delle
equazioni di Maxwell che emergono da questa classificazione: il modello quasistazionario magnetico, il modello quasi-stazionario elettrico e il modello della
conduzione elettrica quasi-stazionaria.
Dal punto di vista fisico le sorgenti del campo elettromagnetico sono le cariche e le
correnti, invece dal punto di vista matematico le “sorgenti” di ciascun campo sono la
divergenza ed il rotore.
G. Miano, 117Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 118 -
4.5.1 Modello quasi-stazionario magnetico
Nelle regioni nelle quali la variazione di energia associata al campo elettrico è nel
bilancio energetico (4.73) trascurabile rispetto agli altri termini abbiamo
P! ( t ) dt + dW!( m ) " # p$ ( t ) dt
(4.74)
ovvero
###
"
E ! j f d" +
d
dt
### ( B
"
2
)
/ 2 µ d" $ % !
## (E & H) ! ndS .
'
(4.75)
Questa è una forma approssimata del teorema di Poynting che si ottiene partendo dalla
forma approssimata delle equazioni di Maxwell
$B
,
$t
! " H # jf .
!"E=#
(4.76)
(4.77)
La (4.77) è diversa dalla (4.2) perché manca il termine di densità di corrente di
spostamento elettrico. Esso è associato al termine dW!( e) che nella (4.74) che porta in
conto il contributo dell'energia immagazzinata associata al campo elettrico. A tale
modello approssimato diamo il nome di modello quasi-stazionario magnetico in quanto
la legge che governa il rotore del campo magnetico è quella che avremmo se fossimo in
regime stazionario (legge di Ampere). Nel modello quasi stazionario magnetico
l’interazione magnetica è di tipo Amperiano, la divergenza del campo di densità di
corrente è uguale a zero
! " jf # 0 .
(4.78)
Il modello quasi-stazionario magnetico deve essere completato con la relazione
costitutiva che lega il campo di intensità magnetica H al campo di induzione magnetica
B e dalla relazione costitutiva che lega il campo di densità di corrente al campo
elettrico.
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 119 -
4.5.2 Modello quasi-stazionario elettrico
Dualmente, nelle regioni nelle quali la variazione di energia immagazzinata associata al
campo magnetico è nel bilancio energetico (4.73) trascurabile rispetto agli altri termini
abbiamo
P! ( t ) dt + dW!( e) " # p$ ( t ) dt
(4.79)
ovvero
###
"
E ! j f d" +
d
dt
### ($ E
"
2
)
/ 2 d" % & !
## (E ' H) ! ndS .
(
(4.80)
Questa è un’altra forma approssimata del teorema di Poynting che si ottiene partendo
dalla forma approssimata delle equazioni di Maxwell
! " E # 0,
#D
!"H=
+ jf .
#t
(4.81)
(4.82)
La (4.81) è diversa dalla (4.1) perché manca il termine !B / !t alla base del fenomeno
dell’induzione elettromagnetica. Esso è associato al termine dW!( m ) che nella (4.74) che
porta in conto il contributo dell'energia immagazzinata associata al campo magnetico. A
tale modello approssimato diamo il nome di modello quasi-stazionario elettrico in
quanto la legge che governa il rotore del campo elettrico è quella che avremmo se
fossimo in regime stazionario. Nel modello quasi stazionario elettrico l’interazione
elettrica è di tipo Coulombiano.
Il modello quasi-stazionario elettrico deve essere completato con la relazione
costitutiva che lega il campo elettrico E al campo di spostamento elettrico D e dalla
relazione costitutiva che lega il campo di densità di corrente al campo elettrico.
4.5.3 Modello quasi-stazionario del campo di corrente
Nelle regioni nelle quali la variazione di energia immagazzinata associata al campo
magnetico e la variazione di energia immagazzinata associata al campo elettrico sono
nel bilancio energetico (4.73) trascurabili rispetto all’altro termine abbiamo
P! ( t ) " # p$ ( t )
(4.83)
G. Miano, 119Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 120 -
ovvero
###
"
E ! j f d" $ % !
## (E & H) ! ndS .
'
(4.84)
Questa è un’altra forma approssimata del teorema di Poynting che si ottiene partendo
dalla forma approssimata delle equazioni di Maxwell
! " E # 0,
! " H # jf .
(4.85)
(4.86)
La (4.85) è diversa dalla (4.1) perché manca il termine !B / !t alla base del fenomeno
dell’induzione elettromagnetica e la (4.86) è diversa dalla (4.2) perché manca il termine
di densità di corrente di spostamento !D / !t . Il termine !B / !t è associato al termine
dW!( m ) e il termine !D / !t è associato al termine dW!( e) . A tale modello approssimato
diamo il nome di modello quasi-stazionario di campo di corrente in quanto le leggi che
governano il rotore del campo elettrico ed il rotore del campo magnetico sono quelle
che avremmo se fossimo in regime stazionario. Nel modello quasi-stazionario del
campo di corrente l’interazione elettrica è di tipo Coulombiano e l’interazione
magnetica è di tipo Amperiana.
Il modello quasi-stazionario del campo di corrente deve essere completato con la
relazione costitutiva che lega il campo di densità di corrente al campo elettrico.
4.6 Potenza Assorbita da un Componente con Due Terminali
Consideriamo un sistema elettromagnetico in condizioni lentamente variabili, composto
da componenti che interagiscono tra loro prevalentemente attraverso due terminali
conduttori. Esprimeremo, ora, la potenza assorbita da un generico componente in
termini di grandezze globali.
Definiamo la potenza elettrica assorbita, p = p ( t ) (erogata, p! = p! ( t ) ) dal
componente come il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie limite del
componente con il verso della normale rivolto verso l’interno (l’esterno). Nel limite
quasi-stazionario (lentamente variabile) si ha la relazione approssimata
p (t ) = !
## ( E ! H ) $ ndS % vi
"
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
(4.87)
- 121 -
dove i = i ( t ) è l’intensità della corrente del terminale “a” con il verso di riferimento
entrante nella superficie limite e v = v ( t ) è la tensione del campo elettrico lungo una
curva che parte dal terminale “a” e termina nel terminale “b”. il verso della normale n è
rivolto verso l'interno della superficie limite, figura 1.
Ωv
Figura 4.4 Componente con due terminali e Superficie limite.
Nel limite lentamente variabile nella regione !v e, quindi, in corrispondenza della
superficie limite del componente il campo elettromagnetico è descritto con buona
approssimazione dal modello quasi-stazionario del campo di corrente, quindi il campo
elettrico sulla superficie Σ può essere espresso attraverso il gradiente del potenziale
scalare ! , E ! "#$ e ! " H # j f . Si ha allora
!
## ( E ! H ) $ ndS % & !
## ('( ! H ) $ ndS .
"
"
(4.88)
Utilizzando l’identità vettoriale
!"# $ H = !" $ (# H ) + #" $ H
(4.89)
la (4.88) diventa
!
## ( E ! H ) $ ndS % !
## (&' ! H ) $ ndS ( !
##
"
"
"
)*' ! (& H ) +, $ ndS .
(4.90)
Dal teorema di Gauss abbiamo
!
))
(
$%! " (# H ) &' * ndS =
)))
(
! * $%! " (# H ) &'d+ , !
)) (- $%! " (# H )&' * n- dS = 0 , (4.91)
G. Miano, 121Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 122 -
dove S! è una sfera centrata nel baricentro del componente con raggio illimitato, perché
! " %&! # ($ H ) '( = 0 e ! " (# H ) = 0 all’infinito. Utilizzando la relazione ! " H # j f
dalle (4.90) e (4.91) otteniamo
( )
p (t ) ! !
$$ " j f % ndS .
#
Il campo di corrente
(4.92)
j f è diverso da zero solo dove i terminali forano la superficie
limite Σ e la funzione potenziale in ciascuno dei due terminali è costante (i terminali
sono conduttori elettrici perfetti). Indichiamo con ! a e ! b i valori che ! assume nei
due terminali e con ia e ib le corrispondenti intensità delle correnti con versi di
riferimento entranti Figura 4.4. Da queste considerazioni segue immediatamente che:
( )
p (t ) ! !
$$ " j f % ndS = " aia + " bib .
(4.93)
p ( t ) ! i (" a # " b ) .
(4.94)
#
Essendo ia = !ib " i si ha
Visto che la tensione tra i due terminali v è data da
v = !a " !b
(4.95)
dalla (4.94) segue immediatamente la (4.87).
La potenza generata è legata alla potenza assorbita dalla relazione p = ! p" , quindi
p! = "vi .
4.7 Conservazione della Potenza
In un sistema elettromagnetico composto da componenti con due terminali
( N ! terminali) collegati tra loro da conduttori perfetti e che non irradia energia verso
l’infinito vale una importante proprietà per le potenze assorbite dai singoli componenti.
Per esemplificare si consideri il sistema di Figura 4.6 composto da quattro componenti
con due terminali, collegati tra di loro attraverso conduttori perfetti. La potenza
assorbita dal h-esimo componente è indicata con ph , con h = 1, 2,..., 4 . Nell’ipotesi che
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 123 -
p! 0 " 0 la somma delle potenze assorbite da tutti i componenti del sistema è uguale a
zero in ogni istante,
! p (t ) = 0 .
h
(4.96)
h
Questa è la proprietà della conservazione delle potenze elettriche, valida per i sistemi
elettromagnetici in condizione lentamente variabili.
Figura 4.6 Conservazione delle potenze elettriche.
La proprietà della conservazione della potenza è una diretta conseguenza del fatto che
nella regione "! data dall’unione della regione !v e delle regioni occupate dai
conduttori perfetti di collegamento si ha che ! " S # 0 , dunque
%%%
#$
! " Sd# = 0 .
(4.97)
Applicando il teorema di Gauss si ha immediatamente che
G. Miano, 123Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
- 124 -
#!
""
h
Sh
S ! n h dS = $ !
"" S ! n0 dS & 0 ,
%0
(4.98)
quindi
#!
""
h
Sh
S ! n h dS = # ph $ 0 .
h
G. Miano, Elettromagnetismo: Proprietà del campo Elettromagnetico
(4.99)