UN NUOVO MODELLO MATEMATICO PER IL CALCOLO DEL

S. Brusca, R. Lanzafame, M. Messina
1
UN NUOVO MODELLO MATEMATICO PER IL CALCOLO DEL
RILASCIO TERMICO NEI MCI
S. Brusca, R. Lanzafame, M. Messina
Dipartimento di Ingegneria Industriale e Meccanica – Facoltà di Ingegneria – Università di Catania
SOMMARIO
La sperimentata accuratezza nell’interpolare i dati sperimentali dei gas [1] [2] [3], ha spinto gli autori
ad utilizzare i polinomi logaritmici del V ordine all’interno dei modelli termodinamici “single zone”
per la valutazione del rilascio termico nei MCI.
È stato inoltre mostrato un metodo semplice per ricavare l’espressione del rapporto tra i calori
specifici a pressione e volume costante in funzione della temperatura, senza dover ricorrere ai ben più
complessi modelli termodinamici multi-dimensionali.
Le misure di pressione sono state effettuate su di un motore CFR attrezzato presso il Laboratorio
Controllo e Formulazione Combustibili della Raffineria AGIP Petroli di Priolo Gargallo (SR).
1. INTRODUZIONE
A causa della difficoltà di effettuare dirette rilevazioni del calore rilasciato durante la reazioni di
combustione e soprattutto per la scarsa attendibilità di tali misure, negli ultimi anni sono stati
sviluppati diversi modelli matematici (mono-, bi- e tri-dimensionali) per l’analisi e lo studio del
funzionamento dei motori a combustione interna [4] [5] [6] [7].
L’analisi termodinamica delle misure di pressione all’interno della camera si è rivelata uno strumento
utilissimo per la comprensione del complesso fenomeno della combustione e soprattutto per l’analisi
dell’effetto che i vari parametri operativi del motore hanno su di esso.
Nell’analisi dei dati di pressione in camera di combustione i modelli “single zone” sono usualmente
preferiti ai modelli termodinamici multi-dimensionali, seppur meno accurati, per la loro semplicità ed
efficienza numerica e perché normalmente conducono a risultati confrontabili. I modelli a singola zona
non includono però variazioni spaziali e quindi assumono composizione e temperatura della carica
uniformi [4].
Principalmente sono stati sviluppati due approcci in questa tipologia di analisi e cioè: l’approccio
“burn rate analysis” e quello “heat release analysis”. Il primo metodo di analisi è spesso utilizzato per
la determinazione dell’angolo di manovella corrispondente alla durata della combustione nei motori ad
accensione comandata e per la determinazione della frazione di massa di carica fresca istantaneamente
bruciata. Il secondo metodo è invece comunemente utilizzato per l’analisi dei dati di pressione nei
motori ad accensione spontanea, per la determinazione dell’energia rilasciata durante la fase di
combustione.
Nel modello a zona singola più semplice, si assume che la massa di combustibile sia trascurabile
rispetto a quella d’aria (mf << ma), ed il rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costante
k, invariante con la temperatura [6] [8].
Poiché il rapporto k ha un effetto preponderante sia sul valore del calore rilasciato, che sulla forma
della curva del rilascio termico cumulativo [4], molti ricercatori hanno messo a punto diverse
equazioni matematiche per simulare la dipendenza dalla temperatura di tale parametro termodinamico
per i vari gas: formule del primo ordine (k(T) = a + bT) [8], e formule del secondo ordine (k(T) = a +
bT +cT2) [4]1.
Partendo da questa premessa, obiettivo del presente lavoro è elaborare ed implementare un modello
matematico a zona singola per il rilascio termico nei MCI con un rapporto tra i calori specifici
dipendente dalla temperatura secondo una funzione polinomiale logaritmica del V ordine del tipo:
k(T) = f {a0 + a1 ln(T) + a2 [ln(T)]2+…+ a5 [ln(T)]5}.
Al fine di verificare l’efficacia del modello, esso è stato utilizzato per la determinazione della curva di
rilascio termico di un motore monocilindrico da laboratorio CFR. I risultati ottenuti sono stati quindi
1
Le espressioni di k(T) riportate in letteratura sono valutate empiricamente o sulla scorta dei risultati dei ben più
complessi modelli multi-dimensionali, ed hanno valore solamente per quell’applicazione per la quale sono state
determinate.
2
56° Congresso Nazionale ATI
confrontati con quelli ottenuti utilizzando i modelli a zona singola a k costante e variabile reperiti in
letteratura. Tale confronto ha evidenziato la maggiore accuratezza conseguibile, sia sul rilascio
termico globale che sul calcolo del rendimento di combustione della macchina, pur mantenendo
grande semplicità ed efficienza numerica.
2. APPARATO SPERIMENTALE
Con l’obiettivo di testare l’accuratezza e l’affidabilità del modello matematico sviluppato è stata
effettuata una campagna di prove sperimentali presso il Laboratorio Controllo e Formulazione
Combustibili dell’AGIP Petroli di Priolo Gargallo – SR. In tale campagna sperimentale è stato rilevato
e acquisito il segnale di pressione in camera di combustione di un motore da laboratorio CFR2
Research.
La Tabella 1 riassume le caratteristiche costruttive principali e le condizioni di funzionamento del
motore utilizzato.
Tab. 1
Caratteristiche costruttive principali e condizioni di funzionamento del
motore utilizzato
Caratteristica
Numero di cilindri
Rapporto di compressione
Alesaggio
Corsa
Cilindrata
Raffreddamento
Lubrificazione
Velocità di rotazione
Anticipo elettrico all’accensione
Valore
1
3.5 ÷ 18
82.55
114.3
612
a circolazione d’acqua
Forzata
600 ± 6
13
Unità
mm
mm
cm3
r/min
deg
Per alimentare il motore è stato utilizzato un combustibile di riferimento (isottano C8H18). Tale scelta è
stata effettuata in modo da eliminare qualsiasi incertezza relativa alla composizione variabile dei
combustibili commerciali.
Le prove comparate dei modelli di rilascio termico sono state fatte utilizzando un rapporto volumetrico
di compressione relativamente basso (5.8). Ciò per il fatto che, seppur il combustibile utilizzato
presenta un numero di ottano pari a 100, il massimo rapporto di compressione impostabile nel CFR
senza incorrere nel fenomeno della detonazione incipiente è pari a 6.
La Tabella 2 riassume le principali condizioni operative impostate durante la campagna di prove
sperimentali.
Tab. 2
Condizione operative impostate durante la campagna
di prove sperimentali
Descrizione
Combustibile
Dosatura
Pressione Ambiente
Temperatura Ambiente
Temperatura aria aspirazione
Velocità di Rotazione
Rapporto volumetrico di compressione
Temperatura olio lubrificante
Valore
C8H18
Stechiometrica
101325 Pa
299 K
326 K
600 ± 6 r/min
5.8
Standard
I segnali di pressione e di PMS sono stati registrati per mezzo del sistema d’acquisizione le cui
specifiche sono riportate nella Tabella 3; nelle Figure 1 e 2 sono mostrati i diagrammi indicati aperto e
chiuso del motore CFR.
.
2
Cooperative Fuel Reserch – Dresser Industries (WAUKESHA-ENGINE DIVISION)
S. Brusca, R. Lanzafame, M. Messina
Tab. 3
3
Specifiche tecniche principali dei sensori utilizzati e del sistema di
acquisizione dati
PC IBM
AX5412 High Speed
Kistler 7063A
Piezoelettrico
0 ÷ 250 bar
Kistler type 5007
Elettroprogetti s.a.s.
Magnetico
25
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
20
p [bar]
p [bar]
Sistema di acquisizione
Personal Computer
Scheda Acquisizione Dati
Trasduttore di pressione
Modello
Tipo
Range
Amplificatore di Carica
Modello
Sensore di Posizione di P.M.
Modello
Tipo
15
10
5
0
0
45
90
1 35 1 80
225
270
31 5
360
405
450
495
540
585
630
675
720
0
200
Crank Angle [deg]
400
600
800
V [cm 3]
Fig. 1 – Andamento della pressione in camera di
combustione del motore CFR in funzione
dell’angolo di manovella.
Fig. 2 – Andamento della pressione in camera di
combustione del motore CFR in funzione dei volumi
totali.
3. MODELLO MATEMATICO DI RILASCIO TERMICO
Per il calcolo del calore rilasciato durante la fase di combustione è stato utilizzato un modello a zona
singola che si basa sull’equazione che rappresenta il I Principio della Termodinamica [8]. Tale
equazione applicata alla carica all’interno della camera di combustione di un motore durante le fasi a
valvole chiuse può essere scritta secondo la seguente relazione:
dQnet =
k
1
pdV +
Vdp
k −1
k −1
(1)
dove Qnet è l’energia chimica netta rilasciata in seguito alla combustione, p la pressione all’interno
della camera, V i volumi totali, θ è l’angolo di manovella e k è il rapporto tra i calori specifici a
pressione e volume costante. In tale equazione sono stati trascurati i termini relativi alla presenza di
cavità all’interno della camera di combustione e quelli relativi allo scambio termico con le pareti della
camera.
In Figura 3 è mostrato un confronto tra le curve di rilascio termico in funzione dell’angolo di
manovella al variare del parametro k. L’anticipo elettrico all’accensione (13° prima del PMS) per
comodità di calcolo nelle figure è identificato con l’angolo di 347° . È possibile osservare come la
scelta del valore del rapporto tra i calori specifici influenzi notevolmente la curva del rilascio termico.
Le pendenze negative dell’ultimo tratto delle curve riportate in Figura 3 evidenziano l’assenza di
scambio termico con le pareti del cilindro (Hp. di lavoro).
Ottenuta la curva del rilascio termico cumulativo, è stato possibile determinare il “Rate Of Heat
Release” (ROHR) al variare dell’angolo di manovella. L’andamento di tale curva è riportato invece
nella Figura 4.
4
56° Congresso Nazionale ATI
300 0
Qnet [J]
250 0
200 0
150 0
k=1.2 0
100
k=1.2 5
k=1.3 0
k=1.3 5
k=1.4 0
k=1.4 5
100 0
k
50 0
0
34 7
35 7
Segnale non filtrato
Segnale filtrato
80
dQnet/d [J/deg]
350 0
36 7
37 7
38 7
39 7
60
40
20
0
-20
40 7
-40
347
41 7
357
367
377
387
397
407
417
Crank angl e [deg]
Cra nk a ngle [ deg]
Fig. 3 – Calore Cumulativo Netto rilasciato al
Fig. 4 – Rilascio Termico per un dato valore del
variare del parametro k.
parametro k.
Il segnale, ricavato direttamente dalle misure sperimentali di pressione, è stato filtrato in modo da
poter effettuare un confronto al variare di k al fine di evidenziare la forte influenza che questo
parametro ha sulla curva di rilascio termico (vedi Figura 5).
200
k=1.20
100
k=1.30
1
k=1.35
0.8
k=1.40
k=1.6
0.4
k
0
k=1.1
0.6
k=1.45
50
dQ
/d [J/ deg]
1.2
k=1.25
150
k
0.2
0
-50
347
347
357
367
377
387
397
407
357
367
377
387
417
C r a nk a n gl e [ de g]
Crank a ngl e [de g]
Fig. 5 – Andamento del Calore Rilasciato al
Fig. 6 – Andamento della massa di carica
variare del parametro k.
bruciata in funzione dell’angolo di
manovella al variare del parametro k.
4. RAPPORTO DI COMBUSTIONE
L’analisi del rapporto di combustione è principalmente utilizzata per la determinazione degli angoli di
combustione e della frazione di massa combusta in funzione dell’angolo di manovella (MFB Mass
Fraction Burned). L’andamento del MFB può essere calcolato dai valori del rilascio termico
cumulativo, normalizzando questi ultimi per il valore massimo dell’energia dovuta al rilascio termico
cumulativo di fine combustione [4]. Il parametro MFB viene definito nel seguente modo:
xb (ϑ ) =
mb
mu + mb
In Figura 6 viene proposto l’andamento di xb al variare di k, ed è possibile notare come in questo caso
il rapporto tra i calori specifici influenzi moderatamente l’andamento del MFB.
In conclusione risulta dunque evidente come l’analisi termodinamica dei dati sperimentali di pressione
all’interno del cilindro sia uno strumento potente ed utile per quantificare i parametri della
combustione. Inoltre è possibile osservare come il calcolo del rilascio termico sia fortemente
influenzato dal valore scelto per il rapporto tra i calori specifici, e fortemente migliorato attraverso
l’utilizzo di funzioni matematiche che descrivano in modo adeguato l’andamento del rapporto tra i
calori specifici al variare della temperatura. Per il calcolo del rilascio termico è stato dunque
implementato un modello matematico dove il legame tra k e la temperatura viene descritto con grande
accuratezza attraverso l’utilizzo dei polinomi logaritmici del V ordine.
S. Brusca, R. Lanzafame, M. Messina
5
5. IL NUOVO POLINOMIO INTERPOLATORE PER IL CALCOLO DELLE PROPRIETÀ
TERMDINAMICHE DEI GAS
Poiché si è visto che il valore assunto dal rapporto tra i calori specifici incide fortemente sulla curva
del rilascio termico è stata elaborato un polinomio logaritmico del V ordine in grado di rappresentare
efficacemente il legame che intercorre tra il rapporto dei calori specifici k e la temperatura.
L’espressione scelta scaturisce da precedenti lavori degli autori [1], [2], [3] dove si è riscontrata
l’elevata accuratezza ed efficacia di tale funzione nel rappresentare il legame tra il calore specifico a
pressione costante e la temperatura.
Un polinomio logaritmico del V ordine può essere scritto nella seguente forma:
c p (T ) = a 0 + a 1 ln(T) + a 2 [ln(T)]2 + a 3 [ln(T)]3 + … + a 5 [ln(T)]5
(2)
in cui a0, .., a5 sono delle costanti che devono essere determinate sulla base dei dati sperimentali. Per la
determinazione di tali costanti sono stati utilizzati i dati sperimentali relativi alle proprietà
termodinamiche dei gas costituenti la carica fresca ed i prodotti della combustione di un MCI. Tali
costanti sono state determinate utilizzando il metodo dei minimi quadrati.
Il polinomio logaritmico del V ordine interpola i dati sperimentali sui calori specifici e sulle entalpie
con grande accuratezza3 e semplicità4.
Grazie all’elevata accuratezza dei polinomi logaritmici è possibile inoltre estrapolare l’andamento dei
rilievi sperimentali per un ∆T pari al 25 % del ∆Tsperimentale , commettendo un errore contenuto ( ≤ 1% ).
Per poter ottenere quindi la funzione k(T), occorre dapprima determinare l’andamento della
temperatura al variare dell’angolo di manovella θ. Tale andamento può essere determinato sulla base
dei rilievi sperimentali di pressione e volumi totali, ipotizzando una temperatura in corrispondenza
della chiusura della valvola di aspirazione valutando l’esponente della politropica direttamente dalle
misure sperimentali di pressione [10, 11], oppure utilizzando l’equazione di stato per i gas perfetti [4].
6. VALUTAZIONE DEI POLINOMI LOGARITMICI
Nel valutare i calori specifici è stata presa in considerazione una reazione di ossidazione del
combustibile in cui il comburente è composto da aria tecnica, mentre i prodotti della combustione sono
costituiti solo dalle specie con un numero di moli preponderante rispetto alle altre, e cioè l’azoto, il
vapor d’acqua e l’anidride carbonica [7] [8].
A titolo di esempio è stata simulata la presenza nel comburente di una certa quantità di Argon (circa
l’1 % in volume). In tale simulazione si sono ottenute variazioni sui valori del rilascio termico di circa
lo 0.4 %. Ciò ha fatto escludere ogni altro gas nel comburente eccetto che l’ossigeno e l’azoto.
I dati sperimentali del combustibile sono stati rilevati dalla letteratura [12]. Sulla base di tali dati
(disponibili solo per 200 < T < 1500 K), utilizzando il metodo dei minimi quadrati, sono stati ottenuti i
sei coefficienti del polinomio logaritmico del V ordine. La Tabella 4 riporta i valori dei coefficienti del
polinomio determinati sia per il combustibile che per i prodotti della combustione presi in
considerazione. Nella stessa tabella sono anche riportati i range di temperatura di validità del
polinomio.
Grazie all’elevata accuratezza della funzione interpolante, è stato possibile estrapolare (vedi Figura 7),
per necessità di calcolo, i valori del calore specifico fino a 2000 K. Tale estrapolazione è stata validata
sulla base di valori sperimentali disponibili per altre specie per range di temperatura molto più estesi
(0 ÷ 3500 K, vedi Figura 10). Estrapolando per circa il 25 % del range di temperatura relativo alle
misure sperimentali, l’errore è sempre inferiore all’1 %. Sempre in Figura 7 è possibile notare come la
suddetta estrapolazione di dati sperimentali sia irrealizzabile qualora si utilizzi un polinomio
tradizionale. Per motivi di scala in Figura 7 non è possibile apprezzare l’accuratezza con la quale i
polinomi logaritmici interpolino i dati sperimentali, per cui in Figura 8 è mostrato il buon accordo tra
le misure sperimentali ed il polinomio interpolatore (valutabile anche attraverso il coefficiente di
correlazione R2).
Analogamente a quanto fatto per il combustibile, i polinomi interpolatori sono stati valutati anche per
3
L’errore relativo massimo è inferiore allo 0.1 %, mentre il coefficiente di correlazione R2 è compreso tra lo
0.99966 dell’ossigeno e lo 0.99999 dell’anidride carbonica.
4
Per interpolare le proprietà termodinamiche in un range di temperatura molto ampio (0 ÷ 5000 K) è possibile
utilizzare un solo polinomio logaritmico del V ordine.
6
56° Congresso Nazionale ATI
le restanti specie prese in considerazione (per queste i dati sperimentali sono stati ottenuti dalle tabelle
JANAF [13]).
Per motivi di spazio si riporta solo il grafico relativo all’anidride carbonica (vedi Figura 9), in quanto
l’interpolazione polinomiale logaritmica per le restanti specie è del tutto simile a quella per le due
specie qui mostrata, e comunque riportata il letteratura [1, 2, 3].
Interpolazione cp C8H18 (R2 = 0.999964)
cp [J/mol K]
600
500
400
300
Dati sperim.
200
Pol. Log. V
100
Pol. V
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
T [K]
Fig. 7 – Andamento del cp del combustibile al variare della temperatura.
C8H18
1
2
(R =0.999993)
0.5
0
-0.5
0
500
1000
1500
err. rel. % Pol.
Log. V
0.4
Err. rel. %
1.5
Err. rel. %
Interpolazione cp CO2
err. rel. %
Pol. Log. V
err. rel. %
Pol. V
2000
err. rel. % Pol.
V
0.2
0
-0.2 0
1000
2000
3000
4000
-0.4
-1
T [K]
T [K]
Fig. 8 – Scostamento dell’interpolazione dai
dati sperimentali sul combustibile al variare
della temperatura.
Fig. 9 – Scostamento dell’interpolazione
dai dati sperimentali
sull’anidride
carbonica al variare della temperatura.
Tab. 4 Coefficienti dei polinomi interpolatori per il parametro cp [J/mol K] per le diverse specie molecolari presenti
nella miscela
Specie
C8H18
200<T<2000 K
O2
273<T<3500 K
N2
273<T<3500 K
CO2
273<T<3500 K
H2O
273<T<3500 K
a0
a1
A2
a3
a4
a5
R2
-43029.69896
36241.19904
-12036.09466
1966.430702
-157.61132
4.9695987
0.999964
10228.342599
-7184.923331
2010.868084
-279.694958
19.348226
-0.532569
0.999662
-7513.364197
5708.380466
-1712.173896
254.295542
-18.699837
0.544972
0.999927
-1412.367846
1288.467702
-452.811975
77.548094
-6.435215
0.207544
0.999993
-11780.764955
8490.521798
-2414.775747
339.336617
-23.542768
0.645407
0.999893
S. Brusca, R. Lanzafame, M. Messina
7
err.% H20
3
err.% CO2
err.% O2
2
err.% N2
Err. rel. %
1
0
-1
-2
-3
0
5
10
15
20
25
30
35
40
∆ T % Estrapolato
Fig. 10 – Andamento dell’errore relativo commesso al variare del ∆T estrapolato al di la
del range di interpolazione.
7. CALCOLO DELLA FUNZIONE k=k(Τ)
Noti i sei coefficienti del polinomio logaritmico per ogni singola specie, è possibile valutare i calori
specifici a pressione costante dei reagenti e dei prodotti adottando sempre lo stesso tipo di polinomio,
e valutando i relativi coefficienti come medie pesate rispetto alle singole masse.
Indicando con il pedice u i reagenti (e quindi la massa incombusta) e con il pedice b i prodotti della
combustione, avremo:
cpu(T)=a0u+a1uln(T)+a2u[ln(T)]2+…..+a5u[ln(T)]5
(4)
cpb(T)=a0b+a1bln(T)+a2b[ln(T)]2+…..+a5b[ln(T)]5
(5)
dove
[a i ] u =
[a i ] b =
mC8 H18 ∗ (a i ) C8 H18 + mO2 ∗ (ai ) O2 + m N 2 ∗ (ai ) N 2
(mtot ) u
mCO2 ∗ (ai ) CO2 + m H 2O ∗ (ai ) H 2O + m N 2 ∗ (ai ) N 2
(mtot ) b
per 0 ≤ i ≤ 5
(6)
per 0 ≤ i ≤ 5
(7)
Adesso è possibile calcolare il rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costante per la massa
incombusta, secondo la nota relazione:
k u (T ) =
c pu (T )
c vu (T )
(8)
dove cvu(T) può essere valutato attraverso la legge di Mayer.
Analogamente a quanto fatto per la massa incombusta, si può calcolare il rapporto tra i calori specifici
a pressione e volume costante per la massa combusta:
8
56° Congresso Nazionale ATI
k b (T ) =
c pb (T )
(9)
cvb (T )
Nell’equazione (8) non è stata presa in considerazione la presenza dei fumi residui in camera di
combustione in quanto si è visto, durante una simulazione in cui la massa dei fumi residui veniva fatta
variare dall’1% fino al 10 % della massa aspirata, che la loro presenza faceva variare il valore di k(T)
dello 0.1 % (vedi Figura 12) ed il valore finale del rilascio termico cumulativo dello 0.002%.
Per valutare adesso l’andamento del rapporto tra i calori specifici si può scrivere che:
k (T ) = [1 − xb (T )]k u (T ) + xb (T )k b (T )
(10)
dove xb è stato ricavato direttamente dalle misure sperimentali per un qualsiasi valore di k (xb può
ritenersi in definitiva indipendente da k; vedi Figura 6).
L’andamento dei valori sperimentali di xb con la temperatura è pressappoco lineare, quindi, per
semplicità di calcolo, è possibile interpolare linearmente i dati sperimentali ottenendo un buon
coefficiente di correlazione R2 simile a quello che si otterrebbe utilizzando un polinomio logaritmico
del quinto ordine (vedi Figura 11).
1.2
Dati sperim.
1
Pol. Log. (R^2=0.9992)
MFB - xb
0.8
Interp. Lineare (R^2=0.9990)
0.6
0.4
0.2
0
630
830
1030
1230
1430
1630
1830
Tem peratura [K]
Fig. 11 – Andamento della frazione di massa bruciata al variare della temperatura
Così facendo si è facilmente ottenuta la funzione matematica che descrive l’andamento di k al variare
della temperatura per l’analisi del rilascio termico per questa particolare applicazione (motore CFR,
ρ=5.8, combustibile: C8H18, Φ = 1). In Tabella 5 sono riportati i 6 coefficienti del polinomio
logaritmico del V ordine k = k(T).
Tab. 5 Coefficienti del polinomio logaritmico del V ordine per k(T).
Valore
a0
a1
a2
a3
a4
a5
1344.205634
-961.583456
275.282753
-39.377248
2.8139646
-0.08036132
8. CONFRONTO CON LE ALTRE FUNZIONI k=k(T) NOTE IN LETTERATURA
In Figura 12 è riportato un confronto tra alcune leggi matematiche utilizzate per descrivere
l’andamento di k con la temperatura.
S. Brusca, R. Lanzafame, M. Messina
9
1.36
1.34
Gatow ski
Kam im oto
k + gas res.
1.32
k
1.3
Chun - Heyw ood
1.28
k
1.26
Brunt
1.24
1.22
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
T [K]
Fig. 12 – Andamento del rapporto dei calori specifici al variare della temperatura per diversi modelli
utilizzati.
Le funzioni indicate in Figura 12 con “k” e “k +gas res.” rappresentano le funzioni k=k(T) valutate in
questo lavoro, rispettivamente nel caso in cui non vengano considerati i gas residui presenti in camera
di combustione all’atto dell’apertura della valvola di aspirazione, ed il caso in cui se ne tenga conto
con un rapporto in massa (massa gas residui/massa carica aspirata)=0.1. Si può notare come la
presenza dei gas residui (anche in percentuale maggiore al 10%) non influenzi i valori di k=k(T) se
non per un o 0.1% che si ripercuote con una variazione dello 0.002% sul rilascio termico calcolato.
Quindi ai fini del modello proposto, è ininfluente tenere più o meno in considerazione la presenza dei
gas residui.
Sempre nella Figura 12 vengono riportate le funzioni k = k(T) utilizzate da Brunt et al.[4], Gatowski et
al. [9], Kamimoto et al.[6] e Chun e Heywood [14].
La funzione utilizzata da Brunt è calcolata per un motore ad accensione comandata (combustibile
C8H16) attraverso di un modello matematico multi dimensionale, mediato su diversi valori di Φ (0.8 <
Φ < 1.2). La formula di Gatowski è di tipo epirico ed è utilizzata per un motore ad accensione
comandata (combustibile C8H9N e Φ = 1).
La funzione costante di Kamimoto è utilizzata per un Diesel DI e valutata attraverso un confronto tra il
modello single zone ed un modello bi-zona, in modo tale da far coincidere i valori del rilascio termico
valuti. Analogamente per la funzione di Chun e Heywood valutata per un motore ad accensione
comandata.
In tutti i modelli valutati, le funzioni k = k(T) sono state calcolate per una specifica applicazione, e
scaturiscono o dall’implementazione di modelli numerici complessi, o dalla base della propria
esperienza, o con il confronto tra i modelli single zone ed i modelli bi-zona.
Gli autori propongono in alternativa un metodo semplice e diretto per il calcolo della funzione k=k(T)
per ogni particolare applicazione, che si basi sui dati sperimentali disponibili in letteratura e sui valori
della frazione di massa bruciata determinabile dalle misure sperimentali di pressione.
9. VALUTAZIONE DEL RILASCIO TERMICO
Impostato il modello matematico per il calcolo del rapporto tra i calori specifici, k(T) è stato
diagrammato a partire dalla temperatura della carica al momento dell’accensione, fino al valore
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massimo di temperatura raggiunto durante la combustione.
In questa prima fase di validazione del modello matematico è stato assunto per semplicità di calcolo
un rapporto di equivalenza pari a 1; Φ = 1. In ogni caso l’influenza che ha il rapporto di equivalenza
su k è molto più piccolo dell’effetto che ha la temperatura [4].
In Figura 13 è possibile notare tre curve. La prima è relativa all’evoluzione del k nel caso in cui siano
solamente i reagenti (xb = 0) ad evolvere dalla temperatura iniziale a quella finale. La seconda,
parimenti a quanto effettuato per i reagenti, è riferita ai prodotti della reazione di ossidazione presi in
considerazione (xb=1). La terza infine rappresenta il reale andamento del k della carica, che
nell’intervallo di temperatura preso in considerazione, varia da xb = 0 a xb = 1.
Se si esprime k in funzione della temperatura bisogna fare attenzione ad utilizzare l’espressione
matematica i cui coefficienti sono riportati in Tabella 5, per T che varia dalla temperatura T0
all’instante dell’accensione fino all temperatura per la quale tutta la massa è combusta Tmax. Per gli
angoli di manovella successivi alla Tmax la temperatura decresce ma xb rimane uguale ad 1, quindi
l’espressione matematica i cui coefficienti sono riportati in Tabella 5, non può più essere utilizzata in
quanto ha validità solo per T | xb =0 ≤ T ≤ T | xb =1 . Per le temperature successive alla temperatura per la
quale xb=1 si ha che k(T) = kb(T).
Se si esprime k in funzione degli angoli di manovella si avrà un’unica espressione matematica valida
per l’intero intervallo di angoli di manovella scelti per l’analisi del rilascio termico.
Analogamente a quanto fatto in Figura 13, in Figura 14 è stato rappresentato k(θ), dove l’angolo di
manovella varia dall’angolo di manovella corrispondente all’accensione, fino al valore finale scelto
per l’analisi del rilascio termico (abbondantemente al di là dell’angolo di fine combustione; 60° dopo
il PMS).
1.34
1.32
1.34
Carica incombust a
1.30
Carica attuale
1.28
1.26
k
k
Carica combusta
1.30
Carica att uale
1.28
1.24
1.22
500 700
Carica incombusta
1.32
Carica combust a
1.26
1.24
900 1100 1300 1500 1700 1900 2100
Temperatura [K]
Fig. 13 – Andamento del k al variare della
temperatura per la carica fresca e combusta
1.22
347
367
387
407
Crank angle [deg]
Fig. 14 – Andamento del k al variare
dell’angolo di manovella per la carica
fresca e combusta
Valutato l’effettivo legame tra k e T (e quindi tra k e θ, visto che il legame tra T e θ è noto
sperimentalmente), è stato quindi possibile calcolare la curva del rilascio termico cumulativo netto e
confrontarla con quella in cui k è costante e pari a 1.35 (vedi Figura 15).
Dalla Figura 15 è possibile notare come la scelta di k costante abbia un’elevata influenza sul valore
massimo del rilascio termico (in questo caso circa il 19 %), mentre non influenza la determinazione
dell’angolo di manovella di fine combustione.
Variando il valore costante scelto per k è possibile aumentare o ridurre lo scarto dalla curva
determinata con k variabile, fino al limite a far coincidere le due curve (vedi Tabella 6). Ma l’esatta
scelta di k=cost. per l’implementazione nel modello “single zone” tradizionale è alquanto difficoltosa
in quanto il valore costante da adottare per k, al fine di far coincidere le due curve, dipende da una
serie tale di parametri, che difficilmente porta alla scelta esatta della costante.
Infine in Figura 16 è mostrato il confronto su tasso del rilascio termico (ROHR Rate Of Heat Release).
Anche in questo caso la scelta del valore da dare alla costante è fondamentale. Nell’esempio in Figura
16 lo scarto è del 25%.
L’uso di una funzione per k dipendente dalla temperatura, permette di ridurre notevolmente gli errori
derivanti da una errata scelta del valore della costante da assegnare a k.
S. Brusca, R. Lanzafame, M. Messina
11
In questa applicazione è stato visto che per k = 1.275 il modello del rilascio termico tradizionale e
quello modificato secondo gli autori coincidono, ma sicuramente variando la tipologia del MCI o del
combustibile trattato, il valore da assegnare a k sarà variato, e per evitare dunque errori nella
determinazione del rilascio termico è conveniente valutare l’andamento dei k con la temperatura.
60
900
800
700
k= c os t.
50
k=cos t.
Pol. Log . V ord.
40
Pol. Log. V ord.
R OH R [J /d eg
Ne t Cu m u lat iv e He a t Rel e a se [J ]
1000
600
500
400
300
30
20
10
200
0
347
-10
100
0
347
357
367
377
387
397
407
357
417
367
377
387
397
407
417
Crank a ng le [d eg]
Crank angle [deg]
Fig. 15 – Andamento del calore cumulativo
rilasciato in funzione dell’angolo di
manovella
Fig. 16 – Andamento del “Rate Of Heat
Release” in funzione dell’angolo di manovella
In Tabella 6 è possibile valutare l’errore relativo percentuale al variare del valore della costante
assegnata al rapporto tra i calori specifici.
Tab. 6 Errore percentuale commesso nel calcolo nel calcolo del rilascio termico al variare del rapporto tra i
calori specifici a pressione e volume costante
k
err.rel %
1.20
+ 33.6
Errore Relativo Percentuale
1.25
1.275
1.30
+ 8.2
0
- 7.9
1.35
- 19.3
1.40
+ 8.4
1.45
+ 35.1
CONCLUSIONI
Nel presente lavoro è stato sviluppato un nuovo modello matematico per il calcolo del rilascio termico
nei MCI. In tale modello sono state implementate delle nuove funzioni matematiche per
l’interpolazione dei dati sperimentali sui cp dei gas in modo da avere una relazione matematica capace
di descrivere al variare della temperatura l’andamento del cp con grande accuratezza. Sulla base
dell’esperienza degli autori sono stati utilizzati i polinomi logaritmici del V ordine che, come mostrato
in altri lavori, presentano tre caratteristiche peculiari:
1. Elevata accuratezza nell’interpolazione dei dati sperimentali;
2. Possibilità di poter interpolare su larghi range di temperatura con una singola funzione
matematica senza perdere in accuratezza;
3. Possibilità di poter estrapolare per circa un 25% al di la del range di temperatura dei dati
sperimentali, i valori dei calori specifici.
Oltre all’aver implementato i polinomi logaritmici, è stata utilizzata una tecnica per il calcolo del k
della carica istantanea, senza dover ricorrere ai ben più complessi modelli multi-dimensionali, o alla
formulazione di leggi empiriche. Sono state mostrate le tecniche per poter ricavare, per ogni singola
applicazione, l’andamento effettivo del k al variare della temperatura, senza dover utilizzare i valori o
le funzioni reperibili in letteratura valevoli per singole applicazioni. A tal proposito è stato effettuato
un confronto tra le differenti funzioni matematiche descriventi l’andamento del k con la temperatura.
È stato inoltre evidenziato come nell’utilizzo dei modelli “single zone” sia fondamentale disporre di
un’adeguata funzione matematica k=k(T) per evitare grossolani errori nella valutazione del rilascio
termico imputabili ad una erronea scelta del valore della costante da assegnare a k.
Approntato il modello dal punto di vista computazionale, sono stati effettuati dei confronti sui valori
del rilascio termico calcolato, per valutare l’ordine di grandezza che l’errore può assumere nel caso di
un’inattendibile scelta della costante da assegnare a k.
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