Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 1 ALCUNI PROBLEMI DEL TESTO (E ALCUNE SOLUZIONI) • • • • Vengono qui presentati, a scopo esemplificativo, alcuni dei problemi proposti dal testo Fondamenti di Meccanica classica. I problemi contrassegnati da un asterisco sono, dal punto di vista concettuale e/o del calcolo, i più impegnativi. Nel testo è data risposta a tutti i problemi: in questa sede solo a quelli contrassegnati con una «R». Nella sezione “Indice del libro e pagine dimostrative” del sito è offerto il quadro completo dei problemi dei capitoli 2 (Approssimazioni), 10 (Attrito), 12 (Dinamica relativa) e 13 (Dinamica rotazionale). Il testo di alcuni di tali problemi, corredato di risposta, è riproposto in questa pagina. INDICE pag.2 pag.6 pag.8 pag.16 pag.25 pag.29 pag.33 pag.36 pag.44 pag.52 pag.59 pag.65 pag.69 pag.76 pag.79 pag.81 Capitolo 1 - INTRODUZIONE ALLA FISICA Capitolo 2 - APPROSSIMAZIONI Capitolo 3 - CINEMATICA GENERALE (1) Capitolo 4 - CINEMATICA GENERALE (2) Capitolo 5 - CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO Capitolo 6 - STATICA DEL CORPO RIGIDO Capitolo 7 - STATICA DEI FLUIDI Capitolo 8 - I PRINCÌPI DI NEWTON Capitolo 9 - LAVORO ED ENERGIA Capitolo 10 - ATTRITO Capitolo 11 - GRAVITAZIONE Capitolo 12 - DINAMICA RELATIVA Capitolo 13 - DINAMICA ROTAZIONALE Capitolo 14 - URTI Capitolo 15 - OSCILLAZIONI Capitolo 16 – DINAMICA DEI FLUIDI Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 2 CAPITOLO 1 − INTRODUZIONE ALLA FISICA DIMENSIONI 8 Se due grandezze hanno uguali dimensioni, il loro rapporto (a) è uguale a 1 (b) è una grandezza dello stesso tipo (c) ..... 9 [R] Lo studente A deve calcolare l’area del cerchio, ma non ricorda con sicurezza se occorre usare la formula π R 2, oppure la formula 4π R 2, oppure la formula (4/3)π R 3. Si spieghi se l’analisi dimensionale lo può aiutare a individuare la formula giusta. 13 Le grandezze x, y, z, k sono legate dalla relazione (x − 5z 3) / 9yk = 48 m3/s. Sapendo che z = 18 m e che y = 6 m/s, determinare le dimensioni di x e di k. 15 Sapendo che la «capacità equivalente» di due condensatori in serie, rispettiva- mente di capacità C 1 e C 2 , è C e = C 1 C 2 / (C 1 +C 2 ), cioè il prodotto delle capacità diviso la somma, potremmo dedurne che se i condensatori sono tre la capacità equivalente è C e = C 1 C 2 C 3 / (C 1 +C 2 +C 3). Un semplice controllo dimensionale ci avvertirebbe però subito dell’errore: spiegare. 17 [R] Uno studente ricorda che la velocità di propagazione delle onde trasversali su una corda elastica dipende dalla tensione della corda, dalla sua massa e dalla sua lunghezza, ma non ricorda la formula. In che modo l’analisi dimensionale lo può aiutare? VETTORI [1] r r r 25 [R] Tre vettori a , b , c di modulo uguale sono disposti in r a r b modo da formare un triangolo equilatero, come in fig.14. r r r Si chiarisca quanto vale l’angolo formato da a con b , da c r r r r b con c , da c con a . Fig. 14 r 27 Le componenti cartesiane di un vettore p sono p x = 5, p y = −2, p z = 9. r (a) Determinare il modulo di p . r (b) Determinare gli angoli formati da p con i tre assi cartesiani. r r r r 31 [R] Sapendo che i vettori p , q e p + q hanno modulo uguale, determinare r r l’angolo tra p e q . r r r r r r 33 Sapendo che p + q è perpendicolare a p , e che q = 2 p + q , determinare r r r r r (a) il valore dell’angolo tra q e p + q , (b) il valore dell’angolo tra p e q . r r Si tenga presente che nel testo il prodotto scalare viene indicato con un punto (es. p ⋅ m) e il prodotr r to vettoriale con una V rovesciata (es. p ∧ c ) . 1 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 3 36 [R] Una barca a motore che in acqua ferma si muoverebbe con velocità v ' = 20 km/h in direzione W 28°N, procede in realtà con velocità v = 25 km/h in direzione W 48°N per effetto della corrente. Determinare la velocità (valore e direzione) della corrente. 41 [R] Un vettore AB , col primo estremo fisso nell’origine di un piano cartesiano 48 49 54 57 59 61 x, y, ruota in tale piano in senso antiorario attorno all’estremo A. Detto ϕ l’angolo formato da AB con l’asse x, si esprimano in funzione di ϕ : r (a) il versore u tg tangente in B alla circonferenza descritta da B e diretto nel r senso del moto, (b) il versore un diretto in senso opposto ad AB . r r Il vettore p (modulo 6) è diretto verticalmente verso l’alto: determinare m in r r modo che risulti p ⋅m = − 12 . (a) una e una sola soluzione (b) nessuna soluzione (c) infinite soluzioni. r r r L’angolo tra p (modulo 6) e q (modulo 18) è 60°. Determinare m in modo r r r che risulti m ∧ p = q . (a) una e una sola soluzione (b) nessuna soluzione (c) infinite soluzioni. r r Il vettore p (modulo 6) è diretto orizzontalmente verso destra, il vettore q r (modulo 24) è diretto verticalmente verso il basso. Determinare c in modo che r r r r r risulti c ⋅ p = 0 e p ∧ c = q . (a) una e una sola soluzione (b) infinite soluzioni (c) nessuna soluzione. r r r [R] Si dimostri che quando, nel doppio prodotto misto p ⋅ q ∧ k , due dei tre vettori sono uguali, il risultato è sempre zero. r r r r * [R] Determinare il valore dell’angolo tra il vettore p = 3 u x + 2 u y − u z e il r r r r vettore q = − 5 u x + u y + u z . r r * Determinare un versore n che risulti perpendicolare tanto al vettore p quanr to al vettore q della domanda 59. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 4 SOLUZIONI 9 3 La formula (4/3)π R può riferirsi solo a una grandezza avente le dimensioni di una lunghezza al cubo (in effetti, esprime il volume della sfera). Sotto l’aspetto dimensionale le altre due formule, che differiscono solo per un fattore numerico, sono entrambe valide: la prima esprime l’area del cerchio, la seconda l’area della superficie della sfera. In questo caso l’analisi dimensionale riduce il margine di incertezza, ma non lo elimina. 17 Detta F la tensione della corda, l la sua lunghezza, m la sua massa, deve essere v = k F x l y m z, dove k è un fattore numerico e x, y, z sono numeri da determinare. Le dimensioni della grandezza k F x l y m z sono (MLT −2) x L y M z = = M x + z Lx + y T −2x. Uguagliando con le dimensioni LT −1 della velocità, si vede che deve essere x + z = 0, x + y = 1, −2x = −1, vale a dire x = 1/2, y = 1/2, z = = −1/2. Dunque, v = k F l / m , dove il valore del numero k (che in realtà è uguale a 1) non può essere determinato con l’analisi dimensionale. 25 L’angolo tra due vettori è l’angolo di cui uno dei due dovrebbe ruotare per por- r r tarsi per la via più breve ad assumere la direzione dell’altro. Dunque tra a e b r r r r ci sono 60°, tra b e c 120°, tra c e a 60°. r r 31 120°, si veda la fig.1 (attenzione, non 60°: se r r l’angolo tra p e q fosse 60°, il modulo di r r r p + q sarebbe p 3 , come si trova facilmente anche con metodi di geometria elementare). p+q r p r q Fig. 1 36 La situazione è rappresentata in fig.5. Per il teorema di Carnot risulta V = 2 N 2 v ' + v − 2v ' v cos 20° = = 20 2 + 252 − 2 × 20 × 25 × 0,940 km/h = = 9,22 km/h. Per il teorema dei seni è (sen ϕ ) / v ' = (sen 20°) / V , dunque senϕ = (sen20°) v'/V = 0,342 × 20 / 9,22 = = 0,742, che significa ϕ = 47,9°. La direzione r r di V (che si ottiene da quella di v mediante rotazione oraria di 47,9°) è quindi W (28°+20°+ 47,9°) N = W 95,9° N = N 5,9° E. r V ϕ E r v r v' 20° 28° Fig. 5 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 5 r 4 1 (a) L’angolo tra u tg e l’asse x è ϕ + 90° (fig. y r 9). Essendo il modulo di u tg uguale a 1, la sua componente x è uguale a cos (ϕ + 90°) = = − senϕ , la sua componente y è uguale a r sen (ϕ + 90°) = cosϕ . Risulta pertanto u tg = r r = (−sen ϕ ) u x + ( cos ϕ ) u y . Si noti che, se r u r è un versore diretto come il raggio vettore r u tg r un A ϕ B x Fig. 9 AB , e avente quindi come componenti cos ϕ r r e sen ϕ , risulta u tg = dur /dϕ . r r (b) L’angolo tra u n e x è ϕ +180°. La componente x di u n è cos (ϕ +180°) = r r r = − cos ϕ , la componente y è − sen ϕ . Dunque, u n = (−cos ϕ ) u x − (sen ϕ ) u y . r r Si noti che risulta un = du tg /dϕ . r r r r r 57 Un prodotto come p ⋅ q ∧ q è zero perché è zero il vettore q ∧ q . Un prodotto r r r come p ⋅ p ∧ q è zero perché rappresenta un prodotto scalare tra vettori ortor r r r r r gonali ( p e p ∧ q ). Per la stessa ragione è zero il prodotto p ⋅ q ∧ p . r r r r 59 Risulta cos ϕ = p ⋅ q / p q , dove p ⋅ q = px qx + py qy + pz qz , p = p x2 + p 2y + p z2 , r r q = q x2 + q 2y + q z2 . Dunque p ⋅ q = 3 × (−5) + 2 × 1 + (−1) × 1 = −14, p = = 3 2 + 2 2 + (−1) 2 = 3,74, q = (−5) 2 + 12 + (−1) 2 = 5,20. Pertanto cos ϕ = = (−14) / (3,74 × 5,20) = −0,720, e quindi ϕ = 136°. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 6 CAPITOLO 2 − APPROSSIMAZIONI I problemi di questo capitolo sono tutti riportati nel sito alla sezione “Indice del libro e pagine dimostrative”. Il testo di alcuni di tali problemi, corredato di risposta, è riproposto qui di seguito. 3 [R] Eliminare un numero di decimali via via più grande nel numero 2,997 924 58, che moltiplicato per 10 8 dà il valore (esatto, per definizione) della velocità della luce nel vuoto in m/s. 13 [R] Per il valore medio di una certa grandezza la calcolatrice ha fornito il valo- re 823,637. Si mostri come tale valore dovrebbe venire espresso se l’incertezza fosse (a) 0,3 (b) 3 (c) 0,06 (d ) 40 (e) 110 ( f ) 1,2 (g) 0,1. 18 [R] Il peso di un secchio vuoto è (1,44 ± 0,03) kg, il peso dello stesso secchio pieno d’acqua è (12,38 ± 0,06) kg. Qual è il peso dell’acqua posta nel secchio? 25 [R] Sapendo che per il diametro di una sfera è stato trovato il valore (14,46 ± 0,16) cm, se ne deduca la misura del volume. 27 [R] Si esprima opportunamente in metri cubi il volume di 25000 l. 30 [R] Si scriva il numero 32,9508 con tre sole cifre significative. 36 [R] Nel Sistema Internazionale di unità di misura, la massa dell’elettrone è cir- ca 9,11 × 10 −31. Si scriva tale valore nella forma decimale. 43 [R] Quante sono le probabilità di azzeccare un terno secco al lotto? Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 7 SOLUZIONI 6,672 59 → 6,672 6 → 6,673 → 6,67 → 6,7 → 7. 13 (a) 823,6 ± 0,3 (b) 824 ± 3 (c) 823,64 ± 0,06 (d ) 820 ± 40 (e) 820 ± 110 ( f ) 823,6 ± 1,2 (g) 823,63 ± 0,1 (approssimando a 823,6 avremmo spostato il valore medio verso il basso di 3 centesimi, una quantità non abbastanza piccola rispetto all’incertezza). 18 Il valore più probabile è (12,38 − 1,44) kg = 10,94 kg, l’incertezza è la somma delle incertezze: (0,03 + 0,06) kg = 0,09 kg. L’acqua contenuta nel secchio pesa quindi (10,94 ± 0,09) kg. Sommando le incertezze in quadratura (meglio) 3 avremmo ottenuto 0,032 + 0,06 2 = 0,07. 25 Il volume è dato da 4π R 3/3: ponendo R = (14,46 / 2) cm = 7,23 cm si trova che 27 30 36 43 2 il valore più probabile del volume è 1583 cm3. L’incertezza assoluta sul raggio è (0,16 / 2) cm = 0,08 cm, l’incertezza percentuale è 100 × 0,08 / 7,23 = 1,11 %. L’incertezza percentuale sul cubo del raggio è il triplo: 3,33 %. Dividendo per 100 e moltiplicando per il valore più probabile del raggio al cubo (7,23 3) si ottiene che l’incertezza assoluta su R 3 è 12,59 cm3. L’incertezza sul volume è allora (4π /3) × 12,59 cm3 = 52,7 cm3, che diventa 50 cm3. La misura del volume è pertanto (1580 ± 50) cm3. Si noti che per trovare l’incertezza del volume abbiamo moltiplicato per tre (e quindi sommato tre volte) l’incertezza percentuale del raggio: non sarebbe stato corretto sommare le tre incertezze in quadratura, dato che evidentemente le tre incertezze in questione non possono considerarsi indipendenti l’una dall’altra. 25,000 m3. Se avessimo scritto 25 m3 avremmo dichiarato un’approssimazione a livello dei metri cubi, mentre nella misura originaria di 25 000 l viene dichiarata un’incertezza a livello dei litri, mille volte inferiore. 33,0. 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 (trenta zeri dopo la virgola). Il vantaggio della notazione scientifica sembra evidente... Siano A, B e C i numeri su cui si è puntato. Dato che vengono estratti 5 numeri su 90, la probabilità che A faccia parte della cinquina è 5/90. Se A è stato estratto, la probabilità che B sia uno degli altri 4 numeri estratti sono 4/89. Se B è stato estratto, la probabilità che sia stato estratto anche C sono 3/88. Il prodotto delle tre probabilità è la probabilità di uscita del terno: 8,51×10−5 (un po’ meno di 1 su 10 000).[2] Con i concetti del calcolo combinatorio: i casi che con l’estrazione della cinquina possono verificarsi sono tutte le N5 combinazioni formate da 5 dei 90 numeri disponibili (N5 è uguale al coefficiente binomiale 90 su 5, cioè a 90×89×88×87×86 / [1×2×3×4×5]); i casi favorevoli sono tutte le cinquine contenenti i tre numeri giocati, che sono tante quante sono le N2 combinazioni formate da due qualsiasi degli altri 87 numeri (N2 è uguale al coefficiente binomiale 87 su 2, cioè a 87×86 / [1×2]). La probabilità che esca il terno è il rapporto N2/N5 tra casi favorevoli e casi possibili. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 8 CAPITOLO 3 − CINEMATICA GENERALE (1) INTERDIPENDENZA TRA POSIZIONE E TEMPO 9 [R] Con riferimento al diagramma di fig.1, s (m) (a) si discuta la seguente affermazione: «il diagramma indica che il punto mobile viaggia lungo una traiettoria rettilinea»; (b) si determini il valore di s all’istante ze20 ro, un minuto dopo l’istante zero, due mit (min) 1 nuti dopo, due minuti prima, un minuto prima, tre minuti prima; Fig. 1 (c) si chiarisca in quale istante il punto mobile viene a trovarsi nella posizione di riferimento; (d ) si descriva la posizione del punto mobile all’istante zero; (e) si chiarisca se un minuto prima dell’istante zero il punto mobile sta procedendo in avanti oppure all’indietro; ( f ) si determini la lunghezza della parte di traiettoria compresa tra la posizione occupata dal punto mobile tre minuti prima dell’istante zero e la posizione occupata due minuti dopo l’istante zero. s 10 Si considerino le sei linee orarie della figu- ra a lato (fig. 2): per quale (o quali) di esse la lunghezza del percorso effettuato dal punto mobile è superiore alla lunghezza dell’arco di traiettoria compreso tra posizione iniziale e posizione finale? 11 [R] Il diagramma orario della figura a lato si riferisce alle modalità di percorrimento di una traiettoria aperta, a sua volta rappresentata in fig. 3: P ' è la posizione all’istante t ', P " è la posizione all’istante t ". Che cosa si può dire circa la posizione di riferimento? Com’è orientata la traiettoria? t Fig. 2 s P' t' t" t P" Fig. 3 12 In quale eventualità la grandezza s"− s ' rappresenta sicuramente la lunghezza di tutto il percorso effettuato nell’intervallo di tempo tra t ' e t "? Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 9 VELOCITÀ SCALARE – MOTO UNIFORME 13 Un’automobile percorre prima un tratto AB con velocità media 60 km/h, poi un tratto BC di lunghezza uguale con velocità media 120 km/h. Determinare la velocità media tra A e C. v 16 [R] La fig.15 mostra una traiettoria orient- ata aperta lungo la quale è in movimento un punto K la cui velocità dipende dal tempo nel modo indicato dal diagramma. Si chiarisca se è possibile che A e B siano rispettivamente la posizione di K all’istante t ' e all’istante t ". A B t t" t' Fig. 15 s, v 18 [R] In fig.17 la linea continua esprime la s distanza s in funzione del tempo t , la linea a tratti esprime la velocità v in funzione del tempo t . È possibile che le due linee si riferiscano al moto di uno stesso punto? v t Fig. 17 20 In base all’esame del grafico di fig.18 è v possibile affermare che: (a) all’istante t ' il punto mobile si sta t' avvicinando alla posizione di riferimento (vero / falso /...); (b) all’istante t ' il punto mobile sta viaggiando nel senso stesso della traiettoria (vero / falso /...); (c) all’istante t ' il punto mobile sta rallentando (vero / falso /... ). 3 t Fig. 18 5 25 Un punto si muove con equazione oraria s = At – 3 Bt . Si esprima la velocità in funzione del tempo. 26 [R] Un punto si muove con equazione oraria s = A cos (ω t + ϕ ), con A, ω e ϕ costanti. Determinare il valore della velocità all’istante zero. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 10 ACCELERAZIONE SCALARE - MOTO UNIFORMEMENTE VARIO [3] 27 È impossibile che il diagramma orario presenti angolosità [4] (vero / falso). 29 [R] La velocità di un punto K è v = 6 t − 4 (unità SI). Si esprima in funzione del tempo la distanza di K dalla posizione occupata all’istante zero. 34 Un corpo lanciato verticalmente in assenza d’aria ha, a un dato istante, velocità 6 m/s verso l’alto. Si descriva la sua velocità dopo 1 s. 38 Dal punto di vista della velocità di arrivo al suolo, lanciare un corpo vertical- mente verso l’alto o verso il basso con una stessa velocità sarebbe, in assenza d’aria, esattamente lo stesso (vero / falso). 39 [R] Con quale velocità occorre lanciare un sasso verso l’alto nel vuoto, se vo- gliamo che dopo 1 s si trovi a quota 100 m? 40 Si vuole lanciare un sasso verticalmente verso l’alto in modo che la fase di sali- ta duri cinque secondi. Quale dovrebbe essere la velocità di lancio in assenza d’aria? 42 Un punto P è in movimento con legge oraria s = t 3 − 5 t 2 (unità SI). (a) Si esprimano la velocità scalare e l’accelerazione scalare di P in funzione del tempo. (b) Si determini il valore medio della velocità e dell’accelerazione scalare nell’intervallo di tempo tra t 1 = 3 s e t 2 = 9 s. 4 4 * [R] Un punto P è in movimento con accelerazione a = 3 − 4 s (unità SI). Sa- pendo che per s = 0 la velocità è v = 8 m/s, si esprima la velocità di P in funzione della posizione. 46 *Un sasso, lanciato verticalmente verso l’alto, si trova a un dato istante in una data posizione P, e 1 s più tardi nella stessa posizione: si determini il dislivello tra P e la posizione più elevata raggiunta dal sasso. 47 *Un corpo K in moto uniformemente vario è stato fotografato ogni 2 s, e si è osservato che la distanza percorsa da K tra un fotogramma e il successivo aumenta di 10 cm ad ogni fotogramma. Determinare l’accelerazione di K . 49 *[R] La velocità di un punto è v = v 0 e − k t (unità internazionali, con k = 1,2 s−1 e v 0 = 3 m/s). Determinare la distanza percorsa da P nei tre secondi successivi all’istante t 1 = −5 s. 50 *L’accelerazione di un punto P è funzione lineare decrescente della sua velo- cità. All’istante t = 0 è v = 0, a = 3 m/s2. Quando v = 20 m/s l’accelerazione è a = 2 m/s2. Quanto tempo occorre a P per raggiungere la velocità di 40 m/s? 3 Nel testo è denominato uniformemente vario il moto nel quale la velocità scalare è funzione di primo grado del tempo, e uniformemente accelerato il moto in cui il vettore accelerazione è costante in valore e direzione lungo la traiettoria. 4 Punti cioè in corrispondenza dei quali esistono due distinte tangenti alla curva. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 11 ACCELERAZIONE VETTORIALE r a? 51 La fig. 32 mostra la traiettoria percorsa da un pun- to K. È possibile che i due vettori abbiano il significato suggerito in figura? K r v? Fig. 32 52 È impossibile che, nel moto di un punto, il vettore velocità e il vettore accelerazione si mantengano costantemente perpendicolari l’uno all’altro (vero / falso). 55 [R] Dire che l’accelerazione scalare è positiva equivale a dire che l’accelera- zione tangenziale è diretta come la velocità (vero / falso). r r 56 [R] (a) Il modulo del vettore a y (componente y del vettore a ) è dato dal valore assoluto della pendenza del grafico che fornisce la componente y della velocità in funzione del tempo (vero / falso). (b) * Il componente trasversale del vettore accelerazione misura la rapidità con cui è in variazione la componente del vettore velocità nella direzione della normale alla traiettoria (vero / falso). (c) * Il componente tangenziale del vettore accelerazione misura la rapidità con cui è in variazione la componente del vettore velocità nella direzione della tangente alla traiettoria (vero / falso). l’intervallo di tempo tra t ' e t " (diagramma orario di fig. 33/A) si verifichi per il punto P la situazione rappresentata in fig. 33/B. r a s 58 Si chiarisca se è possibile che nel- P t' Fig. 33 / B r v v t' Fig. 34 / B v t" t r a r v 90° t' Fig. 35 / A Fig. 35 / B s 61 Stabilire se all’istante t 1 (fig. 36) l’an- golo tra velocità e accelerazione è acuto oppure ottuso. E all’istante t 2 , al quale corrisponde un massimo nel valore della distanza s ? E all’istante t 3 ? P r a t Fig. 34 / A 60 [R] Si chiarisca se è possibile che nell’intervallo di tempo tra t ' e t " (fig. 35/A) si verifichi per il punto P la situazione rappresentata in fig. 35/B. t Fig. 33 / A 59 Si chiarisca se è possibile che al- l’istante t ' (fig. 34/A) si verifichi per il punto P la situazione mostrata in fig. 34/B. t" t t1 t2 t3 Fig. 36 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 12 64 *È possibile che il componente trasversale dell’accelerazione abbia direzione costante lungo la traiettoria? 65 *[R] In corrispondenza dell’istante s t ' (fig.37) il grafico presenta un t punto di flesso. Che cosa si può dit' re circa l’angolo che il vettore velocità forma col vettore acceleFig. 37 razione in tale istante? r 66 Dato che l’accelerazione g di gravità ha modulo 9,8 m/s2, l’accelerazione scalare di un punto materiale soggetto solo al proprio peso può valere solo ± 9,8 m/s2 (vero / falso). 67 [R] Un punto si muove con equazione oraria s = 3 − 3 t 2 (unità CGS). (a) Si chiarisca se due secondi prima dell’istante zero l’angolo tra i vettori velocità e accelerazione è acuto, oppure retto, oppure ottuso. (b) Si determini il modulo del vettore accelerazione in tale istante, assumendo che il raggio di curvatura sia r = 18 cm. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 13 SOLUZIONI 9 (a) Falso: il diagramma non fornisce indicazioni sulla forma della traiettoria. (b) Per t = 0, s = 40 m. Un minuto dopo l’istante zero, s = 60 m. Due minuti dopo, s = 80 m. Due minuti prima dell’istante zero, s = 0. Un minuto prima, s = 20 m. Tre minuti prima, s = −20 m. (c) Due minuti prima dell’istante zero, quando s = 0. (d ) Essendo in tale istante s = 40 m, a 40 m di distanza (misurati lungo la traiettoria e nel senso della traiettoria) dalla posizione di riferimento. (e) In avanti, visto che la distanza s dal riferimento sta aumentando col passare del tempo. ( f ) È la grandezza s " − s ', riferita agli istanti t " = 2 min (a cui corrisponde s " = 80 m) e t ' = −3 min (a cui corrisponde s ' = −20 m). La lunghezza richiesta è pertanto 100 m. 11 Il fatto che (vedi diagramma orario) s ' sia positiva ed s " negativa significa che P ' si trova sul ramo positivo della traiettoria, e P " sul ramo negativo: quindi R è tra P ' e P " (più vicino a P ", perché la distanza s " è in valore assoluto inferiore a s '). La traiettoria è orientata da P " verso P '. 16 No: il diagramma mostra che in tutto l’intervallo di tempo considerato la velo- cità si mantiene a valori positivi, il che significa che K viaggia nel senso della traiettoria. Perciò la posizione finale B non può, rispetto a tale senso, precedere la posizione iniziale. 18 No, le due linee danno indicazioni del tutto contrastanti. Per esempio, nei due istanti in cui il grafico delle velocità dà un valore nullo, la pendenza del grafico delle distanze è diversa da zero; subito dopo il primo di tali istanti la velocità assume valori positivi, mentre la pendenza del grafico delle distanze è negativa; nell’istante in cui il grafico delle distanze ha pendenza zero il grafico delle velocità indica s, v un valore diverso da zero... e così via. Il gras fico delle velocità potrebbe invece essere t rappresentato da una retta a pendenza posiv tiva (fig. 2), che interseca l’asse dei tempi nell’istante in cui la distanza s assume il Fig. 2 massimo valore negativo. 26 Risulta v = ds /dt = −ω A sen(ω t + ϕ ). Per t = 0, v = − ω A senϕ . 29 La grandezza richiesta è s − s0 . Essendo v funzione di primo grado di t , il mo- to è uniformemente vario, per cui s − s0 = v 0 t + at 2/2. La relazione tra v e t mostra che, in unità SI, il valore numerico di v 0 è − 4, e che quello di a è 6. Pertanto, la distanza di K dalla posizione occupata all’istante zero è s − s0 = = − 4 t + 3 t 2, come si ottiene del resto per integrazione della funzione v = v (t). Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 14 39 Occorre che nel primo secondo di volo la velocità media del sasso sia di 100 m/s. Essendo il moto del sasso, in assenza d’aria, uniformemente vario, la sua velocità media è semplicemente la media aritmetica tra la velocità iniziale e la velocità finale. Dato che durante il primo secondo di volo la velocità del sasso è diminuita di 9,8 m/s, la velocità iniziale è (100 + ½ 9,8) m/s, la velocità finale (100 − ½ 9,8) m/s. Perciò la velocità di lancio è 104,9 m/s (mentre a 100 m d’altezza è v = 95,1 m/s). Lo stesso risultato si ottiene ovviamente ponendo y − y 0 = 100 m, t = 1 s e a = − 9,8 m/s2 nella relazione y − y 0 = v 0 t − at 2 /2. 44 Essendo a = d v /dt e v = d s /d t, dividendo membro a membro si ottiene a ds = = v dv. Integrando, [ = v2/ 2 ] v 8 ∫ s 0 a ds = ∫ v v ( s =0) v dv . Posto a = 3 − 4s si ottiene 3s − 2s 2 = = v 2 /2 − 32. Pertanto v = ± 49 Per definizione s(t) = s 0 + ∫ t 0 6s − 4 s 2 + 64 (unità S.I.). v dt , e nel nostro caso s(t) = s 0 + ∫ t 0 v 0 e − k t dt = = s0 + (v 0 / k) (1 − e − k t ). Con riferimento agli istanti t 1 = −5 s e t 2 = (−5+3) s = − 2 s risulta s2 − s1 = ( v 0 / k) (1 − e − k t 2 − 1 + e − k t1 ) = [(3/1,2) (−e1, 2× 2 + e1, 2×5 ) ]m = 981 m. r 55 Falso: se l’accelerazione tangenziale è diretta come v , la velocità (valore assoluto) è in aumento, mentre invece l’accelerazione scalare risulta positiva anche quando il punto mobile procede con velocità negativa e sta rallentando (pendenza positiva nel grafico v, t). r 56 (a) Vero, dato che il modulo di a y misura la rapidità di variazione del componente y della velocità. P (b) Vero. Si osservi la fig.9: la componente di r v nella direzione della normale alla traiettoria n in una data posizione P è ovviamente zero quando il punto mobile è in P, ma, se la traietFig. 9 toria non ha in P andamento rettilineo, è diversa da zero sia prima che dopo tale posizione: se ad esempio supponiamo che la normale r n sia orientata verso il centro di curvatura, la componente di v in tale direzione è negativa prima di P, positiva dopo P. Pertanto in P, dove vale zero, è in variazione. (c) Vero, per ragioni analoghe a quelle esposte al punto (b). Supponiamo ad esempio che il moto sia uniforme: in un qualsiasi punto P l’accelerazione tanr genziale è zero perché la componente di v nella direzione della tangente alla traiettoria in P è più grande che nelle posizioni precedenti e successive, il che significa che nel relativo diagramma temporale la pendenza è zero. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 15 60 Sì, ma solo nell’istante in cui la velocità raggiunge il massimo valore, e quindi è zero la pendenza del grafico v, t. La seconda figura indica infatti che, essendo r r a e v perpendicolari, non c’è accelerazione tangenziale (ed è quindi zero anche l’accelerazione scalare). 65 All’istante t ' la pendenza (la velocità) è massima. Perciò nel grafico v, t la pendenza è zero, il che significa che in tale istante non c’è accelerazione tangenziale. Se il vettore accelerazione è diverso da zero (il che richiede che la traiettoria non abbia andamento rettilineo), è perpendicolare al vettore velocità. 67 (a) Il moto è uniformemente vario, la relazione tra v e t è v = − 6 t. Per t = = −2 s risulta v = 12 cm/s. Essendo positiva la velocità e negativa l’accelerazione (scalare), il valore di v sta diminuendo: dunque il componente tangenr ziale dell’accelerazione è diretto in senso opposto a v , il che significa che r r l’angolo tra v e a è maggiore di 90°. r (b) Il componente tangenziale di a ha modulo costante 6 cm/s2. Il componente trasversale ha modulo v 2 /r = (12 2 cm2/s2) / (18 cm) = 8 cm/s2. Per il teorema di Pitagora, il modulo dell’accelerazione è a = atg2 + an2 = 10 cm/s2. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 16 CAPITOLO 4 − CINEMATICA GENERALE (2) GRANDEZZE CINEMATICHE ANGOLARI 2 Trovare in che rapporto stanno, in un orologio, le velocità angolari delle lancette delle ore, dei minuti e dei secondi. 5 [R] Tenuto conto che all’equatore il raggio terrestre è circa 6380 km, si determinino velocità e accelerazione di un punto A posto sulla superficie terrestre all’equatore, e di un punto B posto sulla superficie terrestre a 60° di latitudine. 7 Un punto si muove di moto uniforme con velocità v lungo una circonferenza di raggio R. Determinare: (a) l’equazione oraria in termini angolari, (b) l’equazione analitica della traiettoria, (c) l’equazione parametrica della traiettoria, (d) l’espressione del raggio vettore in funzione del tempo, (e) l’espressione dell’accelerazione in funzione del tempo. 10 [R] Un punto P è in movimento nel piano xy lungo una circonferenza di raggio R con centro nell’origine O degli assi. La posizione di P è definita dall’angolo r ϕ = 3t + t 2 (unità SI) formato dal raggio vettore r = OP con l’asse delle x e misurato in senso antiorario. Determinare: (a) la legge oraria, r r (b) la velocità angolare ω e l’accelerazione angolare α in funzione di t, r r r (c) la posizione r , la velocità v , l’accelerazione normale an , l’accelerazione r tangenziale at in funzione di t. r r 11 Un punto P è in movimento nel piano xy con velocità angolare ω = 10 u z (unità SI) lungo una circonferenza centrata nell’origine O degli assi. A un dato r r r istante la posizione di P rispetto a O è definita da r = 0,5 u x + 0,1 u y (unità SI): si calcolino i vettori velocità e accelerazione corrispondenti. 12 * [R] (a) Calcolare la velocità media scalare e vettoriale tra t 1 = 0 e t 2 = 2 s per un punto P il cui moto è descritto dalle equazioni x = R cos kt 3, y = R sen kt 3 (con R = 0,1 m, k = π s−3). (b) * Determinare i vettori velocità e accelerazione all’istante t 2 . Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 17 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 13 Un sasso è stato lanciato in aria. Durante un intervallo di tempo di 1 s, lo spo- stamento orizzontale è stato di 15 m verso Est, lo spostamento verticale di 2 m verso l’alto. Supponendo ininfluente la presenza d’aria, determinare lo spostamento subìto dal sasso durante il secondo immediatamente precedente e durante il secondo immediatamente successivo. 16 *[R] In quale direzione occorrerebbe mirare per colpire un bersaglio sospeso a un filo, sapendo che, all’istante stesso in cui parte il colpo, il filo viene tagliato? 17 *Con riferimento al quesito precedente si discuta il seguente problema: in qua- le direzione occorre mirare sapendo che il bersaglio rimane immobile? MOTO ARMONICO 20 [R] Un punto P oscilla di moto armonico tra A e B, con centro in O. Sia H il punto medio del segmento AO: senza utilizzare le equazioni del moto armonico, si trovi quale frazione del periodo T è necessaria a P per spostarsi da un estremo all’altro, da un estremo al centro O, da A ad H, da H ad O. 23 Moto armonico: a 6 cm di distanza dal centro dell’oscillazione il modulo del vettore accelerazione è 1,5 m/s2. Quanti secondi impiega il punto oscillante a passare da una posizione di massima velocità positiva alla posizione di massima accelerazione positiva immediatamente successiva? 25 Moto armonico con periodo 24 s: se, a un dato istante, l’accelerazione ha il suo valore massimo, dopo quanto tempo il suo valore si è dimezzato? 27 L’estremo A di un segmento di lunghezza L (fig.15) si muove di moto uniforme su una circonferenza di centro O e raggio L/3, mentre l’estremo B si muove su una retta passante per O, oscillando avanti e indietro. Si chiarisca se l’oscillazione di B può definirsi armonica. A B Fig. 15 29 [R] Sull’asse x un punto P ' oscilla di moto armonico, sull’asse y il punto P" oscilla a sua volta di moto armonico con uguale ampiezza (5 cm) e uguale periodo (3,4 s), ma con un ritardo di fase pari a 85/100 di secondo. Stabilire se, componendo i due moti oscillatori, si ottiene un moto circolare uniforme. (a) Sì (determinare velocità e accelerazione del moto risultante, e stabilire se avviene in senso orario oppure antiorario). (b) No (spiegare). Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 18 31 [R] Componendo un moto armonico in direzione y con un moto uniforme in direzione x (ortogonale alla precedente) si ottiene un moto uniforme su una traiettoria sinusoidale (vero/falso). 33 [R] Si trovi in che modo nel moto armonico si corrispondono velocità e posi- zione. 34 * [R] Un punto K oscilla di moto armonico con ampiezza R e frequenza f . Si determini quale frazione del periodo T deve passare come minimo tra un istante in cui l’elongazione è − R /2 con velocità negativa e un successivo istante in cui l’elongazione è R /3 con velocità positiva. 35 * Un punto K oscilla di moto armonico con periodo T. Note l’elongazione x 0 e la velocità v 0 all’istante t = 0, si determini la velocità massima raggiunta da K durante il moto. 36 * [R] Il punto P oscilla di moto armonico con periodo T : all’istante t 1 la veloci- tà è v 1 , all’istante t 2 la velocità è v 2 . Si scriva l’equazione oraria. 38 * Si chiarisca che cosa si ottiene dalla composizione di un moto armonico in direzione x con un moto armonico in direzione y (perpendicolare alla precedente) quando le due oscillazioni (a) hanno uguale ampiezza e sono in fase, (b) hanno uguale ampiezza ma sono sfasate di mezzo periodo, (c) hanno uguale ampiezza ma sono sfasate di un quarto di periodo, (d) hanno diversa ampiezza e sono sfasate di un quarto di periodo. CINEMATICA RELATIVA 40 Supponiamo che nel riferimento K il moto del riferimento K ' risulti traslatorio, rettilineo e uniforme: in tal caso, se in K si considera rettilineo e uniforme il moto di un punto, anche in K ' si esprime lo stesso giudizio (vero/falso). 41 L’intero sistema rappresentato in fig.16 (carru- cola + due blocchi collegati tramite un filo inestensibile che scivola nella gola della carrucola) è in movimento in direzione verticale. Si dimostri r r che la velocità v e l’accelerazione a della carrucola sono la media aritmetica delle velocità e delle accelerazioni dei due blocchi. Si chiarisca se lo stesso risultato vale anche per i moduli dei vettori velocità e accelerazione. 1 2 Fig. 16 42 In quale o quali eventualità l’accelerazione di Coriolis risulta uguale a zero? 43 [R] Su un ascensore in caduta libera, un uomo lancia una pallina verso l’alto: che moto osserva prima e dopo l’urto contro il soffitto? Che moto osserverebbe se la direzione di lancio non fosse verticale? Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 19 45 Una barca si sposta alla velocità di 4 km/h rispetto all’acqua. Supponiamo che la barca debba attraversare un fiume largo 4 km, con una corrente che viaggia alla velocità di 2 km/h. (a) In quale direzione occorrerà dirigere la barca se si vuole che raggiunga il punto opposto a quello di partenza? (b) Quanto tempo occorrerà in tal caso per l’attraversamento del fiume? (c) Se si volesse attraversare il fiume nel più breve tempo possibile, in quale direzione bisognerebbe dirigere la barca? (d) Quanto tempo sarebbe necessario per compiere un tragitto di 12 km nel senso della corrente, per poi tornare al punto di partenza? 47 [R] Si spieghi che giudizio dà un osservatore, posto su una ruota panoramica in rotazione con velocità angolare ω , sull’accelerazione di un corpo C soggetto solo alla forza peso. 49 [R] Una pallina si stacca dalla sommità di un’asta verticale fissata a un carrello che procede in linea retta. Posto che la presenza di aria risulti ininfluente, si spieghi come viene valutato il moto della pallina nel riferimento K ' del carrello e nel riferimento fisso K, considerando sia il caso di moto uniforme del carrello che il caso di moto uniformemente vario. 51 Una piattaforma ruota attorno a un asse verticale z in senso antiorario con ve- locità angolare costante ω = 1,2 rad/s. Si spieghi quale giudizio viene dato nel riferimento della piattaforma relativamente alla velocità e all’accelerazione di un sasso, lasciato cadere da un punto fisso P, nel momento in cui giunge all’altezza della piattaforma. La distanza di P dall’asse z è d = 5 m, l’altezza di P sulla piattaforma è H = 11 m. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 20 SOLUZIONI 5 La velocità angolare della Terra è 2π rad/d ≈ (2π / 86400) rad/s = 7,27 × 10−5 rad/s. All’equatore, la velocità è v = ω R = 7,27 × 10−5 rad/s × 6,38 × 10 6 m = = 464 m/s, l’accelerazione è v 2/R = (464 m/s)2 / (6,38 × 10 6 m) = 0,0337 m/s2. Si noti che la velocità è largamente supersonica, poiché supera di circa il 34% la velocità del suono in aria (≈ 345 m/s a 20° C). A 60° di latitudine la distanza dall’asse di rotazione (il raggio della circonferenza) è la metà, per cui, essendo ω la stessa, sono dimezzate sia la velocità ω R che l’accelerazione ω 2R. 10 (a) L’equazione oraria è s = ϕ R = (3 t + t 2)R. r r (b) La velocità angolare è ω = ω u z , con ω = dϕ /dt = 3 + 2t. r r L’accelerazione angolare è α = α u z , con α = dω /dt = 2(s − 2 ). r r r (c) La posizione è r = R u r , dove u r è un versore (di componenti cartesiane r r r cosϕ e senϕ ) diretto come il vettore posizione: u r = (cosϕ ) u x + (senϕ ) u y . r r r r r La velocità è v = ω R u tg , dove ω = 3 + 2t, u tg = du r /dϕ [5] = (− senϕ ) u x + r + (cosϕ ) u y , ϕ = 3 t + t 2. r r r r v L’accelerazione normale è an = ω 2R un , con un = du tg /dϕ [1] = (− cosϕ ) u x − r r r r − (senϕ) u y . L’accelerazione tangenziale è atg = (d2s / dt2) u tg = 2R u tg . r r r 12 Dato che è r = ( r cos ϕ ) u x + ( r senϕ ) u y (con ϕ = t ∫ 0ω dt + ϕ 0 = ω t + ϕ 0), e dato che per ipotesi all’istante considerato r cosϕ = 0,5 m e r senϕ = 0,1 m, r r r r r sarà v = dr / dt = (−ω r sen ϕ ) u x + (ω r cos ϕ ) u y , e all’istante considerato v r r r r = (−10×0,1m/s) u x + (10 × 0,5m/s) u y = (−1 m/s) u x + (5 m/s) u y . Dato poi che r r r r r a = dv / dt = (−ω 2 r cos ϕ ) u x + (−ω 2 r senϕ ) u y , in tale istante risulta a = r r r r = (−102 × 0,5 m/s2) u x + (−102 × 0,1 m/s2) u y = (−50 m/s2) u x + (−10 m/s2) u y . Agli stessi risultati si poteva pervenire in base alla considerazione che è r r r r r r v = ω ∧ r e in questo specifico caso (moto circolare uniforme) a = ω ∧ v , ed eseguendo i due prodotti vettoriali secondo le r v0t A note regole, tenuto conto che è ω x = ω y = 0, ω z = 10 s−1, rx = 0,5 m, ry = 0,1 m, rz = 0. 16 Esattamente in direzione del bersaglio. Sia infatti O (fig. 2) la posizione iniziale del proiettile, sia A la posizione iniziale del bersaglio, e imponiamo che il bersaglio e il proiettile si trovino a un dato istante in una stessa posizione P. Con riferimento al moto del pro- r v0 O r g 2 t 2 P 5 Si veda la risposta 41 del cap.1. Fig. 2 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 21 r r g iettile, la posizione di P rispetto a O è OP = v0 t + t 2 . Con riferimento al 2 r g moto del bersaglio, la posizione di P rispetto a O è OP = OA + t 2 . Per con2 r fronto tra le due espressioni di OP otteniamo v0 t = OA , il che significa che la r velocità iniziale v0 del proiettile è diretta da O verso A. Si noti che in tal caso r OA inil bersaglio viene raggiunto per qualsiasi valore di v0 (in un tempo t = v0 versamente proporzionale a v 0 , e a una distanza gt 2/2, direttamente proporzionale al quadrato di t e quindi inversamente proporzionale al quadrato di v 0 , dalr la sua posizione iniziale A). Al variare di v0 varia naturalmente la forma della r parabola descritta dal proiettile (man mano che il valore di v0 diminuisce, diminuiscono anche la distanza verticale e la distanza orizzontale del vertice della parabola dal punto di lancio). Altra soluzione. Poniamoci nel riferimento cary tesiano per il quale il moto del sasso è descritto r dalla [A] e dalla [B] della risposta 15. Durante H v0 il tempo T necessario al proiettile per coprire la ϕ distanza orizzontale d che lo separa dalla vertix d cale passante per il bersaglio (fig. 3), la y del bersaglio (inizialmente uguale ad H ) diventa y ' = H − (g /2) T 2, mentre la y del proiettile (inizialmente nulla) diventa y " = (v 0 senϕ ) T − Fig. 3 − (g /2) T 2. Il proiettile colpisce il bersaglio se y ' = y ", se quindi H = (v 0 senϕ ) T. Dato che è T = d / (v 0 cosϕ ), la condizione perché il bersaglio venga colpito è d tgϕ = H , rer lazione che è verificata solo quando la velocità di lancio v0 è diretta verso il bersaglio. 20 Da A a B (fig.7) mezzo periodo, da A a O un G F quarto di periodo, da A ad H un sesto di periodo (il punto immaginario rotante di moto uniforme, da cui P si può pensare ottenuto per proiezione, deve portarsi da A ad F, con uno spostamento angolare di 60°), da H a O un doB A H O dicesimo di periodo (il punto rotante deve suFig. 7 bire uno spostamento angolare di 30°). 29 Sì, perché 85/100 di secondo sono 1/4 del periodo. La velocità del moto risultante si può ottenere ad esempio moltiplicando la lunghezza C della circonferenza (C = 2π R = 2π × 5 cm) per la frequenza f = 1/ T = (1/3,4) Hz = 0,294 Hz. Si ottiene v = Cf = (2π × 5 × 0,294) cm/s = 9,23 cm/s. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 22 L’accelerazione è a = v 2/ R = (9,23 cm/s)2 / (5 cm) = 17,0 cm/s2. Dato che il massimo positivo della velocità si verifica prima per P ' e poi, con un ritardo di 1/4 di periodo, per P ", il moto risultante è antiorario. 31 Detta y 0 l’ordinata del centro dell’oscil- y lazione su y (fig.10), l’equazione oraria su K y è del tipo y = y 0 + A cosω t . L’equazione oraria sull’asse x è del tipo x = vt, da cui t x = x / v. Ponendo questo valore di t nell’equazione oraria che descrive il moto su Fig. 10 y , si ottiene che y è funzione sinusoidale di x: la traiettoria è una sinusoide. Il moto risultante non è però uniforme perché il valore della velocità risultante varia nel tempo: è infatti costante il suo componente x, ma non il componente y. La velocità del punto K che procede lungo la sinusoide è massima quando è massimo il valore del suo componente y , quindi sull’asse della sinusoide. Ed è minima quando il suo componente y è nullo, quindi alla massima distanza dall’asse della sinusoide. 33 Facendo sistema della v = d x /d t e della a = y = d v /d t si ottiene a d x = v d v. Ma nel moto armonico è a = −ω 2 x , perciò v d v = − ω 2 x d x . Integriamo ora tra x = R (elongazione massima, v = 0) e una generica x (dove la velocità è v): ∫ v 0 v dv = − ω 2 ∫ x R K x x dx . Otteniamo in tal modo v 2 = ω 2 (R 2 − x 2 ), e quindi v = ± ω R 2 − x 2 = Fig. 11 = ± ω y , avendo indicato con y (fig.11) l’ordinata di un punto K che procede di moto uniforme su una circonferenza di raggio R e genera per proiezione su x il moto armonico considerato. La circonferenza stessa può quindi essere considerata il grafico che dà la velocità in funzione della posizione, se nella scala delle ordinate una lunghezza y rappresenta una velocità ω y . 34 L’equazione del moto è x = R cosω t, la velocità è v = d x /d t = − ω R senω t. All’istante t 1 è x 1 = R cosω t 1 = −R /2, dunque ω t1 = 2π /3 oppure 4π /3. Dovendo nello stesso istante essere negativa la velocità v1 = −ω R senω t 1, l’angolo ω t 1 è in realtà compreso tra 0 e π , per cui delle due soluzioni trovate scegliamo la prima: ω t 1 = = 2π /3. All’istante t 2 è x 2 = R cosω t 2 = R /3, per cui ω t 2 = 1,23 oppure 2π − 1,23 = 5,05. La velocità v 2 = −ω R senω t 2 è però per ipotesi positiva, quindi ω t 2 è compreso tra π e 2π , perciò scegliamo ω t 2 y P1 α1 x α2 P2 Fig. 12 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 23 = 5,05. Dunque, t 2 − t 1 = (ω t 2 − ω t 1) /ω = (5,05 − 2π /3) /(2π / T ) = 0,471 T. In fig.12 sono rappresentate le posizioni del punto oscillante ai due istanti derati, e le corrispondenti posizioni del punto rotante P da cui il moto armonico può essere desunto per proiezione. 36 Occorre determinare il valore dell’ampiezza R e della fase iniziale ϕ 0 nel- l’equazione x = R cos (ω t + ϕ 0), in cui ω = 2π / T . In base ai dati risulta [B] v 2 = −ω R sen (ω t 2 +ϕ 0). Vale a dire: [A] v 1 = −ω R sen (ω t 1 +ϕ 0), v 1 = −ω R (senω t 1 cosϕ 0 + cosω t 1 senϕ 0) v 2 = −ω R (senω t 2 cosϕ 0 + cosω t 2 senϕ 0). Dividendo membro a membro e dividendo poi ancora per cosϕ 0 si ottiene [C ] ϕ 0 = arctg [(v 2 senω t 1 − v 1 senω t 2) / (v 1 cosω t 2 − v 2 cosω t 1)]. Dalla [A] otteniamo infine R = − v 1 / ω sen (ω t 1 +ϕ 0). [D] La [C ] non determina per ϕ 0 un unico valore, ma due valori la cui differenza è π . L’ambiguità si supera considerando che a secondo membro della [D] dobbiamo avere un valore positivo. Pertanto, se v 1 (dato del problema) è > 0 deve essere sen (ω t 1 +ϕ 0) < 0, il che significa che ω t 1 +ϕ 0 deve essere compreso tra π e 2π . Se invece è v 1 < 0, ω t 1 +ϕ 0 deve essere compreso tra 0 e π . 43 L’accelerazione di Coriolis è zero: pertanto anche l’accelerazione relativa (dif- ferenza tra accelerazione assoluta e accelerazione di trascinamento, in questo r caso uguali entrambe a g ) è zero. Tutto va, nel riferimento dell’ascensore, come se la pallina fosse priva di peso: indipendentemente dalla direzione di lancio, il moto osservato è rettilineo e uniforme, sia prima che dopo l’urto contro il soffitto dell’ascensore. 47 Rispetto all’osservatore fisso, la «navetta» in cui si trova K ' si muove di moto traslatorio (non rotatorio!), dato che si mantiene sempre parallela a sé stessa: r pertanto, niente accelerazione di Coriolis. La velocità angolare ω della ruota r vK ' r v tr K' r aK ' C r a tr r g r g' Fig. 18 r v r v' Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 24 r r interviene a determinare l’accelerazione a tr = a K ' di trascinamento del corpo r C : il modulo di a tr è ω 2 r , dove r è il raggio della circonferenza (tratteggiata in fig. 18, pag. seguente) che C percorrerebbe se, nella posizione in cui si trova, r fosse rigidamente collegato con K '. La direzione di a tr è da C verso il centro r r r di tale circonferenza. Risulta g ' = g − a tr . 49 Moto uniforme: sia V la velocità del carrello (e cioè la velocità di trascinamen- to). Nel riferimento fisso K la velocità della pallina è vx = V, vy = gt (asse y diretto verso il basso), perciò, posto che inizialmente sia per la pallina x = y = 0, risulta x = Vt , y = gt 2/2 = gx 2/2V 2 (parabola ad asse verticale). Nel riferimento del carrello è invece v 'x = v x − V = 0, v 'y = v y = gt (traiettoria verticale). Moto uniformemente vario: sia V + at la velocità del carrello (e quindi la velocità di trascinamento). Nel riferimento K tutto va come nel caso precedente (v x = V, v y = gt , vedi fig. 21, pag. seguente). Rispetto invece a K ' è v 'x = = v x − (V + at ) = − at , v 'y = v y = gt . Dunque, v y / v x = − g / a (la traiettoria è rettilinea, la componente x della velocità è negativa quando l’accelerazione scalare a del carrello è positiva, come in fig. 21 e 22). x y r v r a r v r a Fig. 21 – Che cosa si osserva nel riferimento del laboratorio. Fig. 22 – Che cosa si osserva nel riferimento del carrello. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 25 CAPITOLO 5 − CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO 1 8 [R] Sapendo che i punti P e Q appartengono a uno stesso corpo rigido, sarebbe possibile assegnare ad arbitrio il valore e la direzione delle rispettive velocità? Un cilindro rotola senza strisciare su una superficie d’appoggio a sua volta cilindrica (fig. 13). Si chiarisca se tale movimento può essere descritto come rototraslatorio. Fig. 13 10 [R] Un disco appoggia di taglio su un piano orizzontale, lungo il quale può ruotare senza scivolare. Se appoggiamo sul disco (fig.14) una tavola di lunghezza L e la facciamo scorrere in senso orizzontale in modo che mantenga il contatto col disco senza mai scivolare, di quanto, al massimo, riusciamo a far avanzare la tavola? Dobbiamo aspettarci che la risposta dipenda dal raggio del disco? 11 Una tavola, appoggiata a una parete in condizioni di equilibrio precario (fig.15), a un tratto comincia a scivolare. Si determini l’inclinazione della tavola nell’istante in cui il suo estremo inferiore B ha una velocità tre volte più grande di quella dell’estremo superiore A. Fig. 14 Fig. 15 r vA 12 La figura a lato (fig. 16) mostra la sezione trasversale di un cilindro il cui asse geor metrico sta traslando con velocità vC . Sapendo che la velocità del punto A è r r v A = 1,5 vC , si determini la velocità del punto B. B r vC C Fig. 16 C' 13 [R] Con riferimento alla figura a lato (fig. 17), che mostra un triangolo in due diverse posizioni su uno stesso piano, si individui la posizione dell’asse dello spostamento rotatorio che porta il triangolo da una posizione all’altra. A B A' A C B' Fig. 17 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 26 15 * [R] Un disco omogeneo di raggio R (fig.18) rotola senza strisciare giù per un piano avente inclinazione ϕ sull’orizzontale, soggetto solo al peso e alla reazione del piano d’appoggio. Tenuto conto che l’accelerazione del centro del disco è (2/3) g senϕ , si spieghi come si potrebbe determinare l’accelerazione del punto di contatto C e di un generico punto A. A C Fig. 18 16 Un cono di vertice V e apertura ϕ (fig.19) ro- tola senza strisciare lungo un piano orizzontale ruotando con velocità angolare ω attorno al proprio asse geometrico e con velocità angolare Ω attorno alla verticale z condotta per V. Si trovi in che rapporto stanno le due velocità angolari, e si determinino in funzione dei dati velocità e accelerazione del punto A del cono più lontano dal piano d’appoggio. A z ϕ V Fig. 19 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 27 SOLUZIONI 1 r vP No. Dovendo mantenersi costante la distanza tra P e Q (fig.1), occorre che le due velocità siano identiche nella direzione della retta PQ (le due velocità devono cioè avere identici componenti in tale direzione). P Q r vQ Fig. 1 10 Dato che le velocità dei punti del disco sono quelle di un moto di rotazione at- torno alla linea di contatto col terreno, i punti a contatto con la tavola, e quindi anche i punti della la tavola, hanno velocità doppia rispetto all’asse del disco: in uno stesso intervallo di tempo la tavola subisce pertanto uno spostamento doppio rispetto al disco. Se la tavola si sposta verso destra in misura pari alla sua lunghezza L (fig.3), il disco si sposta di L /2 e viene quindi a trovarsi al centro della tavola. Se la tavola si sposta ancora di L , il disco si sposta di L /2 e viene con ciò a trovarsi all’estremità di sinistra della tavola. Dunque, il massimo spostamento che può subire la tavola è il doppio della sua lunghezza, indipendenteFig. 3 mente dal raggio del disco. 13 In fig.7, il punto O, intersezione dell’asse geometrico del segmento AA ' con l’asse geometrico del segmento BB ', risulta equidistante dalle posizioni iniziale e finale di qualsiasi altro punto del triangolo, ad esempio da C e da C '. Si può dunque portare il triangolo dalla posizione iniziale a quella finale mediante una rotazione attorno a un asse ortogonale al piano del triangolo e passante da O. C' B A' A O C B' Fig. 7 15 A differenza della velocità, l’accelerazione non può essere calcolata assu- mendo che il disco stia ruotando attorno al punto di contatto C : a un dato istante, le velocità dei diversi punti sono in effetti quelle stesse che corrispondono a un ipotetico moto di rotazione attorno a C, ma immediatamente prima e immediatamente dopo sono diverse (ad esempio, nel moto di rotolamento il punto del disco a contatto del piano d’appoggio ha velocità zero all’istante del contatto, ma diversa da zero prima e dopo, mentre in un moto di rotazione attorno a C avrebbe velocità costantemente nulla). Perciò l’accelerazione, che dipende da come varia la velocità, è diversa nei due casi. In un riferimento K ' che trasla parallelamente al piano inclinato con la ve- Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 28 locità v = v0 + (2/3) (g senϕ ) t = ω R del centro del disco, i punti posti a distanza R dal centro hanno tutti in uno stesso istante la stessa velocità ω R (la velocità del centro del disco nel riferimento fisso K), hanno quindi tutti un’accelerazione tangenziale (2/3) g senϕ (l’accelerazione del centro del disco nel riferimento fisso) e un’acceerazione centripeta ω 2R . Nel riferimento fisso compare in più un’accelerazione di trascinamento (2/3) g senϕ ω 2R 2 uguale in valore ( g senϕ ) e dire3 (2/3) g senϕ zione all’accelerazione del riferiω 2R mento mobile K '. L’accelerazione di Coriolis è invece nulla perché il (2/3) g senϕ moto di K ' rispetto a K è traslatoC (2/3) g senϕ rio. Ne risulta in definitiva la situazione rappresentata in fig.11. Fig. 11 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 29 CAPITOLO 6 − STATICA DEL CORPO RIGIDO 1 [R] Il blocco rigido rappresentato in fig.7 è in equilibrio sotto l’azione di un r certo numero di forze, tra cui la F ' e la r F ", che hanno uguale valore. Si chiarisca se il blocco resterebbe in equilibrio qualora, a parità di ogni altra circostanza, r r la F ' e la F " venissero rispettivamente applicate nel vertice 1 e nel vertice 2. 1 r F' 2 r F" Fig. 7 3 È impossibile che un corpo rigido sul quale agiscono solo quattro forze di valore 3, 8, 9, 22 N risulti in equilibrio (vero / falso). 7 [R] Il triangolo rigido ABC è in equilibrio sotto l’azione di tre forze, due delle quali sono rappresentate in fig.10. Si chiarisca se è possibile che la terza forza sia applicata nel punto medio dell’ipotenusa AC . 9 Si mostri che per l’asta rigida mostrata in fig.11, di peso trascurabile e in equilibrio su tre appoggi, il problema della deterr r minazione delle reazioni vincolari A , B r e C è indeterminato. 3N A 3N B C Fig. 10 r F r A L r B L r C L Fig. 11 11 In quale eventualità il baricentro del sistema di tre punti materiali A, B, C non allineati è il baricentro geometrico del triangolo ABC (il punto cioè di incontro delle mediane)? 12 [R] Il baricentro del sistema costituito da tre punti materiali è sicuramente più vicino al punto più pesante dei tre (vero / falso). 14 Si utilizzi la proprietà distributiva del baricentro per determinare con metodo grafico la posizione del baricentro di una generico quadrilatero omogeneo. 15 I blocchi A e B , di massa identica, de- vono essere separati con l’aiuto di una leva, come mostrato in fig.12. Se la forr za F applicata alla leva viene fatta crescere lentamente, quale dei due blocchi si sposterà per primo? Si assuma che la forza d’attrito tra ciascuno dei blocchi e il piano d’appoggio sia la stessa. r F A Fig. 12 B Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica r F' 20 Il triangolo rigido ABC è in equilibrio sotto l’azione delle due forze di valore noto mostrate in fig.13 e di una terza forza non rappresentata. Si chiarisca se è possibile determinare il valore, la direzione, la retta d’azione e il punto d’applicazione della terza forza. E se invece la forza verticale fosse diretta verso il basso? 21 [R] Si chiarisca se è possibile che il segmento rigido AB (fig.14) sia in equilibrio sotto l’azione di quattro forze: quelle rappresentate in figura più una quarta forza. 22 Si trovi la posizione del baricentro delle due lastre omogenee mostrate in fig.15. La prima delle due è stata ottenuta effettuando un taglio lungo le diagonali di un quadrato di lato 36 cm. La seconda è stata ottenuta ritagliando da un disco di raggio R un disco di raggio R /2. 30 A r F" B C Fig. 13 2N 3 cm C 1N 5 cm B Fig. 14 3N Fig. 15 23 *Alcuni mattoni identici, di lunghezza L = 24 cm (fig.16), sono posti uno sull’altro in modo che ognuno sporga nel senso della lunghezza dal sottostante. Come occorre disporli, se si vuole rendere massimo lo spostamento del mattone più in alto rispetto al mattone più in basso? Aumentando convenientemente il numero dei mattoni, è possibile ottenere che la proiezione sul piano d’appoggio del mattone più in alto sia totalmente al di fuori dell’area di appoggio? Fig. 16 25 *[R] Una fune d’acciaio di peso P è sospesa a due punti fissi posti alla stessa altezza. Fatta l’ipotesi che la fune sia perfettamente flessibile, si determinino: (a) le reazioni vincolari ai due estremi della fune, (b) la tensione della fune nel punto centrale. Si chiarisca inoltre: (c) se è possibile, aumentando convenientemente la forza con cui la fune è tirata ai due estremi, fare in modo che la fune si disponga lungo una retta orizzontale; (d ) a quale delle due estremità la fune sarebbe maggiormente sollecitata se i due punti di sospensione non si trovassero allo stesso livello. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 26 *Un’asta rigida di lunghezza L e peso P è in equilibrio, appoggiata come in fig.17 su due piani ortogonali a e b . Fatta l’ipotesi che gli attriti siano trascurabili, (a) si descrivano attraverso il valore dell’angolo β le posizioni di equilibrio assunte dall’asta al variare dell’angolo α ; (b) si trovi quale valore assumono le reazioni vincolari in caso di equilibrio. 31 a β b α Fig. 17 SOLUZIONI 1 Sì: una coppia di forze verrebbe sostituita da una coppia di uguale momento, e quindi del tutto equivalente agli effetti dell’equilibrio di un corpo rigido. Impossibile. Dovendo essere zero la somma dei tre momenti rispetto a B, anche la retta d’azione della terza forza passa necessariamente, come le altre due, da B. Dato che la terza forza ha componente orizzontale 3 N verso destra e componente verticale 3 N verso l’alto, la sua retta d’azione è la bisettrice dell’angolo B, e quindi non incontra l’ipotenusa AC nel suo punto medio. 12 Falso. Supponiamo ad esempio che il peso del A punto meno pesante (A ) sia 1/3 di quello degli altri due (B e C ), e supponiamo (fig.7) che A si C G B trovi sull’asse del segmento BC. Il baricentro del sistema B + C è il punto medio del segmenFig. 7 to BC , quindi (proprietà distributiva) il baricentro G del sistema A + B + C si trova sul segmento MA , sei volte più vicino a M che ad A (dato che A pesa sei volte di meno che il resto del sistema). Così stando le cose, il fatto che rispetto agli altri due punti A sia più lontano o più vicino a G dipende unicamente da quanto è lungo il segmento MA in rapporto al segmento BC. 7 21 No. La forza numero quattro dovrebbe avere un componente orizzontale di 1 N diretto verso destra e un componente verticale di 1 N diretto verso il basso: in tal modo sarebbe zero la somma delle forze applicate. Per l’equilibrio alla rotazione (somma dei momenti delle forze rispetto a un polo qualsiasi uguale a zero) la forza numero quattro dovrebbe però essere applicata 1 cm a destra di B, quindi fuori dal segmento AB (la verifica è immediata se ad esempio si sceglie come polo il punto C ). Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 32 25 (a) Il fatto che la fune sia perfettamente flessibile significa che in condizioni di equilibrio la fune è sollecitata ai suoi due estremi (fig.19) da forze dirette tangenzialmente alla fune (forze trasversali determinerebbero la flessione della fune). Pur non essendo la fune un corpo rigido, in condizioni di equilibrio le forze applicate (il peso e le due reazioni vincolari) realizzano necessariamente anche le condizioni di equilibrio del corpo rigido: in particolare, deve essere zero la somma delle tre forze. Se quindi è nota la geometria del sistema (in particolare, l’angolo ϕ che la tangente alla fune forma col piano orizzontale nei r r due estremi) le reazioni vincolari V1 e V2 hanno entrambe inclinazione ϕ sul piano orizzontale e hanno entrambe modulo V = (P/2) /senϕ (fig. 20). r V2 r V1 r V2 ϕ r P Fig. 19 r P (b) Per l’equilibrio del tratto di fune compreso tra il punto centrale e l’estremo di sinistra, deve essere zero la somma del peso (di mezza fune), della r reazione vincolare V2 e della tensione r T , diretta in questo caso orizzontalmente (fig. 21). Pertanto, la tensione della fune nel punto centrale è T = ( P /2) / tgϕ . (c) La fig.21 chiarisce subito che per ϕ tendente a zero la reazione vincolare e la tensione della fune tendono a infinito. (d ) L’estremo posto più in alto, come mostra il diagramma vettoriale delle forze (fig. 22): in corrispondenza di tale estremo sarebbe questa volta più grande che nell’altro l’inclinazione della fune sul piano orizzontale. r V1 Fig. 20 r V2 r P 2 ϕ r T Fig. 21 r V1 r V1 Fig. 22 r V2 r V2 r P Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 33 CAPITOLO 7 − STATICA DEI FLUIDI 2 [R] I recipienti della fig. 22 hanno la A B C stessa area di base. Se uno stesso quantitativo d’acqua viene introdotto in essi, (a) la pressione esercitata dal liquido sulla base del recipiente sarà uguale nei tre casi (vero / falso); Fig. 22 (b) la forza esercitata dal liquido sulla base del recipiente sarà uguale nei tre casi (vero / falso); (c) la forza esercitata dal liquido sul recipiente sarà uguale nei tre casi (vero / falso); (d) la forza esercitata dal recipiente sul piano d’appoggio sarà uguale nei tre casi (vero / falso). 3 Se nei due recipienti della fig. 23, che hanno la stessa area di base, lo stesso tipo di liquido raggiunge la stessa altezza al di sopra del pistone mobile, la forza che, in condizioni di equilibrio, il pistone esercita sulla molla sottostante è esattamente la stessa (vero / falso). Fig. 23 7 Una sfera d’acciaio posta in acqua va a fondo, perché il ferro ha peso specifico superiore a quello dell’acqua. Come mai allora una nave d’acciaio galleggia sull’acqua del mare? 8 [R] Se la pressione atmosferica si annullasse, la frazione visibile del volume di un iceberg aumenterebbe (vero / falso). 9 Un cubetto di ghiaccio galleggia su acqua in un bicchiere. Che accade del livello dell’acqua, man mano che il ghiaccio fonde? 10 Si consideri un pezzo di ghiaccio che galleggia su acqua: è giusto affermare che il ghiaccio riceve dall’acqua una spinta verso l’alto pari al peso dell’acqua spostata? 13 [R] Un mattone viene sottoposto a pesatura. Si chiarisca se la presenza di aria tra il mattone e il piatto della bilancia influenza il risultato della misura. 15 Un bambino si lascia sfuggire di mano il palloncino nuovo, che subito sale fino al soffitto e lì si ferma alcune ore: fino a che, essendosi ormai sgonfiato, ritorna giù. A questo punto il bambino propone di rigonfiarlo usando la pompa a pedale del canottino di gomma. È una buona idea? Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 34 18 Si consideri la situazione mostrata in fig. 25: sarà possibile, tramite il sifone, riempire completamente il secchio? 24 [R] Una sfera d’acciaio galleggia su mercurio. Che cosa accade della posizione della sfera, se si versa acqua sul mercurio? 25 Una zattera carica di ghiaia galleggia sull’acqua Fig. 25 contenuta in una grande vasca. Che accadrebbe del livello dell’acqua, se la ghiaia venisse scaricata in acqua? 27 * Un cilindro omogeneo ad asse orizzontale è di- sposto lungo la parete piana e verticale di un recipiente, in modo che esattamente mezzo cilindro sporga verso l’interno del recipiente (fig.29). Supponiamo che il cilindro possa ruotare attorno al proprio asse geometrico, e che il recipiente venga riempito d’acqua: possiamo aspettarci che, per effetto della spinta idrostatica esercitata sul cilindro dall’acqua, il cilindro entri in rotazione? Se la risposta è sì, abbiamo inventato il moto perpetuo. Fig. 29 28 * [R] La densità ρ di un liquido in quiete varia con la profondità y secondo la relazione ρ = ρ 0 e y / 2. Si esprima la pressione in funzione della profondità. SOLUZIONI 2 (a) Falso. La pressione sul fondo è tanto più grande quanto maggiore è l’altezza raggiunta dal liquido nel recipiente: è quindi massima nel caso C e minima nel caso A. (b) Falso: la forza è uguale al prodotto dell’area di base (la stessa per i tre recipienti) per la pressione (diversa per ogni recipiente). (c) Falso. In ogni recipiente il liquido è in equilibrio sotto l’azione di tre forze: il peso (uguale per ipotesi nei tre casi), la forza verso il basso dovuta alla pressione atmosferica (maggiore nel caso A, data la maggior estensione della superficie libera), e la forza verso l’alto proveniente dal recipiente. Tale forza dovrà essere maggiore nel caso A, e quindi reciprocamente (legge di azione e reazione) nel caso A sarà maggiore la forza del liquido sul recipiente. (d) Vero. Il sistema recipiente + liquido è in equilibrio sotto l’azione del peso, della spinta di Archimede e della forza proveniente dal piano d’appoggio. Se assumiamo che i tre contenitori spostino lo stesso volume d’aria e abbiano lo stesso peso, le prime due forze, e conseguentemente la terza, sono uguali, e se è Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 35 uguale nei tre casi la forza esercitata dal piano d’appoggio è anche uguale (legge di azione e reazione) la forza ad esso applicata. 8 Falso, diminuirebbe. La pressione atmosferica a livello dell’acqua è un po’ più grande della pressione sulla superficie del ghiaccio che si trova a quote superiori. Se si annullasse la pressione sul ghiaccio, la pressione sulla superficie dell’acqua (e, per la legge di Stevino, a tutti i livelli inferiori) subirebbe una diminuzione più grande, e quindi la spinta sul blocco di ghiaccio verso l’alto diminuirebbe più della spinta verso il basso. Del resto, in condizioni normali il blocco di ghiaccio sposta acqua e aria, se non ci fosse atmosfera il ghiaccio sposterebbe solo acqua, e dunque il peso del fluido complessivamente spostato sarebbe, a pari posizione del blocco, inferiore: il che determinerebbe un suo maggiore affondamento. 13 No. Il sottile film d’aria che separa i due corpi (tranne che nei pochi punti di contatto diretto effettivo) esercita la stessa pressione sul piatto (verso il basso) e sulla base del mattone (verso l’alto). Se non ci fosse aria, ci sarebbe una forza verso il basso in meno sul piatto, ma anche una forza di uguale valore verso l’alto in meno sul mattone: la forza complessiva sul sistema piatto + mattone non è modificata dalla presenza di aria tra i due, perciò non è modificata la posizione di equilibrio del sistema e l’indicazione della bilancia. 24 Prima la sfera spostava mercurio + aria, adesso sposta mercurio + acqua + aria. Dovendo, in condizioni di equilibrio, restare identico il peso del liquido complessivamente spostato dalla sfera, deve diminuire il volume della parte di sfera immersa nel mercurio. La sfera si sposta quindi verso l’alto. 28 Secondo la legge di Stevino, in un liquido omogeneo in quiete la differenza di pressione tra due livelli generici y 1 e y2 (asse y diretto verticalmente verso il basso) è p 2 − p 1 = ρ g (y2 − y1). Per una differenza di livello infinitesima d y la differenza di pressione sarà allora d p = ρ g d y, dove la densità ρ potrà in generale variare in funzione della profondità y. Nel nostro caso è p ρ = ρ 0 e y / 2, perciò d p = ρ 0 e y / 2 g d y. Integrando tra y = 0 (dove la pressione è p0) e y (dove la pressione è p) otteniamo [ p − p0 = 2ρ 0 g e y / 2 ] y 0 , vale a dire p = p0 + 2 ρ 0 g (e y / 2 − 1) . La pressione (fig. 6) cresce dunque esponenzialmente con la profondità y a partire dal valore iniziale p 0 . Fig. 6 y Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 36 CAPITOLO 8 − I PRINCÌPI DI NEWTON I TRE PRINCÌPI 6 Come si comporterebbe la pallina di un pendolo se improvvisamente la forza di gravità cessasse di agire? 8 Nel piano cartesiano x , y un punto A di massa 5 g ha coordinate (x e y rispettivamente, espresse in cm) − 5 e 16, un punto B di massa 2 g ha coordinate 0 e 8, un punto C di massa 11 g ha coordinate 3 e 0. Dove si trova il centro di massa del sistema dei tre punti? 11 [R] Un corpo rigido K sta oscillando a mo’ di pendolo, in assenza di aria e di attriti, attorno a un asse orizzontale (fig. 12). È corretto affermare che le due forze applicate a K (il peso P e la reazione del vincolo) costituiscono una coppia ? r P Fig. 12 13 In un moderno, autorevole testo universitario si possono leggere a un certo punto le seguenti parole: «Se vogliamo mantenere la molla deformata... la nostra mano deve applicare alla molla una forza uguale ed opposta alla forza che la molla esercita sulla mano». Commentare. 14 [R] Se un blocco di peso 30 kg è in quiete sul pavimento, soggetto solo al peso e alla reazione del vincolo, la forza del blocco sul pavimento è 30 kg. (a) vero, per il principio di azione e reazione (b) vero, ma per una diversa ragione (c) falso. 15 Se il cavallo tira il carretto con una forza di 100 kg, il carretto tira il cavallo in senso opposto, per reazione, con una forza di 100 kg. Come mai allora, quando il cavallo comincia a tirare, il sistema cavallo + carretto entra in movimento? 18 [R] Un blocco A di massa 10 kg, posto su A un piano orizzontale, è collegato mediante un filo a un blocco B di massa 30 kg. Il filo, privo di massa e inestensibile, può scivolare senza attrito nella gola di una puB leggia, il blocco B è sospeso al filo Fig. 15 (fig.15). (a) Si determini la tensione del filo e la forza che il filo esercita sulla puleggia sia quando il blocco A non ha possibilità di movimento, sia quando il blocco A può scivolare senza incontrare resistenza alcuna. (b) Possiamo affermare che nel secondo caso la velocità dei due blocchi è sicuramente in aumento? Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 37 22 Una pallina è fissata mediante un filo al soffitto di un vagone: sulla pallina agi- scono solo il peso e la reazione del vincolo. Che cosa si può dire del moto del vagone, sapendo che il filo forma un angolo ϕ costante con la verticale? 23 Un corpo K di peso 60 kg si trova all’interno di un ascensore. Si determini la forza che K esercita sul pavimento su cui appoggia quando l’ascensore (a) sale con velocità costante 9,81 m/s, (b) scende perdendo (9,81/12) m/s di velocità ad ogni secondo. 27 * [R] (a) Nel sistema di carrucole rappresentato in fig.20 si determini la tensione nei fili supponendo che siano nulli gli attriti e considerando diverse da zero solo le masse dei blocchi sospesi. * [R] (b) Posto in particolare che sia m 2 = 2 kg e m 3 = 6 kg, per quale valore di m1 sarebbe possibile l’equilibrio del blocco 1? m1 m3 Fig. 20 m2 30 Il sistema qui a lato rappresentato (fig.21) è composto da due dischi, di massa m 1 quello superiore ed m 2 l’altro, collegati da una molla di massa trascurabile. Il tutto è sostenuto da un piano d’appoggio, che a un dato istante viene bruscamente rimosso: determinare l’accelerazione dei due dischi in tale istante. m2 Fig. 21 LA FORZA CENTRIPETA 31 [R] Un corpo K scivola in assenza di aria e di attrito lungo un piano inclinato. Siamo autorizzati ad affermare che la forza del piano su K è uguale e contraria al componente Pn del peso di K sulla perpendicolare al piano? (a) Sì, per la terza legge di Newton (b) sì, per una diversa ragione (c) no. 32 Un punto materiale K che viaggia in direzione orizzontale verso Est è soggetto r a una forza F1 di valore 12 N diretta orizzontalmente verso Ovest, a una forza r r F2 di valore 20 N diretta verticalmente verso l’alto, a una forza F3 di valore r 8 N diretta verticalmente verso il basso, a una forza F4 di valore 9 N diretta orizzontalmente verso Sud. Sapendo che non agiscono altre forze, si calcoli il valore della forza centripeta. 34 Il punto materiale K è vincolato a muoversi in un piano verticale lungo una li- r nea curva L : agiscono solo il peso e la reazione V del vincolo, perpendicolare alla velocità di K per l’assenza di attrito. Considerando sia il caso di concavità Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 38 verso l’alto che il caso di concavità verso il basso, si chiarisca in quale dei due sensi possibili è diretta la reazione del vincolo. 37 * [R] Una pallina, appesa a un filo di lunghezza L fissato superiormente a un punto P, viene spostata dalla posizione di equilibrio O e poi lanciata in direzione orizzontale in modo tale da realizzare un pendolo conico : la pallina si muove cioè di moto uniforme in un piano orizzontale lungo una circonferenza, il filo si sposta lungo la superficie di un cono ad asse verticale avente come vertice il punto di sospensione P. (a) Si determini in funzione di ϕ , angolo formato dal filo con la verticale, la velocità con cui deve essere lanciata la pallina. (b) Si verifichi entro quali limiti può variare la velocità angolare, e conseguentemente il periodo di rotazione. (c) * Quanti giri al minuto deve fare, come minimo, un pendolo conico di lunghezza 1 m? LA FORZA ELASTICA 41 * Due dischetti, appoggiati di piatto su un piano orizzontale, sono collegati da una molla di costante k , massa trascurabile, lunghezza a riposo zero. Si chiarisca quali condizioni devono essere verificate all’istante iniziale, in assenza di qualsiasi forma di attrito, affinché in seguito il centro di massa resti immobile e la distanza L delle due particelle resti costante. 42 * [R] Si vuole che un blocco di massa M , ap- poggiato come in fig.26 su un piatto di massa m sostenuto da una molla di massa trascurabile e di rigidezza k , oscilli verticalmente senza mai staccarsi dal piatto. Quale valore massimo può assumere l’ampiezza di oscillazione? Fig. 26 43 Un blocco di massa m può oscillare senza attri- to su un piano orizzontale sotto l’azione di due molle, come in fig.27. La distanza tra le due pareti fisse è L , il blocco ha massa m e larghezza d , le molle hanno rigidezza k 1 e k 2 e lunghezza a riposo L1 ed L 2 . Si determini: (a) la posizione di equilibrio del blocco, (b) la frequenza di oscillazione. d k2 k1 L Fig. 27 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 39 QUANTITÀ DI MOTO E IMPULSO 47 Nel calcolo della quantità di moto è sempre possibile fingere che tutta la massa del sistema fisico considerato sia concentrata nel centro di massa (vero / falso). 48 [R] Una pallina d’acciaio di massa m cade su una molla ideale che la rilancia esattamente alla stessa altezza. Un’altra pallina identica cade invece dalla stessa altezza su un mucchio di segatura. Quali delle due ha esercitato un più grande impulso nella fase di impatto? 51 A una particella K di massa 12 g viene applicata una forza di valore costante 0,15 N che agisce verticalmente verso l’alto per 3 s, poi orizzontalmente verso Est per 5 s, infine orizzontalmente verso Nord per 1 s. r (a) Si determini il modulo dell’incremento Δv della velocità di K . (b) Si chiarisca se il risultato ottenuto rappresenta l’incremento subìto dal modulo della velocità. 52 [R] Un sistema K è assoggettato a un insieme di forze esterne. Si spieghi se è corretto affermare che l’impulso complessivo di tali forze è uguale alla massa r di K per l’incremento ΔvCM della velocità del suo centro di massa. 53 Tra il blocco A e il blocco B è interposta una piccola molla compressa di massa trascurabile, ma i due blocchi non si separano perché tenuti assieme da un filo. Mentre il sistema scivola con velocità V senza incontrare attrito lungo un piano orizzontale in direzione A → B , a un tratto il filo cede e i due blocchi, spinti dalla molla, si separano. Sapendo che, mentre il blocco B prosegue con velocità 3V, il blocco A rimane immobile, determinare il valore del rapporto mA / mB . 56 Una pallottola di massa m = 20 g arriva con velocità 300 m/s, inclinata verso il basso di 15° rispetto al piano orizzontale, su un blocco di massa M = 10 kg, fermo su un piano orizzontale lungo il quale il blocco può scivolare senza attrito. Quale velocità acquista il blocco se la pallottola si conficca in esso? Quale velocità acquisterebbe invece se la pallottola lo attraversasse senza cambiare direzione e uscendone con velocità 100 m/s? r r r r 57 [R] La forza F = 3 u x + 5 t u y + 6 t 2 u z (unità SI) è applicata a una sfera omogenea di massa 3 kg sulla quale non agiscono altre forze. Tenuto conto che all’istante zero la velocità del centro C della sfera è zero, si trovi quale valore assume la velocità di C tre secondi più tardi. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 40 SOLUZIONI 11 No: una coppia di forza ha risultante zero, e quando la forza risultante è zero il CM si muove necessariamente di moto rettilineo uniforme. Chiaramente, nel nostro caso il moto del CM non è né rettilineo né uniforme. 14 Risposta (b). In forza del principio di azione e reazione possiamo infatti affer- mare che il peso del blocco (la forza con cui la Terra attira il blocco) ha lo stesso valore della forza con cui il blocco attira la Terra, oppure che hanno lo stesso valore la forza del blocco sul pavimento e la forza del pavimento sul blocco: ma non che hanno lo stesso valore la forza della Terra sul blocco e la forza del blocco... sul pavimento. La ragione per cui la forza del blocco sul pavimento è uguale al peso del blocco sta nel fatto che il blocco è in equilibrio, per cui la r forza V del pavimento sul blocco deve neutralizzarne il peso. A questo punto interviene il principio di azione e reazione: se la forza del pavimento sul blocco è 30 kg, anche la forza del blocco sul pavimento deve valere 30 kg. 18 (a) Quando tutto è immobile, la forza risultante su ogni blocco è zero. In parti- colare, il blocco B, che pesa 30 kg, riceve dal filo una forza di 30 kg verso l’alto, e quindi tira il filo verso il basso con una forza di 30 kg. Dato che nella gola della puleggia non c’è attrito, l’equilibrio del filo richiede che il filo sia tirato all’altra estremità con una forza uguale, 30 kg: la tensione del filo è 30 kg lungo tutta la lunghezza (tratto orizzontale e tratto verticale). Essendo il filo immobile, la forza risultante sul filo è certamente zero. La puleggia esercita quinr di sul filo una forza F tale da neutralizzare le forze che agiscono alle due estrer mità: F avrà quindi un componente orizzontale di valore 30 kg diretto verso destra, e un componente verticale di valore 30 kg diretto verso l’alto. La forza r del filo sulla puleggia sarà uguale in valore e opposta in direzione a F . Quando A viene liberato, non essendoci attrito la sola forza che può influire sulla velocità del sistema (e ne determina l’accelerazione) è il peso di B. La massa accelerata è la massa di B più la massa di A, dunque l’accelerazione del mB g 30 g 3 = = g . Ne consegue che la forza risultante sistema è a = m A + mB 10 + 30 4 su ciascun blocco corrisponde a 3/4 del rispettivo peso. Il blocco A è tirato verso destra da una forza di (3/4)10 kg = 7,5 kg, il blocco B è sottoposto a una forza complessiva di valore (3/4)30 kg = 22,5 kg, il che significa che il filo esercita su B una forza di 7,5 kg verso l’alto. In definitiva, il filo è tirato verso sinistra da A con una forza di 7,5 kg e verso il basso da B con una forza di uguale valore: ciò era prevedibile a priori, in considerazione del fatto che il filo ha massa zero, e quindi per il filo è zero il prodotto massa per accelerazione scalare, il che richiede che sia zero la somma delle forze capaci di modificare il valore della sua velocità. In definitiva, la tensione del filo è 7,5 kg, la forza del filo sulla puleggia ha un componente orizzontale verso sinistra di valore 7,5 kg, e un componente verticale verso il basso di uguale valore. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 41 (b) No: la velocità del sistema sarebbe in diminuzione nel caso la direzione della velocità fosse verso sinistra per il blocco A e verso l’alto per il blocco B (possiamo ad esempio immaginare che in precedenza il blocco A fosse tirato verso sinistra con un filo che poi si è strappato). 27 Per le ragioni già chiarite in precedenza (problema 24), il blocco 2 e il blocco 3 esercitano sul filo che li sostiene una uguale forza T, mentre alle due estremità dell’altro filo è applicata una forza 2T (fig.6) Le accelerazioni dei blocchi verso il basso sono pertanto: [A] a 1 = g – 2T / m1 a 2 = g – T /m 2 a 3 = g – T /m 3. 2T T T m1 g m3 g Fig. 6 m2 g La quarta equazione necessaria a risolvere il sistema della quattro incognite (le tre accelerazioni + la tensione T ) è quella che stabilisce che l’accelerazione della carrucola mobile (uguale in valore assoluto e opposta in segno all’accelerazione a1 del blocco 1) è la media aritmetica di quelle del blocco 2 e del blocco 3 (cfr. domanda 41, pag. 95): [B] – a1 = (a2 + a3) / 2. Se in quest’ultima relazione poniamo le tre espressioni [A], otteniamo 4 g m1 m2 m3 [C] T = . m1m2 + m1m3 + 4m2 m3 Osservazione importante. Sarebbe stato del tutto erroneo cercare di risolvere il problema riunendo i blocchi 2 e 3 in un unico blocco, per riportarsi così al semplice problema delle due masse sospese (problema 19, pag.153). In tal modo infatti si attribuisce arbitrariamente al centro di massa del sistema 2 + 3 la stessa accelerazione della carrucola mobile: accelerazione che vale (a2 + a3) / 2, mentre quella del CM del sistema vale (a2 m2 + a3m 3) / (m2 + m3), ed è quindi uguale alla precedente solo quando m2 = m3. E se cambiamo l’accelerazione del CM del sistema 2 + 3, cambiamo la risultante delle forze esterne sul sistema stesso, e cambiamo quindi il valore della forza 2T con cui la carrucola mobile è sostenuta dal filo. (b) Se il blocco 1 è in equilibrio, è in equilibrio anche la carrucola mobile, e i blocchi 2 e 3 hanno rispettivamente accelerazione g/2 verso l’alto e g/2 verso il basso. Allora deve essere T = 3 kg, e la forza 2T che sostiene la carrucola mobile, che per ipotesi è in equilibrio, è 6 kg. L’equilibrio del blocco 1, a sua volta sostenuto da una forza 2T = 6 kg, richiede allora che il suo peso sia 6 kg (non 5!), e quindi la sua massa 6 kg. 31 Sì, ma la terza legge di Newton non c’entra: in base ad essa possiamo solo dire che la forza del corpo K sul piano e la forza del piano sul corpo K sono uguali in valore e opposte in direzione, oppure che sono uguali in valore e opposte in direzione la forza attrattiva della Terra su K (il peso di K) e la forza attrattiva di Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 42 K sulla Terra. La forza del piano su K è invece uguale al componente trasversale del peso di K per il fatto che il centro di massa di K si muove di moto rettilineo: il che richiede che la forza risultante su K abbia componente zero perpendicolarmente alla velocità del centro di massa. r 37 (a) La forza centripeta Fcp è data qui dal componente orizzontale della reazione del vincolo (fig. 9): V senϕ = mv2/R, con R = L senϕ . Da V L sen 2ϕ cui, v = . Rispetto alla direzione m verticale la velocità della pallina si mantiene uguale a zero: niente accelerazione, quindi la somma dei componenti verticali delle forze è zero: V cosϕ = mg. Sostituendo nella relazione precedente otteniamo v = g L senϕ tgϕ . ϕ L r V H R Fig. 9 r Fcp r P g g , avendo in= L cos ϕ H dicato con H l’altezza del cono: la velocità angolare e il periodo sono uguali per tutti i pendoli conici aventi la stessa altezza, il periodo è uguale a quello delle piccole oscillazioni di un normale pendolo semplice di lunghezza H. (b) Dato che H deve essere inferiore a L (altrimenti l’apertura del cono è zero) il valore di ω deve essere superiore a g /L , e il valore del periodo T è inferio- Essendo poi ω = v /R = v /(L senϕ ), risulta ω = re a 2π L / g (periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo semplice di lunghezza L). Si noti che, quando l’apertura ϕ del cono tende a zero, il valore della velocità angolare tende a g /L , ma la velocità lineare tende a zero, dato che tende a zero il raggio della circonferenza percorsa dalla pallina. (c) La velocità angolare deve essere superiore (vedi punto precedente) alla pulsazione delle piccole oscillazioni di un pendolo semplice di uguale lunghezza: ω > g / L = ω min . La frequenza minima è quindi f min = [ω min/(2π )] giri/s. Posto g = 9,81 m/s 2 e L = 1 m, si ottiene che la frequenza minima è f min = 0,498 giri /s = 29,9 giri /min. 42 L’oscillazione avviene in ogni caso attorno alla posizione di equilibrio, la posi- zione in corrispondenza della quale il peso (m +M) g del sistema è esattamente compensato dalla forza k y0 della molla (che ha subìto lo schiacciamento y0). Detta infatti y la deformazione della molla (l’accorciamento rispetto alla lunghezza di riposo), la forza complessiva sul sistema oscillante, misurata verso il basso, è (m +M) g − k y. La forza è zero (posizione di equilibrio) per (m +M) g − − k y = 0, e cioè per y = (m +M) g/k = y0 . La forza applicata al sistema può dunque essere espressa come k (y0 − y), il che mostra che per y < y0 (al di sopra quindi della posizione di equilibrio) la forza è positiva e cioè diretta verso il Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 43 basso, mentre al di sotto della posizione di equilibrio è diretta verso l’alto. Si tratta insomma di una forza di richiamo verso y = y0 , con una intensità proporzionale alla distanza da tale posizione: il centro di massa del sistema oscilla in ogni caso (anche se il blocco si stacca dal piatto) di moto armonico. Se vogliamo che, durante l’oscillazione, il blocco si mantenga a contatto del piatto, occorre che la lunghezza della molla risulti in ogni istante non superiore alla lunghezza di riposo: il che equivale a dire che l’ampiezza di oscillazione non può essere più grande della deformazione di equilibrio y0. Quando infatti la molla risultasse deformata in allungamento, sul sistema piatto + blocco agirebbe, oltre al peso, anche una forza elastica diretta verso il basso, quindi il centro di massa del sistema avrebbe un’accelerazione verso il basso superiore a g: mentre, per il fatto che il blocco è semplicemente appoggiato sul piatto, è chiaro che la sua accelerazione verso il basso non può in nessun caso essere superiore a g. Non appena, nel corso dell’oscillazione, la lunghezza della molla superasse il valore di riposo, il blocco perderebbe velocità meno rapidamente del piatto, il che significa che si verificherebbe il distacco. 48 La prima, che è rimbalzata verso l’alto con una velocità v identica in modulo alla velocità di impatto, cioè con una quantità di moto uguale in modulo e opr r posta in direzione: cosicché l’incremento p2 − p1 della quantità di moto (uguale all’impulso subìto e quindi, a parte la direzione, all’impulso esercitato) vale 2mv. Per la seconda pallina invece al momento dell’impatto al suolo la quantità di moto va a zero, e quindi l’incremento della quantità di moto e l’impulso valgono solo mv. 52 Sì, per il fatto che, essendo zero l’impulso delle forze interne al sistema, l’im- pulso delle forze applicate dall’esterno corrisponde all’incremento della quantità di moto di K, la quale può essere notoriamente espressa come prodotto della massa di K per la velocità del suo centro di massa. r t = 3s r 57 L’impulso della forza è I = F dt , vale perciò 3 N [ t ] 30s = 9 N ⋅ s in dire- [ 2 zione x, (5 N/s) t / 2 ] ∫ 3s 0 0 [ = 22,5 N ⋅ s in direzione y, (6 N/s2) t 3 / 3 ] 3s 0 = 54 N ⋅ s in 9 2 + 22,52 + 54 2 N⋅s = r = 59,2 N ⋅ s. Tale valore rappresenta anche il modulo della variazione Δp della r quantità di moto della sfera, e quindi il prodotto M Δv della massa della sfera per il modulo dell’incremento di velocità del suo centro (che, per il fatto che la sfera è omogenea, ne rappresenta il centro di massa). Tenuto che la velocità iniziale è zero, il rapporto tra il modulo dell’impulso e la massa della sfera fornisce senz’altro il valore finale della velocità del CM, che è pertanto v = I /M = (59,2 N ⋅ s) / ( 3 kg) = 19,7 m/s. direzione z. Il modulo dell’impulso è quindi I = Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 44 CAPITOLO 9 − LAVORO ED ENERGIA 2 [R] Una ipotetica forza avente direzione sempre uguale a quella della velocità del punto su cui agisce non sarebbe conservativa (vero / falso). 4 Una pallina P di massa 40 g procede con velocità costante 150 cm/s in un piano verticale lungo una circonferenza di centro O. Si determini con quale rapidità il peso della pallina compie lavoro: (a) nell’istante in cui il vettore OP è diretto verticalmente verso l’alto, (b) quando il vettore OP è ruotato di 30°, 5 (c) quando il vettore OP è ruotato di altri 60°. r r r * La forza F = y 2 u x + 5 x u y (unità SI) agisce su una particella K mobile nel piano cartesiano xy . (a) Si chiarisca se tale forza è conservativa. (b) Considerati (fig. 8) i punti A (0;3), B (6;3) e C (6;0), si calcoli il lavoro compiuto dalla forza in questione quando K si sposta da O a B lungo il percorso OAB , il percorso OCB , il percorso OB . 6 * [R] (a) Si calcoli il lavoro che viene compiuto r r r dalla forza F = (5 y + x 2 ) u x − 9 x u y (unità SI) quando la particella su cui agisce si sposta nel piano cartesiano xy (fig. 9) dal punto A (0;3) al punto B (3;0) lungo una traiettoria di equazione y = 3 − x (linea 1 in figura). * (b) Come sopra, considerando però un percorso 2 di equazione y = 3 − x /3 (linea 2 in figura). 8 y B (6;3) A x Fig. 8 y A 2 1 x O B Fig. 9 Due recipienti identici poggiano su uno stesso piano orizzontale: il recipiente A contiene 12 kg d’acqua, il recipiente B contiene 4 kg d’acqua. Se i due recipienti venissero messi in comunicazione, si verificherebbe ovviamente uno spostamento di liquido da A verso B fino al raggiungimento di una nuova situazione di equilibrio: quale sarebbe, in tale eventualità, il lavoro complessivamente compiuto dalla forza peso? Si ipotizzi che il collegamento venga realizzato tramite un condotto di volume trascurabile. 13 Un corpo soggetto esclusivamente al peso cade da fermo da un livello 1 a un livello 2 acquistando una velocità di 10 m/s. Se ne può dedurre (vero / falso) che se la velocità iniziale fosse stata 10 m/s la velocità finale sarebbe stata 20 m/s, e più in generale che se la velocità iniziale fosse v 0 la velocità finale sarebbe v 0 + 10 m/s. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 45 14 Quando le forze applicate a un certo punto materiale P compiono un lavoro L0 17 18 21 23 24 26 la velocità di P passa da 0 a 10 km/h. Quale lavoro è perciò necessario perché la velocità di P passi da 100 a 110 km/h? r Un blocco C di massa m scivola senza attrito con v velocità v lungo un piano orizzontale (fig. 13), k m soggetto solo al peso e alla reazione del vincolo. La corsa di C viene poi arrestata da una molla di Fig. 13 rigidezza k , che rilancia C in direzione opposta. Quale deformazione ha subìto la molla? [R] Un blocco C di massa m è sospeso a un filo: m immediatamente al disotto di C (fig.14) c’è un piatto orizzontale di massa trascurabile sostenuto k da una molla di costante elastica k . Di quanto si Fig. 14 comprime la molla se si taglia il filo? Due fionde sono costruite con elastici aventi diversa costante k di elasticità. Quale delle due conviene usare se ciò che interessa è lanciare il sasso alla maggior distanza possibile? Un pendolo è costituito da una sferetta di massa m fissata a un’asta rigida di lunghezza L e massa trascurabile. Determinare a quale sforzo massimo l’asta deve resistere, considerando ampiezze angolari di oscillazione di 60°, 90°, 120°, 180°. K * [R] Problema «del giro della morte» (fig. 15). C Da quale altezza minima deve partire (da fermo) il blocchetto K , soggetto solo al peso e alla reazione del vincolo, per riuscire a effettuare l’intero percorso senza mai staccarsi dalla guida su cui scivola? Si consideri nullo l’attrito, ma si chiarisca qualitativamente in che modo il risulFig. 15 tato verrebbe modificato dalla presenza di attrito. r * [R] Un blocchetto K , inizialmente in quiete v0 sulla sommità di una semisfera di raggio R (fig. 16), subisce un urto che gli conferisce una r velocità orizzontale v0 . Si spieghi in che modo, in assenza di ogni di attrito, la posizione di diFig. 16 stacco di K dalla superficie d’appoggio dipende r dal valore di v0 . 29 Una fune, che appoggia senza attrito su un so- stegno sagomato come in fig. 18, inizia a un tratto a scivolare verso il basso. Sapendo che la lunghezza complessiva è L e che la lunghezza del tratto inizialmente posto sul piano inclinato è d , si determini la velocità con cui A ϕ Fig. 18 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 46 l’estremo A raggiunge l’inizio della discesa. 32 Un cilindro omogeneo di raggio R e massa M rotola senza strisciare. (a) Si esprima la sua energia cinetica in funzione della velocità angolare ω . (b) Si verifichi che lo stesso risultato si ottiene sommando l’energia cinetica che il cilindro avrebbe nel caso traslasse con la velocità v 0 del suo asse geometrico con l’energia cinetica che il cilindro avrebbe se il suo asse geometrico fosse immobile e il cilindro ruotasse attorno ad esso con velocità angolare ω . 33 * [R] Si chiarisca da quali elementi dipende il tempo impiegato da un cilindro omogeneo a percorrere, con partenza da fermo, un piano inclinato di lunghezza L , supponendo che l’attrito sia abbastanza grande da impedire al cilindro di scivolare. Si confronti il risultato con quello che si sarebbe ottenuto nel caso di attrito zero. Si descrivano valore e direzione della reazione del vincolo. 38 Le due locuzioni «energia potenziale in A rispetto a B » e «differenza di ener- gia potenziale tra A e B » sono del tutto equivalenti (vero / falso). 39 [R] Moto armonico tra A e B, con centro A M H K B in M (fig. 20). Detto H il punto intermedio Fig. 20 tra M e B, detto K il punto intermedio tra H e B, e tenuto conto che durante l’oscillazione l’energia cinetica massima è 80 J, si determini l’energia potenziale elastica del punto oscillante in A rispetto a M, in A rispetto a K, in K rispetto a B, in H rispetto a K . 41 Punto materiale in movimento, soggetto solo al peso e a forze elettrostatiche. Nella posizione A l’energia cinetica vale 520 J, l’energia potenziale gravitazionale − 18 J, l’energia potenziale elettrostatica 0. Trovare il valore dell’energia cinetica e delle energie potenziali nella posizione B, posta esattamente allo stesso livello di A, sapendo che nel passaggio da A a B il lavoro delle forze elettrostatiche è − 400 J. 42 Un punto Q è soggetto al peso, a una forza elastica, a forze di attrito. Nella po- sizione A l’energia cinetica di Q vale 30 J, l’energia potenziale gravitazionale − 20 J, l’energia potenziale elastica 100 J. Nella posizione B i rispettivi valori sono invece 40 J, − 10 J, − 20 J. Determinare il lavoro compiuto dalle forze di attrito tra A e B. 43 [R] Un punto materiale K, mobile in un campo di forza conservativo, possiede l’energia potenziale EP = 5 xy 2 − y z 3 (unità SI). Si trovi il valore della forza a cui K è soggetto nella posizione x = 1, y = 2, z = 3. 45 * [R] Un punto K di massa m = 20 g, vincolato a muoversi sull’asse x e sogget- r to solo una a forza conservativa F , si trova inizialmente nell’origine degli assi con velocità v 0 = 5 m/s. L’energia potenziale di K dipende dalla posizione secondo l’equazione EP = F0 | x | , con F0 = 20 N. Dimostrare che il moto di K è periodico, e determinare periodo e ampiezza di oscillazione. Si consideri nullo il valore della forza nell’origine. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 47 47 * Un punto di massa m , soggetto esclusivamente a forze conservative, ha ener- gia potenziale EP = k (x 2 − a 2) per | x | < a EP = 0 per | x | ≥ a con a e k costanti positive. Supponendo che il moto possa avvenire solo in direzione x, discutere il tipo di moto in funzione dell’energia totale. Determinare la massima velocità compatibile con un moto periodico e, per tale valore della velocità, determinare il periodo del moto. 48 [R] Il punto materiale K, di massa m , è in quiete nella posizione O. Si determi- ni quanta energia occorre somministrare a K affinché oscilli di moto armonico attorno ad O con ampiezza A e frequenza f . SOLUZIONI 2 Vero: essendo sempre e solo positivo, il lavoro di tale forza non potrebbe essere zero su un percorso chiuso. 6 (a) Il lavoro del componente x della forza è Lx = ∫ 3 0 Essendo, lungo il percorso 1, y = 3 − x, si ottiene Lx = = ∫ 3 0 [ (15 − 5 x + x 2 ) dx = 15 x − 5 x 2 / 2 + x 3 / 3 ] Il lavoro del componente y della forza è Ly = 3 0 ∫ ∫ Fx dx = ∫ 3 0 3 0 [5 (3 − x) + x 2 ] dx = = 31,5 J. 0 3 Fy dy = − ∫ 0 3 lungo il percorso 1, y = 3 − x, è x = 3 − y e quindi Ly = − = ∫ 3 0 [ (27 − 9 y ) dy = 27 y − 9 y 2 / 2 ] 3 0 (5 y + x 2 ) dx . 9 x dy . Essendo, ∫ 0 3 9 (3 − y ) dy = = 40,5 J. Il lavoro complessivo della for- za è L = Lx + Ly = 31,5 J + 40,5 J = 72,0 J. (b) Il lavoro del componente x della forza è Lx = = 3 − x2 /3. Dunque Lx = ∫ 3 0 [ 5 (3 − x 2 / 3) + x 2 ] dx = Il lavoro del componente y è Ly = − ∫ 0 3 ∫ 3 0 ∫ 3 0 (5 y + x 2 ) dx , con y = (15 − 2 x 2 / 3) dx = 27 J. 9 x dy . Essendo y = 3 − x2/3, è dy = = − (2/3)x d x. Perciò, tenuto conto che i limiti di integrazione per x sono 0 e 3, Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica possiamo scrivere Ly = − ∫ 3 0 9 x ( −2 / 3) x dx = ∫ 3 0 48 6 x 2 dx = 54 J. Il lavoro com- plessivo è L = Lx + Ly = 27 J + 54 J = 81 J. r 18 Se il blocco subisce lo spostamento y , il lavoro della forza elastica è −½ k y2, il lavoro della forza peso è mgy. L’energia cinetica di C è zero sia nell’istante iniziale che nell’istante finale (massima compressione della molla). Dunque, il lavoro complessivo deve essere a sua volta zero: mgy − ½ k y2 = 0, da cui 24 Mentre K percorre l’anello (fig.6), la rea- C zione V del vincolo, misurata in senso centripeto, è V = mg cosϕ + mv2/R. Il primo termine a secondo membro diventa negativo per ϕ > 90°: in tal caso, se il valore del secondo termine non è sufficientemente grande, ϕ il valore di V risulta negativo, il che sta ad mg cos ϕ indicare che la reazione dovrebbe essere diretta in senso centrifugo, con modulo sempre mg più grande man mano che ϕ aumenta. In reFig. 6 altà, un vincolo di puro appoggio come l’anello da noi considerato non è in grado di esercitare forze dirette in senso centrifugo: ciò significa che l’ultimo punto di contatto per K è quello che corrisponde a V = 0, immediatamente dopo la forza centripeta risulta (per la mancanza di una reazione centrifuga) più grande di quella che corrisponde al raggio di curvatura R: perciò il raggio di curvatura della traiettoria risulta minore di R, il che corrisponde a dire che K si stacca dalla guida. La risposta al quesito proposto si ottiene imponendo che l’ultimo punto di contatto sia l’estremo superiore C del diametro verticale dell’anello: V = mg cos180° + mv2/R = 0, da cui [A] v2 = gR. Se h è l’altezza del punto di partenza su C, sarà mv2/2 = mgh (teorema dell’energia cinetica), e quindi [B] v2 = 2gh. Dal confronto tra le relazioni [A] e [B] si ottiene h = R/2. Per non perdere mai il contatto con la guida K deve partire da una posizione sopraelevata di almeno R/2 rispetto a C. In caso di attrito, occorrerà che il blocchetto parta da una posizione più elevata (h ' > R/2), in modo che il maggior lavoro della forza peso compensi il lavoro negativo compiuto dalla forza d’attrito, e la velocità di passaggio in C rimanga, nonostante l’attrito, la stessa di prima: la minima che il blocchetto può avere in C quando compie l’intero giro senza staccarsi. 26 È chiaro che, se il peso mg di K non è abbastanza grande in rapporto alla velocità v0 conferitagli dall’urto, si verifica il distacco immediato dalla superficie d’appoggio. Precisamente, ciò si verifica se è mg < mv02 /R, se cioè il peso è inferiore alla forza centripeta necessaria perché nella posizione iniziale la traiettoria abbia raggio di curvatura R. Se invece mg ≥ mv02/R (se cioè v0 ≤ gR ) il blocchetto parte scivolando sulla super- Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 49 r ficie d’appoggio. Quando la distanza angolare dalla V zione iniziale è ϕ (fig. 7), la forza centripeta è mv2/R = = mg cosϕ − V, avendo attribuito alla reazione del vincolo una direzione centrifuga. Dunque è V = mg cosϕ − r ϕ mg − mv2/R. Al crescere di ϕ il primo termine a secondo membro è sempre più piccolo, il secondo termine è sempre più grande, V è sempre più piccolo. In corrispondenza dell’ultimo punto di contatto V = 0, e quindi Fig. 7 [A] v2 = gR cosϕ (immediatamente dopo V risulterebbe negativo, il che corrisponderebbe a una reazione vincolare diretta in senso centripeto, cosa impossibile per un vincolo di semplice appoggio). Peraltro, dal teorema dell’energia cinetica si ottiene [B] v2 = v02 + 2 gR (1 − cosϕ ). Facendo sistema della [A] e della [B] si ottiene che l’ultima posizione di contatto è definita da cosϕ = 2/3 + v02 /3gR. Per v0 = 0, cosϕ = 2/3, e il blocchetto si stacca ad altezza (2/3)R sulla base della semisfera. Se v0 tende a zero. Se v0 = g R , cosϕ tende a 1, cioè ϕ a gR , l’ultimo punto di contatto è il punto iniziale, dove la traiettoria ha raggio di curvatura R. Se infine v0 > gR l’ultimo punto di contatto è ovviamente an- cora il punto iniziale, ma questa volta il raggio di curvatura iniziale è > R. 33 L’asse di rotazione coincide con la linea di contatto: l’accelerazione dell’asse del cilindro è quella che nel quesito viene indicata come «accelerazione del cilindro». Se l’asse di rotazione del cilindro ha subìto uno spostamento x, il lavoro compiuto dalla forza peso è L g = M g x senϕ . Dato che la reazione del vincolo non lavora, sarà M g x senϕ = EC = (3/4) M v2 (vedi risposta precedente), vale a dire v 2 = (4/3) g x senϕ , il che significa che l’asse del cilindro si muove di moto uniformemente vario con accelerazione (2/3)g senϕ [6]. L’accelerazione del cilindro dipende dunque esclusivamente dall’inclinazione del piano. Tutti i cilindri omogenei lasciati rotolare da una stessa altezza lungo uno stesso piano inclinato impiegano lo stesso tempo[7] per arrivare in fondo: T = 2L = (2 / 3) g senϕ 3L . g senϕ La massa, il volume, l’altezza, il raggio non hanno alcuna influenza. In assenza di attrito il cilindro sarebbe sceso scivolando senza ruotare con accelerazione g senϕ , superiore per un fattore 3/2, e avrebbe quindi percorso lo scivolo in un tempo T = 2 L / (g senϕ ) , inferiore per un fattore 3 / 2 = 1,22. La reazione del vincolo consta di un componente perpendicolare al piano d’ap6 Nel moto uniformemente vario è v 2 = v02 + 2a ( s − s0 ) . 7 Nel moto uniformemente vario la posizione è definita da s = s0 + v0 t + a t 2 /2, quindi il tempo ne- cessario per percorrere una distanza s − s0 = L con partenza da fermo è t = 2L / a . Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 50 poggio, uguale e contrario al componente trasversale P cosϕ del peso (così la forza trasversale complessiva è zero, come deve essere per il fatto che il moto del centro di massa è rettilineo), e in più, se c’è attrito, di un componente parallelo al piano, diretto in senso opposto al componente tangenziale del peso. Se c’è abbastanza attrito da produrre un moto di puro rotolamento, la forza d’attrito ha valore (P senϕ)/3 [come richiesto dal fatto che in questo caso l’accelerazione del centro di massa del cilindro è a = (2/3)g senϕ , e che l’accelerazione prodotta dal solo peso è g senϕ ]. 36 Dato che in A l’energia cinetica è zero e in M è 80 J, tra A ed M il lavoro della forza elastica applicata al punto oscillante è 80 J: dunque l’energia potenziale in A rispetto a M è 80 J. Gli altri valori dell’energia potenziale si possono calcolare come lavoro della forza elastica, sapendo che, quando la distanza da M varia da x ' a x", il lavoro della forza elastica è L = ½ k (x '2 − x"2), e tenuto conto che, in base ai dati, quando x ' = R (ampiezza di oscillazione) e x" = 0 il lavoro è 80 J, il che significa che è k /2 = (80 J)/R2. L’energia potenziale in A rispetto a K è EPA(K) = LA→K = (k /2) [R2 − (3R/4)2] = (k /2) (7R2/16). Ponendo k /2 = (80 J) /R2 si ottiene EPA(K) = (7/16) × 80 J = 35 J. In B l’energia cinetica è zero come in A, perciò il lavoro da A a K e quello da K a B sono uguali a meno del segno: EPK(B) = −EPA(K) = −35 J. Infine, EPH(K) = LH→K = (k /2) [(R/2)2 − (3R/4)2 ] = (k /2) (−5R2/16). Essendo k /2 = (80 J) /R2, si ottiene EPH(K) = −25 J. 43 Risulta Fx = − ∂ EP / ∂ x = −5y2, Fy = − ∂ EP / ∂ y = −10 x y + z3, Fz = − ∂ EP / ∂ z = = 3 y z2. Nella posizione considerata è pertanto Fx = −20 N, Fy = 17 N, Fz = = 54 N, cosicché il modulo della forza è F= Fx2 + Fy2 + Fz2 = ( −20) 2 + 17 2 + 54 2 N = 60,0 N. 45 Il fatto che, al crescere del valore assoluto di x, E cresca anche EP (fig. 12) significa che quando EP EP Etot K si allontana da x = 0 si verifica un lavoro resistente: la forza ha quindi il carattere di forza x r di richiamo verso x = 0. Il fatto poi che sia EP v0 = = F 0 |x| significa che la componente x della Fig. 12 forza (= −∂EP/∂x) è F 0 per x < 0, e −F 0 per x > 0. L’energia totale Etot è chiaramente costante (forza conservativa), il suo valore corrisponde a quello dell’energia cinetica in x = 0 (dove EP = 0): Etot = mv02 / 2 . Ogniqualvolta, al crescere di x, EP raggiunge il valore di Etot , l’energia cinetica si riduce a zero e il punto mobile viene riportato indietro dalla forza di richiamo: il moto è dunque periodico. L’ampiezza è data dal valore xmax di x definito da EPmax = Etot = F 0|xmax| = = mv02 / 2 , vale a dire 20 N |xmax| = (2 × 10−2 kg) × (5 m/s)2/2, da cui |xmax| = = 1,25 cm. Tra l’origine e il punto di inversione di marcia l’accelerazione sca- Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 51 lare è costante, con valore assoluto a = F 0 /m = 20 N / (2 × 10−2 kg) = 1000 m/s2. Il tempo necessario perché la velocità v0 si annulli è allora v0/a = (5 m/s) / (1000 m/s2) = 5 × 10−3 s. Si tratta ovviamente di ¼ del periodo del moto, per cui in definitiva risulta T = 2 × 10−2 s. Osservazione. La posizione x = 0 rappresenta per K una possibile posizione di equilibrio: tale equilibrio avrebbe la caratteristica della stabilità (minimo dell’energia potenziale, lavoro resistente della forza applicata per spostamenti di allontanamento). 48 Assumiamo la posizione iniziale O come riferimento dell’energia potenziale elastica. Allora l’energia complessiva (cinetica + potenziale) di K quando è immobile in O è zero. Quando invece K oscilla con ampiezza A e frequenza f, nella posizione O la sua energia potenziale è ancora zero ma l’energia cinetica è mv2max /2, con vmax = ω A = 2π f A. Pertanto in O (e, per la conservazione dell’energia, in ogni altra posizione) l’energia totale di K è adesso m ω 2A2 / 2. Questa «energia in più» è l’energia che occorre somministrare a K perché oscilli di moto armonico. Osservazione. Se, come sarebbe stato del tutto legittimo, avessimo scelto diversamente il riferimento dell’energia potenziale, nella posizione centrale O l’energia potenziale di K non sarebbe stata nulla, e avremmo quindi ottenuto per l’energia del punto oscillante un diverso valore: ciò significa che il valore dell’energia totale di un punto di massa assegnata che oscilla di moto armonico con ampiezza e frequenza assegnate è indeterminato. Quello che invece è sempre univocamente determinato è il supplemento di energia di cui, per poter oscillare, il punto in questione ha bisogno. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 52 CAPITOLO 10 − ATTRITO I problemi di questo capitolo sono tutti riportati nel sito alla sezione “Indice del libro e pagine dimostrative”. Il testo di alcuni di tali problemi, corredato di risposta, è riproposto qui di seguito. [R] L’attrito radente si manifesta quando un corpo striscia, l’attrito volvente quando un corpo rotola (vero/falso). 2 [R] Una pallina scende rotolando senza strisciare lungo un piano inclinato. L’attrito che produce il rotolamento deve considerarsi statico o dinamico? 8 *[R](a) In che direzione agisce sulle ruote la forza d’attrito radente alla partenza di un’automobile? (b) In che direzione, se l’automobilista toglie gas? (c) In che direzione, se l’automobilista frena? (d) Per quale ragione in una frenata a ruote bloccate lo spazio d’arresto può risultare più grande? 9 [R] Una sfera è costituita per metà di sughero, per metà d’ottone. Supponiamo di tenere in equilibrio la sfera su un piano orizzontale in modo che il piano di separazione delle due semisfere risulti verticale. Se lasciamo andare la sfera, come si muoverebbe il suo baricentro in assenza di attrito? 10 [R] Dovendo calcolare la forza d’attrito dinamico su un corpo di peso P che scivola su una superfir cie concava (fig.7), uno studente ha moltiplicato Pn r il componente Pn del peso sulla normale alla suP perficie d’appoggio per il coefficiente d’attrito raFig. 7 dente dinamico. Quale errore ha commesso? 1 11 [R] Le forze d’attrito possono compiere solo lavoro resistente (vero/falso). 14 [R] Un blocco K di 20 kg è immobile su un piano orizzontale, soggetto al peso e alla reazione del piano d’appoggio: il coefficiente d’attrito statico tra le superfici a contatto è μ 0 = 0,4. r (a) Se al blocco viene applicata una forza F inclinata rispetto al piano orizzontale di 30° verso il basso, qual è il massimo valore che, senza pregiudizio delr l’equilibrio, può assumere F ? (b) * Qual è il minimo valore della forza capace di mettere il blocco in movimento? 19 [R] Dopo aver percorso ruotando senza strisciare un tratto orizzontale, una pal- lina inizia la risalita di un piano inclinato. Arriverà più in alto in assenza oppure in presenza di attrito radente? Nel secondo caso, si faccia l’ipotesi che l’attrito sia abbastanza grande da impedire ogni strisciamento. 21 * [R] Un uomo sta salendo su una scala a pioli appoggiata al muro. Supponendo che la scala abbia peso trascurabile e che il coefficiente d’attrito tra scala e parete sia lo stesso che tra scala e pavimento, si determini la massima altezza a cui può giungere l’uomo senza che la scala scivoli. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 23 * [R] Un blocchetto K è a contatto di un cuneo C che può scivolare in direzione orizzontale (fig. 10). Considerando sia il caso di assenza di attrito che il caso contrario, si chiarisca come deve muoversi C se vogliamo che K (che è soggetto solo al peso e alla forza proveniente da C ) si mantenga immobile rispetto a C. 53 K C Fig. 10 25 * [R] Cilindro (o sfera) su piano inclinato: determinare la massima pendenza compatibile con un moto di puro rotolamento (con partenza da fermo). 26 * [R] Si consideri un’automobile di massa 1200 kg. Posto che il coefficiente d’attrito radente statico tra ruote e terreno sia μ 0 = 1, che il coefficiente d’attrito volvente sia μ v = 15 mm e che il raggio delle ruote sia R = 30 cm, si determini quale forza occorrerebbe applicare alla macchina per metterla in movimento: (a) a ruote bloccate, in presenza di attrito radente, (b) a ruote libere, in presenza di attrito volvente ma non di attrito radente, (c) a ruote libere, in presenza di attrito radente ma non di attrito volvente, (d) a ruote libere, in presenza di attrito sia radente che volvente. 28 [R] Con riferimento alla fig.11 (forza mo- trice applicata ad altezza R), si spieghi se la presenza di attrito volvente aumenta o diminuisce il rischio di slittamento della ruota sul terreno. 29 [R] Si consideri una ruota (ad esempio, la ruota posteriore della bicicletta) a cui viene applicata una coppia motrice di momento τ , e si spieghi se la presenza di attrito volvente aumenta o diminuisce il rischio di slittamento della ruota sul terreno. r F K Fig. 11 – Ruota sottopo- sta a forza motrice. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 54 SOLUZIONI 1 Falso: quando un corpo rotola c’è sempre attrito volvente (salvo il caso teorico di corpi rigidi o di corpi r v r perfettamente elastici), ma c’è anche attrito radente se A questo serve a contrastare lo strisciamento di una superficie sull’altra. Ad esempio, se una pallina viene posta su un piano inclinato e poi abbandonata a sé stessa (fig.1), in assenza di attrito radente scivolerebFig. 1 be verso il basso senza ruotare (il peso e la reazione del vincolo, perpendicolare al piano per l’assenza di attrito, avrebbero entrambi momento zero rispetto al centro della sfera): il rotolamento con velocità angolare via via più grande è r prodotto dalla forza A d’attrito radente (e contrastato dall’eventuale attrito volvente). Altro esempio: se una palla da biliardo viene colpita a mezza altezza, per effetto dell’attrito radente che ne contrasta il moto di scivolamento incomincia a rotolare perdendo velocità. Quando la velocità v di avanzamento è diminuita e la velocità ω di rotazione aumentata fino a che la relazione ω = = v/R è soddisfatta, non c’è più alcuno strisciamento da contrastare, e l’attrito radente non agisce più. 2 Il rotolamento è prodotto dall’attrito radente, e dato che non si verificano strisciamenti si tratta di attrito statico: la forza d’attrito è applicata a punti che hanno velocità zero. 8 (a) In assenza di attrito sul terreno, le ruote motrici (collegate al motore) girerebbero a vuoto, mentre le ruote d’appoggio resterebbero immobili. L’attrito contrasta lo strisciamento delle ruote motrici agendo in avanti (di qui l’accelerazione in avanti della macchina), e lo strisciamento delle ruote d’appoggio agendo su di esse all’indietro (il che ne determina il rotolamento). (b) Quando l’automobilista toglie gas la macchina rallenta: in assenza di attrito le ruote d’appoggio tenderebbero a conservare la propria velocità di rotazione, mentre la velocità di rotazione delle ruote motrici diminuirebbe bruscamente insieme alla velocità di rotazione del motore. Le une e le altre quindi striscerebbero sul terreno: la forza d’attrito agisce in avanti sulle ruote d’appoggio costringendole a girare meno rapidamente, e all’indietro sulle ruote motrici costringendole a girare più rapidamente. (c) In assenza di attrito tra gomme e terreno, i freni bloccherebbero le quattro ruote azzerandone bruscamente il moto di rotazione, e la macchina scivolerebbe senza venire in alcun modo rallentata. Le forze d’attrito tra gomme e terreno contrastano tale scivolamento, agendo in direzione opposta alla direzione di marcia: tendono cioè a far girare le ruote in avanti mantenendone il moto di rotazione. (d) Se la frenata non è troppo violenta in rapporto alle condizioni delle gomme e del terreno, le forze d’attrito sono abbastanza grandi da impedire del tutto lo Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 55 scivolamento, costringendo le ruote a girare con la velocità angolare (ω = v/R, dove v è la velocità della macchina) di un moto di puro rotolamento: in tal caso la macchina è rallentata dalle forze d’attrito statico che, al limite, possono raggiungere il proprio valore massimo μ 0 N . Se però la frenata è troppo brusca, le forze d’attrito non sono abbastanza grandi da riuscire a impedire del tutto lo scivolamento: le ruote quindi girano ma insieme scivolano (e al limite si bloccano e scivolano senza più girare), cosicché in questo caso sono le forze d’attrito dinamico − di valore inferiore al valore massimo delle forze d’attrito statico − a decelerare la macchina. 9 Per la mancanza di attrito, la forza proveniente dal piano d’appoggio sarebbe verticale come il peso della sfera (fig. 2): essendo perciò verticale la forza risultante sulla sfera, il baricentro G cadrebbe verso il basso lungo una retta verticale e la sfera ruoterebbe attorno a G scivolando fino ad avere il punto d’appoggio al di sotto del baricentro (possibile posizione di equilibrio stabile). Il moto proseguirebbe poi per inerzia − come quello di un pendolo − verso la posizione simmetrica di quella iniziale, e in definitiva il baricentro oscillerebbe su e giù sulla verticale condotta per la sua posizione iniziale. G sughero r P Fig. 2 10 Il coefficiente d’attrito deve essere moltiplicato non per la forza Pn , ma per la forza con cui le due superfici a contatto premono l’una sull’altra. Tale forza è in questo caso uguale a Pn + mv 2/R, dove m è la massa del blocchetto, v la sua velocità, R il raggio di curvatura della superficie d’appoggio nel punto in cui si trova il blocchetto. 11 Falso: le forze d’attrito radente contrastano sempre il moto relativo di scivola- mento di una superficie sull’altra, e proprio per questo possono anche compiere lavoro positivo. Se, ad esempio, solleviamo dal tavolo una bottiglia, la forza d’attrito esercitata verso l’alto dalla mano sul vetro è applicata a punti che si spostano verso l’alto, e compie pertanto un lavoro positivo. r F 14 (a) Al limite dell’equilibrio (fig. 4), risulta F cos30° = A 0 / max = μ 0 (F sen30°+ P), da cui, essendo μ 0 = 0,4, deriva F ≤ 0,601 P. (b) Il limite che deve essere superato è dato dalla più piccola tra tutte le forze che sommate r al peso P del blocco danno una forza risultante inclinata di θ max = arctg μ 0 = 21,8° sulla normale. Come la fig.5 chiarisce, tale forza limite è a sua volta inclinata verso l’alto di θ max = 21,8°, r P Fig. 4 r Fmin 30° r R θ max r P Fig. 5 r R θ max Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 56 e il suo valore è quindi P senθ max = 20 kg × sen 21,8° = 7,43 kg.[8] 19 In assenza di attrito la velocità angolare non può cambiare (le forze applicate, peso e reazione del vincolo, hanno momento zero rispetto al centro di massa): perciò durante la risalita il lavoro resistente del peso deve azzerare solo l’energia cinetica di traslazione ½ Mv 2. In presenza invece di sufficiente attrito (puro rotolamento) viene annullata tutta l’energia cinetica, pari a 0,75 Mv 2 (vedi risp. 30 a pag.386). Durante la risalita il peso compie quindi un lavoro resistente del 50 % superiore a prima, il che significa che in presenza di attrito l’altezza raggiunta dalla pallina è del 50% superiore. 21 Schematicamente, la scala è soggetta a tre B forze: quella proveniente dal pavimento, A quella proveniente dalla parete e quella proveniente dall’uomo (uguale, finché c’è equiD 2α librio, al peso dell’uomo [9] ). Delle prime due sappiamo che possono avere una certa incliC nazione massima α (con tgα uguale al coefP ficiente d’attrito statico μ 0) rispetto alla normale alla superficie, e che quindi agiscono 2α lungo una retta compresa entro un angolo 2α . Perciò le rette d’azione di tali forze si incontreranno (fig.8) in un punto posto entro l’area ABCD. L’equilibrio della scala richiede che Fig. 8 per tale punto passi anche la retta d’azione della terza forza, e quindi del peso dell’uomo [10] : pertanto, la posizione limite per l’uomo sulla scala è la posizione P posta al di sotto del punto A. Se la scala è tangente al cono d’attrito uscente dal punto d’appoggio inferiore, l’uomo può salire fino in cima (e a maggior ragione questo è possibile se l’inclinazione della scala sulla verticale è inferiore). Nota: se l’uomo si ferma in una posizione K che precede la posizione limite, qualunque punto posto all’interno del trapezio ABCD sulla verticale per K può essere il punto di convergenza delle due reazioni vincolari, le quali restano pertanto indeterminate in direzione e valore: il problema non può essere risolto con la statica del corpo rigido. 8 Si poteva anche procedere per via matematica, tenendo presente che al limite dell’equilibrio è F cosθ = A0 / max = μ0 ( P + F senθ ) , annullando la derivata prima di F rispetto a θ e verificando che per tgθ = −μ 0 la derivata seconda di F è positiva. 9 Se l’uomo è in equilibrio (e solo in tal caso), la forza della scala sull’uomo (uguale in modulo alla forza dell’uomo sulla scala) è uguale e contraria all’altra forza agente sull’uomo, il suo peso. 10 La somma dei momenti delle tre forze rispetto a un punto qualsiasi (in particolare, rispetto al punto d’intersezione delle due reazioni vincolari) deve infatti essere zero. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 57 23 (a) Assenza di attrito. Su K agisce una forza r n r ma verticale (il peso P ) e una forza (la reazione r r V del vincolo V ) ortogonale alla superficie d’appoggio (fig.10). Avendo le due forze direzione diversa, la risultante è sicuramente ϕ diversa da zero, il che significa che il moto ϕ rettilineo orizzontale che vogliamo osservare r per K non può essere uniforme. D’altra parte, P Fig. 10 se K si mantiene immobile rispetto a C la sua velocità verticale è costantemente zero, quindi è zero il componente verticale della forza risultante, cioè V cosϕ = mg. Ma allora la forza orizzontale è V senϕ = (mg /cosϕ)sen ϕ = mg tg ϕ (con direzione verso destra) e quindi K ha r (come il cuneo, rispetto al quale è immobile) accelerazione orizzontale a diretta verso destra di valore g tgϕ . La velocità del cuneo potrebbe essere diretta sia verso destra, con valori in aumento, che verso sinistra, con valori in diminuzione. Chiaramente, nella condizioni di accelerazione ora precisate la velocità verticale di K potrebbe anche mantenere un valore costante diverso da zero: rispetto al cuneo il blocco potrebbe cioè muoversi di moto uniforme, nel senso della salita come nel senso della discesa (si veda n r r ma min anche il problema 7 a pag.232 del testo). mamax r (b) Presenza di attrito. La reazione V del vincolo può formare con la normale al piano inclinato un angolo massimo θ max definito da tg θ max = μ 0 . Come sopra, se la velocità verticale di K è zero la r r r forza risultante sul blocco ma = P + V è orizzontale. La fig.11 chiarisce che l’accelerazione dei ϕ θ max due corpi a contatto può variare da r P a min = g tg (ϕ − θ max) fino a Fig. 11 a max = g tg (ϕ + θ max). 25 Sia ϕ l’angolo tra piano inclinato e piano orizzontale. In precedenza si è trova- to che per un cilindro omogeneo la forza d’attrito radente necessaria per un moto di puro rotolamento è (1/3) P senϕ , tanto più grande quanto maggiore è la pendenza. D’altra parte, la forza d’attrito può tutt’al più raggiungere il valore μ 0 P cosϕ , tanto più piccolo quanto maggiore è la pendenza. Chiaramente, il moto di rotolamento è possibile se la forza d’attrito necessaria non supera il massimo valore della forza d’attrito disponibile: (P/3) senϕ ≤ μ 0 P cosϕ , il che significa ϕ max = arctg 3μ 0 . Per una sfera la forza d’attrito necessaria a un moto di puro rotolamento risultava (risp. 34, pag. 387 del testo) un po’ minore: (2/7) P senϕ . Dovendo evidentemente essere (2/7)P senϕ ≤ μ 0 P cosϕ , si deduce che è ϕ max = arctg 3,5μ 0 . Supponiamo ad esempio che sia μ 0 = 1 (gomma su asfalto asciutto). In tale Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 58 specifico caso: (a) per evitare un moto traslatorio di scivolamento (si pensi a un’automobile a ruote bloccate) su un piano avente inclinazione ϕ occorre che sia tgϕ ≤ μ 0 = 1 (ϕ ≤ 45°); (b) per evitare che un cilindro scivoli mentre rotola occorre che sia tg ϕ ≤ 3μ 0 = 3 (ϕ ≤ 71,6°); (c) per evitare che una sfera scivoli mentre rotola occorre che sia tg ϕ ≤ 3,5μ 0 = 3,5 ( ϕ ≤ 74,1°). 26 (a) Una forza superiore alla massima possibile forza di attrito radente statico A0/ max = μ 0 P = 1×1200 kg = 1200 kg. (b) Qualsiasi forza: le ruote traslerebbero senza incontrare alcuna resistenza. L’attrito volvente non avrebbe modo di manifestarsi. (c) Qualsiasi forza: il rotolamento delle ruote (determinato dal fatto che l’attrito radente impedisce lo strisciamento delle gomme sul terreno) non incontrerebbe alcuna resistenza. (d) Supponiamo, per semplicità, che il peso P e la forza F si ripartiscano equamente sulle quattro ruote. In tal caso la risposta è: qualsiasi forza F per cui risulti (F/4) R > μ v (P/4), vale a dire F > μ v P/R = (15×10 −3 m) × (1200 kg) / (30×10 −2 m) = 60 kg. Si noti che il valore limite così ottenuto è 20 volte inferiore a quello ottenuto alla risposta (a): il vantaggio che può essere offerto dalla ruota è palese. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 59 CAPITOLO 11 − GRAVITAZIONE 2 Due oggetti A e B identici si trovano il primo sulla superficie della Terra, il secondo sulla verticale del primo, a un’altezza pari al raggio terrestre R T . Quanto distano il baricentro del sistema A+B e il centro di massa? 3 L’attrazione gravitazionale tra due corpi può essere sempre calcolata con l’artificio di collocare le due masse nei rispettivi centri di massa (vero/falso). 7 Nel moto attorno alla Terra, l’accelerazione della Luna (distante dalla Terra circa 384 000 km) è 2,73 mm/s 2. Nel moto attorno al Sole, l’accelerazione della Luna (distante dal Sole circa 150 milioni di km) è circa 6 mm/s 2. In che rapporto stanno le forze esercitate sulla Luna dal Sole e dalla Terra? 8 In che rapporto stanno, a parità di velocità iniziale, le altezze raggiunte sulla Terra e sulla Luna con un lancio verticale? 10 [R] Quanto impiega a fare il giro della Terra un satellite distante 300 km dalla superficie terrestre? 12 Un satellite geostazionario si mantiene necessariamente nel piano equatoriale (vero/falso). 14 I satelliti della Terra hanno tutti, per la seconda legge di Keplero, la stessa ve- locità areale (vero/falso). 15 [R] Si determini la velocità areale di un pianeta facendo l’ipotesi che l’orbita sia circolare con raggio R. 17 Con riferimento a pianeti su orbite circolari, si dimostri che il rapporto T 2/R 3 tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del raggio della circonferenza percorsa è necessariamente costante al variare di R. 19 Che cosa si ottiene moltiplicando il peso di un satellite per la sua distanza dal centro della Terra? 20 * [R] Campo gravitazionale prodotto da un gu- scio semisferico omogeneo disposto come in fig.8: si dimostri che, in tutti i punti del cerchio orizzontale che chiude superiormente la cavità, r il campo g è verticale. r g Fig. 8 21 Si determini l’andamento dell’accelerazione di gravità nel campo prodotto da una massa M distribuita in modo uniforme entro un volume sferico. 22 Si dimostri che un corpo K, lasciato cadere dentro un pozzo rettilineo che at- traversa tutta la Terra da un qualsiasi punto A a un qualsiasi altro punto B, oscillerebbe all’infinito, in assenza di attriti, tra A e B; e che, se la Terra fosse una sfera omogenea, il moto sarebbe armonico con un periodo uguale a quello che avrebbe un satellite su orbita bassa in assenza di atmosfera. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 60 24 [R] Un oggetto A di massa m subisce un breve spostamento verticale h in pros- simità della superficie terrestre. Un oggetto B di massa uguale, posto sulla verticale per A e distante da A un raggio terrestre, subisce a sua volta lo stesso spostamento verticale. È possibile calcolare il lavoro complessivo delle forze gravitazionali concentrando la massa del sistema A + B nel centro di massa? È possibile calcolarlo concentrando la massa nel baricentro? 25 * Si calcoli il valore del rapporto T 2/R 3 tra il quadrato del periodo di rivoluzio- ne di un pianeta e il cubo del semiasse maggiore della sua orbita. 28 * [R] Si consideri il sistema isolato costituito da due stelle che ruotano assieme attorno al centro di massa del sistema: fatta l’ipotesi che la distanza tra le due stelle si mantenga costante, si determini il comune periodo di rotazione. 29 Si calcoli l’energia totale di un satellite della Terra, sapendo che la distanza minima dal centro della Terra è rP e che la distanza massima è rA . 30 Si determini il lavoro che occorre compiere per spostare un satellite da un’or- bita circolare di raggio R 1 a un’orbita circolare di raggio R 2 . 31 Si determini quanta energia è strettamente necessario spendere per porre in or- bita un satellite di massa m lungo una traiettoria avente distanza minima dalla Terra rP = R 0 e distanza massima rA = 5R 0 (dove R 0 è il raggio terrestre). 32 * [R] Una capsula spaziale di massa m = 10 4 kg, che percorre un’orbita circo- lare mantenendosi 500 km al di sopra della superficie terrestre, deve essere spostata su un’orbita circolare più ampia, in modo che si mantenga a 1500 km dalla superficie terrestre. Il risultato viene ottenuto accendendo brevemente i motori, che producono una spinta costante di 1,25 × 10 5 N parallelamente alla direzione del moto, una prima volta per immettere la capsula su un’orbita di trasferimento, una seconda volta, raggiunta la distanza di 1500 km, per immetterla nell’orbita finale. Assumendo che la Terra sia una sfera di raggio R T = = 6 370 km e massa M = 5,983 × 10 24 kg, (a) calcolare l’energia cinetica della capsula nelle due orbite circolari; (b) descrivere le caratteristiche geometriche dell’orbita di trasferimento; (c) calcolare quale valore di energia cinetica deve essere raggiunto con la prima accensione se vogliamo che la capsula si sposti poi fino a una distanza massima di 1500 km; (d) determinare quanto deve durare la prima accensione; (e) chiarire la direzione di spinta dei motori in corrispondenza della seconda accensione, e determinare quanto deve durare la seconda accensione; ( f ) calcolare il tempo impiegato dalla capsula a percorrere l’orbita di trasferimento.[11] 11 Problema proposto alla gara nazionale studentesca del 1993 per le Olimpiadi di Fisica. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 61 33 [R] (a) Si vuole che la velocità di un corpo tenda alla velocità di fuga quando la distanza dalla Terra tende a infinito. Con quale velocità occorrerebbe lanciarlo in assenza di atmosfera? (b) Con quale velocità «giunge all’infinito» un corpo lanciato con velocità doppia rispetto a quella di fuga? (c) A quale distanza dal centro della Terra la velocità è uguale alla metà della velocità di fuga, quando la velocità di lancio è uguale alla velocità di fuga? 35 Si consideri un sistema isolato costituito da due stelle che orbitano attorno al centro di massa (CM) del sistema, e ci si ponga in un riferimento inerziale in cui il punto CM è immobile. a) La situazione può essere schematizzata come in fig.9 (vero / falso). b) La situazione può essere schematizzata come in fig.10 (vero / falso). CM CM Fig. 9 Fig. 10 ALCUNE SOLUZIONI 10 Per la terza legge di Keplero, il rapporto T 2/R 3 deve avere lo stesso valore sia che venga riferito al satellite sia che venga riferito alla Luna: perciò TS = = TL ( RS / RL ) 3 . Posto che la distanza del satellite dal centro della Terra sia circa (6400 + 300) km = 6 700 km, e circa 384 000 km la distanza della Luna, si ottiene TS ≈ TL 2,3 ×10 –3 ≈ (27,3 d )(86 400 s/d ) 2,3 × 10 –3 = 5425 s ≈ 90 min. Allo stesso risultato si arriva dividendo la lunghezza della circonferenza percorsa dal satellite (2π R ≈ 2π × 6 700 km) per la velocità del satellite. Quest’ultima si ottiene subito considerando che la forza gravitazionale mg agente sul satellite rappresenta in questo specifico caso (traiettoria circolare, forza perpendicolare alla velocità) la forza centripe\ta mv 2/R. Perciò v = gR , ed essendo, per la legge di Newton, la grandezza gR 2 = GM costante al variare di R, sarà in particolare gR 2 = g 0 R T2 (dove g 0 , accelerazione di gravità a livello della superficie terrestre, ha il ben noto valore 9,81 m/s2). Possiamo quindi Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica scrivere v = g 0 R 02 / R = 62 9,8 m/s 2 × (6400 2 / 6700) km = 7,74 km/s. Pertan- to T = 2π R / v ≈ (2π × 6 700 km) / (7,74 km/s) ≈ 90 min. 15 L’area A spazzata dal segmento Sole - pianeta in un periodo è π R 2. Il periodo T è la lunghezza 2πR diviso la velocità (v = gR = GM / R ). Perciò la velocità areale è v * = A / T = π R 2/ (2 π R / g M /R ) = G M R / 4 . Si poteva arrivare al risultato anche R + dR in altro modo: dato che nel tempudA v dt scolo dt lo spostamento del pianeta (fig. 2) è ds = v dt , l’area descritta in R Fig. 2 dt dal segmento Sole - pianeta è, a meno di infinitesimi di ordine superiore, dA = ½ Rv dt . Perciò la velocità areale dA /d t è ½ Rv = ½ R G M /R = G M R / 4 . Per il calcolo della velocità areale lungo un’orbita ellittica si veda la risposta 25. 20 Si consideri un punto P sul cerchio che delimita la cavità. Sovrapponiamo al nostro guscio S un guscio S ' che sia l’immagine speculare di S rispetto al piano orizzontale per P, in modo da formare un unico guscio sferico (fig.3). È chiaro r che il secondo guscio produce in P un campo g ' che è a sua volta l’immagine speculare del camr po g prodotto in P da S. Dovendo essere zero il campo complessivamente prodotto dai due gusci, r r deve risultare g = − g ' , il che è possibile solo se, r contrariamente a quanto mostra il disegno, g è diretto verticalmente. r g' S' P r g S Fig. 3 24 Risposta negativa a entrambe le domande. A distanza R dal centro della Terra l’accelerazione di gravità è g 0 , a distanza 2R è g 0 /4 = 0,25 g 0. Il lavoro effettivo è quindi L = m (g 0 + 0,25 g 0 ) h = 1,25 mg 0 h . Concentrando la massa nel CM (posto a distanza 1,5 R dal centro della Terra, dove g = g 0 / 1,5 2 = 0,444 g 0 ) otteniamo L ' = 2 m (0,444 g 0 ) h = 0,888 mg 0 h = 0,888 L , un valore quindi inferiore a quello vero. Il baricentro si trova invece a distanza R /5 sopra la superficie terrestre, dove l’accelerazione di gravità è g 0 /1,2 2 = 0,694 g 0 . Se localizziamo la massa del sistema nel baricentro otteniamo L " = 2 m (0,694 g 0 ) h = 1,39 mg 0 h = 1,39 L , un valore questa volta superiore al valore vero. Quando la massa è distribuita in uno spazio entro al quale il campo gravitazionale non può considerarsi unifor- Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 63 me, nel calcolo del lavoro delle forze gravitazionali la massa deve essere lasciata dove effettivamente si trova. 28 Essendo costante la distanza d tra le due stelle, m" è anche costante la distanza di ogni stella dal r" centro di massa del sistema: ciò significa che, nel riferimento inerziale in cui il CM risulta immobile, le due stelle percorrono orbite circor ' CM lari centrate nel CM, impiegando uno stesso m' tempo T per fare un giro completo. Se la stella di massa m ' si trova a distanza r ' dal CM (fig. 9), la sua accelerazione sarà [A] ω 2 r ' = Fig. 9 = F / m ' = Gm "/ d 2. Analogamente, l’accelera2 zione della stella di massa m " sarà [B] ω r " = = F / m " = Gm '/ d 2. Sommando membro a membro la [A] e la [B] otteniamo ω 2 (r ' + r ") = G (m ' + m ") / d 2, e quindi, essendo r ' + r " = d , ω 2 = G (m ' + m ") / d 3, da cui T = 2π / ω = 2 π d3 , vale a dire T 2 / d 3 = 4π 2 / G (m ' + m "). G (m' + m" ) Chiaramente, tale relazione rappresenta una generalizzazione di quella trovata alla risposta 26 (alla quale si riconduce quando una delle due masse è molto più grande dell’altra, nel qual caso la massa complessiva m ' + m " è praticamente uguale alla più grande delle due). 32 (a) L’energia cinetica su un’orbita circolare è ½ GmM / r. Con i dati del problema si ottiene EC1 = 2,905 × 10 11 J, EC2 = 2,536 × 10 11 J. P (b) L’orbita di trasferimento (linea a tratteggio A in fig.11) viene percorsa sotto l’azione delle sole forze gravitazionali: si tratta quindi di un’ellisse (che verrà percorsa solo per metà) con un fuoco nel centro della Terra, tangente Fig. 11 all’orbita circolare iniziale e all’orbita circolare finale. La spinta dei motori viene data al perigeo P (500 km dalla superficie terrestre), l’inserimento nella nuova orbita si verifica all’apogeo A (1500 km dalla superficie terrestre). (c) Dal momento del primo spegnimento dei motori (al perigeo dell’ellisse) fino alla riaccensione (all’apogeo) l’energia totale resta costante: ECP + EPP = = ECA + EPA . Tenuto conto che a distanza r 1 l’energia potenziale (rispetto all’infinito) è − GmM / r 1 , e che lungo l’orbita di trasferimento l’energia totale è G m M r2 − GmM /(r1 + r2), si ottiene ECP = = 3,102 × 10 11 J. r 1 + r2 r1 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 64 (d ) Dato che la spinta dei motori è parallela alla velocità della capsula, e potendosi il moto considerare rettilineo durante la breve fase di accensione dei motori, il teorema dell’impulso dà F Δt = m Δv = m (vP − v 1). Le velocità si deducono dai valori già calcolati dell’energia cinetica, ottenendo v 1 = 7,622 × 10 3 m/s e v P = 7,877 × 10 3 m/s. Tenuto conto del valore numerico della forza F e della massa m si ottiene Δt = 20,3 s. (e) All’apogeo dell’ellisse la velocità deve passare da vA = vP rP / rA = 6,876 2 EC2 × 10 3 m/s a v 2 = = 7,122 × 10 3 m/s. La spinta deve essere quindi efm fettuata nella direzione stessa del moto e, come si trova col teorema dell’impulso, deve durare 19,7 s. ( f ) È la metà del tempo T di percorrimento dell’intera ellisse. Per la terza legge T2 T2 = 13 , dove T1 ed r 1 si riferiscono all’orbita circolare di Keplero, r +r r1 ( 1 2 )3 2 iniziale. Essendo T 1 = 2π r 1 / v 1 = 5663 s, si trova T = 6292 s. Il tempo di trasferimento è quindi (6292 /2 ) s = 3146 s (52,4 min). 33 (a) Nel passaggio dalla Terra all’infinito c’è una perdita di energia cinetica pari all’energia cinetica di fuga: perciò l’energia cinetica iniziale dev’essere il doppio dell’energia cinetica di fuga, il che significa che la velocità di lancio è v = 2 v F = 1,41 v F . (b) L’energia cinetica di lancio è per ipotesi il quadruplo dell’energia cinetica di fuga. L’energia cinetica all’infinito è allora il triplo dell’energia cinetica di fuga, il che significa che la velocità all’infinito è v = 3 v F = 1,73 v F . (c) Teorema dell’energia cinetica: 1 1 m vF 2 mvF2 ( ) = ) , da cui + GmM ( − 2 2 2 r RT (tenuto conto che vF2 = 2 GM / R T) si ottiene r = 4 R T . Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 65 CAPITOLO 12 − DINAMICA RELATIVA I problemi di questo capitolo sono tutti riportati nel sito alla sezione “Indice del libro e pagine dimostrative”. Il testo di alcuni di tali problemi, corredato di risposta, è riproposto qui di seguito. 1 [R] (a) Si spieghi quale peso viene attribuito da una bilancia, internamente a un montacarichi che viaggia verso il basso con velocità costante 3 m/s, a un blocco di massa 72 kg. (b) Che cosa segnerebbe la bilancia se il montacarichi avesse accelerazione (1/8) m/s 2 verso l’alto? (c) E se l’accelerazione avesse lo stesso valore ma fosse diretta verso il basso? (d ) In quale eventualità la bilancia segnerebbe 96 kg? (e) In quale eventualità la bilancia segnerebbe zero? ( f ) Come si comporterebbe in quest’ultimo caso la pallina di un pendolo? (g) È teoricamente possibile che nel riferimento del montacarichi il peso risulti diretto verso l’alto? 3 * [R] La fig. 17 vuole rappresentare una vaschetta piena d’acqua che scivola senza incontrare attrito lungo un piano inclinato. Si chiarisca se, per quanto riguarda la superficie libera del liquido, la situazione è stata rappresentata in modo corretto. 7 8 * [R] Il blocchetto K , di massa m, appoggia senza attrito sul cuneo C (fig. 18). Sapendo che C è animato da moto rettilineo uniformemente vario in direzione orizzontale, si descriva il moto di K, e si chiarisca se la forr za orizzontale F applicata al cuneo C è costante. Fig. 17 K r F C Fig. 18 * [R] Come sopra, ma si supponga questa volta che il cuneo C, di massa M, possa scivolare senza attrito sul piano orizzontale, e che le uniche forze esterne applicate al sistema cuneo + blocchetto siano le forze gravitazionali e la reazione del piano d’appoggio. Posto che entrambi i corpi abbiano inizialmente velocità zero, determinare la velocità del cuneo in funzione dello spostamento verticale del blocchetto. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 66 SOLUZIONI 1 (a) 72 kg. Le forze apparenti sono entrambe zero, il peso indicato dalla bilancia coincide col peso effettivo. Dal punto di vista dell’osservatore fisso (inerziale) la somma delle forze sul blocco deve essere zero: 72 kg verso il basso (il peso), 72 kg verso l’alto (la reazione proveniente dalla bilancia). r (b) La forza apparente di trascinamento ( − ma ) sarebbe (72/8) kg = 9 kg verso il basso, il peso apparente sarebbe (72 + 9) kg = 81 kg. Dal punto di vista dell’osservatore fisso, 81 kg verso l’alto sono la forza che occorre venga esercitata sul blocco dalla bilancia affinché il blocco sia complessivamente soggetto a una forza pari a 1/8 del peso, diretta verso l’alto. (c) La somma del peso effettivo e della forza apparente di trascinamento (9 kg verso l’alto) dà 63 kg: è l’indicazione della bilancia (peso apparente). (d ) Quando la forza apparente di trascinamento fosse 24 kg (un terzo del peso) verso il basso, e cioè l’accelerazione del montacarichi (e del blocco) fosse g /3 verso l’alto. Sul blocco agirebbe in tal caso una forza complessiva pari a un terzo del peso (24 kg) verso l’alto. (e) Quando la forza di trascinamento fosse uguale e contraria al peso, quando cioè il montacarichi avesse accelerazione g verso il basso (caduta libera). ( f ) Come se la gravità fosse annullata: resterebbe solo la forza proveniente dal filo, perpendicolare alla velocità della pallina. La velocità della pallina manterrebbe sempre lo stesso valore, e la pallina si muoverebbe nel piano originario di oscillazione mantenendosi sempre alla stessa distanza dal punto di sospensione: moto circolare uniforme. (g) Il peso apparente è diretto verso l’alto quando la forza di trascinamento è diretta verso l’alto ed è più grande del peso: questo accade se l’accelerazione del montacarichi è diretta verso il basso con valore superiore a g . 3 Sì, la figura è corretta. La vaschetta scivola con accelerazione g senϕ diretta parallelamente al piano d’appoggio verso il basso. La superficie libera del liquido (che ha massa m) si dispone perpendicolarr r r r mente al peso apparente mg ' = mg − ma , dove a (accelerazione di trascinamento) è l’accelerazione della vaschetta. Il fatto che sia a = g senϕ signifir ca (fig.1) che il peso apparente mg ' è perpendicolare al piano inclinato: il quale risulta dunque parallelo alla superficie del liquido. Se ci fosse attrito, l’accelerazione della vaschetta r sarebbe a ' < g senϕ , l’accelerazione g ' formerebbe col piano inclinato un angolo minore di 90°, la superficie libera del liquido non risulterebbe più parallela al piano inclinato (fig. 2). ϕ ϕ r mg ' r mg r −ma Fig. 1 r mg ' Fig. 2 r −ma r mg Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 7 67 r r Le forze agenti su K sono il peso P e la reaA r r n a' zione del vincolo V , della quale sappiamo a ϕ r a priori che, per l’assenza di attrito, è perpendir V /m colare al piano inclinato. L’accelerazione di K nel riferimento fisso è allora ϕ r r r r r V P +V [A] a = = g+ . m m r Sappiamo però anche che, se A è l’accelerazione del cuneo (accelerazione di trar scinamento) e a ' l’accelerazione di K rispetϕ to al cuneo, è r r r r g [B] a = A + a ' Fig. 5 r dove di a ' si sa a priori che è parallela al piano inclinato. Come la fig. 5 chiarisce, l’inr r r sieme della [A] e della [B] determina in modo univoco sia a ' , sia a , sia V / m (e quindi la reazione del vincolo). L’accelerazione relativa è a ' = g senϕ − − A cosϕ , l’accelerazione assoluta ha componente orizzontale a x = A + a ' cosϕ e componente verticale a y = = a ' senϕ . Tutti i valori trovati sono costanti nel tempo. Il moto relativo, in cui la velocità è parallela all’accelerazione, è quindi rettilineo uniformemente vario (la velocità varia linearmente nel tempo); il mor to assoluto è uniformemente accelerato (vettore a costante) con traiettoria par rabolica e asse della parabola parallelo ad a (se però, nel momento in cui il cuneo comincia ad accelerare, la velocità assoluta di K è zero o è parallela ad r a , il moto assoluto di K è rettilineo e uniformemente vario). Essendo costante r in valore e direzione la forza − V del blocchetto sul cuneo, il moto di quest’ultimo (uniformemente vario per ipotesi) richiede che anche la forza orizzontale esterna ad esso applicata sia costante. Casi particolari. Se, a partire dalla situazione rappresentata in fig. 5, l’accelerar zione A del cuneo aumenta, a ' diminuisce gradualmente fino ad annullarsi r (moto relativo uniforme) per A = g tgϕ , mentre la reazione V diventa via via r r più grande. Se A continua a crescere, a un certo punto a ' cambia direzione (l’espressione g senϕ − A cosϕ di a ' diventa negativa) e diventa a sua volta r r r (come V / m) sempre più grande. Se A si annulla, a ha valore g senϕ e coinr cide con a ' (il cuneo si muove di moto traslatorio, rettilineo e uniforme rispetto al riferimento fisso, quindi nei due riferimenti l’accelerazione è la stessa). Se r r A cambia direzione e diventa sempre più grande, a ' è diretta nel senso della r discesa e diventa a sua volta sempre più grande, mentre la direzione di a si r approssima alla verticale e la reazione V diventa sempre più piccola. Per A = Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 68 r r = g /tgϕ la reazione V si annulla e a coincide con l’accelerazione di gravità. r r Se A cresce ulteriormente V dovrebbe assumere il carattere di una forza di richiamo verso il piano inclinato: ma se il blocchetto è semplicemente appoggiato ciò che in realtà si verifica è il suo distacco dal cuneo, e quindi la sua caduta r con accelerazione g . 8 Dato che, per l’assenza di attrito tra cuneo e piano d’appoggio, nessuna forza esterna agisce sul sistema in direzione orizzontale, il centro di massa del sistema non subisce spostamenti orizzontali: il cuneo si sposta perciò verso sinistra r r con velocità V e il blocchetto verso destra con velocità v x tale che r [A] M V = mv x . Se v è la velocità del blocchetto e h il suo spostamento verticale, per il teorema dell’energia cinetica risulta M V 2 mv 2 [B] + = mgh. Il lavoro complessivo delle forze interne è zero: la 2 2 forza del blocchetto sul cuneo, perpendicolare al piano inclinato per l’assenza di attrito, compie il lavoro positivo che produce l’energia cinetica acquisita dal cuneo (lo spostamento del cuneo nella direzione della normale al piano inclinato è equiverso alla forza); la forza del cuneo sul blocchetto compie un lavoro uguale e contrario (sottraendo al blocchetto parte dell’energia cinetica prodotta dal lavoro del peso) perché, mantenendosi il blocchetto a contatto del cuneo, il suo spostamento nella direzione della perpendicolare al piano inclinato è identico a quello del cuneo. r La velocità v del blocchetto (fig. 6) può r r esprimersi sia come v x + v y , sia anche r r r r v come somma del velocità v ' relativa con r vy v' r ϕ V r la velocità V di trascinamento: vx r r r r r r [C] v = v x + v y = v ' + V . Essendo v ' Fig. 6 parallela al piano inclinato, risulta vy [D] = tgϕ . Tenuto conto della [A], della [C] e della [D], la [B] divenvx + V ta 2 2 M V 2 mv x2 mv y MV 2 m ⎛ MV ⎞ m 2 + + = + ⎜ ⎟ + [ (v x + V ) tgϕ ] = mgh , 2 2 2 2 2⎝ m ⎠ 2 da cui V = 2m 2 g h cos 2ϕ . (m + M ) ( M + m sen 2ϕ ) Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 69 CAPITOLO 13 − DINAMICA ROTAZIONALE I problemi di questo capitolo sono tutti riportati nel sito alla sezione “Indice del libro e pagine dimostrative”. Il testo di alcuni di tali problemi, corredato di risposta, è riproposto qui di seguito. 3 Un punto K di massa m si muove di moto circolare uniforme con velocità v r attorno al punto O. Se, per effetto di una forza F sempre diretta verso O, il raggio della circonferenza viene dimezzato, come varia il periodo del moto? r quale lavoro ha compiuto F ? 6 Supponiamo che a un dato istante la forza con la quale il Sole attira un pianeta cessi di agire. Che accadrebbe da tale istante della velocità areale del pianeta rispetto al Sole? Si assuma che sul pianeta non agisca più alcuna forza. 7 Il punto materiale K viene lanciato con velocità r orizzontale v0 lungo la parete interna di un conO tenitore emisferico di centro O e raggio R (fig.5), in assenza di ogni attrito. Sapendo che inizialϕ0 R mente il vettore OK forma con la verticale un angolo ϕ 0 , K (a) si trovi per quale valore della velocità iniziale Fig. 5 K si manterrebbe indefinitamente alla stessa altezza; (b) si determini quale valore minimo è necessario per la velocità iniziale se si vuole che K possa raggiungere il livello di O. 11 [R] Che differenza c’è, dal punto di vista del momento angolare rispetto all’asse di rotazione, tra le due situazioni illustrate nella fiZ gura a lato (fig. 10)? In A un cilindro omogeneo di raggio R sta ruotando con velocità anSituazione A Situazione B golare ω costante attorno a un asse z fisso Fig. 10 (rappresentato in figura dal punto Z), cosicché ogni punto dell’asse del cilindro si muove di moto circolare uniforme con velocità ω R attorno a z. In B un cilindro uguale al precedente sta rotolando senza strisciare, con velocità angolare ω, lungo un piano orizzontale, quindi l’asse z di rotazione (che è la linea di contatto) continua a cambiare posizione. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 70 12 Un sistema rigido, costituito da due sfere identiche collegate con un’asta sottile, ruota attorno a un asse z. Sia P il punto di intersezione tra z e l’asta di collegamento: si spieghi se per qualcuna delle quattro situazioni illustrate in fig.11 il r momento angolare assiale Lz coincide col momento angolare rispetto a P. z z A z B z D C Fig. 11 16 * [R]Quando la velocità del centro di massa è zero, il momento angolare di un sistema è uguale rispetto a qualsiasi polo, ma il momento complessivo delle forze è in generale diverso a seconda del polo prescelto [12]. Come mai allora, quando è r r v CM = 0, la τ = dL / dt può essere applicata scegliendo come polo un punto qualsiasi? 18 * Le tabelle seguenti danno, in termini di componenti cartesiane ortogonali, le posizioni e le velocità di due particelle A e B all’istante 1 e all’istante 2. Si chiarisca se sulla base di questi dati è possibile escludere che il sistema delle due particelle sia isolato, e se è lecito ipotizzare che le forze interne siano conservative. t (s) xA (cm) yA (cm) zA (cm) vA x (cm/s) vA y (cm/s) vA z (cm/s) 1 2 0 1 0 1 0 0 0 10 10 −20 0 0 t (s) xB (cm) yB (cm) zB (cm) vB x (cm/s) vB y (cm/s) vB z (cm/s) 1 2 5 1 0 0 0 0 − 40 80 0 0 −4 − 40 23 * [R] Si applichi il teorema del momento ango- lare per calcolare l’accelerazione dei blocchi del sistema mostrato in fig. 34. Si assuma che non ci siano attriti e che sia trascurabile la massa dei fili e delle carrucole. Il problema era già stato risolto al capitolo 9 (domanda 26, pag.154) in applicazione delle leggi di Newton. 12 m' m" Fig. 34 Pro memoria: il momento di un sistema di forze è uguale per qualsiasi polo solo quando la somma delle forze è zero, nel qual caso è necessariamente zero anche l’accelerazione (non la velocità) del centro di massa. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 71 27 Il cilindro omogeneo 1 (fig. 36), che può girare senza attrito attorno al proprio asse geometrico, è inizialmente immobile. Un cilindro omogeneo coassiale 2, che ruota senza attrito per inerzia con velocità angolare ω , cade a un certo momento sul disco 1 e, per effetto dell’attrito tra le due superfici a contatto, lo trascina in rotazione. Si trovi la velocità angolare finale del sistema. 2 1 Fig. 36 29 [R] Con riferimento alla domanda precedente, si supponga ora che tra cilindro e piano inclinato non ci sia alcun attrito. Applicando la τ = Jα alr V r l’asse del cilindro, rispetto al quale (fig. 37) sia il P peso che la reazione del vincolo hanno momento zero, si ottiene α = 0, il che corrisponde a un Fig. 37 moto di discesa con velocità angolare sempre uguale (se il cilindro è inizialmente immobile, con velocità angolare sempre uguale a zero). Se però applichiamo la τ = Jα alla retta di contatto, si ottiene α ≠ 0, perché rispetto a tale retta il peso ha momento diverso da zero. Per quale ragione dobbiamo accettare il primo risultato (α = 0) e non invece il secondo (α ≠ 0)? 34 Il blocco A (fig.38) scivola senza attrito su un piano orizzontale, trascinato da un filo che scorre nella gola di una puleggia e sostiene all’altra estremità il blocco B. Fatta l’ipotesi che l’attrito impedisca al filo di scivolare sulla puleggia, la quale quindi è costretta a ruotare, si calcoli con quale forza il blocco B tira il filo verso il basso. Si assuma che la carrucola sia schematizzabile come disco omogeneo e che il suo moto di rotazione non sia contrastato da alcun attrito. A B Fig. 38 r F 37 * [R] La fig. 39 rappresenta un cilindro omo- geneo di raggio R sul quale è avvolto in senso orario un nastro. Il cilindro è posto su un piano orizzontale, e il nastro viene tirato da r una forza orizzontale F come in figura. Considerando sia il caso di completa assenza di attrito che il caso di attrito abbastanza grande da determinare un moto di puro rotolamento, si individui la posizione dell’asse di rotazione e si determini l’accelerazione dell’asse del cilindro. Fig. 39 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 72 42 Sulle due carrucole − una fissa, l’altra libera − rap- presentate in fig. 42, entrambe schematizzabili come dischi omogenei di massa M e raggio R, è avvolta una corda di massa trascurabile. Determinare quale forza sostiene la carrucola superiore. Fig. 42 45 [R] Un carrello e una sfera vengono lasciati scen- dere lungo un piano inclinato: chi dei due impiegherà meno tempo ad arrivare in fondo? Si supponga che la sfera e le ruote del carrello rotolino senza strisciare. Si schematizzino le ruote del carrello sia come dischi omogenei di massa m e raggio R sia, in alternativa, come anelli di raggio R in cui la massa m si trova tutta a distanza R dal centro. SOLUZIONI 11 Nessuna differenza: in entrambi i casi il momento angolare rispetto all’asse di rotazione è Lz = Jz ω , con lo stesso momento d’inerzia e con la stessa velocità angolare. Si noti: la situazione A e la B sono del tutto equivalenti per quanto riguarda le velocità dei singoli punti del sistema all’istante considerato, ma non immediatamente prima o immediatamente dopo. Conseguentemente, dal punto di vista delle accelerazioni la situazione A è ben diversa dalla situazione B (vedi risposta 15, pag. 348). 16 Se la velocità del CM è zero all’istante che si considera, ma è diversa da zero subito prima e subito dopo, il momento angolare è uguale per qualsiasi polo all’istante che si considera, ma non prima e non dopo, perciò è diversa da zero la sua evoluzione nel tempo, e quindi la sua derivata temporale. Se invece la velocità del CM è uguale a zero anche subito prima e subito dopo l’istante considerato, è indipendente dal polo sia il momento angolare che la sua derivata temporale: all’istante considerato risulta però uguale a zero anche l’accelerazione del CM, il che significa che è zero la somma delle forze, per cui anche il momento complessivo delle forze risulta uguale per qualsiasi polo. 23 Si consideri la fig. 8: se assumiamo come «si- stema» l’insieme blocchi + fili + carrucole, le forze esterne sono la trazione verticale T del terreno sul filo, i pesi m'g ed m"g dei due blocchi, la reazione del piano su cui appoggia m', la reazione del perno sulla carrucola fissa. Tenuto presente che la velocità e l’accelerazione del blocco sospeso sono il doppio della velocità v e dell’accelerazione a dell’altro blocco (vedi risposta 26 a pag.365), e assunto come polo il centro della carrucola fissa, per il teorema del momento an- v m' 2T 2T T m" T Fig. 8 2v Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 73 golare sarà – (R 2 – R 1 ) + m"g (R 1 + R 2) = [m'vR 1 + m 2v (R 1 +R 2)]/ dt. Tenuto conto che è 2T = m'a, si ottiene a = 2m"g / (4m" + m'). 29 (a) La τ = Jα vale esclusivamente per rotazioni attorno ad assi a direzione fis- sa (e solo se il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione è costante), e può sempre essere riferita, oltre che all’asse di rotazione, anche a un asse parallelo passante dal centro di massa, ma non ad altri assi: nel nostro caso, può essere senz’altro riferita all’asse del cilindro, che passa dal CM ed è sicuramente parallelo all’asse di un’eventuale moto di rotazione. Il fatto che in tal modo si ottenga α = 0, chiarisce che, se il cilindro è inizialmente immobile, il suo moto di discesa è un moto di pura traslazione (che potremmo descrivere come una rotazione attorno a un asse posto a distanza infinita dal cilindro nel piano contenente l’asse del cilindro e la retta di contatto). La τ = Jα non può quindi essere riferita alla retta di contatto. Un altro modo di rendersi conto che deve effettivamente essere α = 0 è quello r r di considerare che la τ = dL / dt può sempre essere riferita al centro di massa del sistema: dato che, nel nostro caso, rispetto a tale punto il momento delle forze esterne è zero, il momento angolare rispetto al CM non può subire variazioni, e quindi non può subire variazioni la velocità angolare del cilindro. 37 Se non c’è attrito, l’accelerazione del CM del disco (e quindi del suo asse geor metrico) è a = = F /M, ma è anche a = α R, doB F ve l’accelerazione angolare α può essere calcolata come rapporto τ /J tra momento delle forze e momento d’inerzia del disco, entrambi valutati C rispetto all’asse geometrico (dato che passa dal h CM ed è parallelo all’asse di rotazione, il quale si sposta mantenendo una direzione costante). L’asse di rotazione è sicuramente nel piano verFig. 16 ticale che contiene l’asse geometrico, dato che la velocità di un qualsiasi punto P del disco posto in tale piano è orizzontale. Essendo poi il moto del disco descrivibile come una traslazione orizzontale con la velocità dell’asse geometrico + una rotazione oraria attorno all’asse geometrico, è chiaro che la velocità di un punto come B (fig. 16) è superiore alla velocità del centro C, il che (potendosi esprimere la velocità di qualsiasi punto del cilindro come prodotto della velocità angolare ω per la distanza dall’asse di rotazione) significa che B è più lontano di C dall’asse di rotazione: dunque, l’asse di rotazione si trova al di sotto dell’asse geometrico. Sia h la distanza tra i due assi. Allora rispetto all’asse geometrico il momento delle forze è τ = FR, e il momento d’inerzia del disco è mR 2/2. Pertanto τ F FR 2F h = αh = h = h = a = 2 MR M J M R /2 da cui segue subito h = R/2. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 74 I punti del disco che a un dato istante si trovano nel piano verticale contenente l’asse geometrico hanno quindi velocità verso destra se distano dal piano d’appoggio più di R / 2, altrimenti hanno velocità verso sinistra. In caso invece di rotolamento senza strisciamento l’asse di rotazione è la linea di contatto. L’accelerazione del CM del disco è a = (F + A)/M, essendo A il r r modulo della forza d’attrito radente A , la quale è sicuramente equiversa a F per il fatto che contrasta lo scivolamento all’indietro (verso sinistra) dei punti del disco che toccano il piano d’appoggio. La presenza di attrito determina quindi, in questo specifico caso, una maggiore accelerazione del CM. Il modulo A si ricava tenendo presente che l’accelerazione a = (F + A)/M del CM è anche espressa da α R, con α = τ /J = (F − A )R / (MR 2/ 2) (momento delle forze e momento d’inerzia sono stati riferiti all’asse del cilindro). Allora a = = (F + A )/M = α R = 2(F −A) /M, da cui A = F/3. 45 L’accelerazione della sfera ci è già nota: a = (5/7) g senϕ (vedi risposta 34, pag. 387), dove ϕ è l’angolo formato dal piano inclinato col piano orizzontale. Per trovare l’accelerazione del carrello applichiamo il teorema dell’energia cinetica: se M è la massa di tutto il carrello, ruote comprese, e m la massa di una ruota, per uno spostamento L del carrello dalla posizione iniziale il lavoro delle forze gravitazionali (le sole che lavorano) è W = MgLsenϕ . La velocità del carrello passa nel frattempo da zero a v, e l’energia cinetica da zero a Mv 2/2 + + 4(J 0ω 2/2): il primo termine contiene tutta l’energia cinetica di traslazione, ruote incluse, il secondo termine (nel quale J 0 = mR 2/2 è il momento d’inerzia di una ruota rispetto al suo asse geometrico) è l’energia cinetica associata alla rotazione delle quattro ruote. Tenuto conto che ω 2R 2 = v 2 si ottiene che l’energia cinetica è (M + 2m) v 2/2. Uguagliando l’energia cinetica acquisita al M lavoro W si ricava v = 2 g L sen ϕ . Dato che l’unica variabile sotto M + 2m radice è la lunghezza del percorso effettuato, riconosciamo qui che la velocità è legata alla posizione nel modo tipico del moto uniformemente vario (accelerazione scalare costante), nel quale è v = 2a L , dove L è la distanza percorsa a partire dalla posizione in cui è v = 0. L’accelerazione del carrello è quindi a = Mg senϕ /(M +2m), più grande o più piccola dell’accelerazione (5/7) g senϕ della sfera a seconda del valore del rapporto tra massa m di una ruota e massa complessiva M. Chiaramente la massa m di una ruota ha come limite inferiore zero, e come limite superiore M /4. Quando M / (M +2m) = 5/7 (m = M/5), le due accelerazioni sono uguali. Se m diminuisce e tende a zero, l’accelerazione del carrello aumenta e tende a g senϕ , che è l’accelerazione di un blocco che scivola senza attrito. Se invece m aumenta e tende a M /4, l’accelerazione del carrello diminuisce rispetto a quella della sfera e tende a (2/3) g senϕ , che è l’accelerazione di un disco omogeneo che rotola senza strisciare. Si noti che i due valori limite Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 75 dell’accelerazione del carrello potevano essere previsti a priori, senza dover passare attraverso l’espressione generale dell’accelerazione. Schematizzando invece le ruote come anelli (J 0 = mR 2) si trova a = Mg senϕ / (M + 4m). Quando m varia da zero a M /4 l’accelerazione diminuisce da g senϕ a 0,5 g senϕ . Per m = 0,1 M l’accelerazione è uguale a quella della sfera. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 76 CAPITOLO 14 − URTI In caso di urto tra due corpi, la quantità di moto si conserva solo se il sistema dei due corpi è isolato, e cioè non è soggetto a forza esterne (vero / falso). 3 Un blocco, fermo sul pavimento, viene colpito da una pietra la cui velocità ha sia un componente orizzontale che un componente verticale diretto verso il basso. Possiamo ritenere che, in totale assenza di attrito tra blocco e pavimento, la quantità di moto del sistema pietra + blocco si conservi nell’urto? 8 [R] In un’esperienza di laboratorio, due carrelli sono stati lanciati nella stessa direzione sullo stesso binario: prima il carrello A, subito dopo, con velocità superiore, il carrello B, che dopo aver raggiunto A dovrebbe, nel programma dell’esperienza, restare agganciato ad esso. Sapendo che i due carrelli hanno uguale massa m = 2,00 kg, che immediatamente prima dell’urto le velocità sono rispettivamente vA = 0,30 m/s e vB = 1,00 m/s, e che subito dopo l’urto l’energia cinetica complessiva del sistema è 0,950 J, stabilire se i due carrelli sono effettivamente rimasti attaccati l’uno all’altro. Si consideri ininfluente, ai fini della risposta, l’attrito radente sulle ruote dei carrelli. 9 * [R] Si dimostri che, in caso di urto elastico di due corpi che costituiscono un sistema isolato, la velocità con cui un corpo si avvicina al centro di massa del sistema prima dell’urto è uguale alla velocità con cui se ne allontana dopo l’urto. 10 * In un parco giochi, una piattaforma girevole di raggio R si trova inizialmente in quiete. A un tratto, un bambino che corre lungo una retta tangente alla piattaforma salta sul suo bordo, cosicché piattaforma e bambino entrano assieme in rotazione. Posto che nessun attrito contrasti tale movimento di rotazione, si chiarisca: (a) in quanto tempo il sistema compie un giro completo in assenza di attriti, (b) che cosa accade, con l’urto, della quantità di moto del sistema, (c) che cosa accade dell’energia, (d) a quale forza è sottoposta, durante la rotazione, la sbarra verticale su cui la piattaforma è imperniata. 12 * [R] Si consideri una massa gassosa confinata entro un recipiente cilindrico chiuso superiormente da un pistone mobile, e si studi come varia la velocità di una molecola P a seguito di un urto elastico contro il pistone. 13 *Una sferetta di massa M è fissata, come in fig.5, r v all’estremo inferiore di un’asta rigida verticale, di lunm ghezza L e massa trascurabile, vincolata all’altro estremo a un perno P attorno al quale può ruotare senza attrito. Si calcoli con quale ampiezza angolare il sistema oM scilla dopo che l’asta, inizialmente immobile, viene urtata in modo totalmente anelastico a metà della sua alFig. 5 1 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 77 tezza da un corpo puntiforme K di massa m = M /2 in moto con velocità orizr zontale v . Si chiarisca inoltre se rispetto al CM il momento angolare si conserva, e si valuti in che modo l’urto influisce sull’energia cinetica e sulla quantità di moto del sistema. SOLUZIONI 8 Se i carrelli restassero uniti, procederebbero dopo l’urto con la velocità V del centro di massa del sistema, che (nell’ipotesi di poter trascurare l’attrito radente, che interviene a modificare la velocità di rotazione delle ruote) sarebbe rimasta invariata nell’urto e sarebbe quindi uguale a (mvA + mvB) /2m = 0,65 m/s. L’energia cinetica del sistema sarebbe in tal caso 2mV 2/2 = 0,845 J, inferiore a quella effettiva: l’urto pertanto è solo parzialmente anelastico, dopo l’urto i due carrelli si allontanano uno dall’altro (cosicché, oltre all’energia cinetica associata al moto del centro di massa, il sistema possiede energia cinetica anche nel riferimento del CM). 9 Il sistema dei due corpi A e B che si urtano è per ipotesi isolato, quindi il centro di massa si muove rispetto ad ogni osservatore inerziale di moto rettilineo uniforme, e il riferimento del CM è inerziale. In tale riferimento la quantità di mor r r r to del sistema è zero sia prima che dopo l’urto: p A + p B = p ' A + p' B = 0. Ciò sta ad indicare che, nel riferimento del CM, sia prima che dopo l’urto la quantità di moto di A è uguale in modulo a quella di B: pA = pB , p'A = p'B . Ma l’urto è elastico, quindi l’energia cinetica finale ha lo stesso valore di quella iniziale: essendo EC = mv 2/2 = m 2v 2/2m = p 2/2m, possiamo scrivere p A2 p2 1 1 1 1 + B = p A2 ( + ) = ECfin = p ' A2 ( ). ECin = + 2m A 2mB 2m A 2mB 2m A 2mB r Ciò significa che p A e p'A hanno modulo uguale, e che quindi, come si voleva r r dimostrare, nel riferimento del CM hanno modulo uguale v A e v A' . 12 Il fatto che la massa della molecola sia trascurabile rispetto a quella del pistone si traduce nel fatto che il centro di massa del sistema molecola + pistone si identifica in pratica col centro di massa del pistone, e che la velocità del pistone non viene in pratica modificata dall’urto. Supponiamo dapprima che il pistone sia immobile: in tal caso la conservazione dell’energia cinetica (urto elastico) implica che la molecola rimbalzi indietro con velocità di uguale valore. Se la velocità iniziale della molecola ha un componente orizzontale, dato che nessuna forza orizzontale agisce nell’urto sulla molecola tale componente deve rimanere invariato, quindi la r velocità finale v ' della molecola (fig. 2) forma con la verticale un angolo uguale a quello formato dalla ve- r v r v' Fig. 2 Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 78 r locità iniziale v . r Supponiamo poi che il pistone abbia velocità V verso l’alto, e che la molecola r r r abbia inizialmente velocità verticale v y . Dato che la velocità v y − V di avvicir r namento della molecola al pistone prima dell’urto e la velocità v 'y − V di allontanamento dopo l’urto hanno modulo uguale (vedi r r r r r risposta 9), risulta v y − V = − ( v y' − V ), vale a dire vy r r r r r v 'y v y + v y' = 2 V , relazione illustrata, con riferimento sia r 2V al caso v y < 2V che al caso v y > 2V, in fig.3. Si noti r r che il modulo di v 'y è sempre minore di quello di v y : urtando contro una parete che viaggia nella stessa direzione, la molecola perde sempre velocità (come del tutto ovvio se si considera che durante l’urto la forza che il pistone esercita sulla molecola compie lavoro resistente), anche se non è detto che la velocità cambi direzione. Il componente orizzontale della velocità resta invece invariato come nel caso precedente, il che implica che dopo l’urto è più grande (fig. 4) l’angolo formato dalla velocità della molecola con la normale r r r (al limite, se fosse v y = 2 V risulterebbe | v y' | = 0, e v 'y r vy r V Fig. 3 r V r v r v' Fig. 4 quindi della velocità della molecola resterebbe solo il r r componente orizzontale v 'x = v x ). r Supponiamo infine che il pistone abbia velocità V verso il basso. In questo caso la molecola acquista velocità sia che viaggi verso l’alto, sia che viaggi verso il basso (con velocità ovviamente inferiore a quella del pistone, altrimenti non c’è urto), come richiesto, oltre che dal fatto che è positivo il lavoro della forza r r r proveniente dal pistone, anche dalla relazione v y + v y' = 2 V , e come mostrato in fig.5. Anche in questo caso il componente orizzontale della velocità della molecola resta invariato, perciò la molecola si allontana dal pistone (fig.6) con una velocità che forma questa volta con la normale un angolo inferiore all’angolo di impatto. r vy r V r 2V Fig. 5 r vy r v'y r V r v r v'y Fig. 6 r v' Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 79 CAPITOLO 14 − OSCILLAZIONI 1 Si vuole far oscillare liberamente, in assenza di attrito, una massa m = 50 g con frequenza 3 Hz tramite una molla ideale. Quale valore deve avere la costante elastica k della molla? 2 Qual è, nel Sistema Internazionale, l’unità di misura per la costante b di proporzionalità tra forza di attrito e velocità? 3 Nel diagramma orario di un’oscillazione armonica smorzata (fig. 2), tra due zeri consecutivi della distanza x la curva è un arco di sinusoide (vero / falso). 4 [R] In caso di oscillazione smorzata, è costante il rapporto tra le ampiezze di due oscillazioni successive (vero / falso). 5 [R] Una massa di 400 g oscilla sotto l’azione di una forza elastica di costante k = = 300 N/m e di una forza di attrito proporzionale alla velocità. (a) Posto che la costante di proporzionalità b abbia valore 5 kg/s, si determini la frequenza di oscillazione. (b) Si trovi quale valore assume la costante b in caso di smorzamento critico. 6 [R] Per aumentare l’ampiezza di oscillazione di un’altalena occorre imprimere una successione di impulsi in sincronismo col movimento dell’altalena. Perché gli impulsi non possono avere una frequenza diversa? Non dovrebbe, un sistema oscillante, assumere la frequenza della forza impressa? Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 80 SOLUZIONI 4 Vero. Supponiamo che all’istante t ' si verifichi un massimo della distanza x, e quindi dopo un tempo pari al periodo T si verifichi il massimo successivo. Le − (b / 2 m) t ' (b / 2 m) ( t '+ T ) rispettive ampiezze sono Ae e Ae − . Il rapporto tra la prima (b / 2 m) T e la seconda ampiezza è uguale a e , costante nel tempo. 5 (a) È f ' = ω ' / 2π, con ω ' = f'= 1 2π k ⎛ b ⎞ − ⎜ ⎟ m ⎝ 2m ⎠ 2 . Pertanto 2 300 ⎛ 5 ⎞ −⎜ ⎟ Hz = 4,24 Hz . 0,4 ⎜⎝ 2 × 0,4 ⎟⎠ (b) Per b = 2 k m = 2 300 × 0,4 kg/s = 21,9 kg/s. 6 La discussione del paragrafo 15.3 fa riferimento al caso particolare di un oscillatore armonico eccitato da una forza sinusoidale. Il pendolo (l’altalena) è un oscillatore armonico solo per piccolissime ampiezze di oscillazione. Soprattutto, una successione di impulsi staccati l’uno dall’altro è cosa molto diversa dall’impulso di una forza sinusoidale. Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 81 CAPITOLO 16 − DINAMICA DEI FLUIDI 6 Un tubo di diametro 1,6 cm è completamente pieno d’acqua che scorre alla velocità di circa 50 cm/s. Sapendo che la temperatura dell’acqua si aggira sui 20 °C, e che a tale temperatura il suo coefficiente di viscosità è di circa 1 cP, possiamo aspettarci che il moto sia regolare? 8 [R] Un condotto cilindrico orizzontale è pieno di un fluido ideale che scorre con velocità 2 m/s. Che variazione subisce la pressione lungo l’asse del condotto se a un certo punto il diametro della sezione trasversale si riduce per un fattore 1,4? Si consideri regolare il moto del fluido. 10 Esiste una stretta correlazione tra viscosità e tensione superficiale: più un flui- do è viscoso, più grande è la sua tensione superficiale (vero/falso). 12 [R] Dovendo innaffiare il giardino, possiamo scegliere tra due tubi di gomma. Sapendo che il tubo A possiede, rispetto al tubo B, lunghezza doppia e diametro doppio, si spieghi quale dei due conviene scegliere se ciò che interessa è erogare una stessa quantità d’acqua nel minor tempo possibile. 14 * [R] Nel condotto mostrato in fig.14 il dia- metro della sezione trasversale più grande è 6 cm, quello della sezione più piccola è 3 cm. Sapendo che il condotto è pieno di acqua che fluisce con una portata di 1,6 l /s, si determini la differenza di altezza tra le due colonne di mercurio contenute nel tubo a U. h1 h2 mercurio Fig. 14 15 Una fila verticale di fori è stata predisposta lungo tutta la parete laterale di un serbatoio. Supponiamo che il serbatoio contenga liquido fino a un’altezza H, e che i fori vengano aperti tutti contemporaneamente: da quale di essi fuoriesce lo zampillo che cadrà sul terreno a maggior distanza dal serbatoio? 17 [R] (a) Quale sarebbe la risposta al preceden- te quesito se, prima di sgorgare all’aperto, l’acqua dovesse percorrere (vedi fig. 15) un tubicino orizzontale fissato al serbatoio, dello stesso diametro del foro? Si schematizzi l’acqua come liquido ideale. (b) * Se, per un dato livello h nel serbatoio, la velocità di uscita dal tubicino ha, nell’ipotesi di viscosità zero, un certo valore, quale livello h ' dovrebbe esserci per avere la stessa velocità di uscita nonostante la viscosità? Fig. 15 19 A quale valore si stabilizza, in base alla legge di Stokes, la velocità di un bolla d’aria che risale verso la superficie in acqua a 20 °C ? Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 82 20 * [R] Si trovi un’espressione per la distribuzione di velocità nella sezione di un condotto cilindrico orizzontale pieno di un liquido in moto stazionario. SOLUZIONI 8 Per il teorema di Bernoulli si mantiene costante lungo ogni linea di corrente la somma dell’altezza geometrica y, dell’altezza piezometrica p/γ e dell’altezza cinetica v 2/2g. L’altezza geometrica y resta per ipotesi invariata. Riducendo il diametro per un fattore 1,4 diventa 1,42 = 1,96 volte più piccola l’area della sezione trasversale, perciò deve aumentare di 1,96 volte la velocità. Se quindi denotiamo col pedice 1 la sezione originaria e col pedice 2 la sezione ridotta, per il teorema di Bernoulli possiamo scrivere (p1 − p 2) / γ = ( v22 − v12 ) / 2g = = [(1,96 v1) 2 − v 12 ] / 2g = 2,84 v 12 /2g. Allora risulta p1 − p 2 = 2,84 γ v 12 / 2g = = 2,84 × (9,81×103 N/m3) × (2 m/s)2 / (2 × 9,81 m/s2) = 5680 Pa (diminuzione subita dalla pressione). 12 La formula di Poiseuille per la portata di un tubo di sezione circolare è q = = π R 4Δp / 8η L (dove R è il raggio, Δp la differenza di pressione tra i due estremi del tubo, η la viscosità del liquido, L la lunghezza del tubo. Nel nostro caso, le variabili sono solo R ed L (la pressione nel punto d’attacco è in entrambi i casi quella fornita dall’impianto idraulico, la pressione all’uscita del tubo è la pressione atmosferica). Col tubo A otteniamo una portata otto volte superiore. 14 Denotiamo con 1 la sezione più grande e con 2 la sezione più piccola. Essendo R 2 la metà di R 1 , l’area A 2 è 1/4 dell’area A 1 , e quindi, per la costanza della portata, la velocità v 2 è quattro volte più grande della velocità v 1. Sarà inoltre v 1 = q/A1 = q/ π R 12 = (1,6 × 10 3 cm3/s) / π (3 2 cm2 ) = 56,6 cm/s, e quindi v 2 = = 4 v 1 = 226 cm/s. Dall’equazione di Bernoulli (riferita all’asse del condotto) ρ (v12 − v22 ) risulta p1 − p2 = = ½ [1 g/cm3 × (2262 − 56,62 ) cm2/s2 ] = 2 = 2,39 × 10 4 dyn/cm2. Scriviamo ora che, come richiesto dall’equilibrio del mercurio, all’altezza raggiunta dal mercurio nel tubo a sinistra la pressione nei due tubi è la stessa: se indichiamo con h 1 e h 2 la distanza del mercurio, nelle due colonne, dall’asse del condotto (dove la pressione vale rispettivamente p1 e p 2 ), e con ρ e ρ m la densità dell’acqua (1 g/cm3 ) e del mercurio (13,6 g/cm3 ), deve essere p1 + ρ g h 1 = p 2 + ρ g h 2 + ρ m g (h 1 − h 2 ), da cui 2,39 × 10 4 dyn / cm 2 p1 − p2 = = 1,94 cm. h1 − h 2 = g (ρm− ρ ) 981 cm / s 2 × (13,6 − 1) g / cm 3 17 (a) Per l’assenza di viscosità, vale in modo rigoroso l’equazione di Bernoulli e quindi non c’è differenza di pressione tra sezione di ingresso e sezione d’uscita del tubicino: perciò, per la velocità con la quale l’acqua esce dal serbatoio si ot- Tonzig − Fondamenti di Meccanica classica 83 tiene lo stesso valore sia in presenza che in assenza del tubicino. La risposta è quindi uguale a quella del problema precedente. (b) Per avere nel tubicino una velocità v, in assenza di viscosità il livello nel serbatoio deve essere h = v 2 /2g. Per avere la stessa velocità in presenza di viscosità, occorre (formula di Poiseuille) che nel tubicino la pressione iniziale q 8η L = superi la pressione finale (che è la pressione atmosferica p0) di Δp = πR4 Av 8η L . Se ora applichiamo l’equazione di Bernoulli tra la superficie libera = πR4 e la sezione d’ingresso del tubicino, otteniamo p 0 + ρ gh ' = (p 0 + Δp) + ρ v 2/2, da cui, tenuto conto che v = 2 gh , segue h' = π r 2 2 g h 8η L 8 2 h / g r 2η L v 2 Δp A v 8η L + = h+ = + = + . h h 2g ρ g ρ g πR4 ρ g πR4 ρ R4 Com’era da aspettarsi, la differenza tra h ' e h tende a zero sia quando tende a zero la viscosità η , sia quando tende a zero la lunghezza L del tubicino. 20 Consideriamo un elemento cilindrico di liquido, coassiale al tubo, di raggio r e lunghezza L, delimitato dalle sezioni 1 e 2 (il liquido scorre da 1 verso 2). Poiché il liquido contenuto nel cilindro non viene accelerato, la forza orizzontale complessiva su di esso deve essere zero. La forza dovuta alla differenza della pressione media sulle due basi del cilindro agisce nella direzione stessa della corrente e ha modulo Fp = (p1 − p2) π r 2. La forza dovuta alla viscosità tra superficie laterale del cilindro e liquido circostante agisce in direzione opposta e, in base alla definizione di coefficiente di viscosità, ha modulo Fη = − 2 π rL η dv /dr, dove dv è l’incremento (negativo) che subisce la velocità quando la distanza dall’asse del tubo subisce l’incremento dr. Non essendoci altre forze orizzontali, le due forze considerate devono avere uguale modulo: uguagliando allora le due espressioni trovate si trova − dv = (p1 − p2) r dr /2Lη . Integrando a primo membro tra v e zero e a secondo memp − p2 (R 2− r 2 ) , bro tra zero ed R si ottiene infine v = 1 4η L relazione che esprime la velocità del liquido in funzione della distanza r dall’asse del tubo. Si ritrova qui la distribuzione parabolica (fig.1) caratteristica del moto regolare di un liquido viscoso. Osservazione: nel caso di moto turbolento la distribuzione delle velocità (medie) ha un anFig. 1 damento all’incirca analogo, ma la velocità a ridosso delle pareti non può più essere posta uguale a zero.