Presentazione della lezione del 04/11/2015 – Teoria dei numeri

TEORIA DEI NUMERI
Progetto “Giochi matematici”
Referente: prof. Antonio Fanelli
Mail: [email protected]
TEORIA DEI NUMERI
Parte della Matematica che studia i numeri
naturali ed interi e le relative proprietà.
TEORIA DEI NUMERI
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Divisione euclidea
Multipli e divisori
Criteri di divisibilità
Numeri primi
Teorema fondamentale dell’Aritmetica
Scomposizioni particolari in fattori primi
Crivello di Eratostene
MCD e mcm
Numeri primi tra loro
Numero di divisori
Qual è la cifra delle unità di …..?
DIVISIONE EUCLIDEA (CON RESTO)
Dati due numeri naturali a e b, con b≠0, esiste
un’unica coppia di numeri naturali q (detto
quoziente) e r (detto resto), tali che
a=bq+r con 0≤r<b
a : b = q con resto r
⇔
a = b⋅q + r
0≤r<b
Esempio:
La divisione 32:9 fornisce q=3 e r=5.
Infatti 32=9⋅3+5
(b ≠ 0 )
MULTIPLI E DIVISORI
Dati due numeri naturali a e b, con b≠0, se a=bq,
cioè se la divisione a:b ha resto nullo, allora si
dice che a è multiplo di b oppure che b è un
divisore di a.
Esempio:
8 è un divisore di 56 (e quindi 56 è un multiplo
di 8) poiché 56=8⋅7
CRITERI DI DIVISIBILITÀ
• Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è un
multiplo di due o zero.
• Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue
cifre è un multiplo di 3.
• Un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre
sono 00 o un multiplo di 4.
• Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o
5.
• Un numero è divisibile per 7 se la differenza del
numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il
doppio della cifra delle unità è 0 o un multiplo di 7.
• Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra a
somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre
di posto dispari è 0 o un multiplo di 11.
CRITERI DI DIVISIBILITÀ (ESEMPI)
• 392 è multiplo di 7; infatti 39-2⋅2=35 che è
multiplo di 7.
• 1727 è multiplo di 11; infatti (7+7)-(1+2)=11
che è multiplo di 11.
NUMERI PRIMI
Un numero naturale n, maggiore di 1, si dice
primo se ha come divisori solamente 1 e n.
In altre parole un numero primo ha esattamente
due divisori.
N.B.:
1 non è un numero primo!
NUMERI PRIMI
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2
3
5
7
11
13
17
19
23
•
•
•
•
•
•
•
•
•
29
31
37
41
43
47
53
59
61
•
•
•
•
•
•
•
•
•
67
71
73
79
83
89
97
101
103
TEOREMA FONDAMENTALE
DELL’ARITMETICA
Ogni numero naturale n, maggiore di 1,
rappresentabile in modo unico (a meno
riordinamenti dei fattori) come prodotto
numeri primi. Raggruppando sotto forma
potenza i fattori primi uguali, allora
fattorizzazione, unica, avrà la forma
n = p1 1 ⋅ p2 2 ⋅ ......... ⋅ pk
e
e
ek
è
di
di
di
la
SCOMPOSIZIONI PARTICOLARI IN
FATTORI PRIMI
• 2014=2⋅19⋅53
• 2015=5⋅13⋅31
• 2016=25⋅32⋅7
CRIVELLO DI ERATOSTENE
Come verificare se un numero naturale n è
primo? Bisognerebbe verificare che non è
divisibile per ogni numero primo minore di n.
In realtà basta fermarsi prima, cioè basta
verificare che n non è divisibile per ogni numero
primo p tale che p≤√n.
Esempio: Vorrei verificare se 313 è un numero
primo.
Poiché 17<√313<18, basta verificare se è
divisibile per 2,3,5,7,11,13,17. In effetti è primo.
MCD e mcm
Si definisce massimo comun divisore (MCD) tra
due (o più) numeri naturali (non nulli) il più
grande numero naturale tra i divisori comuni dei
numeri considerati.
Si definisce minimo comune multiplo (mcm) tra
due (o più) numeri naturali (non nulli) il più
piccolo numero naturale tra i multipli comuni
dei numeri considerati.
Proprietà importante nel caso si considerino due numeri
MCD(a, b ) ⋅ mcm(a, b ) = a ⋅ b
NUMERI PRIMI TRA LORO
Due numeri naturali si dico primi tra loro
(oppure coprimi) quando il loro MCD è uguale a
1.
Esempi:
• 8 e 7 sono primi tra loro poiché MCD(8,7)=1
• 9 e 8 sono primi tra loro poiché MCD(9,8)=1
N.B.: se due numeri sono primi tra loro, non è detto che
almeno uno di loro sia un numero primo!
NUMERO DI DIVISORI
Sia n un numero naturale, maggiore di 1, e sia
d(n) il numero dei sui divisori.
e
e
e
Se n si scompone come n = p1 ⋅ p2 ⋅ ......... ⋅ pk
allora d (n ) = (e1 + 1) ⋅ (e2 + 1) ⋅ .............. ⋅ (ek + 1)
1
Esempi:
• se n=84=22⋅3⋅7, allora d(84)=3⋅2⋅2=12
• se n=432=24⋅33, allora d(432)=5⋅4=20
2
k
QUAL È LA CIFRA DELLE UNITÀ DI …..?
Supponiamo ora di chiederci: qual è la cifra delle
unità di 7583⋅4987?
La risposta sarà uguale alla cifra delle unità del
prodotto 3⋅7, quindi la risposta sarà 1.
QUAL È LA CIFRA DELLE UNITÀ DI …..?
Supponiamo ora di chiederci: qual è la cifra delle
unità di 3122?
Sappiamo che 30=1, 31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=..3,
36=..9, 37=…7, 38=…1, 39=….3, e così via.
Ogni quattro potenze di 3 la cifra delle unità si
ripete con la stessa periodicità, cioè 1,3,9,7.
In particolare se divido per 4 l’esponente, se ho
resto 0 la cifra delle unità sarà 1, se ho resto 1 la
cifra delle unità sarà 3, se ho resto 2 la cifra delle
unità sarà 9, se ho resto 3 la cifra delle unità sarà 7.
Poiché il resto della divisione tra 122 e 4 è 2, allora
la cifra delle unità di 3122 è 9.
QUESITI PRESI DAI
GIOCHI D’ARCHIMEDE
DEGLI ANNI SCORSI
1) ARCH. Biennio 2012
2) ARCH. Biennio 2013
3) ARCH. Biennio 2014
4) ARCH. Biennio 2011
5) ARCH. Biennio 2014
6) ARCH. Biennio e Triennio 2011
7) ARCH. Biennio e Triennio 2013
8) ARCH. Biennio e Triennio 2014
9) ARCH. Biennio e Triennio 2012
10) ARCH. Biennio e Triennio 2012
11) ARCH. Biennio e Triennio 2013
12) ARCH. Biennio e Triennio 2011
13) ARCH. Triennio 2012
14) ARCH. Triennio 2011
15) ARCH. Triennio 2013