Le frazioni algebriche

CAPITOLO 3
Le frazioni algebriche
1. LE FRAZIONI ALGEBRICHE CON DERIVE
La sola difficoltaÁ di scrittura di un'espressione algebrica sta nell'uso appropriato delle parentesi. Abbiamo giaÁ evidenziato piuÁ volte che si possono usare solo parentesi rotonde eventualmente nidificate e che per la divisione si
deve usare il simbolo =. Nella finestra di Algebra vi eÁ poi a volte una difficoltaÁ di lettura dell'espressione perche tutti
i simboli di divisione vengono scritti mediante una linea di frazione.
Per esempio, per inserire la seguente espressione (scritta nel modo a noi familiare)
2
2y 1
y‡1 y‡3
y
4y 5
‡
:
‡y
‡
y 2 3y ‡ 2 y 1 2 y
1 y
dobbiamo digitare questo testo:
……2y
1†=…y^2
3y ‡ 2† ‡ …y ‡ 1†=…y
1† ‡ …y ‡ 3†=…2
y††=……y^2
4y
5†=…1
y† ‡ y†
Nella finestra di Algebra troviamo scritto
dove il simbolo di divisione eÁ stato sostituito da una linea di frazione. Normalmente, quindi, usando Derive per la
semplificazione delle espressioni algebriche, avremo a che fare con espressioni a termini frazionari.
Il comando di semplificazione eÁ quello ormai noto Semplifica/Base (oppure l'icona con il simbolo =); si ottiene
comunque quasi sempre lo stesso risultato anche con i comandi Semplifica/Sviluppa e Semplifica/Fattorizza. Occorre peroÁ tenere presente che questi comandi agiscono in modo diverso:
n Semplifica/Base tende a ridurre la complessitaÁ di un'espressione, esegue quindi i calcoli e cerca di determinare il risultato nella forma piuÁ semplice possibile
n Semplifica/Sviluppa espande un'espressione; per esempio, nel caso di una frazione algebrica, tende a vederla
come il risultato di una somma di altre frazioni
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n Semplifica/Fattorizza esegue la fattorizzazione dei polinomi che compaiono in un'espressione, eventualmente
semplificando le frazioni algebriche.
Se usiamo questi comandi sulla nostra espressione troviamo:
…2
y
y†…3y ‡ 5†
5
11…3y ‡ 5†
con i comandi Semplifica/Base e Semplifica/Fattorizza
2
11… y 2†
con il comando Semplifica/Sviluppa
y
come somma di due frazioni,
…2 y†…3y ‡ 5†
y†…3y ‡ 5†.
In questo secondo caso il comando ha scomposto la frazione
aventi ciascuna come denominatore uno dei fattori di …2
Esercizi
Semplifica con Derive le seguenti frazioni algebriche.
1.
x2
bx
y2
by
2.
x2 x 6
x 2 2x 3
3.
ax2 ‡ ax
x 2 2x
4.
2x 2
… x ‡ 2b†
2a
8
bx
2
…x
b2
2
b†
5. Dopo aver semplificato l'espressione
x 1
x2 ‡ 1
x‡1
‡
‡
x ‡ 1 2 2x 2 x 1
2
ed aver osservato i risultati ottenuti
con i tre comandi di semplificazione esaminati, calcola il valore che essa assume in corrispondenza dei se2
,
x ˆ 0.
guenti valori della variabile: x ˆ 2,
xˆ
3
6. Sono date le seguenti frazioni algebriche
Aˆ
x‡1
x 3
Bˆ
x2 ‡ 4
x
x 6
2
Cˆ
2x 1
x‡2
Dopo averle assegnate ciascuna ad una variabile, calcola:
a. A ‡ B ‡ C
b. A B ‡ C
2
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c. 2A
3B
C.
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1 1
1 Definiamo l'operazione nel modo seguente: se a e b sono due numeri positivi, allora a b ˆ ‡ . Si
a b
considerino le seguenti asserzioni:
¬ 1 1 ˆa‡b
a
b
­ ab ˆ
1
a‡b
®
1
ab
ˆ
ab
a‡b
Quali di esse sono vere per ogni valore positivo di a e b?
a. solo la ¬
b. solo la ­
c. solo la ®
d. solo la ¬ e la ­
e. solo la ¬ e la ®
‰e:Š
x y
y z
z x
ˆ 0 allora almeno due tra i
‡
‡
2 Dimostrare che se x, y, z sono tre numeri tali che
1 ‡ xy 1 ‡ yz 1 ‡ xz
numeri x, y, z sono uguali.
…x y†…x z†…z y†
…xy ‡ 1†…yz ‡ 1†…xz ‡ 1†
3 Un numero di due cifre viene sommato al numero ottenuto invertendo le sue cifre. Si divide quindi la
somma ottenuta per la somma delle cifre del numero dato e si eleva al quadrato il risultato. Che numero
si ottiene?
a. 36
b. 49
c. 100
d. 121
e. dipende dalle cifre del numero dato
‰d:Š
4 Un corridore si allena su un percorso che non eÁ mai piano. Quando corre in discesa ha una velocitaÁ
costante doppia di quella (costante) che ha in salita, parte da un punto A e ritorna ad A per la stessa strada. Qual eÁ il rapporto tra la sua velocitaÁ media e la sua velocitaÁ in salita?
(Suggerimento: la velocitaÁ media eÁ il rapporto fra lo spazio totale percorso e il tempo impiegato a per correrlo)
4
3
5 Supponiamo che b sia un numero tale che b3 ˆ b ‡ 1. Dire quale delle seguenti uguaglianze non eÁ verificata:
a. b4 ˆ b 2 ‡ b
b. b6 ˆ b2 ‡ 1 ‡ 2b
c. b4 ˆ b 3 ‡ b2 1
1
d. b2 ‡ b ‡ 1 ˆ 1 ‡
b 1
e. b4 ‡ b3 ˆ b2 ‡ 1
‰e:Š
6 Se a, b, c sono tre numeri tali che
a.
3
8
b.
3
5
c.
3
4
b
c
a‡b
ˆ2 e
ˆ 3, quanto vale
?
a
b
b‡c
d.
1
3
e.
2
3
‰a:Š
7 Siano a, b, c tre numeri reali tali che a ‡ b ‡ c ˆ 0 e a2 ‡ b2 ‡ c 2 ˆ 1. Qual eÁ il valore di a4 ‡ b4 ‡ c 4 ?
a.
1
3
b.
1
2
c. 2
d. 3
e. le due relazioni non sono sufficienti a determinare il valore di a4 ‡ b 4 ‡ c 4 .
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‰b:Š
3
Risparmi e investimenti
Un promotore finanziario propone a un amico di investire una piccola somma di denaro con la speranza di
avere un ritorno economico maggiore di quello che
potrebbe dare un deposito in un conto corrente bancario o in un libretto di risparmio.
Egli parla di Btp, Cct, Bot, azioni e il suo amico, che
non eÁ uno sprovveduto, prima di decidere qualsiasi
cosa, cerca di informarsi sul significato di questi termini e, piuÁ in generale, su che cosa significhi fare degli
investimenti.
Tutte le banche hanno oggi dei libretti informativi che
danno chiarimenti sui termini piuÁ importanti che un
investitore dovrebbe conoscere. L'amico si reca in
una banca e dalla lettura di questi documenti ricava
parecchie informazioni con le quali si costruisce un suo piccolo vocabolario; ecco in sintesi che cosa ha imparato.
Un'obbligazione eÁ un titolo emesso da uno Stato (in particolare dal Tesoro che eÁ un dipartimento del Ministero
dell'Economia e della Finanza, come i sopradetti Btp, Cct, Bot), da una banca o da un'azienda, i quali si impegnano a:
restituire il capitale a una certa scadenza (un'obbligazione ha una durata che eÁ compresa fra 2 e 10
anni)
pagare le cedole, cioeÁ gli interessi periodici sul valore dell'obbligazione.
Ogni titolo ha un rendimento che eÁ sostanzialmente la somma che chi ha emesso il titolo deve pagare per compensare l'investitore di avergli dato il suo denaro; deriva dalle cedole, che vengono pagate ogni sei mesi o una
volta all'anno, e vengono calcolate sul valore nominale del titolo stesso, cioeÁ sul valore che dovraÁ essere rimborsato alla scadenza.
Tutti gli investimenti presentano sempre un rischio, piuÁ o meno elevato, dovuto al fatto che esiste la possibilitaÁ
che il valore del titolo diminuisca nel tempo. Vendere il titolo prima della scadenza puoÁ quindi comportare un
guadagno, oltre a quello derivato dalle cedole, o una perdita; se il titolo viene tenuto fino alla scadenza non ci si
deve invece preoccupare delle oscillazioni del prezzo sul mercato perche in questo caso si ottiene il capitale
investito.
Il rischio eÁ legato al rendimento di un titolo. Di solito un debitore poco affidabile deve offrire all'investitore un
titolo con un alto rendimento al fine di compensare il rischio elevato di mancato rimborso; un debitore affidabile
non ha invece bisogno di offrire rendimenti elevati perche l'investitore sa che il suo capitale ha un'ottima probabilitaÁ di essere restituito.
Occorre poi distinguere tra titoli a tasso fisso, come i Btp (Buoni del Tesoro poliennali) che staccano una cedola
fissa per tutta la loro durata, e titoli a tasso variabile, come i Cct (Certificati di credito del Tesoro) che hanno un
tasso di rendimento variabile, di solito legato all'andamento del mercato dei Bot (Buoni ordinari del Tesoro).
L'andamento del mercato, inoltre, fa si che il valore del titolo possa non essere costante nel tempo; se si deve
vendere prima della scadenza occorre prestare attenzione alle oscillazioni del suo valore.
Il rischio di mancato rimborso dell'investimento viene misurato con un indicatore accettato in tutto il mondo
che si chiama rating. Il rating eÁ costituito da una serie di lettere a partire dalla A fino alla D ciascuna delle quali
ha un significato particolare; nella tabella che segue abbiamo rappresentato solo i primi livelli (prima colonna) e
il corrispondente significato in termini di rischio (seconda colonna). Abbiamo poi affiancato una terza colonna
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nella quale abbiamo dato, in modo del tutto arbitrario, un significato numerico al rating; tale numero eÁ necessariamente compreso fra 0 (livello piuÁ basso di rischio) e 1 (massimo livello di rischio).
Rating
Giudizio sintetico del titolo
Valore del rischio
AAA
probabilitaÁ di rimborso estremamente elevate
0,98
AA
probabilitaÁ di rimborso molto elevate
0,90
A
probabilitaÁ di rimborso elevate
0,83
BBB
titolo che presenta caratteristiche adeguate, ma che puoÁ deteriorarsi in
caso di circostanze avverse
0,75
BB
titolo con possibili incertezze nella capacitaÁ di rimborso, specie in circostanze avverse
0,70
B
titolo con elementi di possibile vulnerabilitaÁ
0,65
Prova a rispondere alle seguenti domande.
1 Si investe un capitale C in Btp ad un tasso fisso pari al k% con stacco annuale delle cedole; il costo del
titolo eÁ pari al 98% del suo valore. Se si porta il titolo alla scadenza, che eÁ dopo quattro anni dal suo
acquisto, si ha un rimborso pari al 100% del valore nominale del titolo. Qual eÁ l'espressione che esprime
il guadagno netto che si ricava dall'investimento?
2 Si investe un capitale X in una obbligazione a tasso fisso del k% con stacco annuale delle cedole che ha
un valore di mercato pari al 96% del valore nominale; si investe poi un capitale Y in Cct a tasso variabile
ad un valore di mercato del 99%. Dopo tre anni l'obbligazione eÁ alla sua scadenza e rimborsa quindi il
100% del valore del titolo, mentre i Cct valgono il 102% del valore nominale. L'ammontare complessivo
delle cedole staccate nei tre anni eÁ pari a 1 del capitale Y . Qual eÁ l'espressione che indica il valore del
9
capitale complessivo che viene ritirato dopo tre anni?
3 Un tale ha investito un capitale X in un titolo abbastanza sicuro che ha un rating pari a AA e un capitale
Y in un titolo che ha un rating pari a BBB; qual eÁ l'espressione che valuta la sua propensione media al
rischio?
4 Se l'investitore del problema precedente avesse investito E 10000 nel titolo che ha rating AA e E 5000
nel titolo che ha rating BBB, considerando la sua propensione media al rischio, potrebbe investire in un
titolo che rating A?
4 no
0,90X ‡ 0,75Y
X ‡Y
3
1 X …k ‡ 100† ‡ 11089 Y
96
9900
2
1 C …1 ‡ 2k †
49
1
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