Oggetto di apprendimento / Learning object:

Oggetto di apprendimento / Learning object:
7 – Esercizi commentati e risolti
Esercizio 7.1
Si lanciano tre dadi regolari e si considera la somma X dei tre punteggi. Calcolare le
probabilità di tutti i valori di X da 14 in su.
Soluzione
Il punteggio totale che permette il calcolo più semplice è 18, che si ottiene solamente con il
triplo 6:
P(X=18) = P(6,6,6) = (1/6)3 = 1/216 = 0,46%
Il punteggio 17 si ottiene realizzando due “sei” e un “cinque”; quest’ultimo può essere uno
qualunque dei tre dadi. Si ottiene allora:
P(X=17) = P(5,6,6) + P(6,5,6) + P(6,6,5) = 3(1/216) = 3/216 = 1/72 = 1,39%
Il punteggio 16, a sua volta, si ottiene realizzando due “sei” e un “quattro” oppure due
“cinque” e un “sei”; si ha pertanto:
P(X=16) = P(4,6,6) + P(6,4,6) + P(6,6,4) + P(5,5,6) + P(5,6,5) + P(6,5,5)= 6(1/216) = 6/216
= 1/36 = 2,78%
Il punteggio 15 si può ottenere realizzando due “sei” e un “tre” (tre modi possibili) oppure
un “sei” un “cinque” e un “quattro” (sei modi possibili) o ancora facendo tre volte “cinque”.
La probabilità vale:
P(X=15) = P(3,6,6) + P(6,3,6) + P(6,6,3) + P(4,5,6) + P(4,6,5) + P(5,4,6) + P(5,6,4) +
P(6,4,5,) + P(6,5,4) + P(5,5,5) = (3+6+1) / 216 = 10/216 = 5/108 = 4,63%
Il punteggio 14, infine, si può ottenere realizzando due “sei” e un “due” (tre modi possibili)
oppure un “sei” un “cinque” e un “tre” (sei modi possibili), con un “sei” e due “quattro” (tre
modi) e infine con due “cinque” e un “quattro” (tre modi possibili). La probabilità di tale
punteggio è:
P(X=14) = P(6,6,2)∙3 + P(6,5,3)∙6 + P(6,4,4)∙3 + P(5,5,4)∙3 = (3+6+3+3) / 216 = 15/216 =
5/72 = 6,94%
Complessivamente, la probabilità di ottenere almeno 14 è pari a 16,2 %, circa 1/6.
67
Esercizio 7.2
Si effettua il seguente gioco: il giocatore A lancia tre monete corrette, il giocatore B ne
lancia soltanto due. Vince chi ottiene il maggior numero di croci, ma in caso di parità vince
il giocatore B, ossia quello che ha lanciato meno monete. La sfida è equa oppure uno dei
due è avvantaggiato?
Soluzione
Sia C il numero di croci di A e sia K il numero di croci di B.
Il giocatore A vince se:
- C=1, se K = 0
- C=2, se K=0 oppure K=1
- C=3 sempre.
Il giocatore B vince se:
- C=0 sempre
- C=1, K=1 oppure K=2
- C=2, K=2.
La probabilità si calcolano applicando la distribuzione binomiale; il punteggio C segue una
Bin (3, ½) mentre K segue una Bin (2, ½).
La probabilità di vittoria del giocatore A è pari a:
P(vince A)= P(C=1,K=0) + P(C=2, K=0) + P(C=2, K=1)+ P(C=3) =
= 3/8 1/4 + 3/8 1/4 + 3/8 1/2 + 1/8 = (3 + 3 + 6 + 4) / 32 = 16/32 = 1/2.
La probabilità di vittoria del giocatore B è pari a:
P(vince B)= P(C=0) + P(C=1, K=1) + P(C=1, K=2)+ P(C=2,K=2) =
= 1/8 + 3/8 1/2 + 3/8 1/4 + 3/8 1/4 = (4 + 6 + 3 + 3) / 32 = 16/32 =1/2.
Dunque il gioco è perfettamente equo, e nessuno dei due giocatori è favorito in partenza.
68
Esercizio 7.3
Nel gioco della briscola le due carte più alte (i cosiddetti “carichi”) sono l’Asso e il
Tre. Un giocatore riceve inizialmente tre carte da un mazzo di 40: determinare la
distribuzione di probabilità del numero X di carichi ricevuti in mano dal giocatore.
Soluzione
I valori possibili, essendo tre le carte, sono: X=0, X=1, X=2, …, X=3. Delle 40 carte del
mazzo, 8 sono carichi (4 Assi e 4 Tre) e 32 non lo sono. Evidentemente, le carte vengono
servite in blocco senza alcuna reintroduzione. Si ha dunque:
P(X=0) = 32/40 ∙ 31/39 ∙ 30/38 = 31/13 ∙ 4/19 = 620/1235 = 50,20%
P(X=1) = 3 ∙ 32/40 ∙ 31/39 ∙ 8/38 = 496/1235 = 40,16%
P(X=2) = 3 ∙ 32/40 ∙ 8/39 ∙ 7/38 = 112/1235 = 9,07%
P(X=3) = 8/40 ∙ 7/39 ∙ 6/38 = 7/1235 =
0,57%
Pertanto, la probabilità di avere almeno un carico è molto vicina a ½.
Esercizio 7.4
Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B, C). Nello stabilimento A si produce
il 60% dei pezzi, e di questi il 5% risultano difettosi. Nello stabilimento B si produce il 25%
dei pezzi, e la percentuale di pezzi difettosi scende al 3%. Nello stabilimento C si
producono i pezzi rimanenti, e la loro difettosità è minore, per cui solo l’ 1% dei pezzi ivi
prodotti non è idoneo. Sapendo che due pezzi provengono dallo stesso stabilimento e che
uno dei due è difettoso, qual è la probabilità che provengano rispettivamente da A, da B e da
C? E se i pezzi fossero stati entrambi buoni?
Soluzione
Un problema di questo tipo si può risolvere applicando il teorema di Bayes. La percentuale
di pezzi prodotti in ciascuno stabilimento sono da considerare come probabilità iniziali, e si
ha:
P(A) = 0,60; P(B) = 0,25; P(C) = 1-0,60-0,25 = 0,15
Le verosimiglianze corrispondono alla probabilità di avere, in ciascuno stabilimento, un
pezzo buono (PB) e uno difettoso (PD):
P(E | A) = P( PB, PD U PD, PB | A) = 0,95 0,05 + 0,05 0,95 = 0,0950.
P(E | B) = P( PB, PD U PD, PB | B) = 0,98 0,02 + 0,02 0,98 = 0,0392.
P(E | C) = P( PB, PD U PD, PB | C) = 0,99 0,01 + 0,01 0,99 = 0,0198.
69
P(E) = 0,60 ∙ 0,0950 + 0,25 ∙ 0,0392 + 0,15 ∙ 0,0198 = 0,0698.
Le probabilità cercate sono dunque:
P(A | E) = P(A) P(E|A) / P(E) = 0,60 0,0950 / 0,0698 = 81,7 %
P(B | E) = P(A) P(E|A) / P(E) = 0,25 0,0392 / 0,0698 = 14,0 %
P(C | E) = P(A) P(E|A) / P(E) = 0,15 0,0198 / 0,0698 = 4,3 %
Se invece i pezzi fossero stati entrambi buoni, le verosimiglianze sarebbero state:
P(E | A) = P( PB, PD U PD, PB | A) = 0,95 0,95 = 0,9225.
P(E | B) = P( PB, PD U PD, PB | B) = 0,98 0,98 = 0,9604.
P(E | C) = P( PB, PD U PD, PB | C) = 0,99 0,99 = 0,9801.
P(E) = 0,60 ∙ 0,9225 + 0,25 ∙ 0,9604 + 0,15 ∙ 0,9801 = 0,9406.
Le probabilità cercate sono allora:
P(A | E) = 0,60 0,9225 / 0,9406 = 58,8 %
P(B | E) = 0,25 0,9604 / 0,9406 = 25,5 %
P(C | E) = 0,15 0,9801 / 0,9406 = 15,6 %
70
Esercizio 7.5
Il piatto forte di un ristorante è lo sformato di verdure: all’incirca il 45% dei clienti del
ristorante lo ordinano. Nella giornata di domani si sono prenotati 20 clienti. Supponendo
che le ordinazioni siano indipendenti. Determinare:
a) la legge distributiva del numero di sformati X che il ristorante dovrà preparare domani.
b) il numero medio di sformati che verranno ordinati.
c) la probabilità che vengano ordinati esattamente 10 sformati.
d) la probabilità che il numero di sformati ordinati sia compreso tra 8 e 12.
e) la probabilità che il valore assunto da X sia un numero primo.
Soluzione
a) In base alle informazioni che si possiedono, X segue una distribuzione binomiale di
parametri n=20, p=0,45.
b) Il numero medio E(X) si ottiene moltiplicando il numero di clienti per la probabilità che
ciascun cliente ordini lo sformato. Dunque: E(X) = 20∙0,45 = 9.
 20 
c) In base alla probabilità binomiale si ottiene: P(X=10) =    0,4510  0,5510  15,93%
 10 
20
20
20
d) P(8≤X≤12) =    0,458  0,5512     0,459  0,5511  ...     0,4512  0,558  68,99%
8
9
 12 
e) I numeri primi inferiori a 20 sono: 2,3,5,7,11,13,17,19. Sommando le relative probabilità
si ottiene:
P(E) = P(X=2) + P(X=3) + … + P(X=19) = 31,875%
Esercizio 7.6
Venti persone estraggono, senza guardare, un numero a caso dal sacchetto della tombola
(come è noto, i numeri nel sacchetto vanno da 1 a 90). Ogni volta il numero estratto viene
reintrodotto nel sacchetto, per cui le estrazioni sono da considerare indipendenti. Qual è la
probabilità che vi siano almeno due persone che estraggono lo stesso numero?
Soluzione
Per trovare la probabilità cercata P(E) è decisamente comodo passare dalla probabilità
dell’evento contrario E “tutti i numeri estratti sono diversi”. Tale probabilità è pari a:
P( E )  89 / 90  88 / 90  87 / 90...  71/ 90  0,102
Pertanto, la probabilità che almeno due persone ottengano lo stesso numero è la seguente:
P(E) = 1- P(E ) = 1 – 0,102 = 0,898 = 89,8%.
71
Per arrivare a una probabilità di numero ripetuto superiore al 50% sarebbero state sufficienti
12 persone. Estendendo l’esperimento a 25 persone (anziché 20) la probabilità di numero
identico sale al 97,5%, mentre se si arriva a 30 persone diventa addirittura del 99,6% .
Esercizio 7.7
Una città è divisa in quattro quartieri (A, B, C e D). Nel quartiere A abitano 13000
elettori, nel quartiere B ce ne sono 8000, nel quartiere C sono invece 5000, nel
quartiere D solo 4000. Ci sono le elezioni e il candidato sindaco Speranzini viene
votato dal 40% degli elettori del quartiere A, dal 25% degli elettori di B, dal 56%
degli elettori del quartiere C e dal 35% degli elettori di D.
a) Qual è la percentuale globale di voti ottenuta dal candidato?
b) Sapendo che l’elettore Schedini ha votato per Speranzini, qual è la probabilità che
sia residente nel quartiere C?
c) Sapendo che l’elettore Bastiani non ha votato per Speranzini, qual è la probabilità
che sia residente nel quartiere B?
d) Sapendo che due persone (indipendenti) votano entrambe per Speranzini, qual è la
probabilità che almeno uno dei due sia residente nel quartiere D?
e) Sapendo che due persone (indipendenti) votano entrambe per Speranzini, qual è la
probabilità che risiedano nello stesso quartiere?
Soluzione
Per risolvere il problema è innanzitutto necessario determinare la composizione percentuale
degli elettori. Il quartiere A corrisponde a 13/30 del corpo elettorale, il quartiere B a 8/30, il
quartiere C a 5/30 e infine il quartiere D a 4/30.
a) La percentuale globale di voti favorevoli al candidato (qui indicata con PE) si
ottiene tenendo conto della dimensione dei quartieri e delle percentuali di voto.
13
8
5
4 5,2  2,0  2,8  1,4 11,4
P  0,40  0,25  0,56  0,35 

 0,38  38%
E
30
30
30
30
30
30
b) La probabilità cercata si può ottenere applicando il teorema di Bayes:
P(C | E ) 
5 / 30  0,56 0,093

 0,246  24,6%
0,38
0,380
c) La probabilità cercata si può ottenere applicando il teorema di Bayes,
considerando l’evento contrario dell’evento E del punto precedente.
P( B |  E ) 
P( B) P( E | B) 8 / 30  (1  0,25) 0,200


 0,323  32,3%
P( E )
1  0,38
0,620
72
d) La probabilità che un elettore di Speranzini sia residente nel quartiere più
piccolo è pari a:
P( D | E ) 
P( D) P( E | D) 4 / 30  0,32 0,043


 0,112  11,2%
P( E )
0,38
0,380
La probabilità che nessuno dei due elettori di Speranzini sia residente nel quartiere
D è pari a: P(-D|E) ∙ P(-D|E) = (1-0,112)2 = 0,8882= 0,789. Dunque la probabilità
che almeno uno dei due elettori sia residente in D è: 1 – 0,789 = 0,211 = 21,1%
e) Il calcolo va fatto per ciascun quartiere, e i risultati ottenuti vanno sommati tra
loro. La probabilità che due elettori “favorevoli” siano entrambi residenti in A
è: P(A,A|E,E) =P(A|E)2 = 0,45612 = 0,2081; che siano entrambi residenti in B è
invece: P(B,B|E,E) =P(B|E)2 = 0,17542 = 0,0308. Per il quartiere C si ha:
P(C,C|E,E) =P(C|E)2 = 0,24562 = 0,0603, e infine si trova: P(D,D|E,E)
=P(D|E)2 = 0,12282 = 0,0151. La probabilità cercata è allora:
P(stesso quartiere) = 0,2081 + 0,0308 + 0,0603 + 0,0151 = 0,3143 = 31,43%.
73
Esercizio 7.8
Il numero di reti segnate da una squadra di calcio nelle partite di campionato segue una
distribuzione di Poisson di parametro 1,8. Determinare la probabilità:
a - che nella prossima partita la squadra segni esattamente tre reti
b - che nella prossima partita la squadra segni un numero dispari di reti
c - che nelle prossime due partite la squadra segni lo stesso numero di reti
d - che nelle prossime tre partite la squadra segni sempre
e - che nella prossime tre partite la squadra segni in tutto tre reti.
Soluzione
Siano X, Y, Z il numero di reti segnate nelle prossime tre partite.
a) P(X = 3) = (e-1,8∙1,83) / 3! = 16,07%
b) P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)+P(X=7)+P(X=9)=48,63% . I numeri dispari rimanenti
hanno probabilità irrisorie, e anche il valore 9 si poteva omettere.
c) Considerando le partite indipendenti, si ha : P(X=k,Y=k) = P(X=k)2 Calcolando i
quadrati delle probabilità e sommandole tra loro fino alla stabilità, si ottiene:
6
 P( X  k )
2
0,2193  21,93%
k 1
d) La probabilità che la squadra segni almeno una rete, in una generica partita, è pari a
P(X > 0) = 1 – P(X=0) = 0,8347. Considerando le partite indipendenti, si ha : P(X>0,
Y>0, Z>0) = 0,83473 = 0,5816 = 58,16%.
e) La probabilità che la squadra segni in tutto tre reti corrisponde alla somma delle
probabilità dei singoli eventi corrispondenti a tale risultato:
P(X+Y+Z=3) = P(X=3, Y=0, Z=0)+ P(X=2, Y=1, Z=0) + P(X=2, Y=0, Z=1)+
P(X=1, Y=2, Z=0)+ P(X=1, Y=1, Z=1)+ P(X=1, Y=0, Z=2) + P(X=0, Y=3, Z=0)+
P(X=0, Y=2, Z=1) + P(X=0, Y=1, Z=2)+ P(X=0, Y=0, Z=3) = 3 ∙ P(3,0,0) + 6 ∙
P(2,1,0) + P(1,1,1) = 1,32% + 7,90% + 2,63% = 11,85% .
Esercizio 7.9
La durata di funzionamento (in ore) delle lampadine Superlux segue una
distribuzione esponenziale di parametro k= 0,004. Determinare:
a) il numero medio di ore di funzionamento di una lampadina
b) la probabilità che una lampadina duri almeno 200 ore
c) la probabilità che due lampadine (indipendenti) durino almeno 150 ore
ciascuna
d) la probabilità che un sistema di tre lampadine (indipendenti) sia già fuori uso
dopo 250 ore.
e) la durata di funzionamento che viene raggiunta solo dal 10% delle lampadine.
74
Soluzione
Siano Y1, Y2, Y3 le lampadine considerate nelle varie domande dell’esercizio. La funzione
di ripartizione associata a ciascuna lampadina è F(y) = 1 – e-0,004y
a)
b)
c)
d)
La durata media è pari al reciproco del parametro: E(Y1) = 1/k = 1/0,004 = 250 ore.
P(Y1 > 200) = 1 - P(Y1 ≤ 200) = 1 – F(200) = 1 – (1 - e-0,004∙200) = e- 0,8 = 44,93% .
P(Y1 > 150, Y2 > 150) = [1 – F(150)]2 = (e-0,004∙150) 2 = (e-0,6) 2 = e- 1,2 = 30,12% .
P(E) = 1 - P(Y1 > 250, Y2 > 250, Y3 > 250 ) = 1 - [1 – F(250)]3= 1 - [e-0.004 ∙250]3 =
= 1 – e-3 = 0 = 1 – 0,0498 = 95,02%.
e) In pratica viene richiesto il 90° centile della distribuzione (qui indicato con y*).
Ponendo la funzione di ripartizione uguale a 0.9 si ottiene: 1 – e-0,004y*=0.9 
e-0,004y*=0.1 e0,004y*= 10  0,004y*= ln 10 y* = 575,6 ore.
Esercizio 7.10
La distribuzione delle stature delle 190 ragazze che frequentano un liceo di Milano è
normale con media 167,5 cm e scarto pari a 7,8 cm Determinare:
a) il numero di ragazze di statura compresa tra 160 e 170 cm
b) il numero di ragazze che sono alte almeno 176 cm
c) la probabilità che in un gruppo di tre amiche ve ne sia almeno una al di sotto di
155 cm
d) un intervallo di stature che comprenda il 98% delle ragazze
Soluzione
Sia Y la v.a. che rappresenta la statura delle ragazze e sia Z la distribuzione standardizzata
ad essa associata.
a) La probabilità che una ragazza abbia una statura compresa tra 160 e 170 cm è pari a:
 160  167,5 Y  167,5 170  167,5 
P(160  Y  170)  P


  P 0,962  Z  0,320
7,8
7,8
7,8


Facendo uso delle tavole, si trova: P(160<Y<170) = 33,19% + 12,57% = 45,76%
Poiché le ragazze sono in tutto 190, quelle che rientrano nell’intervallo indicato saranno:
190 ∙ 0,4576 = 87.
b) La probabilità che una ragazza abbia una statura di almeno 176 cm è pari a:
 Y  167,5 176  167,5 
P(Y  176)  P

  PZ  1,090
7,8
 7,8

75
Facendo uso delle tavole, si trova: P(Z≥1,090) = 13,79%
Ancora una volta, moltiplichiamo la probabilità ottenuta per il numero di ragazze della
scuola ottenendo: 190 ∙ 0,1379 = 26 ragazze alte almeno 176 cm.
c) La probabilità che una ragazza abbia una statura inferiore a 158 cm è pari a:
 Y  167,5 158  167,5 
P(Y  155)  P

  PZ  1,218
7,8
 7,8

Facendo uso delle tavole, si trova: P(Y<155 cm)= P(Z<-1,218) = 11,16%
La probabilità richiesta può essere ottenuta passando dall’evento contrario.
Supponendo che l’amicizia sia indipendente dalla statura, ed indicando con Y1, Y2, Y3
le stature delle tre amche, la probabilità che nessuna di esse sia al di sotto della statura
indicata è:
P(Y1 ≥158,Y2≥158,Y3≥158) = (1- 0,1116)3 = 0,88843 = 70,11%.
Pertanto, la probabilità che almeno una delle tre sia di statura inferiore a 158 cm è pari a:
P(E) = 1 – 0,7011 = 0,2989 = 29,89%
d) Un intervallo che comprenda il 98% delle stature si può ottenere considerando come
estremi il 1° e il 99° centile della distribuzione, che sono rispettivamente:
C1 (Y) = 167,5 + C1 (Z) ∙ 7,8 = 164,5 – 2,326 ∙ 7,8 = 149,4 cm
C99 (Y) = 167,5 + C1 (Z) ∙ 7,8 = 164,5 + 2,326 ∙ 7,8 = 185,6 cm
Pertanto, il 98% delle ragazze ha una statura compresa tra 149,4 e 185,6 cm
Esercizio 7.11
Si lanciano quattro monete, una da 2 euro, una da un euro e due da 50 centesimi. Sia T il
numero di monete che cadono presentando “testa” e sia W il valore monetario
corrispondente ad esse (per esempio 1 euro + 50 cent = 1,5).
a)
b)
c)
d)
Costruire la tabella della distribuzione di probabilità congiunta
Scrivere la distribuzione di W dato T = 2
Scrivere la distribuzione di T dato W = 2
Calcolare il coefficiente di correlazione tra T e W
Soluzione
I valori possibili di T sono: { 0, 1, 2, 3, 4 }, mentre i valori possibili di W sono { 0, 0.5, 1,
1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4 } per cui la tabella ha dimensioni 5 x 9. Per costruirla si può
considerare che:
- Se T=0 anche W=0 e viceversa;
76
-
Se T=4 anche W=4 e viceversa;
Se T ≥ 2 anche W ≥ 2 e viceversa.
La distribuzione di probabilità congiunta è la seguente:
0
0
1
2
3
4
0,5
1
1,5
1/16
2/16 1/16
1/16 2/16
1/16 2/16 2/16
2/16
2
2,5
3
3,5
4
1/16
1/16
4/16
2/16 1/16
6/16
1/16
1/16 2/16
4/16
1/16 1/16
2/16 2/16 2/16 2/16 1/16 16/16
La distribuzione di W | T=2 è:
P(W=1 | T=2) = (1/16)/(6/16) = 1/6
P(W=1,5 | T=2) = (2/16)/(6/16) = 1/3
P(W=2,5 | T=2) = 1/3
P(W=3 | T=2) = 1/6
La distribuzione di T | W=2 è:
P(T=1 | W=2) = (1/16)/(2/16) =1/2
P(T=3 | W=2) = (1/16)/(2/16) =1/2
Per trovare il coefficiente di correlazione occorre calcolare il valore atteso E(TW), i
due valori attesi marginali E(T) ed E(W) e i corrispondenti scarti S(U) e S(W).
E(T∙W) = 0,5∙2/16 + 1∙1/16 + 2∙1/16 + 2∙1/16 + 3∙2/16 + 5∙2/16 + 6∙1/16 + 6∙1/16 +
+ 9∙1/16 + 10,5∙2/16 + 16∙1/16 = (1+1+2+2+6+10+6+6+9+21+16)/16 = 80/16 = 5.
E(T) = 4∙0,5 = 2.
E(W) = (0,5+1+1,5+2+2,5+3+3,5)∙2/16 + 4∙1/16 = 32/16 = 2.
V(T) = 4∙0,5∙0,5 = 1.
S(T) = 1.
E(W2)= (0,25+1+2,25+4+6,25+9+12,25)∙2/16 + 16∙1/16 = 86/16 = 5,375.
V(W) = 5,375 - 22 = 1,375.
S(W) = 1,173
Cov (T,W) = 5 - 2∙2 = 5 – 4 = +1
r (T,W) = 1 / 1,173 = +0,853.
Il coefficiente di correlazione lineare tra le variabili T e W è dunque pari a +0,853.
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Esercizio 7.12
Il numero di chiamate orarie ricevute nelle ore lavorative dall’impiegato Amici segue una
v.a. di Poisson di parametro 3,5 mentre quelle ricevute dall’impiegato Belletti segue una
Poisson di parametro 2,5. Considerando la prossima ora lavorativa, calcolare la probabilità:
a) che il numero di chiamate ricevute dai due impiegati sia lo stesso;
b) che Amici riceva tre chiamate e Belletti due;
c) che tutti e due ricevano almeno due chiamate.
Soluzione
Sia XA la v.a. che rappresenta le chiamate ricevute da Amici e sia XB la v.a. che rappresenta
le chiamate ricevute da Belletti nell’ora considerata.
a) P(XA = XB) = P(XA= 0, XB= 0) + P(XA= 1, XB= 1) + P(XA= 2, XB = 2) + … =
P(XA= 0)∙P(XB= 0) + P(XA= 1)∙P(XB= 1) + … = 0,25% + 2,17% + 4,74% + 4,61% +
2,52% + 0,88% + 0,21% + … = 15,44%
b) P(XA= 3, XB = 2) = P(XA= 3)∙P(XB= 2) = 0,2158 ∙ 0,2565 = 0,0554 = 5,54%
c) P(XA ≥ 2, XB ≥ 2) = [1 – P(XA= 0) – P(XA= 1)] [1 – P(XB = 0) – P(XB = 1)] =
= 0,8641 ∙ 0,7127 = 0,6159 = 61,59%
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